Dále dostaneme kvadratickou rovnici. Kořeny kvadratické rovnice
Kvadratické rovnice. Diskriminační. Řešení, příklady.
Pozor!
Existují další
materiály ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří jsou velmi "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc…“)
Typy kvadratických rovnic
Co je to kvadratická rovnice? jak to vypadá? V termínu kvadratická rovnice klíčové slovo je "náměstí". To znamená, že v rovnici Nutně musí tam být x na druhou. Kromě toho rovnice může (ale nemusí!) obsahovat právě X (na první mocninu) a jen číslo (volný člen). A nemělo by existovat žádné X s mocninou větší než dvě.
Z matematického hlediska je kvadratická rovnice rovnicí ve tvaru:
Zde a, b a c- nějaká čísla. b a c- naprosto jakýkoli, ale A– cokoliv jiného než nula. Například:
Zde A =1; b = 3; C = -4
Zde A =2; b = -0,5; C = 2,2
Zde A =-3; b = 6; C = -18
No chápeš...
V těchto kvadratických rovnicích vlevo je kompletní sadačlenů. X na druhou s koeficientem A, x na první mocninu s koeficientem b A volný člen s.
Takové kvadratické rovnice se nazývají plný.
Co kdyby b= 0, co získáme? máme X bude ztraceno s první mocninou. To se stane, když se vynásobí nulou.) Ukáže se například:
5x 2-25 = 0,
2x 2-6x=0,
-x2 +4x=0
Atd. A pokud oba koeficienty b A C jsou rovny nule, pak je to ještě jednodušší:
2x 2 = 0,
-0,3x2=0
Takové rovnice, kde něco chybí, se nazývají neúplné kvadratické rovnice. Což je celkem logické.) Vezměte prosím na vědomí, že x na druhou je přítomno ve všech rovnicích.
Mimochodem, proč A nemůže se rovnat nule? A místo toho vystřídáte A nula.) Naše X na druhou zmizí! Rovnice se stane lineární. A řešení je úplně jiné...
To jsou všechny hlavní typy kvadratických rovnic. Úplné a neúplné.
Řešení kvadratických rovnic.
Řešení úplných kvadratických rovnic.
Kvadratické rovnice jsou snadno řešitelné. Podle vzorců a jasných, jednoduchých pravidel. V první fázi je nutné uvést danou rovnici do standardního tvaru, tzn. do formuláře:
Pokud je rovnice již uvedena v této podobě, nemusíte dělat první fázi.) Hlavní věcí je správně určit všechny koeficienty, A, b A C.
Vzorec pro nalezení kořenů kvadratické rovnice vypadá takto:
Výraz pod kořenovým znakem se nazývá diskriminační. Ale více o něm níže. Jak vidíte, k nalezení X používáme pouze a, b a c. Tito. koeficienty z kvadratické rovnice. Jen opatrně nahraďte hodnoty a, b a c Počítáme do tohoto vzorce. Pojďme nahradit se svými vlastními znaky! Například v rovnici:
A =1; b = 3; C= -4. Tady si to zapíšeme:
Příklad je téměř vyřešen:
Toto je odpověď.
Je to velmi jednoduché. A co, myslíte si, že není možné udělat chybu? No jo, jak...
Nejčastějšími chybami je záměna s hodnotami znaménka a, b a c. Nebo spíše ne svými znaky (kde se zmást?), ale nahrazením záporných hodnot do vzorce pro výpočet kořenů. Co zde pomáhá, je detailní záznam vzorce s konkrétními čísly. Pokud se vyskytnou problémy s výpočty, udělej to!
Předpokládejme, že potřebujeme vyřešit následující příklad:
Zde A = -6; b = -5; C = -1
Řekněme, že víte, že jen zřídka dostanete odpovědi napoprvé.
No nebuď líný. Zapsání dalšího řádku a počtu chyb bude trvat asi 30 sekund se prudce sníží. Píšeme tedy podrobně, se všemi závorkami a znaménky:
Zdá se mi neuvěřitelně těžké napsat to tak pečlivě. Ale to se jen zdá. Zkuste to. No, nebo si vyberte. Co je lepší, rychle nebo správně?
Kromě toho vám udělám radost. Po chvíli už nebude potřeba vše tak pečlivě zapisovat. Vyjde to samo. Zvláště pokud používáte praktické techniky, které jsou popsány níže. Tento zlý příklad s hromadou mínusů lze vyřešit snadno a bez chyb!
Ale často kvadratické rovnice vypadají trochu jinak. Například takto: Poznali jste to?) Ano! Tento.
neúplné kvadratické rovnice
Řešení neúplných kvadratických rovnic. a, b a c.
Lze je také řešit pomocí obecného vzorce. Jen je třeba správně pochopit, čemu se zde rovnají. Už jste na to přišli? V prvním příkladu a = 1; b = -4; C A ? To tam vůbec není! No ano, je to tak. V matematice to znamená c = 0 ! To je vše. Místo toho do vzorce dosaďte nulu C, a uspějeme. To samé s druhým příkladem. Jenomže my tady nemáme nulu S b !
, A
Neúplné kvadratické rovnice lze ale řešit mnohem jednodušeji. Bez jakýchkoliv vzorců. Uvažujme první neúplnou rovnici. Co můžete dělat na levé straně? Můžete vyjmout X ze závorek! Pojďme to vyndat.
Tak co s tím? A skutečnost, že součin se rovná nule právě tehdy, když se některý z faktorů rovná nule! nevěříš mi? Dobře, pak vymyslete dvě nenulová čísla, která po vynásobení dají nulu!
nefunguje? To je ono... Můžeme tedy s jistotou napsat:, x 1 = 0.
x 2 = 4 Vše. To budou kořeny naší rovnice. Oba jsou vhodné. Při dosazení kteréhokoli z nich do původní rovnice dostaneme správnou identitu 0 = 0. Jak vidíte, řešení je mnohem jednodušší než pomocí obecného vzorce. Dovolte mi mimochodem poznamenat, které X bude první a které druhé - naprosto lhostejné. Je vhodné psát v pořadí, x 1 - co je menší a- to, co je větší.
Druhou rovnici lze také vyřešit jednoduše. Přesuňte 9 na pravou stranu. Dostáváme:
Zbývá pouze extrahovat kořen z 9 a je to. Ukáže se:
Také dva kořeny . x 1 = -3, x 2 = 3.
Takto se řeší všechny neúplné kvadratické rovnice. Buď umístěním X mimo hranaté závorky, nebo jednoduchým posunutím čísla doprava a extrakcí kořene.
Je velmi obtížné tyto techniky zaměnit. Jednoduše proto, že v prvním případě budete muset extrahovat odmocninu X, což je jaksi nesrozumitelné, a ve druhém případě není co vyndavat ze závorek...
Diskriminační. Diskriminační vzorec.
Kouzelné slovo diskriminační ! Málokdy středoškolák toto slovo neslyšel! Fráze „vyřešíme prostřednictvím diskriminantu“ vzbuzuje důvěru a jistotu. Protože od diskriminanta není třeba čekat triky! Použití je jednoduché a bezproblémové.) Připomínám nejobecnější vzorec pro řešení žádný kvadratické rovnice:
Výraz pod kořenovým znakem se nazývá diskriminant. Typicky je diskriminant označen písmenem D. Diskriminační vzorec:
D = b2-4ac
A co je na tomto výrazu tak pozoruhodného? Proč si zasloužil zvláštní jméno? Co význam diskriminantu? Koneckonců -b, nebo 2a v tomto vzorci tomu konkrétně nic neříkají... Písmena a písmena.
Tady je ta věc. Při řešení kvadratické rovnice pomocí tohoto vzorce je to možné pouze tři případy.
1. Diskriminant je pozitivní. To znamená, že z něj lze extrahovat kořen. Zda je kořen extrahován dobře nebo špatně, je jiná otázka. Důležité je, co se v zásadě vytěží. Pak má vaše kvadratická rovnice dva kořeny. Dvě různá řešení.
2. Diskriminant je nulový. Pak budete mít jedno řešení. Protože přičítání nebo odečítání nuly v čitateli nic nemění. Přísně vzato, toto není jeden kořen, ale dvě stejné. Ale ve zjednodušené verzi je zvykem mluvit jedno řešení.
3. Diskriminant je záporný. Nelze vzít druhou odmocninu záporného čísla. No dobře. To znamená, že neexistují žádná řešení.
Abych byl upřímný, při jednoduchém řešení kvadratických rovnic není koncept diskriminantu ve skutečnosti potřeba. Hodnoty koeficientů dosadíme do vzorce a počítáme. Všechno se tam děje samo, dva kořeny, jeden a žádný. Při řešení složitějších úkolů však bez znalostí význam a vzorec diskriminantu nemůže projít. Zejména v rovnicích s parametry. Takové rovnice jsou akrobacie pro státní zkoušku a jednotnou státní zkoušku!)
Tak, jak řešit kvadratické rovnice přes diskriminant, na který jste si vzpomněli. Nebo jste se naučili, což také není špatné.) Víte, jak správně určit a, b a c. víš jak? pozorně dosadit je do kořenového vzorce a pozorně počítat výsledek. Chápete, že klíčové slovo je zde pozorně?
Nyní si všimněte praktických technik, které dramaticky snižují počet chyb. Ty samé, které jsou způsobeny nepozorností... Pro které se to později stává bolestivé a urážlivé...
První schůzka
. Nebuďte líní, než vyřešíte kvadratickou rovnici a převeďte ji do standardního tvaru. Co to znamená?
Řekněme, že po všech transformacích dostanete následující rovnici:
Nespěchejte s psaním kořenového vzorce! Téměř jistě si spletete šance a, b a c. Správně sestavte příklad. Nejprve X na druhou, pak bez čtverce a poté volný člen. Takhle:
A znovu, nespěchejte! Mínus před X na druhou vás může pořádně naštvat. Je snadné zapomenout... Zbavte se mínusů. Jak? Ano, jak je uvedeno v předchozím tématu! Musíme celou rovnici vynásobit -1. Dostáváme:
Nyní si ale můžete klidně zapsat vzorec pro kořeny, vypočítat diskriminant a dořešit příklad. Rozhodněte se sami.
Nyní byste měli mít kořeny 2 a -1. Recepce druhá. Zkontrolujte kořeny! Podle Vietovy věty. Neboj se, všechno ti vysvětlím! Kontrola poslední rovnice. Tito. ten, který jsme použili k zapsání kořenového vzorce. Pokud (jako v tomto příkladu) koeficient a = 1 , kontrola kořenů je snadná. Stačí je namnožit. Výsledkem by měl být volný člen, tzn. v našem případě -2. Pozor, ne 2, ale -2! Volný člen s tvým znamením
. Pokud to nevyjde, znamená to, že už to někde podělali. Hledejte chybu. b Pokud to funguje, musíte přidat kořeny. Poslední a poslední kontrola. Koeficient by měl být S
naproti b známý. V našem případě -1+2 = +1. Koeficient
, který je před X, se rovná -1. Takže vše je správně! Je škoda, že je to tak jednoduché pouze u příkladů, kde x na druhou je čistá, s koeficientem a = 1.
Ale alespoň zkontrolujte takové rovnice! Chyb bude stále méně. Recepce třetí
. Pokud má vaše rovnice zlomkové koeficienty, zbavte se zlomků! Vynásobte rovnici společným jmenovatelem, jak je popsáno v lekci "Jak řešit rovnice? Transformace identity." Při práci se zlomky se z nějakého důvodu neustále vkrádají chyby...
Mimochodem, slíbil jsem zjednodušení zlého příkladu s hromadou mínusů. Prosím! Tady je.
Abychom se nepletli do mínusů, vynásobíme rovnici -1. Dostáváme:
To je vše! Řešení je radost!
Pojďme si tedy shrnout téma.
Praktické tipy: 1. Před řešením uvedeme kvadratickou rovnici do standardního tvaru a sestavíme ji.
2. Pokud je před druhou mocninou X záporný koeficient, odstraníme jej vynásobením celé rovnice -1.
3. Pokud jsou koeficienty zlomkové, zlomky odstraníme vynásobením celé rovnice odpovídajícím faktorem.
4. Pokud je x na druhou čistá, její koeficient je roven jedné, řešení lze snadno ověřit pomocí Vietovy věty. Udělej to!
Nyní se můžeme rozhodnout.)
Řešte rovnice:
8x 2 - 6x + 1 = 0
x 2 + 3 x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)
Odpovědi (v nepořádku):
Můžeme tedy s jistotou napsat:
x 2 = 5
x 1,2 =2
x 1 = 2
x 2 = -0,5
x - libovolné číslo
x 1 = -3
x 2 = 3
žádná řešení
x 1 = 0,25
x 2 = 0,5
Sedí vše? Velký! Kvadratické rovnice vás nebolí. První tři fungovaly, ale zbytek ne? Pak problém není s kvadratickými rovnicemi. Problém je v identických transformacích rovnic. Podívejte se na odkaz, je to užitečné.
Moc to nejde? Nebo to vůbec nejde? Pak vám pomůže oddíl 555. Všechny tyto příklady jsou zde rozebrány. Zobrazeno hlavní chyby v řešení. Samozřejmě se také bavíme o použití shodných transformací při řešení různých rovnic. Hodně pomáhá!
Pokud se vám tato stránka líbí...
Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)
Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Pojďme se učit - se zájmem!)
Můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.
Doufám, že po prostudování tohoto článku se naučíte, jak najít kořeny úplné kvadratické rovnice.
Pomocí diskriminantu se řeší pouze úplné kvadratické rovnice, k řešení neúplných kvadratických rovnic se používají jiné metody, které najdete v článku „Řešení neúplných kvadratických rovnic“.
Které kvadratické rovnice se nazývají úplné? Tento rovnice tvaru ax 2 + b x + c = 0, kde koeficienty a, b a c se nerovnají nule. Abychom mohli vyřešit úplnou kvadratickou rovnici, musíme vypočítat diskriminant D.
D = b 2 – 4ac.
Podle hodnoty diskriminantu zapíšeme odpověď.
Pokud je diskriminant záporné číslo (D< 0),то корней нет.
Pokud je diskriminant nulový, pak x = (-b)/2a. Když je diskriminant kladné číslo (D > 0),
potom x 1 = (-b - √D)/2a a x 2 = (-b + √D)/2a.
Například. Vyřešte rovnici - co je menší a– 4x + 4= 0.
D = 4 2 – 4 4 = 0
x = (- (-4))/2 = 2
Odpověď: 2.
Vyřešte rovnici 2 - co je menší a + x + 3 = 0.
D = 1 2 – 4 2 3 = – 23
Odpověď: žádné kořeny.
Vyřešte rovnici 2 - co je menší a + 5x – 7 = 0.
D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81
x 1 = (-5 – √81)/(2 2)= (-5 – 9)/4= – 3,5
x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1
Odpověď: – 3,5; 1.
Představme si tedy řešení úplných kvadratických rovnic pomocí diagramu na obrázku 1.
Pomocí těchto vzorců můžete vyřešit jakoukoli úplnou kvadratickou rovnici. Jen je potřeba si dávat pozor rovnice byla zapsána jako polynom standardního tvaru
A - co je menší a + bx + c, jinak můžete udělat chybu. Například při psaní rovnice x + 3 + 2x 2 = 0 se můžete mylně rozhodnout, že
a = 1, b = 3 a c = 2. Potom
D = 3 2 – 4 1 2 = 1 a pak má rovnice dva kořeny. A to není pravda. (Viz řešení příkladu 2 výše).
Pokud tedy rovnice není zapsána jako polynom standardního tvaru, musí být nejprve úplná kvadratická rovnice zapsána jako polynom standardního tvaru (monomial s největším exponentem by měl být na prvním místě, tzn. A - co je menší a , pak s méně – bx a poté volný člen S.
Při řešení redukované kvadratické rovnice a kvadratické rovnice se sudým koeficientem ve druhém členu můžete použít jiné vzorce. Pojďme se s těmito vzorci seznámit. Pokud má v úplné kvadratické rovnici druhý člen sudý koeficient (b = 2k), můžete rovnici vyřešit pomocí vzorců znázorněných v diagramu na obrázku 2.
Úplná kvadratická rovnice se nazývá redukovaná, pokud koeficient at - co je menší a se rovná jedné a rovnice má tvar x 2 + px + q = 0. Takovou rovnici je možné dát k řešení, nebo ji získat vydělením všech koeficientů rovnice koeficientem A, stojící na - co je menší a .
Obrázek 3 ukazuje schéma řešení zmenšeného čtverce 
rovnic. Podívejme se na příklad použití vzorců probíraných v tomto článku.
Příklad. Vyřešte rovnici
3- co je menší a + 6x – 6 = 0.
Vyřešme tuto rovnici pomocí vzorců znázorněných v diagramu na obrázku 1.
D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 3) = 6√3
x 1 = (-6 – 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Odpověď: –1 – √3; –1 + √3
Můžete si všimnout, že koeficient x v této rovnici je sudé číslo, to znamená b = 6 nebo b = 2k, odkud k = 3. Pak zkusme rovnici vyřešit pomocí vzorců znázorněných v diagramu na obrázku D 1 = 3 2 – 3 (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3
x 1 = (-3 – 3√3)/3 = (3 (-1 – √(3)))/3 = – 1 – √3
x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Odpověď: –1 – √3; –1 + √3. Když si všimneme, že všechny koeficienty v této kvadratické rovnici jsou dělitelné 3 a provedeme dělení, dostaneme redukovanou kvadratickou rovnici x 2 + 2x – 2 = 0 Vyřešte tuto rovnici pomocí vzorců pro redukovanou kvadratickou rovnici 
rovnice obrázek 3.
D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3
x 1 = (-2 – 2√3)/2 = (2 (-1 – √(3)))/2 = – 1 – √3
x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Odpověď: –1 – √3; –1 + √3.
Jak vidíte, při řešení této rovnice pomocí různých vzorců jsme dostali stejnou odpověď. Proto po důkladném zvládnutí vzorců znázorněných na diagramu na obrázku 1 budete vždy schopni vyřešit jakoukoli úplnou kvadratickou rovnici.
webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.
Kopyevskaya venkovská střední škola
10 způsobů, jak řešit kvadratické rovnice
Vedoucí: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
učitel matematiky
vesnice Kopevo, 2007
1. Historie vývoje kvadratických rovnic
1.1 Kvadratické rovnice ve starověkém Babylonu
1.2 Jak Diophantus skládal a řešil kvadratické rovnice
1.3 Kvadratické rovnice v Indii
1.4 Kvadratické rovnice al-Khorezmiho
1.5 Kvadratické rovnice v Evropě XIII - XVII století
1.6 O Vietově větě
2. Metody řešení kvadratických rovnic
Závěr
Literatura
1. Historie vývoje kvadratických rovnic
1.1 Kvadratické rovnice ve starověkém Babylonu
Potřeba řešit rovnice nejen prvního, ale i druhého stupně již v dávných dobách byla vyvolána nutností řešit problémy související se zjišťováním výměr pozemků a s výkopovými pracemi vojenského charakteru. stejně jako s rozvojem samotné astronomie a matematiky. Kvadratické rovnice mohly být vyřešeny kolem roku 2000 před naším letopočtem. E. Babyloňané.
Pomocí moderní algebraické notace můžeme říci, že v jejich klínopisných textech jsou kromě neúplných například i úplné kvadratické rovnice:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Pravidlo pro řešení těchto rovnic, stanovené v babylonských textech, se v podstatě shoduje s tím moderním, ale není známo, jak Babyloňané k tomuto pravidlu dospěli. Téměř všechny dosud nalezené klínopisné texty poskytují pouze problémy s řešeními ve formě receptů, bez náznaku, jak byly nalezeny.
Navzdory vysokému stupni rozvoje algebry v Babylonu klínové texty postrádají koncept záporného čísla a obecné metody řešení kvadratických rovnic.
1.2 Jak Diophantus skládal a řešil kvadratické rovnice.
Diophantusova aritmetika neobsahuje systematickou prezentaci algebry, ale obsahuje systematickou řadu problémů doprovázených vysvětleními a řešených konstrukcí rovnic různého stupně.
Při sestavování rovnic Diophantus dovedně vybírá neznámé, aby řešení zjednodušil.
Tady je například jeden z jeho úkolů.
Problém 11.„Najděte dvě čísla s vědomím, že jejich součet je 20 a jejich součin je 96“
Diophantus to zdůvodňuje následovně: z podmínek úlohy vyplývá, že požadovaná čísla se nerovnají, protože pokud by se rovnala, jejich součin by nebyl roven 96, ale 100. Jedno z nich tedy bude větší než polovinu jejich součtu, tj. 10 + x, druhý je méně, tzn. 10 let. Rozdíl mezi nimi 2x .
Proto rovnice:
(10 + x) (10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 – 4 = 0 (1)
Odtud x = 2. Jedno z požadovaných čísel se rovná 12 , jiné 8 . Řešení x = -2 neboť Diophantus neexistuje, protože řecká matematika znala pouze kladná čísla.
Pokud tento problém vyřešíme tak, že jedno z požadovaných čísel vybereme jako neznámé, pak dojdeme k řešení rovnice
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20 y + 96 = 0. (2)
Je jasné, že zvolením polovičního rozdílu požadovaných čísel jako neznámého Diophantus řešení zjednodušuje; podaří se mu problém zredukovat na řešení neúplné kvadratické rovnice (1).
1.3 Kvadratické rovnice v Indii
Problémy s kvadratickými rovnicemi se nacházejí již v astronomickém pojednání „Aryabhattiam“, sestaveném v roce 499 indickým matematikem a astronomem Aryabhattou. Další indický vědec, Brahmagupta (7. století), nastínil obecné pravidlo pro řešení kvadratických rovnic zredukovaných na jedinou kanonickou formu:
ach 2 + b x = c, a > 0. (1)
V rovnici (1) jsou koeficienty kromě A, může být také negativní. Brahmaguptovo pravidlo je v podstatě stejné jako naše.
Ve starověké Indii byly veřejné soutěže v řešení obtížných problémů běžné. Jedna ze starých indických knih o takových soutěžích říká toto: „Jako slunce zastiňuje hvězdy svým leskem, tak vzdělaný člověk zastíní slávu druhého na veřejných shromážděních, kde navrhuje a řeší algebraické problémy.“ Problémy byly často prezentovány v poetické formě.
To je jeden z problémů slavného indického matematika 12. století. Bhaskaři.
Problém 13.
"Hejno hravých opic a dvanáct podél vinic...
Úřady se po jídle bavily. Začali skákat, viset...
Jsou na náměstí, část osm. Kolik tam bylo opic?
Na mýtině jsem se bavil. Řekni mi, v tomto balení?
Bhaskarovo řešení naznačuje, že věděl, že kořeny kvadratických rovnic jsou dvouhodnotové (obr. 3).
Rovnice odpovídající problému 13 je:
( x /8) 2 + 12 = x
Bhaskara pod rouškou píše:
x 2 - 64x = -768
a pro doplnění levé strany této rovnice na čtverec přidá k oběma stranám 32 2 , poté získáte:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Kvadratické rovnice v al - Khorezmi
V algebraickém pojednání al-Khorezmiho je uvedena klasifikace lineárních a kvadratických rovnic. Autor počítá 6 typů rovnic a vyjadřuje je takto:
1) „Čtverce se rovnají odmocninám“, tj. ax 2 + c = b X.
2) „Čtverce se rovnají číslům“, tzn. sekera 2 = c.
3) „Kořeny se rovnají číslu“, tj. ah = s.
4) „Čtverce a čísla se rovnají odmocninám“, tj. ax 2 + c = b X.
5) „Druhy a odmocniny se rovnají číslům“, tzn. ach 2 + bx = s.
6) „Odmocniny a čísla se rovnají čtvercům“, tj. bx + c = ax 2 .
Pro al-Khorezmiho, který se vyvaroval použití záporných čísel, jsou členy každé z těchto rovnic sčítání, nikoli odečitatelné. V tomto případě se zjevně neberou v úvahu rovnice, které nemají kladná řešení. Autor uvádí metody řešení těchto rovnic pomocí technik al-jabr a al-muqabala. Jeho rozhodnutí se samozřejmě úplně neshodují s našimi. Nemluvě o tom, že je to čistě rétorické, je třeba si uvědomit, že např. při řešení neúplné kvadratické rovnice prvního typu
al-Khorezmi, stejně jako všichni matematici před 17. stoletím, nebere v úvahu nulové řešení, pravděpodobně proto, že v konkrétních praktických problémech na něm nezáleží. Při řešení úplných kvadratických rovnic stanoví al-Khorezmi pravidla pro jejich řešení pomocí konkrétních numerických příkladů a poté geometrických důkazů.
Problém 14.„Čtverec a číslo 21 se rovnají 10 odmocninám. Najděte kořen" (implikuje kořen rovnice x 2 + 21 = 10x).
Autorovo řešení zní asi takto: rozdělte počet odmocnin na polovinu, dostanete 5, vynásobte 5 sebou samým, odečtěte 21 od součinu, zbyde 4. Vezměte odmocninu ze 4, dostanete 2. Odečtěte 2 od 5 , dostanete 3, toto bude požadovaný kořen. Nebo přidejte 2 k 5, což dává 7, to je také odmocnina.
Pojednání al-Khorezmiho je první knihou, která se k nám dostala a která systematicky uvádí klasifikaci kvadratických rovnic a dává vzorce pro jejich řešení.
1.5 Kvadratické rovnice v Evropě XIII - XVII bb
Vzorce pro řešení kvadratických rovnic podél linií al-Khwarizmiho v Evropě byly poprvé uvedeny v knize Abacus, kterou v roce 1202 napsal italský matematik Leonardo Fibonacci. Toto obsáhlé dílo, které odráží vliv matematiky jak ze zemí islámu, tak ze starověkého Řecka, se vyznačuje úplností a jasností podání. Autor nezávisle vyvinul některé nové algebraické příklady řešení problémů a jako první v Evropě přistoupil k zavedení záporných čísel. Jeho kniha přispěla k rozšíření algebraických znalostí nejen v Itálii, ale také v Německu, Francii a dalších evropských zemích. Mnoho problémů z Knihy Abacus bylo použito téměř ve všech evropských učebnicích 16. - 17. století. a částečně XVIII.
Obecné pravidlo pro řešení kvadratických rovnic zredukované na jeden kanonický tvar:
x 2 + bx = c,
pro všechny možné kombinace znamének koeficientů b , a uspějeme. To samé s druhým příkladem. Jenomže my tady nemáme nulu byl v Evropě formulován až v roce 1544 M. Stiefelem.
Odvození vzorce pro řešení kvadratické rovnice v obecném tvaru je dostupné od Vietha, ale Vieth rozpoznal pouze kladné kořeny. Italští matematici Tartaglia, Cardano, Bombelli byli mezi prvními v 16. století. Kromě pozitivních se berou v úvahu i kořeny negativní. Teprve v 17. stol. Díky práci Girarda, Descarta, Newtona a dalších vědců dostává metoda řešení kvadratických rovnic moderní podobu.
1.6 O Vietově větě
Větu vyjadřující vztah mezi koeficienty kvadratické rovnice a jejími kořeny, pojmenovanou po Vietovi, formuloval poprvé v roce 1591 takto: „Pokud B + D, násobeno A - A 2 , rovná se BD, To A rovná se V a rovné D ».
Abychom porozuměli Vietě, měli bychom si to zapamatovat A, jako každé samohlásky, znamenalo neznámé (naše X), samohlásky V, D- koeficienty pro neznámé. V jazyce moderní algebry výše uvedená formulace Vieta znamená: pokud existuje
(a + b )x - x 2 = ab ,
x 2 - (a + b )x + a b = 0,
x 1 = a, x 2 = b .
Vyjádřením vztahu mezi kořeny a koeficienty rovnic obecnými vzorci zapsanými pomocí symbolů Viète zavedl jednotnost v metodách řešení rovnic. Symbolika Vietu má však ke své moderní podobě stále daleko. Nerozpoznal záporná čísla, a proto při řešení rovnic uvažoval pouze o případech, kdy všechny kořeny byly kladné.
2. Metody řešení kvadratických rovnic
Kvadratické rovnice jsou základem, na kterém spočívá majestátní stavba algebry. Kvadratické rovnice jsou široce používány při řešení goniometrických, exponenciálních, logaritmických, iracionálních a transcendentálních rovnic a nerovnic. Všichni víme, jak řešit kvadratické rovnice od školy (8. třída) až po maturitu.
Kvadratické rovnice se často objevují při řešení různých úloh ve fyzice a matematice. V tomto článku se podíváme na to, jak tyto rovnosti řešit univerzálním způsobem „přes diskriminant“. V článku jsou uvedeny i příklady využití získaných znalostí.
O jakých rovnicích se budeme bavit?
Obrázek níže ukazuje vzorec, ve kterém x je neznámá proměnná a latinské symboly a, b, c představují některá známá čísla.
Každý z těchto symbolů se nazývá koeficient. Jak vidíte, před proměnnou x na druhou se objevuje číslo "a". Toto je maximální mocnina reprezentovaného výrazu, proto se nazývá kvadratická rovnice. Často se používá její další název: rovnice druhého řádu. Samotná hodnota a je čtvercový koeficient (s proměnnou na druhou), b je lineární koeficient (je vedle proměnné umocněné na první mocninu) a konečně číslo c je volný člen.
Všimněte si, že typ rovnice na obrázku výše je obecný klasický kvadratický výraz. Kromě toho existují další rovnice druhého řádu, ve kterých mohou být koeficienty b a c nulové.
Když je úloha nastavena na řešení dané rovnosti, znamená to, že je třeba najít takové hodnoty proměnné x, které by ji splňovaly. Zde je první věc, kterou si musíte zapamatovat, následující věc: protože maximální stupeň X je 2, pak tento typ výrazu nemůže mít více než 2 řešení. To znamená, že pokud při řešení rovnice byly nalezeny 2 hodnoty x, které ji splňují, pak si můžete být jisti, že neexistuje žádné 3. číslo, které by ho nahradilo x, rovnost by také platila. Řešení rovnice v matematice se nazývají její kořeny.
Metody řešení rovnic druhého řádu
Řešení rovnic tohoto typu vyžaduje znalost nějaké teorie o nich. V kurzu školní algebry jsou uvažovány 4 různé metody řešení. Pojďme si je vyjmenovat:
- pomocí faktorizace;
- použití vzorce pro dokonalý čtverec;
- aplikací grafu odpovídající kvadratické funkce;
- pomocí diskriminační rovnice.
Výhodou první metody je její jednoduchost, nelze ji však použít pro všechny rovnice. Druhá metoda je univerzální, ale poněkud těžkopádná. Třetí metoda se vyznačuje svou jasností, ale není vždy vhodná a použitelná. A konečně, použití diskriminační rovnice je univerzální a poměrně jednoduchý způsob, jak najít kořeny absolutně jakékoli rovnice druhého řádu. Proto se v tomto článku budeme zabývat pouze tím.
Vzorec pro získání kořenů rovnice
Vraťme se k obecnému tvaru kvadratické rovnice. Zapišme si to: a*x²+ b*x + c =0. Než použijete metodu řešení „přes diskriminant“, měli byste vždy uvést rovnost do její písemné podoby. To znamená, že se musí skládat ze tří členů (nebo méně, pokud b nebo c je 0).
Pokud například existuje výraz: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², měli byste nejprve přesunout všechny jeho členy na jednu stranu rovnosti a přidat členy obsahující proměnnou x do stejné pravomoci.
V tomto případě tato operace povede k následujícímu výrazu: -6*x²-4*x+8=0, což je ekvivalentní rovnici 6*x²+4*x-8=0 (zde jsme vynásobili levou a pravé strany rovnosti o -1) .
Ve výše uvedeném příkladu a = 6, b=4, c=-8. Všimněte si, že všechny členy uvažované rovnosti jsou vždy sečteny dohromady, takže pokud se objeví znaménko „-“, znamená to, že odpovídající koeficient je záporný, jako v tomto případě číslo c.
Po prozkoumání tohoto bodu přejděme nyní k samotnému vzorci, který umožňuje získat kořeny kvadratické rovnice. Vypadá to jako na obrázku níže.
Jak je vidět z tohoto výrazu, umožňuje vám získat dva kořeny (pozor na znaménko „±“). K tomu stačí dosadit do něj koeficienty b, c a a.
Pojem diskriminant
V předchozím odstavci byl uveden vzorec, který umožňuje rychle vyřešit jakoukoli rovnici druhého řádu. V něm se radikální výraz nazývá diskriminant, tedy D = b²-4*a*c.
Proč je tato část vzorce vyčleněna a proč má dokonce svůj vlastní název? Faktem je, že diskriminant spojuje všechny tři koeficienty rovnice do jediného výrazu. Poslední skutečnost znamená, že zcela nese informace o kořenech, které lze vyjádřit v následujícím seznamu:
- D>0: Rovnost má 2 různá řešení, z nichž obě jsou reálná čísla.
- D=0: Rovnice má pouze jeden kořen a je to reálné číslo.
Úkol diskriminačního určení
Uveďme si jednoduchý příklad, jak najít diskriminant. Nechť je dána následující rovnost: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.
Převedeme to do standardního tvaru, dostaneme: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, z čehož dojdeme k rovnosti : -2*x² +2*x-11 = 0. Zde a=-2, b=2, c=-11.
Nyní můžete použít výše uvedený vzorec pro diskriminant: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Výsledné číslo je odpovědí na úkol. Protože diskriminant v příkladu je menší než nula, můžeme říci, že tato kvadratická rovnice nemá žádné skutečné kořeny. Jeho řešením budou pouze čísla komplexního typu.
Příklad nerovnosti prostřednictvím diskriminantu
Pojďme řešit problémy trochu jiného typu: při rovnosti -3*x²-6*x+c = 0. Je potřeba najít hodnoty c, pro které D>0.
V tomto případě jsou známy pouze 2 ze 3 koeficientů, nelze tedy vypočítat přesnou hodnotu diskriminantu, ale ví se, že je kladná. Při skládání nerovnosti využijeme poslední skutečnost: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Vyřešení výsledné nerovnosti vede k výsledku: c>-3.
Zkontrolujeme výsledné číslo. K tomu vypočítáme D pro 2 případy: c=-2 a c=-4. Číslo -2 vyhovuje získanému výsledku (-2>-3), příslušný diskriminant bude mít hodnotu: D = 12>0. Číslo -4 zase nesplňuje nerovnost (-4. Podmínku tedy splní všechna čísla c, která jsou větší než -3.
Příklad řešení rovnice
Představme si problém, který zahrnuje nejen nalezení diskriminantu, ale také řešení rovnice. Je nutné najít kořeny pro rovnost -2*x²+7-9*x = 0.
V tomto příkladu je diskriminant roven následující hodnotě: D = 81-4*(-2)*7= 137. Potom jsou kořeny rovnice určeny následovně: x = (9±√137)/(- 4). Toto jsou přesné hodnoty kořenů, pokud přibližně vypočítáte kořen, dostanete čísla: x = -5,176 a x = 0,676.
Geometrický problém
Vyřešme problém, který bude vyžadovat nejen schopnost vypočítat diskriminant, ale také využití schopností abstraktního myšlení a znalost psaní kvadratických rovnic.
Bob měl peřinu 5 x 4 metry. Chlapec k němu chtěl po celém obvodu přišít souvislý pruh krásné látky. Jak silný bude tento pruh, když víme, že Bob má 10 m² látky.
Nechte pásek mít tloušťku x m, pak plocha látky podél dlouhé strany přikrývky bude (5+2*x)*x, a protože jsou 2 dlouhé strany, máme: 2*x *(5+2*x). Na krátké straně bude plocha šité látky 4*x, jelikož jsou tyto strany 2, dostaneme hodnotu 8*x. Všimněte si, že hodnota 2*x byla přidána k dlouhé straně, protože délka přikrývky se o toto číslo zvětšila. Celková plocha látky přišité k dece je 10 m². Dostaneme tedy rovnost: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.
V tomto příkladu je diskriminant roven: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Jeho kořen je 22. Pomocí vzorce najdeme požadované kořeny: x = (-18±22)/( 2*4) = (-5; 0,5). Je zřejmé, že ze dvou kořenů je podle podmínek problému vhodné pouze číslo 0,5.
Proužek látky, který Bob přišije ke své dece, bude tedy široký 50 cm.
Toto téma se může na první pohled zdát složité kvůli mnoha ne tak jednoduchým vzorcům. Nejen, že samotné kvadratické rovnice mají dlouhé zápisy, ale kořeny se také nacházejí prostřednictvím diskriminantu. Celkem se získají tři nové vzorce. Není moc snadné si zapamatovat. To je možné pouze po častém řešení takových rovnic. Pak si všechny vzorce budou samy pamatovat.
Obecný pohled na kvadratickou rovnici
Zde navrhujeme jejich explicitní zápis, kdy se nejprve zapíše největší stupeň a poté v sestupném pořadí. Často dochází k situacím, kdy jsou podmínky nekonzistentní. Pak je lepší rovnici přepsat v sestupném pořadí podle stupně proměnné.
Představme si nějaký zápis. Jsou uvedeny v tabulce níže.
Pokud přijmeme tyto zápisy, všechny kvadratické rovnice se zredukují na následující zápis.
Navíc koeficient a ≠ 0. Nechť je tento vzorec označen číslem jedna.
Když je dána rovnice, není jasné, kolik kořenů bude v odpovědi. Protože vždy je možná jedna ze tří možností:
- řešení bude mít dva kořeny;
- odpověď bude jedno číslo;
- rovnice nebude mít vůbec žádné kořeny.
A dokud není rozhodnutí dokončeno, je obtížné pochopit, která možnost se objeví v konkrétním případě.
Typy záznamů kvadratických rovnic
V úkolech mohou být různé položky. Ne vždy budou vypadat jako obecný vzorec kvadratické rovnice. Někdy v něm budou některé termíny chybět. To, co bylo napsáno výše, je úplná rovnice. Pokud v něm odstraníte druhý nebo třetí termín, získáte něco jiného. Tyto záznamy se také nazývají kvadratické rovnice, pouze neúplné.
Navíc mohou zmizet pouze členy s koeficienty „b“ a „c“. Číslo "a" se za žádných okolností nemůže rovnat nule. Protože v tomto případě se vzorec změní na lineární rovnici. Vzorce pro neúplný tvar rovnic budou následující:
Existují tedy pouze dva typy, kromě úplných rovnic také neúplné kvadratické rovnice. Nechť je první vzorec číslo dvě a druhý - tři.
Diskriminant a závislost počtu kořenů na jeho hodnotě
Toto číslo potřebujete znát, abyste mohli vypočítat kořeny rovnice. Vždy se dá vypočítat, bez ohledu na to, jaký je vzorec kvadratické rovnice. Abyste mohli vypočítat diskriminant, musíte použít níže napsanou rovnost, která bude mít číslo čtyři.
Po dosazení hodnot koeficientů do tohoto vzorce můžete získat čísla s různými znaménky. Pokud je odpověď ano, pak odpovědí na rovnici budou dva různé kořeny. Pokud je číslo záporné, nebudou zde žádné kořeny kvadratické rovnice. Pokud se rovná nule, bude pouze jedna odpověď.
Jak vyřešit úplnou kvadratickou rovnici?
Ve skutečnosti se o této otázce již začalo uvažovat. Protože nejprve musíte najít diskriminant. Poté, co se zjistí, že existují kořeny kvadratické rovnice a je znám jejich počet, musíte pro proměnné použít vzorce. Pokud existují dva kořeny, musíte použít následující vzorec.
Protože obsahuje znaménko „±“, budou zde dvě hodnoty. Výraz pod odmocninou je diskriminant. Proto lze vzorec přepsat jinak.
Formule číslo pět. Ze stejného záznamu je zřejmé, že pokud je diskriminant roven nule, pak oba kořeny budou mít stejné hodnoty.
Pokud řešení kvadratických rovnic ještě nebylo vypracováno, je lepší zapsat hodnoty všech koeficientů před použitím diskriminačních a proměnných vzorců. Později tento okamžik nezpůsobí potíže. Hned na začátku je ale zmatek.
Jak vyřešit neúplnou kvadratickou rovnici?
Zde je vše mnohem jednodušší. Nejsou ani potřeba další vzorce. A ty, které již byly sepsány pro diskriminující a neznámé, nebudou potřeba.
Nejprve se podívejme na neúplnou rovnici číslo dvě. V této rovnosti je nutné neznámou veličinu vyjmout ze závorek a vyřešit lineární rovnici, která v závorce zůstane. Odpověď bude mít dva kořeny. První se nutně rovná nule, protože existuje multiplikátor sestávající ze samotné proměnné. Druhý získáme řešením lineární rovnice.
Neúplná rovnice číslo tři se řeší posunutím čísla z levé strany rovnosti doprava. Pak musíte vydělit koeficientem čelí neznámému. Zbývá jen vyjmout druhou odmocninu a nezapomenout ji zapsat dvakrát s opačnými znaménky.
Níže jsou uvedeny některé akce, které vám pomohou naučit se řešit všechny druhy rovnosti, které se mění v kvadratické rovnice. Pomohou žákovi vyvarovat se chyb z nepozornosti. Tyto nedostatky mohou způsobit špatné známky při studiu rozsáhlého tématu „Kvadratické rovnice (8. třída). Následně nebude nutné tyto akce provádět neustále. Protože se objeví stabilní dovednost.
- Nejprve musíte napsat rovnici ve standardním tvaru. To znamená, že nejprve výraz s největším stupněm proměnné a poté - bez stupně a jako poslední - pouze číslo.
- Objeví-li se před koeficientem „a“ mínus, může to začátečníkovi při studiu kvadratických rovnic zkomplikovat práci. Je lepší se toho zbavit. Za tímto účelem musí být celá rovnost vynásobena „-1“. To znamená, že všechny výrazy změní znaménko na opačné.
- Stejným způsobem se doporučuje zbavit se zlomků. Jednoduše vynásobte rovnici příslušným faktorem tak, aby se jmenovatelé vyrovnali.
Příklady
Je potřeba vyřešit následující kvadratické rovnice:
x 2 − 7x = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).
První rovnice: x 2 − 7x = 0. Je neúplná, proto se řeší tak, jak je popsáno u vzorce číslo dvě.
Po vyjmutí ze závorek se ukáže: x (x - 7) = 0.
První odmocnina má hodnotu: x 1 = 0. Druhý zjistíme z lineární rovnice: x - 7 = 0. Je snadné vidět, že x 2 = 7.
Druhá rovnice: 5x 2 + 30 = 0. Opět neúplné. Pouze se řeší tak, jak je popsáno u třetího vzorce.
Po přesunutí 30 na pravou stranu rovnice: 5x 2 = 30. Nyní je potřeba vydělit 5. Ukáže se: x 2 = 6. Odpovědi budou čísla: x 1 = √6, x 2 = - √6.
Třetí rovnice: 15 − 2x − x 2 = 0. Dále začneme řešení kvadratických rovnic jejich přepsáním do standardního tvaru: − x 2 − 2x + 15 = 0. Nyní je čas použít druhý užitečný tip a vše vynásobit mínus jedna. Ukazuje se x 2 + 2x - 15 = 0. Pomocí čtvrtého vzorce je třeba vypočítat diskriminant: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Je to kladné číslo. Z výše uvedeného vyplývá, že rovnice má dva kořeny. Je třeba je vypočítat pomocí pátého vzorce. Ukazuje se, že x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Potom x 1 = 3, x 2 = - 5.
Čtvrtá rovnice x 2 + 8 + 3x = 0 se transformuje na tuto: x 2 + 3x + 8 = 0. Její diskriminant je roven této hodnotě: -23. Protože toto číslo je záporné, odpověď na tento úkol bude následující: „Neexistují žádné kořeny“.
Pátá rovnice 12x + x 2 + 36 = 0 by měla být přepsána následovně: x 2 + 12x + 36 = 0. Po aplikaci vzorce pro diskriminant dostaneme číslo nula. To znamená, že bude mít jeden kořen, a to: x = -12/ (2 * 1) = -6.
Šestá rovnice (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) vyžaduje transformace, které spočívají v tom, že musíte přinést podobné členy a nejprve otevřít závorky. Na místě prvního bude následující výraz: x 2 + 2x + 1. Po rovnosti se objeví tento záznam: x 2 + 3x + 2. Po sčítání podobných členů bude mít rovnice tvar: x 2 - x = 0. Stalo se neúplným. O něčem podobném již byla řeč o něco výše. Kořeny toho budou čísla 0 a 1.
