След това получаваме квадратно уравнение. Корени на квадратно уравнение

Квадратни уравнения. Дискриминант. Решение, примери.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

Видове квадратни уравнения

Какво е квадратно уравнение? Как изглежда? В срок квадратно уравнениеключовата дума е "квадрат".Това означава, че в уравнението Задължителнотрябва да има x на квадрат. В допълнение към него уравнението може (или не!) да съдържа само X (на първа степен) и само число (безплатен член).И не трябва да има X на степен по-голяма от две.

От гледна точка на математиката, квадратното уравнение е уравнение от формата:

тук a, b и c- някои числа. b и c- абсолютно всякакви, но А– нещо различно от нула. Например:

тук А =1; b = 3; c = -4

тук А =2; b = -0,5; c = 2,2

тук А =-3; b = 6; c = -18

Е, разбирате...

В тези квадратни уравнения отляво има пълен комплектчленове. Х на квадрат с коефициент а, x на първа степен с коефициент bИ безплатен член s.

Такива квадратни уравнения се наричат пълен.

Ами ако b= 0, какво получаваме? Имаме X ще се загуби на първа степен.Това се случва, когато се умножи по нула.) Оказва се, например:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

и т.н. И ако и двата коефициента bИ cса равни на нула, тогава е още по-просто:

2x 2 =0,

-0,3x 2 =0

Такива уравнения, при които нещо липсва, се наричат непълни квадратни уравнения.Което е съвсем логично.) Моля, обърнете внимание, че x на квадрат присъства във всички уравнения.

Между другото защо Ане може да е равно на нула? И вие замествате вместо това Анула.) Нашият X на квадрат ще изчезне! Уравнението ще стане линейно. И решението е съвсем друго...

Това са всички основни типове квадратни уравнения. Пълна и непълна.

Решаване на квадратни уравнения.

Решаване на пълни квадратни уравнения.

Квадратните уравнения са лесни за решаване. По формули и ясни, прости правила. На първия етап е необходимо даденото уравнение да се приведе в стандартна форма, т.е. към формата:

Ако уравнението вече ви е дадено в тази форма, не е необходимо да правите първия етап.) Основното е да определите правилно всички коефициенти, А, bИ c.

Формулата за намиране на корените на квадратно уравнение изглежда така:

Изразът под знака за корен се нарича дискриминант. Но повече за него по-долу. Както можете да видите, за да намерим X, използваме само a, b и c. Тези. коефициенти от квадратно уравнение. Просто внимателно заменете стойностите a, b и cИзчисляваме по тази формула. Да заместим със собствените си знаци! Например в уравнението:

А =1; b = 3; c= -4. Тук го записваме:

Примерът е почти решен:

Това е отговорът.

Много е просто. И какво, мислите, че е невъзможно да направите грешка? Ами да, как...

Най-честите грешки са объркване със стойностите на знаците a, b и c. Или по-скоро не с техните знаци (къде да се объркате?), А със заместването на отрицателни стойности във формулата за изчисляване на корените. Това, което помага тук, е подробен запис на формулата с конкретни числа. Ако има проблеми с изчисленията, направи това!

Да предположим, че трябва да решим следния пример:

тук а = -6; b = -5; c = -1

Да приемем, че знаете, че рядко получавате отговори от първия път.

Е, не бъдете мързеливи. Ще отнеме около 30 секунди, за да напишете допълнителен ред и броя на грешките рязко ще намалее. Така че ние пишем подробно, с всички скоби и знаци:

Изглежда невероятно трудно да се пише толкова внимателно. Но само изглежда така. Опитайте го. Е, или изберете. Кое е по-добро, бързо или правилно?

Освен това ще те направя щастлив. След известно време няма да има нужда да записвате всичко толкова внимателно. Ще се оправи от само себе си. Особено ако използвате практически техники, които са описани по-долу. Този зъл пример с куп минуси се решава лесно и без грешки!

Но често квадратните уравнения изглеждат малко по-различно. Например така: Разпознахте ли го?) Да! това.

непълни квадратни уравнения

Решаване на непълни квадратни уравнения. a, b и c.

Те могат да бъдат решени и с обща формула. Просто трябва да разберете правилно на какво са равни тук. Разбрахте ли го? В първия примера = 1; b = -4; cА ? Изобщо го няма! Ами да, точно така. В математиката това означава, че c = 0 ! Това е. Вместо това заменете нула във формулатав, и ще успеем. Същото и с втория пример. Само ние нямаме нула тукс b !

, А

Но непълните квадратни уравнения могат да бъдат решени много по-лесно. Без никакви формули. Нека разгледаме първото непълно уравнение. Какво можете да направите от лявата страна? Можете да извадите X от скоби! Да го извадим.
И какво от това? И фактът, че продуктът е равен на нула тогава и само ако някой от факторите е равен на нула! не ми вярваш Добре, тогава измислете две ненулеви числа, които, когато се умножат, ще дадат нула!
Не работи? това е... Следователно можем уверено да напишем:, x 1 = 0.

