العثور على عدد ثلاثة أرقام. القاسم المشترك والمتعدد

القاسم المشترك الأكبر

التعريف 2

إذا كان العدد الطبيعي a قابلاً للقسمة على عدد طبيعي $b$، فإن $b$ يسمى مقسومًا على $a$، ويسمى $a$ مضاعف $b$.

اجعل $a$ و $b$ عددين طبيعيين. يُطلق على الرقم $c$ القاسم المشترك لكل من $a$ و$b$.

مجموعة القواسم المشتركة للأرقام $a$ و $b$ محدودة، حيث لا يمكن أن يكون أي من هذه المقسومات أكبر من $a$. وهذا يعني أن من بين هذه المقسومات أكبر وهو ما يسمى القاسم المشترك الأكبر للأعداد $a$ و $b$ ويرمز له بالرموز التالية:

$GCD\(a;b)\ أو \D\(a;b)$

للعثور على القاسم المشترك الأكبر لعددين تحتاج إلى:

1. ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب.

مثال 1

ابحث عن GCD للأرقام $121$ و$132.$

242 دولارًا = 2\cdot 11\cdot 11$

132 دولارًا=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

اختر الأرقام المضمنة في توسيع هذه الأرقام

242 دولارًا = 2\cdot 11\cdot 11$

132 دولارًا=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب.

$GCD=2\cdot 11=22$

مثال 2

أوجد gcd للأحاديات $63$ و $81$.

سوف نجد وفقا للخوارزمية المقدمة. للقيام بذلك:

دعونا نحلل الأرقام إلى عوامل أولية

63 دولارًا = 3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

نختار الأرقام التي تم تضمينها في توسيع هذه الأرقام

63 دولارًا = 3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

لنجد حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب.

$GCD=3\cdot 3=9$

يمكنك العثور على GCD لرقمين بطريقة أخرى، وذلك باستخدام مجموعة من قواسم الأرقام.

مثال 3

ابحث عن GCD للأرقام $48$ و $60$.

حل:

دعونا نجد مجموعة المقسومات للرقم $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

الآن لنجد مجموعة قواسم الرقم $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

دعونا نجد تقاطع هذه المجموعات: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ستحدد هذه المجموعة مجموعة المقسومات المشتركة للأرقام $48$ و$60 $. أكبر عنصر في هذه المجموعة سيكون الرقم 12$. وهذا يعني أن القاسم المشترك الأكبر للأرقام $48$ و$60$ هو $12$.

تعريف القروض المتعثرة

التعريف 3

المضاعفات الشائعة للأعداد الطبيعية$a$ و$b$ هو عدد طبيعي مضاعف لكل من $a$ و$b$.

المضاعفات الشائعة للأرقام هي أرقام قابلة للقسمة على الأرقام الأصلية بدون باقي، على سبيل المثال، بالنسبة للأرقام $25$ و$50$، فإن المضاعفات المشتركة ستكون الأرقام $50,100,150,200$، إلخ.

يُطلق على أصغر مضاعف مشترك اسم المضاعف المشترك الأصغر ويُشار إليه بالرمز LCM$(a;b)$ أو K$(a;b).$

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لعددين، عليك:

1. تحليل الأعداد إلى عوامل أولية
2. اكتب العوامل التي هي جزء من العدد الأول وأضف إليها العوامل التي هي جزء من الثاني وليست جزءا من الأول

مثال 4

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام $99$ و$77$.

سوف نجد وفقا للخوارزمية المقدمة. لهذا

تحليل الأعداد إلى عوامل أولية

99 دولارًا = 3\cdot 3\cdot 11$

اكتب العوامل المتضمنة في الأول

أضف إليها مضاعفات هي جزء من الثاني وليست جزءا من الأول

ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو المضاعف المشترك الأصغر المطلوب

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

غالبًا ما يكون تجميع قوائم مقسومات الأرقام مهمة كثيفة العمالة. هناك طريقة للعثور على GCD تسمى الخوارزمية الإقليدية.

البيانات التي تعتمد عليها الخوارزمية الإقليدية:

إذا كان $a$ و $b$ عبارة عن أعداد طبيعية، و $a\vdots b$، فإن $D(a;b)=b$

إذا كان $a$ و $b$ عبارة عن أعداد طبيعية مثل $b

باستخدام $D(a;b)= D(a-b;b)$، يمكننا تقليل الأرقام قيد النظر تباعًا حتى نصل إلى زوج من الأرقام بحيث يكون أحدهما قابلاً للقسمة على الآخر. ثم أصغر هذه الأرقام سيكون القاسم المشترك الأكبر المطلوب للأرقام $a$ و $b$.

