المتباينات المثلثية sinx 1 2. خوارزمية حل أبسط المتباينات المثلثية والتعرف على طرق حل المتباينات المثلثية
1. إذا كانت الحجة معقدة (تختلف عن X)، ثم استبدله بـ ر.
2. نبني في مستوى إحداثي واحد لعبةالرسوم البيانية الوظيفية ص = التكلفةو ص=أ.
3. نجد مثل هذا نقطتين متجاورتين من تقاطع الرسوم البيانية، الذي يقع بينهما فوق الخط المستقيم y=a. نجد حروف هذه النقاط.
4. اكتب متباينة مزدوجة للوسيطة رمع الأخذ في الاعتبار فترة جيب التمام ( رسيكون بين الإحداثيات الموجودة).
5. قم بإجراء استبدال عكسي (العودة إلى الوسيطة الأصلية) والتعبير عن القيمة Xومن المتباينة المزدوجة نكتب الإجابة على صورة فترة عددية.
مثال 1.
بعد ذلك، وفقًا للخوارزمية، نحدد قيم الوسيطة تلك ر، حيث يقع الجيوب الأنفية أعلى مباشر. لنكتب هذه القيم على هيئة متباينة مزدوجة، مع الأخذ بعين الاعتبار دورية دالة جيب التمام، ثم نعود إلى الوسيطة الأصلية X.
مثال 2.
اختيار نطاق من القيم ر، حيث يكون الجيوب الأنفية فوق الخط المستقيم.
نكتب القيم على شكل متباينة مزدوجة ر،استيفاء الشرط. ولا ننسى أن أصغر فترة من الدالة ص = التكلفةيساوي 2π. العودة إلى المتغير X، تبسيط جميع أجزاء المتباينة المزدوجة تدريجيًا.
نكتب الإجابة على صورة فترة عددية مغلقة، لأن المتباينة لم تكن صارمة.
مثال 3.
سنكون مهتمين بنطاق القيم ر، حيث تقع نقاط الجيوب الأنفية فوق الخط المستقيم.
قيم راكتبها على شكل متباينة مزدوجة، وأعد كتابة نفس القيم لها 2xوصريحة X. لنكتب الإجابة على شكل فاصل رقمي.
ومرة أخرى صيغة التكلفة>أ.
لو التكلفة>أ, (-1≤أ≥1)، ثم - أركوس أ + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.
قم بتطبيق الصيغ لحل المتباينات المثلثية وستوفر الوقت في اختبار الامتحان.
والآن صيغة
، والذي يجب عليك استخدامه في اختبار UNT أو اختبار الدولة الموحدة عند حل المتباينة المثلثية للنموذج يكلف
لو يكلف , (-1≤أ≥1)، ثم أركوس أ + 2πن< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.
قم بتطبيق هذه الصيغة لحل المتباينات التي تمت مناقشتها في هذه المقالة، وستحصل على الإجابة بشكل أسرع بكثير وبدون أي رسوم بيانية!
مع الأخذ بعين الاعتبار دورية دالة الجيب، نكتب متباينة مزدوجة لقيم الوسيطة ر، إرضاء عدم المساواة الأخيرة. دعنا نعود إلى المتغير الأصلي. دعونا نحول المتباينة المزدوجة الناتجة ونعبر عن المتغير X.لنكتب الإجابة على شكل فاصل زمني.
دعونا نحل عدم المساواة الثانية:
عند حل المتباينة الثانية، كان علينا تحويل الجانب الأيسر من هذه المتباينة باستخدام صيغة جيب الوسيطة المزدوجة للحصول على متباينة بالشكل: سينت≥a.بعد ذلك اتبعنا الخوارزمية.
نحل المتباينة الثالثة:
عزيزي الخريجين والمتقدمين! ضع في اعتبارك أن طرق حل المتباينات المثلثية، مثل الطريقة الرسومية المذكورة أعلاه، وربما تكون معروفة لك، طريقة الحل باستخدام وحدة دائرة مثلثية (دائرة مثلثية) قابلة للتطبيق فقط في المراحل الأولى من دراسة قسم علم المثلثات "حل المعادلات المثلثية والمتباينات." أعتقد أنك ستتذكر أنك قمت أولاً بحل أبسط المعادلات المثلثية باستخدام الرسوم البيانية أو الدائرة. ومع ذلك، الآن لن تفكر في حل المعادلات المثلثية بهذه الطريقة. كيف يمكنك حلها؟ هذا صحيح، وفقا للصيغ. لذا، يجب حل المتباينات المثلثية باستخدام الصيغ، خاصة أثناء الاختبار ومتى كل دقيقة ثمينة. إذن، حل المتباينات الثلاثة في هذا الدرس باستخدام الصيغة المناسبة.
لو سينت>أحيث -1 أ≥1 إذن أركسين أ + 2πن< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.
تعلم الصيغ!
وأخيرًا: هل تعلم أن الرياضيات تعريفات وقواعد وصيغ؟!
بالطبع تفعل! والأكثر فضولاً بعد أن درس هذا المقال وشاهد الفيديو صرخ: "كم من الوقت وصعب! هل هناك صيغة تسمح لك بحل هذه المتباينات دون أي رسوم بيانية أو دوائر؟ نعم، بالطبع هناك!
لحل متباينات النموذج: خطيئة (-1≤أ≥1) الصيغة صالحة:
— π — قوسسين أ + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.
قم بتطبيقه على الأمثلة التي تمت مناقشتها وستحصل على الإجابة بشكل أسرع!
خاتمة: تعلم الصيغ والأصدقاء!
الصفحة 1 من 1 1
معظم الطلاب لا يحبون عدم المساواة المثلثية. ولكن عبثا. كما اعتادت إحدى الشخصيات أن تقول،
"أنت لا تعرف كيف تطبخها"
إذن كيف "نطبخ" وما يجب تقديمه من عدم المساواة مع الجيب، سنكتشف ذلك في هذه المقالة. سنحلها بأبسط طريقة، وهي استخدام دائرة الوحدة.
لذلك، أولا وقبل كل شيء، نحن بحاجة إلى الخوارزمية التالية.
خوارزمية لحل عدم المساواة مع الجيب:
- على محور الجيب نرسم الرقم $a$ ونرسم خطًا مستقيمًا موازيًا لمحور جيب التمام حتى يتقاطع مع الدائرة؛
- سيتم تظليل نقاط تقاطع هذا الخط مع الدائرة إذا كانت المتباينة غير صارمة، ولن تكون مظللة إذا كانت المتراجحة صارمة؛
- ستكون منطقة حل المتراجحة أعلى الخط وحتى الدائرة إذا كانت المتراجحة تحتوي على الإشارة "$>$"، وأسفل الخط وحتى الدائرة إذا كانت المتراجحة تحتوي على العلامة "$"<$”;
- للعثور على نقاط التقاطع، نحل المعادلة المثلثية $\sin(x)=a$، نحصل على $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
- ضبط $n=0$، نجد نقطة التقاطع الأولى (تقع إما في الربع الأول أو الرابع)؛
- للعثور على النقطة الثانية، ننظر في أي اتجاه نسير عبر المنطقة إلى نقطة التقاطع الثانية: إذا كان في الاتجاه الموجب، فيجب أن نأخذ $n=1$، وإذا كان في الاتجاه السلبي، ثم $n=- 1$;
- ردًا على ذلك، يتم كتابة الفاصل الزمني من نقطة التقاطع الأصغر $+ 2\pi n$ إلى النقطة الأكبر $+ 2\pi n$.
قيود الخوارزمية
هام: دخوارزمية معينة لا يعملللمتباينات بالشكل $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.
حالات خاصة عند حل المتباينات مع الجيب
من المهم أيضًا ملاحظة الحالات التالية، والتي تعتبر أكثر ملاءمة لحلها منطقيًا دون استخدام الخوارزمية المذكورة أعلاه.
