بعد ذلك نحصل على معادلة تربيعية. جذور المعادلة التربيعية

المعادلات التربيعية. مميز. الحل، الأمثلة.

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

أنواع المعادلات التربيعية

ما هي المعادلة التربيعية؟ كيف تبدو؟ في المدى معادلة تربيعيةالكلمة الأساسية هي "مربع".وهذا يعني أنه في المعادلة بالضرورةيجب أن يكون هناك مربع x. بالإضافة إلى ذلك، قد تحتوي المعادلة (أو لا!) على X فقط (للأس الأول) ورقم فقط (عضو حر).ويجب ألا يكون هناك علامة X للأس الأكبر من اثنين.

من الناحية الرياضية، المعادلة التربيعية هي معادلة من الشكل:

هنا أ، ب، ج- بعض الأرقام. ب و ج- على الاطلاق، ولكن أ– أي شيء آخر غير الصفر. على سبيل المثال:

هنا أ =1; ب = 3; ج = -4

هنا أ =2; ب = -0,5; ج = 2,2

هنا أ =-3; ب = 6; ج = -18

حسنا، أنت تفهم...

في هذه المعادلات التربيعية على اليسار يوجد مجموعة كاملةأعضاء. X تربيع بمعامل أ، x للقوة الأولى مع المعامل بو عضو حر س.

تسمى هذه المعادلات التربيعية ممتلىء.

ماذا إذا ب= 0، ماذا نحصل؟ لدينا سيتم فقدان X للقوة الأولى.يحدث هذا عند الضرب في الصفر.) ويتبين على سبيل المثال:

5×2 -25 = 0،

2س 2 -6س=0،

-س 2 +4س=0

إلخ. وإذا كان كلا المعاملات بو جتساوي صفرًا، فالأمر أبسط:

2×2 =0،

-0.3×2 =0

تسمى هذه المعادلات التي يوجد فيها شيء مفقود المعادلات التربيعية غير كاملة.وهو أمر منطقي تمامًا.) يرجى ملاحظة أن x تربيع موجود في جميع المعادلات.

بالمناسبة لماذا ألا يمكن أن يساوي الصفر؟ وأنت بديل بدلا من ذلك أصفر.) سوف يختفي مربع X الخاص بنا! ستصبح المعادلة خطية. والحل مختلف تماما..

هذه هي جميع الأنواع الرئيسية للمعادلات التربيعية. كاملة وغير كاملة.

حل المعادلات التربيعية.

حل المعادلات التربيعية الكاملة.

المعادلات التربيعية سهلة الحل. وفق صيغ وقواعد واضحة وبسيطة. في المرحلة الأولى، من الضروري تحويل المعادلة المعطاة إلى شكل قياسي، أي. إلى النموذج:

إذا كانت المعادلة معطاة لك بالفعل في هذا النموذج، فلن تحتاج إلى القيام بالمرحلة الأولى.) الشيء الرئيسي هو تحديد جميع المعاملات بشكل صحيح، أ, بو ج.

تبدو صيغة إيجاد جذور المعادلة التربيعية كما يلي:

يسمى التعبير الموجود تحت علامة الجذر تمييزي. لكن المزيد عنه أدناه. كما ترون، للعثور على X، نستخدم فقط أ، ب، ج. أولئك. معاملات من المعادلة التربيعية. فقط استبدل القيم بعناية أ، ب، جنحن نحسب في هذه الصيغة. دعونا نستبدل مع علاماتك الخاصة! على سبيل المثال، في المعادلة:

أ =1; ب = 3; ج= -4. وهنا نكتبها:

تم حل المثال تقريبا:

هذا هو الجواب.

انها بسيطة جدا. وماذا تعتقد أنه من المستحيل ارتكاب خطأ؟ حسنًا، نعم، كيف...

الأخطاء الأكثر شيوعًا هي الخلط بين قيم الإشارة أ، ب، ج. أو بالأحرى، ليس مع علاماتهم (أين يمكن الخلط؟)، ولكن مع استبدال القيم السالبة في صيغة حساب الجذور. ما يساعد هنا هو التسجيل التفصيلي للصيغة بأرقام محددة. إذا كانت هناك مشاكل في الحسابات، افعل ذلك!

لنفترض أننا بحاجة إلى حل المثال التالي:

هنا أ = -6; ب = -5; ج = -1

لنفترض أنك تعلم أنك نادرًا ما تحصل على إجابات في المرة الأولى.

حسنًا، لا تكن كسولًا. سيستغرق الأمر حوالي 30 ثانية لكتابة سطر إضافي وعدد الأخطاء سوف تنخفض بشكل حاد. لذلك نكتب بالتفصيل مع جميع الأقواس والعلامات:

يبدو من الصعب جدًا الكتابة بعناية شديدة. ولكن يبدو الأمر كذلك. جربها. حسنا، أو اختر. ما هو الأفضل، سريع أم صحيح؟

علاوة على ذلك، سأجعلك سعيدًا. بعد فترة من الوقت، لن تكون هناك حاجة لكتابة كل شيء بعناية. وسوف تعمل بشكل صحيح من تلقاء نفسها. خاصة إذا كنت تستخدم التقنيات العملية الموضحة أدناه. هذا المثال الشرير مع مجموعة من السلبيات يمكن حله بسهولة وبدون أخطاء!

لكن، في كثير من الأحيان، تبدو المعادلات التربيعية مختلفة قليلًا. على سبيل المثال، مثل هذا: هل تعرفت عليه؟) نعم! هذا.

المعادلات التربيعية غير كاملة

حل المعادلات التربيعية غير الكاملة. أ، ب، ج.

ويمكن أيضًا حلها باستخدام صيغة عامة. كل ما عليك فعله هو أن تفهم بشكل صحيح ما يساويهم هنا. هل اكتشفت ذلك؟ في المثال الأولأ = 1؛ ب = -4؛ جأ ؟ انها ليست هناك على الاطلاق! حسنا نعم، هذا صحيح. في الرياضيات هذا يعني ذلك ج = 0 ! هذا كل شيء. عوّض بالصفر في الصيغة بدلاً من ذلكج، وسوف ننجح. نفس الشيء مع المثال الثاني لكن ليس لدينا صفر هنامع ب !

، أ

ولكن يمكن حل المعادلات التربيعية غير المكتملة بطريقة أكثر بساطة. بدون أي صيغ. لنفكر في المعادلة الأولى غير الكاملة. ماذا يمكنك أن تفعل على الجانب الأيسر؟ يمكنك إخراج X من الأقواس! دعونا نخرجه.
فماذا عن هذا؟ والحقيقة أن الناتج يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان أحد العوامل يساوي صفرًا! لا تصدقني؟ حسنًا، إذن توصل إلى رقمين غير الصفر، وعند ضربهما يعطيان صفرًا!
لا يعمل؟ هذا كل شيء... لذلك يمكننا أن نكتب بثقة:, × 1 = 0.