خصائص GCD وLCM

1. أي مضاعف مشترك لـ $a$ و$b$ قابل للقسمة على K$(a;b)$
2. إذا كان $a\vdots b$، فإن К$(a;b)=a$

إذا كان K$(a;b)=k$ و$m$ عددًا طبيعيًا، فإن K$(am;bm)=km$

إذا كان $d$ هو القاسم المشترك لـ $a$ و $b$، فإن K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

إذا كان $a\vdots c$ و $b\vdots c$، فإن $\frac(ab)(c)$ هو المضاعف المشترك لـ $a$ و $b$

بالنسبة لأي أعداد طبيعية $a$ و$b$، فإن المساواة تنطبق

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

أي قاسم مشترك للأرقام $a$ و $b$ هو قاسم للرقم $D(a;b)$

لكن العديد من الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة أيضًا على أعداد طبيعية أخرى.

على سبيل المثال:

الرقم 12 قابل للقسمة على 1، على 2، على 3، على 4، على 6، على 12؛

الرقم 36 يقبل القسمة على 1، على 2، على 3، على 4، على 6، على 12، على 18، على 36.

يتم استدعاء الأرقام التي يكون الرقم قابلاً للقسمة على الكل (لـ 12 هذه هي 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 12) مقسومات الأرقام. مقسوم على عدد طبيعي أ- عدد طبيعي يقسم عددا معلوما أدون أن يترك أثرا. يسمى العدد الطبيعي الذي له أكثر من مقسومين مركب .

يرجى ملاحظة أن الرقمين 12 و36 لهما عوامل مشتركة. هذه الأرقام هي: 1، 2، 3، 4، 6، 12. القاسم الأكبر لهذه الأرقام هو 12. القاسم المشترك لهذين الرقمين أو ب- هذا هو الرقم الذي يتم قسمة كلا الرقمين بدون باقي أو ب.

مضاعفات مشتركةعدة أرقام هو رقم قابل للقسمة على كل من هذه الأرقام. على سبيل المثال، الأعداد 9 و 18 و 45 لها مضاعف مشترك هو 180. لكن 90 و 360 هي أيضًا مضاعفاتها المشتركة. من بين جميع المضاعفات المشتركة، يوجد دائمًا أصغر واحد، وهو في هذه الحالة هو 90. ويسمى هذا الرقم الأصغرالمضاعف المشترك (CMM).

يكون LCM دائمًا رقمًا طبيعيًا يجب أن يكون أكبر من أكبر الأرقام التي تم تعريفه لها.

المضاعف المشترك الأصغر (LCM). ملكيات.

التبادلية:

الترابط:

على وجه الخصوص، إذا كانت و أعدادًا أولية، فإن:

المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين مو نهو المقسوم على جميع المضاعفات المشتركة الأخرى مو ن. علاوة على ذلك، مجموعة المضاعفات المشتركة م، نيتزامن مع مجموعة مضاعفات LCM( م، ن).

يمكن التعبير عن الخطوط المقاربة بدلالة بعض الدوال النظرية للأعداد.

لذا، وظيفة تشيبيشيف. وأيضا:

يأتي هذا من تعريف وخصائص وظيفة لانداو ز (ن).

ما يترتب على قانون توزيع الأعداد الأولية.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM).

شهادة عدم الممانعة( أ، ب) يمكن حسابها بعدة طرق:

1. إذا كان القاسم المشترك الأكبر معروفًا، فيمكنك استخدام اتصاله مع LCM:

2. ليعرف التحلل القانوني لكلا العددين إلى عوامل أولية:

أين ص1 ،...،ص ك- الأعداد الأولية المختلفة، و د 1،...،د كو ه 1،...،ه ك- الأعداد الصحيحة غير السالبة (يمكن أن تكون أصفارًا إذا لم يكن العدد الأولي المقابل في التوسعة).

ثم شهادة عدم الممانعة ( أ,ب) يتم حسابه بواسطة الصيغة:

بمعنى آخر، يحتوي تحليل LCM على جميع العوامل الأولية المضمنة في تحليل واحد على الأقل من الأرقام أ، ب، ويتم أخذ أكبر الأسين لهذا المضاعف.

