التوقع الرياضي للمتغير العشوائي. أساسيات نظرية الاحتمالية
2. أساسيات نظرية الاحتمال
القيمة المتوقعة
النظر في متغير عشوائي مع القيم العددية. غالبًا ما يكون من المفيد ربط رقم بهذه الوظيفة - "القيمة المتوسطة" أو، كما يقولون، "القيمة المتوسطة"، "مؤشر الاتجاه المركزي". ولعدة أسباب، سيتضح بعضها فيما يلي، من الشائع استخدام المتوسط كوسيط.
التعريف 3.التوقع الرياضي للمتغير العشوائي Xاتصل برقم
أولئك. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي هو مجموع مرجح لقيم المتغير العشوائي بأوزان تساوي احتمالات الأحداث الأولية المقابلة.
مثال 6دعونا نحسب التوقع الرياضي للرقم الذي وقع على الوجه العلوي للنرد. ويترتب على ذلك مباشرة من التعريف 3 ذلك
البيان 2.دع المتغير العشوائي Xيأخذ القيم × 1، × 2، ...، ×م. ثم المساواة
(5)
أولئك. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي هو المجموع المرجح لقيم المتغير العشوائي بأوزان تساوي احتمالات أن يأخذ المتغير العشوائي قيما معينة.
على النقيض من (4)، حيث يتم إجراء الجمع مباشرة على الأحداث الأولية، يمكن أن يتكون الحدث العشوائي من عدة أحداث أولية.
في بعض الأحيان يتم اعتبار العلاقة (5) بمثابة تعريف للتوقع الرياضي. ومع ذلك، باستخدام التعريف 3، كما هو موضح أدناه، من الأسهل تحديد خصائص التوقع الرياضي اللازم لبناء نماذج احتمالية للظواهر الحقيقية بدلاً من استخدام العلاقة (5).
ولإثبات العلاقة (5)، قمنا بتجميع (4) حدود لها نفس قيم المتغير العشوائي:
وبما أن العامل الثابت يمكن إخراجه من إشارة المجموع، إذن
من خلال تعريف احتمال وقوع حدث
وبمساعدة العلاقتين الأخيرتين نحصل على المطلوب:
يتوافق مفهوم التوقع الرياضي في النظرية الاحتمالية الإحصائية مع مفهوم مركز الثقل في الميكانيكا. دعونا نضعها في النقاط × 1، × 2، ...، ×معلى المحور العددي للكتلة ص(X= س 1 ), ص(X= س 2 ),…, ص(X= س م) على التوالى. ومن ثم فإن المساواة (5) تبين أن مركز ثقل هذا النظام من النقاط المادية يتطابق مع التوقع الرياضي، مما يدل على طبيعية التعريف (3).
البيان 3.يترك X- قيمة عشوائية، م (س)هو توقعها الرياضي، أ- بعض العدد. ثم
1) م(أ)=أ؛ 2) م(X-M(X))=0; 3M[(X- أ) 2 ]= م[(X- م(X)) 2 ]+(أ- م(X)) 2 .
لإثبات ذلك، نأخذ في الاعتبار أولاً متغيرًا عشوائيًا ثابتًا، أي. تقوم الوظيفة بتعيين مساحة الأحداث الأولية إلى نقطة واحدة أ. وبما أن العامل الثابت يمكن إخراجه من إشارة المجموع، إذن
وإذا انقسم كل حد من المجموع إلى حدين، فإن المجموع كله ينقسم أيضا إلى مجموعين، يتكون الأول منهما من الحد الأول، والثاني من الحد الثاني. ولذلك، فإن التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين س+ص، المحددة في نفس مساحة الأحداث الأولية، تساوي مجموع التوقعات الرياضية م (س)و م (ش)هذه المتغيرات العشوائية:
م(س+ص) = م(س) + م(ص).
وبالتالي م(X-M(X)) = م(س) - م(م(س)).كما هو مبين أعلاه، م(م(س)) = م (س).لذلك، م(X-M(X)) = م(X) - م(X) = 0.
بسبب ال (س - أ) 2 = ((X – م(X)) + (م(X) - أ)} 2 = (X - م(X)) 2 + 2(X - م(X))(م(X) - أ) + (م(X) – أ) 2 ، الذي - التي م[(س - أ)2] =م(X - م(X)) 2 + م{2(X - م(X))(م(X) - أ)} + م[(م(X) – أ) 2 ]. دعونا نبسط المساواة الأخيرة. كما هو موضح في بداية إثبات الاقتراح 3، فإن توقع الثابت هو الثابت نفسه، وبالتالي م[(م(X) – أ) 2 ] = (م(X) – أ) 2 . وبما أن العامل الثابت يمكن إخراجه من إشارة المجموع، إذن م{2(X - م(X))(م(X) - أ)} = 2(م(X) - أ)م(X - م(X)). الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة هو 0 لأنه، كما هو موضح أعلاه، م(X-M(X))=0.لذلك، م[(X- أ) 2 ]= م[(X- م(X)) 2 ]+(أ- م(X)) 2 ، والذي كان من المقرر إثباته.
