من أي رقم يبدأ التقريب؟ كيفية تقريب الأرقام لأعلى ولأسفل باستخدام وظائف Excel

يتم تقريب الأرقام إلى أرقام أخرى - أعشار، ومئات، وعشرات، ومئات، وما إلى ذلك.

إذا تم تقريب رقم إلى أي رقم، فسيتم استبدال جميع الأرقام التي تلي هذا الرقم بأصفار، وإذا كانت بعد العلامة العشرية، فسيتم تجاهلها.

القاعدة رقم 1. إذا كان أول الأرقام المهملة أكبر من أو يساوي 5، فسيتم تضخيم آخر الأرقام المحتجزة، أي زيادتها بمقدار واحد.

مثال 1. بالنظر إلى الرقم 45.769، يجب تقريبه إلى أقرب رقم عشري. الرقم الأول الذي سيتم التخلص منه هو 6 ˃ 5. وبالتالي، يتم تضخيم آخر الأرقام المحتجزة (7)، أي زيادتها بمقدار واحد. وبالتالي فإن الرقم المقرب سيكون 45.8.

مثال 2. بالنظر إلى الرقم 5.165، يجب تقريبه إلى أقرب جزء من مائة. الرقم الأول الذي سيتم التخلص منه هو 5 = 5. وبالتالي، يتم تضخيم آخر الأرقام المحتجزة (6)، أي زيادتها بمقدار واحد. وبالتالي فإن الرقم المقرب سيكون 5.17.

القاعدة رقم 2. إذا كان أول رقم من الأرقام المهملة أقل من 5، فلن يتم إجراء أي تضخيم.

مثال: بالنظر إلى الرقم 45.749، يجب تقريبه إلى أقرب رقم عشري. الرقم الأول الذي سيتم التخلص منه هو 4

القاعدة رقم 3. إذا كان الرقم المهمل هو 5 ولا توجد أرقام مهمة خلفه، فسيتم التقريب إلى أقرب رقم زوجي. أي أن الرقم الأخير يبقى دون تغيير إذا كان زوجياً ويعزز إذا كان فردياً.

مثال 1: نقرب الرقم 0.0465 إلى العلامة العشرية الثالثة ونكتب - 0.046. نحن لا نقوم بالتكبير، لأن الرقم الأخير المخزن (6) زوجي.

مثال 2. نقرب الرقم 0.0415 إلى العلامة العشرية الثالثة، ونكتب - 0.042. نحن نحقق مكاسب، لأن الرقم الأخير المخزن (1) فردي.

§ 4. تقريب النتائج

تتم معالجة نتائج القياس في المختبرات باستخدام الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر، ومن المثير للدهشة كيف تعمل سلسلة طويلة من الأرقام العشرية بطريقة سحرية على العديد من الطلاب. يعتقدون أن "هذا أكثر دقة". ومع ذلك، فمن السهل أن نرى، على سبيل المثال، أن الإدخال a = 2.8674523 ± 0.076 لا معنى له. مع وجود خطأ قدره 0.076، فإن الأرقام الخمسة الأخيرة من الرقم لا تعني شيئًا على الإطلاق.

إذا ارتكبنا خطأً في أجزاء من مئات، فليس هناك إيمان بالأجزاء من الألف، ناهيك عن أجزاء من عشرة آلاف. سيكون التسجيل الصحيح للنتيجة 2.87 ± 0.08. ومن الضروري دائمًا إجراء التقريبات اللازمة حتى لا يكون هناك انطباع خاطئ بأن النتائج أكثر دقة مما هي عليه في الواقع.

قواعد التقريب

1. يتم تقريب خطأ القياس إلى أول رقم مهم، ويزداد دائمًا بمقدار واحد.
   أمثلة:

   8.27 ≈ 9	0.237 ≈ 0.3
   0.0862 ≈ 0.09	0.00035 ≈ 0.0004
   857.3 ≈ 900	43.5 ≈ 50

2. يتم تقريب نتائج القياس إلى ضمن الخطأ، أي. يجب أن يكون آخر رقم مهم في النتيجة في نفس مكان الخطأ.
   أمثلة:

   243.871 ± 0.026 ≈ 243.87 ± 0.03;
   243.871 ± 2.6 ≈ 244 ± 3;
   1053 ± 47 ≈ 1050 ± 50.

3. يتم تحقيق تقريب نتيجة القياس ببساطة عن طريق تجاهل الأرقام إذا كان الرقم الأول من الأرقام المهملة أقل من 5.
   أمثلة:

   8.337 (مقربًا لأقرب جزء من عشرة) ≈ 8.3؛
   833.438 (تقريبًا إلى أرقام صحيحة) ≈ 833؛
   0.27375 (مقربًا لأقرب جزء من مائة) ≈ 0.27.

4. إذا كان الرقم الأول الذي سيتم تجاهله أكبر من أو يساوي 5 (ورقم واحد أو أكثر يتبعه غير الصفر)، فسيتم زيادة الرقم الأخير المتبقي بمقدار واحد.
   أمثلة:

   8.3351 (تقريبًا إلى أجزاء من المائة) ≈ 8.34؛
   0.2510 (تقريبًا لأقرب جزء من عشرة) ≈ 0.3؛
   271.515 (تقريبًا إلى أعداد صحيحة) ≈ 272.

5. إذا كان الرقم الذي سيتم تجاهله هو 5 ولا توجد أرقام مهمة خلفه (أو هناك أصفار فقط)، فسيتم زيادة الرقم الأخير المتبقي بمقدار واحد عندما يكون فرديًا ويترك دون تغيير عندما يكون زوجيًا.
   أمثلة:

   0.875 (مقربًا إلى أقرب جزء من مائة) ≈ 0.88؛
   0.5450 (مقربًا إلى أقرب جزء من مائة) ≈ 0.54؛
   275.500 (تقريبًا للأعداد الصحيحة) ≈ 276؛
   276.500 (تقريبًا للأعداد الصحيحة) ≈ 276.

ملحوظة.

1. الأرقام المهمة هي الأرقام الصحيحة للرقم، باستثناء الأصفار الموجودة أمام الرقم. على سبيل المثال، 0.00807 يحتوي هذا الرقم على ثلاثة أرقام مهمة: 8، صفر بين 8 و7 و7؛ الأصفار الثلاثة الأولى غير مهمة.
   8.12 · 10 3 هذا العدد له 3 أرقام معنوية.
2. الإدخالات 15.2 و15.200 مختلفة. الإدخال 15,200 يعني أن الأجزاء من المائة والألف صحيحة. في التدوين 15.2، الأجزاء الكاملة والعاشرة صحيحة.
3. يتم تسجيل نتائج التجارب الفيزيائية فقط بأرقام كبيرة. توضع الفاصلة مباشرة بعد الرقم غير الصفر، ويضرب الرقم في عشرة إلى الدرجة المناسبة. عادة لا يتم كتابة الأصفار في بداية الرقم أو نهايته. على سبيل المثال، يتم كتابة الأرقام 0.00435 و 234000 على النحو التالي: 4.35·10 -3 و 2.34·10 5 . يعمل هذا الترميز على تبسيط العمليات الحسابية، خاصة في حالة الصيغ الملائمة للوغاريتمات.

الأرقام التي نتعامل معها في الحياة الواقعية هي من نوعين. بعضها ينقل القيمة الحقيقية بدقة، والبعض الآخر تقريبي فقط. يتم استدعاء الأوائل دقيق، ثانية - المقربين.

في الحياة الواقعية، يتم استخدام الأرقام التقريبية في أغلب الأحيان بدلاً من الأرقام الدقيقة، نظرًا لأن الأخيرة غير مطلوبة عادةً. على سبيل المثال، يتم استخدام القيم التقريبية عند تحديد الكميات مثل الطول أو الوزن. في كثير من الحالات، من المستحيل العثور على العدد الدقيق.

قواعد التقريب

للحصول على قيمة تقريبية، يجب تقريب الرقم الذي تم الحصول عليه نتيجة لأي إجراء، أي استبداله بأقرب رقم مستدير.

يتم تقريب الأرقام دائمًا إلى رقم معين. يتم تقريب الأعداد الطبيعية إلى عشرات، ومئات، وآلاف، وما إلى ذلك. وعند تقريب الأعداد إلى عشرات، يتم استبدالها بأرقام مستديرة تتكون فقط من عشرات صحيحة؛ وهذه الأعداد لها أصفار في مكان الوحدات. عند التقريب إلى المئات، يتم استبدال الأرقام بأرقام مستديرة تتكون فقط من مئات كاملة، أي أن الأصفار موجودة بالفعل في كل من خانة الآحاد وخانة العشرات. وهكذا.