مثال:

يمكن اختزال حساب المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام إلى عدة حسابات متسلسلة للمضاعف المشترك الأصغر لعددين:

قاعدة.للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لسلسلة من الأرقام، تحتاج إلى:

- تحليل الأرقام إلى عوامل أولية؛

- نقل التحليل الأكبر (حاصل ضرب عوامل العدد الأكبر من المعطاة) إلى عوامل حاصل الضرب المطلوب، ثم إضافة عوامل من التحليل لأرقام أخرى لا تظهر في الرقم الأول أو تظهر فيه مرات أقل؛

— المنتج الناتج للعوامل الأولية سيكون المضاعف المشترك الأصغر للأرقام المحددة.

أي عددين طبيعيين أو أكثر يكون لهما المضاعف المشترك الأصغر الخاص بهما. إذا كانت الأرقام ليست مضاعفات بعضها البعض أو ليس لها نفس العوامل في المفكوك، فإن المضاعف المشترك الأصغر الخاص بها يساوي حاصل ضرب هذه الأرقام.

يتم إضافة العوامل الأولية للرقم 28 (2، 2، 7) إلى العامل 3 (الرقم 21)، وسيكون الناتج الناتج (84) هو أصغر رقم يقبل القسمة على 21 و28.

يتم استكمال العوامل الأولية لأكبر عدد 30 بالعامل 5 للرقم 25، ويكون الناتج الناتج 150 أكبر من أكبر عدد 30 ويقبل القسمة على جميع الأرقام المعطاة دون باقي. هذا هو أصغر منتج ممكن (150، 250، 300...) وهو مضاعف لجميع الأرقام المعطاة.

الأعداد 2،3،11،37 هي أعداد أولية، لذا فإن المضاعف المشترك الأصغر لها يساوي حاصل ضرب الأعداد المعطاة.

قاعدة. لحساب المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأولية، عليك ضرب كل هذه الأرقام معًا.

خيار آخر:

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعدة أرقام تحتاج إلى:

1) تمثيل كل عدد كحاصل ضرب عوامله الأولية، على سبيل المثال:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) اكتب قوى جميع العوامل الأولية:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) اكتب جميع المقسومات الأولية (المضاعفات) لكل من هذه الأرقام؛

4) اختر الدرجة الأكبر لكل منها الموجودة في جميع مفكوك هذه الأعداد؛

5) مضاعفة هذه القوى.

مثال. أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام: 168، 180، 3024.

حل. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

نكتب القوى العظمى لجميع المقسومات الأولية ونضربها:

عدم الممانعة = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

المادة المقدمة أدناه هي استمرار منطقي للنظرية من المقالة التي تحمل عنوان LCM - المضاعف الأقل شيوعًا، التعريف، الأمثلة، العلاقة بين LCM وGCD. هنا سوف نتحدث عن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM)، وسنولي اهتمامًا خاصًا لحل الأمثلة. أولاً، سنوضح كيفية حساب المضاعف المشترك الأصغر لرقمين باستخدام GCD لهذه الأرقام. بعد ذلك، سنبحث في كيفية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. بعد ذلك، سوف نركز على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر، وننتبه أيضًا إلى حساب المضاعف المشترك الأصغر للأعداد السالبة.

التنقل في الصفحة.

حساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM) عبر GCD

إحدى الطرق للعثور على المضاعف المشترك الأصغر تعتمد على العلاقة بين LCM وGCD. يتيح لنا الاتصال الحالي بين LCM وGCD حساب المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين موجبين من خلال القاسم المشترك الأكبر المعروف. الصيغة المقابلة هي LCM(أ، ب)=أ ب:GCD(أ، ب) . دعونا نلقي نظرة على أمثلة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام الصيغة المعطاة.

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لعددين 126 و70.

حل.

في هذا المثال أ=126 , ب=70 . دعونا نستخدم العلاقة بين LCM وGCD، المعبر عنها بالصيغة LCM(أ، ب)=أ ب:GCD(أ، ب). أي أنه علينا أولاً إيجاد القاسم المشترك الأكبر للرقمين 70 و126، وبعد ذلك يمكننا حساب المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام باستخدام الصيغة المكتوبة.

دعونا نوجد GCD(126, 70) باستخدام الخوارزمية الإقليدية: 126=70·1+56، 70=56·1+14، 56=14·4، وبالتالي GCD(126, 70)=14.

الآن نجد المضاعف المشترك الأصغر المطلوب: جي سي دي(126, 70)=126·70:جي سي دي(126, 70)= 126·70:14=630.

إجابة:

م م(126, 70)=630 .

مثال.

ما هو LCM (68، 34) يساوي؟

حل.

لأن 68 يقبل القسمة على 34، ثم GCD(68, 34)=34. الآن نحسب المضاعف المشترك الأصغر: جي سي دي(68, 34)=68·34:جي سي دي(68, 34)= 68·34:34=68.

إجابة:

م م(68, 34)=68 .

لاحظ أن المثال السابق يناسب القاعدة التالية لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة الموجبة a وb: إذا كان الرقم a يقبل القسمة على b، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو a.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد

هناك طريقة أخرى للعثور على المضاعف المشترك الأصغر وهي تعتمد على تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. إذا قمت بتكوين منتج من جميع العوامل الأولية لأرقام معينة، ثم استبعدت من هذا المنتج جميع العوامل الأولية المشتركة الموجودة في تحليلات الأرقام المحددة، فسيكون المنتج الناتج مساويًا للمضاعف المشترك الأصغر للأرقام المحددة .

القاعدة المعلنة لإيجاد LCM تنبع من المساواة LCM(أ، ب)=أ ب:GCD(أ، ب). في الواقع، فإن حاصل ضرب العددين a وb يساوي حاصل ضرب جميع العوامل المشاركة في مفكوك العددين a وb. بدوره، GCD(a, b) يساوي حاصل ضرب جميع العوامل الأولية الموجودة في وقت واحد في توسعات الأعداد a وb (كما هو موضح في القسم الخاص بإيجاد GCD باستخدام توسيع الأرقام إلى عوامل أولية).

دعونا نعطي مثالا. دعنا نعرف أن 75=3·5·5 و210=2·3·5·7. لنؤلف الناتج من جميع عوامل هذه التوسعات: 2·3·3·5·5·5·7 . الآن نستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في كل من مفكوك العدد 75 ومفكوك العدد 210 (مثل هذه العوامل هي 3 و5)، فيأخذ الناتج الشكل 2·3·5·5·7 . قيمة هذا المنتج تساوي المضاعف المشترك الأصغر للعددين 75 و210، أي NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

مثال.

قم بتحليل الرقمين 441 و 700 إلى عوامل أولية وأوجد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد.

حل.

دعونا نحلل الرقمين 441 و 700 إلى عوامل أولية:

نحصل على 441=3·3·7·7 و700=2·2·5·5·7.

لنقم الآن بإنشاء منتج من جميع العوامل المشاركة في توسيع هذه الأرقام: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. دعونا نستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في نفس الوقت في كلا التوسعتين (يوجد عامل واحد فقط - وهذا هو الرقم 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. هكذا، م م(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

إجابة:

NOC(441, 700)= 44100 .

يمكن صياغة قاعدة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام تحليل الأعداد إلى عوامل أولية بشكل مختلف قليلاً. إذا تمت إضافة العوامل المفقودة من مفك الرقم ب إلى العوامل من مفك الرقم أ، فإن قيمة المنتج الناتج ستكون مساوية للمضاعف المشترك الأصغر للرقمين أ و ب.

على سبيل المثال، لنأخذ نفس الرقمين 75 و210، وتحللهما إلى عوامل أولية كما يلي: 75=3·5·5 و210=2·3·5·7. إلى العوامل 3 و 5 و 5 من مفكوك الرقم 75 نضيف العوامل المفقودة 2 و 7 من مفكوك الرقم 210، نحصل على المنتج 2·3·5·5·7، وقيمته هي يساوي LCM(75، 210).

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 84 و648.

حل.

نحصل أولاً على تحليل الأرقام 84 و648 إلى عوامل أولية. تبدو مثل 84=2·2·3·7 و648=2·2·2·3·3·3·3. إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 من مفكوك الرقم 84 نضيف العوامل المفقودة 2 و 3 و 3 و 3 من مفكوك الرقم 648، نحصل على المنتج 2 2 2 3 3 3 3 7، وهو ما يساوي 4536 . وبالتالي، فإن المضاعف المشترك الأصغر المطلوب للعددين 84 و648 هو 4536.

إجابة:

LCM(84, 648)=4,536 .

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر

يمكن العثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر من خلال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين بشكل تسلسلي. دعونا نتذكر النظرية المقابلة، والتي توفر طريقة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.

نظرية.

دع الأرقام الصحيحة الموجبة a 1 , a 2 , …, a k يتم العثور على المضاعف المشترك الأصغر m k لهذه الأرقام عن طريق الحساب التسلسلي m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , م ك = LCM(م ك−1 , أ ك) .

لنفكر في تطبيق هذه النظرية باستخدام مثال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام.

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام 140، 9، 54، 250.

حل.

في هذا المثال، 1 = 140، 2 = 9، 3 = 54، 4 = 250.

أولا نجد م 2 = LOC(أ 1، أ 2) = LOC(140، 9). للقيام بذلك، باستخدام الخوارزمية الإقليدية، نحدد GCD(140, 9)، لدينا 140=9·15+5، 9=5·1+4، 5=4·1+1، 4=1·4، وبالتالي، GCD(140, 9)=1 ، من أين جي سي دي(140, 9)=140 9:جي سي دي(140, 9)= 140·9:1=1,260. أي أن م2=1260.

الآن نجد م 3 = LOC (م 2 , أ 3) = LOC (1 260, 54). لنحسبها من خلال GCD(1 260, 54)، والتي نحددها أيضًا باستخدام الخوارزمية الإقليدية: 1 260=54·23+18, 54=18·3. ثم gcd(1,260, 54)=18، منها gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. أي أن م 3 = 3 780.

كل ما تبقى هو العثور عليه م 4 = LOC(م 3، أ 4) = LOC(3780، 250). للقيام بذلك، نجد GCD(3,780, 250) باستخدام الخوارزمية الإقليدية: 3,780=250·15+30، 250=30·8+10، 30=10·3. ولذلك، GCM(3,780, 250)=10، حيث GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. أي أن م 4 = 94,500.

إذن المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأربعة الأصلية هو 94500.

إجابة:

م م(140، 9، 54، 250)=94,500.

في كثير من الحالات، يكون من المناسب إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر باستخدام التحليلات الأولية للأرقام المعطاة. وفي هذه الحالة عليك الالتزام بالقاعدة التالية. المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام يساوي المنتج الذي يتكون على النحو التالي: العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الثاني تضاف إلى جميع العوامل من مفكوك الرقم الأول، العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الأول ويضاف الرقم الثالث إلى العوامل الناتجة، وهكذا.

دعونا نلقي نظرة على مثال لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام التحليل الأولي.

مثال.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الخمسة 84، 6، 48، 7، 143.

حل.

أولاً، نحصل على تحليل هذه الأرقام إلى عوامل أولية: 84=2·2·3·7، 6=2·3، 48=2·2·2·2·3، 7 (7 هو عدد أولي، وهو يتطابق مع تحللها إلى عوامل أولية) و143=11·13.

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام، إلى عوامل الرقم الأول 84 (وهي 2 و2 و3 و7)، تحتاج إلى إضافة العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الثاني 6. لا يحتوي تحليل الرقم 6 على عوامل مفقودة، حيث أن كلا من 2 و 3 موجودان بالفعل في تحليل الرقم الأول 84. بعد ذلك، إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 نضيف العوامل المفقودة 2 و 2 من مفكوك الرقم الثالث 48، نحصل على مجموعة العوامل 2 و 2 و 2 و 2 و 3 و 7. لن تكون هناك حاجة لإضافة مضاعفات إلى هذه المجموعة في الخطوة التالية، نظرًا لأن الرقم 7 موجود فيها بالفعل. أخيرًا، إلى العوامل 2 و2 و2 و2 و3 و7 نضيف العوامل المفقودة 11 و13 من مفكوك العدد 143. نحصل على المنتج 2·2·2·2·3·7·11·13، وهو ما يساوي 48,048.

القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر هما مفاهيم حسابية أساسية تجعل التعامل مع الكسور أمرًا سهلاً. LCM وغالبًا ما يتم استخدامها للعثور على القاسم المشترك لعدة كسور.

المفاهيم الأساسية

المقسوم على عدد صحيح X هو عدد صحيح آخر Y يتم قسمة X عليه دون ترك باقي. على سبيل المثال، المقسوم على 4 هو 2، و36 هو 4، 6، 9. مضاعف العدد الصحيح X هو الرقم Y الذي يقبل القسمة على X بدون باقي. على سبيل المثال، 3 هو مضاعف للرقم 15، و6 هو مضاعف للرقم 12.

