N Bogdanov Belsky ústní účet. Popis uměleckého díla „Ústní počítání

Celé jméno slavný obraz který je na obrázku výše: " Ústní počítání. V veřejná škola S. A. Rachinsky " Tento obraz ruského umělce Nikolaje Petroviče Bogdanova-Belského byl namalován v roce 1895 a nyní visí Treťjakovská galerie. V tomto článku se o něm dozvíte pár podrobností. slavné dílo, kterým byl Sergei Rachinsky, a co je nejdůležitější - získejte správnou odpověď na úkol zobrazený na tabuli.

Stručný popis malby

Obraz ukazuje venkovská škola XIX století během lekce aritmetiky. Postava učitele má skutečný prototyp— Sergej Aleksandrovič Rachinskij, botanik a matematik, profesor Moskevské univerzity. Venkovští školáci řeší velmi zajímavý příklad. Je jasné, že to pro ně není jednoduché. Na obrázku 11 studentů přemýšlí o problému, ale zdá se, že pouze jeden chlapec přišel na to, jak tento příklad vyřešit v hlavě, a svou odpověď tiše říká učiteli do ucha.

Nikolaj Petrovič věnoval tento obraz svému učitel školy Sergej Aleksandrovič Rachinsky, který je na něm vyobrazen ve společnosti svých studentů. Bogdanov-Belsky znal postavy ve svém filmu velmi dobře, protože on sám byl kdysi v jejich situaci. Měl to štěstí, že se dostal do školy slavného ruského učitele profesora S.A. Rachinsky, který si všiml chlapcova talentu a pomohl mu získat umělecké vzdělání.

O Rachinském

Sergej Alexandrovič Račinskij (1833-1902) – ruský vědec, učitel, vychovatel, profesor Moskevské univerzity, botanik a matematik. Pokračoval ve snaze svých rodičů a učil na venkovské škole, i když Rachinsky - šlechtický rod. Sergej Alexandrovič byl mužem různých znalostí a zájmů: ve školní umělecké dílně sám Rachinsky učil malbu, kresbu a kresbu.

V rané období Ve své učitelské kariéře hledal Rachinsky v souladu s myšlenkami německého učitele Karla Volkmara Stoye a Lva Tolstého, s nimiž si dopisoval. V 80. letech 19. století se stal hlavním ideologem farní školy v Rusku, která začala konkurovat škole zemstvo. Rachinsky došel k závěru, že nejdůležitější praktickou potřebou ruského lidu je komunikace s Bohem.

Pokud jde o matematiku a mentální aritmetiku, Sergej Rachinskij zanechal jako dědictví svou slavnou knihu problémů „ 1001 mentálních aritmetických problémů “, některé úkoly (s odpověďmi), ze kterých najdete na.

Přečtěte si více o Sergeji Alexandroviči Rachinském na stránce jeho biografie.

Řešení příkladu na tabuli

Existuje několik způsobů, jak vyřešit výraz napsaný na tabuli v obraze Bogdanova-Belského. Sledováním tohoto odkazu najdete čtyři různá řešení. Pokud jste se ve škole naučili druhé mocniny čísel do 20 nebo do 25, pak vás s největší pravděpodobností problém na tabuli nenapadne speciální práce. Tento výraz se rovná: (100+121+144+169+196) děleno 365, což se nakonec rovná 730 děleno 365, což je „2“.

Kromě toho se na našich webových stránkách v sekci „“ můžete setkat s Sergejem Rachinským a zjistit, co je „“. A právě znalost těchto sekvencí vám umožní vyřešit problém během několika sekund, protože:

10 2 +11 2 +12 2 = 13 2 +14 2 = 365

Humorné a parodické výklady

V dnešní době školáci nejen řeší některé oblíbené Rachinského problémy, ale také píší eseje na základě obrazu „Ústní počet. Na veřejné škole S. A. Rachinského“, což nemohlo ovlivnit touhu školáků vtipkovat o práci. Popularita obrazu „Oral Reckoning“ se odráží v četných parodiích, které lze nalézt na internetu. Zde je jen několik z nich:

mnohým známý. Obraz ukazuje vesnickou školu konec XIX století během hodiny aritmetiky při řešení zlomků v hlavě.

učitel - skutečná osoba, Sergej Aleksandrovič Rachinsky (1833-1902), botanik a matematik, profesor Moskevské univerzity. Po populismu v roce 1872 se Rachinsky vrátil do své rodné vesnice Tatevo, kde vytvořil školu s ubytovnou pro rolnické děti a vyvinul unikátní vyučovací metodu. mentální aritmetika, vštěpující vesnickým dětem jeho dovednosti a základy matematického myšlení. Bogdanov-Belsky, sám bývalý žák Rachinského, zasvětil svou práci epizodě ze života školy s kreativní atmosférou, která ve výuce vládla.

Přes všechnu slávu toho obrazu se však jen málokdo, kdo ho viděl, ponořil do obsahu toho " těžký úkol", který je na něm vyobrazen. Spočívá v rychlém nalezení výsledku výpočtu mentálním výpočtem:

Talentovaný učitel pěstoval ve své škole duševní počítání, založené na mistrném využívání vlastností čísel.

Čísla 10, 11, 12, 13 a 14 mají zajímavou vlastnost:

10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2 .

Vlastně od té doby

100 + 121 + 144 = 169 + 196 = 365,

Wikipedia navrhuje následující metodu pro výpočet hodnoty čitatele:

10 2 + (10 + 1) 2 + (10 + 2) 2 + (10 + 3) 2 + (10 + 4) 2 =

10 2 + (10 2 + 2 10 1 + 1 2) + (10 2 + 2 10 2 + 2 2) + (10 2 + 2 10 3 + 3 2) + (10 2 + 2 ·10·4 + 4 2) =

5 100 + 2 10 (1 + 2 + 3 + 4) + 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =

500 + 200 + 30 = 730 = 2·365.

Podle mého názoru je to příliš složité. Je jednodušší to udělat jinak:

10 2 + 11 2 + 12 2 + 13 2 + 14 2 =

= (12 - 2) 2 + (12 - 1) 2 + 12 2 + (12 + 1) 2 + (12 + 2) 2 =

5 12 2 + 2 4 + 2 1 = 5 144 + 10 = 730,

Výše uvedené úvahy lze provést ústně - 12 2 , samozřejmě, musíte si pamatovat, zdvojnásobte součin druhých mocnin dvojčlenů vlevo a vpravo od 12 2 jsou vzájemně zničeny a nelze je spočítat, ale 5·144 = 500 + 200 + 20 - není obtížné.

Použijme tuto techniku ​​a slovně najdeme součet:

48 2 + 49 2 + 50 2 + 51 2 + 52 2 = 5 50 2 + 10 = 5 2500 + 10 = 12510.

Pojďme si to zkomplikovat:

84 2 + 87 2 + 90 2 + 93 2 + 96 2 = 5 8100 + 2 9 + 2 36 = 40500 + 18 + 72 = 40590.

série Rachinsky

Algebra nám dává prostředek, jak si tuto otázku položit zajímavá vlastnostřada čísel

10, 11, 12, 13, 14

obecněji: je to jediná řada pěti po sobě jdoucích čísel, z nichž součet druhých mocnin prvních tří se rovná součtu druhých mocnin posledních dvou?

Označíme-li první z požadovaných čísel x, máme rovnici

x 2 + (x + 1) 2 + (x + 2) 2 = (x + 3) 2 + (x + 4) 2.

Výhodnější je však označovat x nikoli první, ale druhé z požadovaných čísel. Potom bude mít rovnice jednodušší tvar

(x - 1) 2 + x 2 + (x + 1) 2 = (x + 2) 2 + (x + 3) 2.

Otevřením závorek a zjednodušením dostaneme:

x 2 – 10 x – 11 = 0,

kde

x 1 = 11, x 2 = -1.

Existují tedy dvě řady čísel, které mají požadovanou vlastnost: Raczynského řada

10, 11, 12, 13, 14

a řada

2, -1, 0, 1, 2.

ve skutečnosti

(-2) 2 +(-1) 2 + 0 2 = 1 2 + 2 2 .

Dva!!!

Rád bych zakončil zářivými a dojemnými vzpomínkami autora autorčina blogu V. Iskry v článku O druhých mocninách dvouciferných čísel a nejen o nich...

Kdysi, kolem roku 1962, nám, žákům 7. třídy, zadala tento úkol naše „matematička“ Ljubov Iosifovna Drabkina.

V té době mě velmi zaujal nově se objevující KVN. Fandil jsem týmu z moskevského města Fryazino. „Fryazinians“ se vyznačoval svou zvláštní schopností používat logickou „expresní analýzu“ k vyřešení jakéhokoli problému, k „vytažení“ nejsložitějšího problému.

Nedokázal jsem to rychle spočítat v hlavě. Pomocí metody „Fryazin“ jsem však usoudil, že odpověď by měla být vyjádřena jako celé číslo. Jinak se již nejedná o „ústní počítání“! Toto číslo nemůže být jedna – i kdyby měl čitatel stejných 5 stovek, odpověď by byla jednoznačně větší. Na druhou stranu číslo „3“ zjevně nedosáhl.

- Dva!!! - Vyhrkl jsem vteřinu před svou kamarádkou Lenyou Strukovovou, nejlepší matematičkou na naší škole.

"Ano, skutečně dva," potvrdila Lenya.

- Co sis myslel? - zeptal se Lyubov Iosifovna.

- vůbec jsem nepočítal. Intuice – odpověděl jsem za smíchu celé třídy.

"Pokud jste nepočítali, odpověď se nepočítá," pronesl Ljubov Iosifovna slovní hříčku. Lenyo, ty jsi taky nepočítala?

"Ne, proč ne," odpověděla Lenya klidně. Musel jsem sečíst 121, 144, 169 a 196. Sečetl jsem čísla jedna a tři, dva a čtyři po dvojicích. Je to pohodlnější. Vyšlo to 290+340. Celková částka včetně první stovky je 730. Vydělte 365 a dostaneme 2.

- Výborně! Ale pamatujte do budoucna - v řadě dvouciferná čísla- prvních pět jejích zástupců má úžasnou vlastnost. Součet druhých mocnin prvních tří čísel v řadě (10, 11 a 12) se rovná součtu druhých mocnin následujících dvou (13 a 14). A tato suma se rovná 365. Snadno zapamatovatelné! Tolik dní v roce. Pokud rok není přestupným rokem. Se znalostí této vlastnosti lze odpověď získat během vteřiny. Bez jakékoliv intuice...

* * *

...uplynuly roky. Naše město získalo svůj vlastní „Zázrak světa“ – mozaikové malby v podzemních chodbách. Přechodů bylo mnoho, obrázků ještě více. Témata byla velmi odlišná - obrana Rostova, vesmír... V centrální pasáži, pod křižovatkou Engels (nyní Bolshaya Sadovaya) - vytvořil Vorošilovskij celé panorama o hlavních scénách životní cesta Sovětský muž- porodnice - mateřská škola- škola, maturitní ples...

Na jednom ze „školních“ obrazů bylo vidět známou scénu – řešení problému... Nazvěme to takto: „Rachinského problém“...

...Léta plynula, lidé míjeli... Veselí i smutní, mladí i ne tak mladí. Někteří si pamatovali svou školu, zatímco jiní „použili svůj mozek“...

Mistři obkladači a umělci v čele s Jurijem Nikitovičem Labintsevem odvedli skvělou práci!

Nyní je „rostovský zázrak“ „dočasně nedostupný“. Do popředí se dostal obchod – přímo a obrazně. Přesto doufejme, že v této běžné frázi je hlavní slovo „dočasně“...

Zdroje: Ya.I. Perelman. Zábavná algebra (Moskva, „Science“, 1967), Wikipedia,

Mnozí viděli obrázek „Mentální aritmetika ve veřejné škole“. Konec 19. století veřejná škola, tabule, inteligentní učitel, špatně oblečené děti, 9–10 let, nadšeně se snaží vyřešit problém napsaný na tabuli v duchu. První, kdo se rozhodne, sdělí odpověď učiteli šeptem, aby ostatní neztratili zájem.

Nyní se podívejme na problém: (10 na druhou + 11 na druhou + 12 na druhou + 13 na druhou + 14 na druhou) / 365 =???

Blbost! Blbost! Blbost! Naše děti v 9 letech takový problém, alespoň ve své mysli, nevyřeší! Proč se špinavé a bosé vesnické děti učily tak dobře v jednotřídní dřevěné škole, ale naše děti tak špatně?!