х 2 = 4 Всички. Това ще бъдат корените на нашето уравнение. И двете са подходящи. Когато заместваме някое от тях в оригиналното уравнение, получаваме правилната идентичност 0 = 0. Както можете да видите, решението е много по-просто от използването на общата формула. Между другото да отбележа кое X ще е първото и кое второто - абсолютно безразлично. Удобно е да пишете в ред,х 1 - какво е по-малък и- това, което е по-голямо.

Второто уравнение също може да бъде решено просто. Преместете 9 надясно. Получаваме:

Всичко, което остава, е да извлечем корена от 9 и това е. Ще се окаже:

Също така два корена . х 1 = -3, х 2 = 3.

Ето как се решават всички непълни квадратни уравнения. Или като поставите X извън скоби, или просто като преместите числото надясно и след това извлечете корена.
Изключително трудно е да се объркат тези техники. Просто защото в първия случай ще трябва да извлечете корена на X, което е някак неразбираемо, а във втория случай няма какво да извадите от скоби...

Дискриминант. Дискриминантна формула.

Вълшебна дума дискриминант ! Рядко гимназист не е чувал тази дума! Фразата „ние решаваме чрез дискриминант“ вдъхва увереност и увереност. Защото няма нужда да очаквате трикове от дискриминанта! Използва се лесно и безпроблемно.) Напомням ви най-общата формула за решаване всякаквиквадратни уравнения:

Изразът под знака за корен се нарича дискриминант. Обикновено дискриминантът се обозначава с буквата г. Дискриминантна формула:

D = b 2 - 4ac

И какво е толкова забележително в този израз? Защо заслужаваше специално име? Какво значението на дискриминанта?Все пак -б,или 2ав тази формула не го наричат ​​конкретно... Букви и букви.

Ето това е нещото. При решаване на квадратно уравнение с помощта на тази формула е възможно само три случая.

1. Дискриминантът е положителен.Това означава, че коренът може да бъде извлечен от него. Друг е въпросът дали коренът се извлича добре или зле. Важно е какво се извлича по принцип. Тогава вашето квадратно уравнение има два корена. Две различни решения.

2. Дискриминантът е нула.Тогава ще имате едно решение. Тъй като добавянето или изваждането на нула в числителя не променя нищо. Строго погледнато, това не е един корен, а две еднакви. Но в опростена версия е обичайно да се говори за едно решение.

3. Дискриминантът е отрицателен.Не може да се извади корен квадратен от отрицателно число. О, добре. Това означава, че няма решения.

Честно казано, когато просто решаваме квадратни уравнения, концепцията за дискриминант не е наистина необходима. Заместваме стойностите на коефициентите във формулата и броим. Там всичко става от само себе си, два корена, един и нито един. При решаване на по-сложни задачи обаче, без знания значение и формула на дискриминантане мога да мина. Особено в уравненията с параметри. Такива уравнения са висш пилотаж за държавния изпит и единния държавен изпит!)

така че как се решават квадратни уравнениячрез дискриминанта, който запомнихте. Или сте научили, което също не е лошо.) Знаете как да определите правилно a, b и c. знаеш ли как внимателнозаменете ги в коренната формула и внимателнопребройте резултата. Разбирате, че ключовата дума тук е внимателно?

Сега вземете под внимание практическите техники, които значително намаляват броя на грешките. Същите, които са от невнимание... За които после става болезнено и обидно...

Първа среща . Не бъдете мързеливи, преди да решите квадратно уравнение и да го приведете в стандартна форма. какво значи това
Да кажем, че след всички трансформации получавате следното уравнение:

Не бързайте да пишете коренната формула! Почти сигурно ще объркате шансовете a, b и c.Конструирайте примера правилно. Първо X на квадрат, след това без квадрат, след това свободният член. като това:

И отново, не бързайте! Минус пред Х на квадрат може наистина да ви разстрои. Лесно се забравя... Махни минуса. как? Да, както беше казано в предишната тема! Трябва да умножим цялото уравнение по -1. Получаваме:

Но сега можете спокойно да запишете формулата за корените, да изчислите дискриминанта и да завършите решаването на примера. Решете сами.

Сега трябва да имате корени 2 и -1. Рецепция втори. Проверете корените! Според теоремата на Виета. Не се страхувайте, ще ви обясня всичко! Проверкапоследно уравнение. Тези. този, който използвахме, за да запишем формулата на корена. Ако (както в този пример) коефа = 1 , проверката на корените е лесна. Достатъчно е да ги умножите. Резултатът трябва да е безплатен член, т.е. в нашия случай -2. Моля, обърнете внимание, не 2, а -2! Безплатен член с твоя знак

. Ако не се получи, това означава, че вече сте се прецакали някъде. Потърсете грешката. bАко работи, трябва да добавите корените. Последна и последна проверка. Коефициентът трябва да бъде с противоположност bпознат. В нашия случай -1+2 = +1. Коефициент
, което е преди X, е равно на -1. Значи всичко е точно! Жалко е, че това е толкова просто само за примери, където x на квадрат е чисто, с коефициента = 1.