ومما قيل يترتب على ذلك م[(X- أ) 2 ] يصل إلى الحد الأدنى أيساوي م[(X- م(X)) 2 ], في أ = م(س)،حيث أن الحد الثاني في المساواة 3) دائمًا غير سالب ويساوي 0 فقط للقيمة المحددة أ.
البيان 4.دع المتغير العشوائي Xيأخذ القيم × 1، × 2، ...، ×مو f هي إحدى وظائف الوسيطة الرقمية. ثم
ولإثبات ذلك، دعونا نجمع على الجانب الأيمن من المساواة (4)، التي تحدد التوقع الرياضي، حدود لها نفس القيم:
باستخدام حقيقة أنه يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة المجموع، وبتحديد احتمال وقوع حدث عشوائي (2)، نحصل على
Q.E.D.
البيان 5.يترك Xو فيهي متغيرات عشوائية محددة في نفس مساحة الأحداث الأولية، أو ب- بعض الأرقام. ثم م(فأس+ بواسطة)= أكون(X)+ بي ام(ي).
وباستخدام تعريف التوقع الرياضي وخصائص رمز الجمع نحصل على سلسلة من المتساويات:
ثبت المطلوب .
ما سبق يوضح كيف يعتمد التوقع الرياضي على الانتقال إلى أصل آخر وإلى وحدة قياس أخرى (الانتقال ي=فأس+ب)، وكذلك وظائف المتغيرات العشوائية. تُستخدم النتائج التي تم الحصول عليها باستمرار في التحليل الفني والاقتصادي، وفي تقييم الأنشطة المالية والاقتصادية للمؤسسة، وفي الانتقال من عملة إلى أخرى في التسويات الاقتصادية الأجنبية، وفي الوثائق التنظيمية والفنية، وما إلى ذلك. وتسمح النتائج المدروسة باستخدام نفس الصيغ الحسابية لمختلف المعلمات الحجم والتحول.
| سابق |
التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع منتجات جميع قيمه المحتملة واحتمالاتها.
لنفترض أن المتغير العشوائي يمكن أن يأخذ فقط احتمالات متساوية على التوالي، ثم يتم تحديد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي من خلال المساواة
إذا كان المتغير العشوائي المنفصل يأخذ مجموعة معدودة من القيم الممكنة، إذن
علاوة على ذلك، فإن التوقع الرياضي موجود إذا كانت المتسلسلة الموجودة على الجانب الأيمن من المساواة متقاربة بشكل مطلق.
تعليق. ويترتب على التعريف أن التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل هو متغير غير عشوائي (ثابت).
تعريف التوقع الرياضي في الحالة العامة
دعونا نحدد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي لا يكون توزيعه منفصلاً بالضرورة. لنبدأ بحالة المتغيرات العشوائية غير السلبية. ستكون الفكرة هي تقريب هذه المتغيرات العشوائية بمساعدة متغيرات منفصلة، والتي تم بالفعل تحديد التوقع الرياضي لها، وتعيين التوقع الرياضي مساويا لحد التوقعات الرياضية للمتغيرات العشوائية المنفصلة التقريبية. بالمناسبة، هذه فكرة عامة مفيدة للغاية، وهي أن بعض الخصائص يتم تحديدها أولاً للكائنات البسيطة، ثم يتم تحديدها للكائنات الأكثر تعقيدًا من خلال تقريبها بأشياء أبسط.
Lemma 1. يجب أن يكون هناك متغير عشوائي عشوائي غير سلبي. ثم هناك سلسلة من المتغيرات العشوائية المنفصلة من هذا القبيل
دليل. دعونا نقسم نصف المحور إلى أجزاء متساوية الطول ونحددها
ثم تتبع الخصائص 1 و 2 بسهولة تعريف المتغير العشوائي، و
Lemma 2. اترك متغيرًا عشوائيًا غير سلبي وتسلسلين من المتغيرات العشوائية المنفصلة ذات الخصائص 1-3 من Lemma 1. ثم
دليل. لاحظ أنه بالنسبة للمتغيرات العشوائية غير السلبية فإننا نسمح بذلك
من خلال الخاصية 3، من السهل أن نرى أن هناك سلسلة من الأرقام الموجبة مثل تلك
ومن هنا يترتب على ذلك
وباستخدام خصائص التوقعات الرياضية للمتغيرات العشوائية المنفصلة نحصل على
نمر إلى الحد حيث نحصل على تأكيد Lemma 2.
التعريف 1. ليكن متغيرًا عشوائيًا غير سلبي، يكون عبارة عن سلسلة من المتغيرات العشوائية المنفصلة ذات الخصائص 1-3 من Lemma 1. التوقع الرياضي للمتغير العشوائي هو الرقم
يضمن Lemma 2 أنه لا يعتمد على اختيار التسلسل التقريبي.
