Допирателна уравнение примерни решения. Тангента към графиката на функция в точка

Пример 1.Дадена функция f(х) = 3х 2 + 4х– 5. Да напишем уравнението на допирателната към графиката на функцията f(х) в точката на графиката с абсцисата х 0 = 1.

Решение.Производна на функция f(х) съществува за всяко x Р . Да я намерим:

= (3х 2 + 4х– 5)′ = 6 х + 4.

Тогава f(х 0) = f(1) = 2; (х 0) = = 10. Уравнението на допирателната има формата:

г = (х 0) (х – х 0) + f(х 0),

г = 10(х – 1) + 2,

г = 10х – 8.

отговор. г = 10х – 8.

Пример 2.Дадена функция f(х) = х 3 – 3х 2 + 2х+ 5. Нека напишем уравнението на допирателната към графиката на функцията f(х), успоредна на правата г = 2х – 11.

Решение.Производна на функция f(х) съществува за всяко x Р . Да я намерим:

= (х 3 – 3х 2 + 2х+ 5)′ = 3 х 2 – 6х + 2.

Тъй като допирателната към графиката на функцията f(х) в точката на абсцисата х 0 е успореден на правата г = 2х– 11, то неговият наклон е равен на 2, т.е. х 0) = 2. Нека намерим тази абциса от условието, че 3 х– 6х 0 + 2 = 2. Това равенство е валидно само когато х 0 = 0 и при х 0 = 2. Тъй като и в двата случая f(х 0) = 5, след това направо г = 2х + bдокосва графиката на функцията или в точка (0; 5), или в точка (2; 5).

В първия случай численото равенство 5 = 2×0 + е вярно b, където b= 5, а във втория случай е вярно численото равенство 5 = 2×2 + b, където b = 1.

Така че има две допирателни г = 2х+ 5 и г = 2х+ 1 към графиката на функцията f(х), успоредна на правата г = 2х – 11.

отговор. г = 2х + 5, г = 2х + 1.

Пример 3.Дадена функция f(х) = х 2 – 6х+ 7. Да напишем уравнението на допирателната към графиката на функцията f(х), преминаваща през точката А (2; –5).

Решение.защото f(2) –5, след това точка Ане принадлежи към графиката на функцията f(х). Нека х 0 - абсцисата на допирателната точка.

Производна на функция f(х) съществува за всяко x Р . Да я намерим:

= (х 2 – 6х+ 1)′ = 2 х – 6.

Тогава f(х 0) = х– 6х 0 + 7; (х 0) = 2х 0 – 6. Уравнението на допирателната има формата:

г = (2х 0 – 6)(х – х 0) + х– 6х+ 7,

г = (2х 0 – 6)х– х+ 7.

Тъй като точката Апринадлежи на тангентата, то численото равенство е вярно

–5 = (2х 0 – 6)×2– х+ 7,

където х 0 = 0 или х 0 = 4. Това означава, че през точката Аможете да начертаете две допирателни към графиката на функцията f(х).

Ако х 0 = 0, тогава уравнението на допирателната има формата г = –6х+ 7. Ако х 0 = 4, тогава уравнението на допирателната има формата г = 2х – 9.

отговор. г = –6х + 7, г = 2х – 9.

Пример 4.Дадени функции f(х) = х 2 – 2х+ 2 и ж(х) = –х 2 – 3. Нека напишем уравнението на общата допирателна към графиките на тези функции.

Решение.Нека х 1 - абсцисата на точката на допиране на желаната линия с графиката на функцията f(х), А х 2 - абсцисата на точката на допиране на същата линия с графиката на функцията ж(х).

Производна на функция f(х) съществува за всяко x Р . Да я намерим:

= (х 2 – 2х+ 2)′ = 2 х – 2.

Тогава f(х 1) = х– 2х 1 + 2; (х 1) = 2х 1 – 2. Уравнението на допирателната има вида:

г = (2х 1 – 2)(х – х 1) + х– 2х 1 + 2,

г = (2х 1 – 2)х – х+ 2. (1)

Нека намерим производната на функцията ж(х):

= (–х 2 – 3)′ = –2 х.

