التوقع الرياضي هو التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي. المتغيرات العشوائية

وكما هو معروف، فإن قانون التوزيع يميز بشكل كامل المتغير العشوائي. ومع ذلك، غالبًا ما يكون قانون التوزيع غير معروف ويجب على المرء أن يقتصر على معلومات أقل. في بعض الأحيان يكون من المربح أكثر استخدام الأرقام التي تصف المتغير العشوائي إجمالاً؛ تسمى هذه الأرقام الخصائص العددية للمتغير العشوائي.

إحدى الخصائص العددية المهمة هي التوقع الرياضي.

والتوقع الرياضي يساوي تقريباً متوسط قيمة المتغير العشوائي.

التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصلهو مجموع منتجات جميع قيمها المحتملة واحتمالاتها.

إذا كان المتغير العشوائي يتميز بسلسلة توزيع محدودة:

X	× 1	× 2	× 3	…	س ن
ر	ص 1	ص 2	ص 3	…	ص ص

ثم التوقع الرياضي م (س)تحددها الصيغة:

يتم تحديد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المستمر من خلال المساواة:

أين هي الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي X.

مثال 4.7.أوجد التوقع الرياضي لعدد النقاط التي تظهر عند رمي حجر النرد.

حل:

قيمة عشوائية Xتأخذ القيم 1، 2، 3، 4، 5، 6. لنضع قانون توزيعها:

X
ر

ثم التوقع الرياضي هو:

خصائص التوقع الرياضي:

1. التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي الثابت نفسه:

م (ق) = س.

2. يمكن إخراج العامل الثابت من علامة التوقع الرياضي:

م (CX) = سم (X).

3. التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي منتج توقعاتهم الرياضية:

م(س ص) = م(س)م(ص).

مثال 4.8. المتغيرات العشوائية المستقلة Xو ييتم منحها بواسطة قوانين التوزيع التالية:

X					ي
ر	0,6	0,1	0,3		ر	0,8	0,2

أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي XY.

حل.

لنجد التوقعات الرياضية لكل من هذه الكميات:

المتغيرات العشوائية Xو يمستقلة، وبالتالي فإن التوقع الرياضي المطلوب هو:

م(س ص) = م(س)م(ص)=

عاقبة.إن التوقع الرياضي لمنتج عدة متغيرات عشوائية مستقلة عن بعضها البعض يساوي منتج توقعاتها الرياضية.

4. التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات:

م (س + ص) = م (س) + م (ص).

عاقبة.التوقع الرياضي لمجموع عدة متغيرات عشوائية يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات.

مثال 4.9.تم إطلاق 3 طلقات مع احتمالات إصابة الهدف تساوي ص 1 = 0,4; ص2= 0.3 و ص 3= 0.6. أوجد التوقع الرياضي لإجمالي عدد الزيارات.

حل.

عدد الضربات في اللقطة الأولى هو متغير عشوائي × 1، والتي يمكن أن تأخذ قيمتين فقط: 1 (ضربة) مع الاحتمال ص 1= 0.4 و0 (خطأ) مع الاحتمال س 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

التوقع الرياضي لعدد الضربات في اللقطة الأولى يساوي احتمال الضربة:

وبالمثل نجد التوقعات الرياضية لعدد الضربات للطلقتين الثانية والثالثة:

م (× 2)= 0.3 و م(× 3)= 0,6.

إجمالي عدد النتائج هو أيضًا متغير عشوائي يتكون من مجموع النتائج في كل من اللقطات الثلاث:

س = × 1 + × 2 + × 3.

التوقع الرياضي المطلوب Xنجدها باستخدام نظرية التوقع الرياضي للمجموع.

يتم تحديد كل قيمة فردية بالكامل من خلال وظيفة التوزيع الخاصة بها. أيضًا، لحل المشكلات العملية، يكفي معرفة العديد من الخصائص العددية، والتي بفضلها يصبح من الممكن تقديم السمات الرئيسية للمتغير العشوائي في شكل قصير.

وتشمل هذه الكميات في المقام الأول القيمة المتوقعةو تشتت .

القيمة المتوقعة— متوسط قيمة المتغير العشوائي في نظرية الاحتمالات. كما تدل .