دعونا الآن يكون متغير عشوائي تعسفي. دعونا نحدد
من التعريف ويتبع ذلك بسهولة
التعريف 2. التوقع الرياضي لمتغير عشوائي عشوائي هو الرقم
إذا كان واحد على الأقل من الأرقام الموجودة على الجانب الأيمن من هذه المساواة محدودًا.
خصائص التوقع
الخاصية 1. التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي الثابت نفسه:
دليل. سوف نعتبر الثابت كمتغير عشوائي منفصل له قيمة واحدة محتملة ويأخذها مع الاحتمال، وبالتالي،
ملاحظة 1. نحدد حاصل ضرب قيمة ثابتة بمتغير عشوائي منفصل كمتغير عشوائي منفصل تكون قيمه المحتملة مساوية لحاصل ضرب ثابت بالقيم الممكنة؛ احتمالات القيم الممكنة تساوي احتمالات القيم المحتملة المقابلة، على سبيل المثال، إذا كان احتمال القيمة الممكنة متساويا، فإن احتمال أن تأخذ القيمة قيمة يساوي أيضا
الخاصية 2. يمكن إخراج عامل ثابت من علامة التوقع:
دليل. دع المتغير العشوائي يُعطى بواسطة قانون التوزيع الاحتمالي:
بالنظر إلى الملاحظة 1، نكتب قانون توزيع المتغير العشوائي
الملاحظة 2. قبل الانتقال إلى الخاصية التالية، نشير إلى أن متغيرين عشوائيين يسمىان مستقلين إذا كان قانون التوزيع لأحدهما لا يعتمد على القيم المحتملة التي اتخذها المتغير الآخر. وبخلاف ذلك، فإن المتغيرات العشوائية تعتمد. تسمى عدة متغيرات عشوائية مستقلة بشكل متبادل إذا كانت قوانين توزيع أي عدد منها لا تعتمد على القيم المحتملة التي اتخذتها المتغيرات الأخرى.
ملاحظة 3. نحدد حاصل ضرب المتغيرات العشوائية المستقلة وكمتغير عشوائي تكون القيم الممكنة له مساوية لحاصل كل قيمة ممكنة بكل قيمة محتملة من احتمالات القيم المحتملة للمنتج متساوية إلى منتجات احتمالات القيم المحتملة للعوامل. على سبيل المثال، إذا كان احتمال القيمة المحتملة هو، فإن احتمال القيمة المحتملة هو احتمال القيمة المحتملة
الخاصية 3. التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي منتج توقعاتهم الرياضية:
دليل. دع المتغيرات العشوائية المستقلة تعطى من خلال قوانين التوزيع الاحتمالي الخاصة بها:
لنقم بتكوين جميع القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي، وللقيام بذلك نقوم بضرب جميع القيم الممكنة في كل قيمة ممكنة؛ ونتيجة لذلك، نحصل على، ومع الأخذ في الاعتبار الملاحظة 3، نكتب قانون التوزيع على افتراض البساطة أن جميع القيم الممكنة للمنتج مختلفة (إذا لم يكن الأمر كذلك، فسيتم إجراء الإثبات بالمثل):
التوقع الرياضي يساوي مجموع منتجات جميع القيم الممكنة واحتمالاتها:
عاقبة. إن التوقع الرياضي لمنتج عدة متغيرات عشوائية مستقلة عن بعضها البعض يساوي منتج توقعاتها الرياضية.
الخاصية 4. التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات:
دليل. دع المتغيرات العشوائية وتعطى بواسطة قوانين التوزيع التالية:
قم بتركيب جميع القيم الممكنة للكمية للقيام بذلك، قم بإضافة كل قيمة ممكنة إلى كل قيمة ممكنة؛ نحصل على التبسيط لنفترض أن هذه القيم المحتملة مختلفة (إذا لم يكن الأمر كذلك، فسيتم إجراء الإثبات بطريقة مماثلة)، ونشير إلى احتمالاتها بواسطة و على التوالي
التوقع الرياضي لقيمة ما يساوي مجموع منتجات القيم المحتملة حسب احتمالاتها:
لنثبت أن حدثًا يتكون من أخذ قيمة (احتمال هذا الحدث متساوٍ) يستلزم حدثًا يتكون من أخذ القيمة أو (احتمال هذا الحدث يساوي نظرية الجمع)، والعكس صحيح. ومن هنا يترتب على ذلك أن المساواة
باستبدال الأجزاء الصحيحة من هذه المساواة في العلاقة (*)، نحصل على
أو أخيرا
التشتت والانحراف المعياري
من الناحية العملية، غالبًا ما يكون مطلوبًا تقدير تشتت القيم المحتملة للمتغير العشوائي حول قيمته المتوسطة. على سبيل المثال، في المدفعية، من المهم معرفة مدى قرب القذائف من الهدف الذي يجب إصابته.