На съвременния етап от развитието на образованието една от основните му задачи е формирането на творчески мислеща личност. Способността за творчество при учениците може да се развие само ако те систематично се занимават с основите на изследователската дейност. Основата на учениците да използват своите творчески сили, способности и таланти са формирани пълноценни знания и умения. В тази връзка проблемът за формиране на система от основни знания и умения за всяка тема от училищния курс по математика е не малко важен. В същото време пълноценните умения трябва да бъдат дидактическа цел не на отделни задачи, а на внимателно обмислена система от тях. В най-широк смисъл системата се разбира като набор от взаимосвързани взаимодействащи елементи, които имат цялост и стабилна структура.

Нека разгледаме техника за обучение на учениците как да напишат уравнение за допирателна към графиката на функция. По същество всички проблеми за намиране на уравнението на допирателната се свеждат до необходимостта да се изберат от набор (пакет, семейство) линии тези, които отговарят на определено изискване - те са допирателни към графиката на определена функция. В този случай наборът от редове, от които се извършва изборът, може да бъде определен по два начина:

а) точка, лежаща на равнината xOy (централен молив от прави);
б) ъглов коефициент (успореден лъч от прави линии).

В тази връзка, когато изучавахме темата „Допирателна към графиката на функция“, за да изолираме елементите на системата, идентифицирахме два вида проблеми:

1) задачи за допирателна, зададена от точката, през която минава;
2) задачи за допирателна, зададена от нейния наклон.

Обучението за решаване на допирателни задачи се проведе по алгоритъма, предложен от A.G. Мордкович. Основната му разлика от вече известните е, че абсцисата на допирателната се обозначава с буквата a (вместо x0), поради което уравнението на допирателната има формата

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(сравнете с y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Тази методическа техника, според нас, позволява на учениците бързо и лесно да разберат къде са записани координатите на текущата точка общото уравнение на допирателната и къде са допирните точки.

Алгоритъм за съставяне на уравнението на допирателната към графиката на функцията y = f(x)

1. Означете абсцисата на допирателната точка с буквата a.
2. Намерете f(a).
3. Намерете f "(x) и f "(a).
4. Заместете намерените числа a, f(a), f "(a) в общото уравнение на допирателната y = f(a) = f "(a)(x – a).

Този алгоритъм може да бъде съставен въз основа на независимото идентифициране на операциите от учениците и последователността на тяхното изпълнение.

Практиката показва, че последователното решаване на всеки от ключовите проблеми с помощта на алгоритъм ви позволява да развиете умения за писане на уравнението на допирателната към графиката на функция на етапи, а стъпките на алгоритъма служат като отправни точки за действия . Този подход съответства на теорията за постепенното формиране на умствените действия, разработена от П.Я. Галперин и Н.Ф. Тализина.

В първия тип задачи бяха идентифицирани две ключови задачи:

допирателната минава през точка, лежаща на кривата (задача 1);
допирателната минава през точка, която не лежи на кривата (задача 2).

Задача 1. Напишете уравнение за допирателната към графиката на функцията в точка M(3; – 2).

Решение. Точка M(3; – 2) е допирателна точка, тъй като

1. a = 3 – абсцисата на допирателната точка.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение на допирателната.

Задача 2. Напишете уравненията на всички допирателни към графиката на функцията y = – x 2 – 4x + 2, минаващи през точката M(– 3; 6).

Решение. Точка M(– 3; 6) не е допирателна точка, тъй като f(– 3) 6 (фиг. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение на допирателната.

Допирателната минава през точката M(– 3; 6), следователно нейните координати удовлетворяват уравнението на допирателната.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Ако a = – 4, тогава уравнението на допирателната е y = 4x + 18.

Ако a = – 2, тогава уравнението на допирателната има формата y = 6.

Във втория тип основните задачи ще бъдат следните:

допирателната е успоредна на права (задача 3);
допирателната минава под определен ъгъл спрямо дадената права (задача 4).

Задача 3. Напишете уравненията на всички допирателни към графиката на функцията y = x 3 – 3x 2 + 3, успоредна на правата y = 9x + 1.

