الصورة الجبرية والمثلثية للعدد المركب. محاضرة حول موضوع: "الشكل المثلثي للعدد المركب"

محاضرة

الشكل المثلثي لعدد مركب

يخطط

1. التمثيل الهندسي للأعداد المركبة.

2. التدوين المثلثي للأعداد المركبة.

3. الإجراءات على الأعداد المركبة في شكل مثلثي.

التمثيل الهندسي للأعداد المركبة.

أ) يتم تمثيل الأعداد المركبة بنقاط المستوى وفقا للقاعدة التالية: أ + ثنائية = م ( أ ; ب ) (رسم بياني 1).

الصورة 1

ب) يمكن تمثيل العدد المركب كمتجه يبدأ من النقطةعن وتنتهي عند نقطة معينة (الشكل 2).

الشكل 2

مثال 7. نقاط الرسم التي تمثل الأعداد المركبة:1; - أنا ; - 1 + أنا ; 2 – 3 أنا (تين. 3).

الشكل 3

التدوين المثلثي للأعداد المركبة.

عدد مركبض = أ + ثنائية يمكن ضبطها باستخدام نصف القطر - المتجه مع الإحداثيات( أ ; ب ) (الشكل 4).

الشكل 4

تعريف . طول المتجهات يمثل العدد المركبض ، يسمى معامل هذا الرقم ويشار إليه أوص .

لأي عدد مركبض الوحدة النمطية لهاص = | ض | يتم تحديده بشكل فريد من خلال الصيغة .

تعريف . قيمة الزاوية بين الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي والمتجه يُطلق على تمثيل عدد مركب اسم وسيطة هذا العدد المركب ويتم الإشارة إليهأ rg ض أوφ .

حجة الرقم المركبض = 0 غير محدد. حجة الرقم المركبض≠ 0 هي كمية متعددة القيم ويتم تحديدها حتى نهاية المدة2πك (ك = 0؛ - 1؛ 1؛ - 2؛ 2؛ ...): أرج ض = الارجنتين ض + 2πك ، أينالارجنتين ض - القيمة الرئيسية للوسيطة، المغلقة في الفاصل الزمني(-π; π] ، إنه-π < الارجنتين ض ≤ π (في بعض الأحيان يتم اعتبار القيمة التي تنتمي إلى الفاصل الزمني هي القيمة الرئيسية للوسيطة .

هذه الصيغة لص =1 غالبًا ما يشار إليها بصيغة De Moivre:

(كوس φ + أنا خطيئة φ) ن = cos (nφ) + i sin (nφ)، n  N .

مثال 11 احسب(1 + أنا ) 100 .

لنكتب عددًا مركبًا1 + أنا في شكل مثلثي.

أ = 1، ب = 1 .

كوس φ = ، خطيئة φ = , φ = .

(1+ط) 100 = [ (كوس + أنا أخطئ )] 100 = ( ) 100 (كوس 100 + أنا الخطيئة 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) استخراج الجذر التربيعي لعدد مركب.

عند استخراج الجذر التربيعي لعدد مركبأ + ثنائية لدينا حالتان:

لوب > حول ، الذي - التي ;

الإجراءات على الأعداد المركبة المكتوبة بالصورة الجبرية

الصورة الجبرية للعدد المركب z =(أ,ب).يسمى تعبير جبري للنموذج

ض = أ + ثنائية.

العمليات الحسابية على الأعداد المركبة ض 1 = أ 1 +ب 1 أناو ض 2 = أ 2 +ب 2 أنا، مكتوبة في شكل جبري، ويتم تنفيذها على النحو التالي.

1. مجموع (الفرق) من الأعداد المركبة

ض 1 ± ض 2 = (أ 1 ± أ 2) + (ب 1 ± ب 2)∙أنا,

أولئك. يتم إجراء الجمع (الطرح) وفقًا لقاعدة جمع كثيرات الحدود مع تقليل الأعضاء المتشابهين.

2. منتج الأعداد المركبة

ض 1 ∙ض 2 = (أ 1 ∙أ 2 -ب 1 ∙ب 2) + (أ 1 ∙ب 2 + أ 2 ∙ب 1)∙أنا,

أولئك. يتم إجراء الضرب وفقًا للقاعدة المعتادة لضرب كثيرات الحدود، مع الأخذ بعين الاعتبار أن أنا 2 = 1.

3. تتم قسمة عددين مركبين وفقا للقاعدة التالية:

, (ض 2 ≠ 0),

أولئك. تتم القسمة عن طريق ضرب المقسوم والمقسوم على مرافق المقسوم عليه.