بأبسط طريقة، التوقع الرياضي لمتغير عشوائي × (ث)، اكتشف كيف أساسيليبيجفيما يتعلق بمقياس الاحتمال ر إبداعي مساحة الاحتمال

يمكنك أيضًا العثور على التوقع الرياضي للقيمة كـ لا يتجزأ من ليبيغمن Xعن طريق التوزيع الاحتمالي آر إكسكميات X:

أين هي مجموعة كل القيم الممكنة X.

التوقع الرياضي للدوال من متغير عشوائي Xوجدت من خلال التوزيع آر إكس. على سبيل المثال، لو X- متغير عشوائي بقيم في و و (خ)- خالية من الغموض بوريلوظيفة X ، الذي - التي:

لو و(خ)- وظيفة التوزيع X، فإن التوقع الرياضي قابل للتمثيل أساسيليبيج - ستيلتجيس (أو ريمان - ستيلتجيس):

في هذه الحالة التكامل Xمن ناحية ( * ) يتوافق مع محدودية التكامل

في حالات محددة، إذا Xلديه توزيع منفصل مع القيم المحتملة س ك, ك=1، 2، . ، والاحتمالات إذن

لو Xلديه توزيع مستمر تماما مع كثافة الاحتمال ع (خ)، الذي - التي

وفي هذه الحالة، فإن وجود توقع رياضي يعادل التقارب المطلق للمتسلسلة أو التكامل المقابل.

خصائص التوقع الرياضي للمتغير العشوائي.

التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي هذه القيمة:

ج- ثابت؛

م=سم[X]

التوقع الرياضي لمجموع القيم المأخوذة عشوائيا يساوي مجموع توقعاتها الرياضية:

التوقع الرياضي لحاصل ضرب المتغيرات المستقلة العشوائية = حاصل ضرب توقعاتها الرياضية:

م=م[س]+م[ص]

لو Xو يمستقل.

إذا كانت المتسلسلة متقاربة:

خوارزمية لحساب التوقع الرياضي.

خصائص المتغيرات العشوائية المنفصلة: يمكن إعادة ترقيم جميع قيمها بأعداد طبيعية؛ تعيين كل قيمة احتمال غير الصفر.

1. اضرب الأزواج واحدًا تلو الآخر: × طعلى باي.

2. أضف منتج كل زوج س ط ص ط.

على سبيل المثال، ل ن = 4 :

دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصلوتدريجيًا، يزداد فجأة عند تلك النقاط التي يكون لاحتمالاتها إشارة إيجابية.

مثال:أوجد التوقع الرياضي باستخدام الصيغة.

خصائص DSV وخصائصها. التوقع، التباين، الانحراف المعياري

يصف قانون التوزيع المتغير العشوائي بشكل كامل. ومع ذلك، عندما يكون من المستحيل العثور على قانون التوزيع، أو أن ذلك غير مطلوب، يمكنك الاكتفاء بإيجاد قيم تسمى الخصائص العددية للمتغير العشوائي. وتحدد هذه القيم بعض القيمة المتوسطة التي تتجمع حولها قيم المتغير العشوائي، ودرجة تشتتها حول هذه القيمة المتوسطة.

التوقع الرياضيالمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع منتجات جميع القيم الممكنة للمتغير العشوائي واحتمالاتها.

يوجد التوقع الرياضي إذا كانت المتسلسلة الموجودة على الجانب الأيمن من المساواة متقاربة بشكل مطلق.

ومن وجهة نظر الاحتمالية يمكننا القول أن التوقع الرياضي يساوي تقريباً الوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي.

مثال. قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل معروف. أوجد التوقع الرياضي.

X
ص	0.2	0.3	0.1	0.4

حل:

9.2 خصائص التوقع الرياضي

1. التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي الثابت نفسه.

2. يمكن إخراج العامل الثابت كعلامة على التوقع الرياضي.

3. التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي منتج توقعاتهم الرياضية.

تنطبق هذه الخاصية على عدد عشوائي من المتغيرات العشوائية.

4. التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات.

تنطبق هذه الخاصية أيضًا على عدد عشوائي من المتغيرات العشوائية.

دعونا نجري تجارب مستقلة، فإن احتمال وقوع الحدث A يساوي p.

نظرية.التوقع الرياضي M(X) لعدد تكرارات الحدث A في n من التجارب المستقلة يساوي حاصل ضرب عدد التجارب واحتمال وقوع الحدث في كل تجربة.

