Каква формула може да се използва за определяне на пряката пропорционалност? Обратна пропорционалност

Днес ще разгледаме кои количества се наричат обратно пропорционални, как изглежда графиката на обратната пропорционалност и как всичко това може да ви бъде полезно не само в часовете по математика, но и извън училище.

Толкова различни пропорции

Пропорционалностназови две величини, които са взаимно зависими една от друга.

Зависимостта може да бъде пряка и обратна. Следователно връзките между количествата се описват чрез пряка и обратна пропорционалност.

Пряка пропорционалност– това е такава връзка между две величини, при която увеличаването или намаляването на едно от тях води до увеличаване или намаляване на другото. Тези. отношението им не се променя.

Например, колкото повече усилия полагате, за да учите за изпити, толкова по-високи са оценките ви. Или колкото повече неща вземете със себе си на поход, толкова по-тежка ще е раницата ви за носене. Тези. Размерът на усилията, изразходвани за подготовка за изпити, е право пропорционален на получените оценки. А броят на нещата, опаковани в една раница, е право пропорционален на нейното тегло.

Обратна пропорционалност– това е функционална зависимост, при която намаляване или увеличаване с няколко пъти на независима стойност (нарича се аргумент) предизвиква пропорционално (т.е. същия брой пъти) увеличение или намаляване на зависима стойност (нарича се a функция).

Нека илюстрираме с един прост пример. Искате да купите ябълки на пазара. Ябълките на тезгяха и количеството пари в портфейла ви са в обратна пропорция. Тези. Колкото повече ябълки купите, толкова по-малко пари ще ви останат.

Функция и нейната графика

Функцията на обратната пропорционалност може да се опише като y = k/x. В който х≠ 0 и к≠ 0.

Тази функция има следните свойства:

Неговата област на дефиниция е множеството от всички реални числа с изключение на х = 0. г(г): (-∞; 0) U (0; +∞).
Диапазонът е всички реални числа, с изключение на г= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
Няма максимални или минимални стойности.
Той е нечетен и неговата графика е симетрична спрямо началото.
Непериодични.
Неговата графика не пресича координатните оси.
Няма нули.
Ако к> 0 (т.е. аргументът нараства), функцията намалява пропорционално на всеки от своите интервали. Ако к< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
С нарастването на аргумента ( к> 0) отрицателните стойности на функцията са в интервала (-∞; 0), а положителните стойности са в интервала (0; +∞). Когато аргументът намалее ( к< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Графиката на функцията на обратната пропорционалност се нарича хипербола. Показва се както следва:

Задачи на обратната пропорционалност

За да стане по-ясно, нека разгледаме няколко задачи. Те не са много сложни и решаването им ще ви помогне да си представите какво е обратна пропорционалност и как това знание може да ви бъде полезно в ежедневието.

Задача No1. Автомобил се движи със скорост 60 км/ч. Отне му 6 часа, за да стигне до местоназначението си. Колко време ще му отнеме да измине същото разстояние, ако се движи с двойно по-голяма скорост?

Можем да започнем, като запишем формула, която описва връзката между време, разстояние и скорост: t = S/V. Съгласете се, това много ни напомня за функцията на обратната пропорционалност. И това показва, че времето, което една кола прекарва на пътя, и скоростта, с която се движи, са обратно пропорционални.

За да проверим това, нека намерим V 2, което според условието е 2 пъти по-високо: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. След това изчисляваме разстоянието по формулата S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Сега не е трудно да разберете времето t 2, което се изисква от нас според условията на проблема: t 2 = 360/120 = 3 часа.

Както можете да видите, времето за пътуване и скоростта наистина са обратно пропорционални: при скорост 2 пъти по-висока от първоначалната скорост, колата ще прекара 2 пъти по-малко време на пътя.

Решението на тази задача може да се запише и като пропорция. Така че нека първо създадем тази диаграма:

↓ 60 км/ч – 6 ч

↓120 км/ч – x ч

Стрелките показват обратно пропорционална връзка. Те също така предполагат, че когато се съставя пропорция, дясната страна на записа трябва да бъде обърната: 60/120 = x/6. Къде получаваме x = 60 * 6/120 = 3 часа.

