Kvadratické rovnice a nerovnice s parametrem. Učebnice "rovnice a nerovnice s parametry" Lineární rovnice a nerovnice s parametry

V této lekci si prostudujeme algoritmus pro řešení nerovnic s parametry a naučíme se, jak jej použít při řešení tohoto typu problému.

Definice jedna.

Řešení nerovnice s parametrem znamená pro každou hodnotu parametru najít množinu všech řešení dané nerovnosti nebo dokázat, že řešení neexistují.

Uvažujme lineární nerovnosti.

Definice dvě.

Nerovnice ve tvaru a x plus být větší než nula, větší nebo rovno nule, menší než nula, menší než nebo rovno nule, kde A a být jsou reálná čísla, X- proměnné, se nazývají nerovnosti prvního stupně (lineární nerovnosti).

Algoritmus pro řešení lineární nerovnosti s parametrem, například nerovnost x plus je větší než nula, kde A a být jsou reálná čísla, X- variabilní. Zvažte následující případy:

První případ:A je větší než nula, pak x je větší než mínus děleno a.

V důsledku toho je množinou řešení nerovnice otevřený číselný paprsek od mínus dělený a až plus nekonečno.

Druhý případ:A menší než nula, pak x je menší než mínus děleno a

a proto množina řešení nerovnice je otevřený číselný paprsek od mínus nekonečna do mínus dělený a.

Třetí případ: a rovná se nule, pak bude mít nerovnost tvar: nula násobená x plus být větší než nula a pro bae větší než nula, jakékoli reálné číslo je řešením nerovnosti a kdy bae menší nebo rovna nule, nerovnost nemá řešení.

Zbývající nerovnosti jsou řešeny obdobně.

Podívejme se na příklady.

Úkol 1

Vyřešte nerovnost a x je menší nebo rovna jedné.

Řešení

Podle znamení A Uvažujme tři případy.

První případ: pokud A je větší než nula, pak x je menší nebo rovno jedné děleno a;

Druhý případ: pokud A je menší než nula, pak x je větší nebo rovno jedné děleno a;

Třetí případ: pokud A je rovna nule, pak bude mít nerovnost tvar: nula vynásobená x je menší nebo rovna jedné, a proto jakékoli reálné číslo je řešením původní nerovnosti.

Pokud tedy A je větší než nula, pak x náleží paprsku od mínus nekonečna do jedničky děleno a.

Li A A rovna nule,

Že x

Odpověď: pokud A je větší než nula, pak x náleží paprsku od mínus nekonečna do jedničky děleno a;

Li A je menší než nula, pak x náleží paprsku od jedničky děleného a do plus nekonečna, a jestliže A rovna nule,

Že x x patří do množiny reálných čísel.

Úkol 2

Vyřešte modul nerovnosti x mínus dva větší než mínus druhá mocnina rozdílu mezi a a jedna.

Řešení

Všimněte si, že modul x mínus dva je větší nebo roven nule pro jakýkoli reál X a mínus druhá mocnina rozdílu mezi a a jedna je menší nebo rovna nule pro jakoukoli hodnotu parametru A. Proto pokud A rovná se jedné, pak libovolné X- reálné číslo jiné než dvě je řešením nerovnice, a pokud A není rovno jedné, pak je řešením nerovnice jakékoli reálné číslo.

Odpověď: pokud A rovná se jedné, pak x patří sjednocení dvou paprsků s otevřeným číslem od mínus nekonečna do dvou a od dvou do plus nekonečna,

co kdyby A patří do spojení dvou paprsků s otevřeným počtem od mínus nekonečna do jedné a od jedné do plus nekonečna, pak X patří do množiny reálných čísel.

Úkol 3

Vyřešte nerovnici trojnásobek rozdílu čtyř a a x menší než dva a x plus tři.

Řešení

Po elementárních transformacích této nerovnosti dostaneme nerovnost: x vynásobené součtem dvou a a tři je větší než tři vynásobené rozdílem čtyř a a jedna.

První případ: pokud jsou dvě a plus tři větší než nula, tzn A je větší než mínus tři sekundové jedničky, pak x je větší než zlomek, jehož čitatel je trojnásobek rozdílu čtyř a a jedna, a jmenovatel je dva plus tři.

Druhý případ: pokud jsou dvě a plus tři menší než nula, tzn A je menší než minus tři sekundy, pak x je menší než zlomek, jehož čitatel je trojnásobek rozdílu čtyř a a jedna, a jmenovatel je dva a plus tři.

Třetí případ: pokud se dvě a plus tři rovna nule, tzn A rovná se mínus tři sekundy,

jakékoli reálné číslo je řešením původní nerovnosti.

Pokud tedy a patří do otevřené číselné řady od mínus tří sekund do plus nekonečna, pak x

patří do otevřené číselné osy od zlomku, jehož čitatel je trojnásobek rozdílu čtyř a a jedna a jmenovatel je dvě plus tři až plus nekonečno.

Jestliže a patří do otevřené číselné osy od mínus nekonečna do mínus tří sekund, pak x patří na otevřenou číselnou osu od mínus nekonečna po zlomek, jehož čitatel je trojnásobek rozdílu čtyř a a jedna a jmenovatel je dva a plus tři;

Li A rovná se tedy mínus třem sekundám X patří do množiny reálných čísel.

Odpověď: pokud a patří do otevřené číselné řady od mínus tří sekund do plus nekonečna, pak x

patří k otevřenému číselnému paprsku ze zlomku, jehož čitatel je trojnásobek rozdílu čtyř a a jedna a jmenovatel je dvě a plus tři až plus nekonečno;

pokud a patří do otevřené číselné osy od mínus nekonečna do mínus tří sekund, pak x patří na otevřenou číselnou osu od mínus nekonečna po zlomek, jehož čitatel je trojnásobek rozdílu čtyř a a jedna a jmenovatel je dva a plus tři;

Li A rovná se tedy mínus třem sekundám X patří do množiny reálných čísel.

Úkol 4

Pro všechny platné hodnoty parametrů A vyřešte odmocninu nerovnosti z x minus plus odmocnina ze dvou minus x plus odmocnina z minus jedna plus odmocnina ze tří minus a přes nulu.

Řešení

Pojďme najít doménu definice parametru A. Je určena soustavou nerovnic, jejichž řešením zjistíme, že a patří do segmentu od jedné do tří.

Tato nerovnost je ekvivalentem systému nerovností, jehož řešením zjistíme, že x patří do segmentu od a do dvou a.

Pokud a patří do segmentu od jedné do tří, pak řešením původní nerovnosti je segment od a do dvou a.

Odpověď: pokud a patří do segmentu od jedné do tří, toix patří do segmentu od a do dvou a.

Úkol 5

Najít všechny A, pro kterou nerovnost

druhá odmocnina z x na druhou mínus x mínus dva plus druhá odmocnina zlomku, jehož čitatel je dva mínus x a jmenovatel je x plus čtyři větší nebo roven x plus dva mínus druhá odmocnina zlomku, jehož čitatel je x plus jedna a jmenovatel je pět mínus x nemá řešení.

Řešení

První. Vypočítejme definiční obor této nerovnosti. Je určena soustavou nerovnic, jejichž řešením jsou dvě čísla: x se rovná mínus jedné a x se rovná dvěma.

Druhý. Pojďme najít všechny hodnoty a, pro které má tato nerovnost řešení. Najdeme k tomu vše A, pro které x je rovno mínus jedna a x je rovno dvěma - to je řešení této nerovnosti. Uvažujme a vyřešme množinu dvou systémů. Řešením je spojit dva číselné paprsky od mínus nekonečna do mínus jedné poloviny a od jedné do plus nekonečna.

To znamená, že tato nerovnost má řešení, pokud a patří ke sjednocení dvou číselných paprsků od mínus

nekonečno do mínus jedné poloviny a od jedné do plus nekonečna.

Třetí. V důsledku toho tato nerovnost nemá řešení, pokud a patří do intervalu od mínus půl do jedné.

Odpověď: Nerovnice nemá řešení, pokud a patří do intervalu od mínus půl do jedné.

Řešení nerovností pomocí parametru.

Nerovnice, které mají tvar ax > b, ax< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются lineární nerovnosti.

Principy řešení lineárních nerovnic s parametrem jsou velmi podobné principům řešení lineárních rovnic s parametrem.

Příklad 1.

Vyřešte nerovnici 5x – a > ax + 3.

Řešení.

Nejprve transformujme původní nerovnost:

5x – ax > a + 3, dáme x na levou stranu nerovnosti ze závorek:

(5 – a)x > a + 3. Nyní zvažte možné případy pro parametr a:

Pokud a > 5, pak x< (а + 3) / (5 – а).

Pokud a = 5, pak neexistují žádná řešení.

Pokud a< 5, то x >(a + 3) / (5 – a).

Toto řešení bude odpovědí na nerovnost.

Příklad 2

Vyřešte nerovnost x(a – 2) / (a – 1) – 2a/3 ≤ 2x – a pro a ≠ 1.

Řešení.