× 2 = 4 الجميع. ستكون هذه جذور المعادلة. كلاهما مناسب. عند استبدال أي منها في المعادلة الأصلية، نحصل على الهوية الصحيحة 0 = 0. كما ترون، الحل أبسط بكثير من استخدام الصيغة العامة. اسمحوا لي أن أشير، بالمناسبة، إلى أي X سيكون الأول وأيهما سيكون الثاني - غير مبال تمامًا. أنها مريحة للكتابة بالترتيب ،× 1 - ما هو أصغر و- ما هو أعظم.

ويمكن أيضًا حل المعادلة الثانية ببساطة. تحرك 9 إلى الجانب الأيمن. نحصل على:

كل ما تبقى هو استخراج الجذر من 9، وهذا كل شيء. سوف يتحول:

وأيضا جذوران . × 1 = -3, × 2 = 3.

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل جميع المعادلات التربيعية غير الكاملة. إما عن طريق وضع X خارج الأقواس، أو ببساطة عن طريق تحريك الرقم إلى اليمين ثم استخراج الجذر.
من الصعب للغاية الخلط بين هذه التقنيات. ببساطة لأنه في الحالة الأولى سيتعين عليك استخراج جذر X، وهو أمر غير مفهوم إلى حد ما، وفي الحالة الثانية لا يوجد شيء يمكن إخراجه من الأقواس...

مميز. صيغة التمييز.

كلمة سحرية تمييزي ! نادرا ما لم يسمع طالب في المدرسة الثانوية هذه الكلمة! إن عبارة "نحل بالمتميز" توحي بالثقة والطمأنينة. لأنه ليست هناك حاجة لتوقع الحيل من المُميز! إنه سهل الاستخدام وخالي من المتاعب.) أذكرك بالصيغة الأكثر عمومية للحل أيالمعادلات التربيعية:

ويسمى التعبير الموجود تحت علامة الجذر بالمميز. عادة يتم الإشارة إلى المميز بالحرف د. صيغة التمييز:

د = ب 2 - 4أ

وما هو اللافت للنظر في هذا التعبير؟ ولماذا استحق اسما خاصا؟ ماذا معنى التمييز ؟بعد كل شيء -ب،أو 2 أفي هذه الصيغة لا يسمونها على وجه التحديد أي شيء ... حروف وحروف.

هذا هو الشيء. عند حل معادلة تربيعية باستخدام هذه الصيغة، فمن الممكن ثلاث حالات فقط.

1. المميز إيجابي.وهذا يعني أنه يمكن استخراج الجذر منه. ما إذا كان يتم استخراج الجذر بشكل جيد أم سيئ هو سؤال مختلف. المهم هو ما يتم استخراجه من حيث المبدأ. إذن فإن المعادلة التربيعية لها جذرين. حلين مختلفين.

2. المميز هو صفر.ثم سيكون لديك حل واحد. حيث أن إضافة أو طرح الصفر في البسط لا يغير شيئًا. بالمعنى الدقيق للكلمة، هذا ليس جذر واحد، ولكن اثنان متطابقان. ولكن، في نسخة مبسطة، من المعتاد التحدث عنه حل واحد.

3. المميز سلبي.لا يمكن أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب. اوه حسناً. وهذا يعني أنه لا توجد حلول.

لنكون صادقين، عند حل المعادلات التربيعية ببساطة، لا تكون هناك حاجة لمفهوم المميز. نستبدل قيم المعاملات في الصيغة ونحسبها. كل شيء يحدث هناك من تلقاء نفسه، جذرين، واحد، ولا شيء. ومع ذلك، عند حل المهام الأكثر تعقيدا، دون معرفة معنى وصيغة التمييزلا أستطيع المرور. خاصة في المعادلات ذات المعلمات. مثل هذه المعادلات هي بمثابة ألعاب بهلوانية لامتحان الدولة وامتحان الدولة الموحدة!)

لذا، كيفية حل المعادلات التربيعيةمن خلال المميز الذي تذكرته. أو تعلمت، وهذا ليس سيئًا أيضًا.) أنت تعرف كيفية التحديد بشكل صحيح أ، ب، ج. هل تعرف كيف؟ بانتباهاستبدلها في صيغة الجذر و بانتباهاحسب النتيجة. أنت تفهم أن الكلمة الأساسية هنا هي بانتباه؟

الآن لاحظ التقنيات العملية التي تقلل بشكل كبير من عدد الأخطاء. نفس تلك التي تكون بسبب الغفلة... والتي تصبح فيما بعد مؤلمة ومهينة...

الموعد الأول . لا تتكاسل قبل حل المعادلة التربيعية وإعادتها إلى الصورة القياسية. ماذا يعني هذا؟
لنفترض أنه بعد كل التحويلات تحصل على المعادلة التالية:

لا تتعجل في كتابة صيغة الجذر! من المؤكد أنك سوف تختلط الاحتمالات أ، ب، ج.بناء المثال بشكل صحيح. أولاً، X مربع، ثم بدون مربع، ثم الحد الحر. مثله:

ومرة أخرى، لا تتعجل! إن وضع علامة ناقص أمام علامة X يمكن أن يزعجك حقًا. من السهل أن تنسى... تخلص من الطرح. كيف؟ نعم كما علمنا في الموضوع السابق! نحن بحاجة إلى ضرب المعادلة بأكملها في -1. نحصل على:

لكن يمكنك الآن كتابة صيغة الجذور بأمان وحساب المميز والانتهاء من حل المثال. قرر بنفسك.

يجب أن يكون لديك الآن جذور 2 و-1. الاستقبال ثانيا تحقق من الجذور! وفقا لنظرية فييتا. لا تخافوا، سأشرح كل شيء! التحققآخر معادلة. أولئك. الذي استخدمناه لكتابة صيغة الجذر. إذا (كما في هذا المثال) المعاملأ = 1 التحقق من الجذور أمر سهل. يكفي مضاعفة عددهم. يجب أن تكون النتيجة عضوا حرا، أي. في حالتنا -2. يرجى ملاحظة، ليس 2، ولكن -2! عضو حر مع علامة الخاص بك

. إذا لم ينجح الأمر، فهذا يعني أنهم أخطأوا بالفعل في مكان ما. ابحث عن الخطأ. بإذا كان يعمل، تحتاج إلى إضافة الجذور. الفحص الأخير والأخير. يجب أن يكون المعامل مع عكس بمألوف. في حالتنا -1+2 = +1. معامل
التي تقع قبل X، تساوي -1. لذلك، كل شيء صحيح! من المؤسف أن هذا الأمر بسيط جدًا فقط بالنسبة للأمثلة التي يكون فيها x مربعًا نقيًا، مع معاملأ = 1.