Но поне проверете такива уравнения! Ще има все по-малко грешки. Прием трети

. Ако вашето уравнение има дробни коефициенти, отървете се от дробите! Умножете уравнението по общ знаменател, както е описано в урока "Как се решават уравнения? Трансформации на идентичност." Когато работите с дроби, грешките продължават да се прокрадват по някаква причина...

Между другото, обещах да опростя злия пример с куп минуси. Моля те! Ето го.

За да не се объркаме от минусите, умножаваме уравнението по -1. Получаваме:

това е! Решаването е удоволствие!

И така, нека обобщим темата.

Практически съвети: 1. Преди да решим, привеждаме квадратното уравнение в стандартна форма и го изграждаме.

2. Ако има отрицателен коефициент пред X на квадрат, ние го елиминираме, като умножим цялото уравнение по -1.

3. Ако коефициентите са дробни, елиминираме дробите, като умножим цялото уравнение по съответния фактор.

4. Ако х на квадрат е чисто, неговият коефициент е равен на едно, решението може лесно да се провери с помощта на теоремата на Виета. направи го!

Сега можем да решим.)

Решете уравнения:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Отговори (в безпорядък):

Следователно можем уверено да напишем:
х 2 = 5

х 1,2 =2

х 1 = 2
х 2 = -0,5

x - произволно число

х 1 = -3
х 2 = 3

няма решения

х 1 = 0,25
х 2 = 0,5

Всичко ли пасва? Страхотно! Квадратните уравнения не са вашето главоболие. Първите три проработиха, но останалите не? Тогава проблемът не е в квадратните уравнения. Проблемът е в тъждествените трансформации на уравнения. Разгледайте линка, полезен е.

Не се получава съвсем? Или изобщо не се получава? Тогава раздел 555 ще ви помогне. Всички тези примери са разбити там. Показано основенгрешки в решението. Разбира се, говорим и за използването на идентични трансформации при решаване на различни уравнения. Помага много!

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Надявам се, че след изучаването на тази статия ще научите как да намирате корените на пълно квадратно уравнение.

С помощта на дискриминанта се решават само пълни квадратни уравнения, използват се и други методи, които ще намерите в статията „Решаване на непълни квадратни уравнения“.

Кои квадратни уравнения се наричат ​​пълни? това уравнения от вида ax 2 + b x + c = 0, където коефициентите a, b и c не са равни на нула. И така, за да решим пълно квадратно уравнение, трябва да изчислим дискриминанта D.

D = b 2 – 4ac.

В зависимост от стойността на дискриминанта ще запишем отговора.

Ако дискриминантът е отрицателно число (D< 0),то корней нет.

Ако дискриминантът е нула, тогава x = (-b)/2a. Когато дискриминантът е положително число (D > 0),

тогава x 1 = (-b - √D)/2a и x 2 = (-b + √D)/2a.

например. Решете уравнението - какво е по-малък и– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Отговор: 2.

Решете уравнение 2 - какво е по-малък и + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Отговор: няма корени.

Решете уравнение 2 - какво е по-малък и + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Отговор: – 3,5; 1.

Така че нека си представим решението на пълни квадратни уравнения, използвайки диаграмата на Фигура 1.

С помощта на тези формули можете да решите всяко пълно квадратно уравнение. Просто трябва да внимавате да уравнението беше написано като полином от стандартната форма

А - какво е по-малък и + bx + c,в противен случай може да направите грешка. Например, като пишете уравнението x + 3 + 2x 2 = 0, можете погрешно да решите, че

a = 1, b = 3 и c = 2. Тогава

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 и тогава уравнението има два корена. И това не е вярно. (Вижте решение на пример 2 по-горе).

Следователно, ако уравнението не е написано като полином от стандартната форма, първо пълното квадратно уравнение трябва да бъде написано като полином от стандартната форма (мономът с най-голям показател трябва да е първи, т.е. А - какво е по-малък и , след това с по-малко – bxи след това безплатен член с.

Когато решавате редуцирано квадратно уравнение и квадратно уравнение с четен коефициент във втория член, можете да използвате други формули. Нека се запознаем с тези формули. Ако в пълно квадратно уравнение вторият член има четен коефициент (b = 2k), тогава можете да решите уравнението, като използвате формулите, показани на диаграмата на Фигура 2.

Пълно квадратно уравнение се нарича намалено, ако коефициентът при - какво е по-малък и е равно на едно и уравнението приема формата x 2 + px + q = 0. Такова уравнение може да бъде дадено за решение или може да се получи чрез разделяне на всички коефициенти на уравнението на коефициента А, застанал на - какво е по-малък и .

Фигура 3 показва диаграма за решаване на редуцирания квадрат
уравнения. Нека да разгледаме пример за приложението на формулите, обсъдени в тази статия.

Пример. Решете уравнението

3- какво е по-малък и + 6x – 6 = 0.

Нека решим това уравнение, като използваме формулите, показани на диаграмата на фигура 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Отговор: –1 – √3; –1 + √3

Можете да забележите, че коефициентът на x в това уравнение е четно число, тоест b = 6 или b = 2k, откъдето k = 3. Тогава нека се опитаме да решим уравнението, като използваме формулите, показани в диаграмата на фигура D 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Отговор: –1 – √3; –1 + √3. Забелязвайки, че всички коефициенти в това квадратно уравнение се делят на 3 и извършвайки делението, получаваме намаленото квадратно уравнение x 2 + 2x – 2 = 0. Решете това уравнение, като използвате формулите за намаленото квадратно уравнение
уравнения фигура 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Отговор: –1 – √3; –1 + √3.

Както можете да видите, при решаването на това уравнение с помощта на различни формули получихме един и същ отговор. Следователно, след като сте усвоили напълно формулите, показани на диаграмата на фигура 1, вие винаги ще можете да решите всяко пълно квадратно уравнение.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Копевско селско средно училище

10 начина за решаване на квадратни уравнения

Ръководител: Патрикеева Галина Анатолиевна,

учител по математика

село Копево 2007г

1. История на развитието на квадратните уравнения

1.1 Квадратни уравнения в древен Вавилон

1.2 Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения

1.3 Квадратни уравнения в Индия

1.4 Квадратни уравнения от ал-Хорезми

1.5 Квадратни уравнения в Европа XIII - XVII век

1.6 За теоремата на Виета

2. Методи за решаване на квадратни уравнения

Заключение

Литература

1. История на развитието на квадратните уравнения

1.1 Квадратни уравнения в древен Вавилон

Необходимостта от решаване на уравнения не само от първа, но и от втора степен, дори в древни времена, е била причинена от необходимостта от решаване на проблеми, свързани с намирането на площи на земни парцели и с изкопни работи от военен характер, както и както и с развитието на самата астрономия и математика. Квадратните уравнения могат да бъдат решени около 2000 г. пр.н.е. д. вавилонци.

Използвайки съвременна алгебрична нотация, можем да кажем, че в техните клинописни текстове има, в допълнение към непълните, такива, например, пълни квадратни уравнения:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Правилото за решаване на тези уравнения, изложено във вавилонските текстове, по същество съвпада със съвременното, но не е известно как вавилонците са стигнали до това правило. Почти всички клинописни текстове, открити досега, предоставят само проблеми с решения, изложени под формата на рецепти, без индикация как са намерени.

Въпреки високото ниво на развитие на алгебрата във Вавилон, в клинописните текстове липсва понятието за отрицателно число и общи методи за решаване на квадратни уравнения.

1.2 Как Диофант съставя и решава квадратни уравнения.

Аритметиката на Диофант не съдържа систематично представяне на алгебрата, но съдържа систематична поредица от задачи, придружени от обяснения и решени чрез построяване на уравнения от различни степени.

Когато съставя уравнения, Диофант умело подбира неизвестни, за да опрости решението.

Ето например една от задачите му.

Проблем 11.„Намерете две числа, като знаете, че сборът им е 20, а произведението им е 96“

Диофант разсъждава по следния начин: от условията на задачата следва, че търсените числа не са равни, тъй като ако бяха равни, тогава произведението им не би било равно на 96, а на 100. Така едно от тях ще бъде повече от половината от сумата им, т.е. 10 + х, другото е по-малко, т.е. 10-те. Разликата между тях 2x .

Следователно уравнението:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - х 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Оттук х = 2. Едно от търсените числа е равно на 12 , друго 8 . Решение х = -2за Диофант не съществува, тъй като гръцката математика познава само положителни числа.

Ако решим тази задача, като изберем едно от търсените числа като неизвестно, тогава ще стигнем до решение на уравнението

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Ясно е, че като избира полуразликата на търсените числа като неизвестно, Диофант опростява решението; той успява да сведе проблема до решаване на непълно квадратно уравнение (1).

1.3 Квадратни уравнения в Индия

Задачи за квадратни уравнения се намират още в астрономическия трактат „Aryabhattiam“, съставен през 499 г. от индийския математик и астроном Aryabhatta. Друг индийски учен, Брахмагупта (7 век), очерта общо правило за решаване на квадратни уравнения, сведени до една канонична форма:

ах 2 + b x = c, a > 0. (1)

В уравнение (1), коефициентите, с изключение на А, може да бъде и отрицателен. Правилото на Брахмагупта по същество е същото като нашето.

В древна Индия публичните състезания в решаването на трудни проблеми са били обичайни. В една от старите индийски книги се казва следното за подобни състезания: „Както слънцето засенчва звездите с блясъка си, така един учен човек ще засенчи славата на друг в публични събрания, предлагайки и решавайки алгебрични задачи.“ Проблемите често се представят в поетична форма.

Това е един от проблемите на известния индийски математик от 12 век. Бхаскари.

Проблем 13.

„Ято бързи маймуни и дванадесет по лозите...

Властите, като ядоха, се забавляваха. Започнаха да скачат, да висят...

Има ги на площада, осма част. Колко маймуни имаше?

Забавлявах се на поляната. Кажи ми, в тази опаковка?

Решението на Бхаскара показва, че той е знаел, че корените на квадратните уравнения са двузначни (фиг. 3).