للوهلة الأولى، قد يبدو أن أسهل طريقة لتقدير التشتت هي حساب جميع القيم الممكنة لانحراف متغير عشوائي ومن ثم إيجاد قيمتها المتوسطة. ومع ذلك، فإن هذا المسار لن يعطي أي شيء، لأن متوسط قيمة الانحراف، أي. لأي متغير عشوائي هو صفر. يتم تفسير هذه الخاصية بحقيقة أن بعض الانحرافات المحتملة تكون إيجابية والبعض الآخر سلبي؛ ونتيجة لإلغائهما المتبادل، يكون متوسط قيمة الانحراف صفرًا. تشير هذه الاعتبارات إلى مدى ملاءمة استبدال الانحرافات المحتملة بقيمها المطلقة أو مربعاتها. هذه هي الطريقة التي يفعلون بها ذلك في الممارسة العملية. صحيح، في حالة استبدال الانحرافات المحتملة بقيمها المطلقة، يتعين على المرء أن يعمل بالقيم المطلقة، الأمر الذي يؤدي في بعض الأحيان إلى صعوبات خطيرة. لذلك، غالبا ما يذهبون في الاتجاه الآخر، أي. احسب القيمة المتوسطة للانحراف التربيعي، وهو ما يسمى التباين.
ستكون هناك أيضًا مهام لحل مستقل يمكنك رؤية الإجابات عليها.
التوقع الرياضي والتباين هما الخصائص العددية الأكثر استخدامًا للمتغير العشوائي. وهي تميز أهم سمات التوزيع: موقعه ودرجة تشتته. غالبًا ما يُشار إلى التوقع الرياضي ببساطة على أنه المتوسط. متغير عشوائي. تشتت متغير عشوائي - سمة من سمات التشتت وتشتت متغير عشوائي حول توقعاتها الرياضية.
في العديد من المسائل العملية، لا يمكن الحصول على وصف كامل وشامل للمتغير العشوائي - قانون التوزيع - أو لا تكون هناك حاجة إليه على الإطلاق. وفي هذه الحالات يقتصر الأمر على وصف تقريبي للمتغير العشوائي باستخدام الخصائص العددية.
التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل
دعونا نأتي إلى مفهوم التوقع الرياضي. دع كتلة مادة ما تتوزع بين نقاط المحور السيني س1 , س 2 , ..., سن. علاوة على ذلك، فإن كل نقطة مادية لها كتلة مقابلة لها مع احتمال ص1 , ص 2 , ..., صن. مطلوب تحديد نقطة واحدة على المحور السيني، والتي تميز موضع نظام النقاط المادية بأكمله، مع مراعاة كتلها. ومن الطبيعي أن يتخذ مركز كتلة نظام النقاط المادية مثل هذه النقطة. هذا هو المتوسط المرجح للمتغير العشوائي X، حيث الإحداثي لكل نقطة سأنايدخل بـ "وزن" يساوي الاحتمال المقابل. وبالتالي تم الحصول على القيمة المتوسطة للمتغير العشوائي Xويسمى توقعاتها الرياضية.
التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المتقطع هو مجموع حاصل ضرب جميع قيمه الممكنة واحتمالات هذه القيم:
مثال 1نظمت اليانصيب الفوز. هناك 1000 جائزة، 400 منها بقيمة 10 روبل لكل منها. 300 - 20 روبل لكل منهما 200 - 100 روبل لكل منهما. و100 - 200 روبل لكل منهما. ما هو متوسط المكاسب للشخص الذي يشتري تذكرة واحدة؟
حل. سنجد متوسط الفوز إذا كان إجمالي مبلغ المكاسب، والذي يساوي 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 روبل، مقسومًا على 1000 (إجمالي مبلغ المكاسب). ثم نحصل على 50000/1000 = 50 روبل. ولكن يمكن أيضًا تمثيل التعبير الخاص بحساب متوسط الكسب بالشكل التالي:
من ناحية أخرى، في ظل هذه الظروف، يكون مقدار المكاسب متغيرًا عشوائيًا يمكن أن يأخذ قيم 10 و20 و100 و200 روبل. مع احتمالات تساوي 0.4، على التوالي؛ 0.3؛ 0.2; 0.1. ولذلك فإن متوسط المردود المتوقع يساوي مجموع منتجات حجم المكاسب واحتمال الحصول عليها.
مثال 2قرر الناشر نشر كتاب جديد. سوف يبيع الكتاب مقابل 280 روبل، منها 200 روبل، و50 للمكتبة، و30 للمؤلف. يقدم الجدول معلومات حول تكلفة نشر الكتاب واحتمالية بيع عدد معين من نسخ الكتاب.
أوجد الربح المتوقع للناشر.
حل. والمتغير العشوائي "الربح" يساوي الفرق بين الدخل من البيع وتكلفة التكاليف. على سبيل المثال، إذا تم بيع 500 نسخة من كتاب، فإن الدخل من البيع هو 200 * 500 = 100000، وتكلفة النشر 225000 روبل. وهكذا يواجه الناشر خسارة قدرها 125000 روبل. ويلخص الجدول التالي القيم المتوقعة للمتغير العشوائي – الربح:
| رقم | ربح سأنا | احتمالا صأنا | سأنا صأنا |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| المجموع: | 1,00 | 25000 |
وهكذا نحصل على التوقع الرياضي لربح الناشر:
.