حالة خاصة 1.حل عدم المساواة:
$\sin(x)\leq 1.$
نظرًا لأن نطاق قيم الدالة المثلثية $y=\sin(x)$ ليس أكبر من modulo $1$، فإن الجانب الأيسر من المتراجحة في أي$x$ من مجال التعريف (ومجال تعريف الجيب هو كل الأعداد الحقيقية) لا يزيد عن $1$. هذا يعني أننا نكتب الإجابة: $x \in R$.
عاقبة:
$\sin(x)\geq -1.$
حالة خاصة 2.حل عدم المساواة:
$ \ الخطيئة (خ)< 1.$
بتطبيق منطق مشابه للحالة الخاصة 1، نجد أن الجانب الأيسر من المتراجحة أقل من $1$ لجميع $x \in R$، باستثناء النقاط التي تمثل حلولاً للمعادلة $\sin(x) = 1$. وبحل هذه المعادلة سيكون لدينا:
$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$
وبالتالي نكتب في الإجابة: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.
عاقبة:يتم حل عدم المساواة بالمثل
$\sin(x) > -1.$
أمثلة على حل عدم المساواة باستخدام الخوارزمية.
مثال 1:حل عدم المساواة:
$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$
- دعونا نحدد الإحداثي $\frac(1)(2)$ على محور الجيب.
- لنرسم خطًا مستقيمًا موازيًا لمحور جيب التمام ويمر بهذه النقطة.
- دعونا نحدد نقاط التقاطع. سيتم تظليلها لأن المتباينة ليست صارمة.
- علامة المتباينة هي $\geq$، مما يعني أننا نرسم المنطقة الواقعة فوق الخط، أي. نصف دائرة أصغر.
- نجد نقطة التقاطع الأولى. للقيام بذلك، نحول المتراجحة إلى مساواة ونحلها: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. نقوم أيضًا بتعيين $n=0$ ونجد نقطة التقاطع الأولى: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
- نجد النقطة الثانية. منطقتنا تسير في الاتجاه الموجب من النقطة الأولى، مما يعني أننا حددنا $n$ يساوي $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \ pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.
وبالتالي فإن الحل سوف يأخذ الشكل:
$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$
مثال 2:حل عدم المساواة:
$ \ الخطيئة (خ)< -\frac{1}{2}$
لنضع علامة على الإحداثي $-\frac(1)(2)$ على محور الجيب ونرسم خطًا مستقيمًا موازيًا لمحور جيب التمام ويمر عبر هذه النقطة. دعونا نحدد نقاط التقاطع. ولن يتم تظليلها، لأن عدم المساواة صارم. علامة عدم المساواة $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:
$\sin(x)=-\frac(1)(2)$
$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.
بافتراض أن $n=0$، نجد نقطة التقاطع الأولى: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. منطقتنا تسير في الاتجاه السلبي من النقطة الأولى، مما يعني أننا جعلنا $n$ يساوي $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.
إذن، حل هذه المتباينة هو الفترة:
$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\right)، \n \in Z.$
مثال 3:حل عدم المساواة:
$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$
لا يمكن حل هذا المثال على الفور باستخدام خوارزمية. أولا تحتاج إلى تحويله. نحن نفعل بالضبط ما سنفعله في المعادلة، لكن لا تنس الإشارة. القسمة أو الضرب على رقم سالب يؤدي إلى عكس ذلك!
لذلك، دعونا ننقل كل ما لا يحتوي على دالة مثلثية إلى الجانب الأيمن. نحصل على:
$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$
دعونا نقسم الجانبين الأيسر والأيمن على $-2$ (لا تنس الإشارة!). سيكون لدينا:
$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$
مرة أخرى، لدينا متباينة لا يمكننا حلها باستخدام الخوارزمية. ولكن هنا يكفي تغيير المتغير:
$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$
نحصل على عدم المساواة المثلثية التي يمكن حلها باستخدام الخوارزمية:
$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$
تم حل هذه المتباينة في المثال 1، لذلك دعونا نستعير الإجابة من هناك:
$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$
ومع ذلك، فإن القرار لم ينته بعد. نحن بحاجة إلى العودة إلى المتغير الأصلي.
$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$
لنتخيل الفاصل الزمني كنظام:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n \end(array) \right.$
يوجد على الجانب الأيسر من النظام تعبير ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$)، والذي ينتمي إلى الفاصل الزمني. الحد الأيسر للفترة مسؤول عن المتباينة الأولى، والحد الأيمن مسؤول عن المتباينة الثانية. علاوة على ذلك، تلعب الأقواس دورًا مهمًا: إذا كان القوس مربعًا، فسيتم تخفيف عدم المساواة، وإذا كان مستديرًا، فسيكون صارمًا. مهمتنا هي الحصول على $x$ من اليسار في كلا عدم المساواة.
دعنا ننقل $\frac(\pi)(6)$ من الجانب الأيسر إلى الجانب الأيمن، نحصل على:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6) \end(array) \right.$.
بالتبسيط، لدينا:
$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n \end(array) \right.$
بضرب الجانبين الأيسر والأيمن بـ 4$، نحصل على:
$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $
بتجميع النظام في الفاصل الزمني، نحصل على الجواب:
$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$
أبسط المتباينات المثلثية على الشكل sin x>a هي الأساس لحل المتباينات المثلثية الأكثر تعقيدًا.
دعونا نفكر في حل أبسط المتباينات المثلثية بالصيغة sin x>a على دائرة الوحدة.
1) عند 0
باستخدام الارتباط cosine-bun (كلاهما يبدأ بـ co-، وكلاهما "مستدير")، نتذكر أن جيب التمام هو x، على التوالي، وsine هو y. من هنا نبني رسمًا بيانيًا y=a - خط مستقيم موازٍ لمحور الثور. إذا كانت المتباينة صارمة، يتم ثقب نقاط تقاطع دائرة الوحدة والخط المستقيم y=a، وإذا لم تكن المتباينة صارمة، فإننا نرسم فوق النقاط (ما مدى سهولة تذكر متى يتم ثقب نقطة ومتى فهو مظلل، انظر). إن الصعوبة الكبرى في حل أبسط المتباينات المثلثية ترجع إلى إيجاد نقاط تقاطع دائرة الوحدة والخط y=a بشكل صحيح.
من السهل العثور على النقطة الأولى - وهي arcsin a. نحدد المسار الذي ننتقل به من النقطة الأولى إلى الثانية. على السطر y=a sinx=a، أعلاه، فوق الخط، sin x>a، وتحته، تحت الخط، sin x
2) أ=0، أي الخطيئة x>0
في هذه الحالة، النقطة الأولى من الفترة هي 0، والثانية هي n. إلى طرفي الفترة، مع الأخذ في الاعتبار فترة الجيب، نضيف 2n.
3) بالنسبة لـ a=-1، يكون sinx>-1
في هذه الحالة، النقطة الأولى هي p/2، وللوصول إلى النقطة الثانية، نلتف حول الدائرة بأكملها عكس اتجاه عقارب الساعة. نصل إلى النقطة -p/2+2p=3p/2. لكي نأخذ في الاعتبار جميع الفترات التي تمثل حلولاً لهذه المتباينة، نضيف 2n إلى كلا الطرفين.
4) سينكس>-أ، عند 0
النقطة الأولى هي كالعادة arcsin(-a)=-arcsina. للوصول إلى النقطة الثانية، نسير في الاتجاه العلوي، أي في اتجاه زيادة الزاوية.
هذه المرة نتحرك إلى ما هو أبعد من n. كم من الوقت نحن ذاهبون؟ على أركسين x. وهذا يعني أن النقطة الثانية هي n+arcsin x. لماذا لا يوجد ناقص؟ لأن علامة الطرح -arcsin تعني الحركة في اتجاه عقارب الساعة، لكننا تحركنا عكس اتجاه عقارب الساعة. وأخيرًا، أضف 2pn إلى كل طرف من نهاية الفترة.
5) سينكس>أ، إذا كان أ>1.
تقع دائرة الوحدة بالكامل تحت الخط المستقيم y=a. ولا توجد نقطة واحدة فوق الخط المستقيم. لذلك لا توجد حلول.
6) sinx>-a، حيث a>1.