بالنسبة لأي زوج من الأرقام، يمكننا العثور على المقسومات والمضاعفات المشتركة لها. على سبيل المثال، بالنسبة للعددين 6 و9، المضاعف المشترك هو 18، والمقسوم المشترك هو 3. من الواضح أن الأزواج يمكن أن تحتوي على عدة مقسومات ومضاعفات، لذلك تستخدم الحسابات القاسم الأكبر GCD وأصغر مضاعف LCM.

المقسوم عليه الأصغر لا معنى له، لأنه دائمًا ما يكون واحدًا لأي رقم. والمضاعف الأكبر لا معنى له أيضًا، لأن تسلسل المضاعفات يصل إلى ما لا نهاية.

البحث عن جي سي دي

هناك العديد من الطرق لإيجاد القاسم المشترك الأكبر، ومن أشهرها:

• التعداد المتسلسل للمقسومات، واختيار القواسم المشتركة للزوج والبحث عن أكبرها؛
• تحليل الأرقام إلى عوامل غير قابلة للتجزئة؛
• الخوارزمية الإقليدية؛
• خوارزمية ثنائية.

اليوم في المؤسسات التعليمية الأساليب الأكثر شعبية هي التحلل إلى عوامل أولية والخوارزمية الإقليدية. يتم استخدام الأخير بدوره عند حل معادلات ديوفانتاين: البحث عن GCD مطلوب للتحقق من المعادلة لمعرفة إمكانية الحل بالأعداد الصحيحة.

العثور على شهادة عدم الممانعة

يتم تحديد المضاعف المشترك الأصغر أيضًا عن طريق التعداد المتسلسل أو التحليل إلى عوامل غير قابلة للتجزئة. بالإضافة إلى ذلك، من السهل العثور على القاسم المشترك الأكبر إذا تم تحديد القاسم الأكبر بالفعل. بالنسبة للأرقام X وY، يرتبط LCM وGCD بالعلاقة التالية:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

على سبيل المثال، إذا كان GCM(15,18) = 3، فإن المضاعف المشترك الأصغر (15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. المثال الأكثر وضوحًا لاستخدام المضاعف المشترك الأصغر هو إيجاد المقام المشترك، وهو المضاعف المشترك الأصغر للعددين. الكسور المعطاة.

أرقام كوبريم

إذا لم يكن لزوج من الأرقام قواسم مشتركة، فإن هذا الزوج يسمى كوبريم. إن gcd لمثل هذه الأزواج يساوي دائمًا واحدًا، واستنادًا إلى العلاقة بين المقسومات والمضاعفات، فإن gcd لأزواج coprime يساوي منتجها. على سبيل المثال، الرقمان 25 و28 أوليان نسبيًا، لأنه ليس لهما قواسم مشتركة، وLCM(25, 28) = 700، وهو ما يتوافق مع حاصل ضربهما. أي رقمين غير قابلين للقسمة سيكونان دائمًا أوليين نسبيًا.

القاسم المشترك وآلة حاسبة متعددة

باستخدام الآلة الحاسبة الخاصة بنا، يمكنك حساب GCD وLCM لعدد عشوائي من الأرقام للاختيار من بينها. تم العثور على مهام حساب المقسومات المشتركة والمضاعفات في الرياضيات للصف الخامس والسادس، لكن GCD وLCM هما مفهومان أساسيان في الرياضيات ويستخدمان في نظرية الأعداد والقياس والجبر التواصلي.

أمثلة من الحياة الحقيقية

القاسم المشترك للكسور

يتم استخدام المضاعف المشترك الأصغر عند إيجاد القاسم المشترك لعدة كسور. لنفترض أنه في مسألة حسابية تحتاج إلى جمع 5 كسور:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

لجمع الكسور، يجب اختزال التعبير إلى قاسم مشترك، مما يقلل من مشكلة إيجاد القاسم المشترك الأصغر. للقيام بذلك، حدد 5 أرقام في الآلة الحاسبة وأدخل قيم المقامات في الخلايا المناسبة. سيقوم البرنامج بحساب المضاعف المشترك الأصغر (8، 9، 12، 15، 18) = 360. الآن تحتاج إلى حساب عوامل إضافية لكل كسر، والتي يتم تعريفها على أنها نسبة المضاعف المشترك الأصغر إلى المقام. لذلك ستبدو المضاعفات الإضافية كما يلي:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

بعد ذلك، نضرب جميع الكسور في العامل الإضافي المقابل ونحصل على:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

يمكننا بسهولة جمع هذه الكسور والحصول على النتيجة 159/360. نقوم بتقليل الكسر بمقدار 3 ونرى الإجابة النهائية - 53/120.

