Меню
У домаГрим

Алгебрична и тригонометрична форма на комплексно число. Лекция на тема: "Тригонометрична форма на комплексно число"

Лекция

Тригонометрична форма на комплексно число

Планирайте

1.Геометрично представяне на комплексни числа.

2.Тригонометричен запис на комплексни числа.

3. Действия върху комплексни числа в тригонометрична форма.

Геометрично представяне на комплексни числа.

а) Комплексните числа се представят чрез точки от равнината по следното правило: а + би = М ( а ; b ) (Фиг. 1).

Снимка 1

б) Комплексно число може да бъде представено като вектор, който започва в точкатаОТНОСНО и завършват в дадена точка (фиг. 2).

Фигура 2

Пример 7. Начертайте точки, представляващи комплексни числа:1; - аз ; - 1 + аз ; 2 – 3 аз (фиг. 3).

Фигура 3

Тригонометричен запис на комплексни числа.

Комплексно числоz = а + би може да се зададе с помощта на радиус - вектор с координати( а ; b ) (фиг. 4).

Фигура 4

Определение . Дължина на вектора представляващ комплексното числоz , се нарича модул на това число и се обозначава илиr .

За всяко комплексно числоz неговия модулr = | z | се определя еднозначно по формулата .

Определение . Стойността на ъгъла между положителната посока на реалната ос и вектора представляващ комплексно число се нарича аргумент на това комплексно число и се обозначаваА rg z илиφ .

Аргумент комплексно числоz = 0 неопределен. Аргумент комплексно числоz≠ 0 е многозначна величина и се определя до термина2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Арг z = арг z + 2πk , Къдетоарг z - основната стойност на аргумента, оградена в интервала(-π; π] , това е-π < арг z ≤ π (понякога стойността, принадлежаща на интервала, се приема като основна стойност на аргумента .

Тази формула заr =1 често наричана формулата на Де Моавър:

(cos φ + i sin φ) н = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Пример 11 Изчислете(1 + аз ) 100 .

Нека напишем комплексно число1 + аз в тригонометрична форма.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (тъй като + грях )] 100 = ( ) 100 (тъй като 100 + грях 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Извличане на корен квадратен от комплексно число.

При извличане на корен квадратен от комплексно числоа + би имаме два случая:

Акоb > около , Че ;

Действия върху комплексни числа, записани в алгебрична форма

Алгебричната форма на комплексното число z =(а,b).се нарича алгебричен израз на формата

z = а + би.

Аритметични действия с комплексни числа z 1 = а 1 +б 1 азИ z 2 = а 2 +б 2 аз, записани в алгебрична форма, се извършват по следния начин.

1. Сбор (разлика) на комплексни числа

z 1 ±z 2 = (а 1 ± а 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

тези. събирането (изваждането) се извършва съгласно правилото за добавяне на полиноми с намаляване на подобни членове.

2. Произведение на комплексни числа

z 1 ∙z 2 = (а 1 ∙a 2 -б 1 ∙b 2) + (а 1 ∙b 2 + а 2 ∙b 1)∙i,

тези. умножението се извършва по обичайното правило за умножение на полиноми, като се има предвид фактът, че аз 2 = 1.

3. Разделянето на две комплексни числа се извършва по следното правило:

, (z 2 ≠ 0),

тези. делението се извършва чрез умножаване на делителя и делителя по конюгата на делителя.

Степенуването на комплексни числа се дефинира, както следва:

Лесно е да се покаже това

Примери.

1. Намерете сбора на комплексните числа z 1 = 2 – азИ z 2 = – 4 + 3аз

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3аз) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) аз = –2+2аз

2. Намерете произведението на комплексни числа z 1 = 2 – 3азИ z 2 = –4 + 5аз

= (2 – 3аз) ∙ (–4 + 5аз) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3аз)+ 2∙5аз– 3i∙ 5аз = 7+22аз

3. Намерете лично zот разделяне z 1 \u003d 3 - 2 z 2 = 3 – аз

z= .

4. Решете уравнението:, хИ г Î Р.

(2x+y) + (x+y)аз = 2 + 3аз

По силата на равенството на комплексните числа имаме:

където x=–1 , г= 4.

5. Изчислете: аз 2 ,аз 3 ,аз 4 ,аз 5 ,аз 6 ,аз -1 , т.е -2 .

6. Пресметнете ако .

.

7. Изчислете реципрочната стойност на число z=3-и.

Комплексни числа в тригонометрична форма

сложна равнинасе нарича равнина с декартови координати ( x, y), ако всяка точка с координати ( а, б) се присвоява комплексно число z = a + bi. В този случай се нарича абсцисната ос реална ос, а оста y е въображаем. След това всяко комплексно число а+бигеометрично представена на равнина като точка А (а, б) или вектор .