في هذه الحالة، دائرة الوحدة بأكملها تقع بالكامل فوق الخط المستقيم y=a. ولذلك فإن أي نقطة تحقق الشرط sinx>a. هذا يعني أن x هو أي رقم.
وهنا x هو أي رقم، حيث أن النقاط -n/2+2nn متضمنة في الحل، على عكس المتباينة الصارمة sinx>-1. ليست هناك حاجة لاستبعاد أي شيء.
النقطة الوحيدة في الدائرة التي تحقق هذا الشرط هي n/2. مع الأخذ بعين الاعتبار دورة الجيب، فإن حل هذه المتباينة هو مجموعة النقاط x=n/2+2n.
على سبيل المثال، حل المتراجحة sinx>-1/2:
المتباينات هي علاقات على الشكل a › b، حيث a وb عبارة عن تعبيرات تحتوي على متغير واحد على الأقل. يمكن أن تكون عدم المساواة صارمة - ‹، › وغير صارمة - ≥، ≥.
المتباينات المثلثية هي تعبيرات بالشكل: F(x) › a، F(x) ‹ a، F(x) ≥ a، F(x) ≥ a، حيث يتم تمثيل F(x) بواحدة أو أكثر من الدوال المثلثية .
مثال على أبسط المتباينة المثلثية هو: sin x ‹ 1/2. ومن المعتاد حل مثل هذه المشكلات بيانياً، وقد تم تطوير طريقتين لذلك.
الطريقة الأولى - حل المتباينات عن طريق رسم دالة بيانيًا
للعثور على فترة تحقق شروط عدم المساواة sin x ‹ 1/2، يجب عليك تنفيذ الخطوات التالية:
- على المحور الإحداثي، قم ببناء الشكل الجيبي y = sin x.
- على نفس المحور، ارسم رسمًا بيانيًا للوسيطة العددية للمتباينة، أي خط مستقيم يمر عبر النقطة ½ للإحداثي OY.
- ضع علامة على نقاط التقاطع بين الرسمين البيانيين.
- قم بتظليل الجزء الذي يمثل حل المثال.
عندما تكون العلامات الصارمة موجودة في التعبير، فإن نقاط التقاطع ليست حلولاً. بما أن أصغر فترة موجبة للجيب الجيبي هي 2π، فإننا نكتب الإجابة على النحو التالي:
إذا لم تكن علامات التعبير صارمة، فيجب وضع الفاصل الزمني للحل بين قوسين مربعين - . يمكن أيضًا كتابة إجابة المشكلة على النحو التالي عدم المساواة: 
الطريقة الثانية - حل المتباينات المثلثية باستخدام دائرة الوحدة
يمكن حل مسائل مماثلة بسهولة باستخدام دائرة مثلثية. خوارزمية العثور على الإجابات بسيطة للغاية:
- تحتاج أولاً إلى رسم دائرة الوحدة.
- ثم عليك ملاحظة قيمة دالة القوس لحجة الجانب الأيمن من المتباينة على قوس الدائرة.
- من الضروري رسم خط مستقيم يمر عبر قيمة دالة القوس الموازية لمحور الإحداثي السيني (OX).
- بعد ذلك، كل ما تبقى هو اختيار قوس الدائرة، وهو مجموعة حلول المتباينة المثلثية.
- اكتب الإجابة في النموذج المطلوب.
دعونا نحلل مراحل الحل باستخدام مثال المتباينة sin x › 1/2. تم تحديد النقاط α و β على الدائرة - القيم
نقاط القوس الواقعة فوق α و β هي الفاصل الزمني لحل المتباينة المعطاة.
إذا كنت بحاجة إلى حل مثال لـ cos، فسيتم وضع قوس الإجابة بشكل متماثل على محور OX، وليس OY. يمكنك مراعاة الفرق بين فترات الحل لـ sin وcos في المخططات أدناه في النص.
تختلف الحلول الرسومية لمتباينات الظل وظل التمام عن كل من جيب التمام وجيب التمام. هذا يرجع إلى خصائص الوظائف.
ظل القوس القوسي وظل التمام هما مماسين لدائرة مثلثية، والحد الأدنى للفترة الإيجابية لكلا الدالتين هو π. لاستخدام الطريقة الثانية بسرعة وبشكل صحيح، عليك أن تتذكر على أي محور يتم رسم قيم sin وcos وtg وctg.
يعمل الظل المماس بالتوازي مع محور OY. إذا قمنا برسم قيمة arctan a على دائرة الوحدة، فستكون النقطة الثانية المطلوبة موجودة في الربع القطري. الزوايا
إنها نقاط توقف للدالة، حيث أن الرسم البياني يميل إليها، لكنه لا يصل إليها أبدًا.
في حالة ظل التمام، يعمل الظل بالتوازي مع محور OX، وتنقطع الدالة عند النقطتين π و2π.
المتباينات المثلثية المعقدة
إذا تم تمثيل وسيطة دالة المتباينة ليس فقط بمتغير، ولكن بتعبير كامل يحتوي على مجهول، فإننا نتحدث عن متباينة معقدة. تختلف عملية وإجراءات حلها إلى حد ما عن الطرق الموضحة أعلاه. لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد حل للمتباينة التالية:
يتضمن الحل الرسومي إنشاء شكل جيبي عادي y = sin x باستخدام قيم x محددة بشكل تعسفي. لنحسب جدولًا بإحداثيات نقاط التحكم في الرسم البياني:
يجب أن تكون النتيجة منحنى جميل.
لجعل إيجاد الحل أسهل، دعونا نستبدل وسيطة الدالة المعقدة
وزارة التربية والتعليم في جمهورية بيلاروسيا
مؤسسة تعليمية
"جامعة ولاية غوميل
سميت على اسم فرانسيسك سكارينا"
كلية الرياضيات
قسم الجبر والهندسة
مقبول للدفاع
رأس قسم شيميتكوف L.A.
المعادلات المثلثية والمتباينات
الدورات الدراسية
المنفذ:
طالب المجموعة M-51
سم. جورسكي
المشرف العلمي دكتوراه-ماجستير,
محاضر كبير
ف.ج. سافونوف
جوميل 2008
مقدمة
الطرق الأساسية لحل المعادلات المثلثية
التخصيم
حل المعادلات عن طريق تحويل منتج الدوال المثلثية إلى مجموع
حل المعادلات باستخدام صيغ الوسائط الثلاثية
الضرب ببعض الدوال المثلثية
المعادلات المثلثية غير القياسية
المتباينات المثلثية
اختيار الجذور
مهام الحل المستقل
خاتمة
قائمة المصادر المستخدمة
في العصور القديمة، نشأ علم المثلثات فيما يتعلق باحتياجات علم الفلك ومسح الأراضي والبناء، أي أنه كان ذو طبيعة هندسية بحتة ويمثل بشكل أساسي<<исчисление хорд>>. مع مرور الوقت، بدأت بعض اللحظات التحليلية تتخللها. في النصف الأول من القرن الثامن عشر، حدث تغيير حاد، وبعد ذلك اتخذ علم المثلثات اتجاهًا جديدًا وتحول نحو التحليل الرياضي. في هذا الوقت بدأ اعتبار العلاقات المثلثية بمثابة وظائف.
تعد المعادلات المثلثية من أصعب المواضيع في دورة الرياضيات المدرسية. تنشأ المعادلات المثلثية عند حل المشكلات في علم القياس والقياس المجسم وعلم الفلك والفيزياء وغيرها من المجالات. يتم العثور على المعادلات المثلثية والمتباينات بين مهام الاختبار المركزية سنة بعد سنة.
الفرق الأكثر أهمية بين المعادلات المثلثية والمعادلات الجبرية هو أن المعادلات الجبرية لها عدد محدود من الجذور، بينما المعادلات المثلثية لها عدد لا نهائي، مما يعقد اختيار الجذور بشكل كبير. ميزة أخرى محددة للمعادلات المثلثية هي الشكل غير الفريد لكتابة الإجابة.
تتناول هذه الأطروحة طرق حل المعادلات المثلثية والمتباينات.
تتكون الأطروحة من 6 أقسام.