لكن على الأقل تحقق من مثل هذه المعادلات! سيكون هناك عدد أقل وأقل من الأخطاء. الاستقبال ثالثا

. إذا كانت معادلتك تحتوي على معاملات كسرية، فتخلص من الكسور! اضرب المعادلة في قاسم مشترك كما هو موضح في الدرس "كيف تحل المعادلات؟ تحويلات الهوية." عند التعامل مع الكسور، تستمر الأخطاء في الزحف لسبب ما...

بالمناسبة، لقد وعدت بتبسيط المثال الشرير بمجموعة من السلبيات. لو سمحت! هنا هو.

لكي لا نخلط بين السلبيات، نضرب المعادلة في -1. نحصل على:

هذا كل شيء! الحل هو متعة!

لذلك دعونا نلخص الموضوع.

نصائح عملية: 1. قبل الحل، نأتي بالمعادلة التربيعية إلى الصورة القياسية ونبنيها.

2. إذا كان هناك معامل سالب أمام مربع X، فإننا نحذفه بضرب المعادلة بأكملها في -1.

3. إذا كانت المعاملات كسرية، فإننا نحذف الكسور بضرب المعادلة بأكملها في العامل المقابل.

4. إذا كانت x مربعة نقية، فإن معاملها يساوي واحدًا، ويمكن التحقق من الحل بسهولة باستخدام نظرية فييتا. افعلها!

الآن يمكننا أن نقرر.)

حل المعادلات:

8س 2 - 6س + 1 = 0

× 2 + 3س + 8 = 0

س 2 - 4س + 4 = 0

(س+1) 2 + س + 1 = (س+1)(س+2)

الإجابات (في حالة من الفوضى):

لذلك يمكننا أن نكتب بثقة:
× 2 = 5

× 1.2 =2

× 1 = 2
× 2 = -0.5

س - أي رقم

× 1 = -3
× 2 = 3

لا توجد حلول

× 1 = 0.25
× 2 = 0.5

هل كل شيء مناسب؟ عظيم! المعادلات التربيعية ليست صداعك. الثلاثة الأولى عملت والباقي لم يعمل؟ إذن المشكلة ليست في المعادلات التربيعية. المشكلة هي في تحويلات متطابقة من المعادلات. ألقِ نظرة على الرابط، فهو مفيد.

لا يعمل تماما؟ أم أنها لا تعمل على الإطلاق؟ إذن سوف يساعدك القسم 555 في تفصيل كل هذه الأمثلة هناك. معروض رئيسيأخطاء في الحل. بالطبع، نتحدث أيضًا عن استخدام التحويلات المتطابقة في حل المعادلات المختلفة. يساعد كثيرا!

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

آمل أنه بعد دراسة هذه المقالة سوف تتعلم كيفية العثور على جذور معادلة تربيعية كاملة.

باستخدام التمييز، يتم حل المعادلات التربيعية الكاملة فقط؛ ولحل المعادلات التربيعية غير الكاملة، يتم استخدام طرق أخرى، ستجدها في مقال “حل المعادلات التربيعية غير الكاملة”.

ما المعادلات التربيعية تسمى كاملة؟ هذا معادلات من الشكل الفأس 2 + ب س + ج = 0حيث المعاملات a وb وc لا تساوي الصفر. إذن، لحل معادلة تربيعية كاملة، علينا حساب المميز D.

د = ب 2 - 4أ.

اعتمادًا على قيمة المميز، سنكتب الإجابة.

إذا كان المميز رقمًا سالبًا (D< 0),то корней нет.

إذا كان المميز صفرًا، فإن x = (-b)/2a. عندما يكون المميز رقمًا موجبًا (D > 0)،

ثم x 1 = (-b - √D)/2a، وx 2 = (-b + √D)/2a.

على سبيل المثال. حل المعادلة - ما هو أصغر و– 4س + 4= 0.

د = 4 2 - 4 4 = 0

س = (- (-4))/2 = 2

الجواب: 2.

حل المعادلة 2 - ما هو أصغر و + س + 3 = 0.

د = 1 2 – 4 2 3 = – 23

الجواب: لا جذور.

حل المعادلة 2 - ما هو أصغر و + 5س – 7 = 0.

د = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

× 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

× 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

الجواب: – 3.5؛ 1.

لذلك دعونا نتخيل حل المعادلات التربيعية الكاملة باستخدام الرسم البياني في الشكل 1.

باستخدام هذه الصيغ يمكنك حل أي معادلة تربيعية كاملة. عليك فقط أن تكون حذرا ل تمت كتابة المعادلة على أنها كثيرة الحدود بالشكل القياسي

أ - ما هو أصغر و + بكس + ج،وإلا قد ترتكب خطأ. على سبيل المثال، عند كتابة المعادلة x + 3 + 2x 2 = 0، يمكنك أن تقرر بالخطأ أن

أ = 1، ب = 3، ج = 2. ثم

د = 3 2 – 4 1 2 = 1 ثم للمعادلة جذرين. وهذا ليس صحيحا. (انظر حل المثال 2 أعلاه).

لذلك، إذا لم تتم كتابة المعادلة على هيئة كثيرة حدود بالشكل القياسي، فيجب أولاً كتابة المعادلة التربيعية الكاملة على هيئة كثيرة حدود بالشكل القياسي (يجب أن تأتي أحادية الحد ذات الأس الأكبر أولاً، أي أ - ما هو أصغر و ، ثم مع أقل – bxومن ثم عضو حر مع.

عند حل المعادلة التربيعية المختزلة والمعادلة التربيعية ذات المعامل الزوجي في الحد الثاني، يمكنك استخدام صيغ أخرى. دعونا نتعرف على هذه الصيغ. إذا كان الحد الثاني في معادلة تربيعية كاملة له معامل زوجي (b = 2k)، فيمكنك حل المعادلة باستخدام الصيغ الموضحة في الرسم البياني في الشكل 2.

تسمى المعادلة التربيعية الكاملة مخفضة إذا كان المعامل عند - ما هو أصغر و يساوي واحدًا والمعادلة تأخذ الشكل س 2 + بيكسل + ف = 0. يمكن إعطاء مثل هذه المعادلة للحل، أو يمكن الحصول عليها بقسمة جميع معاملات المعادلة على المعامل أ، واقفاً عند - ما هو أصغر و .