Уравнението, съответстващо на задача 13 е:

( х /8) 2 + 12 = х

Бхаскара пише под прикритието:

x 2 - 64x = -768

и, за да завършим лявата страна на това уравнение до квадрат, добавя към двете страни 32 2 , след което получаваме:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Квадратни уравнения в ал-Хорезми

В алгебричния трактат на ал-Хорезми е дадена класификация на линейни и квадратни уравнения. Авторът брои 6 вида уравнения, изразявайки ги по следния начин:

1) „Квадратите са равни на корени“, т.е. брадва 2 + c = b X.

2) “Квадратите са равни на числа”, т.е. брадва 2 = c.

3) „Корените са равни на числото“, т.е. ах = s.

4) „Квадратите и числата са равни на корени“, т.е. брадва 2 + c = b X.

5) „Квадратите и корените са равни на числата“, т.е. ах 2 + bx = s.

6) „Корените и числата са равни на квадрати“, т.е. bx + c = брадва 2 .

За ал-Хорезми, който избягва използването на отрицателни числа, членовете на всяко от тези уравнения са събираеми, а не изваждаеми. В този случай уравненията, които нямат положителни решения, очевидно не се вземат предвид. Авторът излага методи за решаване на тези уравнения, използвайки техниките на ал-джабр и ал-мукабала. Неговите решения, разбира се, не съвпадат напълно с нашите. Да не говорим, че е чисто риторично, трябва да се отбележи например, че при решаване на непълно квадратно уравнение от първи тип

ал-Хорезми, както всички математици преди 17-ти век, не взема предвид нулевото решение, вероятно защото в конкретни практически задачи то няма значение. При решаването на пълни квадратни уравнения ал-Хорезми излага правилата за решаването им, като използва конкретни числени примери и след това геометрични доказателства.

Проблем 14.„Квадратът и числото 21 са равни на 10 корена. Намерете корена" (предполага корена на уравнението x 2 + 21 = 10x).

Решението на автора е нещо подобно: разделете броя на корените наполовина, получавате 5, умножете 5 по себе си, извадете 21 от продукта, това, което остава, е 4. Вземете корен от 4, получавате 2. Извадете 2 от 5 , получавате 3, това ще бъде желаният корен. Или добавете 2 към 5, което дава 7, това също е корен.

Трактатът на ал-Хорезми е първата книга, достигнала до нас, която систематично излага класификацията на квадратните уравнения и дава формули за тяхното решаване.

1.5 Квадратни уравнения в Европа XIII - XVII bb

Формулите за решаване на квадратни уравнения по линията на ал-Хорезми в Европа са изложени за първи път в Книгата на абака, написана през 1202 г. от италианския математик Леонардо Фибоначи. Този обемист труд, който отразява влиянието на математиката, както от страните на исляма, така и от древна Гърция, се отличава със своята пълнота и яснота на изложението. Авторът самостоятелно разработва някои нови алгебрични примери за решаване на задачи и пръв в Европа се приближава към въвеждането на отрицателни числа. Книгата му допринася за разпространението на алгебричните знания не само в Италия, но и в Германия, Франция и други европейски страни. Много задачи от Книгата на абака са използвани в почти всички европейски учебници от 16-17 век. и отчасти XVIII.

Общото правило за решаване на квадратни уравнения, намалено до една канонична форма:

х 2 + bx = c,

за всички възможни комбинации от знаци на коефициента b , и ще успеем. Същото и с втория пример. Само ние нямаме нула туке формулиран в Европа едва през 1544 г. от M. Stiefel.

Извеждането на формулата за решаване на квадратно уравнение в обща форма е достъпно от Vieth, но Vieth признава само положителни корени. Италианските математици Тарталия, Кардано, Бомбели са сред първите през 16 век. В допълнение към положителните се вземат предвид и отрицателните корени. Едва през 17в. Благодарение на работата на Жирар, Декарт, Нютон и други учени, методът за решаване на квадратни уравнения придобива съвременна форма.

1.6 За теоремата на Виета

Теоремата, изразяваща връзката между коефициентите на квадратно уравнение и неговите корени, наречена на Виета, е формулирана от него за първи път през 1591 г., както следва: „Ако б + г, умножено по А - А 2 , е равно на BD, Това Аравни INи равни г ».

За да разберем Виета, трябва да помним това А, като всяка гласна буква, означаваше неизвестното (нашата X), гласни IN, г- коефициенти за неизвестното. На езика на съвременната алгебра горната формулировка на Виета означава: ако има

(а + b )x - x 2 = аб ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Изразявайки връзката между корените и коефициентите на уравненията с общи формули, написани с помощта на символи, Виете установява еднаквост в методите за решаване на уравнения. Символиката на Виет обаче все още е далеч от съвременния си вид. Той не признаваше отрицателните числа и затова при решаването на уравнения разглеждаше само случаите, когато всички корени бяха положителни.