يتم تعريف الأس للأعداد المركبة على النحو التالي:

ومن السهل إظهار ذلك

أمثلة.

1. أوجد مجموع الأعداد المركبة ض 1 = 2 – أناو ض 2 = – 4 + 3أنا.

ض 1 +ض 2 = (2 + (–1)∙أنا)+ (–4 + 3أنا) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) أنا = –2+2أنا.

2. أوجد حاصل ضرب الأعداد المركبة ض 1 = 2 – 3أناو ض 2 = –4 + 5أنا.

= (2 – 3أنا) ∙ (–4 + 5أنا) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3أنا)+ 2∙5أنا– 3أنا∙ 5أنا = 7+22أنا.

3. ابحث عن الخصوصية ضمن الانقسام ض 1 \u003d 3 - 2 ض 2 = 3 – أنا.

ض= .

4. حل المعادلة:، سو ذ Î ر.

(2س+ص) + (س+ص)أنا = 2 + 3أنا.

وبموجب تساوي الأعداد المركبة لدينا:

أين س=–1 , ذ= 4.

5. احسب: أنا 2 ,أنا 3 ,أنا 4 ,أنا 5 ,أنا 6 ,أنا -1 ، أنا -2 .

6. احسب إذا .

.

7. حساب مقلوب الرقم ض=3-أنا.

الأعداد المركبة في الشكل المثلثي

طائرة معقدةيسمى المستوى ذو الإحداثيات الديكارتية ( س، ص) ، إذا كانت كل نقطة بإحداثيات ( أ، ب) تم تعيين رقم مركب ض = أ + ثنائية. في هذه الحالة، يسمى محور الإحداثي المحور الحقيقي، والمحور y هو خيالي. ثم كل عدد مركب أ + ثنائيةممثلة هندسيا على المستوى كنقطة أ (أ، ب) أو ناقلات .

وبالتالي فإن موقف هذه النقطة أ(وبالتالي العدد المركب ض) يمكن ضبطها بواسطة طول المتجه | | = صوالزاوية يشكلها المتجه | | مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي. طول المتجه يسمى معامل العدد المركبويشار إليه بـ | ض|= ص، والزاوية يمُسَمًّى حجة الرقم المركبوالمشار إليها ي = argz.

ومن الواضح أن | ض| ³ 0 و | ض | = 0 Û ض= 0.

من الشكل. 2 يدل على ذلك.

يتم تعريف وسيطة الرقم المركب بشكل غامض، وتصل إلى 2 بك، كÎ ز.

من الشكل. 2 يظهر أيضًا أنه إذا ض=أ+ثنائيةو ي=ارجز،الذي - التي

كوس ي =الخطيئة ي =، تيراغرام ي = .

لو ضرو ض> 0 ثم ارجز = 0 +2pk;

لو ض أورو ض< 0 ثم ارجز = ع + 2pk;

لو ض= 0,argzغير محدد.

يتم تحديد القيمة الرئيسية للوسيطة على الفاصل الزمني 0 £argz 2 جنيه استرليني ص،

أو -ص£ أرج ض جنيه ص.

أمثلة:

1. أوجد معامل الأعداد المركبة ض 1 = 4 – 3أناو ض 2 = –2–2أنا.

2. حدد على المستوى المركب المساحات المحددة بالشروط:

1) | ض | = 5; 2) | ض| 6 جنيهات إسترلينية؛ 3) | ض – (2+أنا) | 3 جنيهات إسترلينية؛ 4) 6 جنيهات إسترلينية | ض – أنا| 7 جنيهات إسترلينية.

الحلول والأجوبة:

1) | ض| = 5 Û Û هي معادلة دائرة نصف قطرها 5 ومركزها نقطة الأصل.

2) دائرة نصف قطرها 6 ومركزها نقطة الأصل.

3) دائرة نصف قطرها 3 ومركزها نقطة ض0 = 2 + أنا.

4) حلقة تحدها دوائر نصف قطرها 6 و 7 مركزها عند نقطة ما ض 0 = أنا.

3. ابحث عن وحدة ووسيطة الأرقام: 1) ؛ 2).

1) ; أ = 1, ب = Þ ,

Þ ي1= .

2) ض 2 = –2 – 2أنا; أ =–2, ب=-2 ص ,

.

ملاحظة: عند تحديد الوسيطة الرئيسية، استخدم المستوى المركب.