Следователно позицията на точката А(и следователно комплексното число z) може да се зададе от дължината на вектора | | = rи ъгъл йобразуван от вектора | | с положителната посока на реалната ос. Дължината на вектора се нарича комплексно число модули се означава с | z|=r, и ъгълът йНаречен аргумент комплексно числои означено j = argz.



Ясно е, че | z| ³ 0 и | z | = 0 Û z= 0.

От фиг. 2 показва, че.

Аргументът на комплексно число е дефиниран двусмислено и до 2 pk,kÎ З.

От фиг. 2 също показва, че ако z=a+biИ j=argz,Че

cos j =, грях j =, tg j = .

Ако zОРИ z > 0 тогава argz = 0 +2pk;

Ако z ОРИ z< 0 тогава argz = p + 2pk;

Ако z= 0,argzнеопределен.

Основната стойност на аргумента се определя на интервала 0 £argz£2 п,

или -стр£ arg z £ p.

Примери:

1. Намерете модула на комплексните числа z 1 = 4 – 3азИ z 2 = –2–2аз

2. Определете на комплексната равнина областите, определени от условията:

1) | z | = 5; 2) | z| £6; 3) | z – (2+аз) | £3; 4) £6 | z – аз| £7.

Решения и отговори:

1) | z| = 5 Û Û е уравнението на окръжност с радиус 5 и център в началото.

2) Окръжност с радиус 6 с център в началото.

3) Окръжност с радиус 3 с център в точка z0 = 2 + аз.

4) Пръстен, ограничен от окръжности с радиуси 6 и 7, центрирани в точка z 0 = аз.

3. Намерете модула и аргумента на числата: 1) ; 2).

1) ; А = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2аз; а =–2, b=-2 Þ ,

.

Забележка: Когато дефинирате основния аргумент, използвайте комплексната равнина.

По този начин: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j4 = , .

За да определите позицията на точка в равнина, можете да използвате полярни координати [личен лекар), Където Же разстоянието на точката от началото, и (Р- ъгълът, който сключва радиусът - векторът на тази точка с положителната посока на оста оПоложителна посока на промяна на ъгъла (Рсе взема предвид посоката, обратна на часовниковата стрелка. Използване на връзката между декартови и полярни координати: x \u003d r cos cf, y \u003d r sin (стр,

получаваме тригонометричната форма на комплексното число

z - r(sin (p + i sin

Където Ж

Xi + y2, (p е аргументът на комплексно число, който се намира от

l X . y y

формули cos(p --, sin^9 ​​​​= - или поради факта, че tg(p --, (p-arctg

Имайте предвид, че когато избирате стойностите срот последното уравнение е необходимо да се вземат предвид знаците x и y.

Пример 47. Запишете комплексно число в тригонометрична форма 2 \u003d -1 + l / Z /.

Решение. Намерете модула и аргумента на комплексното число:

= yj 1 + 3 = 2 . Ъгъл срнамерете от отношенията cos(стр = -, sin(p = - .Тогава

получаваме cos(p = -, suup

u/z g~

  • - -. Очевидно точката z = -1 + V3-/ е
  • 2 Да се 3

през второто тримесечие: (Р= 120°

Заместване

2 к.. cos-h; грях

във формула (1) намери 27G L

Коментирайте. Аргументът на комплексно число не е еднозначно дефиниран, но до член, който е кратен на 2т.След това през cn^rобозначавам

стойност на аргумента, оградена вътре (p 0 %2 Тогава

А) ^ r = + 2kk.

Използване на добре познатата формула на Ойлер e, получаваме експоненциалната форма на комплексното число.

Ние имаме r = r(co^(p + i?, n(p)=re,

Операции с комплексни числа

  • 1. Сумата от две комплексни числа r, = X] + y x/ и r 2 - x 2 + y 2 / се определя по формулата r! +2 2 = (x, +^2) + (^1 + ^2)' g
  • 2. Операцията изваждане на комплексни числа се определя като операция, обратна на събирането. Комплексно число g \u003d g x - g 2,Ако g 2 + g \u003d g x,

е разликата на комплексните числа 2 и g 2 .Тогава r = (x, - х 2) + (y, - при 2) /.

  • 3. Произведение на две комплексни числа g x= x, +y, -z и 2 2 = х 2+ U2‘g се определя по формулата
  • *1*2 =(* +U"0(X 2+ Т 2 -0= X 1 X 2 Y 1 2 -1 + x Y2 " * + При1 При2 " ^ =

\u003d (xx 2 ~ YY 2) + ( X Y2 + X 2Y) - "-

В частност, у-у\u003d (x + y-g) (x-y /) \u003d x 2 + y 2.