2. Методи за решаване на квадратни уравнения

Квадратните уравнения са основата, върху която се крепи величествената сграда на алгебрата. Квадратните уравнения се използват широко при решаване на тригонометрични, експоненциални, логаритмични, ирационални и трансцендентни уравнения и неравенства. Всички знаем как да решаваме квадратни уравнения от училище (8 клас) до завършването.

Квадратните уравнения често се появяват при решаването на различни задачи по физика и математика. В тази статия ще разгледаме как да решим тези равенства по универсален начин „чрез дискриминант“. В статията са дадени и примери за използване на придобитите знания.

За какви уравнения ще говорим?

Фигурата по-долу показва формула, в която x е неизвестна променлива и латинските символи a, b, c представляват известни числа.

Всеки от тези символи се нарича коефициент. Както можете да видите, числото "a" се появява преди променливата x на квадрат. Това е максималната мощност на представения израз, поради което се нарича квадратно уравнение. Често се използва другото му име: уравнение от втори ред. Самата стойност a е квадратен коефициент (заедно с променливата на квадрат), b е линеен коефициент (той е до променливата, повдигната на първа степен) и накрая, числото c е свободният член.

Обърнете внимание, че типът уравнение, показано на фигурата по-горе, е общ класически квадратен израз. В допълнение към него има други уравнения от втори ред, в които коефициентите b и c могат да бъдат нула.

Когато задачата е поставена за решаване на въпросното равенство, това означава, че трябва да се намерят такива стойности на променливата x, които да го удовлетворяват. Тук първото нещо, което трябва да запомните, е следното: тъй като максималната степен на X е 2, тогава този тип израз не може да има повече от 2 решения. Това означава, че ако при решаването на уравнение са намерени 2 стойности на x, които го удовлетворяват, тогава можете да сте сигурни, че няма 3-то число, замествайки го с x, равенството също би било вярно. Решенията на дадено уравнение в математиката се наричат ​​негови корени.

Методи за решаване на уравнения от втори ред

Решаването на уравнения от този тип изисква познаване на някаква теория за тях. В училищния курс по алгебра се разглеждат 4 различни метода за решаване. Нека ги изброим:

• използване на факторизация;
• използване на формулата за перфектен квадрат;
• чрез прилагане на графиката на съответната квадратична функция;
• използвайки дискриминантното уравнение.

Предимството на първия метод е неговата простота, но не може да се използва за всички уравнения. Вторият метод е универсален, но донякъде тромав. Третият метод се отличава със своята яснота, но не винаги е удобен и приложим. И накрая, използването на дискриминантното уравнение е универсален и доста прост начин за намиране на корените на абсолютно всяко уравнение от втори ред. Затова в тази статия ще разгледаме само него.

Формула за получаване на корените на уравнението

Нека се обърнем към общата форма на квадратното уравнение. Нека го запишем: a*x²+ b*x + c =0. Преди да използвате метода за решаването му „чрез дискриминант“, винаги трябва да приведете равенството в неговата писмена форма. Тоест, трябва да се състои от три члена (или по-малко, ако b или c е 0).

Например, ако има израз: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², тогава трябва първо да преместите всичките му членове от едната страна на равенството и да добавите членовете, съдържащи променливата x в същите правомощия.

В този случай тази операция ще доведе до следния израз: -6*x²-4*x+8=0, което е еквивалентно на уравнението 6*x²+4*x-8=0 (тук умножихме левия и десните части на равенството с -1) .

В горния пример a = 6, b=4, c=-8. Имайте предвид, че всички членове на разглежданото равенство винаги се сумират, така че ако се появи знакът „-“, това означава, че съответният коефициент е отрицателен, като числото c в този случай.

След като разгледахме тази точка, нека сега преминем към самата формула, която прави възможно получаването на корените на квадратно уравнение. Изглежда като показаното на снимката по-долу.

Както може да се види от този израз, той ви позволява да получите два корена (обърнете внимание на знака "±"). За да направите това, достатъчно е да замените коефициентите b, c и a в него.

Концепцията за дискриминант

В предишния параграф беше дадена формула, която ви позволява бързо да решите всяко уравнение от втори ред. В него радикалният израз се нарича дискриминант, тоест D = b²-4*a*c.

Защо тази част от формулата е подчертана и защо дори има собствено име? Факт е, че дискриминантът свързва всичките три коефициента на уравнението в един израз. Последният факт означава, че той изцяло носи информация за корените, която може да бъде изразена в следния списък:

1. D>0: Равенството има 2 различни решения, като и двете са реални числа.
2. D=0: Уравнението има само един корен и то е реално число.

Задача за определяне на дискриминант

Нека дадем прост пример как да намерим дискриминант. Нека е дадено следното равенство: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Нека го приведем в стандартна форма, получаваме: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, от което стигаме до равенството : -2*x² +2*x-11 = 0. Тук a=-2, b=2, c=-11.

Сега можете да използвате горната формула за дискриминанта: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Полученото число е отговорът на задачата. Тъй като дискриминантът в примера е по-малък от нула, можем да кажем, че това квадратно уравнение няма реални корени. Неговото решение ще бъде само числа от сложен тип.