مثال 3فرصة للضرب برصاصة واحدة ص= 0.2. تحديد استهلاك الأصداف التي توفر التوقع الرياضي لعدد الزيارات يساوي 5.
حل. ومن نفس صيغة التوقع التي استخدمناها حتى الآن، نعبر عن ذلك س- استهلاك القذائف:
.
مثال 4تحديد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي سعدد الضربات بثلاث طلقات، إذا كان احتمال الضرب بكل طلقة ص = 0,4 .
تلميح: أوجد احتمال قيم المتغير العشوائي بواسطة صيغة برنولي .
خصائص التوقع
النظر في خصائص التوقع الرياضي.
الخاصية 1.التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي هذا الثابت:
الملكية 2.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التوقع:
الملكية 3.التوقع الرياضي لمجموع (الفرق) للمتغيرات العشوائية يساوي مجموع (الفرق) لتوقعاتها الرياضية:
الخاصية 4.التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية يساوي منتج توقعاتها الرياضية:
العقار 5.إذا كانت جميع قيم المتغير العشوائي Xالنقصان (الزيادة) بنفس العدد معفإن توقعه الرياضي سينخفض (يزيد) بنفس العدد:
عندما لا يمكنك أن تقتصر فقط على التوقعات الرياضية
في معظم الحالات، التوقع الرياضي فقط هو الذي لا يمكنه وصف المتغير العشوائي بشكل مناسب.
دع المتغيرات العشوائية Xو ييتم منحها بواسطة قوانين التوزيع التالية:
| معنى X | احتمالا |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| معنى ي | احتمالا |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
التوقعات الرياضية لهذه الكميات هي نفسها - تساوي الصفر:
ومع ذلك، فإن توزيعها مختلف. قيمة عشوائية Xيمكن فقط أن تأخذ قيمًا تختلف قليلًا عن التوقع الرياضي والمتغير العشوائي ييمكن أن تأخذ القيم التي تنحرف بشكل كبير عن التوقعات الرياضية. مثال مشابه: متوسط الأجر لا يجعل من الممكن الحكم على نسبة العمال ذوي الأجور المرتفعة والمنخفضة. بمعنى آخر، من خلال التوقع الرياضي، لا يمكن الحكم على الانحرافات المحتملة عنه، على الأقل في المتوسط. للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور على تباين متغير عشوائي.
تشتت متغير عشوائي منفصل
تشتتالمتغير العشوائي المنفصل Xيسمى التوقع الرياضي لمربع انحرافه عن التوقع الرياضي :
الانحراف المعياري للمتغير العشوائي Xهي القيمة الحسابية للجذر التربيعي لتباينه:
.
مثال 5حساب التباينات والانحرافات المعيارية للمتغيرات العشوائية Xو ي، والتي ترد قوانين توزيعها في الجداول أعلاه.
حل. التوقعات الرياضية للمتغيرات العشوائية Xو يكما هو موضح أعلاه، تساوي الصفر. وفقا لصيغة التشتت ل ه(X)=ه(ذ)=0 نحصل على:
ثم الانحرافات المعيارية للمتغيرات العشوائية Xو يتشكل
.
وبالتالي، وبنفس التوقعات الرياضية، تم حساب تباين المتغير العشوائي Xصغيرة جدا وعشوائية ي- بارِز. وهذا نتيجة للاختلاف في توزيعها.
مثال 6لدى المستثمر 4 مشاريع استثمارية بديلة. ويلخص الجدول بيانات الربح المتوقع في هذه المشاريع مع الاحتمالية المقابلة.
| مشروع 1 | المشروع 2 | المشروع 3 | المشروع 4 |
| 500, ص=1 | 1000, ص=0,5 | 500, ص=0,5 | 500, ص=0,5 |
| 0, ص=0,5 | 1000, ص=0,25 | 10500, ص=0,25 | |
| 0, ص=0,25 | 9500, ص=0,25 |
أوجد لكل بديل التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري.
حل. ولنبين كيف يتم حساب هذه الكميات للبديل الثالث:
يلخص الجدول القيم الموجودة لجميع البدائل.
جميع البدائل لها نفس التوقع الرياضي. وهذا يعني أنه على المدى الطويل، سيحصل الجميع على نفس الدخل. يمكن تفسير الانحراف المعياري على أنه مقياس للمخاطر - فكلما كان أكبر، زادت مخاطر الاستثمار. المستثمر الذي لا يريد الكثير من المخاطرة سيختار المشروع 1 لأنه يحتوي على أصغر انحراف معياري (0). إذا كان المستثمر يفضل المخاطرة والعوائد المرتفعة في فترة قصيرة، فإنه سيختار المشروع ذو الانحراف المعياري الأكبر - المشروع 4.