يقدم القسم الأول المعلومات النظرية الأساسية: تعريف وخصائص الدوال المثلثية والعكسية؛ جدول قيم الدوال المثلثية لبعض الوسائط؛ والتعبير عن الدوال المثلثية بدلالة الدوال المثلثية الأخرى، وهو أمر مهم جداً لتحويل العبارات المثلثية، خاصة تلك التي تحتوي على دوال مثلثية عكسية؛ بالإضافة إلى الصيغ المثلثية الأساسية، المعروفة جيدًا في الدورة المدرسية، يتم تقديم الصيغ التي تبسط التعبيرات التي تحتوي على وظائف مثلثية عكسية.
ويوضح القسم الثاني الطرق الأساسية لحل المعادلات المثلثية. وينظر في حل المعادلات المثلثية الأولية، وطريقة التحليل، وطرق اختزال المعادلات المثلثية إلى معادلات جبرية. نظرًا لأن حلول المعادلات المثلثية يمكن كتابتها بعدة طرق، كما أن شكل هذه الحلول لا يسمح للمرء أن يحدد على الفور ما إذا كانت هذه الحلول متماثلة أم مختلفة، الأمر الذي قد<<сбить с толку>> عند حل الاختبارات يراعى المخطط العام لحل المعادلات المثلثية ويراعى بالتفصيل تحويل مجموعات الحلول العامة للمعادلات المثلثية.
ويتناول القسم الثالث المعادلات المثلثية غير القياسية، والتي تعتمد حلولها على المنهج الوظيفي.
ويناقش القسم الرابع المتباينات المثلثية. تتم مناقشة طرق حل المتباينات المثلثية الأولية، سواء على دائرة الوحدة أو بالطريقة الرسومية، بالتفصيل. يتم وصف عملية حل عدم المساواة المثلثية غير الأولية من خلال عدم المساواة الأولية وطريقة الفواصل الزمنية، المعروفة بالفعل لأطفال المدارس.
يعرض القسم الخامس المهام الأكثر صعوبة: عندما يكون من الضروري ليس فقط حل معادلة مثلثية، ولكن أيضًا اختيار الجذور من الجذور الموجودة التي تستوفي بعض الشروط. يقدم هذا القسم حلولاً لمهام اختيار الجذر النموذجية. يتم توفير المعلومات النظرية اللازمة لاختيار الجذور: تقسيم مجموعة من الأعداد الصحيحة إلى مجموعات فرعية منفصلة، وحل المعادلات في الأعداد الصحيحة (diaphantine).
يعرض القسم السادس مهام الحل المستقل المقدمة في شكل اختبار. تحتوي مهام الاختبار العشرين على أصعب المهام التي قد تواجهك أثناء الاختبار المركزي.
المعادلات المثلثية الأولية
المعادلات المثلثية الأولية هي معادلات من الشكل حيث --- إحدى الدوال المثلثية: , , , .
المعادلات المثلثية الأولية لها عدد لا نهائي من الجذور. على سبيل المثال، القيم التالية تحقق المعادلة: , , إلخ. الصيغة العامة التي يتم من خلالها العثور على جميع جذور المعادلة، حيث، هي كما يلي:
هنا يمكن أن تأخذ أي قيم عددية، كل منها يتوافق مع جذر معين للمعادلة؛ في هذه الصيغة (وكذلك في الصيغ الأخرى التي يتم من خلالها حل المعادلات المثلثية الأولية) تسمى المعلمة. عادةً ما يكتبون، مما يؤكد على أن المعلمة يمكنها قبول أي قيم صحيحة.
تم العثور على حلول المعادلة، حيث، بواسطة الصيغة
يتم حل المعادلة باستخدام الصيغة
والمعادلة بالصيغة
دعونا نلاحظ بشكل خاص بعض الحالات الخاصة للمعادلات المثلثية الأولية، عندما يمكن كتابة الحل دون استخدام الصيغ العامة:
عند حل المعادلات المثلثية، تلعب دورة الدوال المثلثية دورًا مهمًا. لذلك، نقدم نظريتين مفيدتين:
نظرية إذا --- الفترة الرئيسية للدالة، فإن الرقم هو الفترة الرئيسية للدالة.
ويقال أن فترات الدوال متناسبة إذا كانت هناك أعداد طبيعية وذلك .
نظرية إذا كانت الدوال الدورية و ، متناسبة و ، فإن لديهم فترة مشتركة، وهي فترة الدوال، ، .
تنص النظرية على أن فترة الدالة , , , هي وليست بالضرورة الفترة الرئيسية. على سبيل المثال، الفترة الرئيسية للوظائف و --- ، والفترة الرئيسية لمنتجها --- .
تقديم حجة مساعدة
بالطريقة القياسية لتحويل تعبيرات النموذج 
هي التقنية التالية: دع --- الزاوية المعطاة بالمساواة 
, 
. لأي شخص، توجد مثل هذه الزاوية. هكذا . إذا، أو،،، في حالات أخرى.
مخطط لحل المعادلات المثلثية
المخطط الأساسي الذي سنتبعه عند حل المعادلات المثلثية هو كما يلي:
يتم تقليل حل معادلة معينة إلى حل المعادلات الأولية. الحل يعني: التحويلات، التحليل، استبدال المجهولات. المبدأ التوجيهي هو عدم فقدان جذورك. وهذا يعني أننا عند الانتقال إلى المعادلة (المعادلات) التالية، لا نخشى ظهور جذور إضافية (خارجية)، ولكن نهتم فقط بأن كل معادلة لاحقة من "السلسلة" (أو مجموعة من المعادلات في حالة التفرع) ) هو نتيجة للسابقة. إحدى الطرق الممكنة لاختيار الجذور هي الاختبار. نلاحظ على الفور أنه في حالة المعادلات المثلثية، فإن الصعوبات المرتبطة باختيار الجذور والتحقق، كقاعدة عامة، تزيد بشكل حاد مقارنة بالمعادلات الجبرية. بعد كل شيء، علينا التحقق من سلسلة تتكون من عدد لا حصر له من الحدود.
يجب الإشارة بشكل خاص إلى استبدال المجهول عند حل المعادلات المثلثية. في معظم الحالات، بعد الاستبدال اللازم، يتم الحصول على معادلة جبرية. علاوة على ذلك، ليس من النادر أن تكون المعادلات، على الرغم من أنها مثلثية في المظهر، ليست كذلك في الأساس، لأنه بعد الخطوة الأولى - تغيير المتغيرات - تتحول إلى جبرية، ولا تحدث العودة إلى علم المثلثات إلا بعد مرحلة حل الابتدائية المعادلات المثلثية.
ولنذكرك مرة أخرى: استبدال المجهول يجب أن يتم في أول فرصة؛ ويجب حل المعادلة الناتجة بعد الاستبدال حتى النهاية، بما في ذلك مرحلة اختيار الجذور، وعندها فقط يتم العودة إلى المجهول الأصلي.
من مميزات المعادلات المثلثية أن الإجابة في كثير من الحالات يمكن كتابتها بطرق مختلفة. حتى لحل المعادلة 
يمكن كتابة الجواب على النحو التالي:
1) على شكل سلسلتين: 
, , ;
2) في النموذج القياسي، وهو مزيج من السلسلة المذكورة أعلاه: , ;
3) لأن 
، ثم يمكن كتابة الإجابة في النموذج 
، . (في ما يلي، فإن وجود المعلمة أو أو في سجل الاستجابة يعني تلقائيًا أن هذه المعلمة تقبل جميع القيم الصحيحة الممكنة. سيتم تحديد الاستثناءات.)
من الواضح أن الحالات الثلاث المذكورة لا تستنفد جميع إمكانيات كتابة الإجابة على المعادلة قيد النظر (هناك عدد لا نهائي منها).
على سبيل المثال، عندما تكون المساواة صحيحة 
. لذلك، في الحالتين الأوليين، إذا، يمكننا استبدال بـ .