Pojďme transformovat původní nerovnost:

x(a – 2) / (a – 1) – 2x ≤ 2a/3 – a;

Ах/(а – 1) ≤ -а/3. Vynásobením obou stran nerovnosti (-1) dostaneme:

ax/(a – 1) ≥ a/3. Pojďme prozkoumat možné případy pro parametr a:

1 případ.

Nechť a/(a – 1) > 0 nebo € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞). Potom x ≥ (a – 1)/3.

Případ 2< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

Nechť a/(a – 1) = 0, tzn. a = 0. Potom x je libovolné reálné číslo.
Případ 3
Nechť a/(a – 1)

Odpověď: x € [(a – 1)/3; +∞) pro € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);

x € [-∞; (a – 1)/3] za € (0; 1);

Řešení.

x € R pro a = 0.

Příklad 3

Vyřešte nerovnici |1 + x| ≤ ax vzhledem k x.
Z podmínky vyplývá, že pravá strana osy nerovnosti musí být nezáporná, tzn. ax ≥ 0. Podle pravidla odhalení modulu z nerovnosti |1 + x| ≤ sekera máme dvojitou nerovnost

Ax ≤ 1 + x ≤ ax. Přepišme výsledek do tvaru systému:

(ax > 1 + x;
(-ax ≤ 1 + x.

Pojďme to transformovat na: ((a – 1)x ≥ 1;:

((a + 1)x ≥ -1.

Výsledný systém studujeme na intervalech a v bodech< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

(obr. 1)

Pro a ≤ -1 x € (-∞; 1/(a – 1)].< а ≤ 1 решений нет.

Při -1

Když a = 0 x = -1.

V 0

Příklad 1.

Grafická metoda řešení nerovnic< bx.

Řešení.

Vykreslování grafů výrazně zjednodušuje řešení rovnic obsahujících parametr. Použití grafické metody při řešení nerovností s parametrem je ještě přehlednější a účelnější. Grafické řešení nerovnic tvaru f(x) ≥ g(x) znamená nalezení hodnot proměnné x, pro které leží graf funkce f(x) nad grafem funkce g(x). K tomu je vždy nutné najít průsečíky grafů (pokud existují). Vyřešte nerovnici |x + 5|

Sestavíme grafy funkcí y = |x + 5| a y = bx

(obr. 2)

. Řešením nerovnice budou ty hodnoty proměnné x, pro které platí graf funkce y = |x + 5| bude pod grafem funkce y = bx.< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

Obrázek ukazuje:

4) Pro 0 ≤ b ≤ 1 se grafy neprotínají, což znamená, že nerovnost nemá řešení.

Odpověď: x € (-∞; 5/(b – 1)) pro b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) při -1< b < 0;
neexistují žádná řešení pro 0 ≤ b ≤ 1; x € (5/(b – 1); +∞) pro b > 1.

Příklad 2

Vyřešte nerovnici a(a + 1)x > (a + 1)(a + 4).

Řešení.

1) Najděte „kontrolní“ hodnoty pro parametr a: a 1 = 0 a 2 = -1.

2) Vyřešme tuto nerovnost na každé podmnožině reálných čísel: (-∞; -1); (-1); (-1; 0); (0); (0; +∞).

a)a< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;

b) a = -1, pak tato nerovnost bude mít tvar 0 x > 0 – řešení neexistují;

c) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

d) a = 0, pak má tato nerovnost tvar 0 x > 4 – řešení neexistují;

e) a > 0, z této nerovnosti vyplývá, že x > (a + 4)/a.

Odpověď: x € [(a – 1)/3; +∞) pro € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);

Vyřešte nerovnici |2 – |x||< a – x.

Řešení.

Sestavíme graf funkce y = |2 – |x|| (obr. 3) a zvažte všechny možné případy umístění přímky y = -x + a.

Odpověď: nerovnost nemá řešení pro a ≤ -2;
x € (-∞; (a – 2)/2) pro € (-2; 2];
x € (-∞; (a + 2)/2) pro a > 2.

Při řešení různých úloh, rovnic a nerovnic s parametry je objeveno značné množství heuristických technik, které lze následně s úspěchem aplikovat v jakýchkoliv dalších odvětvích matematiky.

Problémy s parametry hrají důležitou roli při formování logického myšlení a matematické kultury. Proto se po zvládnutí metod řešení problémů s parametry úspěšně vyrovnáte s dalšími problémy.

Stále máte otázky? Nevíte si rady s řešením nerovností?
Chcete-li získat pomoc od lektora, zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!

webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.

Série „Učíme se řešit problémy s parametry“

IV. Kvadratické rovnice a nerovnice s parametrem

IV.1. Základní pojmy

Definice. Funkce tvaru (1), kde , , jsou dané funkce parametru A, uvažované v průsečíku jejich definičních oborů, se bude nazývat kvadratická funkce s parametrem A.

Příklady.

1. . 2. .
3. . 4. .
5. . 6. .
7. . 8. .
9. . 10. .

Definice. Subdoména definice kvadratické funkce (1) s parametrem A budeme rozumět celé množině dvojic hodnot X A A typ ( X; A), u každého z nich výraz neztrácí svůj význam.

Stanovme definiční obory funkcí 1-10.

1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.

Pokud parametr přebírá jednu z číselných hodnot z , pak funkce (1) bude mít podobu jedné z funkcí s číselnými koeficienty:

; ; ;
; ; ; ,

Kde k, b, C– reálná čísla.

Věnujme pozornost tomu, že pro některé hodnoty parametru z má kvadratická funkce s parametrem podobu buď kvadratické funkce bez parametru, nebo lineární.

Protože kvadratická funkce s parametrem nejčastěji „generuje“ rodinu kvadratických nebo lineárních funkcí s číselnými koeficienty, pak mluvíme o grafy kvadratické funkce s parametrem, budeme mít na mysli mnoho grafů této rodiny.

Definice. A se nazývá rovnice tvaru (1), kde , , jsou tyto funkce parametru A, uvažované v průsečíku jejich domén definice.

Konkrétně některé z koeficientů nebo zachycovací člen mohou být čísla.

Příklady.

, (1)
, (2)
, (3)
, (4)
. (5)

Pomocí definice kvadratické funkce s parametrem můžeme dát následující definici kvadratické rovnice s parametrem.

Definice. Kvadratická rovnice s parametrem A se nazývá rovnice tvaru , kde je kvadratická funkce s parametrem A.

Jestliže , pak rovnice (1) je kvadratická v tradičním smyslu, tzn. druhého stupně.
Jestliže , pak rovnice (1) bude lineární.

Pro všechny platné hodnoty parametrů A, pro které a pomocí známých vzorců získáme výrazy pro kořeny rovnice (1) z hlediska parametru.

Ty hodnoty A, ve kterém je třeba posuzovat samostatně jako zvláštní případy.
Takže například rovnice (5) at má tvar , odkud .

IV.2. Kvadratické rovnice s parametrem

№1. Vyřešte rovnici.

– rovnice-důsledek. Dostáváme: , .

V souřadnicovém systému ( ach) dokončíme řešení. (obr. 1)

Odpověď: 1. Pokud , pak .

2. Pokud , pak .

3. Pokud , pak , .

№2. Najděte hodnotu parametru A, ve kterém má rovnice jeden kořen. Pokud je takových hodnot více, zapište jejich součet do odpovědi.

Tato rovnice se redukuje na ekvivalentní systém:

Převedeme to do tvaru: a vyřešíme to graficky v souřadnicovém systému ( xOa). (obr. 2).

Rovnice má jeden kořen v , a .

№3. Najděte všechny hodnoty X takové, že pro libovolnou hodnotu parametru A, nepatřící do intervalu (0; 2], výraz není roven výrazu. (USE-2007).

Přeformulujme problém: „Najdi všechny hodnoty X taková, že pro libovolnou hodnotu parametru platí rovnice nemá kořeny."
Pojďme se vyjádřit A přes X:

1) Nechte. Pak . Rovnice má proto kořeny. To znamená, že nesplňuje podmínku.
2) Nechte. Pak . Použijme souřadnicový systém ( xOa). (obr. 3).

Podmínka splněna.

№4. Kolik kořenů závisí na parametru A má rovnici?

Rozšiřme modul:

V souřadnicovém systému ( xOy) sestavíme graf funkce

a několik řádků tužky rovnoběžných čar daných rovnicí. (obr. 4).

Odpověď: 1. Jestliže , pak nejsou žádné kořeny.

2. Pokud , pak jeden kořen.

3. Pokud , pak jsou dva kořeny.

IV.3. Kvadratické nerovnosti s parametrem

№5. Vyřešte nerovnost .

1 způsob.

Vezměme to v úvahu. Pak - řešení této nerovnosti pro všechny b.(obr. 5).

Jestliže , pak přejdeme k nerovnosti, jejíž množina řešení bude znázorněna v souřadnicovém systému ( krabice). (obr. 6).

Spojíme obr. 5 a 6.

A nyní podle obr. 7, řezání s vertikálními přímkami, je snadné získat odpověď.

Odpověď: 1. Pokud , pak .
2. Pokud , pak .
3. Pokud , pak

Metoda 2.

Vyřešme nerovnici graficky v souřadnicovém systému ( xOb):

. (obr. 8).

Uvažujme dva případy.

1). Pak bude mít nerovnost tvar kde .
2), pak .