هكذا: ض 1 = .

2) , ص 2 = 1، ي 2 =، .

3) , ص 3 = 1، ي 3 =، .

4) , ص 4 = 1، ي4 =، .

لتحديد موضع نقطة ما على المستوى، يمكنك استخدام الإحداثيات القطبية [ز، (ع)، أين زهي مسافة النقطة من الأصل، و (ر- الزاوية التي يصنعها نصف القطر - متجه هذه النقطة بالاتجاه الموجب للمحور أوه.الاتجاه الإيجابي لتغير الزاوية (ريعتبر الاتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة. باستخدام العلاقة بين الإحداثيات الديكارتية والقطبية: x \u003d r cos cf، y \u003d r sin (ص,

نحصل على الشكل المثلثي للعدد المركب

ض - ص (الخطيئة (ع + أنا الخطيئة

أين ز

Xi + y2, (p هي وسيطة الرقم المركب، والتي تم العثور عليها من

ل س . ذ ذ

الصيغ كوس (ع --, الخطيئة^9 ​​= - أو بسبب ذلك تيراغرام (ع --, (ص-arctg

لاحظ أنه عند اختيار القيم تزوجمن المعادلة الأخيرة، من الضروري أن تأخذ في الاعتبار العلامات س و ص.

مثال 47. اكتب عددًا مركبًا على الصورة المثلثية 2 \u003d -1 + ل / ض / .

حل. أوجد معامل ووسيطة العدد المركب:

= ي ج 1 + 3 = 2 . ركن تزوجتجد من العلاقات كوس (ص = -, الخطيئة (ع = - .ثم

نحن نحصل كوس (ع = -،حساء

ش/ض ز~

• - -. من الواضح أن النقطة z = -1 + V3-/ هي
• 2 ل 3

في الربع الثاني: (ر= 120 درجة

أستعاض

2 ك.. ضرب بالعصا؛ خطيئة

في الصيغة (1) تم العثور على 27 جرام لتر

تعليق. لا يتم تعريف وسيطة الرقم المركب بشكل فريد، ولكن يصل إلى حد يكون من مضاعفاته 2 ص.ثم من خلال CN ^ صالمعين

قيمة الوسيطة المغلقة داخل (ص 0 %2 ثم

أ) ^ ص = + 2 ك ك.

باستخدام صيغة أويلر المعروفة هـ، نحصل على الشكل الأسي للعدد المركب.

لدينا ص = ص (الشركة ^ (ع + أنا؟، ن (ع) = إعادة،

العمليات على الأعداد المركبة

• 1. مجموع رقمين مركبين r، = X] + ذ س/ و ص2 - س 2 + ص 2/ يتم تحديده وفق الصيغة r! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)' g
• 2. تُعرف عملية طرح الأعداد المركبة بأنها العملية العكسية لعملية الجمع. عدد مركب ز \u003d ز س - ز 2،لو ز 2 + ز \u003d ز س،

هو الفرق بين الأعداد المركبة 2 و ز 2 .ثم ص = (س، - × 2) + (ص، - في 2) /.

• 3. منتج عددين مركبين ز س= س، +ص، -ض و 2 2 = × 2+ يو2‘ يتم تحديد g بواسطة الصيغة
• *1*2 =(* + ش"0(×2+ ت 2 -0= × 1 × 2 ص 1 2 -1 + س Y2 " * + في1 في2 " ^ =

\u003d (xx 2 ~ YY 2) + ( X Y2 + X 2Y) - "-

بخاصة، ذ-ص\u003d (x + y-g) (x-y /) \u003d x 2 + y 2.

يمكنك الحصول على صيغ الضرب للأعداد المركبة في الأشكال الأسية والمثلثية. لدينا:

• 1^ 2 - ص س ه 1 = )Г 2 ه > = Г]Г 2 cOs((P + cp 2) + isin
• 4. يتم تعريف تقسيم الأعداد المركبة على أنه العملية العكسية

الضرب، أي رقم ز--يسمى حاصل قسمة r! على ز 2،

لو ص س -1 2 ? 2 . ثم

X + تي _ (*і + يو 2 ~ 1 يو2 ) × 2 + إي يو2( 2 + ^ ص 2)( 2 ~ 1 ص 2)

س، س 2 + /ص، س 2 - التاسع × ص 2 - ط 2 ذ س ص 2 (س س س 2 + ص س ص 2)+ /(- س، ص 2 + × 2 ص])

2 2 × 2 + ص 2

1 ه

أنا (ر ز

• - 1U ه "(1 Fg) - I.sOї ((P - cf 1) + I- (ر-,)] >2 >2
• 5. من الأفضل رفع رقم مركب إلى قوة عدد صحيح موجب إذا كان الرقم مكتوبًا في صورة أسية أو مثلثية.