Пример за неравенство чрез дискриминант

Нека решим задачи от малко по-различен тип: като се има предвид равенството -3*x²-6*x+c = 0. Необходимо е да се намерят стойности на c, за които D>0.

В този случай са известни само 2 от 3 коефициента, така че не е възможно да се изчисли точната стойност на дискриминанта, но се знае, че той е положителен. Използваме последния факт, когато съставяме неравенството: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Решаването на полученото неравенство води до резултата: c>-3.

Нека проверим полученото число. За да направим това, изчисляваме D за 2 случая: c=-2 и c=-4. Числото -2 удовлетворява получения резултат (-2>-3), съответният дискриминант ще има стойност: D = 12>0. На свой ред, числото -4 не удовлетворява неравенството (-4. По този начин всички числа c, които са по-големи от -3, ще удовлетворят условието.

Пример за решаване на уравнение

Нека представим задача, която включва не само намиране на дискриминанта, но и решаване на уравнението. Необходимо е да се намерят корените на равенството -2*x²+7-9*x = 0.

В този пример дискриминантът е равен на следната стойност: D = 81-4*(-2)*7= 137. Тогава корените на уравнението се определят, както следва: x = (9±√137)/(- 4). Това са точните стойности на корените; ако изчислите корена приблизително, тогава получавате числата: x = -5,176 и x = 0,676.

Геометрична задача

Нека решим задача, която ще изисква не само умение за изчисляване на дискриминанта, но и използване на умения за абстрактно мислене и знания за това как да пишат квадратни уравнения.

Боб имаше завивка с размери 5 х 4 метра. Момчето искаше да пришие непрекъсната лента от красив плат към него по целия периметър. Колко дебела ще бъде тази лента, ако знаем, че Боб има 10 m² плат.

Нека лентата има дебелина x m, тогава площта на тъканта по дългата страна на одеялото ще бъде (5+2*x)*x и тъй като има 2 дълги страни, имаме: 2*x *(5+2*x). Откъм късата страна площта на зашития плат ще бъде 4*x, тъй като има 2 от тези страни, получаваме стойността 8*x. Обърнете внимание, че стойността 2*x беше добавена към дългата страна, тъй като дължината на одеялото се увеличи с това число. Общата площ на тъканта, пришита към одеялото, е 10 m². Следователно получаваме равенството: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

За този пример дискриминантът е равен на: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Коренът му е 22. Използвайки формулата, намираме необходимите корени: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0,5). Очевидно от двата корена само числото 0,5 е подходящо според условията на задачата.

Така лентата от плат, която Боб пришива към одеялото си, ще бъде широка 50 см.

Тази тема може да изглежда сложна в началото поради многото не толкова прости формули. Не само, че самите квадратни уравнения имат дълги означения, но и корените се намират чрез дискриминанта. Получават се общо три нови формули. Не е много лесно за запомняне. Това е възможно само след често решаване на такива уравнения. Тогава всички формули ще бъдат запомнени сами.

Общ вид на квадратно уравнение

Тук предлагаме тяхното изрично записване, когато първо се записва най-голямата степен, а след това в низходящ ред. Често има ситуации, когато условията са непоследователни. Тогава е по-добре да пренапишете уравнението в низходящ ред на степента на променливата.

Нека въведем някои обозначения. Те са представени в таблицата по-долу.

Ако приемем тези обозначения, всички квадратни уравнения се свеждат до следното обозначение.

Освен това коефициентът a ≠ 0. Нека тази формула бъде обозначена с номер едно.

Когато е дадено уравнение, не е ясно колко корена ще има в отговора. Защото винаги е възможен един от трите варианта:

• решението ще има два корена;
• отговорът ще бъде едно число;
• уравнението изобщо няма да има корени.

И докато решението не бъде финализирано, е трудно да се разбере коя опция ще се появи в конкретен случай.

Видове записи на квадратни уравнения

В задачите може да има различни записи. Те не винаги ще изглеждат като формулата на общото квадратно уравнение. Понякога ще липсват някои термини. Написаното по-горе е пълното уравнение. Ако премахнете втория или третия член в него, получавате нещо друго. Тези записи се наричат ​​също квадратни уравнения, само непълни.

Освен това могат да изчезнат само термини с коефициенти "b" и "c". Числото "а" не може да бъде равно на нула при никакви обстоятелства. Защото в този случай формулата се превръща в линейно уравнение. Формулите за непълната форма на уравненията ще бъдат както следва:

И така, има само два вида; в допълнение към пълните, има и непълни квадратни уравнения. Нека първата формула е номер две, а втората - три.

Дискриминант и зависимост на броя на корените от неговата стойност

Трябва да знаете това число, за да изчислите корените на уравнението. Винаги може да се изчисли, независимо каква е формулата на квадратното уравнение. За да изчислите дискриминанта, трябва да използвате равенството, написано по-долу, което ще има номер четири.

След като замените стойностите на коефициента в тази формула, можете да получите числа с различни знаци. Ако отговорът е да, тогава отговорът на уравнението ще бъде два различни корена. Ако числото е отрицателно, няма да има корени на квадратното уравнение. Ако е равно на нула, ще има само един отговор.