يمكن تقريب الكسور العشرية بنفس طريقة تقريب الأعداد الطبيعية، أي إلى العشرات أو المئات، وما إلى ذلك. ولكن يمكن أيضًا تقريبها إلى أعشار، أو أجزاء من مائة، أو جزء من ألف، وما إلى ذلك. عند تقريب المنازل العشرية، لا يتم ملء الأرقام بالأصفار ، ولكن يتم التخلص منها ببساطة. وفي كلتا الحالتين يتم التقريب وفق قاعدة معينة:

إذا كان الرقم المهمل أكبر من أو يساوي 5 فيجب زيادة الرقم السابق بمقدار واحد، وإذا كان أقل من 5 فلا يتغير الرقم السابق.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة على تقريب الأرقام:

• قرب 43152 إلى أقرب ألف. هنا نحتاج إلى التخلص من 152 وحدة، حيث أن الرقم 1 يقع على يمين رقم الألف، ثم نترك الرقم السابق دون تغيير. القيمة التقريبية للرقم 43152، مقربة إلى أقرب ألف، هي 43000.
• قرب 43152 إلى أقرب مائة. الرقم الأول الذي سيتم تجاهله هو 5، مما يعني أننا نزيد الرقم السابق بمقدار واحد: 43152 ≈ 43200.
• قرب 43152 إلى أقرب عشرة: 43152 ≈ 43150.
• قرب 17.7438 إلى الوحدات: 17.7438 ≈ 18.
• قرب 17.7438 لأقرب رقم عشر: 17.7438 ≈ 17.7.
• قرب 17.7438 إلى أقرب جزء من مائة: 17.7438 ≈ 17.74.
• تقريب 17.7438 إلى جزء من الألف: 17.7438 ≈ 17.744.

تُسمى العلامة ≈ بعلامة المساواة التقريبية، ويُقرأ عليها "يساوي تقريبًا".

إذا كانت النتيجة أكبر من القيمة الأولية عند تقريب رقم، فسيتم استدعاء القيمة الناتجة القيمة التقريبية مع الزائدة، إذا كان أقل - القيمة التقريبية مع العيب:

7928 ≈ 8000، الرقم 8000 قيمة تقريبية مع زيادة
5102 ≈ 5000، الرقم 5000 هو قيمة تقريبية مع وجود عيب

يتعين عليك تقريب الأرقام في حياتك أكثر مما يعتقد الكثير من الناس. وهذا ينطبق بشكل خاص على الأشخاص الذين يعملون في المهن المتعلقة بالتمويل. الأشخاص الذين يعملون في هذا المجال مدربون جيدًا على هذا الإجراء. ولكن في الحياة اليومية هذه العملية تحويل القيم إلى شكل عدد صحيحليس من غير المألوف. لقد نسي الكثير من الناس بسهولة كيفية تقريب الأرقام مباشرة بعد المدرسة. دعونا نتذكر النقاط الرئيسية لهذا الإجراء.

رقم الجولة

قبل الانتقال إلى قواعد تقريب القيم، فإن الأمر يستحق الفهم ما هو الرقم المستدير. إذا كنا نتحدث عن الأعداد الصحيحة، فيجب أن تنتهي بالصفر.

يمكنك الإجابة بأمان على السؤال حول المكان الذي يمكن أن تكون فيه هذه المهارة مفيدة في الحياة اليومية - أثناء رحلات التسوق الأساسية.

باستخدام قاعدة الحساب التقريبية، يمكنك تقدير تكلفة مشترياتك والمبلغ الذي يجب أن تأخذه معك.

مع الأرقام المستديرة يكون من الأسهل إجراء العمليات الحسابية دون استخدام الآلة الحاسبة.

على سبيل المثال، إذا قاموا بشراء خضروات تزن 2 كجم 750 جرامًا في سوبر ماركت أو سوق، فغالبًا ما لا يذكرون في محادثة بسيطة مع المحاور الوزن الدقيق، لكنهم يقولون إنهم اشتروا 3 كجم من الخضروات. عند تحديد المسافة بين المناطق المأهولة بالسكان، يتم استخدام كلمة "حول" أيضًا. وهذا يعني جلب النتيجة إلى شكل مناسب.

تجدر الإشارة إلى أن بعض الحسابات في الرياضيات وحل المشكلات لا تستخدم دائمًا القيم الدقيقة. هذا صحيح بشكل خاص في الحالات التي يتم فيها تلقي الاستجابة جزء دوري لانهائي. فيما يلي بعض الأمثلة التي يتم فيها استخدام القيم التقريبية:

• يتم عرض بعض قيم الكميات الثابتة بشكل مستدير (الرقم "pi"، وما إلى ذلك)؛
• القيم الجدولية للجيب، وجيب التمام، والظل، وظل التمام، والتي يتم تقريبها إلى رقم معين.

انتبه!كما تبين الممارسة، فإن تقريب القيم للكل، بطبيعة الحال، يعطي خطأ، ولكن فقط خطأ ضئيل. كلما ارتفعت الرتبة، كلما كانت النتيجة أكثر دقة.

الحصول على قيم تقريبية

يتم تنفيذ هذه العملية الرياضية وفقًا لقواعد معينة.

ولكن لكل مجموعة من الأرقام فهي مختلفة. لاحظ أنه يمكنك تقريب الأعداد الصحيحة والكسور العشرية.

ولكن مع الكسور العادية لا تعمل العملية.

أولا يحتاجون تحويل إلى الكسور العشرية، ثم تابع الإجراء في السياق المطلوب.

قواعد تقريب القيم هي كما يلي:

• للأعداد الصحيحة - استبدال الأرقام التي تلي الرقم المقرب بالأصفار؛
• بالنسبة للكسور العشرية - تجاهل جميع الأرقام التي تتجاوز الرقم الذي يتم تقريبه.

على سبيل المثال، عند تقريب 303,434 إلى الآلاف، تحتاج إلى استبدال المئات والعشرات والآحاد بالأصفار، أي 303,000 في الكسور العشرية، 3.3333 التقريب لأقرب عشرة x، ما عليك سوى تجاهل جميع الأرقام اللاحقة والحصول على النتيجة 3.3.

القواعد الدقيقة لتقريب الأرقام

عند تقريب الكسور العشرية فإنه لا يكفي ببساطة تجاهل الأرقام بعد الرقم المقرب. يمكنك التحقق من ذلك من خلال هذا المثال. إذا تم شراء 2 كجم 150 جرامًا من الحلويات من متجر، فسيقولون أنه تم شراء حوالي 2 كجم من الحلويات. إذا كان الوزن 2 كجم 850 جم، فقم بتقريبه إلى حوالي 3 كجم. أي أنه من الواضح أنه في بعض الأحيان يتم تغيير الرقم المقرب. متى وكيف يتم ذلك، ستكون القواعد الدقيقة قادرة على الإجابة:

1. إذا كان الرقم الدائري متبوعًا برقم 0 أو 1 أو 2 أو 3 أو 4، فسيتم ترك الرقم الدائري دون تغيير، ويتم تجاهل جميع الأرقام اللاحقة.
2. إذا كان الرقم الذي يتم تقريبه متبوعًا برقم 5 أو 6 أو 7 أو 8 أو 9، فسيتم زيادة الرقم الذي يتم تقريبه بمقدار واحد، ويتم أيضًا تجاهل جميع الأرقام اللاحقة.

على سبيل المثال، كيفية تصحيح الكسر 7.41 تقريب الوحدات. تحديد الرقم الذي يلي الرقم. في هذه الحالة هو 4. لذلك، وفقا للقاعدة، يتم ترك الرقم 7 دون تغيير، ويتم التخلص من الأرقام 4 و 1. أي أننا نحصل على 7.

إذا تم تقريب الكسر 7.62، فإن الوحدات يتبعها الرقم 6. وفقًا للقاعدة، يجب زيادة 7 بمقدار 1، وتجاهل الرقمين 6 و 2. أي أن النتيجة ستكون 8.

توضح الأمثلة المقدمة كيفية تقريب الكسور العشرية إلى وحدات.