Graf funkce a část roviny obsahující body, jejichž souřadnice splňují nerovnici, jsou na obrázku 8.

1. Pokud , pak .
2. Pokud , pak . 3. Pokud , pak .

3 způsobem.

Ukažme si nyní grafické řešení v souřadnicovém systému ( xOy). Chcete-li to provést, rozbalte modul:

Zvažte funkci .

Kořeny kvadratického trinomu .

Porovnejme a .

1), odkud.

Dostáváme totalitu. (obr. 9)

2), odkud. (obr. 10).

Pak tj. .

3), odkud . (obr. 11).

Pak tj. .

Odpověď: 1. Pokud , pak .

2. Pokud , pak .
3. Pokud , pak .

№6. Najděte všechny hodnoty parametrů A, pro kterou je nejmenší hodnota funkce více než 2.

Stačí najít všechny hodnoty parametru A, pro každý z nich platí nerovnost pro všechny . Přepišme nerovnost do tvaru ., ;

Státní rozpočtová vzdělávací instituce

Střední všeobecné vzdělání v regionu Samara

Škola č. 2 pojmenovaná po. železnice V. Maskina Umění. Klyavlino

Městský obvod Klyavlinsky

oblast Samara

„Rovnice

nerovnosti

s parametry"

tréninkový manuál

Klyavlino

Konzultace

"Rovnice a nerovnice s parametry" pro studenty 10.–11

tato příručka je přílohou programu volitelného předmětu „Rovnice a nerovnice s parametry“, který složil externí zkoušku (vědecká a metodická odborná rada Ministerstva školství a vědy regionu Samara ze dne 19. prosince 2008 doporučila pro použití ve vzdělávacích institucích v regionu Samara)

Autoři

Romadanová Irina Vladimirovna

učitel matematiky ve společnosti Klyavlinskaya Secondary Educational Institution

Škola č. 2 pojmenovaná po. V. Maskina, okres Klyavlinsky, oblast Samara

Serbaeva Irina Alekseevna

Úvod……………………………………………………………………… 3-4

Lineární rovnice a nerovnice s parametry……………..4-7

Kvadratické rovnice a nerovnice s parametry……………7-9

Zlomkově-racionální rovnice s parametry……………..10-11

Iracionální rovnice a nerovnice s parametry……11-13

Goniometrické rovnice a nerovnice s parametry.14-15

Exponenciální rovnice a nerovnice s parametry………16-17

Logaritmické rovnice a nerovnice s parametry......16-18

Cíle jednotné státní zkoušky………………………………………………………...18-20

Úkoly pro samostatnou práci………………………………21-28

Zavedení.

Rovnice a nerovnice s parametry.

Pokud v rovnici nebo nerovnosti některé koeficienty nemají konkrétní číselné hodnoty, ale jsou označeny písmeny, pak se nazývají parametry, a samotná rovnice nebo nerovnost parametrické.

Chcete-li vyřešit rovnici nebo nerovnici s parametry, musíte:

Vybrat zvláštní význam- je to hodnota parametru, ve kterém nebo při průchodu kterým se mění řešení rovnice nebo nerovnice.

Definovat platné hodnoty– to jsou hodnoty parametru, při kterých dává rovnice nebo nerovnost smysl.

Řešení rovnice nebo nerovnosti s parametry znamená:

1) určit, při jakých hodnotách parametrů existují řešení;

2) pro každý přípustný systém hodnot parametrů najděte odpovídající sadu řešení.

Rovnici s parametrem můžete vyřešit pomocí následujících metod: analytické nebo grafické.

Analytická metoda zahrnuje úkol studovat rovnici zvažováním několika případů, z nichž žádný nelze vynechat.

Řešení rovnic a nerovnic s parametry každého typu pomocí analytické metody zahrnuje podrobnou analýzu situace a důsledný výzkum, při kterém vyvstane potřeba "opatrné zacházení" s parametrem.

Grafická metoda zahrnuje sestavení grafu rovnice, ze kterého lze určit, jak změna parametru ovlivní řešení rovnice, resp. Graf někdy umožňuje analyticky formulovat nezbytné a dostatečné podmínky pro řešení problému. Metoda grafického řešení je zvláště účinná, když potřebujete určit, kolik kořenů má rovnice v závislosti na parametru, a má nepochybnou výhodu v tom, že to vidíte jasně.

§ 1. Lineární rovnice a nerovnice.

Lineární rovnice A x = b , zapsané v obecné formě, lze považovat za rovnici s parametry, kde x – neznámý , A , b – parametry. Pro tuto rovnici je speciální nebo kontrolní hodnotou parametru ta, při které je koeficient neznámé nulový.

Při řešení lineární rovnice s parametrem jsou uvažovány případy, kdy je parametr roven své speciální hodnotě a liší se od ní.

Speciální hodnota parametru A je hodnota A = 0.

b = 0 je hodnota speciálního parametru b .

Na b ¹ 0 rovnice nemá řešení.

Na b = 0 rovnice bude mít tvar: 0x = 0. Řešením této rovnice je libovolné reálné číslo.

Nerovnosti formy aha > b A sekera < b (a ≠ 0) se nazývají lineární nerovnosti. Sada řešení nerovnosti aha >b– interval

(; +), Li A > 0 , A (-;) , Pokud A< 0 . Podobně pro nerovnost

Ó< b množina řešení - interval(-;), Li A > 0, A (; +), Li A< 0.

Příklad 1. Vyřešte rovnici sekera = 5

Řešení: Toto je lineární rovnice.

Li a = 0, pak rovnice 0 × x = 5 nemá řešení.

Li A¹ 0, x =- řešení rovnice.

Odpověď: v A¹ 0, x=

pro a = 0 neexistuje řešení.

Příklad 2 Vyřešte rovnici sekera – 6 = 2a – 3x.

Řešení: Toto je lineární rovnice, ax – 6 = 2a – 3x (1)

ax + 3x = 2a +6

Přepsání rovnice jako (a+3)x = 2(a+3), zvažte dva případy:

a = -3 A A¹ -3.

Li a = -3, pak libovolné reálné číslo X je kořen rovnice (1). Li A¹ -3 , rovnice (1) má jeden kořen x = 2.

Odpověď: Na a = -3, x R ; na A ¹ -3, x = 2.

Odpověď: x € [(a – 1)/3; +∞) pro € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞); Při jakých hodnotách parametrů A mezi kořeny rovnice

2ah – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0 kořenů je více 1 ?

Řešení: Pojďme řešit rovnici 2ah – 4kh – a 2 + 4a – 4 = 0– lineární rovnice

2(a - 2) x = a 2 - 4a +4

2(a – 2) x = (a – 2) 2

Na a = 2řešení rovnice 0x = 0 bude libovolné číslo, včetně jedničky větší než 1.

Na A¹ 2 x =
. Podle stavu x > 1, to je
>1 a >4.

Odpověď: Na A (2) U (4;∞).

Příklad 4 . Pro každou hodnotu parametru A zjistěte počet kořenů rovnice ah=8.

Řešení. sekera = 8– lineární rovnice.

y = A– skupina vodorovných čar;

y = - Graf je hyperbola. Pojďme sestavit grafy těchto funkcí.

Odpověď: Pokud a = 0, pak rovnice nemá řešení. Li a ≠ 0, pak má rovnice jedno řešení.

Příklad 5 . Pomocí grafů zjistěte, kolik kořenů má rovnice:

|x| = aha – 1.

y =| x | ,

y = aha – 1– graf je přímka procházející bodem (0;-1).

Pojďme sestavit grafy těchto funkcí.

Odpověď: Kdy |a|>1- jeden kořen

na | a|≤1 – rovnice nemá kořeny.

Příklad 6 . Vyřešte nerovnost ax + 4 > 2x + a 2

Řešení : ax + 4 > 2x + a 2
(a – 2) x >A 2 – 4. Uvažujme tři případy.

Odpověď. x > a + 2 na a > 2; X<а + 2, na A< 2; na a=2 neexistují žádná řešení.

§ 2. Kvadratické rovnice a nerovnice

Kvadratická rovnice je rovnice tvaru Ó ² + b x + c = 0 , Kde a≠ 0,

A, b , S – parametry.

Chcete-li vyřešit kvadratické rovnice s parametrem, můžete použít standardní metody řešení pomocí následujících vzorců:

1 ) diskriminant kvadratické rovnice: D = b ² - 4 ac , (
²- ac)

2) vzorce pro kořeny kvadratické rovnice:X 1 =
, X 2 =
,

(X 1,2 =
)

Kvadratické nerovnosti se nazývají

A X 2 + b x + c > 0,A X 2 + b x + c< 0, (1), (2)

A X 2 + b x + c ≥ 0,A X 2 + b x + c ≤ 0,(3), (4)

Množinu řešení nerovnice (3) získáme kombinací množin řešení nerovnice (1) a rovnice , A X 2 + b x + c = 0. Obdobně lze nalézt množinu řešení nerovnice (4).

Je-li diskriminant kvadratického trinomu A X 2 + b x + c je menší než nula, pak pro a > 0 je trojčlen kladný pro všechna x R.