في الواقع، إذا ض = جنرال الكتريك 1 ثم

=(جي،) = ص ب ه ر = ز"(co8 psr + it gcr).

الصيغة ز" =r n (cosn(p+is n(p)تسمى صيغة دي موافر.

6. استخراج الجذر ف-يتم تعريف القوة رقم مركب على أنها العملية العكسية للأس ص، ص- 1،2،3،... أي. عدد مركب = ذ[زيسمى الجذر ف-الدرجة الرابعة من العدد المركب

د إذا ز = ز س. ومن هذا التعريف يتبع ذلك ز - ز "، أ ز س= لتر/جم. (ف-psr س،أ سر^-سر/ن، والتي تتبع صيغة Moivre المكتوبة للرقم = r/*+ إيب (ع).

كما هو مذكور أعلاه، لا يتم تعريف وسيطة الرقم المركب بشكل فريد، ولكن يصل إلى حد يمثل مضاعفًا للعدد 2 و.لهذا = (ع + 2 قطعة، وحجة الرقم r، اعتمادًا على ل،دل (ع لوبو

ماركاً ألمانيا حساب بواسطة الصيغة (ع ل= - + . ومن الواضح أن هناك صكوم-

أرقام بليكس، صوالتي تساوي قوتها الرقم 2. وهذه الأرقام لها واحد

ونفس الوحدة، يساوي ص [ص،ويتم الحصول على حجج هذه الأرقام بواسطة ل = 0, 1, ف - 1. وهكذا، في الشكل المثلثي، يتم حساب جذر الدرجة i بواسطة الصيغة:

(ع + 2 ك.ب . . راجع + 2kp

, ل = 0, 1, 77-1,

.(ع+2ktg

وفي الشكل الأسي - حسب الصيغة ل[ص - ص[جنرال الكتريك ن

مثال 48. إجراء العمليات على الأعداد المركبة في الصورة الجبرية:

أ) (1- / ح / 2) 3 (3 + /)

• (1 - /ل/2) 3 (ق + /) \u003d (1 - زل / 2 / + 6 / 2 - 2 لتر / 2 / ? 3) (3 + /) \u003d
• (1 - زل/2/ - 6 + 2ل/2/DZ + /)=(- 5 - ل/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/ 2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 + l/2)-(5 + Zl/2)/;

مثال 49. ارفع الرقم r \u003d Uz - / للقوة الخامسة.

حل. نحصل على الشكل المثلثي لكتابة الرقم r.

ز =ل/3+1 =2، CO8 (ع --، 5ІІ7 (ر =

• (1 - 2/X2 + /)
• (س-،)

أو - 2.-x2 + س

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (لا بأس

ض/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

• (3-ط) 'з+/
• 9 + 1 ث_±.
• 5 2 1 "

من هنا س--، أ ص = 2

Moivre نحصل على: ط-2

/ ^ _ 7ر، . ؟ز

• -نحن-- إيبيب -

• --ب/-

\u003d - (لتر / واط + ز) \u003d -2.

مثال 50 ابحث عن جميع القيم

الحل، ص = 2، أ تزوجتجد من المعادلة كوي (ع = -، zt--.

هذه النقطة 1 - /d/z تقع في الربع الرابع، أي. و =--. ثم

• 1 - 2
• ( (يو جي إل

تم العثور على القيم الجذرية من التعبير

V1 - /ل/ث = ل/2

• --+ 2 أ:/ز --- ب 2 ك.ك
• 3 . . 3

С08--1- و 81P-

في ل - 0 لدينا 2 0 = لتر/2

يمكنك العثور على قيم جذر الرقم 2 من خلال عرض الرقم على الشاشة

-* ل/ 3 + 2 فصل

في ل= 1 لدينا قيمة جذر أخرى:

• 7 جرام. 7 جرام _
• ---b27g ---b2;ز
• 3 . . ح

7 جرام . . 7 جرام لتر-C05- + 181P - 6 6

• --ن-

مع؟ - 7G+/5Sh-I"

ل/3__ر_

شكل الجسم. لأن ص = 2، أ تزوج= ، ثم r = 2е 3 ، و ذ[ز = ص/2ه 2