1. a – абсцисата на допирателната точка.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Но, от друга страна, f "(a) = 9 (условие за паралелност). Това означава, че трябва да решим уравнението 3a 2 – 6a = 9. Корените му са a = – 1, a = 3 (фиг. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – уравнение на допирателната;

1) а = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – уравнение на допирателната.

Задача 4. Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията y = 0,5x 2 – 3x + 1, минаваща под ъгъл 45° спрямо правата y = 0 (фиг. 4).

Решение. От условието f "(a) = tan 45° намираме a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – абсцисата на допирателната точка.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1 (x – 4).

y = x – 7 – уравнение на допирателната.

Лесно е да се покаже, че решението на всеки друг проблем се свежда до решаването на един или повече ключови проблеми. Разгледайте следните два проблема като пример.

1. Напишете уравненията на допирателните към параболата y = 2x 2 – 5x – 2, ако допирателните се пресичат под прав ъгъл и едната от тях докосва параболата в точката с абциса 3 (фиг. 5).

Решение. Тъй като е дадена абсцисата на точката на допиране, първата част от решението се свежда до ключова задача 1.

1. a = 3 – абсцисата на точката на допиране на една от страните на правия ъгъл.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение на първата допирателна.

Нека a е ъгълът на наклона на първата допирателна. Тъй като допирателните са перпендикулярни, тогава е ъгълът на наклон на втората допирателна. От уравнението y = 7x – 20 на първата допирателна имаме tg a = 7. Нека намерим

Това означава, че наклонът на втората допирателна е равен на .

По-нататъшното решение се свежда до ключова задача 3.

Тогава нека B(c; f(c)) е точката на допиране на втората права

1. – абсцисата на втората точка на допир.
2.
3.
4.
– уравнение на втората допирателна.

Забележка. Ъгловият коефициент на тангентата може да се намери по-лесно, ако учениците знаят отношението на коефициентите на перпендикулярните прави k 1 k 2 = – 1.

2. Напишете уравненията на всички общи допирателни към графиките на функциите

Решение. Задачата се свежда до намиране на абсцисата на допирателните точки на общи допирателни, тоест решаване на ключова задача 1 в общ вид, съставяне на система от уравнения и след това нейното решаване (фиг. 6).

1. Нека a е абсцисата на допирателната точка, лежаща върху графиката на функцията y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Нека c е абсцисата на допирателната точка, лежаща върху графиката на функцията
2.
3. f "(c) = c.
4.

Тъй като допирателните са общи, тогава

Така че y = x + 1 и y = – 3x – 3 са общи тангенти.

Основната цел на разглежданите задачи е да подготвят учениците самостоятелно да разпознават вида на ключовия проблем при решаване на по-сложни проблеми, изискващи определени изследователски умения (способност за анализ, сравнение, обобщение, излагане на хипотеза и др.). Такива задачи включват всяка задача, в която ключовата задача е включена като компонент. Нека разгледаме като пример задачата (обратна на задача 1) за намиране на функция от семейството на нейните допирателни.

3. За какво b и c правите y = x и y = – 2x са допирателни към графиката на функцията y = x 2 + bx + c?

Нека t е абсцисата на точката на допиране на правата линия y = x с параболата y = x 2 + bx + c; p е абсцисата на точката на допиране на правата y = – 2x с параболата y = x 2 + bx + c. Тогава уравнението на допирателната y = x ще приеме формата y = (2t + b)x + c – t 2 , а уравнението на допирателната y = – 2x ще приеме формата y = (2p + b)x + c – p 2 .

Нека съставим и решим система от уравнения

отговор:

Тип работа: 7

Състояние

Правата y=3x+2 е допирателна към графиката на функцията y=-12x^2+bx-10.

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-малка от нула.

Покажи решение

Решение

Нека x_0 е абсцисата на точката от графиката на функцията y=-12x^2+bx-10, през която минава допирателната към тази графика. Стойността на производната в точка x_0 е равна на наклона на допирателната, т.е. y"(x_0)=-24x_0+b=3. От друга страна, точката на допирателна принадлежи едновременно на графиката на функция и допирателната, тоест -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2. Получаваме система от уравнения

\begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \край (случаи)

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1.

Тип работа: 7
Съгласно условието за абсцисата, допирателните точки са по-малки от нула, така че x_0=-1, тогава b=3+24x_0=-21.