Можете да получите формулите за умножение на комплексни числа в експоненциална и тригонометрична форма. Ние имаме:

  • 1^ 2 - r x e 1 = )Г 2 e > = Г]Г 2 cOs((P + cp 2) + isin
  • 4. Деленето на комплексни числа се определя като обратна операция

умножение, т.е. номер G--се нарича частно от делението на r! на g 2,

Ако r x -1 2 ? 2 . Тогава

х + Ти _ (*і + ІU 2 ~ 1 U2 ) х 2 + ІУ2 ( 2 + ^Y 2)( 2 ~ 1 Y 2)

x, x 2 + /y, x 2 - ix x y 2 - i 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2)+ /(- x, y 2 + X 2 Y])

2 2 x 2 + Y 2

1 д

i(r g

  • - 1U e "(1 Fg) - I.sOї ((P - cf 1) + I- (Р-,)] >2 >2
  • 5. Повишаването на комплексно число до цяло положително число се извършва най-добре, ако числото е записано в експоненциална или тригонометрична форма.

Наистина, ако z = ge 1 тогава

=(ge,) = r p e t = G"(co8 psr + it gcr).

Формула g" =r n (cosn(p+е n(p)се нарича формула на Де Моавър.

6. Извличане на корена П-та степен на комплексно число се определя като обратна операция на степенуване п, п- 1,2,3,... т.е. комплексно число = y[gнаречен корен П-та степен на комплексно число

г ако Ж = g x. От това определение следва, че g - g ", А g x= l/g. (p-psr x,А ср^-ср/н, което следва от формулата на Moivre, написана за числото = r/*+ ippp(p).

Както беше отбелязано по-горе, аргументът на комплексно число не е еднозначно дефиниран, но до термин, който е кратен на 2 и.Ето защо = (p + 2бр, и аргументът на числото r, в зависимост от Да се,обозначавам (стр къми буу

dem изчисляване по формула (стр към= - + . Ясно е, че има П com-

плекс числа, Пстепен на което е равно на числото 2. Тези числа имат едно

и същия модул, равен на г[р,и аргументите на тези числа се получават от Да се = 0, 1, П - 1. Така в тригонометрична форма коренът на i-тата степен се изчислява по формулата:

(p + 2kp . . cf + 2kp

, Да се = 0, 1, 77-1,

.(r+2ktg

а в експоненциална форма - по формулата l[r - y[ge n

Пример 48. Извършване на операции с комплексни числа в алгебрична форма:

а) (1- / H / 2) 3 (3 + /)

  • (1 - /l/2) 3 (s + /) \u003d (1 - Zl / 2 / + 6 / 2 - 2 l / 2 / ? 3) (3 + /) \u003d
  • (1 - Zl/2/ - 6 + 2l/2/DZ + /)=(- 5 - l/2/DZ + /) =

15-Zl/2/-5/-l/2/ 2 = -15 - Zl/2/-5/+ l/2 = (-15 + l/2)-(5 + Zl/2)/;

Пример 49. Повишете числото r \u003d Uz - / на пета степен.

Решение. Получаваме тригонометричната форма на запис на числото r.

G = l/3 + 1 =2, CO8 (p --, 5ІІ7 (Р =

  • (1 - 2/X2 + /)
  • (с-,)

O - 2.-x2 + o

  • 12+ 4/-9/
  • 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
  • (горе-долу

Z/ 2 12-51 + 3 15 - 5/

  • (3-i) 'з+/
  • 9 + 1 s_±.
  • 5 2 1 "

Оттук о--, А r = 2

Moivre получаваме: i-2

/ ^ _ 7r, . ?G

  • -НАС-- IBIP -
  • --b/-

\u003d - (l / W + g) \u003d -2.

Пример 50 Намерете всички стойности

Решение, r = 2, a срнамерете от уравнението coy(p = -, zt--.

Тази точка 1 - /г/з е в четвърта четвърт, т.е. f =--. Тогава

  • 1 - 2
  • ( ( UG L

Коренните стойности се намират от израза

V1 - /l/s = l/2

  • --+ 2A:/g ---b 2 kk
  • 3 . . 3

С08--1- и 81П-

При Да се ​​- 0 имаме 2 0 = l/2

Можете да намерите стойностите на корена на числото 2, като представите числото на дисплея

-* ДА СЕ/ 3 + 2 клас

При Да се= 1 имаме още една коренна стойност:

  • 7G. 7G_
  • ---b27g ---b2;g
  • 3 . . ч

7G . . 7G L-C05- + 181P - 6 6

  • --Н-

с? - 7G + / 5Sh - I "

l/3__t_

форма на тялото. защото r= 2, а ср= , тогава r = 2е 3 , и y[g = y/2e 2