خصائص التشتت
دعونا نقدم خصائص التشتت.
الخاصية 1.تشتت القيمة الثابتة هو صفر:
الملكية 2.يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التشتت عن طريق تربيعه:
.
الملكية 3.إن تباين المتغير العشوائي يساوي التوقع الرياضي لمربع هذه القيمة، والذي يطرح منه مربع التوقع الرياضي للقيمة نفسها:
,
أين 
.
الخاصية 4.تباين مجموع (فرق) المتغيرات العشوائية يساوي مجموع (فرق) تبايناتها:
مثال 7ومن المعروف أن المتغير العشوائي المنفصل Xيأخذ قيمتين فقط: −3 و 7. بالإضافة إلى ذلك، فإن التوقع الرياضي معروف: ه(X) = 4 . أوجد تباين المتغير العشوائي المنفصل.
حل. للدلالة به صالاحتمالية التي يأخذ بها المتغير العشوائي قيمة س1 = −3 . ثم احتمال القيمة س2 = 7 سيكون 1 - ص. لنشتق معادلة التوقع الرياضي:
ه(X) = س 1 ص + س 2 (1 − ص) = −3ص + 7(1 − ص) = 4 ,
حيث نحصل على الاحتمالات: ص= 0.3 و 1 - ص = 0,7 .
قانون توزيع المتغير العشوائي:
| X | −3 | 7 |
| ص | 0,3 | 0,7 |
نحسب تباين هذا المتغير العشوائي باستخدام الصيغة من الخاصية 3 للتباين:
د(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي بنفسك، ثم شاهد الحل
مثال 8المتغير العشوائي المنفصل Xيأخذ قيمتين فقط. يأخذ القيمة الأكبر 3 مع احتمال 0.4. بالإضافة إلى ذلك، يتم معرفة تباين المتغير العشوائي د(X) = 6 . أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي.
مثال 9تحتوي الجرة على 6 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء. يتم أخذ 3 كرات من الجرة. عدد الكرات البيضاء بين الكرات المسحوبة هو متغير عشوائي متقطع X. أوجد التوقع الرياضي والتباين لهذا المتغير العشوائي.
حل. قيمة عشوائية Xيمكن أن تأخذ القيم 0، 1، 2، 3. ويمكن حساب الاحتمالات المقابلة منها قاعدة ضرب الاحتمالات. قانون توزيع المتغير العشوائي:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| ص | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
ومن هنا التوقع الرياضي لهذا المتغير العشوائي:
م(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
تباين متغير عشوائي معين هو:
د(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
التوقع الرياضي وتشتت المتغير العشوائي المستمر
بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر، فإن التفسير الميكانيكي للتوقع الرياضي سيحتفظ بنفس المعنى: مركز الكتلة لوحدة الكتلة موزعة بشكل مستمر على المحور السيني مع الكثافة F(س). على النقيض من المتغير العشوائي المنفصل، الذي تكون له وسيطة الوظيفة سأنايتغير بشكل مفاجئ، بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر، تتغير الوسيطة بشكل مستمر. لكن التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المستمر يرتبط أيضًا بمتوسط قيمته.
للعثور على التوقع الرياضي والتباين لمتغير عشوائي مستمر، تحتاج إلى إيجاد تكاملات محددة . إذا تم إعطاء دالة كثافة لمتغير عشوائي مستمر، فإنها تدخل مباشرة في التكامل. إذا تم إعطاء دالة التوزيع الاحتمالي، فمن خلال التمييز بينها، تحتاج إلى العثور على دالة الكثافة.
ويسمى المتوسط الحسابي لجميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي المستمر به توقع رياضي، يُشار إليه بـ أو .
حل:
6.1.2 خصائص التوقع
1. التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي الثابت نفسه.
2. يمكن إخراج عامل ثابت من علامة التوقع. 
3. التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي منتج توقعاتهم الرياضية.
هذه الخاصية صالحة لعدد عشوائي من المتغيرات العشوائية.
4. التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات.
تنطبق هذه الخاصية أيضًا على عدد عشوائي من المتغيرات العشوائية.
مثال: م (س) = 5, لي)= 2. أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي زتطبيق خواص التوقع الرياضي إذا عرف ذلك ض = 2س + 3ص.
حل: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =
1) التوقع الرياضي للمجموع يساوي مجموع التوقعات الرياضية
2) يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التوقع
دعونا نجري تجارب مستقلة، فإن احتمال وقوع الحدث A يساوي p. ثم يحمل نظرية التالية:
نظرية. التوقع الرياضي M(X) لعدد تكرارات الحدث A في n من التجارب المستقلة يساوي حاصل ضرب عدد التجارب واحتمال وقوع الحدث في كل تجربة.
6.1.3 تشتت المتغير العشوائي المنفصل
لا يمكن للتوقع الرياضي أن يصف بشكل كامل عملية عشوائية. وبالإضافة إلى التوقع الرياضي لا بد من إدخال قيمة تميز انحراف قيم المتغير العشوائي عن التوقع الرياضي.
وهذا الانحراف يساوي الفرق بين المتغير العشوائي وتوقعه الرياضي. وفي هذه الحالة، يكون التوقع الرياضي للانحراف صفرًا. ويفسر ذلك حقيقة أن بعض الانحرافات المحتملة تكون إيجابية، والبعض الآخر سلبي، ونتيجة لإلغائها المتبادل يتم الحصول على الصفر.
التشتت (التشتت)يسمى المتغير العشوائي المنفصل بالتوقع الرياضي لمربع انحراف المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي.
في الممارسة العملية، هذه الطريقة لحساب التباين غير مريحة، لأن يؤدي إلى حسابات مرهقة لعدد كبير من قيم المتغير العشوائي.
ولذلك، يتم استخدام طريقة أخرى.
نظرية. التباين يساوي الفرق بين مربع التوقع الرياضي للمتغير العشوائي X ومربع توقعه الرياضي.
دليل. مع الأخذ في الاعتبار أن التوقع الرياضي M (X) ومربع التوقع الرياضي M 2 (X) قيمتان ثابتتان، يمكننا أن نكتب:
مثال. أوجد تباين متغير عشوائي متقطع معطى في قانون التوزيع.
| X | ||||
| × 2 | ||||
| ر | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
حل: .
6.1.4 خصائص التشتت
1. تشتت القيمة الثابتة هو صفر. .
2. يمكن إخراج عامل ثابت من علامة التشتت عن طريق تربيعه. 
.
3. إن تباين مجموع متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي مجموع تباينات هذه المتغيرات. .
4. إن تباين الفرق بين متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي مجموع تباينات هذه المتغيرات. .
نظرية. إن تباين عدد تكرارات الحدث A في n من التجارب المستقلة، التي يكون احتمال p لحدوث الحدث فيها ثابتًا، يساوي حاصل ضرب عدد المحاولات واحتمال وقوع الحدث وعدم وقوعه. للحدث في كل تجربة.
مثال: أوجد تباين DSV X - عدد تكرارات الحدث A في تجربتين مستقلتين، إذا كان احتمال وقوع الحدث في هذه التجارب هو نفسه ومن المعروف أن M(X) = 1.2.
نطبق النظرية من القسم 6.1.2:
م(س) = نب
م (س) = 1,2; ن= 2. البحث ص:
1,2 = 2∙ص
ص = 1,2/2
س = 1 – ص = 1 – 0,6 = 0,4
لنجد التشتت بالصيغة:
د(س) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48
6.1.5 الانحراف المعياري للمتغير العشوائي المنفصل
الانحراف المعيارييسمى المتغير العشوائي X بالجذر التربيعي للتباين.
(25)
نظرية. الانحراف المعياري لمجموع عدد محدود من المتغيرات العشوائية المستقلة بشكل متبادل يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات الانحرافات المعيارية لهذه المتغيرات.
6.1.6 الوضع والوسيط للمتغير العشوائي المنفصل
أزياء م س DSVتسمى القيمة الأكثر احتمالا للمتغير العشوائي (أي القيمة التي لديها أعلى احتمال)
متوسط M e DSWهي قيمة المتغير العشوائي الذي يقسم سلسلة التوزيع إلى النصف. إذا كان عدد قيم المتغير العشوائي زوجياً، يتم إيجاد الوسيط كالوسط الحسابي للقيمتين المتوسطتين.
مثال: وضع البحث والوسيط لـ DSW X:
| X | ||||
| ص | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
أنا = = 5,5
تقدم
1. التعرف على الجزء النظري من هذا العمل (محاضرات، كتاب مدرسي).
2. أكمل المهمة حسب اختيارك.
3. إعداد تقرير عن العمل.
4. قم بحماية عملك.
2. الغرض من العمل.
3. سير العمل.
4. قرار الخيار الخاص بك.
6.4 خيارات المهام للعمل المستقل
الخيار رقم 1
1. أوجد التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري والمنوال والوسيط لـ DSV X المعطاة بواسطة قانون التوزيع.
| X | ||||
| ص | 0.1 | 0.6 | 0.2 | 0.1 |
2. أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي Z، إذا كانت التوقعات الرياضية لـ X وY معروفة: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.
3. أوجد تباين DSV X - عدد تكرارات الحدث A في تجربتين مستقلتين، إذا كانت احتمالات وقوع الأحداث في هذه التجارب هي نفسها ومن المعروف أن M (X) = 1.
4. يتم إعطاء قائمة بالقيم المحتملة للمتغير العشوائي المنفصل X: × 1 = 1, ×2 = 2, × 3= 5، والتوقعات الرياضية لهذه الكمية ومربعها معروفة أيضاً: , . أوجد الاحتمالات المقابلة للقيم الممكنة ورسم قانون توزيع DSW.
الخيار رقم 2
| X | ||||
| ص | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.4 |
2. أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي Z إذا كانت التوقعات الرياضية لـ X وY معروفة: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.
3. أوجد تباين DSV X – عدد تكرارات الحدث A في ثلاث تجارب مستقلة، إذا كانت احتمالات وقوع الأحداث في هذه التجارب هي نفسها ومن المعروف أن M (X) = 0.9.
4. يتم إعطاء قائمة بالقيم المحتملة للمتغير العشوائي المنفصل X: × 1 = 1, ×2 = 2, × 3 = 4, ×4= 10، والتوقعات الرياضية لهذه الكمية ومربعها معروفة أيضاً: , . أوجد الاحتمالات المقابلة للقيم الممكنة ورسم قانون توزيع DSW.
الخيار رقم 3
1. أوجد التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري لـ DSV X المحدد في قانون التوزيع.
| X | ||||
| ص | 0.5 | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
2. أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي Z، إذا كانت التوقعات الرياضية لـ X وY معروفة: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.
3. أوجد تباين DSV X - عدد تكرارات الحدث A في أربع تجارب مستقلة، إذا كانت احتمالات وقوع الأحداث في هذه التجارب هي نفسها ومن المعروف أن M (x) = 1.2.
كما هو معروف بالفعل، فإن قانون التوزيع يميز بشكل كامل المتغير العشوائي. ومع ذلك، فإن قانون التوزيع غالبًا ما يكون غير معروف ويجب على المرء أن يقتصر على معلومات أقل. في بعض الأحيان يكون من المربح أكثر استخدام الأرقام التي تصف متغيرًا عشوائيًا في المجمل؛ تسمى هذه الأرقام الخصائص العددية للمتغير العشوائي.
التوقع الرياضي هو أحد الخصائص العددية الهامة.
التوقع الرياضي يساوي تقريباً متوسط قيمة المتغير العشوائي.
التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصلهو مجموع منتجات جميع قيمها المحتملة واحتمالاتها.
إذا كان المتغير العشوائي يتميز بسلسلة توزيع محدودة:
| X | × 1 | × 2 | × 3 | … | س ن |
| ر | ص 1 | ص 2 | ص 3 | … | ص ص |
ثم التوقع الرياضي م (س)يتم تحديده بواسطة الصيغة:
يتم تحديد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المستمر من خلال المساواة:
أين هي الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي X.
مثال 4.7.أوجد التوقع الرياضي لعدد النقاط التي تسقط عند رمي حجر النرد.
حل:
قيمة عشوائية Xتأخذ القيم 1، 2، 3، 4، 5، 6. لنضع قانون توزيعها:
| X | ||||||
| ر |
ثم التوقع الرياضي هو:
خصائص التوقع الرياضي:
1. التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي الثابت نفسه:
م(س)=س.
2. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التوقع:
م (CX) = سم (X).
3. التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي منتج توقعاتهم الرياضية:
م(س ص) = م(س)م(ص).
مثال 4.8. المتغيرات العشوائية المستقلة Xو ييتم منحها بواسطة قوانين التوزيع التالية:
| X | ي | ||||||
| ر | 0,6 | 0,1 | 0,3 | ر | 0,8 | 0,2 |
أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي XY.
حل.
لنجد التوقعات الرياضية لكل من هذه الكميات:
المتغيرات العشوائية Xو يمستقلة، وبالتالي فإن التوقع الرياضي المطلوب:
م(س ص) = م(س)م(ص)=
عاقبة.إن التوقع الرياضي لمنتج عدة متغيرات عشوائية مستقلة عن بعضها البعض يساوي منتج توقعاتها الرياضية.
4. التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات:
م(س + ص) = م(س) + م(ص).
عاقبة.التوقع الرياضي لمجموع عدة متغيرات عشوائية يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات.
مثال 4.9.تم إطلاق 3 طلقات مع احتمالات إصابة الهدف تساوي ص 1 = 0,4; ص2= 0.3 و ص 3= 0.6. أوجد التوقع الرياضي لإجمالي عدد الزيارات.
حل.
عدد الضربات في اللقطة الأولى هو متغير عشوائي × 1، والتي يمكن أن تأخذ قيمتين فقط: 1 (ضربة) مع الاحتمال ص 1= 0.4 و0 (خطأ) مع الاحتمال س 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
التوقع الرياضي لعدد الضربات في اللقطة الأولى يساوي احتمال الضربة:
وبالمثل نجد التوقعات الرياضية لعدد الضربات في اللقطة الثانية والثالثة:
م (× 2)= 0.3 و م (× 3) \u003d 0,6.
إجمالي عدد النتائج هو أيضًا متغير عشوائي يتكون من مجموع النتائج في كل من اللقطات الثلاث:
X \u003d X 1 + X 2 + X 3.
التوقع الرياضي المطلوب Xنجد من خلال النظرية الرياضية توقع المجموع.