التقريب إلى الأعداد الصحيحة

تجدر الإشارة إلى أنه يمكنك التقريب إلى الوحدات بنفس طريقة التقريب إلى الأعداد الصحيحة. المبدأ هو نفسه. دعونا نتناول المزيد من التفاصيل حول تقريب الكسور العشرية إلى رقم معين في الجزء بأكمله من الكسر. لنتخيل مثالًا لتقريب 756.247 إلى العشرات. في المركز العاشر يوجد الرقم 5. وبعد المكان المدور يأتي الرقم 6. لذلك، وفقًا للقواعد، من الضروري إجراء الخطوات التالية:

• تقريب العشرات لكل وحدة؛
• وفي خانة الآحاد، تم استبدال الرقم 6؛
• يتم تجاهل الأرقام الموجودة في الجزء الكسري من الرقم؛
• النتيجة 760

دعونا ننتبه إلى بعض القيم التي لا تعكس فيها عملية التقريب الرياضي للأعداد الصحيحة حسب القواعد صورة موضوعية. إذا أخذنا الكسر 8.499، فعند تحويله وفقًا للقاعدة، نحصل على 8.

ولكن في جوهرها هذا ليس صحيحا تماما. إذا قمنا بالتقريب إلى أعداد صحيحة، نحصل أولاً على 8.5، ثم نتجاهل 5 بعد العلامة العشرية ونقرب لأعلى.

للنظر في خصوصيات تقريب رقم معين، من الضروري تحليل أمثلة محددة وبعض المعلومات الأساسية.

كيفية تقريب الأرقام إلى المئات

• لتقريب رقم إلى أجزاء من المئات، يجب عليك ترك رقمين بعد العلامة العشرية؛ ويتم تجاهل الباقي بالطبع. إذا كان الرقم الأول الذي سيتم تجاهله هو 0، 1، 2، 3 أو 4، فإن الرقم السابق يبقى دون تغيير.
• إذا كان الرقم المهمل هو 5، 6، 7، 8 أو 9، فأنت بحاجة إلى زيادة الرقم السابق بمقدار واحد.
• على سبيل المثال، إذا أردنا تقريب الرقم 75.748، فبعد التقريب نحصل على 75.75. إذا كان لدينا 19.912، فنتيجة للتقريب، أو بالأحرى، في غياب الحاجة إلى استخدامه، نحصل على 19.91. في حالة 19.912، لا يتم تقريب الرقم الذي يأتي بعد الأجزاء من المائة، لذا يتم تجاهله ببساطة.
• إذا كنا نتحدث عن الرقم 18.4893، فإن التقريب إلى أجزاء من المئات يحدث على النحو التالي: الرقم الأول الذي سيتم تجاهله هو 3، لذلك لا تحدث أي تغييرات. اتضح 18.48.
• في حالة الرقم 0.2254، لدينا الرقم الأول، والذي يتم تجاهله عند التقريب إلى أقرب مائة. هذا هو خمسة، مما يدل على أن الرقم السابق يحتاج إلى زيادة بمقدار واحد. أي أننا نحصل على 0.23.
• هناك أيضًا حالات يؤدي فيها التقريب إلى تغيير جميع الأرقام الموجودة في الرقم. على سبيل المثال، لتقريب الرقم 64.9972 إلى أقرب جزء من مائة، نرى أن الرقم 7 يُقرب الأرقام السابقة. نحصل على 65.00.

كيفية تقريب الأرقام إلى أرقام صحيحة

الوضع هو نفسه عند تقريب الأرقام إلى أعداد صحيحة. إذا كان لدينا، على سبيل المثال، 25.5، فبعد التقريب نحصل على 26. في حالة وجود عدد كاف من المنازل العشرية، يتم التقريب على النحو التالي: بعد تقريب 4.371251 نحصل على 4.

يتم التقريب إلى الأعشار بنفس الطريقة كما هو الحال مع الأجزاء من المئات. على سبيل المثال، إذا أردنا تقريب الرقم 45.21618، فسنحصل على 45.2. إذا كان الرقم الثاني بعد العاشر هو 5 أو أكثر، يتم زيادة الرقم السابق بمقدار واحد. على سبيل المثال، يمكنك تقريب 13.6734 لتحصل على 13.7.

من المهم الانتباه إلى الرقم الموجود قبل الرقم المقطوع. على سبيل المثال، إذا كان لدينا رقم 1.450، فبعد التقريب نحصل على 1.4. ومع ذلك، في حالة 4.851، فمن المستحسن التقريب إلى 4.9، لأنه بعد الخمسة لا تزال هناك وحدة.