عادة ما يتم كتابة الإجابة على أساس النقطة 2. ومن المفيد أن نتذكر التوصية التالية: إذا لم ينتهي العمل بحل المعادلة، فلا يزال من الضروري إجراء البحث واختيار الجذور، ثم الشكل الأكثر ملاءمة للتسجيل تمت الإشارة إليه في النقطة 1. (ينبغي تقديم توصية مماثلة للمعادلة).
دعونا نفكر في مثال يوضح ما قيل.
مثال حل المعادلة.
حل.الطريقة الأكثر وضوحا هي ما يلي. وتنقسم هذه المعادلة إلى قسمين: و. وبحل كل منها والجمع بين الإجابات التي تم الحصول عليها نجد .
طريقة أخرى.منذ ذلك الحين، استبدال واستخدام الصيغ لتقليل الدرجة. بعد التحولات الصغيرة نحصل على من أين 
.
للوهلة الأولى، لا تتمتع الصيغة الثانية بأي مزايا خاصة مقارنة بالصيغة الأولى. ومع ذلك، إذا أخذنا، على سبيل المثال، يتبين أن، أي. المعادلة لها حل، بينما الطريقة الأولى تقودنا إلى الإجابة 
. "انظر" وأثبت المساواة 
ليس بهذه البساطة.
إجابة. .
تحويل ودمج مجموعات الحلول العامة للمعادلات المثلثية
سننظر في التقدم الحسابي الذي يمتد إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين. يمكن تقسيم أعضاء هذا التقدم إلى مجموعتين من الأعضاء، يقعون على يمين ويسار عضو معين يسمى العضو المركزي أو العضو الصفري في التقدم.
من خلال تثبيت أحد حدود التقدم اللانهائي برقم صفر، سيتعين علينا إجراء ترقيم مزدوج لجميع الحدود المتبقية: موجب للحد الموجود على يمينه، وسالب للحد الموجود على يسار الصفر.
بشكل عام، إذا كان فرق المتتابعة هو الحد الصفري، فإن صيغة أي حد (ث) من المتتابعة الحسابية اللانهائية هي:
تحويلات الصيغة لأي حد من التقدم الحسابي اللانهائي
1. إذا أضفت أو طرحت فرق التقدم إلى الحد الصفري، فلن يتغير التقدم، بل سيتحرك الحد الصفري فقط، أي. سوف يتغير عدد الأعضاء
2. إذا تم ضرب معامل قيمة متغيرة، فلن يؤدي ذلك إلا إلى إعادة ترتيب مجموعتي الأعضاء اليمنى واليسرى.
3. إذا كانت فترات متتالية متوالية لا نهاية لها
على سبيل المثال، , , ..., , جعل المصطلحات المركزية للتقدم مع نفس الاختلاف تساوي:
ثم يعبر التقدم وسلسلة من التقدمات عن نفس الأرقام.
مثال يمكن استبدال الصف بالصفوف الثلاثة التالية: , , .
4. إذا كانت المتواليات اللانهائية بنفس الاختلاف لها أرقام حدود مركزية تشكل متوالية حسابية مع اختلاف، فيمكن استبدال هذه المتواليات بتقدم واحد مع اختلاف، وبحد مركزي يساوي أيًا من الحدود المركزية لهذه التقدمات، أي. لو
ثم يتم دمج هذه التقدمات في واحد:
مثال
كلاهما مجتمعين في مجموعة واحدة 
.
لتحويل المجموعات التي لها حلول مشتركة إلى مجموعات ليس لها حلول مشتركة، يتم تقسيم هذه المجموعات إلى مجموعات ذات فترة مشتركة، ثم محاولة توحيد المجموعات الناتجة، باستثناء المجموعات المتكررة.
التخصيم
طريقة التحليل هي كما يلي: إذا
ثم كل حل للمعادلة
هو الحل لمجموعة من المعادلات
العبارة العكسية، بشكل عام، خاطئة: ليس كل حل للسكان هو حل للمعادلة. ويفسر ذلك حقيقة أن حلول المعادلات الفردية قد لا يتم تضمينها في مجال تعريف الوظيفة.
مثال حل المعادلة.
حل.باستخدام الهوية المثلثية الأساسية، نمثل المعادلة في الصورة
إجابة.
; 
.
تحويل مجموع الدوال المثلثية إلى منتج
مثال
حل المعادلة 
.
حل.وبتطبيق الصيغة نحصل على المعادلة المكافئة
إجابة. .
مثال حل المعادلة.
حل.في هذه الحالة، قبل تطبيق الصيغ لمجموع الدوال المثلثية، يجب عليك استخدام صيغة التخفيض 
. ونتيجة لذلك، نحصل على المعادلة المكافئة
إجابة.
, 
.
حل المعادلات عن طريق تحويل منتج الدوال المثلثية إلى مجموع
عند حل عدد من المعادلات، يتم استخدام الصيغ.
مثال حل المعادلة
حل.
إجابة. , .
مثال حل المعادلة.
حل.وبتطبيق الصيغة نحصل على معادلة مكافئة:
إجابة. .
حل المعادلات باستخدام صيغ التخفيض
عند حل مجموعة واسعة من المعادلات المثلثية، تلعب الصيغ دورًا رئيسيًا.
مثال حل المعادلة.
حل.وبتطبيق الصيغة نحصل على معادلة مكافئة.
إجابة. ; .
حل المعادلات باستخدام صيغ الوسائط الثلاثية
مثال حل المعادلة.
حل.وبتطبيق الصيغة نحصل على المعادلة
إجابة. ; .
مثال
حل المعادلة 
.
حل.تطبيق الصيغ لتقليل الدرجة التي نحصل عليها: 
. بالتطبيق نحصل على:
إجابة. ; .
مساواة الدوال المثلثية التي تحمل الاسم نفسه
مثال حل المعادلة.
حل.
إجابة. , .
مثال
حل المعادلة 
.
حل.دعونا نحول المعادلة.
إجابة. .
مثال ومن المعروف أن وتحقيق المعادلة
العثور على المبلغ.
حل.من المعادلة يتبع ذلك
إجابة. .
دعونا نفكر في مبالغ النموذج
ويمكن تحويل هذه المبالغ إلى منتج عن طريق ضربها وقسمتها، ثم نحصل على ذلك
يمكن استخدام هذه التقنية لحل بعض المعادلات المثلثية، ولكن يجب أن يؤخذ في الاعتبار أنه نتيجة لذلك، قد تظهر جذور غريبة. دعونا نلخص هذه الصيغ:
مثال حل المعادلة.
حل.يمكن ملاحظة أن المجموعة هي حل للمعادلة الأصلية. لذلك فإن ضرب طرفي المعادلة الأيسر والأيمن في لن يؤدي إلى ظهور جذور إضافية.
لدينا 
.
إجابة. ; .
مثال حل المعادلة.
حل.دعونا نضرب الجانبين الأيسر والأيمن للمعادلة ونطبق الصيغ لتحويل منتج الدوال المثلثية إلى مجموع، نحصل عليه
هذه المعادلة تعادل الجمع بين معادلتين و من أين و .
بما أن جذور المعادلة ليست جذور المعادلة، فيجب علينا استبعاد . هذا يعني أنه من الضروري استبعاد .
إجابة.و ، .
مثال
حل المعادلة 
.
حل.دعونا نحول التعبير:
سيتم كتابة المعادلة على النحو التالي:
إجابة. .
اختزال المعادلات المثلثية إلى معادلات جبرية
يمكن اختزالها إلى مربع
إذا كانت المعادلة من الشكل
ثم يؤدي الاستبدال إلى المربع، منذ ذلك الحين 
() و.
إذا كان بدلا من هذا المصطلح، فإن الاستبدال المطلوب سيكون.
معادلة
يختزل إلى معادلة تربيعية
العرض كما 
. من السهل التحقق مما لا يمثل جذورًا للمعادلة، ومن خلال إجراء الاستبدال، يتم تقليل المعادلة إلى معادلة تربيعية.
مثال حل المعادلة.
حل.دعنا ننقلها إلى الجانب الأيسر ونستبدلها بـ ونعبر عنها من خلال و .
وبعد التبسيط نحصل على : . قسّم المصطلح على المصطلح وقم بالاستبدال:
وبالعودة إلى نجد 
.