Задача No2. В цеха работят 6 работници, които могат да свършат зададен обем работа за 4 часа. Ако броят на работниците бъде намален наполовина, колко време ще отнеме на останалите работници, за да извършат същото количество работа?

Нека запишем условията на проблема под формата на визуална диаграма:

↓ 6 работници – 4 часа

↓ 3 работници – x h

Нека запишем това като пропорция: 6/3 = x/4. И получаваме x = 6 * 4/3 = 8 часа. Ако има 2 пъти по-малко работници, останалите ще прекарат 2 пъти повече време, за да свършат цялата работа.

Задача No3. В басейна има две тръби. По една тръба водата тече със скорост 2 l/s и пълни басейна за 45 минути. Чрез друга тръба басейнът ще се напълни за 75 минути. С каква скорост навлиза водата в басейна през тази тръба?

Като начало, нека намалим всички количества, дадени ни според условията на задачата, до едни и същи мерни единици. За да направите това, изразяваме скоростта на пълнене на басейна в литри в минута: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Тъй като от условието следва, че басейнът се пълни по-бавно през втората тръба, това означава, че скоростта на водния поток е по-малка. Пропорционалността е обратна. Нека изразим неизвестната скорост чрез x и съставим следната диаграма:

↓ 120 л/мин – 45 мин

↓ x l/min – 75 min

И след това съставяме пропорцията: 120/x = 75/45, откъдето x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

В задачата скоростта на пълнене на басейна е изразена в литри в секунда, нека сведем получения отговор до същата форма: 72/60 = 1,2 l/s.

Задача No4. Малка частна печатница печата визитки. Служител на печатница работи със скорост 42 визитки на час и работи на пълен работен ден - 8 часа. Ако работи по-бързо и отпечата 48 визитни картички за един час, колко по-рано би могъл да се прибере?

Следваме доказания път и съставяме диаграма според условията на проблема, като обозначаваме желаната стойност като x:

↓ 42 визитки/час – 8 часа

↓ 48 визитни картички/ч – x ч

Имаме обратно пропорционална връзка: колкото пъти повече визитни картички отпечатва един служител на печатница за час, толкова пъти по-малко време ще му е необходимо, за да свърши същата работа. Знаейки това, нека създадем пропорция:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 часа.

Така, след като свърши работата за 7 часа, служителят на печатницата можеше да се прибере час по-рано.

Заключение

Струва ни се, че тези проблеми с обратната пропорционалност са наистина прости. Надяваме се, че сега и вие мислите за тях по този начин. И най-важното е, че знанията за обратно пропорционалната зависимост на количествата наистина могат да ви бъдат полезни повече от веднъж.

Не само в часовете и изпитите по математика. Но дори и тогава, когато се приготвите да тръгнете на път, да пазарувате, решите да спечелите малко допълнителни пари през празниците и т.н.

Кажете ни в коментарите какви примери за обратна и права пропорционална зависимост забелязвате около вас. Нека бъде такава игра. Ще видите колко е вълнуващо. Не забравяйте да споделите тази статия в социалните мрежи, за да могат вашите приятели и съученици също да играят.

blog.site, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към първоизточника.

Двете величини се наричат право пропорционална, ако когато едното от тях се увеличи няколко пъти, другото се увеличи със същото количество. Съответно, когато единият от тях намалее няколко пъти, другият намалява със същото количество.

Връзката между тези количества е правопропорционална. Примери за пряка пропорционална зависимост:

1) при постоянна скорост изминатото разстояние е право пропорционално на времето;

2) периметърът на квадрат и неговата страна са правопропорционални величини;

3) цената на продукт, закупен на една цена, е пряко пропорционална на неговото количество.

За да разграничите пряка пропорционална връзка от обратна, можете да използвате поговорката: „Колкото по-навътре в гората, толкова повече дърва за огрев“.

Удобно е да се решават задачи, включващи правопропорционални количества, като се използват пропорции.

1) За да направите 10 части са ви необходими 3,5 кг метал. Колко метал ще отиде за направата на 12 от тези части?