حل المعادلات الديوفانتينية الخطية

المعادلات الديوفانتينية الخطية هي تعبيرات بالصيغة ax + by = d. إذا كانت النسبة d / gcd(a, b) عددًا صحيحًا، فإن المعادلة قابلة للحل بالأعداد الصحيحة. دعونا نتحقق من معادلتين لمعرفة ما إذا كان لديهما حل صحيح. أولًا، دعونا نتحقق من المعادلة 150س + 8ص = 37. باستخدام الآلة الحاسبة، نجد GCD (150.8) = 2. اقسم 37/2 = 18.5. الرقم ليس عددًا صحيحًا، وبالتالي فإن المعادلة ليس لها جذور صحيحة.

دعونا نتحقق من المعادلة 1320x + 1760y = 10120. استخدم الآلة الحاسبة للعثور على GCD(1320, 1760) = 440. اقسم 10120/440 = 23. ونتيجة لذلك، نحصل على عدد صحيح، وبالتالي فإن معادلة ديوفانتين قابلة للحل في معاملات الأعداد الصحيحة .

خاتمة

يلعب GCD وLCM دورًا كبيرًا في نظرية الأعداد، وتُستخدم المفاهيم نفسها على نطاق واسع في مجموعة واسعة من مجالات الرياضيات. استخدم الآلة الحاسبة الخاصة بنا لحساب المقسومات الكبرى والمضاعفات الصغرى لأي عدد من الأرقام.

تتيح لك الآلة الحاسبة عبر الإنترنت العثور بسرعة على القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر لعددين أو أي عدد آخر من الأرقام.

آلة حاسبة لإيجاد GCD وLCM

ابحث عن GCD وLOC

تم العثور على GCD وLOC: 5806

كيفية استخدام الآلة الحاسبة

• أدخل الأرقام في حقل الإدخال
• إذا قمت بإدخال أحرف غير صحيحة، فسيتم تمييز حقل الإدخال باللون الأحمر
• انقر فوق الزر "البحث عن GCD وLOC".

كيفية إدخال الأرقام

• يتم إدخال الأرقام مفصولة بمسافة أو نقطة أو فاصلة
• طول الأرقام المدخلة غير محدود، لذا فإن العثور على GCD و LCM للأعداد الطويلة ليس بالأمر الصعب

ما هي GCD وNOC؟

القاسم المشترك الأكبرالأعداد المتعددة هي أكبر عدد صحيح طبيعي تقبل به جميع الأعداد الأصلية القسمة بدون باقي. يتم اختصار القاسم المشترك الأكبر كـ جي سي دي.
المضاعف المشترك الأصغرعدة أرقام هي أصغر عدد يقبل القسمة على كل رقم من الأعداد الأصلية دون باقي. يتم اختصار المضاعف المشترك الأصغر كـ شهادة عدم الممانعة.

كيفية التحقق من أن الرقم يقبل القسمة على رقم آخر دون باقي؟

لمعرفة ما إذا كان أحد الأرقام قابلاً للقسمة على رقم آخر دون باقي، يمكنك استخدام بعض خصائص قابلية قسمة الأرقام. ومن ثم، من خلال الجمع بينها، يمكنك التحقق من قابلية قسمة بعضها ومجموعاتها.

بعض علامات قابلية قسمة الأعداد

1. اختبار قابلية القسمة على رقم 2
لتحديد ما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على اثنين (سواء كان زوجيًا)، يكفي النظر إلى الرقم الأخير من هذا الرقم: إذا كان يساوي 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8، فإن الرقم زوجي، مما يعني أنه يقبل القسمة على 2.
مثال:تحديد ما إذا كان الرقم 34938 يقبل القسمة على 2.
حل:ننظر إلى الرقم الأخير: 8 - وهذا يعني أن الرقم يقبل القسمة على اثنين.

