Силогизми Един ден следователят трябваше да разпита едновременно трима свидетели: Клод, Жак и Дик. Техните показания си противоречат и всеки

Един ден следователят трябваше едновременно да разпита трима свидетели: Клод, Жак и Дик. Техните показания си противоречат и всеки от тях обвинява някого в лъжа. Клод твърди, че Жак лъже, Жак обвинява Дик в лъжа, а Дик убеждава следователя да не вярва нито на Клод, нито на Жак. Но следователят бързо ги извади на светло, без да им зададе нито един въпрос. Кой от свидетелите е казал истината?

За вярна служба на Иля Муромец, Добриня Никитич и Альоша Попович бяха дадени 6 монети: 3 златни и 3 сребърни. Всеки получи по две монети. Иля Муромец не знае кои монети са отишли при Добриня и кои при Альоша, но знае кои монети е получил. Измислете въпрос, на който Иля Муромец ще отговори с „да“, „не“ или „не знам“ и по отговора на който можете да разберете какви монети е получил

Правила за силогизмите 1. Един силогизъм трябва да има само три твърдения и само три термина. Ж. Г. Всички излетници се разбягаха в различни посоки, Петров е излетник, което означава, че избяга в различни посоки. 3. Ако и двете предпоставки са частни твърдения, тогава заключението не може да бъде направено. 2. Ако една от предпоставките е частно твърдение, тогава заключението трябва да е частно. 4. Ако една от предпоставките е отрицателно твърдение, тогава заключението е отрицателно твърдение. 5. Ако и двете предпоставки са отрицателни твърдения, тогава заключението не може да бъде направено. 6. Средният термин трябва да бъде разпределен в поне една от предпоставките. 7. Терминът не може да бъде разпределен в заключението, ако не е разпределен в предпоставката.

Всички котки имат четири крака. Всички кучета имат четири крака. Всички кучета са котки. Всички хора са смъртни. Всички кучета не са хора. Кучетата са безсмъртни (не смъртни). Украйна заема огромна територия. Крим е част от Украйна. Крим заема огромна територия

ИНСТРУМЕНТАРИЙ

за учители по организиране и провеждане

Олимпиади по дисциплина "Математика"

за всички специалности

ОБЩИ ПОЛОЖЕНИЯ

Олимпиада по дисциплина "Математика"провежда се ежегодно
Процедурата за провеждане на олимпиадата се определя в съответствие с одобрения график на състезанията (олимпиади)за учебната година, се разглежда от цикловата методическа комисия и се утвърждавадепутат директор по устойчиво развитие.
Олимпийските игри са вътрешни състезания, включващиизпълнение на конкретни задачи, последвани от оценка на качеството, времето и дркритерии, провеждани през определен период и завършващи с церемонияпочитане на победителите.

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ НА ОЛИМПИАДАТА

Целта на олимпиадата. Научете се да прилагате математическите знания на практика. Да се идентифицира нивото на ерудиция на учениците и техните знания за основните математически определения, теореми и свойства.
Цели на олимпиадата
1. Развийте интереса на учениците към изследване на проблемиматематика.
  Развиват комуникативните умения на учениците, отговорността към работата, професионалните интереси и предпочитания.
  Създавайтеусловия за формиране на творческа дейност, създават атмосфера на здравословна конкуренция, ситуация на успех.

УЧАСТНИЦИ НА ОЛИМПИАДАТА

Участие в олимпиадатастуденти, усвояващи основните програми от 1-ва година на Държавната бюджетна образователна институция BPTв съответствие с Федералния държавен образователен стандарт.

ОРГАНИЗАЦИЯ И ПРОВЕЖДАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА

провеждат се олимпиадиДържавна бюджетна професионална образователна институция "Богородски политехнически колеж".

Олимпиадата се провежда на два етапа сред ученици от техникума:

етап – вътрешногрупов;

етап - в техникума.

Олимпиадата по дисциплината "Математика" включва попълванестуденти (участници) на практически задачи.

Задачи от първия етап на олимпиадата

Има 9 точки, маркирани, както е показано на снимката. Начертайте два седмоъгълника с различни форми с върховете им в маркираните точки. За всеки седмоъгълник направете отделен чертеж.

В деня, когато Дима беше поздравен за рождения му ден от брат си и сестра си, Дима каза: „Вижте, колко интересно, сега съм два пъти по-възрастен от брат си и три пъти по-възрастен от сестра си!“ „А средната ти възраст е 11 години“, подхвана татко. На колко години е Дима?

Един ден следователят трябваше да разпита трима свидетели на обира: Джон Уайт, Сам Грей и Боб Блек. Джон настоя, че всички показания на Сам са пълна лъжа, а Сам не направи нищо, освен да настоя, че Боб не казва истината. През цялото това време Боб убеждаваше следователя да не вярва нито на Уайт, нито особено на Грей. Следователят, бидейки проницателен и интелигентен човек, помоли и тримата да мълчат и без да задава повече въпроси, бързо определи с кого от тях си струва да се занимава и с кого не. Кой от свидетелите не е излъгал?

Колко трицифрени числа има, които са 5 пъти произведението на техните цифри?

Диаметърът се изчертава в кръгAB и успоредна на него хордаCD така че разстоянието между тях да е равно на половината от радиуса на тази окръжност (виж фигурата). Намерете ъгълаТАКСИ .

Изградете графика на уравнението, т.е. изобразете го в координатната равнинавсичко точки, координати(x;y) които удовлетворяват това уравнение.

Задачи от втория етап на олимпиадата

НомерА още 1 номерb . Може номераа 2 Иb 2 да бъдат равни?

Петя бяга от четвъртия етаж до първия с 2 секунди по-бързо от майка си с асансьора. Мама качва асансьора от четвъртия етаж до първия с 2 секунди по-бързо, отколкото Петя бяга от петия до първия. Колко секунди са необходими на Петя, за да избяга от четвъртия етаж на първия? (Дължините на стълбищните полета между всички етажи са еднакви).

Графика на функцията

В квадрат със страна 5 произволно са отбелязани 201 точки. Вярно ли е, че около 5 точки могат да бъдат покрити от квадрат със страна 1?

На числовата ос точки с цели координати са боядисани в червено и синьо по следните правила: а) точките, чиято координатна разлика е 7, трябва да бъдат боядисани в един и същи цвят; б) точките с координати 20 и 14 се оцветяват в червено, а точките с координати 71 и 143 се оцветяват в синьо. По колко начина могат да бъдат оцветени всички цели числа, следвайки тези правила?

Даден е правоъгълникABCD . ТочкаМ - средата на странатаAB , точкаК - средата на странатапр.н.е. . СегментиА.К. ИСМ. пресичат се в точкад . Колко пъти площта на четириъгълникаMBKE по-малко от площта на четириъгълникAECD ?

Отговори на задачи от първия етап на олимпиадата

Отговор . Примери за седмоъгълници са показани на фигурата. Възможни са и други варианти.

Критерии за проверка.

Намерени два или повече седмоъгълника –7 точки.

Намерен един седмоъгълник -3 точки.

Отговор . 18 години.

Решение .

Първи начин . Въз основа на условията на проблема можете да създадете уравнение. Нека възрастта на Дима е x години, тогава възрастта на сестрата е x/3, а възрастта на брата е x/2; (x + x/3 + x/2): 3=11. След решаването на това уравнение намираме, че x=18. Дима навърши 18 години. Ще бъде полезно да дадете малко по-различно решение, „на части“.

Втори начин . Ако възрастта на Дима, неговия брат и сестра са изобразени чрез сегменти, тогава „сегментът на Дима“ се състои от два „братски сегмента“ или три „сестрински сегмента“. Тогава, ако възрастта на Дима е разделена на 6 части, тогава възрастта на сестрата е две такива части, а възрастта на брат е три такива части. Тогава сумата от възрастта им е 11 такива части. От друга страна, ако средната възраст е 11 години, тогава сборът от възрастите е 33 години. От това следва, че в една част има три години. Това означава, че Дима е на 18 години.

Критерии за проверка .

Напълно правилно решение -7 точки.

Уравнението е съставено правилно, но са допуснати грешки при решаването му -3 точки.

Правилният отговор е даден и проверката е завършена -2 точки.

0 точки.

Отговор . Сам Грей.

Решение .

От условията на задачата става ясно, че изявленията на всеки от свидетелите са направени по отношение на изявленията на другите двама свидетели. Помислете за изявлението на Боб Блек. Ако това, което казва, е вярно, тогава Сам Грей и Джон Уайт лъжат. Но фактът, че Джон Уайт лъже, означава, че не всички показания на Сам Грей са пълна лъжа. А това противоречи на думите на Боб Блек, на когото избираме да вярваме и който твърди, че Сам Грей лъже. Така че казаното от Боб Блек не може да е вярно. Това означава, че той е излъгал и ние трябва да приемем думите на Сам Грей за истина и, следователно, изявленията на Джон Уайт за лъжи. Отговор: Сам Грей не е излъгал.

Критерии за проверка .

Даден е пълен правилен анализ на проблемната ситуация и е даден правилният отговор -7 точки.

Дава се пълен правилен анализ на ситуацията, но по някаква причина се дава неправилен отговор (например вместо кой НЕ е излъгал, отговорът посочва тези, които са излъгали) –6 точки.

Даден е правилен анализ на ситуацията, но по някаква причина правилният отговор не е даден (например доказано е, че Боб Блек е излъгал, но не се правят допълнителни заключения) –4 точки.

Даден е верният отговор и е показано, че той удовлетворява условията на задачата (проверено), но не е доказано, че отговорът е единственият -3 точки.

Даден е само верният отговор -1 точка.

0 точки.

Отговор . Едно число 175.

Решение . Първи начин . Цифрите, използвани за запис на число, не съдържат числото 0, в противен случай условието на задачата не може да бъде изпълнено. Това трицифрено число се получава чрез умножаване на произведението на неговите цифри по 5, следователно то се дели на 5. Това означава, че записът му завършва с числото 5. Получаваме, че произведението на цифрите, умножено по 5, трябва да се дели на 25. Обърнете внимание, че в записа на числото не може да има четни цифри, в противен случай произведението на цифрите би било равно на нула. Така едно трицифрено число трябва да се дели на 25 и да не съдържа четни цифри. Има само пет такива числа: 175, 375, 575, 775 и 975. Произведението на цифрите на желаното число трябва да бъде по-малко от 200, в противен случай, умножено по 5, ще даде четирицифрено число. Следователно числата 775 и 975 очевидно не са подходящи. Сред останалите три числа само 175 отговаря на условията на задачата. Втори начин. Обърнете внимание (подобно на първия метод за решение), че последната цифра на желаното число е 5. Некаа , b , 5 – последователни цифри от желаното число. Според условията на задачата имаме: 100а + 10 b + 5 = а · b ·5·5. Разделяйки двете страни на уравнението на 5, получаваме: 20а + 2 b + 1 = 5 аб . След като извадим 20a от двете страни на уравнението и извадим общия множител от дясната страна, получаваме: 2b + 1 = 5 а (b – 4 а ) (1 ). Като се има предвид това аИ b може да приема естествени стойности от 1 до 9, откриваме, че възможните стойности на a са само 1 или 2. Но a=2 не удовлетворява равенството (1 ), от лявата страна на която има нечетно число, а от дясната страна при заместване на a=2 се получава четно число. Така че единствената възможност е a=1. Замествайки тази стойност в (1 ), получаваме: 2 b + 1 = 5 b– 20, откъде b =7. Отговор: единственото необходимо число е 175.

Критерии за проверка .

Напълно правилно решение -7 точки.

Правилният отговор е получен и има аргументи, които значително намаляват търсенето на опции, но няма пълно решение -4 точки.

Уравнението е съставено правилно и са дадени трансформации и разсъждения за решаване на проблема, но решението не е завършено -4 точки.

Списъкът с опции е намален, но няма обяснение защо и е посочен правилният отговор -3 точки.

Уравнението е правилно, но проблемът не е решен -2 точки.

Решението съдържа разсъждения, които позволяват да се изключат всякакви числа от разглеждане или да се разглеждат числа с определени свойства (например завършващи с числото 5), но няма допълнителен значителен напредък в решението -1 точка.

Дава се само правилен отговор или проверен отговор -1 точка.

Отговор . 75°.

Решение . Да разгледаме триъгълника AOC, където O е центърът на окръжността. Този триъгълник е равнобедрен, тъй като OC и OA са радиуси. Това означава, че според свойството на равнобедрен триъгълник ъглите A и C са равни. Нека начертаем перпендикуляр SM към страната AO и разгледаме правоъгълния триъгълник OMC. Според условията на задачата катетът CM е половината от хипотенузата OS. Това означава, че ъгълът COM е 30°. Тогава, съгласно теоремата за сумата от ъглите на триъгълник, намираме, че ъгълът CAO (или CAB) е равен на 75°.

Критерии за проверка .

Правилно, добре обосновано решение на проблема –7 точки.

Дадено е правилно разсъждение, което е решение на проблема, но по някаква причина е даден грешен отговор (например ъгълът COA е посочен вместо ъгъла CAO) -6 точки.

Дадени са най-общо правилни разсъждения, в които са допуснати грешки, които не са принципни за същността на решението, и е даден правилният отговор -5 точки.

Правилното решение на задачата е дадено при липса на обосновка: всички междинни заключения са посочени, без да се посочват връзките между тях (препратки към теореми или дефиниции) –4 точки.

На чертежа са направени допълнителни постройки и означения, от които е ясен хода на решението, даден е верен отговор, но не е дадено самото разсъждение -3 точки.

Правилният отговор за неправилно разсъждение е даден -0 точки.

Даден е само верният отговор -0 точки.

Отговор . Вижте снимката.

Решение . Нека трансформираме това уравнение, като изберем пълен квадрат под знака за корен: . Изразът от дясната страна има смисъл само когато x = 9. Замествайки тази стойност в уравнението, получаваме: 9 2 – г 4 = 0. Нека факторизираме лявата страна: (3 –г )(3 + г )(9 + г 2 ) = 0. Където г= 3 или г = –3. Това означава, че координатите само на две точки (9; 3) или (9; –3) удовлетворяват това уравнение. Графиката на уравнението е показана на фигурата.

Критерии за проверка.

Правилните трансформации и разсъждения са извършени и графиката е правилно конструирана -7 точки.

Правилните преобразувания бяха извършени, но смисълът беше загубенг = –3; една точка е посочена като графика -3 точки.

Посочват се евентуално една или две подходящи точки, с проверка, но без други обяснения или след неправилни трансформации -1 точка.

Правилните трансформации бяха извършени, но беше декларирано, че изразът под корена (или от дясната страна след повдигане на квадрат) е отрицателен и графиката е празен набор от точки -1 точка.

Извършено е разсъждение, което е довело до посочването на две точки, но тези точки са свързани по някакъв начин (например чрез сегмент) -1 точка.

Посочват се две точки без обяснение, които по някакъв начин са свързани -0 точки.

В други случаи -0 точки.

Отговори на задачи от втория етап на олимпиадата

Отговор . Те могат.

Решение . Ако a = , b = - , тогава a = b+1 и a 2 = b 2

Можете също да решите системата от уравнения:

Критерии за проверка.

Верен отговор с числаа Иb – 7 точки.

Съставена е система от уравнения, но при решаването й е допусната аритметична грешка -3 точки.

Единственият отговор е1 точка.

Отговор . След 12 секунди.

Решение . Между първия и четвъртия етаж има 3 полета, а между петия и първия етаж - 4. Според условието Петя минава 4 полета с 2 секунди повече, отколкото майка му се качва в асансьора, а три полета е с 2 секунди по-бързо от майка му. Това означава, че Петя изпълнява един полет за 4 секунди. След това Петя бяга от четвъртия етаж до първия (т.е. 3 полета) за 4*3=12 секунди.

Критерии за проверка.

Правилен отговор с пълно решение -7 точки.

Обяснява се, че един полет отнема 4 секунди, отговорът показва 4 секунди -5 точки.

Правилната обосновка се основава на предположението, че пътят от петия етаж до първия е 1,25 пъти по-дълъг от пътя от четвъртия етаж до първия и отговорът е 16 секунди -3 точки.

Единственият отговор е0 точки.

Отговор . Вижте снимката.

Решение . защото х 2 =| х | 2 , тогава =| х |, и x≠ 0.

Възможно е също, като се използва дефиницията на модул, да се получи(в х = 0 функция не е дефинирана).

Критерии за проверка.

Правилна графика с обяснение -7 точки.

Истинска графика без никакво обяснение -5 точки.

Графика на функцията=|x| без пробита точка -3 точки.

Отговор . да.

Решение . Нека разделим този квадрат със страна 5 прави линии, успоредни на страните му, на 25 квадрата със страна 1 (виж фигурата). Ако всеки такъв квадрат имаше не повече от 4 маркирани точки, тогава общо не биха били отбелязани повече от 25 * 4 = 100 точки, което противоречи на условието. Следователно поне един от получените квадрати трябва да съдържа 5 от отбелязаните точки.

Критерии за проверка.

Правилното решение -7 точки.

Единственият отговор е0 точки.

Отговор . Осем начина.

Решение . От точка а) следва, че оцветяването на всички точки с целочислени координати се определя еднозначно от оцветяването на точките, съответстващи на числата 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Точка 0=14-2*7 трябва да бъдат оцветени по същия начин като 14, тези. червен. По същия начин точка 1=71-107 трябва да бъде оцветена в синьо, точка 3=143-20*7 – синьо, а 6=20-2*7 – червено. Следователно остава само да преброите по колко различни начина можете да оцветите точките, съответстващи на числата 2, 4 и 5. Тъй като всяка точка може да бъде оцветена по два начина - червено или синьо - има 2*2*2=8 начини общо. Забележка. Когато броите броя на начините за оцветяване на точки 2, 4 и 5, можете просто да изброите всички начини, например под формата на таблица:

Критерии за проверка .

Правилен отговор с правилна обосновка -7 точки.

Проблемът беше сведен до преброяване на броя на начините за оцветяване на 3 точки, но отговорът беше 6 или 7 -4 точки.

Задачата се свежда до преброяване на броя на начините за оцветяване на 3 точки, но няма преброяване на броя на начините или полученият отговор е различен от посочените по-рано -3 точки.

Отговор (включително правилен) без обосновка -0 точки.

Отговор . 4 пъти.

Решение .

Нека начертаем отсечки MK и AC. Четириъгълникът MVKE се състои от

триъгълници MVK и MKE, и четириъгълника AESД - от триъгълници

AES и AC Д. Освен това човек може да разсъждава по различни начини.

1 начин . Триъгълници MVK и ACД - правоъгълник и краката на първия са 2 пъти по-малки от краката на втория, така че те са подобни и площта на триъгълника е ACд 4 пъти площта на триъгълника MVK. защото М и К – средите съответно на AB и BC, след това MK– , следователно МК|| АС и МК= 0.5AC. От успоредността на правите MK и AC следва подобието

триъгълници MKE и AEC, и защото коефициентът на подобие е 0,5, тогава площта на триъгълника AEC е 4 пъти по-голяма от площта на триъгълника MKE. Сега:С AESD =SAEC+SACD= 4 SMKE+ 4 SMBK= 4 (SMKE+SMBK)= 4 SMBKE.

2 начин. Нека площта на правоъгълника ABCд равна наС. Тогава площта на триъгълника ACд равна на( диагоналът на правоъгълника го разделя на два равни триъгълника), а площта на триъгълника MVK е равна на MV×VK=T.k. М и К– среди на отсечки AB и BC, след това AK и SM– медиана на триъгълник ABC, следователно Е– пресечна точка на медианите на триъгълник ABC, тези. разстоянието от E до AC еч, Къдеточ – надморска височина на триъгълник ABC, изтеглена от връх B. Тогава площта на триъгълника AEC е. След това за областта на четириъгълника AESД, равна на сбора от лицата на триъгълниците AEC и ACД, получаваме: Напред, защото МК– средна линия на триъгълник ABC, тогава площта на триъгълника MKE е равна на* ч -* ч) = ч)=(A.C.* ч)== С. Следователно, за областта на четириъгълника MVKE, равна на сумата от площите на триъгълници MVK и MKE, получаваме: . Така съотношението на площите на четириъгълниците AESд и MVKE е равен.

Критерии за проверка.

Правилното решение и правилният отговор -7 точки.

Правилно решение, но отговорът е неправилен поради аритметична грешка -5 точки.

5. ОБОБЩАВАНЕ НА РЕЗУЛТАТИТЕ И НАГРАЖДАВАНЕ НА ПОБЕДИТЕЛИТЕ

Крайните показатели на изпълнените състезателни задачи се определят от журито вв съответствие с разработените критерии за оценка;

За победителите в олимпиадата, определени с най-голям брой точки,учредяват се три награди;

Резултатите от състезанието са документирани в протокол от организатора на олимпиадата.

Победителите са наградени с грамоти и ценни подаръци.

При несъгласие с оценката на журито, участникът може да представиписмено обжалване до един час след обявяване на резултатите.

Осигурява се публичност на конкурса - въз основа на резултатите от конкурса,победители.

Задача 35

Един човек получи работа със заплата от $1000 на година. При обсъждането на условията при приема му е обещано, че при добро представяне заплатата му ще бъде увеличена. Освен това можете да изберете размера на увеличението от две опции по свое усмотрение: в единия случай се предлага увеличение от $50 на всеки шест месеца, започвайки от второто полугодие, в другия - $200 всяка година, започвайки от второто. Предоставяйки свобода на избор, работодателите искаха не само да се опитат да спестят от заплати, но и да тестват колко бързо мисли новият служител. След като помисли за минута, той уверено назова условията на увеличението.

Кой вариант беше предпочетен?

Задача 36

Един ден следователят трябваше едновременно да разпита трима свидетели: Клод, Жак и Дик. Техните показания си противоречат и всеки от тях обвинява някого в лъжа. Клод твърдеше, че Жак лъже. Жак обвини Дик в лъжа, а Дик се опита да убеди следователя да не вярва нито на Клод, нито на Жак. Но следователят бързо ги изведе на бял свят, без да им зададе нито един въпрос.

Кой свидетел е казал истината?

Задача 37

Ужасен инцидент, инспекторе, каза музейният служител. - Не можете да си представите колко се вълнувам. Ще ви разкажа всичко по ред. Днес останах в музея, за да работя и да оправя финансовите си дела. Тъкмо седях на това бюро и преглеждах сметките, когато изведнъж видях сянка от дясната страна. Прозорецът беше отворен.

И не чухте шумолене? - попита инспекторът.

Абсолютно никакви. Радиото пускаше музика, а освен това бях твърде запален по това, което правя. Като откъснах очи от жегата, видях мъж да скочи от прозореца. Веднага светнах горната лампа и открих, че са изчезнали две кутии с ценна колекция от монети, които бях занесъл в офиса си по работа. Тя е в ужасно състояние: все пак тази колекция се оценява на 10 хиляди марки.

Вие вярвате, че аз наистина; Ще повярвам ли на измислиците ви?

— отбеляза раздразнено инспекторът. „Никой не е успял да ме заблуди и ти няма да си първият.“

Как инспекторът разбра, че се опитват да го измамят?

Задача 38

Тялото на изчезналия е намерено увито в чаршаф, върху който има етикет за пране. Беше идентифицирано семейство, което използваше такива етикети, но по време на процеса на проверка се оказа, че членовете на това семейство не се познават и не са имали контакт с починалия и неговите роднини. Други доказателства за участието им в убийството не са установени.

По време на процеса на проверка имаше ли грешки в пълнотата и коректността на получената информация?

Задача 39

Потапов, Шчедрин и Семенов служат в авиационната част. Коновалов и Самойлов. Техните специалности са: пилот, навигатор, борден механик, радист и синоптик.

Определете каква специалност има всеки от тях, ако са известни следните факти.

Шчедрин и Коновалов не са запознати с управлението на самолета;

Потапов и Коновалов се готвят да станат навигатори; апартаментите на Шчедрин и Самойлов се намират до апартамента на радиста;

Семьон, докато беше в почивен дом, срещна Шчедрин и сестрата на синоптика: Потапов и Шчедрин в свободното си време от работа играят шах с бордовия механик и пилота; Коновалов, Семенов и метеорологът обичат бокса; Радистът не си пада по бокса.

Задача 40

Лелята, която чакаше племенника си инспектора, се втурна да го посрещне, без да крие нетърпението си.

Някаква жена току-що; тя грабна чантата ми с пари и веднага изчезна.

Най-вероятно тя е изчезнала в спестовната каса, където сте били - отбеляза инспекторът. - Нека се опитаме да я намерим.

И всъщност лелята веднага видя чантата си, която стоеше на пейката между двете жени. Беше разкрито. Когато инспекторът внимателно огледа чантата, двете жени, като забелязаха това, се изправиха и отидоха в другия край на стаята. Портмонето остана на пейката.

Но не знам кой ми открадна чантата. „Яна нямаше време да я види“, каза леля й.

„Ами, няма нищо“, отговори племенникът. - Ще разпитаме и двамата, но мисля, че този, който ти открадна чантата, е този от...

Който?

Задача 41

След като получили съобщение, че сив шевролет с номер, започващ с шест, е блъснал жена и избягал, инспекторът и помощникът му отишли до вилата на господин, чиято кола изглежда отговаряла на описанието. Не беше минал и половин час, преди да стигнат.

Пред къщата беше паркиран сив шевролет. Виждайки полицаите, собственикът слязъл при тях по пижама.

„Не съм ходил никъде днес“, каза той, след като изслуша инспектора. - Да, и не можах: вчера загубих ключа за запалване и нов ще бъде готов едва в петък.

Помощникът, който междувременно успя да огледа колата, прошепна на инспектора:

Явно казва истината. По колата няма следи от сблъсък.

Инспекторът, облегнат на капака на колата, отговори:

Това нищо не означава, ударът не е бил силен, защото жертвата е жива. А вашето алиби, сър, ми изглежда изключително подозрително. Защо се опитваш да скриеш от мен, че току-що си пристигнал тук точно с тази кола?

Какво е дало основание на инспектора да заподозре господина в лъжа?

Задача 42

Президентът на компанията съобщава на следователя за кражба, извършена в дома му.

Пристигайки на работа, се сетих, че съм забравил необходимите документи вкъщи. Дадох ключа от домашния сейф на помощника си и го изпратих да вземе папка с документи. Работим заедно от много време, имам му доверие от много време и често го изпращах вкъщи да вземе нещо от сейфа. Този път, малко след като излезе, той ми се обади по телефона и каза, че като влязъл в стаята, видял, че вратата на стенния сейф е отворена и из офиса има разпръснати книжа. Пристигнах вкъщи и открих, че освен разпилени документи, от сейфа са изчезнали бижута и пари.

Свидетелството на асистента: „Когато пристигнах, икономът ме пусна да вляза и се качих на втория етаж на апартамента. Влизайки в офиса, намерих разпръснати документи по пода и отворена врата на сейф. Веднага се обадих на шефа си и съобщих какво съм видял. След това изскочих на площадката и извиках иконома. В отговор на вика ми от хола на долния етаж се появи прислужница и попита какво има. Казах й какво видях. По нейно повикване от двора дотича икономът. Когато попитах, те казаха, че никой не е идвал в апартамента, след като собственикът си е тръгнал и не са чули никакъв шум в къщата.

Икономът обясни: „След като собственикът си тръгна сутринта, вършех обичайната си работа на приземния етаж и не видях никого, нито чух нищо необичайно. Прислужницата не излизаше от кухнята пред мен. Когато пристигна служител на нашия собственик, който ме познаваше отдавна, той отиде до стълбите за втория етаж и излезе на двора. Няколко минути по-късно готвачът ме извика и влязох в къщата, където помощникът ми разказа за кражбата от офиса на собственика.

Прислужницата каза, че след закуска е била в кухнята, не е ходила никъде и едва когато чула вика на помощника, излязла в хола. Помощникът съобщи за кражба в къщата и поиска да се запознае с иконома.

На въпрос на следователя помощникът отговорил, че освен телефона не е пипал нищо в кабинета и не го е пренареждал. Икономът и камериерката казаха, че изобщо не са влизали в офиса.

При огледа на кабинета следователят не е открил следи от пръсти по вратата на кабинета, вратата на сейфа, предмети или телефон на масата. При оглед на ключалката на вратата на сейфа, специалистът не е открил по частите й следи от предмет или чужд ключ.

1. а) ( комутативност на дизюнкция );

б)
(комутативност на връзката );

2. а) ( асоциативност на дизюнкция );

б) ( асоциативност на съюза );

3. а) ( дистрибутивност на дизюнкция спрямо конюнкция );

б) ( дистрибутивност на конюнкция спрямо дизюнкция );

4.
И
–законите на де Морган .

5.
;
;
;

6.
(или
) (закон на изключената среда );

(или
(закон на противоречието );

7.
(или
);
(или
);

(или
);
(или
).

Дадените свойства обикновено се използват за трансформиране и опростяване на логически формули. Тук са дадени свойствата само на три логически операции (дизюнкция, конюнкция и отрицание), но по-нататък ще бъде показано, че всички останали операции могат да бъдат изразени чрез тях.

С помощта на логическите връзки можете да съставяте логически уравнения и да решавате логически задачи по същия начин, както аритметичните задачи се решават с помощта на системи от обикновени уравнения.

Пример.Един ден следователят трябваше едновременно да разпита трима свидетели: Клод, Жак и Дик. Техните показания си противоречат и всеки от тях обвинява някого в лъжа. Клод твърди, че Жак лъже, Жак обвинява Дик в лъжа, а Дик убеждава следователя да не вярва нито на Клод, нито на Жак. Но следователят бързо ги извади на светло, без да им зададе нито един въпрос. Кой свидетел е казал истината?

Решение. Нека да разгледаме изявленията:
(Клод казва истината);
(Жак казва истината);
(Дик казва истината).

Не знаем кои са верните, но знаем следното:

1) или Клод каза истината, а след това Жак излъга, или Клод излъга, а след това Жак каза истината;

2) или Жак каза истината, а след това Дик излъга, или Жак излъга и след това Дик каза истината;

3) или Дик е казал истината, а след това Клод и Жак са излъгали, или Дик е излъгал и тогава не е вярно, че и двамата други свидетели са излъгали (т.е. поне един от тези свидетели е казал истината).

Нека изразим тези твърдения под формата на система от уравнения:

Условието на задачата ще бъде изпълнено, ако тези три твърдения са верни едновременно, което означава, че тяхната конюнкция е вярна. Нека умножим тези равенства (т.е. да вземем тяхната конюнкция)

Но
ако и само ако
, А
. Следователно Жак казва истината, а Клод и Дик лъжат.

Всякакви -членна операция, означена, например,
, ще се определи напълно, ако се установи при какви стойности на твърденията
резултатът ще бъде верен или неверен. Един от начините да укажете такава операция е да попълните таблица със стойности:

В таблицата със значения на твърдението, образувано от прости поговорки
, на разположение линии. Колоната за стойност също има позиции. Следователно има
различни опции за попълването му и съответно броя на всички -членните операции са равни на
. При
броят на едносрочните операции е 4, с
броят на биномите е 16, с
брой трисрочни – 256 и др.

Нека да разгледаме някои специални типове формули.

Формулата се нарича елементарен съюз , ако е конюнкция на променливи и отрицания на променливи. Например формули ,
,
,
– елементарни съюзи.

Извиква се формула, представляваща дизюнкция (евентуално едночленна) на елементарни конюнкции дизюнктивна нормална форма (D.N.F.). Например формули ,
,
.

Теорема 1(за намаляване на D.N.F.). За всяка формула , който е доктор на науките. f. .

Тази теорема и следващата теорема 2 ще бъдат доказани в следващия раздел. Чрез прилагането на тези теореми е възможно да се стандартизира формата на логическите формули.

Формулата се нарича елементарна дизюнкция , ако е дизюнкция на променливи и отрицания на променливи. Например формули
,
,
и т.н.

Формула, която е конюнкция (евентуално едночленна) на елементарни дизюнкции, се нарича конюнктивна нормална форма (Доцент доктор). Например формули
,
.

Теорема 2(относно намаляването до докторска степен). За всяка формула можете да намерите еквивалентна формула , който е д-р. f.

Можем да различим следната последователност от стъпки при решаването на логически задачи.

1. Изберете елементарни (прости) твърдения от задачата и ги маркирайте с букви.

2. Запишете условията на проблема на езика на логическата алгебра, свържете прости твърдения в сложни, като използвате логически операции.

3. Създайте единен логически израз за изискванията на задачата.

4. Използвайки законите на логическата алгебра, опитайте се да опростите получения израз и да изчислите всички негови стойности или да изградите таблица на истината за въпросния израз.

5. Изберете решение – набор от стойностипрости твърдения, в които конструираният логически израз е верен.

6. Проверете дали полученото решение удовлетворява условията на задачата.

Пример:

Задача 1:„Опитвайки се да си спомнят победителите от миналогодишния турнир, петима бивши зрители на турнира заявиха, че:

1. Антон остана втори, а Борис пети.

2. Виктор е втори, а Денис е трети.

3. Григорий беше първи, а Борис - трети.

4. Антон е трети, а Евгений е шести.

5. Виктор е трети, а Евгений е четвърти.

Впоследствие се оказа, че всеки зрител е сбъркал в едно от двете си твърдения. Какво беше истинското разпределение на местата в турнира?

1) Нека с първата буква в името на участника в турнира, a, означим номера на мястото, което има, т.е. ние имаме .

2) 1. ; 3. ; 5. .

3) Единен логически израз за всички изисквания на задачата: .

4) Във формулата ЛНека извършим еквивалентни трансформации, получаваме: .

5) От точка 4 следва: , , , , .

6) Разпределение на местата в турнира: Антон е трети, Борис е пети, Виктор е втори, Григорий е първи, а Евгений е четвърти.

Задача 2:„Иванов, Петров, Сидоров се явиха пред съда по обвинения в грабеж. Разследването установило:

1. ако Иванов не е виновен или Петров е виновен, значи Сидоров е виновен;

2. ако Иванов не е виновен, значи Сидоров не е виновен.

Виновен ли е Иванов?

1) Разгледайте твърденията:

А: „Иванов е виновен“, IN: "Петров е виновен" СЪС: „Сидоров е виновен“.

2) Установени от разследването факти: , .

3) Единичен логически израз: . Вярно е.

Нека създадем таблица на истината за него.

А	IN	СЪС	Л

Решаването на проблем означава да се посочи при какви стойности на A полученото сложно твърдение L е вярно. Ако , a , то следствието не разполага с достатъчно факти, за да уличи Иванов в престъпление. Анализът на таблицата показва и, т.е. Иванов е виновен за грабеж.

Въпроси и задачи.

1. Съставете RKS за формулите:

а)

2. Опростете RKS:

3. Използвайки тази превключваща схема, изградете съответната логическа формула.

4. Проверете еквивалентността на RKS:

5. Конструирайте верига от три ключа и електрическа крушка, така че електрическата крушка да свети само когато точно два ключа са в положение „включено“.

6. Използвайки тази таблица за проводимост, изградете верига от функционални елементи с три входа и един изход, прилагайки формулата.

х	г	z	Е

7. Анализирайте диаграмата, показана на фигурата, и запишете формулата за функцията Е.

8. Проблем: „Веднъж следователят трябваше да разпита едновременно трима свидетели: Клод, Жак, Дик. Техните показания си противоречат и всеки от тях обвинява някого в лъжа.

1) Клод твърди, че Жак лъже.

2) Жак обвини Дик в лъжа.

3) Дик се опита да убеди следователя да не вярва нито на Клод, нито на Жак.

Но следователят бързо ги извади на светло, без да им зададе нито един въпрос. Кой свидетел е казал истината?

9. Определете кой от четиримата студенти е издържал изпита, ако е известно, че:

1) Ако първият минава, значи вторият минава.

2) Ако минава второто, значи минава третото или първото се проваля.

3) Ако четвъртият не мине, значи първият мина, а третият не мина.

4) Ако четвъртият минава, значи първият минава.

10. На въпроса кой от тримата студенти е учил логика, се получава отговор: ако е учил първия, значи е учил третия, но не е вярно, че ако е учил втория, значи е учил третия. Кой е учил логика?