Goniometrické rovnice kořen ze dvou. Složitější goniometrické rovnice

Při řešení mnoha matematické problémy, zejména těch, které nastanou před 10. ročníkem, je jasně definováno pořadí provedených akcí, které povedou k cíli. Mezi takové problémy patří například lineární a kvadratické rovnice, lineární a kvadratické nerovnice, zlomkové rovnice a rovnice redukující na kvadratické. Princip úspěšného řešení každého ze zmíněných problémů je následující: je třeba si ujasnit, jaký typ problému řešíte, zapamatovat si nezbytnou posloupnost akcí, které povedou k požadovanému výsledku, tzn. odpovězte a postupujte podle těchto kroků.

Je zřejmé, že úspěch či neúspěch při řešení konkrétní úlohy závisí především na tom, jak správně je určen typ řešené rovnice, jak správně je reprodukována posloupnost všech fází jejího řešení. Samozřejmě je v tomto případě nutné mít dovednosti pro provádění identických transformací a výpočtů.

Jiná situace je s goniometrické rovnice. Není vůbec těžké zjistit, že rovnice je trigonometrická. Potíže nastávají při určování sledu akcí, které by vedly ke správné odpovědi.

Někdy je obtížné určit její typ na základě vzhledu rovnice. A bez znalosti typu rovnice je téměř nemožné vybrat tu správnou z několika desítek trigonometrických vzorců.

Chcete-li vyřešit goniometrickou rovnici, musíte zkusit:

1. přiveďte všechny funkce zahrnuté v rovnici do „stejných úhlů“;
2. převést rovnici na „identické funkce“;
3. faktor levá strana rovnice atd.

Uvažujme základní metody řešení goniometrických rovnic.

I. Redukce na nejjednodušší goniometrické rovnice

Schéma řešení

Krok 1 Vyjádřete goniometrickou funkci pomocí známých složek.

Krok 2 Najděte argument funkce pomocí vzorců:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Krok 3 Najděte neznámou proměnnou.

Příklad.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Řešení.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Odpověď: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Variabilní náhrada

Schéma řešení

Krok 1 Redukujte rovnici do algebraického tvaru s ohledem na jednu z goniometrických funkcí.

Krok 2 Výslednou funkci označíme proměnnou t (v případě potřeby zaveďte omezení na t).

Krok 3 Výslednou algebraickou rovnici zapište a vyřešte.

Krok 4. Proveďte zpětnou výměnu.

Krok 5. Vyřešte nejjednodušší goniometrickou rovnici.

Příklad.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Řešení.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2 sin 2 (x/2) + 5 sin (x/2) + 3 = 0.

2) Nechť sin (x/2) = t, kde |t| ≤ 1.

3) 2t2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 nebo e = -3/2, nesplňuje podmínku |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Odpověď: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda redukce pořadí rovnic

Schéma řešení

Krok 1 Nahraďte tuto rovnici lineární pomocí vzorce pro snížení stupně:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Krok 2 Výslednou rovnici řešte metodami I a II.

Příklad.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Řešení.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Odpověď: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogenní rovnice

Schéma řešení

Krok 1 Zredukujte tuto rovnici do tvaru

a) a sin x + b cos x = 0 (homogenní rovnice prvního stupně)

nebo do výhledu

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogenní rovnice druhého stupně).

Krok 2 Vydělte obě strany rovnice

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

a získejte rovnici pro tan x:

a) tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Krok 3Řešte rovnici pomocí známých metod.

Příklad.

5sin 2 x + 3 sin x cos x – 4 = 0.

Řešení.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3 sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3 tg x – 4 = 0.

3) Nechť tg x = t, pak

t2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 nebo t = -4, což znamená

tg x = 1 nebo tg x = -4.

Z první rovnice x = π/4 + πn, n Є Z; z druhé rovnice x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Odpověď: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda transformace rovnice pomocí goniometrických vzorců

Schéma řešení

Krok 1 Pomocí všech možných goniometrických vzorců zredukujte tuto rovnici na rovnici řešenou metodami I, II, III, IV.

Krok 2 Výslednou rovnici řešte známými metodami.

Příklad.

hřích x + hřích 2x + hřích 3x = 0.