Състояние

отговор

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-малка от нула.

Покажи решение

Тема: Геометричен смисъл на производните. Тангента към графиката на функция

Правата y=-3x+4 е успоредна на допирателната към графиката на функцията y=-x^2+5x-7.

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1.

Намерете абсцисата на допирателната точка.

Състояние

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-малка от нула.

Покажи решение

Ъгловият коефициент на правата към графиката на функцията y=-x^2+5x-7 в произволна точка x_0 е равен на y"(x_0). Но y"=-2x+5, което означава y" (x_0)=-2x_0+5 Ъгловият коефициент на линията y=-3x+4, определен в условието, е равен на -3 -2x_0 +5=-3.

Получаваме: x_0 = 4. Източник: „Математика. Подготовка за Единния държавен изпит 2017 г. Ниво на профил." Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.От фигурата определяме, че допирателната минава през точки A(-6; 2) и B(-1; 1). Нека означим с C(-6; 1) пресечната точка на правите x=-6 и y=1, а с \alpha ъгъла ABC (на фигурата се вижда, че е остър). Тогава правата линия AB образува ъгъл \pi -\alpha с положителната посока на оста Ox, която е тъпа.

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1.

Намерете абсцисата на допирателната точка.

Състояние

Правата y=-2x-4 е допирателна към графиката на функцията y=16x^2+bx+12.

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-малка от нула.

Покажи решение

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-голяма от нула.

Нека x_0 е абсцисата на точката върху графиката на функцията y=16x^2+bx+12, през която

е допирателна към тази графика. Стойността на производната в точка x_0 е равна на наклона на тангентата, т.е. y"(x_0)=32x_0+b=-2. От друга страна, точката на допирателна принадлежи едновременно на графиката на функция и допирателната, тоест 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Получаваме система от уравнения

\begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \край (случаи)

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1.

Намерете абсцисата на допирателната точка.

Състояние

Решавайки системата, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1.

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-малка от нула.

Покажи решение

Съгласно условието за абсцисата, допирателните точки са по-големи от нула, така че x_0=1, тогава b=-2-32x_0=-34.

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1.

Намерете абсцисата на допирателната точка.

Състояние

На фигурата е показана графика на функцията y=f(x), дефинирана на интервала (-2; 8).

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-малка от нула.

Покажи решение

Определете броя на точките, в които допирателната към графиката на функцията е успоредна на правата y=6.

Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1.

Намерете абсцисата на допирателната точка.

Състояние

Правата y=6 е успоредна на оста Ox. Следователно намираме точки, в които допирателната към графиката на функцията е успоредна на оста Ox.

Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирателната е по-малка от нула.

Покажи решение

На тази диаграма такива точки са екстремни точки (максимални или минимални точки). Както можете да видите, има 4 точки на екстремум.

Правата y=4x-6 е успоредна на допирателната към графиката на функцията y=x^2-4x+9.

Намерете абсцисата на допирателната точка.
Наклонът на допирателната към графиката на функцията y=x^2-4x+9 в произволна точка x_0 е равен на y"(x_0). Но y"=2x-4, което означава y"(x_0)= 2x_0-4 Наклонът на допирателната y =4x-7 е равен на 4. Следователно намираме стойност на x_0-4=4.

Ако стойността f‘(x0) не съществува, тогава или няма допирателна, или се движи вертикално. С оглед на това наличието на производна на функцията в точката x0 се дължи на съществуването на невертикална допирателна, допирателна към графиката на функцията в точката (x0, f(x0)). В този случай ъгловият коефициент на допирателната ще бъде равен на f "(x0). Така става ясно геометричното значение на производната - изчисляването на ъгловия коефициент на допирателната.

Намерете стойността на абсцисата на допирателната точка, която се обозначава с буквата "а". Ако тя съвпада с дадена допирателна точка, тогава "a" ще бъде нейната x-координата. Определете стойността функции f(a) чрез заместване в уравнението функциистойност по абсцисата.

Определете първата производна на уравнението функции f’(x) и заменете стойността на точка „a“ в нея.