مثال. أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي Z إذا كانت التوقعات الرياضية لـ X وY معروفة: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

حل:

9.3 تشتت المتغير العشوائي المنفصل

ومع ذلك، لا يمكن للتوقع الرياضي أن يصف العملية العشوائية بشكل كامل. بالإضافة إلى التوقع الرياضي، من الضروري إدخال قيمة تميز انحراف قيم المتغير العشوائي عن التوقع الرياضي.

وهذا الانحراف يساوي الفرق بين المتغير العشوائي وتوقعه الرياضي. وفي هذه الحالة، يكون التوقع الرياضي للانحراف صفرًا. ويفسر ذلك حقيقة أن بعض الانحرافات المحتملة تكون إيجابية، والبعض الآخر سلبي، ونتيجة لإلغائها المتبادل يتم الحصول على الصفر.

التشتت (التشتت)للمتغير العشوائي المنفصل هو التوقع الرياضي لمربع انحراف المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي.

من الناحية العملية، هذه الطريقة لحساب التباين غير مريحة، لأن يؤدي إلى حسابات مرهقة لعدد كبير من قيم المتغيرات العشوائية.

ولذلك، يتم استخدام طريقة أخرى.

نظرية. التباين يساوي الفرق بين مربع التوقع الرياضي للمتغير العشوائي X ومربع توقعه الرياضي.

دليل. مع الأخذ في الاعتبار أن التوقع الرياضي M(X) ومربع التوقع الرياضي M2(X) هما كميتان ثابتتان، يمكننا أن نكتب:

مثال. أوجد تباين متغير عشوائي متقطع معطى في قانون التوزيع.

X
× 2
ر	0.2	0.3	0.1	0.4

حل: .

9.4 خصائص التشتت

1. تباين القيمة الثابتة هو صفر. .

2. يمكن إخراج العامل الثابت من إشارة التشتت بتربيعها. .

3. إن تباين مجموع متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي مجموع تباينات هذه المتغيرات. .

4. إن تباين الفرق بين متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي مجموع تباينات هذه المتغيرات. .

نظرية. إن تباين عدد تكرارات الحدث A في n من التجارب المستقلة، التي يكون احتمال p لحدوث الحدث فيها ثابتًا، يساوي حاصل ضرب عدد المحاولات في احتمالات الحدوث وعدم حدوثه. وقوع الحدث في كل تجربة.

9.5 الانحراف المعياري للمتغير العشوائي المنفصل

الانحراف المعيارييسمى المتغير العشوائي X بالجذر التربيعي للتباين.

نظرية. الانحراف المعياري لمجموع عدد محدود من المتغيرات العشوائية المستقلة بشكل متبادل يساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعات الانحرافات المعيارية لهذه المتغيرات.

التوقع الرياضي (القيمة المتوسطة) للمتغير العشوائي X المعطى على مساحة احتمالية منفصلة هو الرقم m =M[X]=∑x i p i إذا كانت المتسلسلة متقاربة تمامًا.

الغرض من الخدمة. استخدام الخدمة عبر الإنترنت ويتم حساب التوقع الرياضي والتباين والانحراف المعياري(انظر المثال). بالإضافة إلى ذلك، يتم رسم رسم بياني لوظيفة التوزيع F(X).

خصائص التوقع الرياضي للمتغير العشوائي

التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي نفسه: M[C]=C, C – ثابت؛
م = ج م [X]
التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع توقعاتها الرياضية: M=M[X]+M[Y]
التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي منتج توقعاتها الرياضية: M=M[X] M[Y] إذا كان X و Y مستقلين.

خصائص التشتت

تباين القيمة الثابتة هو صفر: D(c)=0.
يمكن إخراج العامل الثابت من تحت علامة التشتت بتربيعه: D(k*X)= k 2 D(X).
إذا كان المتغيران العشوائيان X وY مستقلين، فإن تباين المجموع يساوي مجموع التباينات: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
إذا كانت المتغيرات العشوائية X وY تابعة: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
الصيغة الحسابية التالية صالحة للتشتت:
د(X)=م(X 2)-(M(X)) 2

مثال. التوقعات والتباينات الرياضية لمتغيرين عشوائيين مستقلين X و Y معروفة: M(x)=8، M(Y)=7، D(X)=9، D(Y)=6. أوجد التوقع الرياضي والتباين للمتغير العشوائي Z=9X-8Y+7.
حل. بناءً على خصائص التوقع الرياضي: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
بناءً على خصائص التشتت: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

خوارزمية لحساب التوقع الرياضي

خصائص المتغيرات العشوائية المنفصلة: يمكن إعادة ترقيم جميع قيمها بأعداد طبيعية؛ قم بتعيين كل قيمة احتمالًا غير الصفر.

نقوم بضرب الأزواج واحدًا تلو الآخر: x i بواسطة p i .
أضف منتج كل زوج x i p i .
على سبيل المثال، بالنسبة لـ n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

دالة التوزيع لمتغير عشوائي منفصلوتدريجيًا، يزداد فجأة عند تلك النقاط التي تكون احتمالاتها إيجابية.

المثال رقم 1.

× ط	1	3	4	7	9
باي	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

نجد التوقع الرياضي باستخدام الصيغة m = ∑x i p i .
التوقع M[X].
م[س] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
نجد التباين باستخدام الصيغة d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
التباين د[X].
د[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
الانحراف المعياري σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78

المثال رقم 2. يحتوي المتغير العشوائي المنفصل على سلسلة التوزيع التالية:

X	-10	-5	0	5	10
ر	أ	0,32	2أ	0,41	0,03

أوجد قيمة a والتوقع الرياضي والانحراف المعياري لهذا المتغير العشوائي.

حل. تم العثور على قيمة a من العلاقة: Σp i = 1
Σp ط = أ + 0.32 + 2 أ + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 أ = 1
0.76 + 3 أ = 1 أو 0.24=3 أ ، من حيث أ = 0.08

المثال رقم 3. حدد قانون توزيع المتغير العشوائي المتقطع إذا كان تباينه معروفا، و x 1 × 1 =6؛ × 2 =9؛ س 3 = س؛ × 4 = 15
ع 1 =0.3؛ ص 2 =0.3؛ ع 3 =0.1؛ ع 4 =0.3
د(س)=12.96

حل.
هنا تحتاج إلى إنشاء صيغة للعثور على التباين d(x):
د(س) = س 1 2 ص 1 + س 2 2 ص 2 + س 3 2 ص 3 + س 4 2 ص 4 -م(س) 2
حيث التوقع m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
لبياناتنا
م(س)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
أو -9/100 (× 2 -20×+96)=0
وبناء على ذلك، علينا إيجاد جذور المعادلة، وسيكون هناك اثنان منها.
× 3 = 8، × 3 = 12
اختر ما يناسب الشرط ×1 × 3 = 12

قانون التوزيع للمتغير العشوائي المنفصل
× 1 =6؛ × 2 =9؛ × 3 = 12؛ × 4 = 15
ع 1 =0.3؛ ص 2 =0.3؛ ع 3 =0.1؛ ع 4 =0.3

يصف قانون التوزيع المتغير العشوائي بشكل كامل. ومع ذلك، غالبًا ما يكون قانون التوزيع غير معروف ويجب على المرء أن يقتصر على معلومات أقل. في بعض الأحيان يكون من المربح أكثر استخدام الأرقام التي تصف متغيرًا عشوائيًا في المجموع، وتسمى هذه الأرقام الخصائص العدديةمتغير عشوائي. إحدى الخصائص العددية المهمة هي التوقع الرياضي.

والتوقع الرياضي كما سيبين أدناه يساوي تقريباً متوسط قيمة المتغير العشوائي. لحل العديد من المسائل، يكفي معرفة التوقع الرياضي. على سبيل المثال، إذا كان من المعروف أن التوقع الرياضي لعدد النقاط التي سجلها الرامي الأول أكبر من التوقع الثاني، فإن الرامي الأول، في المتوسط، يسجل نقاطًا أكثر من الثاني، وبالتالي يسدد بشكل أفضل من الثانية.

التعريف4.1: التوقع الرياضيالمتغير العشوائي المنفصل هو مجموع منتجات جميع قيمه المحتملة واحتمالاتها.

دع المتغير العشوائي Xيمكن أن تأخذ القيم فقط × 1، × 2، … × ن، والتي تكون احتمالاتها متساوية على التوالي ص 1، ص 2، … ص ن.ثم التوقع الرياضي م(X) متغير عشوائي Xيتم تحديدها بالمساواة

M (X) = x 1 ع 1 + x 2 ع 2 + …+ x n p n .

إذا كان متغير عشوائي منفصل Xيأخذ مجموعة معدودة من القيم الممكنة، ثم

علاوة على ذلك، فإن التوقع الرياضي موجود إذا كانت المتسلسلة الموجودة على الجانب الأيمن من المساواة متقاربة بشكل مطلق.

مثال.أوجد التوقع الرياضي لعدد مرات حدوث حدث ما أفي تجربة واحدة، إذا كان احتمال وقوع الحدث أيساوي ص.

حل:قيمة عشوائية X- عدد مرات حدوث الحدث ألديه توزيع برنولي، لذلك

هكذا، التوقع الرياضي لعدد تكرارات حدث ما في تجربة واحدة يساوي احتمال هذا الحدث.

المعنى الاحتمالي للتوقع الرياضي

دعها تنتج نالاختبارات التي فيها المتغير العشوائي Xقبلت م 1قيمة المرات × 1, م 2قيمة المرات × 2 ,…, م كقيمة المرات س ك، و م 1 + م 2 + …+ م ك = ن. ثم مجموع كل القيم المأخوذة X، متساوي س 1 م 1 + س 2 م 2 + …+ س ك م ك .

سيكون الوسط الحسابي لجميع القيم التي يأخذها المتغير العشوائي

سلوك م ط / ن- التردد النسبي دبليو ايقيم × طيساوي تقريبا احتمال وقوع الحدث باي، أين ، لهذا

المعنى الاحتمالي للنتيجة التي تم الحصول عليها هو كما يلي: التوقع الرياضي متساوي تقريبًا(كلما كانت الدقة أكبر، كلما زاد عدد الاختبارات) المتوسط الحسابي للقيم المرصودة للمتغير العشوائي.

خصائص التوقع الرياضي

الخاصية 1:التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي الثابت نفسه

الخاصية 2:يمكن أخذ العامل الثابت إلى ما هو أبعد من علامة التوقع الرياضي

التعريف4.2: متغيرين عشوائيينوتسمى مستقل، إذا كان قانون التوزيع لأحدهما لا يعتمد على القيم الممكنة التي أخذتها الكمية الأخرى. خلاف ذلك المتغيرات العشوائية تعتمد.

التعريف4.3: عدة متغيرات عشوائيةمُسَمًّى مستقلة بشكل متبادل، إذا كانت قوانين توزيع أي عدد منها لا تعتمد على القيم الممكنة التي أخذتها الكميات الأخرى.

الخاصية3:التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي منتج توقعاتهم الرياضية.

عاقبة:إن التوقع الرياضي لمنتج عدة متغيرات عشوائية مستقلة عن بعضها البعض يساوي منتج توقعاتها الرياضية.

الملكية 4:التوقع الرياضي لمجموع متغيرين عشوائيين يساوي مجموع توقعاتهم الرياضية.

عاقبة:التوقع الرياضي لمجموع عدة متغيرات عشوائية يساوي مجموع توقعاتها الرياضية.

مثال.دعونا نحسب التوقع الرياضي لمتغير عشوائي ذي الحدين X –تاريخ وقوع الحدث أالخامس نالتجارب.

حل:الرقم الإجمالي Xحدوث الحدث أفي هذه التجارب هو مجموع عدد تكرارات الحدث في التجارب الفردية. دعونا نقدم المتغيرات العشوائية العاشر ط– عدد مرات حدوث الحدث أناالاختبار الرابع وهي متغيرات برنولي العشوائية مع التوقع الرياضي حيث . بواسطة خاصية التوقع الرياضي لدينا

هكذا، التوقع الرياضي للتوزيع ذي الحدين مع المعلمات n و p يساوي المنتج np.

مثال.احتمال إصابة الهدف عند إطلاق النار ع = 0.6.أوجد التوقع الرياضي لإجمالي عدد الضربات إذا تم إطلاق ١٠ طلقات.

حل:لا تعتمد إصابة كل لقطة على نتائج اللقطات الأخرى، وبالتالي فإن الأحداث قيد النظر مستقلة، وبالتالي، التوقع الرياضي المطلوب