معادلات متجانسة فيما يتعلق ،
النظر في معادلة النموذج
حيث أن , , ..., , أعداد حقيقية . في كل حد على الجانب الأيسر من المعادلة، درجات أحاديات الحد متساوية، أي أن مجموع درجات الجيب وجيب التمام هو نفسه ومتساوي. تسمى هذه المعادلة متجانسنسبة إلى و، ويتم استدعاء الرقم مؤشر التجانس .
ومن الواضح أنه إذا كانت المعادلة سوف تأخذ الشكل:
حلولها هي القيم التي، أي الأرقام، . المعادلة الثانية المكتوبة بين قوسين هي أيضًا متجانسة، لكن درجاتها أقل بمقدار درجة واحدة.
إذا كانت هذه الأرقام ليست جذور المعادلة.
عندما نحصل على: ، ويأخذ الجانب الأيسر من المعادلة (1) القيمة.
لذا، من أجل و، يمكننا قسمة طرفي المعادلة على . ونتيجة لذلك نحصل على المعادلة:
والتي، عن طريق الاستبدال، يمكن بسهولة اختزالها إلى جبرية:
المعادلات المتجانسة مع مؤشر التجانس 1. عندما تكون لدينا المعادلة .
إذا كانت هذه المعادلة تعادل المعادلة من أين .
مثال حل المعادلة.
حل.وهذه المعادلة متجانسة من الدرجة الأولى. بقسمة الجزأين على نحصل على : , , .
إجابة. .
مثال عندما نحصل على معادلة متجانسة من النموذج
حل.
إذا قسمنا طرفي المعادلة على نحصل على المعادلة 
، والتي يمكن اختزالها بسهولة إلى مربع عن طريق الاستبدال: 
. لو 
فإن المعادلة لها جذور حقيقية . سيكون للمعادلة الأصلية مجموعتان من الحلول: , , .
لو 
، فالمعادلة ليس لها حلول.
مثال حل المعادلة.
حل.وهذه المعادلة متجانسة من الدرجة الثانية. بقسمة طرفي المعادلة على نحصل على: . دعونا , ثم , . , ; .
إجابة.
.
يتم تقليل المعادلة إلى معادلة النموذج
للقيام بذلك، يكفي استخدام الهوية 
على وجه الخصوص، يتم تقليل المعادلة إلى متجانسة إذا استبدلنا بها 
، فنحصل على معادلة مكافئة:
مثال حل المعادلة.
حل.دعنا نحول المعادلة إلى معادلة متجانسة:
دعونا نقسم طرفي المعادلة على 
، نحصل على المعادلة:
لنأتي بعد ذلك إلى المعادلة التربيعية: 
, , 
, 
, .
إجابة.
.
مثال حل المعادلة.
حل.لنقوم بتربيع طرفي المعادلة مع الأخذ في الاعتبار أن لهما قيمًا موجبة: , ,
فليكن، ثم نحصل 
, , .
إجابة. .
المعادلات حلها باستخدام الهويات 
ومن المفيد معرفة الصيغ التالية:
مثال حل المعادلة.
حل.باستخدام، نحصل على
إجابة.
نحن لا نقدم الصيغ نفسها، ولكن طريقة لاشتقاقها:
لذلك،
على نفس المنوال، .
مثال
حل المعادلة 
.
حل.دعونا نحول التعبير:
سيتم كتابة المعادلة على النحو التالي:
بالقبول نستقبل. ، . لذلك
إجابة. .
الاستبدال المثلثي العالمي
المعادلة المثلثية للنموذج
حيث --- دالة عقلانية بمساعدة الصيغ - وكذلك بمساعدة الصيغ - يمكن اختزالها إلى معادلة عقلانية فيما يتعلق بالوسائط،،،،،، وبعد ذلك يمكن اختزال المعادلة إلى معادلة عقلانية جبرية المعادلة فيما يتعلق باستخدام صيغ الاستبدال المثلثي الشامل
تجدر الإشارة إلى أن استخدام الصيغ يمكن أن يؤدي إلى تضييق OD للمعادلة الأصلية، لأنه غير محدد عند النقاط، لذلك في مثل هذه الحالات من الضروري التحقق مما إذا كانت الزوايا هي جذور المعادلة الأصلية .
مثال حل المعادلة.
حل.وفقا لشروط المهمة. بتطبيق الصيغ وإجراء الاستبدال، نحصل على
من أين و لذلك.
معادلات النموذج
معادلات النموذج، حيث --- كثيرة الحدود، يتم حلها باستخدام تغييرات المجهول
مثال حل المعادلة.
حل.إجراء الاستبدال ومراعاة ذلك نحصل عليه
أين ، . --- جذر غريب، لأن . جذور المعادلة 
نكون .
استخدام قيود الميزة
في ممارسة الاختبار المركزي، ليس من النادر أن نواجه معادلات يعتمد حلها على الدوال المحدودة و. على سبيل المثال:
مثال حل المعادلة.
حل.بما أن ، فإن الجانب الأيسر لا يتجاوز ويساوي إذا
للعثور على القيم التي تحقق كلتا المعادلتين، نتبع ما يلي. دعونا نحل إحداها، ثم من بين القيم التي تم العثور عليها سنختار تلك التي ترضي الأخرى.
لنبدأ بالثانية : . ثم ، 
.
من الواضح أنه سيكون هناك أرقام زوجية فقط .
إجابة. .
يتم تحقيق فكرة أخرى من خلال حل المعادلة التالية:
مثال
حل المعادلة 
.
حل.لنستخدم خاصية الدالة الأسية: , 
.
بإضافة هذه التفاوتات مصطلحًا تلو الآخر لدينا:
لذلك، يكون الجانب الأيسر من هذه المعادلة متساويًا إذا وفقط إذا تحققت تساويان:
أي أنه يمكن أن يأخذ القيم ، أو ، أو يمكن أن يأخذ القيم ، .
إجابة. , .
مثال
حل المعادلة 
.
حل.، . لذلك، 
.
إجابة. .
مثال حل المعادلة
حل.دعونا نشير إذن من تعريف الدالة المثلثية العكسية التي لدينا 
و 
.
وبما أن عدم المساواة يتبع من المعادلة، أي. . منذ و ثم و . ومع ذلك، لهذا السبب.
إذا و، ثم. وبما أنه قد ثبت ذلك من قبل، إذن.
إجابة. , .
مثال حل المعادلة
حل.نطاق القيم المقبولة للمعادلة هو .
أولا نظهر أن الوظيفة
لأي شيء، يمكن أن يأخذ القيم الإيجابية فقط.
لنتخيل الدالة كالتالي: .
منذ ذلك الحين يحدث، أي. 
.
ولذلك، لإثبات عدم المساواة، لا بد من إثبات ذلك 
. ولهذا الغرض، دعونا نتكعيب طرفي هذه المتباينة
ويشير عدم المساواة العددية الناتجة إلى ذلك. إذا أخذنا ذلك في الاعتبار أيضًا، فإن الطرف الأيسر من المعادلة غير سالب.
دعونا ننظر الآن إلى الجانب الأيمن من المعادلة.
لأن 
، الذي - التي
ومع ذلك، فمن المعروف أن 
. ويترتب على ذلك، أي. الجانب الأيمن من المعادلة لا يتجاوز . لقد ثبت سابقاً أن الطرف الأيسر من المعادلة غير سالب، وبالتالي فإن المساواة في لا يمكن أن تحدث إلا إذا كان الطرفان متساويين، وهذا ممكن فقط إذا كان .
إجابة. .
مثال حل المعادلة
حل.دعونا نشير إلى و 
. وبتطبيق معادلة كوشي وبونياكوفسكي نحصل على: ويترتب على ذلك 
. ومن ناحية أخرى، هناك 
. وبالتالي فإن المعادلة ليس لها جذور.
إجابة. .
مثال حل المعادلة:
حل.لنعيد كتابة المعادلة على النحو التالي:
إجابة. .