Nespěchejte s rozhořčením. Podívejte se blíže na obrázek. Nezdá se vám, že učitel vypadá příliš inteligentně, tak nějak jako profesor, a je oblečený se zjevným předstíráním? Proč dovnitř školní třída tak vysoký strop a drahá kamna s bílými kachličkami? Opravdu takhle vypadaly vesnické školy a jejich učitelé?

Samozřejmě, že tak nevypadali. Obraz se nazývá "Ústní aritmetika ve veřejné škole SA Rachinsky." Sergej Račinskij je profesor botaniky na Moskevské univerzitě, muž s určitými vládními kontakty (například přítel hlavního prokurátora synodu Pobedonostseva), statkář - uprostřed svého života opustil všechny své záležitosti, odešel do své panství (Tatevo ve Smolenské gubernii) a zahájil zde podnikání (samozřejmě na vlastní účet) experimentální veřejné školy.

Škola byla jednotřídní, což ale neznamenalo, že se tam učilo jeden rok. V takové škole se učilo 3-4 roky (a ve dvouletých školách - 4-5 let, ve tříletých školách - 6 let). Slovo jednotřídka znamenalo, že děti tříletého studia tvoří jednu třídu a jeden učitel je všechny vyučuje v rámci jedné vyučovací hodiny. Byla to docela ošemetná záležitost: zatímco děti jednoho ročníku dělaly nějaké písemné cvičení, děti druhého ročníku odpovídaly u tabule, děti třetího ročníku četly učebnici atd. vyučující se střídavě věnoval každé skupině.

Rachinského pedagogická teorie byla velmi originální a její různé části do sebe nějak dobře nezapadaly. Za prvé, Račinskij považoval za základ vzdělání lidu výuku církevněslovanského jazyka a Božího zákona, a ne tolik vysvětlující, jako spíše memorování modliteb. Račinskij pevně věřil, že z dítěte, které zná nazpaměť určitý počet modliteb, jistě vyroste vysoce mravní člověk a již samotné zvuky církevněslovanského jazyka budou mít mravně zlepšující účinek.

Za druhé, Rachinsky věřil, že je užitečné a nutné, aby si rolníci rychle spočítali v hlavě. Výuka matematická teorie Rachinsky měl malý zájem, ale ve své škole si vedl velmi dobře v ústní aritmetice. Studenti pevně a rychle odpověděli, kolik drobných za rubl by měl dostat někdo, kdo koupí 6 3/4 libry mrkve za 8 1/2 kopejky za libru. Kvadratura, jak je znázorněna na obrázku, byla nejobtížnější matematická operace studovaná v jeho škole.

A konečně, Račinskij byl zastáncem velmi praktické výuky ruského jazyka – po studentech se nevyžadovalo žádné zvláštní pravopisné umění ani dobrý rukopis a už vůbec se neučili teoretické gramatice. Hlavní bylo naučit se plynně číst a psát, i když neohrabaným rukopisem a nepříliš kompetentně, ale jasně, něco, co by se rolníkovi mohlo hodit v každodenním životě: jednoduché dopisy, petice atd. I v Rachinského škole někteří manuální práce, děti sborově zpívaly a tím veškerá výchova skončila.

Rachinsky byl skutečný nadšenec. Škola se stala celým jeho životem. Rachinského děti žily v ubytovně a byly organizovány do komuny: prováděly všechny údržbářské práce pro sebe a pro školu. Rachinsky, který neměl rodinu, trávil všechen čas s dětmi od časného rána do pozdního večera, a protože to byl velmi laskavý, ušlechtilý člověk a upřímně připoutaný k dětem, jeho vliv na jeho studenty byl obrovský. Mimochodem, Rachinsky dal prvnímu dítěti, které problém vyřešilo, mrkev (v doslovném smyslu slova neměl hůl).

Samotné školní třídy trvaly 5–6 měsíců v roce a zbytek času se Rachinsky individuálně učil se staršími dětmi a připravoval je na přijetí do různých vzdělávacích institucí další úrovně; základní veřejná škola nebyla přímo propojena s ostatními vzdělávací instituce a po něm nebylo možné pokračovat v tréninku bez další přípravy. Rachinsky chtěl vidět nejpokročilejší ze svých studentů jako učitele základní škola a kněží, tak připravoval děti především na teologické a učitelské semináře. Existovaly také významné výjimky - především to byl samotný autor obrazu Nikolaj Bogdanov-Belsky, kterému Rachinsky pomohl dostat se do Moskevská škola malířství, sochařství a architektura. Ale kupodivu vede rolnické děti po hlavní silnici vzdělaný člověk- gymnázium / univerzita / státní služba- Rachinsky nechtěl.

Rachinsky psal populární pedagogické články a nadále se těšil určitému vlivu v intelektuálních kruzích hlavního města. Nejdůležitější bylo seznámení s ultravlivným Pobedonostsevem. Náboženské oddělení se pod jistým vlivem Rachinského myšlenek rozhodlo, že zemská škola nebude k ničemu – liberálové děti nic dobrého nenaučí – a v polovině 90. let 19. století začali budovat vlastní nezávislou síť farních škol.

V některých ohledech byly farní školy podobné škole Rachinského - měly hodně církevně slovanského jazyka a modliteb a ostatní předměty byly odpovídajícím způsobem redukovány. Ale, bohužel, výhody školy Tatev jim nebyly přeneseny. Kněží se o školní záležitosti příliš nezajímali, řídili školy pod tlakem, sami v těchto školách neučili a najímali si nejtřetiřadější učitele a platili jim znatelně méně než v zemských školách. Rolníkům se farní škola nelíbila, protože si uvědomovali, že tam sotva něco užitečného neučí, a modlitby je málo zajímaly. Mimochodem, právě učitelé církevní školy, rekrutující se z vyvrhelů kléru, se ukázali jako jedna z nejpřevratnějších profesních skupin té doby a právě přes ně do vesnice aktivně pronikala socialistická propaganda.

Nyní vidíme, že jde o běžnou věc – jakákoliv originální pedagogika, určená pro hluboké zapojení a nadšení učitele, při masovém rozmnožování okamžitě umírá a dostává se do rukou nezainteresovaných a letargických lidí. Ale na tu dobu to byl velký průšvih. Ukázalo se, že farní školy, které v roce 1900 tvořily asi třetinu základních veřejných škol, se všem nelíbí. Když počínaje rokem 1907 začal stát posílat základní vzdělání hodně peněz, o předávání dotací církevním školám přes Dumu se nemluvilo téměř všechny prostředky šly obyvatelům zemstva.

Rozšířenější zemská škola byla zcela odlišná od Rachinského školy. Pro začátek považoval lid Zemstvo Boží zákon za zcela zbytečný. Podle něj nebylo možné jeho učení odmítnout politické důvody, tak ho zemstvo zatlačili do kouta, jak jen mohli. Zákon Boží vyučoval farář, který byl nedostatečně placen a ignorován, s odpovídajícími výsledky.

Matematika ve škole zemstvo se vyučovala hůře než v Rachinském a v menším objemu. Kurz byl zakončen operacemi s jednoduchými zlomky a nemetrickým systémem měr. Výuka nešla až k umocňování, takže běžní žáci základních škol by problém znázorněný na obrázku prostě nepochopili.

Zemská škola se snažila proměnit výuku ruského jazyka ve světová studia, a to prostřednictvím tzv. výkladové četby. Technika spočívala v diktování naučný text v ruštině učitel dále žákům vysvětlil, co bylo řečeno v samotném textu. Tímto paliativním způsobem se hodiny ruského jazyka proměnily i v zeměpis, přírodopis, dějepis - tedy ve všechny ty rozvojové předměty, které v krátkém kurzu jednotřídky neměly místo.

Náš obrázek tedy nevyobrazuje typickou, ale jedinečnou školu. Toto je pomník Sergeje Rachinského, jedinečné osobnosti a učitele, k poslednímu zástupci té kohorty konzervativců a vlastenců, do které ještě nebylo možné zařadit slavný výraz"Vlastenectví je posledním útočištěm darebáka." Masová veřejná škola byla ekonomicky mnohem chudší, kurz matematiky v ní byl kratší a jednodušší a výuka slabší. A samozřejmě běžní žáci základních škol dokázali problém reprodukovaný na obrázku nejen vyřešit, ale i pochopit.

Mimochodem, jakou metodou školáci řeší problém na tabuli? Pouze rovně: vynásobte 10 10, zapamatujte si výsledek, vynásobte 11 11, sečtěte oba výsledky a tak dále. Rachinsky věřil, že rolník neměl po ruce psací potřeby, a tak vyučoval pouze techniky ústního počítání, přičemž vynechal všechny aritmetické a algebraické transformace, které vyžadovaly výpočty na papíře.

P.S. Z nějakého důvodu jsou na obrázku pouze chlapci, zatímco všechny materiály ukazují, že Rachinsky učil děti obou pohlaví. Nemohl jsem přijít na to, co to znamená.

Slavný ruský umělec Nikolaj Petrovič Bogdanov-Belsky namaloval jedinečný a neuvěřitelný životní příběh v roce 1895. Dílo se nazývá „Ústní zúčtování“ a in plnou verzi„Ústní počítání. Na veřejné škole S. A. Rachinského."

Nikolaj Bogdanov-Belskij. Ústní počítání. Na veřejné škole S. A. Rachinského

Obraz je proveden olejem na plátně a zobrazuje venkovskou školu z 19. století během hodiny počítání. Školáci řeší zajímavé a složitý příklad. Jsou hluboce zamyšlení a hledají správné rozhodnutí. Někdo u tabule přemýšlí, někdo stojí na okraji a snaží se shromáždit poznatky, které pomohou při řešení problému. Děti jsou zcela pohlceny hledáním odpovědi na položenou otázku, chtějí dokázat sobě i světu, že to zvládnou.

Opodál stojí učitel, jehož prototypem je sám Rachinsky, slavný botanik a matematik. Ne nadarmo dostal obraz takové jméno, je to na počest profesora Moskevské univerzity. Na plátně je vyobrazeno 11 dětí a pouze jeden chlapec tiše šeptá učitelce do ucha, možná správná odpověď.

Obraz zobrazuje jednoduchou ruskou třídu, děti jsou oblečeny v selském oblečení: lýkové boty, kalhoty a košile. To vše velmi harmonicky a lakonicky zapadá do děje a nenápadně přináší světu žízeň po vědění ze strany obyčejného ruského lidu.

Teplé barevné schéma přináší laskavost a jednoduchost ruského lidu, není zde žádná závist a faleš, žádné zlo a nenávist, děti z různé rodiny s různými příjmy se sešli, aby učinili jediné správné rozhodnutí. To u nás velmi chybí moderní život, kde jsou lidé zvyklí žít úplně jinak, bez ohledu na názory ostatních.

Nikolaj Petrovič obraz věnoval svému učiteli, velkému géniovi matematiky, kterého dobře znal a vážil si ho. Nyní je obraz v Moskvě v Treťjakovské galerii, pokud tam budete, určitě se podívejte na pero velkého mistra.

description-kartin.com

Nikolaj Petrovič Bogdanov-Belskij (8. prosince 1868, vesnice Shitiki, okres Belsky, provincie Smolensk, Rusko – 19. února 1945, Berlín, Německo) – ruský potulný umělec, akademik malířství, předseda Společnosti Kuindzhi.

Obraz zachycuje vesnickou školu z konce 19. století při hodině počítání při řešení zlomků v hlavě. Učitel je skutečný člověk Sergej Alexandrovič Račinskij (1833-1902), botanik a matematik, profesor Moskevské univerzity.

V návaznosti na populismus v roce 1872 se Rachinsky vrátil do své rodné vesnice Tatevo, kde vytvořil školu s ubytovnou pro rolnické děti, vyvinul jedinečnou metodu výuky mentální aritmetiky a vštípil vesnickým dětem své dovednosti a základy matematiky. myslící. Bogdanov-Belsky, sám bývalý žák Rachinského, zasvětil svou práci epizodě ze života školy s kreativní atmosférou, která ve výuce vládla.

Na tabuli je napsaný příklad, který studenti potřebují vyřešit:

Úkol znázorněný na obrázku nemohl být nabídnut žákům běžné základní školy: učební plán jednotřídních a dvoutřídních základních veřejných škol neumožňoval studium pojmu titul. Rachinsky však standard nedodržel výcvikový kurz; byl si jistý vynikajícími matematickými schopnostmi většiny selských dětí a považoval za možné výrazně zkomplikovat matematické učivo.

Řešení Rachinského problému

První řešení

Existuje několik způsobů, jak tento výraz vyřešit. Pokud jste se ve škole učili druhé mocniny čísel do 20 nebo do 25, pak vám to s největší pravděpodobností nebude dělat velké potíže. Tento výraz se rovná: (100+121+144+169+196) děleno 365, což se nakonec stane kvocientem 730 a 365, což se rovná: 2. Chcete-li příklad vyřešit tímto způsobem, možná budete muset použít dovednosti všímavosti a schopnost mít na paměti několik věcí meziodpovědi.

Druhé řešení

Pokud jste se ve škole nenaučili význam druhých mocnin čísel do 20, může se vám hodit jednoduchá metoda založená na použití referenčního čísla. Tato metoda umožňuje jednoduše a rychle vynásobit libovolná dvě čísla menší než 20. Metoda je velmi jednoduchá, k prvnímu číslu druhého je potřeba přičíst jedničku, toto množství vynásobit 10 a poté sečíst součin jednotek. Například: 11*11=(11+1)*10+1*1=121. Zbývající čtverce jsou také:

12*12=(12+2)*10+2*2=140+4=144

13*13=160+9=169

14*14=180+16=196

Poté, co byly nalezeny všechny čtverce, lze úlohu vyřešit stejným způsobem jako v první metodě.

Třetí řešení

Další metoda zahrnuje použití zjednodušení čitatele zlomku na základě použití vzorců pro druhou mocninu součtu a druhou mocninu rozdílu. Pokusíme-li se vyjádřit druhé mocniny v čitateli zlomku přes číslo 12, dostaneme následující výraz. (12 - 2) 2 + (12 - 1) 2 + 12 2 + (12 + 1) 2 + (12 + 2) 2. Pokud dobře znáte vzorce pro druhou mocninu součtu a druhou mocninu rozdílu, pak pochopíte, jak lze tento výraz snadno zredukovat do tvaru: 5*12 2 +2*2 2 +2*1 2, což rovná se 5*144+10=730. Chcete-li vynásobit 144 5, jednoduše toto číslo vydělte 2 a vynásobte 10, což se rovná 720. Potom tento výraz vydělíme 365 a dostaneme: 2.

Čtvrté řešení

Také tento problém lze vyřešit za 1 sekundu, pokud znáte Rachinského sekvence.

Rachinského sekvence pro mentální aritmetiku

K vyřešení slavného Rachinského problému můžete využít i další znalosti o zákonech součtu čtverců. Jde o to konkrétně o těch sumách, které se nazývají Rachinského posloupnosti. Takže lze matematicky dokázat, že následující součty čtverců jsou stejné:

3 2 + 4 2 = 5 2 (oba součty se rovnají 25)

10 2 +11 2 +12 2 = 13 2 +14 2 (součet se rovná 365)

21 2 +22 2 +23 2 +24 2 = 25 2 +26 2 +27 2 (což je rok 2030)

36 2 +37 2 +38 2 +39 2 +40 2 = 41 2 +42 2 +43 2 +44 2 (což se rovná 7230)

Chcete-li najít jinou Raczynského posloupnost, stačí napsat rovnici následující typ(všimněte si, že v takové sekvenci je počet sečtených čtverců vpravo vždy o jeden menší než vlevo):

n 2 + (n+1) 2 = (n+2) 2

Tato rovnice se redukuje na kvadratická rovnice a je snadno řešitelný. V v tomto případě"n" se rovná 3, což odpovídá první Raczynského posloupnosti popsané výše (3 2 + 4 2 = 5 2).

Takže řešení slavný příklad Rachinsky, může být vytvořen ve vaší mysli ještě rychleji, než bylo popsáno v tomto článku, jednoduše tím, že znáte druhou Rachinského sekvenci, totiž:

10 2 +11 2 +12 2 +13 2 +14 2 = 365 + 365

Výsledkem je, že rovnice z obrazu Bogdana-Belského nabývá tvaru (365 + 365)/365, což se bezpochyby rovná dvěma.

Rachinského sekvence může být také užitečná pro řešení dalších problémů ze sbírky „1001 problémů pro mentální výpočet“ od Sergeje Rachinského.

Jevgenij Buyanov