(Разсъждаваме така:

1. В попълнената колона поставете стрелка в посока от най-голямото число към най-малкото.

2. Колкото повече части, толкова повече метал е необходим за направата им. Това означава, че това е правопропорционална зависимост.

Нека са необходими x kg метал, за да се направят 12 части. Съставяме пропорцията (в посока от началото на стрелката към нейния край):

12:10=х:3,5

За да намерите, трябва да разделите произведението на екстремните членове на известния среден член:

Това означава, че ще са необходими 4,2 кг метал.

Отговор: 4,2 кг.

2) За 15 метра плат те платиха 1680 рубли. Колко струват 12 метра такъв плат?

(1. В попълнената колона поставете стрелка в посока от най-голямото число към най-малкото.

2. Колкото по-малко плат купувате, толкова по-малко трябва да платите за него. Това означава, че това е правопропорционална зависимост.

3. Следователно втората стрелка е в същата посока като първата).

Нека х рубли струват 12 метра плат. Правим пропорция (от началото на стрелката до нейния край):

15:12=1680:x

За да намерите неизвестния екстремен член на пропорцията, разделете произведението на средните членове на известния екстремен член на пропорцията:

Това означава, че 12 метра струват 1344 рубли.

Отговор: 1344 рубли.

Пример

1,6 / 2 = 0,8;

4/5 = 0,8;

5,6 / 7 = 0,8 и т.н. Фактор на пропорционалностПостоянна връзка на пропорционалните величини се нарича

Пряка пропорционалност

Пряка пропорционалностфактор на пропорционалност . Коефициентът на пропорционалност показва колко единици от една величина са на единица от друга., в равни дялове, тоест, ако аргументът се промени два пъти в която и да е посока, тогава функцията също се променя два пъти в същата посока.

Математически пряката пропорционалност се записва като формула:

f(х) = ах,а = cопst

Обратна пропорционалност

Обратна пропорционалност- това е функционална зависимост, при която нарастването на независимата стойност (аргумент) предизвиква пропорционално намаляване на зависимата стойност (функция).

Математически обратната пропорционалност се записва като формула:

Свойства на функцията:

Източници

Фондация Уикимедия.

2010 г.

АДМИНИСТРАЦИЯ НА ОБЩИНСКО ОБРАЗУВАНИЕ "ГРАД САРАТОВ"

ОБЩИНСКО УЧЕБНО ЗАВЕДЕНИЕ

„СРЕДНО ОБРАЗОВАТЕЛНО УЧИЛИЩЕ № 95 С УГЛ

ИЗУЧАВАНЕ НА ОТДЕЛНИ ПРЕДМЕТИ"

Методическа разработка

урок по алгебра в 7 клас

по темата:

„Пряка пропорционалност

и нейния график."

учител по математика

1 квалификационна категория

Горюнова Е.В.

2014 – 2015 учебна година

Обяснителна бележка

за урок по темата:

„Пряка пропорционалност и нейната графика.“

Учител по математика Елена Викторовна Горюнова.

Представяме на вашето внимание урок в 7 клас. Учителят работи по програма, съставена въз основа на моделни програми за основно общо образование и авторска програма за общообразователни институции Ю.Н. Макаричев. Алгебра.7-9 клас //Сборник с програми за алгебра 7-9 клас. М. Просвещение, 2009 г. съставител Т.А. Бурмистрова. Програмата съответства на учебника по алгебра на Ю.Н. Макаричев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков., С.Б. Суворова, под редакцията на С.А. Теляковски „Алгебра 7 клас“ (издателство „Просвещение“, 2009 г.).

За изучаване на темата „Функции“ са предвидени 14 часа, от които 6 часа за раздел „Функции и техните графики“, 3 часа за раздел „Пряка пропорционалност и нейната графика“, 4 часа за раздел „Линейна функция и нейната графика“. ” и 1 час K/R.

ЦЕЛИ:

Образователни:

3. Насърчавайте учениците към самоконтрол и взаимен контрол.

Образователни:

Внушете чувство на уважение към съучениците, внимание към думите, насърчавайте независимостта, отговорността и точността при конструирането на чертежи

Работа върху развитието на свързаната реч на учениците, способността да поставят и решават проблеми.

Оборудване на урока: бяха взети от учителя в интернет от официални медийни сайтове и преработени специално за този урок, като се вземе предвид темата на урока, учебник.

Вид и структура на урока:

Този урок е урок за овладяване на нови знания и умения (видове уроци според V.A. Onishchuk), така че е рационално да се прилагат елементи на изследователска дейност.

Прилагане на принципите на обучение:

В урока бяха приложени следните принципи:

Наука за ученето.

Реализира се принципът на системност и последователност на обучението с постоянно разчитане на предварително изучен материал.

Съзнанието, активността и независимостта на учениците бяха постигнати под формата на стимулиране на познавателната активност с помощта на ефективни техники и визуални средства (като показване на слайдове, предоставяне на исторически факти и информация от живота на математика и философа Р. Декарт, индивидуални печатни листове за студенти.

В урока беше приложен принципът на комфорта.

Форми и методи на обучение:

По време на урока бяха използвани различни форми на обучение – индивидуална и фронтална работа, взаимопроверка. Такива форми са по-рационални за този тип уроци, тъй като позволяват на детето да развие самостоятелно мислене, критично мислене, способност да защитава своята гледна точка, способност да сравнява и прави изводи.

Основният метод на този урок е методът на частично търсене, който се характеризира с работата на учениците при решаване на проблемни познавателни проблеми.

Phys. минутата беше както физическо упражнение, така и консолидиране на току-що научения материал.

В края на урока е препоръчително да обобщите извършената работа в урока.

Общи резултати от урока:

Смятам, че поставените цели на урока бяха постигнати, децата приложиха знанията си в нова ситуация, всеки можеше да изрази своята гледна точка. Използването на визуални средства под формата на презентации и индивидуални печатни листове за ученици ви позволява да мотивирате учениците на всеки етап от урока и да избегнете претоварването и преуморяването на учениците.

Тема на урока:

Дидактическа задача:запознаване с правата пропорционалност и построяването на нейната графика.

цели:

ЦЕЛИ:

1. Организирайте дейностите на учениците за разбиране на темата „Пряка пропорционалност и нейната графика“ и първична консолидация: дефиниране на пряка пропорционалност и конструиране на нейната графика, развиване на умения за компетентно конструиране на графики

2. Създайте условия за създаване на система от основни знания и умения в паметта на учениците, стимулирайте търсещата активност

Образователни:

1. Развийте аналитично-синтезиращо мислене (насърчаване на развитието на наблюдението, способността за анализ, развитието на способността за класифициране на факти, изготвяне на обобщаващи заключения).

2. Развиване на абстрактно мислене (развиване на способността за идентифициране на общи и съществени характеристики, разграничаване на маловажни характеристики и отвличане на вниманието от тях).

3. Насърчавайте учениците към самоконтрол и взаимен контрол

3. Насърчавайте учениците към самоконтрол и взаимен контрол.

Да възпитава чувство на уважение към съучениците, внимание към думите, да насърчава независимостта, отговорността и точността при конструирането на чертежи.

Оборудване:компютър, презентация, разпечатани карти със задачи за всеки ученик.

План на урока:

1. Организационен момент.

2.Мотивация на урока.

3. Актуализиране на знанията.

4.Учене на нов материал.

5. Фиксиране на материала.

6. Обобщение на урока.

Прогрес на урока.

1. Организационен момент.

Добро утро момчета! Бих искал да започна урока със следните думи. (Слайд 1)

Френският учен Рене Декарт веднъж отбеляза: „Мисля, следователно съществувам“.

Момчетата подготвиха доклад за френския учен Р. Декарт.

Рене Декарт е по-известен като велик философ, отколкото като математик. Но именно той е пионерът на съвременната математика и постиженията му в тази област са толкова големи, че с право е причислен към великите математици на нашето време.

Съобщение на ученика:(Слайд 2)

Декарт е роден във Франция, в малкото градче Лае. Баща му беше адвокат, майка му почина, когато Рене беше на 1 година. След като завършва колеж за синове на аристократични семейства, той, следвайки примера на брат си, започва да учи право. На 22-годишна възраст той напуска Франция и служи като офицер-доброволец във войските на различни военни лидери, участвали в 13-годишната война. Декарт в своето философско учение развива идеята за всемогъществото на човешкия ум и затова е преследван от католическата църква. Желаейки да намери убежище за тиха работа по философия и математика, в която се интересува от детството си, Декарт се установява в Холандия през 1629 г., където живее почти до края на живота си. Всички основни произведения на Декарт по философия, математика, физика, космология и физиология са написани от него в Холандия.

Математическите трудове на Декарт са събрани в книгата му "Геометрия" (1637 г.). В "Геометрия" Декарт дава основите на аналитичната геометрия и алгебра. Декарт е първият, който въвежда концепцията за променлива функция в математиката. Той обърна внимание на факта, че една крива на равнина се характеризира с уравнение, което има свойството, че координатите на всяка точка, лежаща на тази линия, удовлетворяват това уравнение. Той разделя кривите, дадени от алгебрично уравнение, на класове в зависимост от най-голямата степен на неизвестното количество в уравнението. Декарт въвежда в математиката знаците плюс и минус за означаване на положителни и отрицателни величини, обозначението за степен и знака за означаване на безкрайно голяма величина. За променливи и неизвестни величини Декарт възприема обозначенията x, y, z, а за известни и постоянни величини -a .b .c, както е известно, тези обозначения се използват в математиката и до днес. Въпреки факта, че Декарт не е напреднал много в областта на аналитичната геометрия, неговите трудове оказват решаващо влияние върху по-нататъшното развитие на математиката. В продължение на 150 години математиката се развива по пътя, очертан от Декарт.

Нека последваме съвета на учения. Ще бъдем активни, внимателни, ще разсъждаваме, ще мислим и ще учим нови неща, защото знанието ще ви бъде полезно в по-късния живот. И бих искал да предложа тези думи (Слайд 3) на Р. Декарт като мото на нашия урок. : „Уважението към другите дава причина да уважаваме себе си.“

2.Мотивация.

Нека да проверим в какво настроение сте дошли в клас. Начертайте усмихнато лице в полетата.

Вземете картите. Тук са написани и думите на Р. Декарт: „ За да подобрите ума си, трябва да разсъждавате повече, отколкото да запаметявате. Тези думи ще ни ръководят в нашата работа.

Задача No1 с математически термини, които ще използваме в час. Поправете всички грешки, допуснати в изписването на тези термини. (Слайд 4)

Разменете листовете и проверете дали всички грешки са коригирани. (Слайд 5) -Какво забелязахте? Коя дума няма грешки? (функция, график)

3. Актуализиране на знанията.

а) Запознахме се с понятието „функция“ в предишните уроци. Нека си припомним основните понятия и определения по тази тема.

Работихме и с функционални графики. Коя от думите за диктовка използвахме, когато работихме по темата „Графики на функции“? Какво означават?

На този слайд определете кой ред ще бъде графиката на функцията? (Слайд 6)

Кой може да ни каже за какво ще говорим в този урок? Какви цели ще си поставим на урока? (Слайд 7)

Запишете числото на ученически листове и напишете темата на урока: „Пряка пропорционалност и нейната графика“

Нека си припомним материала от предишни уроци

Създайте формули за решаване на следните задачи. (Слайд 9,10)

Кои променливи са зависими и независими? Какво зависи от какво? Каква зависимост? (Слайд)

Коя формула е по-различна от останалите? (Слайд)

в) Как можете да напишете формулите в общ вид? (Слайд)

y =kx, y - зависима променлива

x – независима променлива

k – постоянно число (коефициент)

Записахме формулата и това е един от начините за дефиниране на функция. Пряко пропорционалната зависимост е функция.

4.Учене на нов материал.

Определение. Пряката пропорционалност е функция, която може да бъде определена с формулата y=kx, където x е независима променлива, а k е определено число, което не е равно на нула, коефициент на права пропорционалност (постоянно съотношение на пропорционалните величини)

Да прочетем правилото в учебника на стр.65

Какъв е обхватът на тази функция? (Наборът от всички числа)

Фиксиране на материала.