Вземете общото уравнение на допирателната, което се дефинира като y = f (a) = f (a) (x – a), и заменете намерените стойности a, f (a), f "(a) в него. Като резултат, решението на графиката ще бъде намерено и допирателна.

Решете задачата по различен начин, ако дадената допирателна точка не съвпада с допирателната. В този случай е необходимо да се замени "а" вместо числа в уравнението на допирателната. След това, вместо буквите "x" и "y", заменете стойността на координатите на дадената точка. Решете полученото уравнение, в което „а“ е неизвестното. Включете получената стойност в уравнението на допирателната.

Напишете уравнение за допирателна с буквата „а“, ако постановката на задачата уточнява уравнението функциии уравнението на успоредна права спрямо желаната допирателна. След това имаме нужда от производната функции, до координатата в точка “а”. Заместете подходящата стойност в уравнението на допирателната и решете функцията.

В тази статия ще анализираме всички видове проблеми за намиране

Да си припомним геометричен смисъл на производната: ако допирателната е начертана към графиката на функция в точка, тогава коефициентът на наклон на тангентата (равен на тангенса на ъгъла между допирателната и положителната посока на оста) е равен на производната на функцията в точката.

Нека вземем произволна точка на допирателната с координати:

И помислете за правоъгълен триъгълник:

В този триъгълник

Оттук

Това е уравнението на допирателната, начертана към графиката на функцията в точката.

За да напишем уравнението на тангентата, трябва само да знаем уравнението на функцията и точката, в която е начертана тангентата. Тогава можем да намерим и .

Има три основни типа проблеми с допирателни уравнения.

1. Дадена точка за контакт

2. Даден е коефициентът на наклона на тангентата, т.е. стойността на производната на функцията в точката.

3. Дадени са координатите на точката, през която е прекарана допирателната, но която не е точка на допиране.

Нека разгледаме всеки тип задача.

1. Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията в точката .

б) Намерете стойността на производната в точка . Първо, нека намерим производната на функцията

Нека заместим намерените стойности в уравнението на допирателната:

Нека отворим скобите от дясната страна на уравнението. Получаваме:

отговор: .

2. Намерете абсцисата на точките, в които функциите са допирателни към графиката успоредна на оста x.

Ако тангентата е успоредна на оста x, следователно ъгълът между тангентата и положителната посока на оста е нула, следователно тангентата на ъгъла на допирателната е нула. Това означава, че стойността на производната на функцията в точките на контакт е нула.

а) Намерете производната на функцията .

б) Нека приравним производната на нула и намерим стойностите, в които допирателната е успоредна на оста:

Приравнявайки всеки фактор на нула, получаваме:

Отговор: 0;3;5

3. Напишете уравнения за допирателни към графиката на функция , паралелен директен .

Допирателната е успоредна на права. Наклонът на тази права е -1. Тъй като допирателната е успоредна на тази права, следователно, наклонът на допирателната също е -1. това е знаем наклона на тангентата, и по този начин, производна стойност в точката на допиране.

Това е вторият тип задача за намиране на уравнението на допирателната.

И така, дадени са ни функцията и стойността на производната в точката на допиране.

а) Намерете точките, в които производната на функцията е равна на -1.

Първо, нека намерим производното уравнение.

Нека приравним производната на числото -1.

Нека намерим стойността на функцията в точката.

(по условие)

б) Намерете уравнението на допирателната към графиката на функцията в точка .

Нека намерим стойността на функцията в точката.

(по условие).

Нека заместим тези стойности в уравнението на допирателната:

отговор:

4. Напишете уравнението на допирателната към кривата , преминаващ през точка

Първо, нека проверим дали точката е допирателна. Ако една точка е допирателна, тогава тя принадлежи на графиката на функцията и нейните координати трябва да удовлетворяват уравнението на функцията. Нека заместим координатите на точката в уравнението на функцията.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} не е точка за контакт.

Това е последният тип задача за намиране на уравнението на допирателната. На първо място трябва да намерим абсцисата на допирателната точка.

Нека намерим стойността.

Нека бъде точката на контакт. Точката принадлежи на допирателната към графиката на функцията. Ако заместим координатите на тази точка в уравнението на допирателната, получаваме правилното равенство: