خصائص التخصيم. الحالات المعقدة لتحليل كثيرات الحدود

يمكن تمثيل أي كثير حدود جبري من الدرجة n كمنتج لعوامل خطية n من الشكل وعدد ثابت، وهو معاملات كثير الحدود في أعلى درجة x، أي.

أين - هي جذور كثير الحدود.

جذر كثير الحدود هو الرقم (الحقيقي أو المعقد) الذي يجعل كثير الحدود يختفي. يمكن أن تكون جذور كثيرة الحدود إما جذور حقيقية أو جذور مترافقة معقدة، ومن ثم يمكن تمثيل كثيرة الحدود بالشكل التالي:

دعونا نفكر في طرق تحليل كثيرات الحدود من الدرجة "n" إلى حاصل ضرب عوامل الدرجة الأولى والثانية.

الطريقة رقم 1.طريقة المعاملات غير المحددة.

يتم تحديد معاملات هذا التعبير المحول بطريقة المعاملات غير المحددة. جوهر الطريقة هو أن نوع العوامل التي تتحلل فيها كثيرة الحدود المعينة معروفة مسبقًا. عند استخدام طريقة المعاملات غير المؤكدة، تكون العبارات التالية صحيحة:

ص.1. تكون كثيرتا الحدود متساويتين بشكل متماثل إذا كانت معاملاتهما متساوية لنفس قوى x.

ص.2. أي كثيرة حدود من الدرجة الثالثة تتحلل إلى حاصل ضرب العوامل الخطية والتربيعية.

ص.3. يمكن تحليل أي كثيرة حدود من الدرجة الرابعة إلى حاصل ضرب كثيرتي حدود من الدرجة الثانية.

مثال 1.1.من الضروري تحليل التعبير المكعب:

ص.1. وفقًا للعبارات المقبولة، فإن المساواة المتطابقة تنطبق على التعبير التكعيبي:

ص.2. يمكن تمثيل الجانب الأيمن من التعبير كمصطلحات على النحو التالي:

ص.3. نحن نؤلف نظام المعادلات من شرط مساواة المعاملات عند القوى المقابلة للتعبير التكعيبي.

يمكن حل نظام المعادلات هذا عن طريق اختيار المعاملات (إذا كانت مشكلة أكاديمية بسيطة) أو يمكن استخدام طرق حل أنظمة المعادلات غير الخطية. وبحل نظام المعادلات هذا نجد أن المعاملات غير المؤكدة تحدد على النحو التالي:

وبالتالي يتم تحليل التعبير الأصلي بالشكل التالي:

يمكن استخدام هذه الطريقة في الحسابات التحليلية وفي برمجة الكمبيوتر لأتمتة عملية العثور على جذر المعادلة.

الطريقة رقم 2.صيغ فيتا

صيغ فييتا هي صيغ تربط معاملات المعادلات الجبرية من الدرجة n وجذورها. تم عرض هذه الصيغ ضمنيًا في أعمال عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييتا (1540 - 1603). نظرًا لحقيقة أن فيث اعتبر الجذور الحقيقية الإيجابية فقط، لذلك لم تتح له الفرصة لكتابة هذه الصيغ في شكل عام صريح.

لأي كثيرة حدود جبرية من الدرجة n ولها جذور n حقيقية،

تعتبر العلاقات التالية صالحة لربط جذور كثيرة الحدود بمعاملاتها:

تعتبر صيغ فييتا ملائمة للاستخدام للتحقق من صحة العثور على جذور كثيرة الحدود، وكذلك لبناء كثيرة الحدود من جذور معينة.

مثال 2.1.دعونا نفكر في كيفية ارتباط جذور كثيرة الحدود بمعاملاتها باستخدام مثال المعادلة المكعبة

وفقًا لصيغ فييتا، فإن العلاقة بين جذور كثيرة الحدود ومعاملاتها لها الشكل التالي:

يمكن إجراء علاقات مماثلة لأي متعددة الحدود من الدرجة n.

