حل المتباينات المثلثية باستخدام الصيغ. حل المتباينات المثلثية البسيطة
وزارة التربية والتعليم في جمهورية بيلاروسيا
مؤسسة تعليمية
"جامعة ولاية غوميل
سميت على اسم فرانسيسك سكارينا"
كلية الرياضيات
قسم الجبر والهندسة
مقبول للدفاع
رأس قسم شيميتكوف L.A.
المعادلات المثلثية والمتباينات
الدورات الدراسية
المنفذ:
طالب المجموعة M-51
سم. جورسكي
المشرف العلمي دكتوراه-ماجستير,
محاضر كبير
ف.ج. سافونوف
جوميل 2008
مقدمة
الطرق الأساسية لحل المعادلات المثلثية
التخصيم
حل المعادلات عن طريق تحويل منتج الدوال المثلثية إلى مجموع
حل المعادلات باستخدام صيغ الوسائط الثلاثية
الضرب ببعض الدوال المثلثية
المعادلات المثلثية غير القياسية
المتباينات المثلثية
اختيار الجذور
مهام الحل المستقل
خاتمة
قائمة المصادر المستخدمة
في العصور القديمة، نشأ علم المثلثات فيما يتعلق باحتياجات علم الفلك ومسح الأراضي والبناء، أي أنه كان ذو طبيعة هندسية بحتة ويمثل بشكل أساسي<<исчисление хорд>>. مع مرور الوقت، بدأت بعض اللحظات التحليلية تتخللها. في النصف الأول من القرن الثامن عشر، حدث تغيير حاد، وبعد ذلك اتخذ علم المثلثات اتجاهًا جديدًا وتحول نحو التحليل الرياضي. في هذا الوقت بدأ اعتبار العلاقات المثلثية بمثابة وظائف.
تعد المعادلات المثلثية من أصعب المواضيع في دورة الرياضيات المدرسية. تنشأ المعادلات المثلثية عند حل المشكلات في علم القياس والقياس المجسم وعلم الفلك والفيزياء وغيرها من المجالات. يتم العثور على المعادلات المثلثية والمتباينات بين مهام الاختبار المركزية سنة بعد سنة.
الفرق الأكثر أهمية بين المعادلات المثلثية والمعادلات الجبرية هو أن المعادلات الجبرية لها عدد محدود من الجذور، بينما المعادلات المثلثية لها عدد لا نهائي، مما يعقد اختيار الجذور بشكل كبير. ميزة أخرى محددة للمعادلات المثلثية هي الشكل غير الفريد لكتابة الإجابة.
تتناول هذه الأطروحة طرق حل المعادلات المثلثية والمتباينات.
تتكون الأطروحة من 6 أقسام.
يقدم القسم الأول المعلومات النظرية الأساسية: تعريف وخصائص الدوال المثلثية والعكسية؛ جدول قيم الدوال المثلثية لبعض الوسائط؛ والتعبير عن الدوال المثلثية بدلالة الدوال المثلثية الأخرى، وهو أمر مهم جداً لتحويل العبارات المثلثية، خاصة تلك التي تحتوي على دوال مثلثية عكسية؛ بالإضافة إلى الصيغ المثلثية الأساسية، المعروفة جيدًا في الدورة المدرسية، يتم تقديم الصيغ التي تبسط التعبيرات التي تحتوي على وظائف مثلثية عكسية.
ويوضح القسم الثاني الطرق الأساسية لحل المعادلات المثلثية. وينظر في حل المعادلات المثلثية الأولية، وطريقة التحليل، وطرق اختزال المعادلات المثلثية إلى معادلات جبرية. نظرًا لأن حلول المعادلات المثلثية يمكن كتابتها بعدة طرق، كما أن شكل هذه الحلول لا يسمح للمرء بتحديد ما إذا كانت هذه الحلول متماثلة أم مختلفة على الفور، الأمر الذي قد<<сбить с толку>> عند حل الاختبارات يراعى المخطط العام لحل المعادلات المثلثية ويراعى بالتفصيل تحويل مجموعات الحلول العامة للمعادلات المثلثية.
ويتناول القسم الثالث المعادلات المثلثية غير القياسية، والتي تعتمد حلولها على المنهج الوظيفي.
ويناقش القسم الرابع المتباينات المثلثية. تتم مناقشة طرق حل المتباينات المثلثية الأولية، سواء على دائرة الوحدة أو بالطريقة الرسومية، بالتفصيل. يتم وصف عملية حل عدم المساواة المثلثية غير الأولية من خلال عدم المساواة الأولية وطريقة الفواصل الزمنية، المعروفة بالفعل لأطفال المدارس.
يعرض القسم الخامس المهام الأكثر صعوبة: عندما يكون من الضروري ليس فقط حل معادلة مثلثية، ولكن أيضًا اختيار الجذور من الجذور الموجودة التي تستوفي بعض الشروط. يقدم هذا القسم حلولاً لمهام اختيار الجذر النموذجية. يتم توفير المعلومات النظرية اللازمة لاختيار الجذور: تقسيم مجموعة من الأعداد الصحيحة إلى مجموعات فرعية منفصلة، وحل المعادلات في الأعداد الصحيحة (diaphantine).
يعرض القسم السادس مهام الحل المستقل المقدمة في شكل اختبار. تحتوي مهام الاختبار العشرين على أصعب المهام التي يمكن مواجهتها أثناء الاختبار المركزي.
المعادلات المثلثية الأولية
المعادلات المثلثية الأولية هي معادلات من الشكل حيث --- إحدى الدوال المثلثية: , , , .
المعادلات المثلثية الأولية لها عدد لا نهائي من الجذور. على سبيل المثال، القيم التالية تحقق المعادلة: , , إلخ. الصيغة العامة التي يتم من خلالها العثور على جميع جذور المعادلة، حيث، هي كما يلي:
هنا يمكن أن تأخذ أي قيم عددية، كل منها يتوافق مع جذر معين للمعادلة؛ في هذه الصيغة (وكذلك في الصيغ الأخرى التي يتم من خلالها حل المعادلات المثلثية الأولية) تسمى المعلمة. عادةً ما يكتبون، مما يؤكد على أن المعلمة يمكنها قبول أي قيم صحيحة.
تم العثور على حلول المعادلة، حيث، بواسطة الصيغة
يتم حل المعادلة باستخدام الصيغة
والمعادلة بالصيغة
دعونا نلاحظ بشكل خاص بعض الحالات الخاصة للمعادلات المثلثية الأولية، عندما يمكن كتابة الحل دون استخدام الصيغ العامة:
عند حل المعادلات المثلثية، تلعب دورة الدوال المثلثية دورًا مهمًا. لذلك، نقدم نظريتين مفيدتين:
نظرية إذا --- الفترة الرئيسية للدالة، فإن الرقم هو الفترة الرئيسية للدالة.
ويقال أن فترات الدوال متناسبة إذا كانت هناك أعداد طبيعية وذلك .
نظرية إذا كانت الدوال الدورية و ، متناسبة و ، فإن لديهم فترة مشتركة، وهي فترة الدوال، ، .
تنص النظرية على ما هي فترة الدالة، و، وليست بالضرورة الفترة الرئيسية. على سبيل المثال، الفترة الرئيسية للوظائف و --- ، والفترة الرئيسية لمنتجها --- .
تقديم حجة مساعدة
بالطريقة القياسية لتحويل تعبيرات النموذج 
هي التقنية التالية: دع --- الزاوية المعطاة بالمساواة 
, 
. لأي شخص، توجد مثل هذه الزاوية. هكذا . إذا، أو،،، في حالات أخرى.
مخطط لحل المعادلات المثلثية
المخطط الأساسي الذي سنتبعه عند حل المعادلات المثلثية هو كما يلي:
يتم تقليل حل معادلة معينة إلى حل المعادلات الأولية. الحل يعني: التحويلات، التحليل، استبدال المجهولات. المبدأ التوجيهي هو عدم فقدان جذورك. وهذا يعني أنه عند الانتقال إلى المعادلة (المعادلات) التالية، فإننا لا نخشى ظهور جذور إضافية (خارجية)، ولكن نهتم فقط بأن كل معادلة لاحقة من "السلسلة" (أو مجموعة من المعادلات في حالة التفرع) ) هو نتيجة للسابقة. إحدى الطرق الممكنة لاختيار الجذور هي الاختبار. نلاحظ على الفور أنه في حالة المعادلات المثلثية، فإن الصعوبات المرتبطة باختيار الجذور والتحقق، كقاعدة عامة، تزيد بشكل حاد مقارنة بالمعادلات الجبرية. بعد كل شيء، علينا التحقق من سلسلة تتكون من عدد لا حصر له من الحدود.
يجب الإشارة بشكل خاص إلى استبدال المجهول عند حل المعادلات المثلثية. في معظم الحالات، بعد الاستبدال اللازم، يتم الحصول على معادلة جبرية. علاوة على ذلك، ليس من النادر أن تكون المعادلات، على الرغم من أنها مثلثية في المظهر، ليست كذلك في الأساس، لأنه بعد الخطوة الأولى - تغيير المتغيرات - تتحول إلى جبرية، ولا تحدث العودة إلى علم المثلثات إلا بعد مرحلة حل الابتدائية المعادلات المثلثية.
ولنذكرك مرة أخرى: استبدال المجهول يجب أن يتم في أول فرصة؛ ويجب حل المعادلة الناتجة بعد الاستبدال حتى النهاية، بما في ذلك مرحلة اختيار الجذور، وعندها فقط يتم العودة إلى المجهول الأصلي.
إحدى ميزات المعادلات المثلثية هي أن الإجابة يمكن، في كثير من الحالات، كتابتها بطرق متنوعة. حتى لحل المعادلة 
يمكن كتابة الجواب على النحو التالي:
1) على شكل سلسلتين: 
, , ;
2) في النموذج القياسي، وهو مزيج من السلسلة المذكورة أعلاه: , ;
3) لأن 
، ثم يمكن كتابة الإجابة في النموذج 
، . (في ما يلي، فإن وجود المعلمة أو أو في سجل الاستجابة يعني تلقائيًا أن هذه المعلمة تقبل جميع القيم الصحيحة الممكنة. سيتم تحديد الاستثناءات.)
من الواضح أن الحالات الثلاث المذكورة لا تستنفد جميع إمكانيات كتابة الإجابة على المعادلة قيد النظر (هناك عدد لا نهائي منها).
على سبيل المثال، عندما تكون المساواة صحيحة 
. ولذلك، في الحالتين الأوليين، إذا، يمكننا استبدال بـ .
عادة ما يتم كتابة الإجابة على أساس النقطة 2. ومن المفيد أن نتذكر التوصية التالية: إذا لم ينتهي العمل بحل المعادلة، فلا يزال من الضروري إجراء البحث واختيار الجذور، ثم الشكل الأكثر ملاءمة للتسجيل تمت الإشارة إليه في النقطة 1. (ينبغي تقديم توصية مماثلة للمعادلة).