الطرق الوظيفية لحل المعادلات المثلثية والمجمعة
لا يمكن اختزال كل معادلة نتيجة للتحولات إلى معادلة ذات شكل قياسي أو آخر، حيث توجد طريقة حل محددة لها. في مثل هذه الحالات، يكون من المفيد استخدام خصائص الوظائف مثل الرتابة، والحدود، والتكافؤ، والدورية، وما إلى ذلك. لذا، إذا انخفضت إحدى الوظائف وزادت الثانية على الفاصل الزمني، فإذا كانت المعادلة لها الجذر في هذا الفاصل الزمني، هذا الجذر فريد، ومن ثم، على سبيل المثال، يمكن العثور عليه عن طريق التحديد. إذا كانت الدالة محدودة من الأعلى، و ، والدالة محدودة من الأسفل، و، فإن المعادلة مكافئة لنظام المعادلات
مثال حل المعادلة
حل.دعونا نحول المعادلة الأصلية إلى النموذج
وحلها باعتبارها من الدرجة الثانية نسبة إلى . ثم نحصل على،
دعونا نحل المعادلة الأولى للسكان. مع الأخذ في الاعتبار الطبيعة المحدودة للدالة، توصلنا إلى نتيجة مفادها أن المعادلة لا يمكن أن يكون لها سوى جذر القطعة. في هذه الفترة تزداد الدالة، والدالة 
يتناقص. ولذلك، إذا كان لهذه المعادلة جذر، فهي فريدة من نوعها. نجد بالاختيار.
إجابة. .
مثال حل المعادلة
حل.دع و 
، فيمكن كتابة المعادلة الأصلية كمعادلة وظيفية. بما أن الدالة غريبة إذن . وفي هذه الحالة نحصل على المعادلة.
بما أن المعادلة رتيبة، فهي تعادل المعادلة، أي. 
، الذي له جذر واحد.
إجابة. .
مثال
حل المعادلة 
.
حل.استنادا إلى نظرية مشتقة وظيفة معقدة، فمن الواضح أن الوظيفة 
التناقص (الدالة المتناقصة، المتزايدة، المتناقصة). ومن هذا يتضح أن الوظيفة 
محددة على ، والتناقص. ولذلك، فإن هذه المعادلة لها جذر واحد على الأكثر. لأن 
، الذي - التي
إجابة. .
مثال حل المعادلة.
حل.دعونا نفكر في المعادلة على ثلاث فترات.
أ) دع . ثم في هذه المجموعة المعادلة الأصلية تعادل المعادلة . والتي ليس لها حلول على الفترة، لأن 
،، أ. على الفترة، المعادلة الأصلية أيضًا ليس لها جذور، لأن 
، أ.
ب) دع . ثم في هذه المجموعة المعادلة الأصلية تعادل المعادلة
جذورها في الفترة هي الأرقام , , .
ج) دع . ثم في هذه المجموعة المعادلة الأصلية تعادل المعادلة
والتي ليس لها حلول في الفترة، لأن و . على الفترة، المعادلة أيضًا ليس لها حلول، لأن ،، أ.
إجابة. , , , .
طريقة التماثل
تعتبر طريقة التناظر ملائمة للاستخدام عندما تتطلب صياغة المهمة حلاً فريدًا لمعادلة أو متباينة أو نظام وما إلى ذلك. أو إشارة دقيقة لعدد الحلول. في هذه الحالة، يجب اكتشاف أي تماثل في التعبيرات المعطاة.
من الضروري أيضًا مراعاة تنوع أنواع التناظر المختلفة الممكنة.
ومن المهم بنفس القدر الالتزام الصارم بالمراحل المنطقية في التفكير المتماثل.
عادة، يسمح لنا التناظر بتحديد الشروط الضرورية فقط، ومن ثم نحتاج إلى التحقق من مدى كفايتها.
مثال ابحث عن جميع قيم المعلمة التي يكون للمعادلة حل فريد لها.
حل.لاحظ أن و هي دوال زوجية، لذا فإن الجانب الأيسر من المعادلة هو دالة زوجية.
وهذا يعني أنه إذا كان هناك حل للمعادلة، فهناك حل للمعادلة أيضًا. إذا كان هو الحل الوحيد للمعادلة، إذن ضروري , .
سوف نختار ممكنالقيم، والتي تتطلب أن يكون جذر المعادلة.
دعونا نلاحظ على الفور أن القيم الأخرى لا يمكن أن تلبي شروط المشكلة.
لكن ليس من المعروف بعد ما إذا كان جميع الذين تم اختيارهم يستوفون بالفعل شروط المهمة.
كفاية.
1) تأخذ المعادلة الشكل 
.
2) المعادلة تأخذ الشكل :
ومن الواضح أنه للجميع و 
. وبالتالي فإن المعادلة الأخيرة تعادل النظام:
وهكذا أثبتنا أن المعادلة لها حل فريد.
إجابة. .
الحل مع استكشاف الوظيفة
مثال اثبات أن جميع حلول المعادلة
أعداد كاملة.
حل.الدورة الرئيسية للمعادلة الأصلية هي . ولذلك، فإننا أولًا نفحص هذه المعادلة على الفترة.
دعنا نحول المعادلة إلى النموذج:
باستخدام الحاسبة الدقيقة نحصل على:
إذا، فمن المعادلات السابقة نحصل على:
وبحل المعادلة الناتجة نحصل على: .
تتيح الحسابات التي تم إجراؤها افتراض أن جذور المعادلة التي تنتمي إلى المقطع هي و .
الاختبار المباشر يؤكد هذه الفرضية. وبذلك ثبت أن جذور المعادلة ما هي إلا أعداد صحيحة .
مثال
حل المعادلة 
.
حل.دعونا نجد الفترة الرئيسية للمعادلة. الدالة لها فترة أساسية تساوي . الفترة الرئيسية للوظيفة هي . المضاعف المشترك الأصغر لـ و يساوي . وبالتالي فإن الدورة الرئيسية للمعادلة هي . يترك .
من الواضح أنه حل للمعادلة. على الفاصل. الدالة سلبية. ولذلك، ينبغي البحث عن جذور أخرى للمعادلة فقط على الفترات x و .
باستخدام الحاسبة الدقيقة، نقوم أولاً بإيجاد القيم التقريبية لجذور المعادلة. للقيام بذلك، نقوم بتجميع جدول قيم الوظائف 
على فترات و ; أي على فترات و .
| 0 | 0 | 202,5 | 0,85355342 |
| 3 | -0,00080306 | 207 | 0,6893642 |
| 6 | -0,00119426 | 210 | 0,57635189 |
| 9 | -0,00261932 | 213 | 0,4614465 |
| 12 | -0,00448897 | 216 | 0,34549155 |
| 15 | -0,00667995 | 219 | 0,22934931 |
| 18 | -0,00903692 | 222 | 0,1138931 |
| 21 | -0,01137519 | 225 | 0,00000002 |
| 24 | -0,01312438 | 228 | -0,11145712 |
| 27 | -0,01512438 | 231 | -0,21961736 |
| 30 | -0,01604446 | 234 | -0,32363903 |
| 33 | -0,01597149 | 237 | -0,42270819 |
| 36 | -0,01462203 | 240 | -0,5160445 |
| 39 | -0,01170562 | 243 | -0,60290965 |
| 42 | -0,00692866 | 246 | -0,65261345 |
| 45 | 0,00000002 | 249 | -0,75452006 |
| 48 | 0,00936458 | 252 | -0,81805397 |
| 51 | 0,02143757 | 255 | -0,87270535 |
| 54 | 0,03647455 | 258 | -0,91803444 |
| 57 | 0,0547098 | 261 | -0,95367586 |
| 60 | 0,07635185 | 264 | -0,97934187 |
| 63 | 0,10157893 | 267 | -0,99482505 |
| 66 | 0,1305352 | 270 | -1 |
| 67,5 | 0,14644661 |
من الجدول يمكن تمييز الفرضيات التالية بسهولة: جذور المعادلة التي تنتمي إلى القطعة هي الأرقام: ; ; . الاختبار المباشر يؤكد هذه الفرضية.
إجابة.
; 
; .