الطريقة رقم 3. تحليل المعادلة التربيعية ذات الجذور النسبية

من صيغة فييتا الأخيرة يترتب على ذلك أن جذور كثيرة الحدود هي مقسومات على الحد الحر والمعامل الرئيسي. في هذا الصدد، إذا كان بيان المشكلة يحدد متعدد الحدود من الدرجة n مع معاملات صحيحة

ثم يكون لهذا كثير الحدود جذر عقلاني (كسر غير قابل للاختزال)، حيث p هو المقسوم على الحد الحر، و q هو المقسوم على المعامل الرئيسي. في هذه الحالة يمكن تمثيل كثيرة الحدود من الدرجة n بـ (نظرية بيزوت):

يتم تحديد كثير الحدود، الذي تكون درجته أقل بمقدار 1 من درجة كثير الحدود الأولي، عن طريق قسمة كثير الحدود من الدرجة n ذات الحدين، على سبيل المثال، باستخدام مخطط هورنر أو في أبسط طريقة - "عمود".

مثال 3.1.من الضروري تحليل كثير الحدود

ص.1. نظرًا لأن معامل الحد الأعلى يساوي واحدًا، فإن الجذور المنطقية لكثيرة الحدود هذه هي مقسومات على الحد الحر للتعبير، أي. يمكن أن تكون أعدادا صحيحة . نستبدل كل رقم من الأعداد المعروضة في التعبير الأصلي ونجد أن جذر كثير الحدود المعروض يساوي .

دعونا نقسم كثيرة الحدود الأصلية على ذات الحدين:

دعونا نستخدم مخطط هورنر

يتم تعيين معاملات كثير الحدود الأصلي في السطر العلوي، بينما تظل الخلية الأولى من السطر العلوي فارغة.

في الخلية الأولى من السطر الثاني يتم كتابة الجذر الموجود (في المثال قيد النظر يتم كتابة الرقم “2”)، ويتم حساب القيم التالية في الخلايا بطريقة معينة وهي المعاملات من كثير الحدود، والذي يتم الحصول عليه عن طريق قسمة كثير الحدود على ذات الحدين. يتم تحديد المعاملات المجهولة على النحو التالي:

يتم نقل القيمة من الخلية المقابلة للصف الأول إلى الخلية الثانية من الصف الثاني (في المثال قيد النظر، يتم كتابة الرقم "1").

تحتوي الخلية الثالثة من الصف الثاني على قيمة منتج الخلية الأولى والخلية الثانية من الصف الثاني بالإضافة إلى القيمة من الخلية الثالثة من الصف الأول (في المثال قيد النظر 2 ∙1 -5 = -3 ).

تحتوي الخلية الرابعة من الصف الثاني على قيمة حاصل ضرب الخلية الأولى والخلية الثالثة من الصف الثاني بالإضافة إلى القيمة من الخلية الرابعة من الصف الأول (في المثال قيد النظر 2 ∙ (-3) +7 = 1).

وبالتالي، يتم تحليل كثير الحدود الأصلي إلى عوامل:

الطريقة رقم 4.استخدام صيغ الضرب المختصرة

تُستخدم صيغ الضرب المختصرة لتبسيط العمليات الحسابية، بالإضافة إلى تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل. تتيح لك صيغ الضرب المختصرة تبسيط حل المشكلات الفردية.

الصيغ المستخدمة للتحليل

يعد تحليل كثيرات الحدود بمثابة تحويل للهوية، ونتيجة لذلك يتم تحويل كثير الحدود إلى منتج عدة عوامل - متعددو الحدود أو أحاديات الحد.

هناك عدة طرق لتحليل كثيرات الحدود.

الطريقة الأولى: إخراج العامل المشترك من الأقواس.

يعتمد هذا التحويل على قانون التوزيع للضرب: ac + bc = c(a + b). وجوهر التحول هو عزل العامل المشترك بين المكونين قيد النظر و"إخراجه من الأقواس".

فلنحلل كثيرة الحدود 28x3 - 35x4.

حل.

1. ابحث عن القاسم المشترك للعنصرين 28x3 و 35x4. ل 28 و 35 سيكون 7؛ لـ x 3 و x 4 - x 3. بمعنى آخر، العامل المشترك لدينا هو 7x3.

2. نمثل كل عنصر من العناصر كحاصل ضرب العوامل، أحدها
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. نخرج العامل المشترك من الأقواس
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

الطريقة الثانية. استخدام صيغ الضرب المختصرة. "إتقان" استخدام هذه الطريقة هو ملاحظة إحدى صيغ الضرب المختصرة في التعبير.

دعونا نقوم بتحليل كثير الحدود x 6 – 1.

حل.

1. يمكننا تطبيق صيغة فرق المربعات على هذا التعبير. للقيام بذلك، تخيل x 6 كـ (x 3) 2، و1 كـ 1 2، أي. 1. التعبير سوف يأخذ الشكل:
(× 3) 2 – 1 = (× 3 + 1) ∙ (× 3 – 1).

2. يمكننا تطبيق صيغة مجموع المكعبات والفرق بينها على التعبير الناتج:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

لذا،
س 6 – 1 = (س 3) 2 – 1 = (س 3 + 1) ∙ (س 3 – 1) = (س + 1) ∙ (س 2 – س + 1) ∙ (س – 1) ∙ (س 2 + س + 1).

الطريقة الثالثة: التجميع. تتضمن طريقة التجميع الجمع بين مكونات كثيرة الحدود بطريقة تجعل من السهل إجراء العمليات عليها (الجمع والطرح والطرح للعامل المشترك).

دعونا نحلل كثيرة الحدود x 3 - 3x 2 + 5x - 15.

حل.

1. دعونا نجمع المكونات بهذه الطريقة: الأول مع الثاني، والثالث مع الرابع
(× 3 – 3× 2) + (5× – 15).

2. في التعبير الناتج، نخرج العوامل المشتركة من الأقواس: x 2 في الحالة الأولى و5 في الحالة الثانية.
(س 3 - 3س 2) + (5س - 15) = س 2 (س - 3) + 5(س - 3).

3. نأخذ العامل المشترك x - 3 من بين قوسين ونحصل على:
س 2 (س – 3) + 5(س – 3) = (س – 3)(س 2 + 5).

لذا،
س 3 – 3س 2 + 5س – 15 = (س 3 – 3س 2) + (5س – 15) = س 2 (س – 3) + 5(س – 3) = (س – 3) ∙ (س 2 + 5) ).

دعونا تأمين المواد.

عامل كثير الحدود a 2 – 7ab + 12b 2 .

حل.

1. دعونا نمثل وحيدة الحد 7ab كمجموع 3ab + 4ab. التعبير سوف يأخذ الشكل :
أ2 – (3ب + 4ب) + 12ب2.

دعونا نفتح الأقواس ونحصل على:
أ2 – 3ب – 4ب + 12ب2.

2. دعونا نجمع مكونات كثيرة الحدود بهذه الطريقة: الأول مع الثاني والثالث مع الرابع. نحصل على:
(أ2 – 3ب) – (4ب – 12ب2).

3. لنخرج العوامل المشتركة من الأقواس:
(أ 2 – 3ب) – (4ب – 12ب 2) = أ(أ – 3ب) – 4ب(أ – 3ب).

4. لنخرج العامل المشترك (أ - 3ب) من الأقواس:
أ(أ – 3ب) – 4ب(أ – 3ب) = (أ – 3 ب) ∙ (أ – 4ب).

لذا،
أ 2 - 7أ + 12 ب 2 =
= أ 2 - (3ب + 4ب) + 12ب2 =
= أ 2 – 3ب – 4ب + 12ب 2 =
= (أ2 – 3ب) – (4ب – 12ب2) =
= أ(أ – 3ب) – 4ب(أ – 3ب) =
= (أ – 3 ب) ∙ (أ – 4ب).

blog.site، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.

هناك عدة طرق لتحليل كثيرات الحدود.

الطريقة الأولى: إخراج العامل المشترك من الأقواس.

فلنحلل كثيرة الحدود 28x3 - 35x4.

حل.

1. ابحث عن القاسم المشترك للعنصرين 28x3 و 35x4. ل 28 و 35 سيكون 7؛ لـ x 3 و x 4 - x 3. بمعنى آخر، العامل المشترك لدينا هو 7x3.

2. نمثل كل عنصر من العناصر كحاصل ضرب العوامل، أحدها
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. نخرج العامل المشترك من الأقواس
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

دعونا نقوم بتحليل كثير الحدود x 6 – 1.

حل.

لذا،
س 6 – 1 = (س 3) 2 – 1 = (س 3 + 1) ∙ (س 3 – 1) = (س + 1) ∙ (س 2 – س + 1) ∙ (س – 1) ∙ (س 2 + س + 1).

دعونا نحلل كثيرة الحدود x 3 - 3x 2 + 5x - 15.

حل.

1. دعونا نجمع المكونات بهذه الطريقة: الأول مع الثاني، والثالث مع الرابع
(× 3 – 3× 2) + (5× – 15).

3. نأخذ العامل المشترك x - 3 من بين قوسين ونحصل على:
س 2 (س – 3) + 5(س – 3) = (س – 3)(س 2 + 5).

لذا،
س 3 – 3س 2 + 5س – 15 = (س 3 – 3س 2) + (5س – 15) = س 2 (س – 3) + 5(س – 3) = (س – 3) ∙ (س 2 + 5) ).

دعونا تأمين المواد.

عامل كثير الحدود a 2 – 7ab + 12b 2 .

حل.

1. دعونا نمثل وحيدة الحد 7ab كمجموع 3ab + 4ab. التعبير سوف يأخذ الشكل :
أ2 – (3ب + 4ب) + 12ب2.

دعونا نفتح الأقواس ونحصل على:
أ2 – 3ب – 4ب + 12ب2.

2. دعونا نجمع مكونات كثيرة الحدود بهذه الطريقة: الأول مع الثاني والثالث مع الرابع. نحصل على:
(أ2 – 3ب) – (4ب – 12ب2).

3. لنخرج العوامل المشتركة من الأقواس:
(أ 2 – 3ب) – (4ب – 12ب 2) = أ(أ – 3ب) – 4ب(أ – 3ب).

4. لنخرج العامل المشترك (أ - 3ب) من الأقواس:
أ(أ – 3ب) – 4ب(أ – 3ب) = (أ – 3 ب) ∙ (أ – 4ب).

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة محددة لكيفية تحليل كثيرة الحدود.

سنقوم بتوسيع كثيرات الحدود وفقًا لـ .

عامل متعدد الحدود:

دعونا نتحقق مما إذا كان هناك عامل مشترك. نعم، فهو يساوي 7CD. لنخرجها من بين قوسين:

يتكون التعبير الموجود بين قوسين من فترتين. لم يعد هناك عامل مشترك، فالتعبير ليس صيغة لمجموع المكعبات، مما يعني أن التحلل قد اكتمل.

دعونا نتحقق مما إذا كان هناك عامل مشترك. لا. تتكون كثيرة الحدود من ثلاثة حدود، لذا علينا التحقق لمعرفة ما إذا كانت هناك صيغة للمربع الكامل. هناك حدان هما مربعات التعبيرات: 25x²=(5x)²، 9y²=(3y)²، الحد الثالث يساوي المنتج المزدوج لهذه التعبيرات: 2∙5x∙3y=30xy. وهذا يعني أن كثيرة الحدود هذه هي مربع كامل. بما أن المنتج المزدوج يحتوي على علامة الطرح، فهو:

نتحقق مما إذا كان من الممكن إخراج العامل المشترك من الأقواس. هناك عامل مشترك وهو يساوي أ. لنخرجها من بين قوسين:

هناك مصطلحان بين قوسين. نتحقق مما إذا كانت هناك صيغة للفرق بين المربعات أو الفرق بين المكعبات. a² هو مربع a، 1=1². هذا يعني أنه يمكن كتابة التعبير الموجود بين قوسين باستخدام صيغة فرق المربعات:

هناك عامل مشترك، وهو يساوي 5. لنخرجه من الأقواس:

بين قوسين هناك ثلاثة مصطلحات. نتحقق مما إذا كان التعبير مربعًا كاملاً. هناك حدان عبارة عن مربعين: 16=4² وa² - مربع a، الحد الثالث يساوي حاصل الضرب المزدوج لـ 4 وa: 2∙4∙a=8a. ولذلك فهو مربع كامل. بما أن جميع الحدود لها علامة "+"، فإن التعبير الموجود بين قوسين هو المربع الكامل للمجموع:

نحن نأخذ المضاعف الإجمالي -2x من الأقواس:

بين قوسين هو مجموع فترتين. نتحقق مما إذا كان هذا التعبير عبارة عن مجموع مكعبات. 64=4³, س³- مكعب س. هذا يعني أنه يمكن توسيع ذات الحدين باستخدام الصيغة:

هناك مضاعف مشترك. لكن بما أن كثيرة الحدود تتكون من أربعة حدود، فسنأخذ العامل المشترك من الأقواس أولًا وبعد ذلك فقط. فلنجمع الحد الأول مع الرابع، والثاني مع الثالث:

من القوسين الأولين نخرج العامل المشترك 4a، من الثاني - 8b:

لا يوجد مضاعف مشترك حتى الآن. للحصول عليها، نخرج "-" من القوسين الثانيين، وتتغير كل إشارة بين القوسين إلى عكسها:

الآن لنخرج العامل المشترك (1-3a) من الأقواس:

وفي القوسين الثانيين يوجد العامل المشترك 4 (وهو نفس العامل الذي لم نحذفه بين القوسين في بداية المثال):

بما أن كثيرة الحدود تتكون من أربعة حدود، فإننا نقوم بالتجميع. فلنجمع الحد الأول مع الثاني، والثالث مع الرابع:

في القوس الأول لا يوجد عامل مشترك، ولكن هناك صيغة لفرق المربعات، في القوس الثاني العامل المشترك هو -5:

لقد ظهر المضاعف المشترك (4m-3n). فلنخرجها من المعادلة.

بشكل عام، تتطلب هذه المهمة نهجا إبداعيا، لأنه لا توجد طريقة عالمية لحلها. ولكن دعونا نحاول تقديم بعض النصائح.

في الغالبية العظمى من الحالات، يعتمد تحليل كثير الحدود إلى نتيجة طبيعية لنظرية بيزوت، أي يتم العثور على الجذر أو اختياره ويتم تقليل درجة كثير الحدود بمقدار واحد عن طريق القسمة على . يتم البحث عن جذر كثير الحدود الناتج وتكرر العملية حتى التوسيع الكامل.

إذا لم يكن من الممكن العثور على الجذر، فسيتم استخدام طرق توسيع محددة: من التجميع إلى إدخال مصطلحات حصرية إضافية متبادلة.

يعتمد العرض الإضافي على مهارات حل المعادلات ذات الدرجات الأعلى بمعاملات صحيحة.

حصر العامل المشترك بين قوسين.

لنبدأ بأبسط حالة، عندما يكون الحد الحر مساويًا للصفر، أي أن كثير الحدود له الشكل .

من الواضح أن جذر كثير الحدود هذا هو، أي أنه يمكننا تمثيل كثير الحدود في النموذج.

هذه الطريقة ليست أكثر من وضع العامل المشترك بين قوسين.

مثال.

عامل متعدد الحدود من الدرجة الثالثة.

حل.

من الواضح، ما هو جذر كثيرة الحدود، أي Xيمكن إخراجها من الأقواس:

دعونا نجد جذور ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية

هكذا،

أعلى الصفحة

تحليل كثيرة الحدود ذات الجذور العقلانية.

أولاً، دعونا نفكر في طريقة لتوسيع كثيرة الحدود بمعاملات صحيحة على الصورة، المعامل ذو الدرجة الأعلى يساوي واحدًا.

في هذه الحالة، إذا كانت كثيرة الحدود لها جذور صحيحة، فهي مقسومة على الحد الحر.

مثال.

حل.

دعونا نتحقق مما إذا كانت هناك جذور سليمة. للقيام بذلك، اكتب مقسومات الرقم -18 : . أي أنه إذا كانت كثيرة الحدود لها جذور صحيحة، فهي من بين الأعداد المكتوبة. دعونا نتحقق من هذه الأرقام بالتسلسل باستخدام مخطط هورنر. تكمن ملاءمتها أيضًا في حقيقة أننا في النهاية نحصل على معاملات التوسع في كثير الحدود: