Числата на Фибоначи и златното сечение: връзка. Научна работа "Числата на Фибоначи"

Светът около нас, от най-малките невидими частици до далечните галактики на безкрайното пространство, е изпълнен с много неразгадани мистерии. Над някои от тях обаче завесата на мистерията вече е повдигната благодарение на любознателните умове на редица учени.

Един такъв пример е "златно сечение" и числата на Фибоначи , които формират нейната основа. Този модел е отразен в математическа форма и често се среща в природата около хората, като отново се изключва възможността да е възникнал в резултат на случайност.

Числата на Фибоначи и тяхната последователност

Поредица от числа на Фибоначи е поредица от числа, всяко от които е сбор от предходните две:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …

Особеността на тази последователност са числените стойности, които се получават чрез разделяне на числата от тази серия един на друг.

Серията числа на Фибоначи има свои собствени интересни модели:

В редицата от числа на Фибоначи всяко число, разделено на следващото, ще покаже стойност, клоняща към 0,618 . Колкото по-далеч са числата от началото на серията, толкова по-точно ще бъде съотношението. Например числата, взети в началото на реда 5 И 8 ще покаже 0,625 (5/8=0,625 ). Ако вземем числата 144 И 233 , тогава те ще покажат съотношението 0.618 .
От своя страна, ако в поредица от числа на Фибоначи разделим едно число на предишното, тогава резултатът от деленето ще клони към 1,618 . За примера бяха използвани същите числа, както беше обсъдено по-горе: 8/5=1,6 И 233/144=1,618 .
Число, разделено на следващото след него, ще покаже приближаваща се стойност 0,382 . И колкото по-далеч се вземат числата от началото на серията, толкова по-точна е стойността на съотношението: 5/13=0,385 И 144/377=0,382 . Разделянето на числата в обратен ред ще даде резултата 2,618 : 13/5=2,6 И 377/144=2,618 .

Използвайки методите за изчисление, описани по-горе и увеличавайки празнините между числата, можете да извлечете следните серии от стойности: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236, които се използват широко в инструментите на Фибоначи на Форекс пазара.

Златно сечение или божествена пропорция

Аналогията със сегмент представя много ясно „златното сечение“ и числата на Фибоначи. Ако отсечката AB е разделена на точка C в такова съотношение, че е изпълнено условието:

AC/BC=BC/AB, тогава ще бъде "златното сечение"

ПРОЧЕТЕТЕ СЪЩО СЛЕДНИТЕ СТАТИИ:

Изненадващо, това е точно връзката, която може да се проследи в серията на Фибоначи. Като вземете няколко числа от серията, можете да проверите чрез изчисление, че това е така. Например тази последователност от числа на Фибоначи... 55, 89, 144 ... Нека числото 144 е целочислената отсечка AB, спомената по-горе. Тъй като 144 е сумата от двете предходни числа, тогава 55+89=AC+BC=144.

Разделянето на сегментите ще покаже следните резултати:

AC/BC=55/89=0.618

BC/AB=89/144=0,618

Ако вземем отсечката AB като цяло, или като единица, тогава AC=55 ще бъде 0,382 от това цяло, а BC=89 ще бъде равно на 0,618.

Къде се срещат числата на Фибоначи?

Гърците и египтяните познаваха редовната последователност от числа на Фибоначи много преди самия Леонардо Фибоначи. Тази числова серия получи това име, след като известният математик осигури широкото разпространение на този математически феномен сред учените.

Важно е да се отбележи, че златните числа на Фибоначи не са просто наука, а математическо представяне на света около нас. Много природни феномени, представители на флората и фауната имат „златното сечение“ в своите пропорции. Това са спиралните къдрици на черупката и подредбата на слънчогледови семки, кактуси и ананаси.

Спиралата, чиито пропорции на клоните са подчинени на законите на „златното сечение“, е в основата на образуването на ураган, тъкането на мрежа от паяк, формата на много галактики, преплитането на ДНК молекули и много други явления.

Дължината на опашката на гущера към тялото му е в съотношение 62 към 38. Издънката на цикорията прави изтласкване, преди да пусне листо. След като първият лист бъде освободен, се получава второ изтласкване преди освобождаването на втория лист със сила, равна на 0,62 от условната единица сила на първото изтласкване. Третият отклонение е 0,38, а четвъртият е 0,24.

За търговеца също е от голямо значение, че движението на цените на Форекс пазара често е подчинено на модела на златните числа на Фибоначи. Въз основа на тази последователност са създадени редица инструменти, които търговецът може да използва в своя арсенал

Инструментът „ “, често използван от търговците, може да покаже с висока точност целите на движението на цената, както и нейните корекционни нива.

Фибоначи Леонардо от Пиза (лат. Leonardo Pisano, Пиза, около 1170 - около 1250) е първият голям математик в средновековна Европа. По-известен е с прозвището си Фибоначи, което на италиански означава „роден е добър син“ (Figlio Buono Nato Ci).

Малко се знае за съществуването на Фибоначи. Не се знае дори точната дата на неговото раждане. Смята се, че Фибоначи е роден през 1170 г

Леонардо Фибоначи беше известен италиански математик, той беше известен със способността си да прави изчисления. Един ден му просветна и той откри проста последователност от числа, връзките между които описваха естествените пропорции на всички тела във Вселената!

Леонардо Фибоначи е изключителен математик от Средновековието. Плодовете на неговия математически труд се използват в много науки, изкуства и ежедневието и до днес.

Заслугата на Леонардо Фибоначи е поредицата от числа на Фибоначи. Смята се, че тази серия е била известна на Изток, но Леонардо Фибоначи е публикувал тази серия от числа в книгата „Liber Abaci“ (той го направи, за да демонстрира възпроизводството на популацията на зайци).

Елиът пише: „Законът на природата включва в внимание най-важния елемент - ритъмът. Законът на природата не е определена система, не е метод на игра на пазара, а феномен, характерен, очевидно, за хода на всеки човек. Неговото приложение в прогнозирането е революционно.

Този шанс за прогнозиране на движението на цените кара легиони анализатори да работят ден и нощ. Ще се съсредоточим върху способността да правим прогнози и ще се опитаме да разберем дали е възможно или не. При представянето на своя подход Елиът беше много конкретен. Той пише: „Всяка човешка дейност има три отличителни черти: форма, време и връзка и всички те са обект на сумиращата последователност на Фибоначи.“

Поредицата на Фибоначи, известна на всички от филма „Шифърът на Да Винчи“, е поредица от числа, описани под формата на гатанка от италианския математик Леонардо от Пиза, по-известен като Фибоначи, през 13 век. Накратко същността на загадката:

Някой е поставил двойка зайци в определено затворено пространство, за да разбере колко двойки зайци ще се родят през годината, ако природата на зайците е такава, че всеки месец една двойка зайци ражда друга двойка и те стават способни да произвеждат потомство, когато достигнат два месеца.

Размишлявайки върху тази тема, Фибоначи изгражда следната поредица от числа.

Поредица от числа 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.н. известен като редицата на Фибоначи. Особеността на редицата от числа е, че всеки от нейните членове, като се започне от третия, е равен на сумата от предходните две 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.н., а съотношението на съседните числа в редицата се доближава до съотношението на златното деление. И така, 21: 34 = 0,617 и 34: 55 = 0,618. Това съотношение се обозначава със символа F. Само това съотношение - 0,618: 0,382 - дава непрекъснато разделяне на сегмент от права линия в златната пропорция, увеличавайки го или намалявайки го до безкрайност, когато по-малкият сегмент е свързан с по-големия като по-големият е към всичко.

Фибоначи се занимава и с практическите нужди на търговията: кой е най-малкият брой тежести, които могат да се използват за претегляне на продукт? Фибоначи доказва, че оптималната система от тегла е: 1, 2, 4, 8, 16...

Тази последователност има редица математически характеристики, които определено трябва да бъдат засегнати. Тази последователност асимптотично (приближавайки се все по-бавно и по-бавно) клони към някаква постоянна връзка. Това съотношение обаче е ирационално, т.е. това е число с безкрайна, непредвидима последователност от десетични цифри в дробната част. Невъзможно е да се изрази точно.

Така съотношението на който и да е член на редицата към този, който го предхожда, се колебае около числото 1,618, понякога го надвишава, понякога не го достига. Съотношението към следващото по подобен начин се доближава до числото 0,618, което е обратно пропорционално на 1,618. Ако разделим елементите на редицата на единица, ще получим числата 2,618 и 0,382, които също са обратно пропорционални. Това са така наречените съотношения на Фибоначи.

Природата като че ли решава проблема от двете страни едновременно и сумира получените резултати. Веднага след като получи общо 1, той се премества в следващото измерение, където започва да изгражда всичко отначало. Но тогава тя трябва да изгради това златно сечение според определено правило. Природата не използва златното сечение веднага. Тя го получава чрез последователни итерации и използва друга серия, серията на Фибоначи, за да генерира златното сечение.

Чудесните свойства на редицата на Фибоначи се проявяват и в самите числа, които са членове на тази редица. Нека подредим членовете на редицата на Фибоначи вертикално и след това вдясно, в низходящ ред, запишете естествените числа.

21 20 19 18 17 16 15 14 13

34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34

Всеки ред започва и завършва с число на Фибоначи, т.е. във всеки ред има само две такива числа. "сините" числа - 4, 7, 6, 11, 10, 18, 16, 29, 26, 47, 42 - имат специални свойства (второто ниво на йерархията на реда на Фибоначи):

(5-4)/(4-3) = 1/1

(8-7)/(7-5) = 1/2 и (8-6)/(6-5) = 2/1

(13-11)/(11-8) = 2/3 и (13-10)/(10-8) = 3/2

(21-18)/(18-13) = 3/5 и (21-16)/(1b-13) = 5/3

(34-29)/(29-21) = 5/8 и (34-26)/(26-21) = 8/5

(55-47)/(47-34) = 8/13 и (55-42)/(42-34) = 13/8

Получихме дробния ред на Фибоначи, който може да се „изповядва” от колективните завъртания на елементарни частици и атоми на химични елементи.

Нека си представим тези числа като последователност от лостови скали

За какво е всичко това? Така подхождаме към един от най-мистериозните природни феномени. Фибоначи по същество не откри нищо ново, той просто напомни на света за такова явление като златното съотношение, което не отстъпва по важност на Питагоровата теорема.

Различаваме всички предмети около нас по формата им. Някои харесваме повече, други по-малко, други са напълно отблъскващи. Понякога интересът може да бъде продиктуван от житейската ситуация, а понякога и от красотата на наблюдавания обект. Симетричната и пропорционална форма спомага за най-доброто визуално възприятие и предизвиква усещане за красота и хармония. Пълното изображение винаги се състои от части с различни размери, които са в определена връзка помежду си и с цялото. Златното сечение е най-висшата проява на съвършенството на цялото и неговите части в науката, изкуството и природата.

За да използваме прост пример, златното сечение е разделянето на сегмент на две части в такова съотношение, че по-голямата част е свързана с по-малката, както тяхната сума (целият сегмент) е с по-голямата.

Ако вземем целия сегмент c за 1, тогава сегмент a ще бъде равен на 0,618, сегмент b - 0,382, само по този начин ще бъде изпълнено условието на златното сечение (0,618/0,382=1,618; 1/0,618=1,618) . Съотношението на c към a е 1,618, а c към b е 2,618. Това са същите съотношения на Фибоначи, които вече са ни познати.

Разбира се, има златен правоъгълник, златен триъгълник и дори златен кубоид. Пропорциите на човешкото тяло са в много отношения близки до Златното сечение.

Но забавлението започва, когато комбинираме знанията, които сме придобили. Фигурата ясно показва връзката между редицата на Фибоначи и златното сечение. Започваме с два квадрата от първия размер. Добавете квадрат от втория размер отгоре. Начертайте квадрат до него със страна, равна на сбора от страните на предишните два, трети размер. По аналогия се появява квадрат с размер пет. И така докато не се уморите, основното е дължината на страната на всеки следващ квадрат да е равна на сбора от дължините на страните на предходните два. Виждаме поредица от правоъгълници, чиито дължини на страните са числа на Фибоначи, и колкото и да е странно, те се наричат правоъгълници на Фибоначи.

Ако начертаем гладки линии през ъглите на нашите квадрати, няма да получим нищо повече от спирала на Архимед, чието нарастване винаги е равномерно.

Редът на Фибоначи е не само математическа мистерия, ние се сблъскваме с нея всеки ден в ежедневието:

И не само в черупката на мекотело можете да намерите спиралите на Архимед, но в много цветя и растения те просто не са толкова очевидни.

Черупка във формата на спирала - формата на черупката заинтересува Архимед и той установи, че увеличението на дължината на къдриците на черупката е постоянна стойност и е равно на 1,618.

Алое многолистно.

Броколи романеско.

Слънчоглед: Семената в слънчогледа също са подредени в спирала.

Шишарка.

Растежът на растенията също се извършва в съответствие с числовата серия на Фибоначи - клон напуска ствола, на който се появява лист, след това се появява дълго изхвърляне и отново се появява лист, но вече е по-къс от предишния. След това има още един скок, но той също е по-кратък от предишния. На тази снимка първият скок е 100%, вторият е 62%, а третият е 38% (нива на Фибоначи, използвани в търговията) и т.н. С дължината на венчелистчетата всичко изглежда абсолютно същото.

Гущер - ако разделите гущера на опашка и тяло, тогава съотношението им ще бъде 0,62 към 0,38.

Пирамиди - Дължината на ръба на пирамидата е 783,3 фута, а височината на пирамидата е 484,4 фута. Съотношението дължина на ръба/височина на пирамидата е 1,618.

Както можете да видите, редицата от числа на Фибоначи е широко представена в нашия живот: в структурата на живите същества, структури и дори структурата на галактиките е описана с негова помощ. Всичко това свидетелства за универсалността на математическата загадка на числовата редица на Фибоначи.

И сега е време да си припомним Златното сечение! Някои от най-красивите и хармонични творения на природата ли са изобразени на тези снимки? И това не е всичко. Ако се вгледате внимателно, можете да намерите подобни модели в много форми.

Разбира се твърдението, че всички тези явления се основават на редицата на Фибоначи, звучи твърде гръмко, но тенденцията е очевидна. И освен това самата последователност далеч не е перфектна, както всичко на този свят.

Има предположение, че последователността на Фибоначи е опит на природата да се адаптира към по-фундаменталната и перфектна логаритмична последователност на златното сечение, която е почти същата, само че започва от нищото и отива до нищото. Природата определено се нуждае от някакво цялостно начало, от което да започне; тя не може да създаде нещо от нищото. Съотношенията на първите членове на редицата на Фибоначи са далеч от златното сечение. Но колкото повече се движим по него, толкова повече тези отклонения се изглаждат. За да се определи всяка последователност, е достатъчно да се знаят нейните три члена, следващи един след друг. Но не и за златната редица, за нея са достатъчни две, тя е геометрична и аритметична прогресия едновременно. Може да се мисли, че това е основата за всички останали последователности.

Всеки член на златната логаритмична редица е степен на златното сечение (z). Част от серията изглежда така: ... z-5; z-4; z-3; z-2; z-1; z0; z1; z2; z3; z4; z5 ... Ако закръглим стойността на златната пропорция до три цифри, получаваме z = 1,618, тогава редът изглежда така: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11.090 ... Всеки следващ член може да бъде получен не само чрез умножаване на предишния по 1.618, но и чрез събиране на двата предходни. По този начин, експоненциален растеж в последователност се постига чрез просто добавяне на два съседни елемента. Това е поредица без начало и край и последователността на Фибоначи се опитва да бъде такава. Имайки много определено начало, тя се стреми към идеала, без да го постига. Това е животът.

И все пак във връзка с всичко видяно и прочетено възникват съвсем логични въпроси:

Откъде идват тези числа? Кой е този архитект на вселената, който се опита да я направи идеална? Винаги ли всичко е било така, както е искал? И ако е така, защо се обърка? Мутации? Свободен избор? Какво ще се случи след това? Спиралата навива ли се или се развива?

След като сте намерили отговора на един въпрос, ще получите следващия. Ако го решите, ще получите две нови. След като се справите с тях, ще се появят още три. След като решите и тях, ще имате пет нерешени. След това осем, после тринадесет, 21, 34, 55...

Приложното значение на редицата на Фибоначи и златното сечение заслужава отделен уебсайт. Сега просто ще кажа, че например елементите от серията на Фибоначи се използват за изчисляване на пълзящи средни (да не говорим за растежа на популацията на зайци), а шедьоврите на световното изкуство съдържат златното съотношение.

Междувременно не забравяйте, че Фибоначи е легендарна фигура в математиката, икономиката и финансите; той обнародва арабските числа и въведе магическа серия от числа.

числа на Фибоначи

Войни и кръв. Изглежда, че в момента не може да се говори за никаква наука. И все пак две от най-големите открития идват при нас от тази епоха - арабските цифри и редицата на Фибоначи. Имаше, разбира се, и други научни открития, но сега няма да говорим за тях.

Като оставим настрана историята на арабските цифри, нека разгледаме по-подробно редицата на Фибоначи - какво представлява тя и защо е толкова известна. Всъщност редицата на Фибоначи е поредица от числа, в които най-високият член на редицата е равен на сумата от двата най-близки ниски членове на редицата. В резултат на тези действия ще получите следните числа:

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21 и др.

Те се наричат и заедно образуват редицата на Фибоначи. Но въпросът дори не е в самите числа, а във взаимоотношенията между тях. По този начин съотношението на число в редица към предишния член на редицата води до стойност, близка до 1,618. И колкото по-големи са числата, използвани за това съотношение, толкова по-точно се наблюдава тази стойност.

Друг, не по-малко интересен факт, който има последователността на Фибоначи, е съотношението на предишния член към следващия. Това съотношение се доближава до 0,618 и е реципрочно на 1,618.

Ако вземем съотношението на други числа от редицата на Фибоначи, не най-близките, а например през едно или две, тогава резултатът ще бъде различни стойности: за членовете на редицата, взети през едно, числото ще бъде клонящ към 2,618. При изчисляване на съотношението на старшия член към младшия член чрез два члена на последователността, резултатът ще клони към 4,236. Ако разгледаме, използвайки същия принцип, връзката на младшите членове на последователността към старшите (чрез един или два члена), тогава ще се получат обратните стойности на вече получените числа: 0,382 (реципрочната стойност на числото 2,618), следващото - 0,236 (реципрочната стойност на 4,236) и т.н.

На пръв поглед всичко това е просто любопитна информация, игра на числа, която няма практическа реализация. Това обаче изобщо не е вярно. В технологиите, изкуството и архитектурата съществува концепцията за златното сечение. Това е връзката между частите на обекта, създаваща най-хармоничното възприемане на обекта като цяло. Много често художници и архитекти използват златното сечение, за да постигнат впечатление за хармония от своите картини и структури. Фотографите препоръчват да използвате същото съотношение, когато композирате кадър. Едно от правилата гласи: за да получите добра снимка, разделете рамката на три части и поставете центъра на композицията в пресечната точка на вертикалните и хоризонталните линии, които съставляват 2/3 от хоризонталните и вертикалните линии на рамката . А е едно от съотношенията на Фибоначи - 1,618. Именно тази връзка на частите и цялото ще осигури най-хармоничното възприятие. И така, последователността на Фибоначи служи не само като игра на ума, но и буквално е основата, върху която стои хармонията и красотата на възприятието на околния свят.

Коефициентите на Фибоначи са валидни и в живата природа. Те могат да засягат различни области. Така черупката на охлюв, която има формата на спирала, също се подчинява на съотношенията на Фибоначи. Растежът на растенията, броят на клоните, листата и тяхното местоположение често също са подредени в съответствие с числата и коефициентите на Фибоначи.

Е, най-известната употреба на числата на Фибоначи е в търговията на финансовите пазари. В практиката на търговците се използват както числата, съставляващи редицата на Фибоначи, така и съотношенията на Фибоначи. Тези коефициенти се използват за планиране на значителни нива, при които могат да се очакват промени в ценовото поведение.

В допълнение към директните Фибоначи, има много други методи за търговия, създадени с тях. Те включват линии на Фибоначи, зони на Фибоначи, проекции на Фибоначи и др. Това помага на търговците да предвидят поведението на пазара, да се подготвят предварително за възможни промени в ценовото поведение и да планират своята търговия.

Всичко по-горе не обхваща всички прояви на влиянието на числата и последователността на Фибоначи в науката, технологиите и изкуството, но дава представа какво е това - последователността на Фибоначи.

Все още има много неразгадани мистерии във Вселената, някои от които учените вече са успели да идентифицират и опишат. Числата на Фибоначи и златното сечение формират основата за разкриване на света около нас, изграждане на неговата форма и оптимално визуално възприятие от човек, с помощта на което той да усети красотата и хармонията.

Златно сечение

Принципът за определяне на размерите на златното сечение е в основата на съвършенството на целия свят и неговите части в неговата структура и функции, проявлението му може да се види в природата, изкуството и технологиите. Доктрината за златната пропорция е основана в резултат на изследване на природата на числата от древни учени.

Тя се основава на теорията за пропорциите и съотношенията на разделение на сегменти, която е направена от древния философ и математик Питагор. Той доказа, че при разделянето на сегмент на две части: X (по-малък) и Y (по-голям), отношението на по-голямото към по-малкото ще бъде равно на съотношението на тяхната сума (целия сегмент):

Резултатът е уравнение: x 2 - x - 1=0,който се решава като x=(1±√5)/2.

Ако разгледаме съотношението 1/x, тогава то е равно на 1,618…

Доказателство за използването на златното сечение от древните мислители е дадено в книгата на Евклид „Елементи“, написана през 3 век. пр.н.е., който прилага това правило за конструиране на правилни петоъгълници. Сред питагорейците тази фигура се счита за свещена, защото е едновременно симетрична и асиметрична. Пентаграмата символизира живота и здравето.

Числата на Фибоначи

Известната книга Liber abaci на италианския математик Леонардо от Пиза, който по-късно става известен като Фибоначи, е публикувана през 1202 г. В нея ученият за първи път цитира модела от числа, в поредица от които всяко число е сбор от 2 предишни цифри. Последователността на числата на Фибоначи е както следва:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 и т.н.

Ученият също цитира редица модели:

Всяко число от серията, разделено на следващото, ще бъде равно на стойност, която клони към 0,618. Още повече, че първите числа на Фибоначи не дават такова число, но докато се движим от началото на редицата, това съотношение ще става все по-точно.
Ако разделите числото от серията на предишното, резултатът ще се втурне към 1,618.
Едно число, разделено на следващото на едно, ще покаже стойност, клоняща към 0,382.

Приложението на връзката и закономерностите на златното сечение, числото на Фибоначи (0,618) намираме не само в математиката, но и в природата, историята, архитектурата и строителството и в много други науки.

Архимедова спирала и златен правоъгълник

Спиралите, много разпространени в природата, са изследвани от Архимед, който дори извежда нейното уравнение. Формата на спиралата се основава на законите на златното сечение. При развиването му се получава дължина, към която могат да се прилагат пропорции и числа на Фибоначи, стъпката се увеличава равномерно;

Паралелът между числата на Фибоначи и златното сечение може да се види чрез конструирането на „златен правоъгълник“, чиито страни са пропорционални като 1,618:1. Изгражда се чрез преминаване от по-голям правоъгълник към по-малки, така че дължините на страните да са равни на числата от серията. Може да се конструира и в обратен ред, като се започне с квадрат „1“. Когато ъглите на този правоъгълник се свържат с линии в центъра на тяхното пресичане, се получава Фибоначи или логаритмична спирала.

История на използването на златни пропорции

Много древни архитектурни паметници на Египет са построени с помощта на златни пропорции: известните пирамиди на Хеопс и др. Архитектите на Древна Гърция са ги използвали широко при изграждането на архитектурни обекти като храмове, амфитеатри и стадиони. Например, такива пропорции са използвани при изграждането на древния храм на Партенона (Атина) и други обекти, които се превърнаха в шедьоври на древната архитектура, демонстрирайки хармония, основана на математически модели.

В следващите векове интересът към златното сечение затихна и моделите бяха забравени, но се възобнови отново през Ренесанса с книгата на францисканския монах Л. Пачиоли ди Борго „Божествената пропорция“ (1509 г.). Съдържаше илюстрации на Леонардо да Винчи, който създаде новото име „златно сечение“. 12 свойства на златното сечение също бяха научно доказани и авторът говори за това как се проявява в природата, в изкуството и го нарече „принцип на изграждане на света и природата“.

Витрувианският човек Леонардо

Рисунката, която Леонардо да Винчи използва, за да илюстрира книгата на Витрувий през 1492 г., изобразява човешка фигура в 2 позиции с разперени встрани ръце. Фигурата е вписана в кръг и квадрат. Тази рисунка се счита за каноничните пропорции на човешкото тяло (мъжко), описани от Леонардо въз основа на изучаването им в трактатите на римския архитект Витрувий.

Центърът на тялото като еднакво отдалечена точка от края на ръцете и краката е пъпът, дължината на ръцете е равна на височината на човека, максималната ширина на раменете = 1/8 от височината, разстояние от горната част на гърдите до косата = 1/7, от горната част на гърдите до върха на главата = 1/6 и т.н.

Оттогава рисунката се използва като символ, показващ вътрешната симетрия на човешкото тяло.

Леонардо използва термина „златно сечение“, за да обозначи пропорционалните отношения в човешката фигура. Например разстоянието от кръста до краката е свързано със същото разстояние от пъпа до върха на главата по същия начин, както височината е свързана с първата дължина (от кръста надолу). Това изчисление се прави подобно на отношението на сегментите при изчисляване на златната пропорция и клони към 1,618.

Всички тези хармонични пропорции често се използват от художниците за създаване на красиви и впечатляващи произведения.

Изследване на златното сечение през 16-19 век

Използвайки златното сечение и числата на Фибоначи, изследванията по въпроса за пропорциите продължават от векове. Успоредно с Леонардо да Винчи немският художник Албрехт Дюрер също работи върху разработването на теорията за правилните пропорции на човешкото тяло. За целта той дори създава специален компас.

През 16 век Въпросът за връзката между числото на Фибоначи и златното съотношение беше посветен на работата на астронома И. Кеплер, който за първи път приложи тези правила в ботаниката.

Ново „откритие“ очаква златното сечение през 19 век. с публикуването на „Естетическото изследване” на немския учен проф. Цайсиг. Той издигна тези пропорции до абсолют и обяви, че те са универсални за всички природни явления. Той проведе проучвания на огромен брой хора, или по-скоро техните телесни пропорции (около 2 хиляди), въз основа на резултатите от които бяха направени заключения за статистически потвърдени модели в съотношенията на различни части на тялото: дължината на раменете, предмишници, ръце, пръсти и др.

Изследвани са и предмети на изкуството (вази, архитектурни конструкции), музикални тонове и размери при писане на стихове - Zeisig показва всичко това чрез дължините на сегменти и числа, а също така въвежда термина „математическа естетика“. След получаване на резултатите се оказа, че е получена редицата на Фибоначи.

Числото на Фибоначи и златното сечение в природата

В растителния и животински свят има тенденция към морфология под формата на симетрия, която се наблюдава в посоката на растеж и движение. Разделяне на симетрични части, в които се наблюдават златни пропорции - този модел е присъщ на много растения и животни.

Природата около нас може да бъде описана с числата на Фибоначи, например:

разположението на листата или клоните на всякакви растения, както и разстоянията, съответстват на поредица от дадени числа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и т.н.;
слънчогледови семки (люспи на шишарки, клетки от ананас), подредени в два реда по усукани спирали в различни посоки;
съотношението на дължината на опашката и цялото тяло на гущера;
формата на яйце, ако нарисувате линия през широката му част;
съотношение на размерите на пръстите на ръката на човек.

И, разбира се, най-интересните форми включват спираловидни черупки на охлюви, шарки върху паяжини, движението на вятъра в урагана, двойната спирала в ДНК и структурата на галактиките - всички те включват последователността на Фибоначи.

Използване на златното сечение в изкуството

Изследователите, търсещи примери за използване на златното сечение в изкуството, изучават подробно различни архитектурни обекти и произведения на живописта. Има известни скулптурни произведения, чиито създатели са се придържали към златните пропорции - статуи на Зевс Олимпийски, Аполон Белведере и

Едно от творбите на Леонардо да Винчи, „Портретът на Мона Лиза“, е обект на изследване на учени от много години. Те открили, че композицията на произведението се състои изцяло от „златни триъгълници“, обединени заедно в правилен петоъгълник-звезда. Всички творби на да Винчи са доказателство за това колко дълбоки са били неговите познания в структурата и пропорциите на човешкото тяло, благодарение на които е успял да улови невероятно мистериозната усмивка на Мона Лиза.

Златно сечение в архитектурата

Като пример учените разгледаха архитектурни шедьоври, създадени според правилата на „златното съотношение“: египетски пирамиди, Пантеон, Партенон, катедралата Нотр Дам дьо Пари, катедралата Свети Василий и др.

Партенонът - една от най-красивите сгради в Древна Гърция (5 век пр. н. е.) - има 8 колони и 17 от различни страни, съотношението на височината му към дължината на страните е 0,618. Издатините на фасадите му са направени според „златното съотношение“ (снимката по-долу).

Един от учените, които измислиха и успешно приложиха подобрение на модулната система на пропорциите на архитектурните обекти (т.нар. „modulor”), беше френският архитект Льо Корбюзие. Модулаторът се основава на измервателна система, свързана с условното разделяне на части на човешкото тяло.

Руският архитект М. Казаков, който построи няколко жилищни сгради в Москва, както и сградата на Сената в Кремъл и болницата Голицин (сега 1-ва клиника на името на Н. И. Пирогов), беше един от архитектите, които използваха законите в дизайна и конструкция за златното сечение.

Прилагане на пропорции в дизайна

В дизайна на облеклото всички модни дизайнери създават нови изображения и модели, като вземат предвид пропорциите на човешкото тяло и правилата на златното сечение, въпреки че по природа не всички хора имат идеални пропорции.

При планиране на ландшафтен дизайн и създаване на триизмерни паркови композиции с помощта на растения (дървета и храсти), фонтани и малки архитектурни обекти могат да се прилагат и законите на „божествените пропорции“. В крайна сметка съставът на парка трябва да бъде насочен към създаване на впечатление за посетителя, който ще може свободно да се движи в него и да намери композиционния център.

Всички елементи на парка са в такива пропорции, че да създават впечатление за хармония и съвършенство с помощта на геометрична структура, взаимно разположение, осветеност и светлина.

Приложение на златното сечение в кибернетиката и техниката

Законите на златното сечение и числата на Фибоначи също се проявяват в енергийните преходи, в процесите, протичащи с елементарни частици, които изграждат химически съединения, в космическите системи и в генетичната структура на ДНК.

Подобни процеси протичат в човешкото тяло, проявявайки се в биоритмите на неговия живот, в дейността на органите, например мозъка или зрението.

Алгоритми и шаблони със златни пропорции се използват широко в съвременната кибернетика и компютърни науки. Една от простите задачи, които се дават на начинаещите програмисти, е да напишат формула и да определят сумата от числата на Фибоначи до определено число с помощта на езици за програмиране.

Съвременни изследвания на теорията за златното сечение

От средата на 20-ти век интересът към проблемите и влиянието на законите на златните пропорции върху човешкия живот рязко се увеличава и от много учени от различни професии: математици, етнически изследователи, биолози, философи, медицински работници, икономисти, музиканти, и т.н.

В САЩ от 70-те години на миналия век започва да излиза списание The Fibonacci Quarterly, където се публикуват произведения по тази тема. В пресата се появяват произведения, в които обобщените правила на златното сечение и редицата на Фибоначи се използват в различни области на знанието. Например за кодиране на информация, химически изследвания, биологични изследвания и др.

Всичко това потвърждава изводите на древни и съвременни учени, че златната пропорция е многостранно свързана с фундаменталните въпроси на науката и се проявява в симетрията на много творения и явления от света около нас.

Ред на Фибоначи, познат на всички от филма "Шифърът на Да Винчи" - поредица от числа, описани под формата на гатанка от италианския математик Леонардо от Пиза, по-известен с прозвището Фибоначи, през 13 век. Накратко същността на загадката:

Резултатът е поредица от числа като тази: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 , където е показан броят на двойките зайци за всеки от дванадесетте месеца, разделени със запетаи. Може да се продължи безкрайно. Същността му е, че всяко следващо число е сбор от двете предходни.

Тази серия има няколко математически характеристики, които определено трябва да бъдат засегнати. То асимптотично (приближавайки се все по-бавно) клони към някакво постоянно отношение. Това съотношение обаче е ирационално, т.е. това е число с безкрайна, непредвидима последователност от десетични цифри в дробната част. Невъзможно е да се изрази точно.

По този начин съотношението на всеки член на поредица към този, който го предхожда, се колебае около числото 1,618 , понякога го надвишава, понякога не го постига. Съотношението към следното по подобен начин се доближава до числото 0,618 , което е обратно пропорционално 1,618 . Ако разделим елементите на едно, получаваме числа 2,618 И 0,382 , които също са обратно пропорционални. Това са така наречените съотношения на Фибоначи.

За какво е всичко това? Така подхождаме към един от най-мистериозните природни феномени. Проницателният Леонардо по същество не откри нищо ново, той просто напомни на света за такова явление като Златно сечение, която не отстъпва по важност на Питагоровата теорема.

Различаваме всички предмети около нас по формата им. Някои харесваме повече, други по-малко, други са напълно отблъскващи. Понякога интересът може да бъде продиктуван от житейската ситуация, а понякога и от красотата на наблюдавания обект. Симетричната и пропорционална форма спомага за най-доброто визуално възприятие и предизвиква усещане за красота и хармония. Пълното изображение винаги се състои от части с различни размери, които са в определена връзка помежду си и с цялото. Златно сечение- най-висшето проявление на съвършенството на цялото и неговите части в науката, изкуството и природата.

Ако вземем целия сегмент c за 1 , след това сегмента а ще бъдат равни 0,618 , сегмент b - 0,382 , само по този начин ще бъде изпълнено условието за Златното сечение (0,618/0,382=1,618 ; 1/0,618=1,618 ) . Отношение c до а равни 1,618 , А с до b 2,618 . Това са същите съотношения на Фибоначи, които вече са ни познати.

изображение: marcus-frings.de

Нищо не ти напомня?

снимка: етанхайнна Flickr

Алое многолистно:

снимка: пивоварни книгина Flickr

снимка: beart.org.uk

снимка: есдраскалдеранна Flickr

снимка: manj98на Flickr

Разбира се твърдението, че всички тези явления се основават на редицата на Фибоначи, звучи твърде гръмко, но тенденцията е очевидна. И освен това самата тя далеч не е идеална, както всичко на този свят.

Има предположение, че редицата на Фибоначи е опит на природата да се адаптира към по-фундаментална и съвършена логаритмична последователност на златното сечение, която е почти същата, само че започва от нищото и отива до нищото. Природата определено се нуждае от някакво цялостно начало, от което да започне; тя не може да създаде нещо от нищото. Съотношенията на първите членове на редицата на Фибоначи са далеч от златното сечение. Но колкото повече се движим по него, толкова повече тези отклонения се изглаждат. За да се дефинира всяка серия, е достатъчно да се знаят нейните три члена, идващи един след друг. Но не и за златната редица, за нея са достатъчни две, тя е геометрична и аритметична прогресия едновременно. Може да се мисли, че това е основата за всички останали последователности.

Всеки член на златната логаритмична редица е степен на златното сечение ( z). Част от поредицата изглежда така: ... z -5; z -4; z -3; z-2; z-1; z 0; z 1; z 2; z 3; z 4; z 5...Ако закръглим стойността на златното сечение до три знака след десетичната запетая, получаваме z=1,618, тогава серията изглежда така: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Всеки следващ член може да се получи не само чрез умножаване на предишния по 1,618 , но и чрез добавяне на двете предходни. Така се постига експоненциален растеж чрез просто добавяне на два съседни елемента. Това е поредица без начало и край и последователността на Фибоначи се опитва да бъде такава. Имайки много определено начало, тя се стреми към идеала, без да го постига. Това е животът.

И все пак във връзка с всичко видяно и прочетено възникват съвсем логични въпроси:
Откъде идват тези числа? Кой е този архитект на вселената, който се опита да я направи идеална? Винаги ли всичко е било така, както е искал? И ако е така, защо се обърка? Мутации? Свободен избор? Какво ще се случи след това? Спиралата навива ли се или се развива?

Източници: ; ; ;