Как да решим пълно квадратно уравнение?

Всъщност разглеждането на този въпрос вече е започнало. Защото първо трябва да намерите дискриминант. След като се установи, че има корени на квадратното уравнение и техният брой е известен, трябва да използвате формули за променливите. Ако има два корена, тогава трябва да приложите следната формула.

Тъй като съдържа знак „±“, ще има две значения. Изразът под знака за квадратен корен е дискриминантът. Следователно формулата може да бъде пренаписана по различен начин.

Формула номер пет. От същия запис става ясно, че ако дискриминантът е равен на нула, тогава и двата корена ще приемат еднакви стойности.

Ако решаването на квадратни уравнения все още не е разработено, тогава е по-добре да запишете стойностите на всички коефициенти, преди да приложите дискриминантните и променливите формули. По-късно този момент няма да създаде трудности. Но в самото начало има объркване.

Как да решим непълно квадратно уравнение?

Тук всичко е много по-просто. Дори няма нужда от допълнителни формули. И тези, които вече са записани за дискриминанта и неизвестното, няма да са необходими.

Първо, нека разгледаме непълно уравнение номер две. В това равенство е необходимо неизвестното количество да бъде извадено от скоби и да се реши линейното уравнение, което ще остане в скоби. Отговорът ще има два корена. Първият е задължително равен на нула, защото има множител, състоящ се от самата променлива. Второто ще бъде получено чрез решаване на линейно уравнение.

Непълно уравнение номер три се решава чрез преместване на числото от лявата страна на равенството в дясната. След това трябва да разделите на коефициента срещу неизвестното. Всичко, което остава, е да извлечете квадратния корен и да запомните да го запишете два пъти с противоположни знаци.

По-долу са дадени някои действия, които ще ви помогнат да научите как да решавате всички видове равенства, които се превръщат в квадратни уравнения. Те ще помогнат на ученика да избегне грешки поради невнимание. Тези недостатъци могат да доведат до слаби оценки при изучаване на обширната тема „Квадратни уравнения (8 клас)“. Впоследствие няма да е необходимо тези действия да се извършват постоянно. Защото ще се появи стабилно умение.

• Първо трябва да напишете уравнението в стандартна форма. Тоест, първо членът с най-голямата степен на променливата, а след това - без степен, и накрая - само число.

• Ако преди коефициента "а" се появи минус, това може да усложни работата за начинаещ, изучаващ квадратни уравнения. По-добре е да се отървете от него. За целта всички равенства трябва да се умножат по „-1“. Това означава, че всички термини ще сменят знака на противоположния.

• Препоръчително е да се отървете от фракциите по същия начин. Просто умножете уравнението с подходящия коефициент, така че знаменателите да се съкратят.

Примери

Необходимо е да се решат следните квадратни уравнения:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Първото уравнение: x 2 − 7x = 0. То е непълно, затова се решава, както е описано за формула номер две.

След като го извадим от скобите, се оказва: x (x - 7) = 0.

Първият корен приема стойността: x 1 = 0. Вторият ще бъде намерен от линейното уравнение: x - 7 = 0. Лесно е да се види, че x 2 = 7.

Второ уравнение: 5x 2 + 30 = 0. Отново непълно. Само тя се решава, както е описано за третата формула.

След като преместите 30 в дясната страна на уравнението: 5x 2 = 30. Сега трябва да разделите на 5. Оказва се: x 2 = 6. Отговорите ще бъдат числата: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Третото уравнение: 15 − 2x − x 2 = 0. По-нататък решаването на квадратни уравнения ще започне с пренаписването им в стандартна форма: − x 2 − 2x + 15 = 0. Сега е време да използвате втория полезен съвет и да умножите всичко по минус едно. Оказва се, че x 2 + 2x - 15 = 0. Използвайки четвъртата формула, трябва да изчислите дискриминанта: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Това е положително число. От казаното по-горе се оказва, че уравнението има два корена. Те трябва да се изчислят по петата формула. Оказва се, че x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогава x 1 = 3, x 2 = - 5.

Четвъртото уравнение x 2 + 8 + 3x = 0 се трансформира в това: x 2 + 3x + 8 = 0. Неговият дискриминант е равен на тази стойност: -23. Тъй като това число е отрицателно, отговорът на тази задача ще бъде следният запис: „Няма корени.“

Петото уравнение 12x + x 2 + 36 = 0 трябва да се пренапише, както следва: x 2 + 12x + 36 = 0. След прилагане на формулата за дискриминанта се получава числото нула. Това означава, че ще има един корен, а именно: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Шестото уравнение (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) изисква трансформации, които се състоят в това, че трябва да въведете подобни членове, като първо отворите скобите. На мястото на първия ще има следния израз: x 2 + 2x + 1. След равенството ще се появи този запис: x 2 + 3x + 2. След като се преброят подобни членове, уравнението ще приеме формата: x 2 - x = 0. Станал е непълен. Нещо подобно на това вече беше обсъдено малко по-горе. Корените на това ще бъдат числата 0 и 1.