Řešení.

1) (hřích x + hřích 3x) + hřích 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 nebo 2cos x + 1 = 0;

Z první rovnice 2x = π/2 + πn, n Є Z; z druhé rovnice cos x = -1/2.

Máme x = π/4 + πn/2, n Є Z; z druhé rovnice x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

V důsledku toho x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Odpověď: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Schopnost a dovednost řešit goniometrické rovnice je velmi důležité, jejich rozvoj vyžaduje značné úsilí, jak ze strany studenta, tak ze strany učitele.

Mnoho problémů stereometrie, fyziky atd. je spojeno s řešením goniometrických rovnic Proces řešení takových problémů ztělesňuje mnoho znalostí a dovedností, které se získávají studiem prvků trigonometrie.

Goniometrické rovnice zaujímají důležité místo v procesu učení matematiky a osobního rozvoje obecně.

Stále máte otázky? Nevíte, jak řešit goniometrické rovnice?
Chcete-li získat pomoc od lektora -.
První lekce je zdarma!

blog.site, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.

Goniometrické rovnice nejsou jednoduché téma. Jsou příliš rozmanité.) Například tyto:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = postýlka(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

A podobně...

Ale tyto (a všechny ostatní) trigonometrické příšery mají dva společné a povinné rysy. Za prvé - nebudete tomu věřit - v rovnicích jsou goniometrické funkce.) Za druhé: všechny výrazy s x jsou nalezeny v rámci těchto stejných funkcí. A jedině tam! Pokud se někde objeví X mimo, Například, hřích2x + 3x = 3, toto již bude rovnice smíšeného typu. Takové rovnice vyžadují individuální přístup. Nebudeme je zde uvažovat.

Ani v této lekci nebudeme řešit zlé rovnice.) Zde se budeme zabývat nejjednodušší goniometrické rovnice. Proč? Ano, protože řešení žádný goniometrické rovnice se skládají ze dvou stupňů. V první fázi je rovnice zla redukována na jednoduchou pomocí různých transformací. Ve druhém je tato nejjednodušší rovnice vyřešena. Jinak v žádném případě.

Takže pokud máte problémy ve druhé fázi, první fáze nedává moc smysl.)

Jak vypadají elementární goniometrické rovnice?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Zde A znamená libovolné číslo. Žádný.

Mimochodem, uvnitř funkce nemusí být čisté X, ale nějaký druh výrazu, jako:

cos(3x+π /3) = 1/2

a podobně. To komplikuje život, ale neovlivňuje způsob řešení goniometrické rovnice.

Jak řešit goniometrické rovnice?

Goniometrické rovnice lze řešit dvěma způsoby. První způsob: pomocí logiky a trigonometrické kružnice. Na tuto cestu se podíváme zde. Druhý způsob – pomocí paměti a vzorců – bude probrán v další lekci.

První způsob je jasný, spolehlivý a těžko se na něj zapomíná.) Hodí se na řešení goniometrických rovnic, nerovnic a všelijakých záludných nestandardních příkladů. Logika je silnější než paměť!)

Řešení rovnic pomocí trigonometrické kružnice.

Zařazujeme elementární logiku a schopnost používat trigonometrický kruh. Nevíte jak? Nicméně... V trigonometrii to budete mít těžké...) Ale to nevadí. Podívejte se na lekce "Trigonometrický kruh...... Co to je?" a "Měření úhlů na trigonometrické kružnici." Všechno je tam jednoduché. Na rozdíl od učebnic...)

Oh, víš!? A dokonce zvládl „Praktická práce s trigonometrickým kruhem“!? Gratuluji. Toto téma vám bude blízké a srozumitelné.) Potěší především to, že trigonometrickému kruhu je jedno, jakou rovnici řešíte. Sinus, kosinus, tangens, kotangens - všechno je pro něj stejné. Existuje pouze jeden princip řešení.

Vezmeme tedy libovolnou elementární goniometrickou rovnici. Alespoň toto:

cosx = 0,5

Musíme najít X. Mluvit lidskou řečí, potřebujete najděte úhel (x), jehož kosinus je 0,5.

Jak jsme dříve používali kruh? Nakreslili jsme na něj úhel. Ve stupních nebo radiánech. A hned viděl goniometrické funkce tohoto úhlu. Nyní udělejme opak. Nakreslete na kružnici kosinus rovný 0,5 a hned uvidíme roh. Nezbývá než odpověď zapsat.) Ano, ano!

Nakreslete kružnici a označte kosinus rovný 0,5. Na kosinusové ose, samozřejmě. Takhle:

Nyní nakreslíme úhel, který nám tento kosinus dává. Najeďte myší na obrázek (nebo se dotkněte obrázku na tabletu) a uvidíš právě tento roh X.

Kosinus kterého úhlu je 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Někteří lidé se budou skepticky smát, ano... Jako, stálo to za to dělat kroužek, když už je všechno jasné... Můžete se samozřejmě smát...) Ale faktem je, že to je chybná odpověď. Nebo spíše nedostatečné. Kruhoví fajnšmekři chápou, že je zde celá řada dalších úhlů, které také dávají kosinus 0,5.

Pokud otočíte pohyblivou stranou OA plný obrat, bod A se vrátí do původní polohy. Se stejným kosinusem rovným 0,5. Tito. úhel se změní o 360° nebo 2π radiány a kosinus - ne. Nový úhel 60° + 360° = 420° bude také řešením naší rovnice, protože

Takových úplných otáček lze provést nekonečné množství... A všechny tyto nové úhly budou řešením naší goniometrické rovnice. A všechny je třeba nějak zapsat jako odpověď. Vše. Jinak se rozhodnutí nepočítá, ano...)

Matematika to umí jednoduše a elegantně. Napište jednu stručnou odpověď nekonečná množina rozhodnutí. Takto to vypadá pro naši rovnici:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

já to rozluštím. Ještě pište smysluplně Je to příjemnější než hloupě kreslit nějaká tajemná písmena, že?)

π /3 - to je stejný roh jako my viděl na kruhu a určeno podle tabulky cosinus.

2π je jedna úplná revoluce v radiánech.

n - jedná se o počet úplných, tzn. celý ot./min To je jasné n může být rovna 0, ±1, ±2, ±3.... a tak dále. Jak naznačuje krátký záznam:

n ∈ Z

n patří ( ∈ ) sada celých čísel ( Z ). Mimochodem, místo dopisu n písmena lze dobře použít k, m, t atd.

Tento zápis znamená, že můžete vzít libovolné celé číslo n . Alespoň -3, alespoň 0, alespoň +55. Cokoli chcete. Pokud toto číslo dosadíte do odpovědi, získáte konkrétní úhel, který bude určitě řešením naší drsné rovnice.)

Nebo jinými slovy, x = π /3 je jediným kořenem nekonečné množiny. K získání všech ostatních kořenů stačí přidat libovolný počet plných otáček k π /3 ( n ) v radiánech. Tito. 2πn radián.

Vše? Žádný. Záměrně prodlužuji potěšení. Abychom si to lépe zapamatovali.) Dostali jsme pouze část odpovědí na naši rovnici. Tuto první část řešení napíšu takto:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - nejen jeden kořen, ale celá řada kořenů, zapsaných ve zkrácené formě.

Existují ale také úhly, které také dávají kosinus 0,5!

Vraťme se k našemu obrázku, ze kterého jsme odepsali odpověď. Tady to je:

Najeďte myší na obrázek a vidíme jiný úhel také dává kosinus 0,5.Čemu se to podle vás rovná? Trojúhelníky jsou stejné... Ano! Rovná se úhlu X , pouze se zpožděním v negativním směru. Tohle je roh -X. Ale už jsme spočítali x. π /3 nebo 60°. Můžeme tedy bezpečně napsat:

x 2 = - π /3

No, samozřejmě, přidáme všechny úhly, které jsou získány plnými otáčkami:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

To je nyní vše.) Na trigonometrickém kruhu my viděl(kdo tomu rozumí, samozřejmě)) Všeúhly, které dávají kosinus 0,5. A tyto úhly jsme zapsali do krátké matematické formy. Odpověď vyústila ve dvě nekonečné řady kořenů:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Toto je správná odpověď.

Naděje, obecný princip řešení goniometrických rovnic použití kruhu je jasné. Kosinus (sinus, tangens, kotangens) z dané rovnice označíme na kružnici, narýsujeme jemu odpovídající úhly a zapíšeme odpověď. Samozřejmě musíme zjistit, jaké jsme rohy viděl na kruhu. Někdy to není tak zřejmé. No, řekl jsem, že tady je nutná logika.)

Podívejme se například na jinou goniometrickou rovnici:

Vezměte prosím v úvahu, že číslo 0,5 není jediné možné číslo v rovnicích!) Jen je pro mě pohodlnější ho psát než odmocniny a zlomky.

Pracujeme podle obecného principu. Nakreslíme kružnici, označíme (na sinusové ose, samozřejmě!) 0,5. Nakreslíme všechny úhly odpovídající tomuto sinusu najednou. Dostáváme tento obrázek:

Nejprve se vypořádáme s úhlem X v prvním čtvrtletí. Připomeneme si tabulku sinů a určíme hodnotu tohoto úhlu. Je to jednoduchá záležitost:

x = π /6

Pamatujeme na plné otáčky a s čistým svědomím zapisujeme první sérii odpovědí:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Polovina práce je hotová. Ale teď se musíme rozhodnout druhý roh... Je to složitější než používat kosiny, ano... Ale logika nás zachrání! Jak určit druhý úhel přes x? Je to snadné! Trojúhelníky na obrázku jsou stejné a červený roh X rovný úhlu X . Pouze se počítá od úhlu π v záporném směru. Proto je červená.) A pro odpověď potřebujeme úhel, správně změřený, od kladné poloosy OX, tzn. z úhlu 0 stupňů.

Najedeme kurzorem na kresbu a vše vidíme. První roh jsem odstranil, abych nekomplikoval obraz. Úhel, který nás zajímá (nakreslený zeleně), se bude rovnat:

π - x

X to víme π /6 . Druhý úhel tedy bude:

π - π /6 = 5π /6

Znovu si pamatujeme na přidání plných otáček a zapište si druhou sérii odpovědí:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

To je vše. Úplná odpověď se skládá ze dvou řad kořenů:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Rovnice tečny a kotangens lze snadno řešit pomocí stejného obecného principu pro řešení goniometrických rovnic. Pokud samozřejmě víte, jak nakreslit tečnu a kotangens na trigonometrické kružnici.

Ve výše uvedených příkladech jsem použil tabulkovou hodnotu sinus a kosinus: 0,5. Tito. jeden z těch významů, které student zná povinný. Nyní rozšíříme naše schopnosti na všechny ostatní hodnoty. Rozhodněte se, tak se rozhodněte!)

Řekněme tedy, že potřebujeme vyřešit tuto trigonometrickou rovnici:

V krátkých tabulkách taková kosinusová hodnota není. Tuto hroznou skutečnost chladně ignorujeme. Nakreslete kružnici, označte 2/3 na ose kosinus a nakreslete odpovídající úhly. Dostáváme tento obrázek.

Podívejme se nejprve na úhel v prvním čtvrtletí. Kdybychom věděli, čemu se x rovná, hned bychom odpověď zapsali! Nevíme... Neúspěch!? Uklidnit! Matematika nenechává své vlastní lidi v nesnázích! Pro tento případ přišla s obloukovými kosiny. nevím? Nadarmo. Zjistěte, je to mnohem jednodušší, než si myslíte. Na tomto odkazu není jediné záludné kouzlo o „inverzních goniometrických funkcích“... To je v tomto tématu zbytečné.

Pokud víte, řekněte si: "X je úhel, jehož kosinus se rovná 2/3." A okamžitě, čistě podle definice arc cosinus, můžeme napsat:

Vzpomeneme si na další otáčky a klidně si zapíšeme první řadu kořenů naší goniometrické rovnice:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Druhá řada kořenů pro druhý úhel je téměř automaticky zapsána. Vše je stejné, pouze X (arccos 2/3) bude s mínusem:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

A je to! Toto je správná odpověď. Ještě jednodušší než s tabulkovými hodnotami. Není potřeba si nic pamatovat.) Mimochodem, ti nejpozornější si všimnou, že tento obrázek ukazuje řešení přes arkuskosinus v podstatě se neliší od obrázku pro rovnici cosx = 0,5.

Přesně tak! Obecný princip je právě takový! Schválně jsem nakreslil dva téměř stejné obrázky. Kruh nám ukazuje úhel X svým kosinusem. Zda se jedná o tabulkový kosinus nebo ne, není každému známo. Jaký druh úhlu to je, π /3 nebo co je arkus kosinus - to je na nás, abychom se rozhodli.

Stejná píseň se sinusem. Například:

Znovu nakreslete kruh, označte sinus rovný 1/3, nakreslete úhly. Toto je obrázek, který dostaneme:

A opět je obrázek téměř stejný jako u rovnice sinx = 0,5. Opět začínáme v první čtvrtině z rohu. Čemu se rovná X, je-li jeho sinus 1/3? Žádná otázka!

Nyní je první balíček kořenů připraven:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Pojďme se zabývat druhým úhlem. V příkladu s hodnotou tabulky 0,5 se rovnalo:

π - x

I tady to bude úplně stejné! Pouze x je jiné, arcsin 1/3. No a co!? Druhý balíček kořenů si můžete bezpečně zapsat:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Toto je zcela správná odpověď. I když to nevypadá moc povědomě. Ale to je jasné, doufám.)

Takto se řeší goniometrické rovnice pomocí kruhu. Tato cesta je jasná a srozumitelná. Právě on šetří v goniometrických rovnicích s výběrem kořenů na daném intervalu, v goniometrických nerovnicích - ty se obecně řeší téměř vždy v kruhu. Zkrátka v jakýchkoliv úkolech, které jsou o něco těžší než standardní.

Aplikujeme znalosti v praxi?)

Řešte goniometrické rovnice:

Za prvé, jednodušší, přímo z této lekce.

Teď je to složitější.

Nápověda: zde budete muset přemýšlet o kruhu. Osobně.)

A teď jsou navenek jednoduché... Říká se jim také speciální případy.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Nápověda: zde je třeba v kruhu zjistit, kde jsou dvě řady odpovědí a kde jedna... A jak napsat jednu místo dvou sérií odpovědí. Ano, aby se neztratil ani jeden kořen z nekonečného počtu!)

No, velmi jednoduché):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Tip: Zde potřebujete vědět, co je arcsinus a arckosin? Co je arkustangens, arkustangens? Nejjednodušší definice. Nemusíte si ale pamatovat žádné tabulkové hodnoty!)

Odpovědi jsou samozřejmě zmatek):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Ne všechno se daří? Stává se. Přečtěte si lekci znovu. Pouze zamyšleně(je tam takové zastaralé slovo...) A sledujte odkazy. Hlavní odkazy jsou o kruhu. Bez ní je trigonometrie jako přecházet silnici se zavázanýma očima. Někdy to funguje.)

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Pojďme se učit - se zájmem!)

Můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

Koncepce řešení goniometrických rovnic.

Chcete-li vyřešit goniometrickou rovnici, převeďte ji na jednu nebo více základních goniometrických rovnic. Řešení goniometrické rovnice nakonec vede k řešení čtyř základních goniometrických rovnic.

Řešení základních goniometrických rovnic.

Existují 4 typy základních goniometrických rovnic:
sin x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
Řešení základních goniometrických rovnic zahrnuje pohled na různé pozice x na jednotkové kružnici a také použití převodní tabulky (nebo kalkulačky).
Příklad 1. sin x = 0,866. Pomocí převodní tabulky (nebo kalkulačky) dostanete odpověď: x = π/3. Jednotková kružnice dává jinou odpověď: 2π/3. Pamatujte: všechny goniometrické funkce jsou periodické, což znamená, že jejich hodnoty se opakují. Například periodicita sin x a cos x je 2πn a periodicita tg x a ctg x je πn. Proto je odpověď napsána takto:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Příklad 2. cos x = -1/2. Pomocí převodní tabulky (nebo kalkulačky) dostanete odpověď: x = 2π/3. Jednotková kružnice dává jinou odpověď: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Příklad 3. tg (x - π/4) = 0.
Odpověď: x = π/4 + πn.
Příklad 4. ctg 2x = 1,732.
Odpověď: x = π/12 + πn.

Transformace používané při řešení goniometrických rovnic.

K transformaci goniometrických rovnic se používají algebraické transformace (faktorizace, redukce homogenních členů atd.) a goniometrické identity.
Příklad 5: Pomocí goniometrických identit se rovnice sin x + sin 2x + sin 3x = 0 převede na rovnici 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Tedy následující základní goniometrické rovnice potřeba vyřešit: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Hledání úhlů pomocí známých funkčních hodnot.
- Než se naučíte řešit goniometrické rovnice, musíte se naučit najít úhly pomocí známých funkčních hodnot. To lze provést pomocí převodní tabulky nebo kalkulačky.
- Příklad: cos x = 0,732. Kalkulačka dá odpověď x = 42,95 stupňů. Jednotková kružnice poskytne další úhly, jejichž kosinus je také 0,732.
Odložte roztok na jednotkovém kruhu.
- Řešení trigonometrické rovnice můžete vykreslit na jednotkové kružnici. Řešením trigonometrické rovnice na jednotkové kružnici jsou vrcholy pravidelného mnohoúhelníku.
- Příklad: Řešení x = π/3 + πn/2 na jednotkové kružnici představují vrcholy čtverce.
- Příklad: Řešení x = π/4 + πn/3 na jednotkové kružnici představují vrcholy pravidelného šestiúhelníku.
Metody řešení goniometrických rovnic.
- Pokud daná goniometrická rovnice obsahuje pouze jednu goniometrickou funkci, řešte tuto rovnici jako základní goniometrickou rovnici. Pokud daná rovnice obsahuje dvě nebo více goniometrických funkcí, pak existují 2 metody řešení takové rovnice (v závislosti na možnosti její transformace).
  - Metoda 1.
- Převeďte tuto rovnici do rovnice ve tvaru: f(x)*g(x)*h(x) = 0, kde f(x), g(x), h(x) jsou základní goniometrické rovnice.
- Příklad 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Řešení. Pomocí vzorce s dvojitým úhlem sin 2x = 2*sin x*cos x nahraďte sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Nyní vyřešte dvě základní goniometrické rovnice: cos x = 0 a (sin x + 1) = 0.
- Příklad 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Řešení: Pomocí goniometrických identit převeďte tuto rovnici do rovnice ve tvaru: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Nyní vyřešte dvě základní goniometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2cos x + 1) = 0.
- Příklad 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- Řešení: Pomocí goniometrických identit převeďte tuto rovnici do rovnice ve tvaru: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Nyní vyřešte dvě základní goniometrické rovnice: cos 2x = 0 a (2sin x + 1) = 0 .
  - Metoda 2.
- Převeďte danou goniometrickou rovnici na rovnici obsahující pouze jednu goniometrickou funkci. Pak tuto goniometrickou funkci nahraďte nějakou neznámou, například t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t atd.).
- Příklad 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Řešení. V této rovnici nahraďte (cos^2 x) (1 - sin^2 x) (podle identity). Transformovaná rovnice je:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Sin x nahraďte t. Nyní rovnice vypadá takto: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Toto je kvadratická rovnice, která má dva kořeny: t1 = -1 a t2 = 9/5. Druhý kořen t2 nesplňuje funkční rozsah (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Příklad 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Řešení. Nahraďte tg x za t. Přepište původní rovnici takto: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Nyní najděte t a potom najděte x pro t = tan x.

Složitější goniometrické rovnice

Rovnice

hřích x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

jsou nejjednodušší goniometrické rovnice. V této části se na konkrétních příkladech podíváme na složitější goniometrické rovnice. Jejich řešení zpravidla spočívá v řešení nejjednodušších goniometrických rovnic.

Příklad 1 . Vyřešte rovnici

hřích 2 X= cos X hřích 2 x.

Přenesením všech členů této rovnice na levou stranu a faktorizací výsledného výrazu získáme:

hřích 2 X(1 - cos X) = 0.

Součin dvou výrazů je roven nule právě tehdy, když je alespoň jeden z faktorů roven nule a druhý má libovolnou číselnou hodnotu, pokud je definována.

Li hřích 2 X = 0 , pak 2 X= n π ; X = π / 2n.