حل المتباينات المثلثية باستخدام دائرة الوحدة
عند حل المتباينات المثلثية في النموذج حيث تكون إحدى الدوال المثلثية، من المناسب استخدام دائرة مثلثية لتمثيل حلول المتباينة بشكل أكثر وضوحًا وكتابة الإجابة. الطريقة الرئيسية لحل المتباينات المثلثية هي اختزالها إلى أبسط المتباينات النوعية. دعونا نلقي نظرة على مثال لكيفية حل هذه التفاوتات.
مثال حل عدم المساواة.
حل.لنرسم دائرة مثلثية ونضع عليها النقاط التي يتجاوز فيها الإحداثي .
الحل لهذا التفاوت سيكون . ومن الواضح أيضًا أنه إذا اختلف عدد معين عن أي رقم من الفترة المحددة بـ فإنه لن يقل أيضًا عن . لذلك، تحتاج فقط إلى إضافة نهايات مقطع الحل الذي تم العثور عليه. وأخيرًا، نجد أن حلول المتباينة الأصلية ستكون كلها 
.
إجابة.
.
لحل المتباينات ذات المماس وظل التمام، يكون مفهوم خط المماس وظل التمام مفيدًا. هذه هي الخطوط المستقيمة، وهي على التوالي (في الشكل (1) و (2)) مماسة للدائرة المثلثية.
من السهل أن نرى أنه إذا قمنا ببناء شعاع أصله عند أصل الإحداثيات، وصنع زاوية مع الاتجاه الموجب لمحور الإحداثيات، فإن طول القطعة من النقطة إلى نقطة تقاطع هذا الشعاع مع فإن خط الظل يساوي تمامًا ظل الزاوية التي يصنعها هذا الشعاع مع محور الإحداثي السيني. تحدث ملاحظة مماثلة بالنسبة لظل التمام.
مثال حل عدم المساواة.
حل.دعونا نشير إلى أن عدم المساواة سوف تتخذ أبسط شكل: . لنفكر في فترة زمنية تساوي أصغر فترة موجبة (LPP) للظل. في هذا الجزء، باستخدام خط الظلال، نثبت ذلك. دعونا نتذكر الآن ما يجب إضافته منذ وظائف NPP. لذا، 
. وبالعودة إلى المتغير نحصل على ذلك.
إجابة.
.
من الملائم حل المتباينات ذات الدوال المثلثية العكسية باستخدام الرسوم البيانية للدوال المثلثية العكسية. دعونا نظهر كيف يتم ذلك مع مثال.
حل المتباينات المثلثية بيانيا
لاحظ أنه إذا كانت --- دالة دورية، فمن الضروري لحل المتراجحة إيجاد حل لها على قطعة طولها مساوية لدورة الدالة. ستتكون جميع حلول المتراجحة الأصلية من القيم التي تم العثور عليها، بالإضافة إلى كل تلك التي تختلف عن تلك التي تم العثور عليها بواسطة أي عدد صحيح من فترات الدالة.
دعونا نفكر في حل مشكلة عدم المساواة ().
منذ ذلك الحين، ليس للمتباينة حلول. إذا كانت مجموعة حلول المتراجحة هي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.
يترك . دالة الجيب لها أصغر فترة موجبة، لذا يمكن حل المتراجحة أولًا على قطعة من الطول، على سبيل المثال، على القطعة. نحن نبني الرسوم البيانية للوظائف و (). تُعطى من خلال عدم المساواة في النموذج: ومن أين،
تم في هذا العمل دراسة طرق حل المعادلات المثلثية والمتباينات سواء على المستوى البسيط أو المستوى الأولمبي. تم النظر في الطرق الرئيسية لحل المعادلات المثلثية والمتباينات، سواء الخاصة --- المميزة فقط للمعادلات المثلثية والمتباينات --- والطرق الوظيفية العامة لحل المعادلات والمتباينات فيما يتعلق بالمعادلات المثلثية.
توفر الأطروحة المعلومات النظرية الأساسية: تعريف وخصائص الدوال المثلثية والعكسية. والتعبير عن الدوال المثلثية بدلالة الدوال المثلثية الأخرى، وهو أمر مهم جداً لتحويل العبارات المثلثية، خاصة تلك التي تحتوي على دوال مثلثية عكسية؛ بالإضافة إلى الصيغ المثلثية الأساسية، المعروفة جيدًا في الدورة المدرسية، يتم تقديم الصيغ التي تبسط التعبيرات التي تحتوي على وظائف مثلثية عكسية. وينظر في حل المعادلات المثلثية الأولية، وطريقة التحليل، وطرق اختزال المعادلات المثلثية إلى معادلات جبرية. نظرًا لحقيقة أنه يمكن كتابة حلول المعادلات المثلثية بعدة طرق، ولا يسمح لنا شكل هذه الحلول بتحديد ما إذا كانت هذه الحلول متماثلة أم مختلفة على الفور، يتم النظر في مخطط عام لحل المعادلات المثلثية والتحويل يتم النظر بالتفصيل في مجموعات الحلول العامة للمعادلات المثلثية. تتم مناقشة طرق حل المتباينات المثلثية الأولية، سواء على دائرة الوحدة أو بالطريقة الرسومية، بالتفصيل. يتم وصف عملية حل عدم المساواة المثلثية غير الأولية من خلال عدم المساواة الأولية وطريقة الفواصل الزمنية، المعروفة بالفعل لأطفال المدارس. يتم تقديم حلول للمهام النموذجية لاختيار الجذور. يتم توفير المعلومات النظرية اللازمة لاختيار الجذور: تقسيم مجموعة من الأعداد الصحيحة إلى مجموعات فرعية منفصلة، وحل المعادلات في الأعداد الصحيحة (diaphantine).
يمكن استخدام نتائج هذه الأطروحة كمواد تعليمية في إعداد الدورات الدراسية والأطروحات، وفي إعداد المواد الاختيارية لأطفال المدارس، ويمكن أيضًا استخدام العمل في إعداد الطلاب لامتحانات القبول والاختبار المركزي.
فيجودسكي يا.يا.، دليل الرياضيات الابتدائية. /فيجودسكي يا.يا. --- م: ناوكا، 1970.
إيغوديسمان أو.، الرياضيات في الامتحان الشفهي / إيغوديسمان أو. --- م: مطبعة إيريس، رولف، 2001.
أزاروف إيه آي، المعادلات/أزاروف آي آي، جلادون أو إم، فيدوسينكو في إس. --- مينيسوتا: تريفيوم، 1994.
ليتفينينكو ف.ن.، ورشة عمل في الرياضيات الابتدائية / ليتفينينكو ف.ن.: التعليم، 1991.
Sharygin I.F. دورة اختيارية في الرياضيات: حل المشكلات / Sharygin I.F., Golubev V.I. --- م: التربية، 1991.
باردوشكين ف.، المعادلات المثلثية. اختيار الجذر / ب. باردوشكين ، أ.بروكوفييف.// الرياضيات ، العدد 12 ، 2005 ص. 23--27.
Vasilevsky A.B.، مهام للعمل اللامنهجي في الرياضيات / Vasilevsky A.B. --- مينيسوتا: أسفيتا الشعبية. 1988. --- 176 ص.
سابونوف بي آي، تحويل واتحاد مجموعات الحلول العامة للمعادلات المثلثية / سابونوف بي آي // تعليم الرياضيات، العدد رقم 3، 1935.
بورودين P.، علم المثلثات. مواد امتحانات القبول في جامعة موسكو الحكومية [النص]/P. Borodin، V. Galkin، V. Panferov، I. Sergeev، V. Tarasov // الرياضيات رقم 1، 2005 ص. 36-48.
ساموسينكو إيه في، الرياضيات: الأخطاء النموذجية للمتقدمين: الدليل المرجعي / ساموسينكو إيه في، كازاتشينوك --- مينيسوتا: المدرسة العليا، 1991.
الذكاء الاصطناعي أزاروف، الأساليب الوظيفية والرسومية لحل مسائل الامتحانات / الذكاء الاصطناعي أزاروف، بارفينوف إس إيه، --- مينيسوتا: أفيرسيف، 2004.