دعونا نفكر في مثال يوضح ما قيل.
مثال حل المعادلة.
حل.الطريقة الأكثر وضوحا هي ما يلي. وتنقسم هذه المعادلة إلى قسمين: و. وبحل كل منها والجمع بين الإجابات التي تم الحصول عليها نجد .
طريقة أخرى.منذ ذلك الحين، استبدال واستخدام الصيغ لتقليل الدرجة. بعد التحولات الصغيرة نحصل على من أين 
.
للوهلة الأولى، لا تتمتع الصيغة الثانية بأي مزايا خاصة مقارنة بالصيغة الأولى. ومع ذلك، إذا أخذنا، على سبيل المثال، يتبين أن، أي. المعادلة لها حل، بينما الطريقة الأولى تقودنا إلى الإجابة 
. "انظر" وأثبت المساواة 
ليس بهذه البساطة.
إجابة. .
تحويل ودمج مجموعات الحلول العامة للمعادلات المثلثية
سننظر في التقدم الحسابي الذي يمتد إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين. يمكن تقسيم أعضاء هذا التقدم إلى مجموعتين من الأعضاء، يقعون على يمين ويسار عضو معين يسمى العضو المركزي أو العضو الصفري في التقدم.
من خلال تثبيت أحد حدود التقدم اللانهائي برقم صفر، سيتعين علينا إجراء ترقيم مزدوج لجميع الحدود المتبقية: موجب للحد الموجود على يمينه، وسالب للحد الموجود على يسار الصفر.
بشكل عام، إذا كان فرق المتوالية هو الحد الصفري، فإن صيغة أي حد (ث) من المتتابعة الحسابية اللانهائية هي:
تحويلات الصيغة لأي حد من التقدم الحسابي اللانهائي
1. إذا أضفت أو طرحت فرق التقدم إلى الحد الصفري، فلن يتغير التقدم، بل سيتحرك الحد الصفري فقط، أي. سوف يتغير عدد الأعضاء
2. إذا تم ضرب معامل قيمة متغيرة، فلن يؤدي ذلك إلا إلى إعادة ترتيب مجموعتي الأعضاء اليمنى واليسرى.
3. إذا كانت فترات متتالية متوالية لا نهاية لها
على سبيل المثال، , , ..., , جعل المصطلحات المركزية للتقدم مع نفس الاختلاف تساوي:
ثم يعبر التقدم وسلسلة من التقدمات عن نفس الأرقام.
مثال يمكن استبدال الصف بالصفوف الثلاثة التالية: , , .
4. إذا كانت المتواليات اللانهائية بنفس الاختلاف لها أرقام حدود مركزية تشكل متوالية حسابية مع اختلاف، فيمكن استبدال هذه المتسلسلة بتقدم واحد مع اختلاف، وبحد مركزي يساوي أيًا من الحدود المركزية لهذه التقدمات، أي. لو
ثم يتم دمج هذه التقدمات في واحد:
مثال
كلاهما مجتمعين في مجموعة واحدة 
.
لتحويل المجموعات التي لها حلول مشتركة إلى مجموعات ليس لها حلول مشتركة، يتم تقسيم هذه المجموعات إلى مجموعات ذات فترة مشتركة، ثم محاولة توحيد المجموعات الناتجة، باستثناء المجموعات المتكررة.
التخصيم
طريقة التحليل هي كما يلي: إذا
ثم كل حل للمعادلة
هو الحل لمجموعة من المعادلات
العبارة العكسية، بشكل عام، خاطئة: ليس كل حل للسكان هو حل للمعادلة. ويفسر ذلك حقيقة أن حلول المعادلات الفردية قد لا يتم تضمينها في مجال تعريف الوظيفة.
مثال حل المعادلة.
حل.باستخدام الهوية المثلثية الأساسية، نمثل المعادلة في الصورة
إجابة.
; 
.
تحويل مجموع الدوال المثلثية إلى منتج
مثال
حل المعادلة 
.
حل.وبتطبيق الصيغة نحصل على المعادلة المكافئة
إجابة. .
مثال حل المعادلة.
حل.في هذه الحالة، قبل تطبيق الصيغ لمجموع الدوال المثلثية، يجب عليك استخدام صيغة التخفيض 
. ونتيجة لذلك، نحصل على المعادلة المكافئة
إجابة.
, 
.
حل المعادلات عن طريق تحويل منتج الدوال المثلثية إلى مجموع
عند حل عدد من المعادلات، يتم استخدام الصيغ.
مثال حل المعادلة
حل.
إجابة. , .
مثال حل المعادلة.
حل.وبتطبيق الصيغة نحصل على معادلة مكافئة:
إجابة. .
حل المعادلات باستخدام صيغ التخفيض
عند حل مجموعة واسعة من المعادلات المثلثية، تلعب الصيغ دورًا رئيسيًا.
مثال حل المعادلة.
حل.وبتطبيق الصيغة نحصل على معادلة مكافئة.
إجابة. ; .
حل المعادلات باستخدام صيغ الوسائط الثلاثية
مثال حل المعادلة.
حل.وبتطبيق الصيغة نحصل على المعادلة
إجابة. ; .
مثال
حل المعادلة 
.
حل.تطبيق الصيغ لتقليل الدرجة التي نحصل عليها: 
. بالتطبيق نحصل على:
إجابة. ; .
مساواة الدوال المثلثية التي تحمل الاسم نفسه
مثال حل المعادلة.
حل.
إجابة. , .
مثال
حل المعادلة 
.
حل.دعونا نحول المعادلة.
إجابة. .
مثال ومن المعروف أن وتحقيق المعادلة
العثور على المبلغ.
حل.من المعادلة يتبع ذلك
إجابة. .
دعونا نفكر في مبالغ النموذج
ويمكن تحويل هذه المبالغ إلى منتج عن طريق ضربها وقسمتها، ثم نحصل على ذلك
يمكن استخدام هذه التقنية لحل بعض المعادلات المثلثية، ولكن يجب أن يؤخذ في الاعتبار أنه نتيجة لذلك، قد تظهر جذور غريبة. دعونا نلخص هذه الصيغ:
مثال حل المعادلة.
حل.يمكن ملاحظة أن المجموعة هي حل للمعادلة الأصلية. لذلك، فإن ضرب طرفي المعادلة الأيسر والأيمن في لن يؤدي إلى ظهور جذور إضافية.
لدينا 
.
إجابة. ; .
مثال حل المعادلة.
حل.دعونا نضرب الجانبين الأيسر والأيمن للمعادلة ونطبق الصيغ لتحويل منتج الدوال المثلثية إلى مجموع، نحصل عليه
هذه المعادلة تعادل الجمع بين معادلتين و من أين و .
بما أن جذور المعادلة ليست جذور المعادلة، فيجب علينا استبعاد . هذا يعني أنه من الضروري استبعاد .
إجابة.و ، .
مثال
حل المعادلة 
.
حل.دعونا نحول التعبير:
سيتم كتابة المعادلة على النحو التالي:
إجابة. .
اختزال المعادلات المثلثية إلى معادلات جبرية
يمكن اختزالها إلى مربع
إذا كانت المعادلة من الشكل
ثم يؤدي الاستبدال إلى المربع، منذ ذلك الحين 
() و.
إذا كان بدلا من هذا المصطلح، فإن الاستبدال المطلوب سيكون.
معادلة
يختزل إلى معادلة تربيعية
العرض كما 
. من السهل التحقق مما لا يمثل جذورًا للمعادلة، ومن خلال إجراء الاستبدال، يتم تقليل المعادلة إلى معادلة تربيعية.
مثال حل المعادلة.
حل.دعنا ننقلها إلى الجانب الأيسر ونستبدلها بـ ونعبر عنها من خلال و .
وبعد التبسيط نحصل على : . قسّم المصطلح على المصطلح وقم بالاستبدال:
وبالعودة إلى نجد 
.
معادلات متجانسة فيما يتعلق ،
النظر في معادلة النموذج
حيث أن , , ..., , أعداد حقيقية . في كل حد على الجانب الأيسر من المعادلة، درجات أحاديات الحد متساوية، أي أن مجموع درجات الجيب وجيب التمام هو نفسه ومتساوي. تسمى هذه المعادلة متجانسنسبة إلى و، ويتم استدعاء الرقم مؤشر التجانس .
ومن الواضح أنه إذا كانت المعادلة سوف تأخذ الشكل:
حلولها هي القيم التي، أي الأرقام، . المعادلة الثانية المكتوبة بين قوسين هي أيضًا متجانسة، لكن درجاتها أقل بمقدار درجة واحدة.
إذا كانت هذه الأرقام ليست جذور المعادلة.
عندما نحصل على: ، ويأخذ الجانب الأيسر من المعادلة (1) القيمة.
لذا، من أجل و، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على . ونتيجة لذلك نحصل على المعادلة:
والتي، عن طريق الاستبدال، يمكن بسهولة اختزالها إلى جبرية:
المعادلات المتجانسة مع مؤشر التجانس 1. عندما تكون لدينا المعادلة .
إذا كانت هذه المعادلة تعادل المعادلة من أين .
مثال حل المعادلة.
حل.وهذه المعادلة متجانسة من الدرجة الأولى. نقسم كلا الجزأين فنحصل على : , , .
إجابة. .
مثال في نحصل على معادلة متجانسة من النموذج
حل.
إذا قسمنا طرفي المعادلة على نحصل على المعادلة 
، والتي يمكن اختزالها بسهولة إلى مربع عن طريق الاستبدال: 
. لو 
فإن المعادلة لها جذور حقيقية . سيكون للمعادلة الأصلية مجموعتان من الحلول: , , .
لو 
، فالمعادلة ليس لها حلول.
مثال حل المعادلة.
حل.وهذه المعادلة متجانسة من الدرجة الثانية. بقسمة طرفي المعادلة على نحصل على: . دعونا , ثم , . , ; .
إجابة.
.
يتم تقليل المعادلة إلى معادلة النموذج
للقيام بذلك، يكفي استخدام الهوية 
على وجه الخصوص، يتم تقليل المعادلة إلى متجانسة إذا استبدلنا بها 
، فنحصل على معادلة مكافئة:
مثال حل المعادلة.
حل.دعنا نحول المعادلة إلى معادلة متجانسة:
دعونا نقسم طرفي المعادلة على 
، نحصل على المعادلة:
دعونا نأتي إلى المعادلة التربيعية: , , 
, 
, .
إجابة.
.
مثال حل المعادلة.
حل.لنقوم بتربيع طرفي المعادلة مع الأخذ في الاعتبار أن لهما قيمًا موجبة: , ,
فليكن، ثم نحصل 
, , .
إجابة. .
المعادلات حلها باستخدام الهويات 
ومن المفيد معرفة الصيغ التالية:
مثال حل المعادلة.
حل.باستخدام، نحصل على
إجابة.
نحن لا نقدم الصيغ نفسها، ولكن طريقة لاشتقاقها:
لذلك،
على نفس المنوال، .
مثال
حل المعادلة 
.
حل.دعونا نحول التعبير:
سيتم كتابة المعادلة على النحو التالي:
بالقبول نستقبل. ، . لذلك
إجابة. .
الاستبدال المثلثي العالمي
المعادلة المثلثية للنموذج
حيث --- دالة عقلانية بمساعدة الصيغ - وكذلك بمساعدة الصيغ - يمكن اختزالها إلى معادلة عقلانية فيما يتعلق بالوسائط،،،،،، وبعد ذلك يمكن اختزال المعادلة إلى معادلة عقلانية جبرية المعادلة فيما يتعلق باستخدام صيغ الاستبدال المثلثي الشامل
تجدر الإشارة إلى أن استخدام الصيغ يمكن أن يؤدي إلى تضييق OD للمعادلة الأصلية، لأنه غير محدد عند النقاط، لذلك في مثل هذه الحالات من الضروري التحقق مما إذا كانت الزوايا هي جذور المعادلة الأصلية .
مثال حل المعادلة.
حل.وفقا لشروط المهمة. بتطبيق الصيغ وإجراء الاستبدال، نحصل على
من أين و لذلك.
معادلات النموذج
معادلات النموذج، حيث --- كثيرة الحدود، يتم حلها باستخدام تغييرات المجهول
مثال حل المعادلة.
حل.إجراء الاستبدال ومراعاة ذلك نحصل عليه
أين ، . --- جذر غريب، لأن . جذور المعادلة 
نكون .
استخدام قيود الميزة
في ممارسة الاختبار المركزي، ليس من النادر أن نواجه معادلات يعتمد حلها على الدوال المحدودة و. على سبيل المثال:
مثال حل المعادلة.
حل.بما أن ، فإن الجانب الأيسر لا يتجاوز ويساوي إذا
للعثور على القيم التي تحقق كلتا المعادلتين، نتبع ما يلي. دعونا نحل أحدهما، ثم من بين القيم التي تم العثور عليها سنختار تلك التي ترضي الآخر.
لنبدأ بالثانية : . ثم ، 
.
من الواضح أنه سيكون هناك أرقام زوجية فقط .
إجابة. .
يتم تحقيق فكرة أخرى من خلال حل المعادلة التالية:
مثال
حل المعادلة 
.
حل.لنستخدم خاصية الدالة الأسية: , 
.
بإضافة هذه التفاوتات مصطلحًا تلو الآخر لدينا:
ولذلك، فإن الجانب الأيسر من هذه المعادلة يكون متساويًا إذا وفقط إذا تم استيفاء المتساويين:
أي أنه يمكن أن يأخذ القيم ، أو ، أو يمكن أن يأخذ القيم ، .
إجابة. , .
مثال
حل المعادلة 
.
حل.، . لذلك، 
.
إجابة. .
مثال حل المعادلة
حل.دعونا نشير إذن من تعريف الدالة المثلثية العكسية التي لدينا 
و 
.
وبما أن عدم المساواة يتبع من المعادلة، أي. . منذ و ثم و . ومع ذلك، لهذا السبب.
إذا و، ثم. وبما أنه قد ثبت ذلك من قبل، إذن.
إجابة. , .
مثال حل المعادلة
حل.نطاق القيم المقبولة للمعادلة هو .
أولا نظهر أن الوظيفة
لأي شيء، يمكن أن يأخذ القيم الإيجابية فقط.
لنتخيل الدالة كالتالي: .
منذ ذلك الحين يحدث، أي. 
.
ولذلك، لإثبات عدم المساواة، لا بد من إثبات ذلك 
. ولهذا الغرض، دعونا نتكعيب طرفي هذه المتباينة
ويشير عدم المساواة العددية الناتجة إلى ذلك. إذا أخذنا ذلك في الاعتبار أيضًا، فإن الطرف الأيسر من المعادلة غير سالب.
دعونا ننظر الآن إلى الجانب الأيمن من المعادلة.
لأن 
، الذي - التي
ومع ذلك، فمن المعروف أن 
. ويترتب على ذلك، أي. الجانب الأيمن من المعادلة لا يتجاوز . لقد ثبت سابقاً أن الطرف الأيسر من المعادلة غير سالب، وبالتالي فإن المساواة في لا يمكن أن تحدث إلا إذا كان الطرفان متساويين، وهذا ممكن فقط إذا كان .
إجابة. .
مثال حل المعادلة
حل.دعونا نشير إلى و 
. وبتطبيق متباينة كوشي وبونياكوفسكي نحصل على . ويترتب على ذلك 
. ومن ناحية أخرى، هناك 
. وبالتالي فإن المعادلة ليس لها جذور.
إجابة. .
مثال حل المعادلة:
حل.دعونا نعيد كتابة المعادلة على النحو التالي:
إجابة. .
الطرق الوظيفية لحل المعادلات المثلثية والمجمعة
لا يمكن اختزال كل معادلة نتيجة للتحولات إلى معادلة ذات شكل قياسي أو آخر، حيث توجد طريقة حل محددة لها. في مثل هذه الحالات، يكون من المفيد استخدام خصائص الوظائف مثل الرتابة، والحدود، والتكافؤ، والدورية، وما إلى ذلك. لذلك، إذا انخفضت إحدى الوظائف وزادت الثانية على الفاصل الزمني، فإذا كانت المعادلة لها الجذر في هذا الفاصل الزمني، هذا الجذر فريد، ومن ثم، على سبيل المثال، يمكن العثور عليه عن طريق التحديد. إذا كانت الدالة محدودة من الأعلى، و ، والدالة محدودة من الأسفل، و ، فإن المعادلة مكافئة لنظام المعادلات
مثال حل المعادلة
حل.دعونا نحول المعادلة الأصلية إلى النموذج
وحلها باعتبارها من الدرجة الثانية نسبة إلى . ثم نحصل على
دعونا نحل المعادلة الأولى للسكان. مع الأخذ في الاعتبار الطبيعة المحدودة للدالة، توصلنا إلى نتيجة مفادها أن المعادلة لا يمكن أن يكون لها سوى جذر القطعة. في هذه الفترة تزداد الدالة، والدالة 
يتناقص. ولذلك، إذا كان لهذه المعادلة جذر، فهي فريدة من نوعها. نجد بالاختيار.
إجابة. .
مثال حل المعادلة
حل.دع و 
، فيمكن كتابة المعادلة الأصلية كمعادلة وظيفية. بما أن الدالة غريبة إذن . وفي هذه الحالة نحصل على المعادلة.
بما أن المعادلة رتيبة، فهي تعادل المعادلة، أي. 
، والتي لها جذر واحد.
إجابة. .
مثال
حل المعادلة 
.
حل.استنادا إلى نظرية مشتقة وظيفة معقدة، فمن الواضح أن الوظيفة 
التناقص (الدالة المتناقصة، المتزايدة، المتناقصة). ومن هذا يتضح أن الوظيفة 
محددة على ، والتناقص. ولذلك، فإن هذه المعادلة لها جذر واحد على الأكثر. لأن 
، الذي - التي
إجابة. .
مثال حل المعادلة.
حل.دعونا نفكر في المعادلة على ثلاث فترات.
أ) دع . ثم في هذه المجموعة المعادلة الأصلية تعادل المعادلة . والتي ليس لها حلول على الفترة، لأن 
،، أ. على الفترة، المعادلة الأصلية أيضًا ليس لها جذور، لأن 
، أ.
ب) دع . ثم في هذه المجموعة المعادلة الأصلية تعادل المعادلة
جذورها في الفترة هي الأرقام , , .
ج) دع . ثم في هذه المجموعة المعادلة الأصلية تعادل المعادلة
والتي ليس لها حلول في الفترة، لأن و . على الفترة، المعادلة أيضًا ليس لها حلول، لأن ،، أ.
إجابة. , , , .
طريقة التماثل
تعتبر طريقة التناظر ملائمة للاستخدام عندما تتطلب صياغة المهمة حلاً فريدًا لمعادلة أو متباينة أو نظام وما إلى ذلك. أو إشارة دقيقة لعدد الحلول. في هذه الحالة، ينبغي الكشف عن أي تماثل في التعبيرات المعطاة.
من الضروري أيضًا مراعاة تنوع أنواع التماثل المختلفة الممكنة.
ومن المهم بنفس القدر الالتزام الصارم بالمراحل المنطقية في التفكير المتماثل.
عادة، يسمح لنا التناظر بتحديد الشروط الضرورية فقط، ومن ثم نحتاج إلى التحقق من مدى كفايتها.
مثال ابحث عن جميع قيم المعلمة التي يكون للمعادلة حل فريد لها.
حل.لاحظ أن و هي دوال زوجية، لذا فإن الجانب الأيسر من المعادلة هو دالة زوجية.
وهذا يعني أنه إذا كان هناك حل للمعادلة، فهناك حل للمعادلة أيضًا. إذا كان هو الحل الوحيد للمعادلة، إذن ضروري , .
سوف نختار ممكنالقيم، والتي تتطلب أن يكون جذر المعادلة.
دعونا نلاحظ على الفور أن القيم الأخرى لا يمكن أن تلبي شروط المشكلة.
لكن ليس من المعروف بعد ما إذا كان جميع الذين تم اختيارهم يستوفون بالفعل شروط المهمة.
كفاية.
1) تأخذ المعادلة الشكل 
.
2) المعادلة تأخذ الشكل :
ومن الواضح أنه للجميع و 
. وبالتالي فإن المعادلة الأخيرة تعادل النظام:
وهكذا أثبتنا أن المعادلة لها حل فريد.
إجابة. .
الحل مع استكشاف الوظيفة
مثال اثبات أن جميع حلول المعادلة
أعداد كاملة.
حل.الدورة الرئيسية للمعادلة الأصلية هي . ولذلك، فإننا أولًا نفحص هذه المعادلة على الفترة.
دعنا نحول المعادلة إلى النموذج:
باستخدام الحاسبة الدقيقة نحصل على:
إذا، فمن المعادلات السابقة نحصل على:
وبحل المعادلة الناتجة نحصل على: .
تتيح الحسابات التي تم إجراؤها افتراض أن جذور المعادلة التي تنتمي إلى المقطع هي و .
الاختبار المباشر يؤكد هذه الفرضية. وبذلك ثبت أن جذور المعادلة ما هي إلا أعداد صحيحة .
مثال
حل المعادلة 
.
حل.دعونا نجد الفترة الرئيسية للمعادلة. الدالة لها فترة أساسية تساوي . الفترة الرئيسية للوظيفة هي . المضاعف المشترك الأصغر لـ و يساوي . وبالتالي فإن الدورة الرئيسية للمعادلة هي . يترك .