Изпълнете задачата в лист № 4 (Слайд) Разпределете формулите в 2 групи в съответствие с темата на урока: (прочетете правилото в учебника на стр. 65)

y=2x, y=3x-7, y=-0.2x, y=x, y=x², y=x, y=-5,8+3x, y=-x, y=50x,

Група 1:_________________________________________________________________

Група 2:________________________________________________________________

Подчертайте коефициента на пряка пропорционалност.

Изпълняваме № 298 на страница 68 (устно), диктувам, определяте формулата на пропорционалността на ухо и присвивате очи, ако не по пропорционалност, след това завъртете очите си отляво надясно.

Измислете и напишете 4 формули за функцията на правата пропорционалност:

1) y=_________2) y=__________3) y=_________4) y=__________

Учене на нов материал

Каква е графиката на тази функция? Искате ли да знаете?

Вече построихме графика на функция в задача No2, можем ли да наречем тази функция пропорционалност? Това означава, че вече сме построили графика на пропорционалност. Правилото е в учебника на стр.67.

Нека да видим как изграждаме графика на тази функция (Слайд)

Фиксиране на материала.

Нека изградим графика № 7 върху ученически листове (Слайд)

Каква точка ще имаме във всяка графика на пропорционалност?

Работим по готови чертежи. (Слайд)

Заключение: графиката е права линия, минаваща през началото.

Т.К. Графиката е права линия, тогава колко точки са необходими, за да се построи? Вече има един (0;0)

Изпълняваме №300

Обобщение на урока.Нека обобщим работата в днешния урок (Слайд). Всичко беше направено. какво сте планирали

Отражение. (Слайд)

Проверете настроението на учениците в края на урока (усмивка) (Слайд).

Пример

1,6 / 2 = 0,8;

4/5 = 0,8;

5,6 / 7 = 0,8 и т.н. Фактор на пропорционалностПостоянна връзка на пропорционалните величини се нарича

Пряка пропорционалност

Математически пряката пропорционалност се записва като формула:

f(х) = ах,а = cопst

Обратна пропорционалност

Математически обратната пропорционалност се записва като формула:

Свойства на функцията:

Източници

Фондация Уикимедия.

Втори закон на Нютон
Кулонова бариера

Вижте какво е „Пряка пропорционалност“ в други речници:

пряка пропорционалност- - [A.S. Goldberg. Англо-руски енергиен речник. 2006] Енергийни теми като цяло EN директно отношение ... Ръководство за технически преводач

пряка пропорционалност- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: англ. пряка пропорционалност вок. direkte Proportionalität, ф рус. пряка пропорционалност, f пранц. proportionality directe, f … Fizikos terminų žodynas

ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ- (от лат. proportionalis пропорционален, пропорционален). Пропорционалност. Речник на чуждите думи, включени в руския език. Chudinov A.N., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ лат. proportionalis, пропорционален. Пропорционалност. Обяснение 25000... ... Речник на чуждите думи на руския език

ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ- ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ, пропорционалност, мн.ч. не, женска (книга). 1. абстрактно съществително име до пропорционално. Пропорционалност на частите. Пропорционалност на тялото. 2. Такава връзка между количествата, когато те са пропорционални (вижте пропорционални ... Обяснителен речник на Ушаков

Пропорционалност- Две взаимно зависими величини се наричат пропорционални, ако съотношението на техните стойности остава непроменено Съдържание 1 Пример 2 Коефициент на пропорционалност ... Wikipedia

ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ- ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ, и, женски. 1. виж пропорционален. 2. В математиката: такава връзка между величините, при която увеличаването на едно от тях води до промяна на другото със същата стойност. Права линия (с разрез с увеличение на една стойност... ... Обяснителен речник на Ожегов

пропорционалност- И; и. 1. до Пропорционално (1 цифра); пропорционалност. П. части. П. телосложение. П. представителство в парламента. 2. Математика. Зависимост между пропорционално изменящи се величини. Фактор на пропорционалност. Пряка линия (в която с... ... Енциклопедичен речник