Funkční výzkum a grafická kalkulačka. Úplná kontrola funkce a vykreslení grafu

Vyžaduje-li úloha úplné prostudování funkce f (x) = x 2 4 x 2 - 1 s konstrukcí jejího grafu, pak se budeme tímto principem podrobně zabývat.

Chcete-li vyřešit problém tohoto typu, měli byste použít vlastnosti a grafy základních elementárních funkcí. Výzkumný algoritmus zahrnuje následující kroky:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Hledání domény definice

Protože se výzkum provádí v oblasti definice funkce, je nutné začít tímto krokem.

Příklad 1

Uvedený příklad zahrnuje nalezení nul ve jmenovateli za účelem jejich vyloučení z ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; +∞

V důsledku toho můžete získat kořeny, logaritmy a tak dále. Pak lze ODZ hledat odmocninu sudého stupně typu g (x) 4 pomocí nerovnosti g (x) ≥ 0, pro logaritmus log a g (x) pomocí nerovnosti g (x) > 0.

Studium hranic ODZ a hledání vertikálních asymptot

Na hranicích funkce jsou vertikální asymptoty, kdy jednostranné limity v takových bodech jsou nekonečné.

Příklad 2

Uvažujme například hraniční body rovné x = ± 1 2.

Poté je nutné funkci prostudovat k nalezení jednostranné limity. Pak dostaneme, že: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

To ukazuje, že jednostranné limity jsou nekonečné, což znamená, že přímky x = ± 1 2 jsou vertikální asymptoty grafu.

Studium funkce a zda je sudá nebo lichá

Když je splněna podmínka y (- x) = y (x), funkce je považována za sudou. To naznačuje, že graf je umístěn symetricky vzhledem k Oy. Když je splněna podmínka y (- x) = - y (x), funkce je považována za lichou. To znamená, že symetrie je relativní k počátku souřadnic. Není-li splněna alespoň jedna nerovnost, získáme funkci obecného tvaru.

Rovnost y (- x) = y (x) znamená, že funkce je sudá. Při konstrukci je nutné počítat s tím, že bude symetrie vzhledem k Oy.

K vyřešení nerovnosti se používají intervaly zvyšování a snižování s podmínkami f " (x) ≥ 0 a f " (x) ≤ 0, resp.

Definice 1

Stacionární body- to jsou body, které mění derivaci na nulu.

Kritické body- jedná se o vnitřní body z definičního oboru, kde derivace funkce je rovna nule nebo neexistuje.

Při rozhodování je třeba vzít v úvahu následující poznámky:

pro existující intervaly rostoucích a klesajících nerovností tvaru f " (x) > 0 se do řešení nezahrnují kritické body;
body, ve kterých je funkce definována bez konečné derivace, musí být zahrnuty do intervalů rostoucích a klesajících (např. y = x 3, kde bod x = 0 dělá funkci definovanou, derivace má při tomto hodnotu nekonečna bod, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 je zahrnuto do rostoucího intervalu);
Aby se předešlo neshodám, doporučuje se používat matematickou literaturu doporučenou MŠMT.

Zahrnutí kritických bodů do intervalů rostoucích a klesajících, pokud splňují definiční obor funkce.

Definice 2

Pro určení intervalů nárůstu a poklesu funkce, je nutné najít:

derivát;
kritické body;
rozdělit definiční doménu do intervalů pomocí kritických bodů;
určete znaménko derivace na každém z intervalů, kde + je nárůst a - je pokles.

Příklad 3

Najděte derivaci na definičním oboru f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

Řešení

K vyřešení potřebujete:

najděte stacionární body, tento příklad má x = 0;
najděte nuly ve jmenovateli, příklad má hodnotu nula v x = ± 1 2.

Na číselnou osu umístíme body, abychom určili derivaci na každém intervalu. K tomu stačí vzít libovolný bod z intervalu a provést výpočet. Pokud je výsledek kladný, zobrazíme v grafu +, což znamená, že funkce roste a - znamená, že klesá.

Například f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, což znamená, že první interval vlevo má znaménko +. Uvažujme na číselné ose.

Odpověď:

funkce se zvyšuje na intervalu - ∞; - 1 2 a (- 1 2; 0];
dochází k poklesu intervalu [ 0 ; 12) a 12; + ∞ .

V diagramu je pomocí + a - znázorněna pozitivita a negativita funkce a šipky označují pokles a nárůst.

Extrémní body funkce jsou body, kde je funkce definována a přes které derivace mění znaménko.

Příklad 4

Pokud vezmeme v úvahu příklad, kde x = 0, pak hodnota funkce v něm je rovna f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Když se znaménko derivace změní z + na - a prochází bodem x = 0, pak je bod se souřadnicemi (0; 0) považován za maximální bod. Když se znaménko změní z - na +, získáme minimální bod.

Konvexnost a konkávnost jsou určeny řešením nerovnic tvaru f "" (x) ≥ 0 a f "" (x) ≤ 0. Méně běžně používaný je název konvexnost dolů místo konkávnost a konvexnost nahoru místo konvexita.

Definice 3

Pro stanovení intervalů konkávnosti a konvexnosti nutné:

najít druhou derivaci;
najít nuly druhé derivační funkce;
rozdělte definiční oblast na intervaly se zobrazenými body;
určit znaménko intervalu.

Příklad 5

Najděte druhou derivaci z definičního oboru.

Řešení

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Najdeme nuly v čitateli a jmenovateli, kde v našem příkladu platí, že nuly ve jmenovateli x = ± 1 2

Nyní je potřeba vykreslit body na číselné ose a určit znaménko druhé derivace z každého intervalu. Chápeme to

Odpověď:

funkce je konvexní z intervalu - 1 2 ; 12;
funkce je konkávní z intervalů - ∞ ; - 12 a 12; + ∞ .

Definice 4

Inflexní bod– jedná se o bod ve tvaru x 0 ; f (x 0). Když má tečnu ke grafu funkce, pak při průchodu x 0 funkce změní znaménko na opačné.

Jinými slovy, toto je bod, kterým prochází druhá derivace a mění znaménko a v bodech samotných je rovna nule nebo neexistuje. Všechny body jsou považovány za definiční obor funkce.

V příkladu bylo jasné, že neexistují žádné inflexní body, protože druhá derivace mění znaménko při průchodu body x = ± 1 2. Ty zase nejsou zahrnuty do rozsahu definice.

Hledání vodorovných a šikmých asymptot

Když definujete funkci v nekonečnu, musíte hledat vodorovné a šikmé asymptoty.

Definice 5

Šikmé asymptoty jsou znázorněny pomocí přímek daných rovnicí y = k x + b, kde k = lim x → ∞ f (x) x ab = lim x → ∞ f (x) - k x.

Pro k = 0 a b nerovnající se nekonečnu zjistíme, že se šikmá asymptota stává horizontální.

Jinými slovy, asymptoty jsou považovány za čáry, ke kterým se graf funkce blíží v nekonečnu. To usnadňuje rychlou konstrukci funkčního grafu.

Pokud neexistují žádné asymptoty, ale funkce je definována v obou nekonečnech, je nutné vypočítat limitu funkce v těchto nekonečnech, abychom pochopili, jak se bude graf funkce chovat.

Příklad 6

Vezměme si to jako příklad

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

je horizontální asymptota. Po prozkoumání funkce můžete začít s její konstrukcí.

Výpočet hodnoty funkce v mezilehlých bodech

Pro zpřesnění grafu se doporučuje najít několik funkčních hodnot v mezilehlých bodech.

Příklad 7

Z příkladu, který jsme uvažovali, je nutné najít hodnoty funkce v bodech x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Protože je funkce sudá, dostaneme, že hodnoty se shodují s hodnotami v těchto bodech, to znamená, že dostaneme x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Pojďme napsat a vyřešit:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Pro určení maxima a minima funkce, inflexních bodů a mezilehlých bodů je nutné sestrojit asymptoty. Pro pohodlné označení jsou zaznamenány intervaly zvyšování, snižování, konvexnosti a konkávnosti. Podívejme se na obrázek níže.

Vyznačenými body je nutné kreslit čáry grafu, což vám umožní přiblížit se k asymptotám podle šipek.

Tím je úplný průzkum funkce ukončen. Existují případy konstrukce některých elementárních funkcí, pro které se používají geometrické transformace.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Referenčními body při studiu funkcí a sestavování jejich grafů jsou charakteristické body - body nespojitosti, extrému, inflexe, průsečíku se souřadnicovými osami. Pomocí diferenciálního počtu je možné stanovit charakteristické rysy změn funkcí: nárůst a pokles, maxima a minima, směr konvexnosti a konkávnosti grafu, přítomnost asymptot.

Náčrt grafu funkce lze (a měl by) nakreslit po nalezení asymptot a extrémních bodů a v průběhu studie je vhodné vyplnit souhrnnou tabulku studia funkce.

Obvykle se používá následující schéma studia funkcí.

1.Najděte definiční obor, intervaly spojitosti a body přerušení funkce.

2.Prozkoumejte funkci na sudost nebo lichost (axiální nebo středová symetrie grafu.

3.Najděte asymptoty (svislé, vodorovné nebo šikmé).

4.Najděte a prostudujte intervaly nárůstu a poklesu funkce, její extrémní body.

5.Najděte intervaly konvexnosti a konkávnosti křivky, její inflexní body.

6.Najděte průsečíky křivky se souřadnicovými osami, pokud existují.

7.Sestavte souhrnnou tabulku studie.

8.Sestaví se graf s přihlédnutím ke studiu funkce provedené podle výše popsaných bodů.

Příklad. Funkce Prozkoumat

a vytvořte jeho graf.

7. Sestavme si souhrnnou tabulku pro studium funkce, kam zadáme všechny charakteristické body a intervaly mezi nimi. Vezmeme-li v úvahu paritu funkce, získáme následující tabulku:

		Vlastnosti grafu
[-1, 0[	Rostoucí	Konvexní
		(0; 1) – maximální bod
]0, 1[	Klesající	Konvexní
		Inflexní bod tvoří s osou Vůl tupý úhel

Jak studovat funkci a sestavit její graf?

Zdá se, že začínám chápat duchovně bystrou tvář vůdce světového proletariátu, autora sebraných děl v 55 svazcích... Dlouhá cesta začala základními informacemi o funkce a grafy, a nyní práce na pracovně náročném tématu končí logickým výsledkem – článkem o kompletní studii funkce. Dlouho očekávaný úkol je formulován takto:

Studujte funkci pomocí metod diferenciálního počtu a sestavte její graf na základě výsledků studie

Nebo stručně: prozkoumejte funkci a vytvořte graf.

Proč zkoumat? V jednoduchých případech pro nás nebude těžké pochopit elementární funkce, nakreslit graf získaný pomocí elementární geometrické transformace atd. Vlastnosti a grafické znázornění složitějších funkcí však zdaleka nejsou zřejmé, a proto je potřeba celá studie.

Hlavní kroky řešení jsou shrnuty v referenčním materiálu Schéma funkční studie, toto je váš průvodce sekcí. Figurky potřebují podrobné vysvětlení tématu, někteří čtenáři nevědí, kde začít nebo jak uspořádat svůj výzkum, a pokročilé studenty může zajímat jen pár bodů. Ale ať jste kdokoli, milý návštěvníku, navrhované shrnutí s ukazateli na různé lekce vás rychle zorientuje a navede ve směru zájmu. Roboti roní slzy =) Manuál byl sestaven jako soubor pdf a zaujal své právoplatné místo na stránce Matematické vzorce a tabulky.

Jsem zvyklý rozdělit výzkum funkce do 5-6 bodů:

6) Další body a graf na základě výsledků výzkumu.

Pokud jde o závěrečnou akci, myslím, že je všem jasné - bude velkým zklamáním, pokud bude během několika sekund přeškrtnuta a úkol se vrátí k přepracování. SPRÁVNÝ A PŘESNÝ NÁKRES je hlavním výsledkem řešení! Pravděpodobně „zakryje“ analytické chyby, zatímco nesprávný a/nebo nedbalý harmonogram způsobí problémy i při dokonale provedené studii.

Je třeba poznamenat, že v jiných zdrojích se počet výzkumných bodů, pořadí jejich implementace a styl designu mohou výrazně lišit od mnou navrženého schématu, ale ve většině případů je to zcela dostačující. Nejjednodušší verze problému se skládá pouze ze 2-3 fází a je formulována asi takto: „prozkoumejte funkci pomocí derivace a sestavte graf“ nebo „prozkoumejte funkci pomocí 1. a 2. derivace, sestavte graf“.

Samozřejmě, pokud váš manuál podrobně popisuje jiný algoritmus nebo váš učitel striktně vyžaduje, abyste se drželi jeho přednášek, pak budete muset provést určité úpravy řešení. Není to složitější než vyměnit vidlici motorové pily za lžíci.

Zkontrolujeme funkci pro sudé/liché:

Následuje vzorová odpověď:
, což znamená, že tato funkce není sudá ani lichá.

Protože funkce je spojitá na , neexistují žádné vertikální asymptoty.

Nejsou zde ani šikmé asymptoty.

Poznámka : Připomínám, že čím vyšší růstový řád, než , tedy konečný limit je přesně „ plus nekonečno."

Pojďme zjistit, jak se funkce chová v nekonečnu:

Jinými slovy, pokud půjdeme doprava, pak graf jde nekonečně daleko nahoru, pokud jdeme doleva, jde nekonečně daleko dolů. Ano, pod jednou položkou jsou také dva limity. Pokud máte potíže s dešifrováním znaků, navštivte prosím lekci o infinitezimální funkce.

Takže funkce neomezené shora A zdola neomezené. Vzhledem k tomu, že nemáme žádné body zlomu, je to jasné funkční rozsah: – také libovolné reálné číslo.

UŽITEČNÁ TECHNICKÁ TECHNIKA

Každá fáze úlohy přináší nové informace o grafu funkce, proto je při řešení vhodné použít jakýsi LAYOUT. Nakreslete na výkres kartézský souřadnicový systém. Co je již známo jistě? Za prvé, graf nemá žádné asymptoty, a proto není potřeba kreslit rovné čáry. Za druhé, víme, jak se funkce chová v nekonečnu. Podle analýzy nakreslíme první aproximaci:

Vezměte prosím na vědomí, že kvůli kontinuita a skutečnost, že graf musí alespoň jednou protnout osu. Nebo možná existuje několik průsečíků?

3) Nuly funkce a intervaly konstantního znaménka.

Nejprve najdeme průsečík grafu se souřadnicovou osou. Je to jednoduché. Je nutné vypočítat hodnotu funkce při:

Jeden a půl nad mořem.

Abychom našli průsečíky s osou (nuly funkce), musíme vyřešit rovnici a zde nás čeká nemilé překvapení:

Na konci číhá volný člen, což úkol značně ztěžuje.

Taková rovnice má alespoň jeden skutečný kořen a nejčastěji je tento kořen iracionální. V nejhorší pohádce na nás čekají tři prasátka. Rovnice je řešitelná pomocí tzv Cardano vzorce, ale poškození papíru je srovnatelné s téměř celou studií. V tomto ohledu je moudřejší pokusit se vybrat alespoň jeden, ať už ústně nebo v konceptu. celý vykořenit. Pojďme zkontrolovat, zda jsou tato čísla:
– nevhodné;
- Existuje!

Tady máte štěstí. V případě neúspěchu můžete také otestovat, a pokud tato čísla nebudou sedět, obávám se, že je velmi malá šance na ziskové řešení rovnice. Pak je lepší bod výzkumu úplně přeskočit – možná se něco vyjasní v posledním kroku, kdy se budou prolamovat další body. A pokud jsou kořeny jasně „špatné“, pak je lepší o intervalech stálosti znaků skromně mlčet a kreslit opatrněji.

Máme však krásný kořen, a tak polynom rozdělíme beze zbytku:

Algoritmus pro dělení polynomu polynomem je podrobně probrán v prvním příkladu lekce Komplexní limity.

Výsledkem je levá strana původní rovnice se rozkládá na produkt:

A teď něco málo o zdravém životním stylu. Tomu samozřejmě rozumím kvadratické rovnice je třeba řešit každý den, ale dnes uděláme výjimku: rovnici má dva skutečné kořeny.

Vyneseme nalezené hodnoty na číselnou osu A intervalová metoda Definujme znaménka funkce:

Tedy v intervalech rozvrh je umístěn
pod osou x a v intervalech – nad touto osou.

Zjištění nám umožňují upřesnit naše rozložení a druhá aproximace grafu vypadá takto:

Pamatujte, že funkce musí mít alespoň jedno maximum na intervalu a alespoň jedno minimum na intervalu. Ale zatím nevíme, kolikrát, kde a kdy se bude plán opakovat. Mimochodem, funkce může mít nekonečně mnoho extrémy.

4) Zvyšování, snižování a extrémy funkce.

Pojďme najít kritické body:

Tato rovnice má dva skutečné kořeny. Položme je na číselnou osu a určeme znaménka derivace:

Proto se funkce zvyšuje o a sníží se o .
V okamžiku, kdy funkce dosáhne svého maxima: .
V okamžiku, kdy funkce dosáhne minima: .

Zjištěná fakta nutí naši šablonu do poměrně rigidního rámce:

Netřeba dodávat, že diferenciální počet je mocná věc. Pojďme konečně pochopit tvar grafu:

5) Konvexnost, konkávnost a inflexní body.

Pojďme najít kritické body druhé derivace:

Pojďme definovat znaky:

Graf funkce je konvexní na a konkávní na . Vypočítejme souřadnici inflexního bodu: .

Téměř vše se vyjasnilo.

6) Zbývá najít další body, které vám pomohou přesněji sestavit graf a provést autotest. V tomto případě je jich málo, ale nezanedbáme je:

Udělejme nákres:

Inflexní bod je označen zeleně, další body jsou označeny křížky. Graf kubické funkce je symetrický k jejímu inflexnímu bodu, který je vždy přesně uprostřed mezi maximem a minimem.

Jak úkol postupoval, poskytl jsem tři hypotetické prozatímní výkresy. V praxi stačí nakreslit souřadnicový systém, označit nalezené body a po každém bodu zkoumání v duchu odhadnout, jak by mohl graf funkce vypadat. Pro studenty s dobrou úrovní přípravy nebude obtížné provést takovou analýzu pouze ve své hlavě bez návrhu.

Chcete-li to vyřešit sami:

Příklad 2

Prozkoumejte funkci a vytvořte graf.

Vše je zde rychlejší a zábavnější, přibližná ukázka finálního návrhu na konci lekce.

Studium zlomkových racionálních funkcí odhaluje mnoho tajemství:

Příklad 3

Ke studiu funkce použijte metody diferenciálního počtu a na základě výsledků studie sestrojte její graf.

Řešení: první stupeň studie se nevyznačuje ničím pozoruhodným, s výjimkou díry v definiční oblasti:

1) Funkce je definovaná a spojitá na celé číselné ose kromě bodu, doména definice: .

, což znamená, že tato funkce není sudá ani lichá.

Je zřejmé, že funkce je neperiodická.

Graf funkce představuje dvě souvislé větve umístěné v levé a pravé polorovině – to je snad nejdůležitější závěr bodu 1.

2) Asymptoty, chování funkce v nekonečnu.

a) Pomocí jednostranných limit zkoumáme chování funkce v blízkosti podezřelého bodu, kde by jednoznačně měla být vertikální asymptota:

Funkce skutečně vydrží nekonečná mezera na místě
a přímka (osa) je vertikální asymptota grafika

b) Zkontrolujeme, zda existují šikmé asymptoty:

Ano, je to rovné šikmá asymptota grafika , pokud .

Nemá smysl analyzovat limity, protože je již jasné, že funkce zahrnuje svou šikmou asymptotu neomezené shora A zdola neomezené.

Druhý výzkumný bod přinesl mnoho důležitých informací o funkci. Udělejme si hrubý náčrt:

Závěr č. 1 se týká intervalů konstantního znaménka. V „minus nekonečnu“ je graf funkce jasně umístěn pod osou x a v „plus nekonečnu“ je nad touto osou. Jednostranné limity nám navíc řekly, že jak vlevo, tak vpravo od bodu je funkce také větší než nula. Upozorňujeme, že v levé polorovině musí graf alespoň jednou protnout osu x. V pravé polorovině nesmí být žádné nuly funkce.

Závěr č. 2 je, že funkce se zvyšuje na a nalevo od bodu (jde „zdola nahoru“). Napravo od tohoto bodu se funkce snižuje (jde „shora dolů“). Pravá větev grafu musí mít určitě alespoň jedno minimum. Vlevo nejsou extrémy zaručeny.

Závěr č. 3 poskytuje spolehlivou informaci o konkávnosti grafu v okolí bodu. O konvexitě/konkávnosti v nekonečnech zatím nemůžeme říci nic, protože přímku lze přitlačit k její asymptotě jak shora, tak zdola. Obecně řečeno, existuje analytický způsob, jak to zjistit právě teď, ale tvar grafu bude jasnější v pozdější fázi.

Proč tolik slov? Pro kontrolu následných výzkumných bodů a vyvarování se chyb! Další výpočty by neměly být v rozporu s vyvozenými závěry.

3) Průsečíky grafu se souřadnicovými osami, intervaly konstantního znaménka funkce.

Graf funkce neprotíná osu.

Pomocí intervalové metody určíme znaménka:

, Pokud ;
, Pokud .

Výsledky tohoto bodu jsou plně v souladu se závěrem č. 1. Po každé fázi se podívejte na návrh, v duchu zkontrolujte výzkum a dokončete graf funkce.

V uvažovaném příkladu je čitatel rozdělen člen po členu podle jmenovatele, což je velmi výhodné pro rozlišení:

Ve skutečnosti to již bylo provedeno při hledání asymptot.

– kritický bod.

Pojďme definovat znaky:

zvyšuje o a snižuje se o

V okamžiku, kdy funkce dosáhne minima: .

Ani zde nebyly žádné rozpory se závěrem č. 2 a s největší pravděpodobností jsme na správné cestě.

To znamená, že graf funkce je konkávní v celém definičním oboru.

Skvělé - a nemusíte nic kreslit.

Nejsou zde žádné inflexní body.

Konkávnost je v souladu se závěrem č. 3, navíc naznačuje, že v nekonečnu (tam i tam) se graf funkce nachází vyšší jeho šikmá asymptota.

6) Úkol svědomitě připneme dalšími body. Zde budeme muset tvrdě pracovat, protože z výzkumu známe pouze dva body.

A obrázek, který si mnoho lidí pravděpodobně představovalo už dávno:

Během provádění úkolu musíte pečlivě zajistit, aby mezi fázemi výzkumu nebyly žádné rozpory, ale někdy je situace naléhavá nebo dokonce zoufale slepá. Analýzy se „nesčítají“ – to je vše. V tomto případě doporučuji nouzovou techniku: najdeme co nejvíce bodů, které patří do grafu (tolik trpělivosti, kolik máme), a označíme je na souřadnicové rovině. Grafická analýza nalezených hodnot vám ve většině případů napoví, kde je pravda a kde ne. Navíc lze graf předem sestavit pomocí nějakého programu např. v Excelu (samozřejmě to vyžaduje dovednosti).

Příklad 4

Ke studiu funkce a sestavení jejího grafu použijte metody diferenciálního počtu.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. V něm je sebekontrola posílena paritou funkce - graf je symetrický podle osy, a pokud je ve vašem výzkumu něco, co tomuto faktu odporuje, hledejte chybu.

Sudou nebo lichou funkci lze studovat pouze v , a pak použít symetrii grafu. Toto řešení je optimální, ale podle mého názoru vypadá velmi neobvykle. Osobně se dívám na celou číselnou řadu, ale další body stále nacházím pouze vpravo:

Příklad 5

Proveďte kompletní studii funkce a sestrojte její graf.

Řešení: věci se ztížily:

1) Funkce je definována a spojitá na celé číselné řadě: .

To znamená, že tato funkce je lichá, její graf je symetrický podle počátku.

Je zřejmé, že funkce je neperiodická.

2) Asymptoty, chování funkce v nekonečnu.

Protože funkce je spojitá na , neexistují žádné vertikální asymptoty

Pro funkci obsahující exponent je to typické samostatný studium „plus“ a „mínus nekonečna“, nám však život usnadňuje symetrie grafu – buď je asymptota vlevo i vpravo, nebo není žádná. Obě nekonečné limity lze tedy zapsat pod jedinou položku. Během řešení používáme L'Hopitalovo pravidlo:

Přímka (osa) je horizontální asymptota grafu v .

Všimněte si prosím, jak jsem se lstivě vyhnul úplnému algoritmu pro nalezení šikmé asymptoty: limita je zcela legální a objasňuje chování funkce v nekonečnu a horizontální asymptota byla objevena „jakoby současně“.

Z kontinuity a existence horizontální asymptoty vyplývá, že funkce ohraničené výše A ohraničené níže.

3) Průsečíky grafu se souřadnicovými osami, intervaly konstantního znaménka.

Zde také zkrátíme řešení:
Graf prochází počátkem.

Neexistují žádné další průsečíky se souřadnicovými osami. Navíc intervaly stálosti znaménka jsou zřejmé a osa nemusí být nakreslena: , což znamená, že znaménko funkce závisí pouze na „x“:
, Pokud ;
, Pokud .

4) Zvyšování, snižování, extrémy funkce.

– kritické body.

Body jsou symetrické k nule, jak má být.

Určíme znaménka derivace:

Funkce se v intervalech zvyšuje a v intervalech snižuje

V okamžiku, kdy funkce dosáhne svého maxima: .

Vzhledem k majetku (zvláštnost funkce) minimum se nemusí počítat:

Protože funkce v intervalu klesá, graf je samozřejmě umístěn v „minus nekonečnu“ pod jeho asymptota. Přes interval funkce také klesá, ale zde je tomu naopak - po průchodu maximálním bodem se přímka přibližuje k ose shora.

Z výše uvedeného také vyplývá, že graf funkce je konvexní v „minus nekonečnu“ a konkávní v „plus nekonečnu“.

Po tomto bodě studie byl nakreslen rozsah funkčních hodnot:

Pokud byste některým bodům neporozuměli, znovu vás vyzývám, abyste si do sešitu nakreslili souřadné osy a s tužkou v rukou znovu analyzovali každý závěr úkolu.

5) Konvexnost, konkávnost, zlomy grafu.

– kritické body.

Symetrie bodů je zachována a s největší pravděpodobností se nemýlíme.

Pojďme definovat znaky:

Graf funkce je konvexní a dále konkávní .

Byla potvrzena konvexnost/konkávnost v extrémních intervalech.

Ve všech kritických bodech jsou v grafu zlomy. Pojďme najít souřadnice inflexních bodů a znovu snížit počet výpočtů pomocí lichosti funkce:

Zachování vašeho soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

Když odešlete žádost na webu, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují kontaktovat vás s jedinečnými nabídkami, akcemi a dalšími událostmi a nadcházejícími událostmi.
Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
Pokud se účastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné propagační akce, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.

Zpřístupnění informací třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

Je-li to nutné - v souladu se zákonem, soudním postupem, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí státních orgánů v Ruské federaci - zveřejnit vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné veřejné důležité účely.
V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné nástupnické třetí straně.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Respektování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům standardy ochrany soukromí a zabezpečení a přísně prosazujeme postupy ochrany osobních údajů.