يوضح الشكل 3 رسمًا تخطيطيًا لحل المربع المصغر
المعادلات. دعونا نلقي نظرة على مثال لتطبيق الصيغ التي تمت مناقشتها في هذه المقالة.

مثال. حل المعادلة

3- ما هو أصغر و + 6س – 6 = 0.

دعونا نحل هذه المعادلة باستخدام الصيغ الموضحة في الرسم البياني في الشكل 1.

د = 6 2 - 4 3 (- 6) = 36 + 72 = 108

√د = √108 = √(36 3) = 6√3

× 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

× 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

الإجابة: –1 – √3؛ -1 + √3

يمكنك ملاحظة أن معامل x في هذه المعادلة هو رقم زوجي، أي b = 6 أو b = 2k، حيث k = 3. ثم دعونا نحاول حل المعادلة باستخدام الصيغ الموضحة في الرسم التخطيطي للشكل D 1 = 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(د 1) = √27 = √(3 9) = 3√3

× 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

س 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

الإجابة: –1 – √3؛ -1 + √3. مع ملاحظة أن جميع المعاملات في هذه المعادلة التربيعية قابلة للقسمة على 3 وبإجراء عملية القسمة نحصل على المعادلة التربيعية المختزلة x 2 + 2x – 2 = 0 حل هذه المعادلة باستخدام صيغ المعادلة التربيعية المختزلة
المعادلات الشكل 3.

د 2 = 2 2 - 4 (- 2) = 4 + 8 = 12

√(د ٢) = √١٢ = √(٣ ٤) = 2√3

س 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

× 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

الإجابة: –1 – √3؛ -1 + √3.

كما ترون، عند حل هذه المعادلة باستخدام صيغ مختلفة، حصلنا على نفس الإجابة. لذلك، بعد أن أتقنت تمامًا الصيغ الموضحة في الرسم البياني في الشكل 1، ستتمكن دائمًا من حل أي معادلة تربيعية كاملة.

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.

مدرسة كوبيفسكايا الريفية الثانوية

10 طرق لحل المعادلات التربيعية

الرئيس: باتريكيفا جالينا أناتوليفنا،

مدرس الرياضيات

قرية كوبيفو، 2007

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

1.4 المعادلات التربيعية للخوارزمي

1.5 المعادلات التربيعية في أوروبا الثالث عشر - القرن السابع عشر

1.6 حول نظرية فييتا

2. طرق حل المعادلات التربيعية

خاتمة

الأدب

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

إن الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى، بل أيضًا من الدرجة الثانية، حتى في العصور القديمة، كانت ناجمة عن الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مساحات قطع الأراضي وأعمال التنقيب ذات الطبيعة العسكرية أيضًا كما هو الحال مع تطور علم الفلك والرياضيات نفسها. يمكن حل المعادلات التربيعية حوالي عام 2000 قبل الميلاد. ه. البابليون.

باستخدام التدوين الجبري الحديث، يمكننا القول أنه في نصوصهم المسمارية، بالإضافة إلى النصوص غير الكاملة، مثل، على سبيل المثال، المعادلات التربيعية الكاملة:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

وقاعدة حل هذه المعادلات الواردة في النصوص البابلية تتطابق بشكل أساسي مع القاعدة الحديثة، لكن من غير المعروف كيف وصل البابليون إلى هذه القاعدة. تقريبًا جميع النصوص المسمارية التي تم العثور عليها حتى الآن تقدم فقط مشاكل مع حلول موضوعة في شكل وصفات، دون أي إشارة إلى كيفية العثور عليها.

على الرغم من التطور الكبير في علم الجبر في بابل، إلا أن النصوص المسمارية تفتقر إلى مفهوم العدد السالب والطرق العامة لحل المعادلات التربيعية.

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية.

لا تحتوي عملية حسابية ديوفانتوس على عرض منهجي للجبر، ولكنها تحتوي على سلسلة منهجية من المسائل، مصحوبة بتفسيرات ويتم حلها عن طريق بناء معادلات بدرجات مختلفة.

عند إنشاء المعادلات، يختار ديوفانتوس بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

وهنا، على سبيل المثال، إحدى مهامه.

المشكلة 11."أوجد رقمين مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96"

يعلل ديوفانتوس ما يلي: من شروط المشكلة يترتب على أن الأعداد المطلوبة غير متساوية، إذ لو كانت متساوية، فلن يكون ناتجها يساوي 96، بل 100. وبالتالي، سيكون أحدهما أكثر من نصف مجموعهم، أي. 10 + سوالآخر أقل، أي. 10. الفرق بينهما 2x .

ومن هنا المعادلة:

(10 + س)(10 - س) = 96

100 - × 2 = 96

× 2 - 4 = 0 (1)

من هنا س = 2. أحد الأرقام المطلوبة يساوي 12 ، آخر 8 . حل س = -2لأن ديوفانتوس غير موجود، لأن الرياضيات اليونانية كانت تعرف الأعداد الموجبة فقط.

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأعداد المطلوبة كمجهول، فسنصل إلى حل للمعادلة

ص(20 - ص) = 96,

ص 2 - 20ص + 96 = 0. (2)

ومن الواضح أنه باختيار نصف الفرق بين الأعداد المطلوبة باعتبارها المجهولة، يبسط ديوفانتوس الحل؛ تمكن من تقليل المشكلة إلى حل معادلة تربيعية غير مكتملة (1).

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

تم العثور على مشاكل المعادلات التربيعية بالفعل في الأطروحة الفلكية "Aryabhattiam"، التي جمعها عالم الرياضيات والفلكي الهندي Aryabhatta في عام 499. عالم هندي آخر، براهماجوبتا (القرن السابع)، أوجز قاعدة عامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد:

اه 2+ ب س = ج، أ > 0. (1)

في المعادلة (1)، المعاملات، باستثناء أ، يمكن أن تكون سلبية أيضًا. قاعدة براهماجوبتا هي في الأساس نفس حكمنا.

في الهند القديمة، كانت المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة شائعة. يقول أحد الكتب الهندية القديمة عن مثل هذه المسابقات ما يلي: "كما تضيء الشمس النجوم ببريقها، كذلك يتفوق العالم على مجد غيره في المجالس العامة، في اقتراح المسائل الجبرية وحلها". غالبًا ما يتم تقديم المشكلات في شكل شعري.

هذه إحدى مشاكل عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارز.

المشكلة 13.

"قطيع من القرود المرحة، واثني عشر على طول الكروم...

السلطات، بعد أن أكلت، استمتعت. بدأوا بالقفز والتعليق..

هناك هم في الساحة، الجزء الثامن كم عدد القرود هناك؟

لقد كنت أستمتع في المقاصة. قل لي، في هذه الحزمة؟

يشير حل بهاسكارا إلى أنه كان يعلم أن جذور المعادلات التربيعية ذات قيمتين (الشكل 3).

المعادلة المقابلة للمشكلة 13 هي:

( س /8) 2 + 12 = س

يكتب بهاسكارا تحت ستار:

× 2 - 64س = -768

ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى المربع، نضيف إلى كلا الطرفين 32 2 ، ثم الحصول على:

× 2 - 64س + 32 2 = -768 + 1024،

(س - 32) 2 = 256،

س - 32 = ± 16،

× 1 = 16، × 2 = 48.

1.4 المعادلات التربيعية في الخوارزمي

وقد ورد في رسالة الخوارزمي الجبرية تصنيف للمعادلات الخطية والتربيعية. أحصى المؤلف 6 أنواع من المعادلات، معبراً عنها كما يلي:

1) "المربعات تساوي الجذور" أي: الفأس 2 + ج = ب X.

2) "المربعات تساوي أرقاماً" أي: الفأس 2 = ج.

3) "الجذور تساوي العدد" أي. آه = س.

4) "المربعات والأعداد تساوي الجذور" أي: الفأس 2 + ج = ب X.

5) "المربعات والجذور تساوي الأعداد" أي: اه 2+ bx = س.

6) "الجذور والأعداد تساوي مربعات" أي: bx + ج = الفأس 2 .

وبالنسبة للخوارزمي، الذي تجنب استخدام الأعداد السالبة، فإن حدود كل من هذه المعادلات هي جمع وليست قابلة للطرح. في هذه الحالة، من الواضح أن المعادلات التي ليس لها حلول موجبة لا تؤخذ في الاعتبار. ويحدد المؤلف طرق حل هذه المعادلات باستخدام تقنيات الجبر والمقابلة. قراراته، بالطبع، لا تتزامن تماما مع قراراتنا. ناهيك عن أنها بلاغية بحتة، تجدر الإشارة، على سبيل المثال، إلى أنه عند حل معادلة تربيعية غير كاملة من النوع الأول

الخوارزمي، مثل جميع علماء الرياضيات قبل القرن السابع عشر، لا يأخذ في الاعتبار الحل الصفري، ربما لأنه في مسائل عملية محددة لا يهم. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة، يحدد الخوارزمي قواعد حلها باستخدام أمثلة عددية معينة، ثم البراهين الهندسية.

المشكلة 14."المربع والعدد 21 يساويان 10 جذور. العثور على الجذر" (مما يعني جذر المعادلة x 2 + 21 = 10x).

يبدو حل المؤلف كالتالي: اقسم عدد الجذور على النصف، ستحصل على 5، اضرب 5 في نفسه، اطرح 21 من الناتج، ما يتبقى هو 4. خذ الجذر من 4، تحصل على 2. اطرح 2 من 5 ، تحصل على 3، سيكون هذا هو الجذر المطلوب. أو أضف 2 إلى 5، لتحصل على 7، وهذا أيضًا جذر.

إن رسالة الخوارزمي هي أول كتاب وصل إلينا، والذي يحدد بشكل منهجي تصنيف المعادلات التربيعية ويعطي صيغ لحلها.

1.5 المعادلات التربيعية في أوروبا الثالث عشر - السابع عشر ب

تم تحديد صيغ حل المعادلات التربيعية على غرار الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في كتاب العداد، الذي كتبه عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي عام 1202. يتميز هذا العمل الضخم، الذي يعكس تأثير الرياضيات، سواء من بلاد الإسلام أو من اليونان القديمة، بشموليته ووضوح عرضه. قام المؤلف بشكل مستقل بتطوير بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات وكان الأول في أوروبا الذي اقترب من إدخال الأرقام السالبة. ساهم كتابه في نشر المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا، بل أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم استخدام العديد من المسائل من كتاب العداد في جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين السادس عشر والسابع عشر. والثامن عشر جزئيًا.

القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد:

× 2+ bx = ج،

لجميع المجموعات الممكنة من علامات المعاملات ب , وسوف ننجح. نفس الشيء مع المثال الثاني لكن ليس لدينا صفر هناتمت صياغته في أوروبا فقط في عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

اشتقاق صيغة حل المعادلة التربيعية بشكل عام متاح من فيث، لكن فيث لم يتعرف إلا على الجذور الموجبة. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. بالإضافة إلى الجذور الإيجابية، يتم أخذ الجذور السلبية في الاعتبار. فقط في القرن السابع عشر. بفضل عمل جيرارد، ديكارت، نيوتن وغيرهم من العلماء، تأخذ طريقة حل المعادلات التربيعية شكلا حديثا.

1.6 حول نظرية فييتا

النظرية التي تعبر عن العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وجذورها، والتي سميت باسم فييتا، صاغها لأول مرة في عام 1591 على النحو التالي: "إذا ب + د، مضروبا في أ - أ 2 ، يساوي دينار بحريني، الذي - التي أيساوي فيوعلى قدم المساواة د ».

لكي نفهم فييتا، علينا أن نتذكر ذلك أ، مثل أي حرف علة، يعني المجهول (لدينا X)، حروف العلة في، د- معاملات المجهول. في لغة الجبر الحديث، تعني صيغة فييتا المذكورة أعلاه: إذا كان هناك

(أ+ ب )س - س 2 = أب ,

× 2 - (أ + ب )س + أ ب = 0,

س 1 = أ، س 2 = ب .

من خلال التعبير عن العلاقة بين جذور ومعاملات المعادلات باستخدام صيغ عامة مكتوبة باستخدام الرموز، أثبت فييت التوحيد في طرق حل المعادلات. ومع ذلك، فإن رمزية فيتنام لا تزال بعيدة عن شكلها الحديث. لم يتعرف على الأعداد السالبة، وبالتالي، عند حل المعادلات، أخذ في الاعتبار فقط الحالات التي تكون فيها جميع الجذور موجبة.

2. طرق حل المعادلات التربيعية

المعادلات التربيعية هي الأساس الذي يقوم عليه صرح الجبر المهيب. تستخدم المعادلات التربيعية على نطاق واسع في حل المعادلات والمتباينات المثلثية والأسية واللوغاريتمية وغير العقلانية والمتعالية. نعلم جميعًا كيفية حل المعادلات التربيعية من المدرسة (الصف الثامن) حتى التخرج.

غالبًا ما تظهر المعادلات التربيعية عند حل المشكلات المختلفة في الفيزياء والرياضيات. في هذه المقالة سوف ننظر في كيفية حل هذه المساواة بطريقة عالمية "من خلال التمييز". وترد أيضًا أمثلة على استخدام المعرفة المكتسبة في المقالة.

ما هي المعادلات التي سنتحدث عنها؟

يوضح الشكل أدناه صيغة فيها x متغير غير معروف والرموز اللاتينية a، b، c تمثل بعض الأرقام المعروفة.

ويسمى كل من هذه الرموز بمعامل. كما ترون، يظهر الرقم "a" قبل المتغير x تربيع. هذه هي القوة القصوى للتعبير الممثل، ولهذا تسمى بالمعادلة التربيعية. ويستخدم اسمها الآخر غالبًا: معادلة من الدرجة الثانية. القيمة a نفسها هي معامل مربع (يقف مع المتغير تربيع)، b هو معامل خطي (وهو بجوار المتغير مرفوع إلى القوة الأولى)، وأخيرًا، الرقم c هو الحد الحر.

لاحظ أن نوع المعادلة الموضحة في الشكل أعلاه هو تعبير تربيعي كلاسيكي عام. بالإضافة إلى ذلك، هناك معادلات أخرى من الدرجة الثانية يمكن أن يكون فيها المعاملان b وc صفرًا.

عندما يتم تعيين مهمة حل المساواة المعنية، فهذا يعني أنه يجب العثور على قيم المتغير x التي تلبيها. هنا، أول شيء عليك أن تتذكره هو الشيء التالي: بما أن الدرجة القصوى لـ X هي 2، فإن هذا النوع من التعبير لا يمكن أن يحتوي على أكثر من حلين. هذا يعني أنه عند حل المعادلة، تم العثور على قيمتين لـ x ترضيها، فيمكنك التأكد من عدم وجود رقم ثالث، واستبداله بـ x، وستكون المساواة صحيحة أيضًا. تسمى حلول المعادلة في الرياضيات جذورها.

طرق حل المعادلات من الدرجة الثانية

وحل المعادلات من هذا النوع يتطلب معرفة بعض النظريات عنها. في دورة الجبر المدرسية، يتم النظر في 4 طرق مختلفة للحل. دعونا قائمة لهم:

• باستخدام التخصيم.
• باستخدام صيغة المربع الكامل؛
• من خلال تطبيق الرسم البياني للدالة التربيعية المقابلة؛
• باستخدام المعادلة التمييزية.

ميزة الطريقة الأولى هي بساطتها، ومع ذلك، لا يمكن استخدامها لجميع المعادلات. الطريقة الثانية عالمية ولكنها مرهقة إلى حد ما. تتميز الطريقة الثالثة بالوضوح، لكنها ليست دائما مريحة وقابلة للتطبيق. وأخيرًا، يعد استخدام المعادلة المميزة طريقة عامة وبسيطة إلى حد ما للعثور على جذور أي معادلة من الدرجة الثانية. لذلك، في هذه المقالة سننظر فيه فقط.

صيغة للحصول على جذور المعادلة

دعونا ننتقل إلى الصورة العامة للمعادلة التربيعية. لنكتبها: a*x²+ b*x + c =0. قبل استخدام طريقة حلها "من خلال التمييز"، يجب عليك دائمًا إحضار المساواة إلى شكلها المكتوب. أي أنه يجب أن يتكون من ثلاثة حدود (أو أقل إذا كانت b أو c تساوي 0).

على سبيل المثال، إذا كان هناك تعبير: x²-9*x+8 = -5*x+7*x²، فيجب عليك أولاً نقل جميع حدوده إلى جانب واحد من المساواة وإضافة الحدود التي تحتوي على المتغير x في نفس القوى.

في هذه الحالة ستؤدي هذه العملية إلى التعبير التالي: -6*x²-4*x+8=0، وهو ما يعادل المعادلة 6*x²+4*x-8=0 (هنا ضربنا اليسار و الجانبين الأيمن من المساواة بنسبة -1).

في المثال أعلاه، أ = 6، ب = 4، ج = -8. لاحظ أن جميع حدود المساواة قيد النظر يتم جمعها معًا دائمًا، فإذا ظهرت علامة "-"، فهذا يعني أن المعامل المقابل سلبي، مثل الرقم c في هذه الحالة.

بعد أن تناولنا هذه النقطة، دعونا ننتقل الآن إلى الصيغة نفسها، التي تتيح لنا الحصول على جذور المعادلة التربيعية. يبدو مثل الذي يظهر في الصورة أدناه.

كما يتبين من هذا التعبير، فإنه يسمح لك بالحصول على جذرين (انتبه إلى علامة "±"). للقيام بذلك، يكفي استبدال المعاملات ب، ج، وأ.

مفهوم التمييز

في الفقرة السابقة، تم تقديم صيغة تسمح لك بحل أي معادلة من الدرجة الثانية بسرعة. في ذلك، يسمى التعبير الجذري بالمميز، أي D = b²-4*a*c.

لماذا تم تمييز هذا الجزء من الصيغة، ولماذا يحمل اسمًا خاصًا به؟ الحقيقة هي أن المميز يربط المعاملات الثلاثة للمعادلة في تعبير واحد. الحقيقة الأخيرة تعني أنها تحمل معلومات كاملة عن الجذور، والتي يمكن التعبير عنها في القائمة التالية:

1. D>0: المساواة لها حلان مختلفان، وكلاهما أعداد حقيقية.
2. D=0: المعادلة لها جذر واحد فقط، وهو عدد حقيقي.

مهمة التحديد التمييزي

دعونا نعطي مثالا بسيطا لكيفية العثور على المميز. لنحصل على المساواة التالية: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

لنحولها إلى الصورة القياسية، نحصل على: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0، ومنها نصل إلى المساواة : -2*x² +2*x-11 = 0. هنا a=-2، b=2، c=-11.

يمكنك الآن استخدام الصيغة المذكورة أعلاه للمميز: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. الرقم الناتج هو الجواب على المهمة. وبما أن المميز في المثال أقل من الصفر، فيمكننا القول إن هذه المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية. سيكون حلها مجرد أرقام من النوع المعقد.

مثال على عدم المساواة من خلال التمييز

دعونا نحل مشاكل من نوع مختلف قليلاً: مع مراعاة المساواة -3*x²-6*x+c = 0. من الضروري العثور على قيم c التي لها D>0.

في هذه الحالة، لا يُعرف سوى 2 من أصل 3 معاملات، لذلك لا يمكن حساب قيمة المميز بدقة، ولكن من المعروف أنه موجب. نستخدم الحقيقة الأخيرة عند تكوين المتراجحة: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. يؤدي حل المتراجحة الناتجة إلى النتيجة: c>-3.

دعونا نتحقق من الرقم الناتج. للقيام بذلك، نحسب D لحالتين: c=-2 وc=-4. الرقم -2 يفي بالنتيجة التي تم الحصول عليها (-2>-3)، وسيكون للمميز المقابل القيمة: D = 12>0. وفي المقابل، فإن الرقم -4 لا يحقق المتراجحة (-4. وبالتالي، فإن أي أرقام c أكبر من -3 ستحقق الشرط.

مثال على حل المعادلة

دعونا نقدم مشكلة لا تتضمن إيجاد المميز فحسب، بل تتضمن أيضًا حل المعادلة. من الضروري إيجاد جذور المساواة -2*x²+7-9*x = 0.

في هذا المثال، المميز يساوي القيمة التالية: D = 81-4*(-2)*7= 137. ثم يتم تحديد جذور المعادلة على النحو التالي: x = (9±√137)/(- 4). هذه هي القيم الدقيقة للجذور؛ إذا قمت بحساب الجذر تقريبًا، فستحصل على الأرقام: x = -5.176 و x = 0.676.

مشكلة هندسية

دعونا نحل مشكلة لن تتطلب فقط القدرة على حساب المميز، ولكن أيضًا استخدام مهارات التفكير المجرد ومعرفة كيفية كتابة المعادلات التربيعية.

كان لدى بوب لحاف مقاس 5 × 4 أمتار. أراد الصبي أن يخيط له شريطًا مستمرًا من القماش الجميل حول المحيط بأكمله. ما مدى سُمك هذا الشريط إذا علمنا أن بوب لديه قماش مساحته 10 متر مربع.

لنفترض أن سمك الشريط x m، فإن مساحة القماش على طول الجانب الطويل من البطانية ستكون (5+2*x)*x، وبما أن هناك وجهين طويلين، لدينا: 2*x *(5+2*س). على الجانب القصير تكون مساحة القماش المخيط 4*x، وبما أن هناك وجهين من هذه الجوانب، نحصل على القيمة 8*x. لاحظ أنه تم إضافة القيمة 2*x إلى الجانب الطويل لأن طول البطانية زاد بهذا الرقم. المساحة الإجمالية للقماش المخيط للبطانية 10 متر مربع. وبالتالي نحصل على المساواة: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

في هذا المثال، المميز يساوي: D = 18²-4*4*(-10) = 484. جذره هو 22. باستخدام الصيغة، نجد الجذور المطلوبة: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5؛ 0.5). من الواضح أن الرقم 0.5 فقط من الجذرين هو المناسب وفقًا لظروف المشكلة.

وبالتالي، فإن شريط القماش الذي يخيطه بوب لبطانيته سيكون عرضه 50 سم.

قد يبدو هذا الموضوع معقدًا في البداية بسبب وجود العديد من الصيغ غير البسيطة. لا تحتوي المعادلات التربيعية نفسها على رموز طويلة فحسب، بل يمكن العثور على الجذور أيضًا من خلال المميز. في المجموع، تم الحصول على ثلاث صيغ جديدة. ليس من السهل أن نتذكر. وهذا ممكن فقط بعد حل مثل هذه المعادلات بشكل متكرر. ثم سيتم تذكر جميع الصيغ من تلقاء نفسها.

نظرة عامة على المعادلة التربيعية

نقترح هنا تدوينها الصريح، عندما يتم كتابة الدرجة الأكبر أولاً، ثم بترتيب تنازلي. غالبًا ما تكون هناك مواقف تكون فيها المصطلحات غير متناسقة. ومن الأفضل إعادة كتابة المعادلة بترتيب تنازلي لدرجة المتغير.

دعونا نقدم بعض التدوين. يتم عرضها في الجدول أدناه.

إذا قبلنا هذه الرموز، فسيتم تقليل جميع المعادلات التربيعية إلى الترميز التالي.

علاوة على ذلك، فإن المعامل أ ≠ 0. دع هذه الصيغة يتم تعيينها رقم واحد.

عند إعطاء معادلة، ليس من الواضح عدد الجذور الموجودة في الإجابة. لأن أحد الخيارات الثلاثة ممكن دائمًا:

• سيكون للحل جذرين؛
• الجواب سيكون رقم واحد؛
• المعادلة لن يكون لها جذور على الإطلاق.

وحتى يتم الانتهاء من القرار، من الصعب فهم الخيار الذي سيظهر في حالة معينة.

أنواع تسجيلات المعادلات التربيعية

قد تكون هناك إدخالات مختلفة في المهام. لن تبدو دائمًا مثل صيغة المعادلة التربيعية العامة. في بعض الأحيان سوف تفتقد بعض المصطلحات. ما كتب أعلاه هو المعادلة الكاملة. فإذا أزلت الحد الثاني أو الثالث فيه، تحصل على شيء آخر. وتسمى هذه السجلات أيضًا بالمعادلات التربيعية، ولكنها غير مكتملة.

علاوة على ذلك، فإن المصطلحات ذات المعاملين "b" و"c" فقط هي التي يمكن أن تختفي. الرقم "أ" لا يمكن أن يساوي الصفر تحت أي ظرف من الظروف. لأنه في هذه الحالة تتحول الصيغة إلى معادلة خطية. ستكون صيغ المعادلات غير الكاملة كما يلي:

لذلك، هناك نوعان فقط، بالإضافة إلى المعادلات الكاملة، هناك أيضًا معادلات تربيعية غير كاملة. دع الصيغة الأولى تكون رقم اثنين، والثانية - ثلاثة.

التمييز واعتماد عدد الجذور على قيمته

يجب أن تعرف هذا الرقم لتتمكن من حساب جذور المعادلة. ويمكن دائمًا حسابها، بغض النظر عن صيغة المعادلة التربيعية. لكي تتمكن من حساب المميز، عليك استخدام المساواة المكتوبة أدناه، والتي سيكون لها الرقم أربعة.

بعد استبدال قيم المعاملات في هذه الصيغة، يمكنك الحصول على أرقام بعلامات مختلفة. إذا كانت الإجابة بنعم، فإن إجابة المعادلة ستكون جذرين مختلفين. إذا كان الرقم سالبًا، فلن يكون هناك جذور للمعادلة التربيعية. وإذا كانت تساوي صفرًا، فسيكون هناك إجابة واحدة فقط.

كيفية حل معادلة تربيعية كاملة؟

في الواقع، لقد بدأ بالفعل النظر في هذه المسألة. لأنك تحتاج أولاً إلى العثور على المميز. بعد تحديد وجود جذور للمعادلة التربيعية ومعرفة عددها، عليك استخدام صيغ للمتغيرات. إذا كان هناك جذرين، فأنت بحاجة إلى تطبيق الصيغة التالية.

نظرًا لأنه يحتوي على علامة "±"، فسيكون هناك قيمتان. التعبير الموجود تحت علامة الجذر التربيعي هو المميز. ولذلك، يمكن إعادة كتابة الصيغة بشكل مختلف.

الصيغة رقم خمسة. ومن نفس السجل يتضح أنه إذا كان المميز يساوي صفرًا، فإن كلا الجذرين سيأخذان نفس القيم.

إذا لم يتم حل المعادلات التربيعية بعد، فمن الأفضل تدوين قيم جميع المعاملات قبل تطبيق الصيغ التمييزية والمتغيرة. في وقت لاحق هذه اللحظة لن تسبب صعوبات. ولكن في البداية هناك ارتباك.

كيفية حل معادلة تربيعية غير مكتملة؟

كل شيء أبسط بكثير هنا. ليست هناك حاجة حتى لصيغ إضافية. ولن تكون هناك حاجة لتلك التي تم كتابتها بالفعل للمميز والمجهول.

أولاً، دعونا نلقي نظرة على المعادلة غير المكتملة رقم اثنين. وفي هذه المساواة لا بد من إخراج الكمية المجهولة من الأقواس وحل المعادلة الخطية التي ستبقى بين قوسين. الجواب سيكون له جذرين. فالأول يساوي بالضرورة صفرًا، لأن هناك مضاعفًا يتكون من المتغير نفسه. وسيتم الحصول على الثانية عن طريق حل معادلة خطية.

يتم حل المعادلة غير الكاملة رقم ثلاثة عن طريق نقل الرقم من الجانب الأيسر للمساواة إلى اليمين. ثم عليك أن تقسم على المعامل الذي يواجه المجهول. كل ما تبقى هو استخراج الجذر التربيعي وتذكر كتابته مرتين بعلامات متضادة.

فيما يلي بعض الإجراءات التي ستساعدك على تعلم كيفية حل جميع أنواع المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية. سوف يساعدون الطالب على تجنب الأخطاء بسبب عدم الانتباه. يمكن أن تتسبب أوجه القصور هذه في الحصول على درجات سيئة عند دراسة الموضوع الشامل "المعادلات التربيعية (الصف الثامن)." وبعد ذلك، لن يلزم تنفيذ هذه الإجراءات باستمرار. لأن مهارة مستقرة سوف تظهر.

• تحتاج أولاً إلى كتابة المعادلة في الصورة القياسية. وهذا يعني أولاً الحد ذو الدرجة الأكبر للمتغير، ثم - بدون درجة، وأخيرًا - مجرد رقم.

• إذا ظهر ناقص قبل المعامل "أ"، فإنه يمكن أن يعقد العمل للمبتدئين في دراسة المعادلات التربيعية. من الأفضل التخلص منه. ولهذا الغرض، يجب ضرب المساواة بأكملها بـ "-1". وهذا يعني أن جميع المصطلحات سوف تتغير الإشارة إلى العكس.

• يوصى بالتخلص من الكسور بنفس الطريقة. ما عليك سوى ضرب المعادلة في العامل المناسب حتى يتم إلغاء المقامات.

أمثلة

مطلوب حل المعادلات التربيعية التالية:

س 2 − 7س = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

س 2 + 8 + 3س = 0؛

12س + س 2 + 36 = 0;

(س+1) 2 + س + 1 = (س+1)(س+2).

المعادلة الأولى: x 2 − 7x = 0. وهي غير كاملة، لذلك تم حلها كما هو موضح في الصيغة الثانية.

وبعد إخراجها من الأقواس يتبين أن: x (x - 7) = 0.

يأخذ الجذر الأول القيمة: x 1 = 0. وسيتم إيجاد الجذر الثاني من المعادلة الخطية: x - 7 = 0. ومن السهل أن ترى أن x 2 = 7.

المعادلة الثانية: 5س2 + 30 = 0. مرة أخرى غير كاملة. فقط يتم حلها كما هو موضح للصيغة الثالثة.

بعد نقل 30 إلى الجانب الأيمن من المعادلة: 5x 2 = 30. الآن أنت بحاجة إلى القسمة على 5. اتضح: x 2 = 6. ستكون الإجابات هي الأرقام: x 1 = √6، x 2 = - √6.

المعادلة الثالثة: 15 − 2x − x 2 = 0. فيما يلي، سيبدأ حل المعادلات التربيعية بإعادة كتابتها في الصورة القياسية: − x 2 − 2x + 15 = 0. الآن حان الوقت لاستخدام الطرف الثاني المفيد وضرب كل شيء في ناقص واحد. اتضح أن x 2 + 2x - 15 = 0. باستخدام الصيغة الرابعة، عليك حساب المميز: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. إنه رقم موجب. مما سبق يتبين أن المعادلة لها جذرين. يجب حسابها باستخدام الصيغة الخامسة. اتضح أن x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. ثم x 1 = 3، x 2 = - 5.

المعادلة الرابعة x 2 + 8 + 3x = 0 يتم تحويلها إلى هذا: x 2 + 3x + 8 = 0. ومميزها يساوي هذه القيمة: -23. وبما أن هذا الرقم سلبي، فإن الإجابة على هذه المهمة ستكون الإدخال التالي: "لا توجد جذور".

يجب إعادة كتابة المعادلة الخامسة 12x + x 2 + 36 = 0 على النحو التالي: x 2 + 12x + 36 = 0. وبعد تطبيق صيغة المميز يتم الحصول على الرقم صفر. وهذا يعني أنه سيكون له جذر واحد، وهو: x = -12/ (2 * 1) = -6.

المعادلة السادسة (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) تتطلب تحويلات، والتي تتمثل في حقيقة أنك بحاجة إلى إحضار مصطلحات مماثلة، وذلك بفتح الأقواس أولاً. بدل الأول يكون التعبير التالي: x 2 + 2x + 1. وبعد المساواة يظهر هذا المدخل: x 2 + 3x + 2. وبعد حساب الحدود المتشابهة تأخذ المعادلة الشكل: x 2 - س = 0. لقد أصبح غير مكتمل. لقد تمت بالفعل مناقشة شيء مشابه لهذا أعلى قليلاً. جذور هذا ستكون الأرقام 0 و 1.