2. اختبار قابلية القسمة على رقم 3
يقبل العدد القسمة على 3 عندما يكون مجموع أرقامه يقبل القسمة على ثلاثة. وبالتالي، لتحديد ما إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 3، فأنت بحاجة إلى حساب مجموع الأرقام والتحقق مما إذا كان قابلاً للقسمة على 3. حتى لو كان مجموع الأرقام كبيرًا جدًا، يمكنك تكرار نفس العملية مرة أخرى.
مثال:تحديد ما إذا كان الرقم 34938 يقبل القسمة على 3.
حل:نحسب مجموع الأعداد: 3+4+9+3+8 = 27. 27 يقبل القسمة على 3، مما يعني أن الرقم يقبل القسمة على ثلاثة.

3. اختبار قابلية القسمة على رقم 5
يقبل العدد القسمة على 5 عندما يكون رقمه الأخير صفرًا أو خمسة.
مثال:تحديد ما إذا كان الرقم 34938 يقبل القسمة على 5.
حل:انظر إلى الرقم الأخير: 8 يعني أن الرقم لا يقبل القسمة على خمسة.

4. اختبار قابلية القسمة على رقم 9
هذه العلامة تشبه إلى حد كبير علامة القسمة على ثلاثة: الرقم يقبل القسمة على 9 عندما يكون مجموع أرقامه قابلاً للقسمة على 9.
مثال:تحديد ما إذا كان الرقم 34938 يقبل القسمة على 9.
حل:نحسب مجموع الأعداد: 3+4+9+3+8 = 27. 27 يقبل القسمة على 9، مما يعني أن العدد يقبل القسمة على تسعة.

كيفية العثور على GCD و LCM من رقمين

كيفية العثور على gcd من رقمين

أسهل طريقة لحساب القاسم المشترك الأكبر لعددين هي إيجاد جميع المقسومات الممكنة لتلك الأرقام واختيار أكبرها.

لنفكر في هذه الطريقة باستخدام مثال العثور على GCD(28, 36):

1. نقوم بتحليل كلا الرقمين: 28 = 1·2·2·7، 36 = 1·2·2·3·3
2. نجد العوامل المشتركة، أي تلك التي يجمعها كلا الرقمين: 1 و 2 و 2.
3. نحسب حاصل ضرب هذه العوامل: 1 2 2 = 4 - هذا هو القاسم المشترك الأكبر للرقمين 28 و36.

كيفية العثور على LCM من رقمين

هناك طريقتان شائعتان للعثور على المضاعف الأصغر لعددين. الطريقة الأولى هي أنه يمكنك كتابة المضاعفات الأولى لعددين، ثم تختار من بينها الرقم الذي سيكون مشتركًا بين الرقمين وفي نفس الوقت الأصغر. والثاني هو العثور على GCD لهذه الأرقام. دعونا نفكر في ذلك فقط.

لحساب LCM، تحتاج إلى حساب حاصل ضرب الأرقام الأصلية ثم قسمته على GCD الذي تم العثور عليه مسبقًا. فلنجد المضاعف المشترك الأصغر لنفس الرقمين 28 و36:

1. أوجد حاصل ضرب الرقمين 28 و36: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36)، كما هو معروف بالفعل، يساوي 4
3. م م(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

إيجاد GCD و LCM لعدة أرقام

يمكن العثور على القاسم المشترك الأكبر لعدة أرقام، وليس اثنين فقط. وللقيام بذلك، يتم تحليل الأعداد المطلوب إيجادها للمقسوم المشترك الأكبر إلى عوامل أولية، ثم إيجاد حاصل ضرب العوامل الأولية المشتركة لهذه الأعداد. يمكنك أيضًا استخدام العلاقة التالية للعثور على gcd لعدة أرقام: GCD(أ، ب، ج) = GCD(GCD(أ، ب)، ج).

تنطبق علاقة مماثلة على المضاعف المشترك الأصغر: م م م (أ، ب، ج) = م م م (م م م (أ، ب)، ج)

مثال:ابحث عن GCD وLCM للأرقام 12 و32 و36.

1. أولاً، دعونا نحلل الأرقام إلى عوامل: 12 = 1·2·2·3، 32 = 1·2·2·2·2·2، 36 = 1·2·2·3·3.
2. لنجد العوامل المشتركة: 1، 2، 2.
3. سيعطي منتجهم GCD: 1·2·2 = 4
4. الآن دعونا نوجد المضاعف المشترك الأصغر: للقيام بذلك، دعونا أولًا نوجد المضاعف المشترك الأصغر(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لجميع الأرقام الثلاثة، عليك إيجاد GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. م م(12، 32، 36) = 96·36 / 12 = 288.