من الواضح أنه حل للمعادلة. على الفاصل. الدالة سلبية. ولذلك، ينبغي البحث عن جذور أخرى للمعادلة فقط على الفترات x و .
باستخدام الحاسبة الدقيقة، نقوم أولاً بإيجاد القيم التقريبية لجذور المعادلة. للقيام بذلك، نقوم بتجميع جدول قيم الوظائف 
على فترات و ; أي على فترات و .
| 0 | 0 | 202,5 | 0,85355342 |
| 3 | -0,00080306 | 207 | 0,6893642 |
| 6 | -0,00119426 | 210 | 0,57635189 |
| 9 | -0,00261932 | 213 | 0,4614465 |
| 12 | -0,00448897 | 216 | 0,34549155 |
| 15 | -0,00667995 | 219 | 0,22934931 |
| 18 | -0,00903692 | 222 | 0,1138931 |
| 21 | -0,01137519 | 225 | 0,00000002 |
| 24 | -0,01312438 | 228 | -0,11145712 |
| 27 | -0,01512438 | 231 | -0,21961736 |
| 30 | -0,01604446 | 234 | -0,32363903 |
| 33 | -0,01597149 | 237 | -0,42270819 |
| 36 | -0,01462203 | 240 | -0,5160445 |
| 39 | -0,01170562 | 243 | -0,60290965 |
| 42 | -0,00692866 | 246 | -0,65261345 |
| 45 | 0,00000002 | 249 | -0,75452006 |
| 48 | 0,00936458 | 252 | -0,81805397 |
| 51 | 0,02143757 | 255 | -0,87270535 |
| 54 | 0,03647455 | 258 | -0,91803444 |
| 57 | 0,0547098 | 261 | -0,95367586 |
| 60 | 0,07635185 | 264 | -0,97934187 |
| 63 | 0,10157893 | 267 | -0,99482505 |
| 66 | 0,1305352 | 270 | -1 |
| 67,5 | 0,14644661 |
من الجدول يمكن تمييز الفرضيات التالية بسهولة: جذور المعادلة التي تنتمي إلى القطعة هي الأرقام: ; ; . الاختبار المباشر يؤكد هذه الفرضية.
إجابة.
; 
; .
حل المتباينات المثلثية باستخدام دائرة الوحدة
عند حل المتباينات المثلثية في النموذج حيث تكون إحدى الدوال المثلثية، من المناسب استخدام دائرة مثلثية لتمثيل حلول المتباينة بشكل أوضح وكتابة الإجابة. الطريقة الرئيسية لحل المتباينات المثلثية هي اختزالها إلى أبسط المتباينات النوعية. دعونا نلقي نظرة على مثال لكيفية حل هذه التفاوتات.
مثال حل عدم المساواة.
حل.لنرسم دائرة مثلثية ونضع عليها النقاط التي يتجاوز فيها الإحداثي .
الحل لهذا التفاوت سيكون . ومن الواضح أيضًا أنه إذا اختلف عدد معين عن أي رقم من الفترة المحددة بـ فإنه لن يقل أيضًا عن . لذلك، تحتاج فقط إلى إضافة نهايات مقطع الحل الذي تم العثور عليه. وأخيرًا، نستنتج أن حلول المتباينة الأصلية ستكون كلها 
.
إجابة.
.
لحل المتباينات ذات المماس وظل التمام، يكون مفهوم خط المماس وظل التمام مفيدًا. هذه هي الخطوط المستقيمة، وهي على التوالي (في الشكل (1) و (2)) مماسة للدائرة المثلثية.
من السهل أن نرى أنه إذا قمنا ببناء شعاع أصله عند أصل الإحداثيات، وصنع زاوية مع الاتجاه الموجب لمحور الإحداثيات، فإن طول القطعة من النقطة إلى نقطة تقاطع هذا الشعاع مع فإن خط الظل يساوي تمامًا ظل الزاوية التي يصنعها هذا الشعاع مع محور الإحداثي السيني. تحدث ملاحظة مماثلة بالنسبة لظل التمام.
مثال حل عدم المساواة.
حل.دعونا نشير إلى أن عدم المساواة سوف تتخذ أبسط شكل: . لنفكر في فترة زمنية تساوي أصغر فترة موجبة (LPP) للظل. في هذا الجزء، باستخدام خط الظلال، نثبت ذلك. دعونا نتذكر الآن ما يجب إضافته منذ وظائف NPP. لذا، 
. وبالعودة إلى المتغير نحصل على ذلك.
إجابة.
.
من الملائم حل المتباينات ذات الدوال المثلثية العكسية باستخدام الرسوم البيانية للدوال المثلثية العكسية. دعونا نظهر كيف يتم ذلك مع مثال.
حل المتباينات المثلثية بيانيا
لاحظ أنه إذا كانت دالة دورية، فمن الضروري لحل المتراجحة إيجاد حل لها على قطعة طولها مساوية لدورة الدالة. ستتكون جميع حلول المتراجحة الأصلية من القيم التي تم العثور عليها، بالإضافة إلى كل تلك التي تختلف عن تلك التي تم العثور عليها بواسطة أي عدد صحيح من فترات الدالة.
دعونا نفكر في حل مشكلة عدم المساواة ().
منذ ذلك الحين، ليس للمتباينة حلول. إذا كانت مجموعة حلول المتراجحة هي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.
يترك . دالة الجيب لها أصغر دورة موجبة، لذا يمكن حل المتراجحة أولًا على قطعة من الطول، على سبيل المثال، على القطعة. نحن نبني الرسوم البيانية للوظائف و (). تُعطى من خلال عدم المساواة في النموذج: ومن أين،
تم في هذا العمل دراسة طرق حل المعادلات المثلثية والمتباينات سواء على المستوى البسيط أو المستوى الأولمبي. تم النظر في الطرق الرئيسية لحل المعادلات المثلثية والمتباينات، سواء الخاصة --- المميزة فقط للمعادلات المثلثية والمتباينات --- والطرق الوظيفية العامة لحل المعادلات والمتباينات فيما يتعلق بالمعادلات المثلثية.
توفر الأطروحة المعلومات النظرية الأساسية: تعريف وخصائص الدوال المثلثية والعكسية. والتعبير عن الدوال المثلثية بدلالة الدوال المثلثية الأخرى، وهو أمر مهم جداً لتحويل العبارات المثلثية، خاصة تلك التي تحتوي على دوال مثلثية عكسية؛ بالإضافة إلى الصيغ المثلثية الأساسية، المعروفة جيدًا في الدورة المدرسية، يتم تقديم الصيغ التي تبسط التعبيرات التي تحتوي على وظائف مثلثية عكسية. وينظر في حل المعادلات المثلثية الأولية، وطريقة التحليل، وطرق اختزال المعادلات المثلثية إلى معادلات جبرية. نظرًا لأن حلول المعادلات المثلثية يمكن كتابتها بعدة طرق، ولا يسمح شكل هذه الحلول بتحديد ما إذا كانت هذه الحلول متماثلة أم مختلفة على الفور، يتم النظر في مخطط عام لحل المعادلات المثلثية والتحويل يتم النظر بالتفصيل في مجموعات الحلول العامة للمعادلات المثلثية. تتم مناقشة طرق حل المتباينات المثلثية الأولية، سواء على دائرة الوحدة أو بالطريقة الرسومية، بالتفصيل. يتم وصف عملية حل عدم المساواة المثلثية غير الأولية من خلال عدم المساواة الأولية وطريقة الفواصل الزمنية، المعروفة بالفعل لأطفال المدارس. يتم تقديم حلول للمهام النموذجية لاختيار الجذور. يتم توفير المعلومات النظرية اللازمة لاختيار الجذور: تقسيم مجموعة من الأعداد الصحيحة إلى مجموعات فرعية منفصلة، وحل المعادلات في الأعداد الصحيحة (diaphantine).
يمكن استخدام نتائج هذه الأطروحة كمواد تعليمية في إعداد الدورات الدراسية والأطروحات، في إعداد المواد الاختيارية لأطفال المدارس، ويمكن أيضًا استخدام العمل في إعداد الطلاب لامتحانات القبول والاختبار المركزي.
فيجودسكي يا.يا.، دليل الرياضيات الابتدائية. /فيجودسكي يا.يا. --- م: ناوكا، 1970.
إيغوديسمان أو.، الرياضيات في الامتحان الشفهي / إيغوديسمان أو. --- م: مطبعة إيريس، رولف، 2001.
أزاروف إيه آي، المعادلات/أزاروف آي آي، جلادون أو إم، فيدوسينكو في إس. --- مينيسوتا: تريفيوم، 1994.
ليتفينينكو ف.ن.، ورشة عمل حول الرياضيات الابتدائية / ليتفينينكو ف.ن.: التعليم، 1991.
Sharygin I.F. دورة اختيارية في الرياضيات: حل المشكلات / Sharygin I.F., Golubev V.I. --- م: التربية، 1991.
باردوشكين ف.، المعادلات المثلثية. اختيار الجذر / ب. باردوشكين ، أ.بروكوفييف.// الرياضيات، العدد 12، 2005 ص. 23--27.
Vasilevsky A.B.، مهام للعمل اللامنهجي في الرياضيات / Vasilevsky A.B. --- مينيسوتا: أسفيتا الشعبية. 1988. --- 176 ص.
سابونوف بي آي، تحويل واتحاد مجموعات الحلول العامة للمعادلات المثلثية / سابونوف بي آي // تعليم الرياضيات، العدد رقم 3، 1935.
بورودين P.، علم المثلثات. مواد امتحانات القبول في جامعة موسكو الحكومية [النص]/P. Borodin، V. Galkin، V. Panferov، I. Sergeev، V. Tarasov // الرياضيات رقم 1، 2005 ص. 36-48.
ساموسينكو إيه في، الرياضيات: الأخطاء النموذجية للمتقدمين: الدليل المرجعي / ساموسينكو إيه في، كازاتشينوك --- مينيسوتا: المدرسة العليا، 1991.
الذكاء الاصطناعي أزاروف، الأساليب الوظيفية والرسومية لحل مسائل الامتحانات / الذكاء الاصطناعي أزاروف، بارفينوف إس إيه، --- مينيسوتا: أفيرسيف، 2004.
عند حل المتباينات التي تحتوي على دوال مثلثية، يتم اختزالها إلى أبسط المتباينات بالشكل cos(t)>a, sint(t)=a وما شابه ذلك. وقد تم بالفعل حل أبسط المتباينات. دعونا نلقي نظرة على أمثلة مختلفة لطرق حل المتباينات المثلثية البسيطة.
مثال 1. حل المتراجحة sin(t) > = -1/2.
ارسم دائرة الوحدة. نظرًا لأن sin(t) حسب التعريف هو الإحداثي y، فإننا نحدد النقطة y = -1/2 على محور Oy. نرسم عبره خطًا مستقيمًا موازيًا لمحور الثور. عند تقاطع الخط المستقيم مع الرسم البياني لدائرة الوحدة، حدد النقطتين Pt1 وPt2. نقوم بربط أصل الإحداثيات بالنقطتين Pt1 وPt2 بقطعتين.
سيكون حل هذه المتباينة هو جميع نقاط دائرة الوحدة الواقعة فوق هذه النقاط. بمعنى آخر، سيكون الحل هو القوس l. والآن من الضروري الإشارة إلى الشروط التي بموجبها ستنتمي النقطة التعسفية إلى القوس l.
يقع Pt1 في نصف الدائرة الأيمن، وإحداثيته هو -1/2، ثم t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. لوصف النقطة Pt1، يمكنك كتابة الصيغة التالية:
t2 = بي - أركسين (-1/2) = 7*بي/6. ونتيجة لذلك، نحصل على عدم المساواة التالية ل:
نحن نحافظ على عدم المساواة. وبما أن دالة الجيب دورية، فهذا يعني أن الحلول ستتكرر كل 2*pi. نضيف هذا الشرط إلى المتباينة الناتجة لـ t ونكتب الإجابة.
الإجابة: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.
مثال 2.حل عدم المساواة cos(t).<1/2.
دعونا نرسم دائرة الوحدة. نظرًا لأن cos(t) هو الإحداثي x، وفقًا للتعريف، فإننا نحدد النقطة x = 1/2 على الرسم البياني على محور الثور.
نرسم خطًا مستقيمًا عبر هذه النقطة موازيًا لمحور أوي. عند تقاطع الخط المستقيم مع الرسم البياني لدائرة الوحدة، حدد النقطتين Pt1 وPt2. نقوم بربط أصل الإحداثيات بالنقطتين Pt1 وPt2 بقطعتين.
الحلول ستكون جميع نقاط دائرة الوحدة التي تنتمي إلى القوس l. لنوجد النقطتين t1 وt2.
t1 = أركوس(1/2) = بي/3.
t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.
حصلنا على عدم المساواة لـ t: pi/3 نظرًا لأن جيب التمام هو دالة دورية، فسيتم تكرار الحلول كل 2*pi. نضيف هذا الشرط إلى المتباينة الناتجة لـ t ونكتب الإجابة. الجواب: بي / 3 + 2 * بي * ن مثال 3.حل المتباينة tg(t)< = 1. فترة الظل تساوي باي. دعونا نجد الحلول التي تنتمي إلى المجال (-pi/2;pi/2) نصف الدائرة الأيمن. بعد ذلك، باستخدام دورية المماس، نكتب جميع حلول هذه المتباينة. لنرسم دائرة وحدة ونضع عليها خط مماسات. إذا كان t هو حل للمتراجحة، فإن إحداثي النقطة T = tg(t) يجب أن يكون أقل من أو يساوي 1. مجموعة هذه النقاط ستشكل الشعاع AT. مجموعة النقاط Pt التي تتوافق مع نقاط هذا الشعاع هي القوس l. علاوة على ذلك، فإن النقطة P(-pi/2) لا تنتمي إلى هذا القوس. معظم الطلاب لا يحبون عدم المساواة المثلثية. ولكن عبثا. كما اعتادت إحدى الشخصيات أن تقول، "أنت لا تعرف كيف تطبخها" إذن كيف "نطبخ" وما يجب تقديمه من عدم المساواة مع الجيب، سنكتشف ذلك في هذه المقالة. سنحلها بأبسط طريقة، وهي استخدام دائرة الوحدة. لذلك، أولا وقبل كل شيء، نحن بحاجة إلى الخوارزمية التالية. هام: دخوارزمية معينة لا يعملللمتباينات بالشكل $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$. من المهم أيضًا ملاحظة الحالات التالية، والتي تعتبر أكثر ملاءمة لحلها منطقيًا دون استخدام الخوارزمية المذكورة أعلاه. حالة خاصة 1.حل عدم المساواة: $\sin(x)\leq 1.$ نظرًا لأن نطاق قيم الدالة المثلثية $y=\sin(x)$ ليس أكبر من modulo $1$، فإن الجانب الأيسر من المتراجحة في أي$x$ من مجال التعريف (ومجال تعريف الجيب هو كل الأعداد الحقيقية) لا يزيد عن $1$. ولذلك نكتب في الإجابة: $x \in R$. عاقبة: $\sin(x)\geq -1.$ حالة خاصة 2.حل عدم المساواة: $ \ الخطيئة (س)< 1.$ وبتطبيق منطق مماثل للحالة الخاصة 1، نجد أن الجانب الأيسر من المتراجحة أقل من $1$ لجميع $x \in R$، باستثناء النقاط التي تمثل حلولاً للمعادلة $\sin(x) = 1$. وبحل هذه المعادلة سيكون لدينا: $x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$ وبالتالي نكتب في الإجابة: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$. عاقبة:يتم حل عدم المساواة بالمثل $\sin(x) > -1.$ مثال 1:حل عدم المساواة: $\sin(x) \geq \frac(1)(2).$ وبالتالي فإن الحل سوف يأخذ الشكل: $x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$ مثال 2:حل عدم المساواة: $ \ الخطيئة (س)< -\frac{1}{2}$ لنضع علامة على الإحداثي $-\frac(1)(2)$ على محور الجيب ونرسم خطًا مستقيمًا موازيًا لمحور جيب التمام ويمر عبر هذه النقطة. دعونا نحدد نقاط التقاطع. ولن يتم تظليلها، لأن عدم المساواة صارم. علامة عدم المساواة $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его: $\sin(x)=-\frac(1)(2)$ $x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$. بافتراض أن $n=0$، نجد نقطة التقاطع الأولى: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. منطقتنا تسير في الاتجاه السلبي من النقطة الأولى، مما يعني أننا جعلنا $n$ يساوي $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$. $x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right)، \n \in Z.$ مثال 3:حل عدم المساواة: $1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$ لا يمكن حل هذا المثال على الفور باستخدام خوارزمية. أولا، تحتاج إلى تحويله. نحن نفعل بالضبط ما سنفعله في المعادلة، لكن لا تنس الإشارة. القسمة أو الضرب على رقم سالب يؤدي إلى عكس ذلك! لذلك، دعونا ننقل كل ما لا يحتوي على دالة مثلثية إلى الجانب الأيمن. نحصل على: $- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$ دعونا نقسم الجانبين الأيسر والأيمن على $-2$ (لا تنس الإشارة!). سيكون لدينا: $\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$ مرة أخرى، لدينا متباينة لا يمكننا حلها باستخدام الخوارزمية. ولكن هنا يكفي تغيير المتغير: $t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$ نحصل على عدم المساواة المثلثية التي يمكن حلها باستخدام الخوارزمية: $\sin(t) \geq \frac(1)(2).$ تم حل هذه المتباينة في المثال 1، لذلك دعونا نستعير الإجابة من هناك: $t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$ ومع ذلك، فإن القرار لم ينته بعد. نحن بحاجة إلى العودة إلى المتغير الأصلي. $(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$ لنتخيل الفاصل الزمني كنظام: $\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n \end(array) \right.$ يوجد على الجانب الأيسر من النظام تعبير ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$)، والذي ينتمي إلى الفاصل الزمني. الحد الأيسر للفترة مسؤول عن المتباينة الأولى، والحد الأيمن مسؤول عن المتباينة الثانية. علاوة على ذلك، تلعب الأقواس دورًا مهمًا: إذا كان القوس مربعًا، فسيتم تخفيف عدم المساواة، وإذا كان مستديرًا، فسيكون صارمًا. مهمتنا هي الحصول على $x$ من اليسار في كلا عدم المساواة. دعنا ننقل $\frac(\pi)(6)$ من الجانب الأيسر إلى الجانب الأيمن، نحصل على: $\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(array) \right.$. بالتبسيط، لدينا: $\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n \end(array) \right.$ بضرب الجانبين الأيسر والأيمن بـ 4$، نحصل على: $\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $ بتجميع النظام في الفاصل الزمني، نحصل على الجواب: $x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$ طرق حل المتباينات المثلثية
الصلة.
تاريخياً، أعطيت المعادلات المثلثية والمتباينات مكانة خاصة في المناهج المدرسية. يمكننا القول أن علم المثلثات هو أحد أهم أقسام الدورة المدرسية وعلوم الرياضيات بأكملها بشكل عام. تحتل المعادلات المثلثية والمتباينات أحد الأماكن المركزية في مقرر الرياضيات بالمرحلة الثانوية سواء من حيث محتوى المادة التعليمية وطرق النشاط التعليمي والمعرفي التي يمكن وينبغي تكوينها أثناء دراستها وتطبيقها في حل أعداد كبيرة للمشاكل ذات الطبيعة النظرية والتطبيقية. يؤدي حل المعادلات المثلثية والمتباينات إلى إنشاء المتطلبات الأساسية لتنظيم معرفة الطلاب المتعلقة بجميع المواد التعليمية في علم المثلثات (على سبيل المثال، خصائص الدوال المثلثية، وطرق تحويل التعبيرات المثلثية، وما إلى ذلك) ويجعل من الممكن إقامة اتصالات فعالة مع المواد المدروسة في الجبر (المعادلات، تكافؤ المعادلات، المتباينات، التحويلات المتطابقة للتعبيرات الجبرية، إلخ). وبعبارة أخرى، فإن النظر في تقنيات حل المعادلات المثلثية والمتباينات ينطوي على نوع من نقل هذه المهارات إلى محتوى جديد. إن أهمية النظرية وتطبيقاتها العديدة هي دليل على أهمية الموضوع المختار. وهذا بدوره يسمح لك بتحديد أهداف وغايات وموضوع البحث الخاص بالدورة التدريبية. الغرض من الدراسة:
تعميم الأنواع المتاحة من المتباينات المثلثية، والأساليب الأساسية والخاصة لحلها، واختيار مجموعة من المهام لحل المتباينات المثلثية من قبل تلاميذ المدارس. أهداف البحث:
1. بناء على تحليل الأدبيات المتاحة حول موضوع البحث، قم بتنظيم المادة. 2. توفير مجموعة من المهام اللازمة لتعزيز موضوع "المتباينات المثلثية". موضوع الدراسة
هي عدم المساواة المثلثية في دورة الرياضيات المدرسية. موضوع البحث:
أنواع المتباينات المثلثية وطرق حلها. الأهمية النظرية
هو تنظيم المواد. الأهمية العملية:
تطبيق المعرفة النظرية في حل المشاكل. تحليل الطرق الشائعة الرئيسية لحل عدم المساواة المثلثية. طرق البحث
: تحليل الأدبيات العلمية، وتوليف وتعميم المعرفة المكتسبة، وتحليل حل المشكلات، والبحث عن الأساليب المثلى لحل عدم المساواة. §1.
أنواع المتباينات المثلثية والطرق الأساسية لحلها
1.1. أبسط المتباينات المثلثية
يُطلق على التعبيرين المثلثيين المتصلين بالعلامة أو > المتباينات المثلثية. حل المتباينة المثلثية يعني إيجاد مجموعة قيم المجهولات المتضمنة في المتراجحة التي تتحقق بها المتراجحة. يتم حل الجزء الرئيسي من المتباينات المثلثية عن طريق تقليلها إلى أبسط حل: قد تكون هذه طريقة للتحليل وتغيير المتغير ( يمكن حل أبسط المتباينات بطريقتين: استخدام دائرة الوحدة أو بيانيًا. يتركو(س
- واحدة من الوظائف المثلثية الأساسية. لحل عدم المساواة دعونا نعطي مثالا على خوارزمية لحل عدم المساواة خوارزمية لحل عدم المساواة 1. صياغة تعريف جيب الرقمس
على دائرة الوحدة. 3. على المحور الإحداثي، حدد النقطة بالإحداثياتأ
.
4. ارسم خطًا موازيًا لمحور الثور من خلال هذه النقطة وحدد نقاط تقاطعه مع الدائرة. 5. حدد قوسًا للدائرة، جميع نقاطها لها إحداثيات أقل منأ
.
6. حدد اتجاه الجولة (عكس اتجاه عقارب الساعة) واكتب الإجابة عن طريق إضافة فترة الدالة إلى نهايات الفترة2πn
,
خوارزمية لحل عدم المساواة 1. صياغة تعريف ظل الرقمس
على دائرة الوحدة. 2. ارسم دائرة الوحدة. 3. ارسم خطًا من المماسات وحدد نقطة بإحداثيات عليهاأ
.
4. قم بتوصيل هذه النقطة بالأصل ووضع علامة على نقطة تقاطع القطعة الناتجة مع دائرة الوحدة. 5. حدد قوسًا من الدائرة، جميع نقاطها لها إحداثيات على خط المماس أقل منأ
.
6. وضح اتجاه الاجتياز واكتب الإجابة مع مراعاة مجال تعريف الدالة مع إضافة نقطةن
,
يشار في الملحق إلى التفسير الرسومي لحلول أبسط المعادلات والصيغ لحل عدم المساواة بشكل عام (الملحقان 1 و 2). مثال 1.
حل عدم المساواة ارسم خطًا مستقيمًا على دائرة الوحدة كل المعانيذ
على الفاصل الزمني NM أكبر
، فإن جميع نقاط قوس AMB تلبي عدم المساواة هذا. في جميع زوايا الدوران، كبيرة الشكل 1 وبالتالي، فإن حل المتراجحة سيكون جميع القيم في الفترة أولئك. إجابة: 1.2. الطريقة الرسومية
من الناحية العملية، غالبًا ما تكون الطريقة الرسومية لحل المتباينات المثلثية مفيدة. دعونا نفكر في جوهر الطريقة باستخدام مثال عدم المساواة 1. إذا كانت الحجة معقدة (تختلف عنX
)، ثم استبدله بـر
.
2. نبني في مستوى إحداثي واحدلعبة
الرسوم البيانية الوظيفية 3. نجد مثل هذانقطتين متجاورتين من تقاطع الرسوم البيانية، بينهاموجة جيبيةيقعأعلى
مباشر 4. اكتب متباينة مزدوجة للوسيطةر
مع الأخذ في الاعتبار فترة جيب التمام (ر
سيكون بين الإحداثيات الموجودة). 5. قم بإجراء استبدال عكسي (العودة إلى الوسيطة الأصلية) والتعبير عن القيمةX
ومن المتباينة المزدوجة نكتب الإجابة على صورة فترة عددية. مثال 2.
حل عدم المساواة: . عند حل المتباينات باستخدام الطريقة الرسومية، من الضروري إنشاء رسوم بيانية للدوال بأكبر قدر ممكن من الدقة. دعونا نحول عدم المساواة إلى النموذج: دعونا نبني الرسوم البيانية للوظائف في نظام إحداثي واحد الشكل 2 تتقاطع الرسوم البيانية للوظائف عند النقطةأ
مع الإحداثيات إجابة: 1.3. الطريقة الجبرية
في كثير من الأحيان، يمكن اختزال المتباينة المثلثية الأصلية إلى متباينة جبرية (عقلانية أو غير عقلانية) من خلال استبدال مختار جيدًا. تتضمن هذه الطريقة تحويل المتباينة أو إدخال استبدال أو استبدال متغير. دعونا نلقي نظرة على أمثلة محددة لتطبيق هذه الطريقة. مثال 3.
التخفيض إلى أبسط شكل الشكل 3 إجابة: مثال 4.
حل عدم المساواة: أودز: استخدام الصيغ: لنكتب عدم المساواة في النموذج: أو الاعتقاد وبحل المتباينة الأخيرة باستخدام طريقة الفاصل نحصل على: الشكل 4 الشكل 5 إجابة: 1.4. طريقة الفاصل
مخطط عام لحل المتباينات المثلثية باستخدام طريقة الفاصل: عامل باستخدام الصيغ المثلثية. أوجد نقاط الانقطاع والأصفار للدالة وضعها على الدائرة. خذ أي نقطةل
(ولكن لم يتم العثور عليه سابقًا) واكتشف علامة المنتج. إذا كان حاصل الضرب موجبًا، فضع نقطة خارج دائرة الوحدة على الشعاع المقابل للزاوية. وإلا ضع النقطة داخل الدائرة. إذا حدثت نقطة ما عددًا زوجيًا من المرات، فإننا نسميها نقطة التعددية الزوجية؛ وإذا حدث عدد فردي من المرات، فإننا نسميها نقطة التعددية الفردية. ارسم الأقواس كما يلي: ابدأ من نقطةل
فإذا كانت النقطة التي تليها ذات تعدد فردي فإن القوس يقطع الدائرة عند هذه النقطة، وإذا كانت النقطة ذات تعدد زوجي فإنها لا تتقاطع. الأقواس الموجودة خلف الدائرة هي فترات موجبة؛ يوجد داخل الدائرة مساحات سلبية. مثال 5.
حل عدم المساواة نقاط السلسلة الأولى: نقاط السلسلة الثانية: تتكرر كل نقطة عددًا فرديًا من المرات، أي أن جميع النقاط ذات تعدد فردي. دعونا معرفة علامة المنتج في أرز. 6 إجابة: مثال 6
. حل عدم المساواة.
حل:
دعونا نجد أصفار التعبير .
يستلمعبد اللطيفم :
على قيم سلسلة دائرة الوحدةX
1
ممثلة بالنقاط دعونا الآن الرقم لذا، توقف تمامًاأ
يجب أن يتم اختياره على الشعاع الذي يشكل الزاوية الآن من هذه النقطةأ
ارسم خطًا متواصلًا متموجًا بالتسلسل لجميع النقاط المحددة. وفي نقاط الشكل 7 الجواب النهائي: ملحوظة.
إذا كان الخط المتموج، بعد اجتياز جميع النقاط المحددة على دائرة الوحدة، لا يمكن إرجاعه إلى النقطةأ
,
دون عبور الدائرة في مكان "غير قانوني"، فهذا يعني أنه حدث خطأ في الحل، وهو فقدان عدد فردي من الجذور. إجابة:
.
§2. مجموعة من المسائل لحل المتباينات المثلثية
في عملية تطوير قدرة تلاميذ المدارس على حل عدم المساواة المثلثية، يمكن أيضا تمييز 3 مراحل. 1. الإعدادية، 2. تطوير القدرة على حل المتباينات المثلثية البسيطة. 3. إدخال المتباينات المثلثية بأنواعها الأخرى. الغرض من المرحلة التحضيرية هو أنه من الضروري تنمية القدرة لدى أطفال المدارس على استخدام الدائرة المثلثية أو الرسم البياني لحل المتباينات، وهي: القدرة على حل عدم المساواة البسيطة في النموذج القدرة على بناء متباينات مزدوجة لأقواس دائرة الأعداد أو لأقواس الرسوم البيانية للوظائف؛ القدرة على إجراء التحويلات المختلفة للتعبيرات المثلثية. يوصى بتنفيذ هذه المرحلة في عملية تنظيم معرفة تلاميذ المدارس حول خصائص الدوال المثلثية. يمكن أن تكون الوسيلة الرئيسية هي المهام المقدمة للطلاب والتي يتم إجراؤها إما تحت إشراف المعلم أو بشكل مستقل، بالإضافة إلى المهارات التي تم تطويرها في حل المعادلات المثلثية. فيما يلي أمثلة على هذه المهام: 1
. ضع علامة على نقطة على دائرة الوحدة .
2.
في أي ربع من المستوى الإحداثي تقع النقطة؟ 3.
ضع علامة على النقاط الموجودة على الدائرة المثلثية 4.
تحويل التعبير إلى الدوال المثلثيةأناأرباع. أ) 5.
يتم إعطاء قوس MR.م
- وسطأنا-الربع الرابع،ر
- وسطثانياالربع الرابع. الحد من قيمة المتغيرر
من أجل: (إنشاء متباينة مزدوجة) أ) قوس MR؛ ب) أقواس RM. 6.
اكتب المتباينة المزدوجة للأقسام المحددة من الرسم البياني: أرز. 1 7.
حل عدم المساواة 8.
تحويل التعبير
.
في المرحلة الثانية من تعلم حل المتباينات المثلثية، يمكننا تقديم التوصيات التالية المتعلقة بمنهجية تنظيم أنشطة الطلاب. في هذه الحالة، من الضروري التركيز على مهارات الطلاب الحالية في العمل مع دائرة أو رسم بياني مثلثي، تم تشكيله أثناء حل أبسط المعادلات المثلثية. أولاً، يمكن تحفيز ضرورة الحصول على طريقة عامة لحل أبسط المتباينات المثلثية عن طريق التحول، على سبيل المثال، إلى متباينة الشكل ثانيًا، يجب على المعلم لفت انتباه الطلاب إلى طرق مختلفة لإكمال المهمة، وإعطاء مثال مناسب لحل المتراجحة بيانيًا واستخدام دائرة مثلثية. دعونا نفكر في الحلول التالية لعدم المساواة 1. حل المتراجحة باستخدام دائرة الوحدة. في الدرس الأول حول حل المتباينات المثلثية، سنقدم للطلاب خوارزمية حل مفصلة، والتي تعكس في عرض تقديمي خطوة بخطوة جميع المهارات الأساسية اللازمة لحل المتباينة. الخطوة 1.لنرسم دائرة وحدة ونحدد نقطة على المحور الإحداثي الخطوة 2.هذا الخط المستقيم يقسم الدائرة إلى قوسين. دعونا نختار الرقم الذي يصور الأرقام التي لها جيب أكبر من أرز. 2 الخطوة 3.حدد أحد طرفي القوس المحدد. لنكتب أحد الأرقام التي تمثلها هذه النقطة من دائرة الوحدة الخطوة 4.من أجل تحديد الرقم المقابل للنهاية الثانية للقوس المحدد، فإننا "نسير" على طول هذا القوس من النهاية المسماة إلى الطرف الآخر. وفي الوقت نفسه، تذكر أنه عند التحرك عكس اتجاه عقارب الساعة، فإن الأرقام التي سنمر بها تزيد (عند التحرك في الاتجاه المعاكس، ستنخفض الأرقام). لنكتب الرقم الموضح على دائرة الوحدة عند الطرف الثاني للقوس المحدد وهكذا نرى هذا التفاوت يجب أن يُطلب من الطلاب فحص الرسم بعناية ومعرفة سبب كل الحلول للمتباينة أرز. 3 من الضروري لفت انتباه الطلاب إلى حقيقة أنه عند حل عدم المساواة لوظيفة جيب التمام، نرسم خطًا مستقيمًا موازيًا للمحور الإحداثي. طريقة رسومية لحل عدم المساواة. نحن نبني الرسوم البيانية أرز. 4 ثم نكتب المعادلة ( العطاءن
القيم 0، 1، 2، نجد الجذور الثلاثة للمعادلة المجمعة). قيم أرز. 5 دعونا نلخص. لحل عدم المساواة ثالثًا، يتم تأكيد حقيقة مجموعة جذور المتباينة المثلثية المقابلة بوضوح شديد عند حلها بيانيًا. أرز. 6 من الضروري أن نوضح للطلاب أن الدورة، التي هي حل المتراجحة، تتكرر خلال نفس الفترة، أي ما يعادل دورة الدالة المثلثية. يمكنك أيضًا التفكير في رسم توضيحي مماثل للرسم البياني لدالة الجيب. رابعا، يُنصح بالعمل على تحديث تقنيات الطلاب لتحويل مجموع (الفرق) للدوال المثلثية إلى منتج، ولفت انتباه الطلاب إلى دور هذه التقنيات في حل المتباينات المثلثية. يمكن تنظيم هذا العمل من خلال إكمال الطلاب بشكل مستقل للمهام التي يقترحها المعلم، والتي نسلط الضوء من بينها على ما يلي: خامسا، يجب أن يطلب من الطلاب توضيح الحل لكل متباينة مثلثية بسيطة باستخدام رسم بياني أو دائرة مثلثية. يجب عليك بالتأكيد الانتباه إلى مدى ملاءمتها، وخاصة استخدام الدائرة، لأنه عند حل المتباينات المثلثية، يكون الرسم التوضيحي المقابل بمثابة وسيلة مريحة للغاية لتسجيل مجموعة الحلول لمتباينة معينة من المستحسن تعريف الطلاب بطرق حل المتباينات المثلثية التي ليست أبسطها وفق المخطط التالي: التحول إلى متباينة مثلثية محددة التحول إلى المعادلة المثلثية المقابلة للبحث المشترك (المعلم - الطلاب) عن حل نقل مستقل للمتباينة المثلثية تم العثور على طريقة لمتباينات أخرى من نفس النوع. من أجل تنظيم معرفة الطلاب حول علم المثلثات، نوصي باختيار مثل هذه المتباينات بشكل خاص، والتي يتطلب حلها تحويلات مختلفة يمكن تنفيذها في عملية حلها، وتركيز انتباه الطلاب على ميزاتها. وعلى هذا النحو من عدم المساواة الإنتاجية يمكننا أن نقترح، على سبيل المثال، ما يلي: وفي الختام، نعطي مثالا على مجموعة من المسائل لحل المتباينات المثلثية. 1. حل المتباينات: أ) ب) 5. أوجد جميع الحلول للمتباينات: أ) ;
ب) ;
الخامس) ز) د) 6. حل المتباينات: أ) ;
ب) ;
الخامس) ؛ ز) د) ؛ ه) ؛ و) 7. حل المتباينات: أ) ب) ;
الخامس) ؛ ز) . 8. حل المتباينات: أ) ;
ب) ;
الخامس) ؛ ز) د) ه) ؛ و) ح) . يُنصح بتقديم المهمتين 6 و7 للطلاب الذين يدرسون الرياضيات بمستوى متقدم، والمهمة 8 للطلاب في الفصول ذات الدراسة المتقدمة للرياضيات. §3. طرق خاصة لحل المتباينات المثلثية
الطرق الخاصة لحل المعادلات المثلثية - أي تلك الطرق التي لا يمكن استخدامها إلا لحل المعادلات المثلثية. تعتمد هذه الطرق على استخدام خصائص الدوال المثلثية، وكذلك على استخدام الصيغ والمتطابقات المثلثية المختلفة. 3.1. طريقة القطاع
دعونا نفكر في طريقة القطاع لحل المتباينات المثلثية. حل عدم المساواة في النموذج في طريقة الفاصل، كل عامل خطي من البسط والمقام من النموذج ويجب تذكر ما يلي: أ) عوامل النموذج ب) عوامل النموذج مثال 1.
حل المتباينات: أ) 3.2. طريقة الدائرة متحدة المركز
هذه الطريقة هي نظير لطريقة محاور الأعداد المتوازية لحل أنظمة عدم المساواة العقلانية. دعونا نفكر في مثال لنظام عدم المساواة. مثال 5.
حل نظام من المتباينات المثلثية البسيطة أولا، نحل كل متباينة على حدة (الشكل 5). في الزاوية اليمنى العليا من الشكل، سنشير إلى الوسيطة التي يتم النظر في الدائرة المثلثية لها. الشكل 5 بعد ذلك، نبني نظامًا من الدوائر متحدة المركز للحجّةX
. نرسم دائرة ونظللها حسب حل المتباينة الأولى، ثم نرسم دائرة نصف قطرها أكبر ونظللها حسب حل المتباينة الثانية، ثم نبني دائرة للمتباينة الثالثة ودائرة أساسية. نرسم الأشعة من مركز النظام عبر نهايات الأقواس بحيث تتقاطع مع جميع الدوائر. نشكل حلاً على الدائرة الأساسية (الشكل 6). الشكل 6 إجابة:
خاتمة
تم الانتهاء من جميع أهداف الدورة البحثية. المادة النظرية منظمة: يتم تقديم الأنواع الرئيسية من عدم المساواة المثلثية والطرق الرئيسية لحلها (الرسوم البيانية والجبرية وطريقة الفواصل الزمنية والقطاعات وطريقة الدوائر متحدة المركز). تم إعطاء مثال لحل عدم المساواة لكل طريقة. وأعقب الجزء النظري الجزء العملي. أنه يحتوي على مجموعة من المهام لحل المتباينات المثلثية. يمكن للطلاب استخدام هذه الدورات الدراسية للعمل المستقل. يمكن لأطفال المدارس التحقق من مستوى إتقان هذا الموضوع والتدرب على إكمال المهام ذات التعقيد المتفاوت. بعد دراسة الأدبيات ذات الصلة حول هذه المسألة، يمكننا أن نستنتج بوضوح أن القدرة والمهارات اللازمة لحل عدم المساواة المثلثية في الدورة المدرسية للجبر والتحليل الأولي مهمة للغاية، والتي يتطلب تطويرها جهدًا كبيرًا من جانب مدرس الرياضيات. لذلك، سيكون هذا العمل مفيدًا لمدرسي الرياضيات، لأنه يجعل من الممكن تنظيم تدريب الطلاب بشكل فعال حول موضوع "المتباينات المثلثية". ويمكن مواصلة البحث من خلال توسيعه إلى العمل التأهيلي النهائي.
قائمة الأدب المستخدم
بوغومولوف، ن.ف. مجموعة من المشاكل في الرياضيات [نص] / ن.ف. بوجومولوف. – م: حبارى، 2009. – 206 ص. فيجودسكي ، م.يا. دليل الرياضيات الابتدائية [النص] / M.Ya. فيجودسكي. – م: حبارى، 2006. – 509 ص. زوربينكو ، إل.ن. الرياضيات في الأمثلة والمسائل [نص] / L.N. زوربينكو. – م: إنفرا-م، 2009. – 373 ص. إيفانوف، أ. الرياضيات الابتدائية لأطفال المدارس والطلاب والمعلمين [النص] / O.A. إيفانوف. – م: MTsNMO، 2009. – 384 ص. كارب، أ.ب. واجبات في الجبر وبدايات التحليل لتنظيم التكرار النهائي والشهادة في الصف الحادي عشر [نص] / أ.ب. الكارب. – م: التربية، 2005. – 79 ص. كولانين، إ.د. 3000 مشكلة منافسة في الرياضيات [نص] / إ.د. كولانين. – م: مطبعة القزحية، 2007. – 624 ص. ليبسون، ك.ل. مجموعة من المهام العملية في الرياضيات [النص] / ك.ل. ليبسون. – م: حبارى، 2010. – 182 ص. الكوع، V. V. مشاكل المعلمات وحلها. علم المثلثات: المعادلات والمتباينات والأنظمة. الصف العاشر [النص] / ف.ف. مِرفَق. – م: أركتي، 2008. – 64 ص. مانوفا، أ.ن. الرياضيات. مدرس سريع للتحضير لامتحان الدولة الموحدة: طالب. دليل [نص] / أ.ن. مانوفا. – روستوف على نهر الدون: فينيكس، 2012. – 541 ص. موردكوفيتش، أ.ج. الجبر وبدايات التحليل الرياضي. 10-11 درجات. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام [نص] / أ.ج. موردكوفيتش. – م: مطبعة القزحية، 2009. – 201 ص. نوفيكوف، أ. الدوال المثلثية والمعادلات والمتباينات [النص] / A.I. نوفيكوف. – م.: فيزماتليت، 2010. – 260 ص. أوغانيسيان، ف.أ. طرق تدريس الرياضيات في المرحلة الثانوية: المنهجية العامة. كتاب مدرسي دليل لطلاب الفيزياء - حصيرة. وهمية. رقم التعريف الشخصي. انست. [نص] / ف.أ. اوغانيسيان. – م: التربية، 2006. – 368 ص. أولنيك، إس.إن. المعادلات والمتباينات. طرق الحل غير القياسية [نص] / S.N. أولنيك. – م: دار النشر المعملية، 1997. – 219 ص. سيفريوكوف، ب.ف. المعادلات والمتباينات المثلثية والأسية واللوغاريتمية [نص] / ب.ف. سيفريوكوف. – م: التعليم العام، 2008. – 352 ص. سيرجيف ، آي.إن. امتحان الدولة الموحد: 1000 مشكلة مع الإجابات والحلول في الرياضيات. جميع مهام المجموعة C [نص] / I.N. سيرجيف. – م: الامتحان 2012. – 301 ص. سوبوليف، أ.ب. الرياضيات الابتدائية [النص] / أ.ب. سوبوليف. – ييكاتيرينبرج: المؤسسة التعليمية الحكومية للتعليم المهني العالي USTU-UPI، 2005. – 81 ص. فينكو، إل إم. طريقة الفترات في حل المتباينات ودراسة الدوال [النص] / L.M. فينكو. – م: حبارى، 2005. – 124 ص. فريدمان، إل. إم. الأسس النظرية لأساليب تدريس الرياضيات [النص] / ل.م. فريدمان. – م: دار الكتب “ليبروكوم”، 2009. – 248 ص. الملحق 1 التفسير البياني لحلول عدم المساواة البسيطة أرز. 1 أرز. 2 الشكل 3 الشكل 4 الشكل 5 الشكل 6 الشكل 7 الشكل 8 الملحق 2 حلول للمتباينات البسيطة مشروع الجبر "حل المتباينات المثلثية" أكملته طالبة الصف 10 "ب" كازاشكوفا يوليا المشرف: مدرس الرياضيات Kochakova N.N. الهدف توحيد المواد المتعلقة بموضوع "حل المتباينات المثلثية" وإنشاء تذكير للطلاب للتحضير للامتحان القادم. الأهداف: تلخيص المواد حول هذا الموضوع. تنظيم المعلومات الواردة. النظر في هذا الموضوع في امتحان الدولة الموحدة. الملاءمة تكمن أهمية الموضوع الذي اخترته في حقيقة أن المهام المتعلقة بموضوع "حل المتباينات المثلثية" مدرجة في مهام امتحان الدولة الموحدة. المتباينات المثلثية المتباينة هي علاقة تربط بين رقمين أو تعبيرين من خلال إحدى العلامات: (أكبر من)؛ ≥ (أكبر من أو يساوي). المتباينة المثلثية هي متباينة تتضمن دوال مثلثية. المتباينات المثلثية يتم تقليل حل المتباينات التي تحتوي على دوال مثلثية، كقاعدة عامة، إلى حل أبسط المتباينات بالشكل: sin x>a, sin x أ، كوس س أ، تيراغرام س أ،ctgx خوارزمية حل المتباينات المثلثية على المحور المقابل لدالة مثلثية معينة، حدد القيمة العددية المحددة لهذه الوظيفة. ارسم خطًا عبر النقطة المحددة التي تتقاطع مع دائرة الوحدة. حدد نقاط تقاطع الخط والدائرة مع مراعاة علامة المتباينة الصارمة أو غير الصارمة. حدد قوس الدائرة التي تقع عليها حلول المتراجحة. تحديد قيم الزوايا عند نقطتي البداية والنهاية للقوس الدائري. اكتب حل المتراجحة مع مراعاة دورية الدالة المثلثية المعطاة. صيغ لحل المتباينات المثلثية sinx >a; س (أركسين أ + 2πn؛ π- أركسين أ + 2πn). com.sinx أ؛ س (- أركوس أ + 2πن؛ أركوس أ + 2πن). com.cosxأ؛ س (arctg أ + πn ; + πn). tgx أ؛ س (πn ؛ القطب الشمالي + πn). ctgx الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية sinx >a الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية sinx الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية cosx >a الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية cosx الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية tgx >a الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية tgx الحل الرسومي للمتباينات المثلثية الأساسية ctgx >aخوارزمية لحل عدم المساواة مع الجيب:
قيود الخوارزمية
حالات خاصة عند حل المتباينات مع الجيب
أمثلة على حل عدم المساواة باستخدام الخوارزمية.
إذن، حل هذه المتباينة هو الفترة:
, 
إلخ)، حيث يتم حل المتباينة المعتادة أولاً، ومن ثم المتباينة في الشكل 
الخ، أو طرق أخرى.
فيكفي أن تجد حلها في فترة واحدة، أي: على أي قطعة طولها يساوي دورة الدالةو
س
. ومن ثم سيتم إيجاد حل المتباينة الأصليةس
وكذلك تلك القيم التي تختلف عن تلك الموجودة بواسطة أي عدد صحيح من فترات الدالة. في هذه الحالة، من الملائم استخدام الطريقة الرسومية.
(
) و 
.
(
).
.
.
(الرقم الموجود على يسار الإدخال دائمًا أقل من الرقم الموجود على اليمين).
.
الذي يتقاطع مع الدائرة عند النقطتين A و B .
، ولكن أصغر 
,
سوف تأخذ على قيم أكبر
(ولكن ليس أكثر من واحد).
، أي. 
. للحصول على جميع الحلول لهذه المتباينة، يكفي إضافة طرفي هذه الفترة 
، أين 
، أي. 
,
.
لاحظ أن القيم 
و 
هي جذور المعادلة 
,
;
.
, .
:
و 
.
. نجد حروف هذه النقاط.
و 
(الشكل 2).
; 
. بينهما 
نقاط الرسم البياني 
تحت نقاط الرسم البياني 
. ومتى قيم الوظيفة هي نفسها. لهذا السبب في 
.
.
.
(الشكل 3)
, 
.
, 
, 
.
, 
.
بعد التحولات البسيطة التي نحصل عليها
,
,
.
، على التوالى 
. ثم من الشكل. 4 يتبع 
، أين 
.
, 
.
, 
.
.
.
: . لنضع علامة على جميع النقاط الموجودة على دائرة الوحدة (الشكل 6):
, 
; 
, 
; 
, 
.
,
;
, 
;
, 
;
, 
;
. مسلسلX
2
يعطي نقاط 
. من السلسلةX
3
نحصل على نقطتين 
. وأخيرا السلسلةX
4
سوف تمثل النقاط 
. لنرسم كل هذه النقاط على دائرة الوحدة، مع الإشارة إلى تعددها بين قوسين بجانب كل منها.
سوف تكون متساوية. دعونا نجري تقديرًا بناءً على العلامة:
مع شعاعأوه،
خارج دائرة الوحدة. (لاحظ أن الشعاع المساعدعن
أ
ليس من الضروري على الإطلاق تصويره في الرسم. نقطةأ
تم اختياره تقريبًا.)ينتقل خطنا من منطقة إلى أخرى: إذا كان خارج دائرة الوحدة، فإنه يدخل داخلها. تقترب من النقطة 
فيعود الخط إلى المنطقة الداخلية، لأن تعدد هذه النقطة زوجي. وبالمثل عند هذه النقطة 
(مع التعدد الزوجي) يجب أن يتحول الخط إلى المنطقة الخارجية. لذلك، قمنا برسم صورة معينة كما هو موضح في الشكل. 7. يساعد على إبراز المناطق المرغوبة على دائرة الوحدة. يتم تمييزها بعلامة "+".
,
, ,
,
باستخدام خصائص وظائف الجيب وجيب التمام؛
، لو، لو 
يساوي: 
، لو:
,
ب) 
,
الخامس) 
, 
, 
, 
.
.
باستخدام المعرفة والمهارات المكتسبة في المرحلة الإعدادية، سيقوم الطلاب بإحضار عدم المساواة المقترحة إلى النموذج 
، ولكن قد تجد صعوبة في إيجاد مجموعة من الحلول للتفاوت الناتج، بسبب من المستحيل حلها فقط باستخدام خصائص دالة الجيب. يمكن تجنب هذه الصعوبة بالرجوع إلى الرسم التوضيحي المناسب (حل المعادلة بيانياً أو باستخدام دائرة الوحدة)..
وارسم خطًا مستقيمًا من خلاله موازيًا للمحور السيني. سيتقاطع هذا الخط مع دائرة الوحدة عند نقطتين. تمثل كل نقطة من هذه النقاط أرقامًا جيبها يساوي .
. وبطبيعة الحال، يقع هذا القوس فوق الخط المستقيم المرسوم.
.
.
تحقق الأعداد التي تكون فيها المتراجحة صحيحة 
. لقد قمنا بحل المتباينة للأعداد الموجودة في نفس الفترة لدالة الجيب. ومن ثم، يمكن كتابة جميع حلول المتراجحة على الصورة 
يمكن كتابتها في النموذج 
, 
.
و 
، بشرط 
.
وقراره 
, 
, 
، وجدت باستخدام الصيغ 
, 
, 
.
هي ثلاث حروف متتابعة لنقاط تقاطع الرسوم البيانية و . ومن الواضح، دائما في الفترة الفاصلة 
عدم المساواة يحمل 
، وعلى الفاصل 
- عدم المساواة 
. نحن مهتمون بالحالة الأولى، ثم نضيف إلى طرفي هذه الفترة رقمًا يمثل مضاعفًا لدورة الجيب، ونحصل على حل للمتباينة في النموذج: 
, .
، تحتاج إلى إنشاء المعادلة المقابلة وحلها. أوجد الجذور من الصيغة الناتجة 
و 
، واكتب الإجابة على عدم المساواة في النموذج: , .
، استيفاء الشرط 
;
، استيفاء الشرط 
.
;
;
.
;
.
;
;
;
;
، أينص
(
س
)
وس
(
س
)
- الدوال المثلثية العقلانية (يتم تضمين الجيوب وجيب التمام والظلال وظل التمام بشكل عقلاني)، على غرار حل عدم المساواة العقلانية. من السهل حل المتباينات العقلانية باستخدام طريقة الفواصل الزمنية على خط الأعداد. نظيرتها لحل المتباينات المثلثية العقلانية هي طريقة القطاعات في الدائرة المثلثية، من أجلcom.sinx
وcom.cosx
(
) أو نصف دائرة مثلثية لtgx
وctgx
(
).
على محور العدد يتوافق مع نقطة 
، وعند المرور من هذه النقطة علامة التغييرات. في طريقة القطاع، كل عامل من النموذج 
، أين 
- إحدى الوظائفcom.sinx
أوcom.cosx
و 
، في الدائرة المثلثية هناك زاويتان متقابلتان 
و 
، والتي تقسم الدائرة إلى قطاعين. عند المرور و وظيفة علامة التغييرات.
و 
، أين 
، احتفظ بالعلامة لجميع القيم 
. يتم التخلص من عوامل البسط والمقام عن طريق تغيير (إذا 
) مع كل رفض من هذا القبيل، يتم عكس علامة عدم المساواة.
و 
يتم التخلص منها أيضًا. علاوة على ذلك، إذا كانت هذه عوامل للمقام، فسيتم إضافة متباينات الشكل إلى نظام المتباينات المكافئ 
و 
. إذا كانت هذه عوامل البسط، فإنها في نظام القيود المكافئ تتوافق مع عدم المساواة و في حالة عدم المساواة الأولية الصارمة، والمساواة 
و 
في حالة عدم المساواة الأولية غير الصارمة. عند التخلص من المضاعف 
أو 
يتم عكس علامة عدم المساواة.
، ب) 
.
لدينا وظيفة ب). حل عدم المساواة لدينا،
, 
.