Li 1 - cos X = 0 , pak cos X = 1; X = 2 tisπ .

Máme tedy dvě skupiny kořenů: X = π / 2n; X = 2 tisπ . Druhá skupina kořenů je zjevně obsažena v první, protože pro n = 4k je výraz X = π / 2n apeluje na
X = 2 tisπ .

Odpověď lze tedy napsat jedním vzorcem: X = π / 2n, Kde n- libovolné celé číslo.

Všimněte si, že tuto rovnici nelze vyřešit redukcí o sin 2 x. Po redukci bychom skutečně dostali 1 - cos x = 0, odkud X= 2 tis π . Přišli bychom tedy například o některé kořeny π / 2 , π , 3π / 2 .

Příklad 2 Vyřešte rovnici

Zlomek je roven nule pouze tehdy, je-li jeho čitatel roven nule.
Proto hřích 2 X = 0 , odkud 2 X= n π ; X = π / 2n.

Z těchto hodnot X musíte vyhodit jako cizí ty hodnoty, při kterých hříchX jde k nule (zlomky s nulovými jmenovateli nemají žádný význam: dělení nulou není definováno). Tyto hodnoty jsou čísla, která jsou násobky π . Ve vzorci
X = π / 2n získávají se za sudé n. Kořeny této rovnice tedy budou čísla

X = π / 2 (2000 + 1),

kde k je libovolné celé číslo.

Příklad 3 . Vyřešte rovnici

2 hřích 2 X+ 7 korun x - 5 = 0.

Pojďme se vyjádřit hřích 2 X přes cosx : hřích 2 X = 1 - cos 2x . Potom lze tuto rovnici přepsat jako

2 (1 - cos 2 x) + 7 cos x - 5 = 0 nebo

2cos 2 x- 7 cos x + 3 = 0.

Určení cosx přes na, dojdeme ke kvadratické rovnici

2у 2 – 7у + 3 = 0,

jejichž kořeny jsou čísla 1/2 a 3. To znamená, že buď cos x= 1/2 nebo cos X= 3. To druhé je však nemožné, protože kosinus libovolného úhlu nepřesahuje 1 v absolutní hodnotě.

Nezbývá než si to přiznat cos x = 1 / 2 , kde

x = ± 60° + 360° n.

Příklad 4 . Vyřešte rovnici

2 hřích X+ 3 cos x = 6.

Od hříchu x a cos x v absolutní hodnotě nepřesahují 1, pak výraz
2 hřích X+ 3 cos x nemůže nabývat hodnot větších než 5 . Proto tato rovnice nemá kořeny.

Příklad 5 . Vyřešte rovnici

hřích X+ cos x = 1

Umocněním obou stran této rovnice dostaneme:

hřích 2 X+ 2 hřích x cos x+ co 2 x = 1,

Ale hřích 2 X + protože 2 x = 1 . Proto 2 hřích x cos x = 0 . Li hřích x = 0 , To X = nπ ; -li
cos x , To X = π / 2 + kπ . Tyto dvě skupiny řešení lze zapsat do jednoho vzorce:

X = π / 2n

Protože jsme odmocnili obě strany této rovnice, je možné, že mezi kořeny, které jsme získali, jsou cizí kořeny. Proto je v tomto příkladu, na rozdíl od všech předchozích, nutné provést kontrolu. Všechny významy

X = π / 2n lze rozdělit do 4 skupin

	1) X = 2kπ .	(n = 4k)
	2) X *= π /* 2** + 2kπ .	(n = 4k + 1)
	3) X = π + 2kπ .	(n = 4k + 2)
	4) X *= 3π /* 2** + 2kπ .	(n = 4k + 3)

Na X = 2kπ hřích x+ cos x= 0 + 1 = 1. Proto X = 2kπ jsou kořeny této rovnice.

Na X = π / 2 + 2kπ. hřích x+ cos x= 1 + 0 = 1 Takže X = π / 2 + 2kπ- také kořeny této rovnice.

Na X = π + 2kπ hřích x+ cos x= 0 - 1 = - 1. Proto hodnoty X = π + 2kπ nejsou kořeny této rovnice. Podobně se ukazuje, že X = 3π / 2 + 2kπ. nejsou kořeny.

Tato rovnice má tedy následující kořeny: X = 2kπ A X = π / 2 + 2 mπ., Kde k A m- libovolná celá čísla.

Vyžaduje znalost základních vzorců trigonometrie - součet druhých mocnin sinu a kosinu, vyjádření tečny přes sinus a kosinus a další. Pro ty, kteří je zapomněli nebo je neznají, doporučujeme přečíst si článek "".
Základní trigonometrické vzorce tedy známe, je čas je využít v praxi. Řešení goniometrických rovnic se správným přístupem je to docela vzrušující činnost, jako například luštění Rubikovy kostky.

Již ze samotného názvu je zřejmé, že goniometrická rovnice je rovnice, ve které je neznámá pod znaménkem goniometrické funkce.
Existují tzv. nejjednodušší goniometrické rovnice. Takto vypadají: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Uvažujme jak řešit takové goniometrické rovnice, pro názornost použijeme již známý trigonometrický kruh.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

postýlka x = a

Jakákoli goniometrická rovnice se řeší ve dvou fázích: rovnici zredukujeme na její nejjednodušší tvar a poté ji vyřešíme jako jednoduchou goniometrickou rovnici.
Existuje 7 hlavních metod, kterými se goniometrické rovnice řeší.

Variabilní substituce a substituční metoda

Vyřešte rovnici 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

Pomocí redukčních vzorců dostaneme:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Nahraďte cos(x + /6) y, abyste zjednodušili a získali obvyklou kvadratickou rovnici:

2 roky 2 – 3 roky + 1 + 0

Jejich kořeny jsou y 1 = 1, y 2 = 1/2

Nyní pojďme v opačném pořadí

Dosadíme nalezené hodnoty y a dostaneme dvě možnosti odpovědi:

Řešení goniometrických rovnic pomocí faktorizace

Jak vyřešit rovnici sin x + cos x = 1?

Posuňte vše doleva tak, aby 0 zůstala vpravo:

sin x + cos x – 1 = 0

Použijme výše uvedené identity pro zjednodušení rovnice:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Pojďme faktorizovat:

2 sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Dostáváme dvě rovnice

Redukce na homogenní rovnici

Rovnice je homogenní s ohledem na sinus a kosinus, pokud jsou všechny její členy relativní k sinu a kosinu stejné mocniny stejného úhlu. Chcete-li vyřešit homogenní rovnici, postupujte takto:

a) převést všechny své členy na levou stranu;

b) vyjmout všechny společné faktory ze závorek;

c) přirovnat všechny faktory a závorky k 0;

d) v závorkách je získána homogenní rovnice nižšího stupně, která je dále rozdělena na sinus nebo kosinus vyššího stupně;

e) řeš výslednou rovnici pro tg.

Vyřešte rovnici 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Použijme vzorec sin 2 x + cos 2 x = 1 a zbavme se otevřené dvojky vpravo:

3 sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Vydělit cos x:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Nahraďte tan x za y a získáte kvadratickou rovnici:

y 2 + 4y +3 = 0, jejichž kořeny jsou y 1 = 1, y 2 = 3

Odtud najdeme dvě řešení původní rovnice:

x 2 = arctan 3 + k

Řešení rovnic přechodem do polovičního úhlu

Vyřešte rovnici 3sin x – 5cos x = 7

Pojďme na x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Přesuneme vše doleva:

2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Vydělit cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3 tg (x/2) + 6 = 0

Zavedení pomocného úhlu

Pro zvážení si vezměme rovnici ve tvaru: a sin x + b cos x = c,

kde a, b, c jsou nějaké libovolné koeficienty a x je neznámá.

Vydělme obě strany rovnice takto:

Nyní mají koeficienty rovnice podle goniometrických vzorců vlastnosti sin a cos, totiž: jejich modul není větší než 1 a součet čtverců = 1. Označme je příslušně jako cos a sin, kde - to je tzv. pomocný úhel. Potom bude mít rovnice tvar:

cos * sin x + sin * cos x = C

nebo sin(x + ) = C

Řešení této nejjednodušší goniometrické rovnice je

x = (-1) k * arcsin C - + k, kde