Pokud má kvadratický trinom kořeny (x 1 < х 2 ), pak pro a > 0 je kladné na množině(-; x 2 )
(X 2; +) a záporné na intervalu

(x 1; x 2 ). Pokud a< 0, то трехчлен положителен на интервале (х 1; x 2 ) a záporné pro všechna x (-; x 1 )
(X 2; +).

Příklad 1. Vyřešte rovnici ax² – 2 (a – 1)x – 4 = 0.

Toto je kvadratická rovnice

Řešení: Zvláštní význam a = 0.

Na a = 0 dostaneme lineární rovnici 2x – 4 = 0. Má jeden kořen x = 2.

Na a ≠ 0. Pojďme najít diskriminant.

D = (a-1)² + 4a = (a+1)²

Li a = -1,Že D = 0 - jeden kořen.

Najdeme kořen dosazením a = -1.

-x² + 4x – 4= 0, to znamená x² -4x + 4 = 0, najdeme to x=2.

Li a ≠ - 1, To D >0 . Pomocí kořenového vzorce dostaneme:x=
;

X 1 =2, x 2 = -.

Odpověď: Na a=0 a a= -1 rovnice má jeden kořen x = 2; na a ≠ 0 a

A ≠ - 1 rovnice má dva kořenyX 1 =2, x 2 =-.

Příklad 2 Najděte počet kořenů této rovnice x²-2x-8-a=0 v závislosti na hodnotách parametrů A.

Řešení. Přepišme tuto rovnici do tvaru x²-2x-8=a

y = x²-2x-8- graf je parabola;

y =a- rodina vodorovných čar.

Pojďme sestavit grafy funkcí.

Odpověď: Kdy A<-9 , rovnice nemá řešení; když a=-9, rovnice má jedno řešení; na a>-9, rovnice má dvě řešení.

Odpověď: x € [(a – 1)/3; +∞) pro € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞); v čem A nerovnost (a – 3) x 2 – 2ax + 3a – 6 >0 platí pro všechny hodnoty x?

Řešení. Kvadratický trinom je kladný pro všechny hodnoty x if

a-3 > 0 a D<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств

, odkud z toho plyneA > 6 .

Odpověď.A > 6

§ 3. Zlomkové racionální rovnice s parametrem,

redukovatelné na lineární

Proces řešení zlomkových rovnic se provádí podle obvyklého schématu: zlomek se nahradí celým číslem vynásobením obou stran rovnice společným jmenovatelem její levé a pravé strany. Poté je vyřešena celá rovnice, s vyloučením cizích kořenů, tedy čísel, která změní jmenovatele na nulu.

V případě rovnic s parametrem je tento problém složitější. Zde, aby bylo možné „eliminovat“ cizí kořeny, je nutné najít hodnotu parametru, který změní společného jmenovatele na nulu, tedy vyřešit odpovídající rovnice pro parametr.

Příklad 1. Vyřešte rovnici
= 0

Řešení: D.Z: x +2 ≠ 0, x ≠ -2

x – a = 0, x = a.

Odpověď: Na a ≠ - 2, x=a

Na a = -2 nejsou tam žádné kořeny.

Příklad 2 . Vyřešte rovnici
-
=
(1)

Toto je zlomková racionální rovnice

Řešení: Význam a = 0 je speciální. Na a = 0 rovnice nedává smysl, a proto nemá kořeny. Li a ≠ 0, pak po transformacích bude mít rovnice tvar: x² + 2 (1-a) x + a² - 2a – 3 = 0 (2)– kvadratická rovnice.

Pojďme najít diskriminant = (1 – a)² - (a² - 2a – 3)= 4, najít kořeny rovniceX 1 = a + 1, x 2 = a - 3.

Při přechodu od rovnice (1) k rovnici (2) se oblast definice rovnice (1) rozšířila, což by mohlo vést ke vzniku vnějších kořenů. Proto je nutné ověření.

Zkouška. Vynechme z nalezených hodnot X ty, ve kterých

x 1 + 1 = 0, x 1 + 2 = 0, x 2 + 1 = 0, x 2 +2 = 0.

Li X 1 +1=0, to znamená (a+1) + 1 = 0, To a= -2. Tedy,

na a= -2 , X 1 -

Li X 1 +2=0, to znamená (a+1)+2=0,Že a = - 3. Tedy, když a = -3, x 1 - cizí kořen rovnice. (1).

Li X 2 +1=0, to znamená (a – 3) + 1 = 0, To a = 2. Tedy, když a = 2 x 2 - cizí kořen rovnice (1).

Li X 2 +2=0, to je ( a – 3) + 2 = 0,Že a=1. Tedy, když a = 1,

X 2 - cizí kořen rovnice (1).

V souladu s tím, kdy a = - 3 dostaneme x = - 3 - 3 = -6;

na a = -2 x = -2 – 3= - 5;

na a = 1 x = 1 + 1 = 2;

na a = 2 x = 2+1 = 3.

Odpověď si můžete zapsat.

Odpověď: 1) pokud a= -3,Že x= -6; 2) pokud a= -2, To x= -5; 3) pokud a = 0, pak nejsou žádné kořeny; 4) pokud a = 1, To x=2; 5) pokud a=2, To x=3; 6) pokud a ≠ -3, a ≠ -2, a ≠ 0, a≠ 1, a ≠ 2, pak x 1 = a + 1, x 2 = a-3.

§4. Iracionální rovnice a nerovnice

Volají se rovnice a nerovnice, ve kterých je proměnná obsažena pod kořenovým znaménkem iracionální.

Řešení iracionálních rovnic spočívá v přechodu od iracionální k racionální rovnici zvýšením obou stran rovnice na mocninu nebo nahrazením proměnné. Když jsou obě strany rovnice zvýšeny na sudou mocninu, mohou se objevit cizí kořeny. Proto byste při použití této metody měli zkontrolovat všechny nalezené kořeny jejich dosazením do původní rovnice s přihlédnutím ke změnám hodnot parametrů.

Rovnice formuláře
=g (x) je ekvivalentní systému

Nerovnice f (x) ≥ 0 vyplývá z rovnice f (x) = g 2 (x).

Při řešení iracionálních nerovnic použijeme následující ekvivalentní transformace:

≤ g(x)

≥g(x)

Příklad 1. Vyřešte rovnici
= x + 1 (3)

To je iracionální rovnice

Řešení: Podle definice aritmetického kořene je rovnice (3) ekvivalentní systému
.

Na a = 2 první rovnice soustavy má tvar 0 x = 5, to znamená, že nemá žádná řešení.

Na a≠ 2 x=
. Pojďme zjistit, v jakých hodnotáchA nalezená hodnotaX vyhoví nerovnostix ≥ -1:
≥ - 1,
≥ 0,

kde a ≤ nebo a > 2.

Odpověď: Na a≤, a > 2 x=
, na < а ≤ 2 rovnice nemá řešení.

Příklad 2 Vyřešte rovnici
= a (Příloha 4)

Řešení. y =

y = a– rodina vodorovných čar.

Pojďme sestavit grafy funkcí.

Odpověď: v A<0 – neexistují žádná řešení;

na A≥ 0 - jedno řešení.

Příklad 3 . Pojďme vyřešit nerovnost(a+1)
<1.

Řešení. O.D.Z. x ≤ 2. Li a+1 ≤0, pak nerovnost platí pro všechny přípustné hodnoty X. Li a+1>0, To

(a+1)
<1.

<

kde X (2-
2

Odpověď. X (- ;2v a (-;-1, X (2-
2

na A (-1;+).

§ 5. Goniometrické rovnice a nerovnice.

Zde jsou vzorce pro řešení nejjednodušších goniometrických rovnic:

Sinx = a
x= (-1) n arcsin a+πn, n Z, ≤1, (1)

Cos x = a
x = ± arccos a + 2 πn, n Z, ≤1. (2)

Li >1, pak rovnice (1) a (2) nemají řešení.

tan x = a
x= arctan a + πn, n Společnost Z, a R

ctg x = a
x = arcctg a + πn, n Společnost Z, a R

Pro každou standardní nerovnost označujeme sadu řešení:

1. hřích x > a
arcsin a + 2 πn Z,

na A <-1, x R ; na A ≥ 1, neexistují žádná řešení.

2. hřích x< a
π - arcsin a + 2 πnZ,

pro a≤-1 neexistují žádná řešení; pro > 1,x R

3. cos x > A
- arccos A + 2 πn < x < arccos A + 2 πn , n Z ,

na A<-1, x R ; na A ≥ 1 , neexistují žádná řešení.

4. cos x arccos a+ 2 πnZ,

na a≤-1 , žádná řešení; naA > 1, x R

5. tan x > a, arctan a + πnZ

6.tg x< a, -π/2 + πn Z

Příklad 1. Nalézt A, pro který má tato rovnice řešení:

Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.

Řešení. Zapišme rovnici ve tvaru

Sos 2 x + (2 A -4) cosx +(A – 5)(a+1) =0, když to vyřešíme kvadraticky, dostaneme cosx = 5-A A cosx = -a-1.

Rovnice cosx = 5- A má poskytnutá řešení -1≤ 5-A ≤1
4≤ A< 6, a Eq. cosx = - a-1 poskytnuto -1≤ -1-A ≤ 1
-2 ≤ A ≤0.

Odpověď. A -2; 0
4; 6

Příklad 2 v čem bexistuje taková, že nerovnost
+ b> 0 platí pro všechna x ≠πn , n Z .

Řešení. Položme A= 0. Nerovnice platí pro b >0. Ukažme nyní, že žádné b ≤0 nesplňuje podmínky problému. Opravdu stačí dát x = π /2, Li A <0, и х = - π /2 na A ≥0.

Odpověď.b>0

§ 6. Exponenciální rovnice a nerovnice

1. Rovnice h(x) F ( x ) = h(x) G ( x) v h(x) > 0 je ekvivalentní kolekci dvou systémů
A

2. Ve speciálním případě (h (x)= A ) rovnice A f(x) = A g(x) at A> 0, je ekvivalentem souboru dvou systémů

3. Rovnice A f(x) = b , Kde A > 0, A ≠1, b>0, ekvivalentní rovnici

f (x )= log a b . Happening A=1 se posuzují samostatně.

Řešení nejjednodušších exponenciálních nerovností je založeno na mocninné vlastnosti. Nerovnost tvaruF(A x ) > 0 pomocí změny proměnnét= A x redukuje na řešení systému nerovností
a poté k řešení odpovídajících jednoduchých exponenciálních nerovnic.

Při řešení nepřísné nerovnice je nutné k množině řešení přísné nerovnice přidat kořeny odpovídající rovnice. Stejně jako při řešení rovnic ve všech příkladech obsahujících výraz A f (x), předpokládáme A> 0. Případ A= 1 se posuzují samostatně.

Příklad 1 . v čem A rovnice 8 x =
má jen pozitivní kořeny?

Řešení. Vlastností exponenciální funkce se základem větším než jedna máme x>0
8 X >1

>1

>0, odkudA (1,5;4).

Odpověď. A (1,5;4).

Příklad 2 Vyřešte nerovnost A 2 ∙2 x > A

Řešení. Uvažujme tři případy:

1. A< 0 . Protože levá strana nerovnosti je kladná a pravá záporná, nerovnost platí pro libovolné x R.

2. A=0.

3. A > 0 . A 2 ∙2 x Neexistují žádná řešení.
2 x >
> a 2 x > - log

Odpověď. A R na A X A > 0; neexistují žádná řešení (- =0; X 2 x > - log; +log) v .

a > 0

§ 7. Logaritmické rovnice a nerovnice Uveďme některé ekvivalence používané při řešení

logaritmické rovnice a nerovnice.

1. Rovnice log f (x) g (x) = log f (x) h (x) je ekvivalentní soustavě A >0, A Zejména pokud

=0; X A ≠1 tedy A g(x)= log

2. Rovnice h(x) A log
g(x)=bA b ( A >0, g(x)= a ≠

1, g(x) > 0). =0; X F ( x ) G (x) ≤ =0; X F ( x ) h(x3. Nerovnost
A

) je ekvivalentní kombinaci dvou systémů: Pokud a,

=0; X A b jsou čísla, a >0, a ≠1, tedy

=0; X A f(x) ≤ b

Příklad 1. f(x)>b

Řešení Vyřešte rovnici A 4 , A > 0, A. Pojďme najít ODZ: x > 0, x ≠

≠ 1. Transformujte rovnici log =0; X A x
≠ 1. Transformujte rovnici x – 2 = 4 – =0; X A x x + =0; X A x = - 3

– 6 = 0, odkud A x = =0; X A x = 2
-3 a A x = A 4
A – 3 = A 2. Podmínka x = A 2 = A 4 4 nebo

Odpověď: se na ODZ neprovádí. A x = A-3, x = A (0; 1)
(1; ).

Příklad 2 . 2 v A Najděte největší hodnotu

2 ≠ 1. Transformujte rovnici -
+ A , pro který platí rovnice

Řešení. = 0 má řešení.
= tUděláme náhradut 2 – t + A a dostaneme kvadratickou rovnici 2= 0. Řešením najdeme = 1-8 A D = 0. Řešením najdeme≥0, 1-8 A ≥0
A ≤.

Na A . Uvažujmet= >0.

Odpověď. A =

Příklad 3 . = kvadratická rovnice má kořen=0; X(x 2 – 2 x + A ) > - 3

Řešení. Vyřešte nerovnost

Pojďme vyřešit systém nerovností 1,2 Odmocniny čtvercových trojčlenů x
= 1 ± 3,4 jejich
.

Kritické hodnoty parametrů: A= 1 a A= 9.

Nechť X 1 a X 2 jsou množiny řešení první a druhé nerovnice

X 1
X 2 = X – řešení původní nerovnosti.

V 0< A <1 Х 1 = (- ;1 -
)
(1 +
; +), vA> 1 x 1 = (-;+).

Pro a ≤ -1 x € (-∞; 1/(a – 1)].< A < 9 Х 2 = (1 -
; 1 +
), vA≥9 X 2 – žádná řešení.

Uvažujme tři případy:

1. 0< A ≤1 X = (1 -
;1 -
)
(1 +
;1 +
).

2. 1 < A < 9 Х = (1 -
;1 +
).

3. A≥ 9 X – žádná řešení.

Cíle jednotné státní zkoušky

Vysoká úroveň C1, C2

Příklad 1. Najděte všechny hodnoty r, pro který platí rovnice

r ∙ ctg 2x+2sinx+ p= 3 má alespoň jeden kořen.

Řešení. Pojďme transformovat rovnici

r ∙ (
- 1) + 2sinx + p= 3, sinx =t, t
,t 0.

- p+2t+ p = 3, + 2 t = 3, 3-2t = , 3t 2 – 2t 3 = p .

Nechat F(y) = 3 t 2 – 2 t 3 . Pojďme najít sadu hodnot funkcíF(x) na

. na / = 6 t – 6 t 2 , 6 t - 6 t 2 = 0, t 1 =0, t 2 = 1. F(-1) = 5, F(1) = 1.

Na t
, E(F) =
,

Na t
, E(F) =
, tedy kdy t

, E(F) =
.

K rovnici 3t 2 – 2 t 3 = p (odtud daný) měl alespoň jeden kořen nutný a postačujícíp E(F), tzn p
.

Odpověď.
.

Příklad 2

Při jakých hodnotách parametrůA rovnice ≠ 1. Transformujte rovnici
(4 x 2 – 4 A + A 2 +7) = 2 má přesně jeden kořen?

Řešení. Převedeme rovnici na jeden ekvivalent:

4x 2–4 A + A 2 + 7 = (x 2 + 2) 2.

Všimněte si, že pokud je kořenem výsledné rovnice určité číslo x, pak číslo – x je také kořenem této rovnice. Podle podmínky to není možné, takže jediným kořenem je číslo 0.

najdeme A.

4∙ 0 2 - 4A + A 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,

A 2 - 4A +7 = 4, A 2 - 4A +3 = 0, A 1 = 1, A 2 = 3.

Zkouška.

1) A 1 = 1. Pak rovnice vypadá takto:≠ 1. Transformujte rovnici
(4 x 2 +4) = 2. Pojďme to vyřešit

4x 2 + 4 = (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4, x 4 = 0, x = 0 je jediný kořen.

2) A 2 = 3. Rovnice vypadá takto:≠ 1. Transformujte rovnici
(4 x 2 +4) =2
x = 0 je jediný kořen.

Odpověď. 1; 3

Vysoká úroveň C4, C5

Odpověď: x € [(a – 1)/3; +∞) pro € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞); Najděte všechny hodnoty p, pro které platí rovnice

x 2 – ( r+ 3)x + 1= 0 má celočíselné kořeny a tyto kořeny jsou řešením nerovnice: x 3 – 7 r x 2 + 2 x 2 – 14 r x - 3x +21 r ≤ 0.

Řešení. Nechte x 1, X 2 – celočíselné kořeny rovnice x 2 – (r + 3)x + 1= 0. Pak podle Vietova vzorce rovnost x 1 + x 2 = r + 3, x 1 ∙ x 2 = 1. Součin dvou celých čísel x 1 , X 2 se může rovnat jedné pouze ve dvou případech: x 1 = x 2 = 1 nebo x 1 = x 2 = - 1. Jestliže x 1 = x 2 = 1, tedyr + 3 = 1+1 = 2
r = -1; pokud x 1 = x 2 = - 1, tedyr + 3 = - 1 – 1 = - 2
r = - 5. Zkontrolujeme, zda kořeny rovnice x 2 – (r + 3)x + 1= 0 v popsaných případech řešením této nerovnosti. Pro tuto příležitostr = - 1, x 1 = x 2 = 1 máme

1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – pravda; pro tuto příležitost r= - 5, x 1 = x 2 = - 1 máme (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – správně. Jsou tedy splněny pouze podmínky problému r= - 1 a r = - 5.

Odpověď.r 1 = - 1 a r 2 = - 5.

Příklad 4. Najděte všechny kladné hodnoty parametru A, pro které číslo 1 patří do definičního oboru funkce

na = (A
- A
).

Náhled:

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ MOSKVA

Státní vzdělávací instituce NPO Odborná škola č. 37

PROJEKT:

KVADROVAT ROVNICE A NEROVNOSTI S PARAMETRY"

Dokončeno –

Matsuk Galina Nikolaevna,

Učitel matematiky, Státní vzdělávací instituce NPO

učiliště č. 37 MO.

G.Noginsk, 2011

1. Úvod

4. Metodika řešení kvadratických rovnic za počátečních podmínek.

6. Metodika řešení kvadratických nerovnic s parametry v obecné podobě.

7. Metodika řešení kvadratických nerovnic za počátečních podmínek.

8. Závěr.

9.Literatura.

Zavedení.

Hlavním úkolem výuky matematiky na odborném učilišti je zajistit žákům pevné a uvědomělé osvojení systému matematických znalostí a dovedností nezbytných v běžném životě a práci, postačujících pro studium příbuzných oborů a dalšího vzdělávání, jakož i v odborných činnostech, které vyžadují dostatečně vysokou matematickou kulturu.

Profilovaná výuka matematiky je realizována řešením aplikačních problémů souvisejících s profesemi kovoobráběč, elektroinstalační práce a dřevozpracující práce. Pro život v moderní společnosti je důležité rozvíjet matematický komunikační styl, který se projevuje určitými mentálními dovednostmi. Problémy s parametry mají diagnostickou a prognostickou hodnotu. S jejich pomocí si můžete ověřit své znalosti z hlavních úseků elementární matematiky, úroveň logického myšlení a počáteční badatelské dovednosti.

Výukové úlohy s parametry vyžadují od žáků velké duševní a volní úsilí, rozvinutou pozornost a pěstování takových vlastností, jako je aktivita, tvůrčí iniciativa a kolektivní kognitivní práce. Problémy s parametry jsou zaměřeny na studium při generálním opakování ve 2. ročníku v rámci přípravy na státní závěrečnou atestaci a ve 3. ročníku v doplňkových třídách jako příprava pro studenty, kteří projevili přání skládat závěrečné zkoušky ve formě jednotné státní zkoušky .

Hlavním směrem modernizace matematického vzdělávání je rozvoj mechanismů pro závěrečnou certifikaci zavedením jednotné státní zkoušky. V posledních letech se v matematických úlohách objevují problémy s parametry. Takové úkoly jsou vyžadovány u přijímacích zkoušek na vysokou školu. Vzhled takových problémů je velmi důležitý, protože s jejich pomocí je technika znalosti vzorců elementární matematiky, metody řešení rovnic a nerovnic, schopnost vybudovat logický řetězec uvažování a úroveň logického myšlení žadatele. jsou testovány. Analýza výsledků předchozích jednotných státních zkoušek za několik předchozích let ukazuje, že absolventi mají s řešením takových úkolů velké potíže a mnozí je ani nezačnou. Většina se s takovými úkoly buď vůbec nevyrovná, nebo poskytuje těžkopádné výpočty. Důvodem je chybějící systém úloh na toto téma ve školních učebnicích. V tomto ohledu vyvstala potřeba vést v absolventských skupinách speciální témata při přípravě na zkoušky z řešení úloh s parametry a problémů aplikovaného charakteru souvisejících s profesní orientací.

Studium těchto témat je určeno studentům 3. ročníku, kteří se chtějí naučit řešit problémy se zvýšenou složitostí v algebře a počátcích analýzy. Řešení takových problémů jim způsobuje značné potíže. Je to dáno tím, že každá rovnice nebo nerovnost s parametry představuje celou třídu obyčejných rovnic a nerovnic, pro každou z nich je třeba získat řešení.

V procesu řešení problémů s parametry arzenál technik a metod lidského myšlení přirozeně zahrnuje indukci a dedukci, zobecnění a specifikaci, analýzu, klasifikaci a systematizaci a analogii. Vzhledem k tomu, že učební plán na odborných školách počítá s konzultacemi z matematiky, které jsou součástí rozvrhu hodin, pro studenty, kteří mají dostatečné matematické vzdělání, projevují zájem o studovaný obor a mají dalším cílem vstoupit na vysokou školu, je vhodné v určených hodinách řešit problémy s parametry pro přípravu na olympiády, matematické soutěže, různé druhy zkoušek, zejména Jednotnou státní zkoušku. Řešení takových problémů je zvláště důležité pro aplikované a praktické účely, které pomohou při provádění různých studií.

2. Cíle, hlavní úkoly, metody, technologie, požadavky na znalosti.

Cíle projektu:

Formování schopností a dovedností při řešení úloh s parametry, které se scvrkají na studium kvadratických rovnic a nerovnic.
Formování zájmu o předmět, rozvíjení matematických schopností, příprava na Jednotnou státní zkoušku.
Rozšíření matematického chápání technik a metod řešení rovnic a nerovnic.
Rozvoj logického myšlení a badatelských dovedností.
Zapojení do tvůrčí, výzkumné a vzdělávací činnosti.
Poskytování podmínek pro samostatnou tvůrčí práci.
Pěstování duševního a volního úsilí studentů, rozvinuté pozornosti, aktivity, tvůrčí iniciativy a dovedností kolektivní kognitivní práce.

Hlavní cíle projektu:

Poskytnout studentům možnost realizovat svůj zájem o matematiku a individuální možnosti jejího rozvoje.
Podporovat získávání faktických znalostí a dovedností.
Ukázat praktický význam problémů s parametry v oblasti aplikovaného výzkumu.
Naučit metody řešení standardních i nestandardních rovnic a nerovnic.
Prohloubit znalosti v matematice, zajistit formování trvalého zájmu o předmět.
Identifikovat a rozvíjet matematické schopnosti žáků.
Zajistit přípravu na vstup na vysoké školy.
Zajistit přípravu na profesionální činnosti vyžadující vysokou matematickou kulturu.
Organizovat výzkumné a projektové aktivity, které přispívají k rozvoji intelektuálních a komunikačních dovedností.

Metody používané během výuky:

Přednáška – předání teoretického materiálu doplněné konverzací se studenty.
Semináře - k upevnění látky o diskutující teorii.
Workshopy – pro řešení matematických úloh.
Diskuse – poskytnout argumenty pro vaše řešení.
Různé formy skupinových i individuálních aktivit.
Badatelská činnost, která je organizována prostřednictvím: práce s didaktickým materiálem, přípravou sdělení, obhajobou abstraktů a tvůrčích prací.
Přednášky – prezentace na počítači a projektoru.

Použité technologie:

Výukový systém přednáška-seminář.
Informační a komunikační technologie.
Výzkumná metoda ve výuce zaměřená na rozvoj schopností myšlení.
Problémové učení, které poskytuje motivaci pro výzkum tím, že představuje problém, diskutuje o různých možnostech problému.
Technologie metody aktivity, která pomáhá rozvíjet kognitivní zájmy studentů.

Požadavky na znalosti studentů.

V důsledku studia různých způsobů řešení kvadratických rovnic a nerovnic s parametry by studenti měli získat následující dovednosti:

Pevně uchopit pojem parametru v kvadratické rovnici a kvadratické nerovnosti;
Umět řešit kvadratické rovnice s parametry.
Umět řešit kvadratické nerovnice s parametry.
Najděte kořeny kvadratické funkce.
Sestavte grafy kvadratických funkcí.
Prozkoumejte kvadratický trinom.
Aplikovat racionální metody transformací identity.
Používejte nejčastěji používané heuristické techniky.
Umět aplikovat získané znalosti při práci na osobním počítači.

Formy kontroly.

Lekce – sebehodnocení a hodnocení soudruhů.
Prezentace vzdělávacích projektů.
Testování.
Hodnocení – tabulka.
Problémy s domácími úkoly ze sbírek Jednotných státních zkoušek z předchozích let.
Testy.

3. Metodika řešení kvadratických rovnic s parametry v obecném tvaru.

Nebojte se problémů s parametry. Za prvé, při řešení rovnic a nerovnic s parametry je potřeba udělat to, co se dělá při řešení jakékoli rovnice a nerovnice - zredukovat dané rovnice nebo nerovnice do jednoduššího tvaru, pokud je to možné: vynásobit racionální výraz, zredukovat, položit faktor mimo závorky atd. .d. Existují problémy, které lze rozdělit do dvou velkých tříd.

První třída obsahuje příklady, ve kterých je nutné vyřešit rovnici nebo nerovnici pro všechny možné hodnoty parametru.

Druhá třída zahrnuje příklady, ve kterých je nutné najít ne všechna možná řešení, ale pouze ta, která splňují některé dodatečné podmínky. Třída takových problémů je nevyčerpatelná.

Pro studenty nejsrozumitelnějším způsobem řešení takových problémů je nejprve najít všechna řešení a poté vybrat ta, která splňují dodatečné podmínky.

Při řešení problémů s parametry je někdy vhodné konstruovat grafy v obvyklé rovině (x, y) a někdy je lepší uvažovat grafy v rovině (x, a), kde x je nezávislá proměnná a „a“ je parametr. To je primárně možné v problému, kde musíte sestavit známé elementární grafy: přímky, paraboly, kružnice atd. Navíc náčrtky grafů někdy pomáhají jasně vidět „pokrok“ řešení.

Při řešení rovnic f (x,a) = 0 a nerovnic f (x,a) › 0 musíme pamatovat na to, že nejprve se uvažuje o řešení pro ty hodnoty parametru, při kterých je koeficient nejvyšší mocnina x čtvercového trinomu f (x ,a), čímž se sníží stupeň. Kvadratická rovnice A(a) x 2 + B(a) x + C(a) = 0 v A(a) = 0 se změní na lineární, pokud B(a) ≠ 0, a metody řešení kvadratických a lineárních rovnic jsou různé.

Připomeňme si základní vzorce pro práci s kvadratickými rovnicemi.

Rovnice tvaru ah 2 + in + c = 0, kde x  R jsou neznámé, a, b, c jsou výrazy závislé pouze na parametrech a a ≠ 0 se nazývá kvadratická rovnice a D = b 2 – 4ac se nazývá diskriminant kvadratického trinomu.

Pokud D

Pokud D > 0, pak má rovnice dva různé kořeny

x 1 =, x 2 = a pak ax 2 + v + c = a (x – x 1) (x – x 2).

Tyto kořeny jsou spojeny prostřednictvím koeficientů rovnice podle Vietových vzorců

Je-li D = 0, pak má rovnice dva shodné kořeny x 1 = x 2 = a poté ax 2 + in + c = a (x – x 1) 2 . V tomto případě se říká, že rovnice má jedno řešení.

Kdy, tj. = 2k, kořeny kvadratické rovnice jsou určeny vzorcem x 1,2 = ,

Řešení redukované kvadratické rovnice x 2 + px + q = 0

Použitý vzorec je x 1,2 = - , stejně jako Vietovy formule

Příklady. Řešte rovnice:

Příklad 1. + =

Řešení:

Pro a ≠ - 1, x ≠ 2 dostaneme x 2 + 2ax – 3b + 4 = 0 a kořeny

xi = -a-, x2 = -a+ , existující u

A 2 + 2a – 4  0, tzn. na

Nyní se podívejme, zda existují nějaké takové, že buď x 1 nebo x 2 se rovná 2. Dosadíme x = 2 do kvadratické rovnice a dostaneme a = - 8.

Druhý kořen je v tomto případě roven(podle Vietovy věty) a pro a = - 8 se rovná 14.

Odpověď: pro a = - 8 je jediným řešením x = 14;

Pokud a  (- ∞; - 8)  (- 8; - 4)  (1; + ∞) – dva kořeny x 1 a x 2;

Pokud a = - jediné řešení x =respektive;

Jestliže a  (- 4; 1), pak x   .

Někdy jsou rovnice se zlomkovými členy redukovány na kvadratické. Zvažte následující rovnici.

Příklad 2. - =

Řešení: Když a = 0 nedává smysl, hodnota x musí splňovat podmínky: x -1, x  -2. Vynásobení všech členů rovnice a (x + 1) (x +2) 0,

Dostaneme x 2 – 2 (a – 1) x + a 2 – 2a – 3 = 0, což odpovídá tomuto. Jeho kořeny:

x 1 = a + 1, x 2 = - 3. Vyberme z těchto kořenů cizí kořeny, tzn. ty, které se rovnají – 1 a – 2:

X 1 = a + 1 = - 1, a = - 2, ale s a = - 2 x 2 = - 5;

X 1 = a + 1 = - 2, a = - 3, ale s a = - 3 x 2 = - 6;

X 2 = a - 3 = - 1, a = 2, ale s a = 2 x 1 = 3;

X 2 = a - 3 = - 2, a = 1, ale s a = 1 x 1 = 2.

Odpověď: pro a ≠ 0, a ≠ 2, a ≠ - 3, a ≠ 1 x 1 = a + 1, x 2 = a – 3;

Když a = - 2 x = - 5; když a = - 3 x = - 6.

4. Metodika řešení kvadratických rovnic za počátečních podmínek.

Podmínky pro parametrické kvadratické rovnice jsou různé. Například potřebujete najít hodnotu parametru, jehož kořeny jsou: kladné, záporné, mají různá znaménka, větší nebo menší než určité číslo atd. Chcete-li je vyřešit, měli byste použít vlastnosti kořenů kvadratické rovnice ax 2 + in + c = 0.

Jestliže D > 0, a > 0, pak má rovnice dva reálné různé kořeny, jejichž znaménka pro c > 0 jsou stejná a opačná než znaménko koeficientu b, a pro c

Je-li D = 0, a > 0, pak má rovnice reálné a rovné kořeny, jejichž znaménko je opačné než znaménko koeficientu b.

Jestliže D 0, pak rovnice nemá žádné skutečné kořeny.

Podobně můžeme stanovit vlastnosti kořenů kvadratické rovnice pro a

Pokud v kvadratické rovnici prohodíme koeficienty a a c, dostaneme rovnici, jejíž kořeny jsou inverzí ke kořenům dané.
Pokud v kvadratické rovnici změníme znaménko koeficientu b, dostaneme rovnici, jejíž kořeny jsou opačné než kořeny dané.
Jestliže v kvadratické rovnici mají koeficienty a a c různá znaménka, pak má reálné kořeny.
Pokud a > 0 a D = 0, pak je levá strana kvadratické rovnice úplný čtverec a naopak, pokud je levá strana rovnice úplný čtverec, pak a > 0 a D = 0.
Pokud jsou všechny koeficienty rovnice racionální a diskriminant vyjadřuje dokonalou čtverec, pak jsou kořeny rovnice racionální.
Pokud uvažujeme umístění kořenů vzhledem k nule, pak použijeme Vietovu větu.

Výběr kořenů kvadratického trinomu podle podmínek a umístění nul kvadratické funkce na číselné ose.

Nechť f (x) = ax 2 + v + c, a  0, kořeny x 1 ˂ x 2,  ˂ .

	Umístění kořenů na číselné ose.	Nutný a postačující stav.
	x 1, x 2 	a f () > 0, D  0, x 0 
	x 1, x 2 > 	a f ( ) > 0, D  0, x 0 > 
	x 1  2	af ()
	 1,x2  .	a f ( ) > 0, D  0 af ( ) > 0  0  .
	 1  2	a f ( ) > 0 a f ( )
	x 1  2 	af ()  ) > 0
	x 1   2	af ()  )

Odpověď: x € [(a – 1)/3; +∞) pro € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞); Určete, na jakých hodnotách rovnice

x 2 – 2 (a – 1) x + 2a + 1 = 0

nemá kořeny:

nutná a dostatečná podmínka D

D = (a – 1) 2 – 2a – 1 = a 2 – 4a

má kořeny:

D  0, D = (a – 1) 2 – 2a – 1  0, a 

má jeden kořen:

má dva kořeny:

D > 0, tzn. a 

má pozitivní kořeny:

2(a – 1) > 0   a  4

Pokud otázka zní „má dva kladné kořeny“, pak by měl systém nahradit D > 0;

má negativní kořeny:

2(a – 1)  

má kořeny různých znaků, tzn. jeden je kladný a druhý záporný:

  a ;

Stav Není nutné používat, stačí x 1 x 2

má jeden z kořenů rovný 0:

nutnou postačující podmínkou je, že volný člen rovnice je roven nule, tzn. 2a + 1 = 0, a = -1/2.

Znaménko druhého kořene je určeno buď dosazením a = -1/2 do původní rovnice, nebo jednodušeji Vietovou větou x 1 + x 2 = 2 (a – 1) a po dosazení a = -1/2 dostaneme x 2 = -3, tj. pro a = -1/2 dva kořeny: x 1 = 0, x 2 = - 3.

Příklad 4 . Při jakých hodnotách parametru a platí rovnice

(a – 2) x 2 – 4ax +3 -2a = 0 má jedinečné řešení, které vyhovuje nerovnosti x

Řešení.

Diskriminant 2 – (a – 2) (3 – 2a)

4a 2 – 3a + 6 + 2a 2 – 4a = 6a 2 – 7a + 6

Od 49 – 144 = – 95 a první koeficient je 6 pak 6a 2 – 7a + 6 pro všechna x  R.

Potom x 1,2 =.

Podle podmínek úlohy x2, pak dostaneme nerovnost

máme:

platí pro všechny  R.

6a 2 – 7a + 6 6a 2 – 7a - 10 2

A 1,2 = 1/12 (7  17) a 1 = 2 a 2 = - 5/6.

Proto -5/6

Odpověď: -

5. Parametr jako rovná proměnná.

Ve všech analyzovaných úloháchparametr byl považován za pevné, ale neznámé číslo. Mezitím je z formálního hlediska parametr proměnná a „rovná se“ ostatním přítomným v příkladu. Například s tímto pohledem na parametr tvaru f (x; a) nejsou funkce definovány s jednou (jako dříve), ale se dvěma proměnnými. Taková interpretace přirozeně tvoří další typ (nebo spíše metodu řešení, která tento typ definuje) problémů s parametry. Ukažme si analytické řešení tohoto typu.

Příklad 5. Na rovině xy označte všechny body, kterými neprochází žádná z křivek rodiny y = x 2 – 4рх + 2р 2 – 3, kde p je parametr.

Řešení: Pokud (x 0;y 0 ) je bod, kterým neprochází žádná z křivek dané rodiny, pak souřadnice tohoto bodu nevyhovují původní rovnici. Následně se problém scvrkl na nalezení vztahu mezi x a y takový, že rovnice daná v podmínce by neměla řešení. Je snadné získat požadovanou závislost tím, že se nezaměříme na proměnné x a y, ale na parametr p. V tomto případě vyvstává produktivní myšlenka: považujte tuto rovnici za kvadratickou vzhledem k p. máme

2р 2 – 4рх+ x 2 – y – 3 = 0. Diskriminační= 8x 2 + 8y + 24 musí být záporné. Odtud dostaneme y ˂ - x 2 – 3, tedy požadovaná množina jsou všechny body souřadnicové roviny ležící „pod“ parabolou y = - x 2 – 3.

Odpověď: y 2 – 3

6. Metodika řešení kvadratických nerovnic s parametry

Obecně řečeno.

Kvadratické (přísné a nepřísné) nerovnosti tvaru

Přijatelné hodnoty jsou ty hodnoty parametrů, pro které platí a, b, c. Kvadratické nerovnice je vhodné řešit analyticky nebo graficky. Protože grafem kvadratické funkce je parabola, pak pro a > 0 směřují větve paraboly nahoru, pro a

Různé polohy paraboly f (x) = ax 2 + v + s, a  0 pro a > 0 je znázorněno na obr. 1

A) b) c)

a) Jestliže f (x) > 0 a D  R;

b) Jestliže f (x) > 0 a D = 0, pak x ;

c) Jestliže f (x) > 0 a D > 0, pak x (-  ; x 1 )  (x 2 ; +  ).

Polohy paraboly jsou uvažovány obdobně pro a

Například jeden ze tří případů, kdy

pro a 0 a f (x) > 0 x  (x 1; x 2);

pro a 0 a f (x)  (-  ; x 1 )  (x 2 ; +  ).

Jako příklad zvažte řešení nerovnosti.

Příklad 6. Vyřešte nerovnost x 2 + 2x + a > 0.

Nechť D je diskriminant trinomu x 2 + 2x + a > 0. Pro D = 0, pro a = 1 má nerovnost tvar:

(x + 1) 2 > 0

Platí pro všechny reálné hodnoty x kromě x = - 1.

Když D > 0, tzn. v x, trojčlen x 2 + 2x + a má dva kořeny: - 1 – A

1 + a řešením nerovnosti je interval

(-  ; - 1 – )  (- 1 + ; +  )

Tuto nerovnost lze snadno graficky vyřešit. Abychom to udělali, představme si jej ve formuláři

X 2 + 2x > - a

a sestrojte graf funkce y = x 2+2x

Úsečky průsečíků tohoto grafu s přímkou y = - a jsou kořeny rovnice x 2 + 2x = - a.

Odpověď:

pro –a > - 1, tzn. v a, x  (-  ; x 1 )  (x 2 ;+  );

at – a = - 1, tzn. pro a = 1 je x libovolné reálné číslo kromě - 1;

v – a , tedy pro a > 1 je x libovolné reálné číslo.

Příklad 7 . Vyřešte nerovnost cx 2 – 2 (s – 1)x + (s + 2)

Když c = 0, má tvar: 2x + 2řešením bude x

Zaveďme označení f (x) = cx 2 – 2 (s – 1)x + (s + 2) kde c ≠ 0.

V tomto případě nerovnost f(x)

Nechť D je diskriminant f(x). 0,25 D = 1 – 4 s.

Pokud D > 0, tzn. pokud s> 0,25, pak se znaménko f (x) shoduje se znaménkem c pro jakékoli reálné hodnoty x, tzn. f(x)> 0 pro libovolné x  R, což znamená pro c > 0,25 nerovnost f(x)

Pokud D = 0, tj. c = 0,25, pak f (x) = (0,25 x + 1,5) 2, tzn. f (x)  0 pro libovolné

X  R. Proto pro c = 0,25 nerovnost f (x)

Uvažujme případ D  0). f (x) = 0 pro dvě reálné hodnoty x:

x 1 = (c – 1 – ) a x 2 = (c – 1 + ).

Mohou zde nastat dva případy:

Vyřešit nerovnost f(x)

f(x) se shoduje se znaménkem c. Chcete-li odpovědět na tuto otázku, poznamenejte si, že - , tj. s – 1 – ˂ s – 1 + , ale protože s (s – 1 – ) (s – 1 + ) a proto řešení nerovnosti bude:

(-  ; (s – 1 – ))  ( (s – 1 + ); +  ).

Nyní, abychom vyřešili nerovnost, stačí označit ty hodnoty c, pro které je znaménko f (x) opačné než znaménko c. Od 01 2, pak x  (x 1; x 2).

Odpověď: když c = 0 x  R;

S  (-  ; x 2 )  (x 1 ; +  );

V 0  (x 1; x 2);

Pro c  0,25 neexistují žádná řešení.

Pohled na parametr jako na stejnou proměnnou se odráží v grafických metodách řešení a kvadratických nerovnic. Ve skutečnosti, protože parametr je „stejný v právech“ k proměnné, je přirozené, že může být „přidělen“ své vlastní souřadnicové ose. Vznikne tak souřadnicová rovina (x; a). Takový drobný detail, jako je opuštění tradičního výběru písmen x a y pro označení os, určuje jednu z nejúčinnějších metod řešení problémů s parametry.

Je vhodné, když problém zahrnuje jeden parametr a a jednu proměnnou x. Samotný proces řešení vypadá schematicky takto. Nejprve se zkonstruuje grafický obrázek a poté, když výsledný graf protneme přímkami kolmými k parametrické ose, „odstraníme“ potřebné informace.

Odmítnutí tradičního výběru písmen x a y pro označení os určuje jednu z nejúčinnějších metod řešení problémů s parametry - „metodu domény“

Metodika řešení kvadratických nerovnic za počátečních podmínek.

Uvažujme analytické řešení kvadratické nerovnosti s parametry, jejichž výsledky jsou uvažovány na číselné ose.

Příklad 8.

Najděte všechny hodnoty x, pro každou z nich je nerovnost

(2x)a2+(x2-2x+3)a-3x≥0

je splněna pro jakoukoli hodnotu patřící do intervalu [-3;0].

Řešení. Transformujme levou stranu této nerovnosti následovně:

(2-x)a 2 + (x 2 -2x+3)a-3x=ax 2 - a 2 x - 2ax + 2a 2 + 3a - 3x =

Ax (x - a) - 2a (x - a) - 3 (x - a) = (x - a) (ax - 2a - 3).

Tato nerovnost bude mít tvar: (x - a) (ax - 2a - 3) ≥ 0.

Pokud a = 0, dostaneme - Zx ≥ 0 x ≤ 0.

Pokud a ≠ 0, pak -3 a

Protože A 0, pak řešením této nerovnosti bude interval číselné osy nacházející se mezi kořeny rovnice odpovídající nerovnici.

Pojďme zjistit vzájemnou polohu čísel a , s přihlédnutím k podmínce - 3 ≤ a

3 ≤a

A = -1.

Uveďme ve všech uvažovaných případech řešení této nerovnosti v závislosti na hodnotách parametrů:

Zjistíme, že pouze x = -1 je řešením této nerovnosti pro jakoukoli hodnotu parametru a .

Odpověď: -1

Závěr.

Proč jsem si vybral projekt na téma „Vývoj metodických doporučení pro řešení kvadratických rovnic a nerovnic s parametry“? Protože při řešení libovolných goniometrických, exponenciálních, logaritmických rovnic, nerovnic, soustav, přicházíme nejčastěji na úvahy někdy lineární, nejčastěji kvadratické rovnice a nerovnice. Při řešení složitých úloh s parametry je většina úloh redukována pomocí ekvivalentních transformací na volbu řešení typu: a (x – a) (x – c) > 0 (

Zopakovali jsme si teoretická východiska pro řešení kvadratických rovnic a nerovnic s parametry. Vzpomněli jsme si na potřebné vzorce a transformace, podívali se na různá uspořádání grafů kvadratické funkce v závislosti na hodnotě diskriminantu, na znaménku vedoucího koeficientu, na umístění kořenů a vrcholů paraboly. Identifikovali jsme schéma řešení a výběru výsledků a sestavili tabulku.

Projekt demonstruje analytické a grafické metody řešení kvadratických rovnic a nerovnic. Studenti odborného učiliště potřebují vizuální vnímání látky pro lepší asimilaci látky. Je ukázáno, jak lze změnit proměnnou x a přijmout parametr jako stejnou hodnotu.

Pro jasné pochopení tohoto tématu je zvažováno řešení 8 problémů s parametry, 1 – 2 pro každou sekci. V příkladu č. 1 je uvažován počet řešení pro různé hodnoty parametru, v příkladu č. 3 je analyzováno řešení kvadratické rovnice za různých počátečních podmínek. Pro řešení kvadratických nerovností byla vytvořena grafická ilustrace. V příkladu č. 5 je použita metoda nahrazení parametru jako rovnocenné hodnoty. Součástí projektu je zohlednění příkladu č. 8 z úkolů zařazených v části C pro intenzivní přípravu na složení jednotné státní zkoušky.

Pro kvalitní proškolení studentů v řešení problémů s parametry se doporučuje plně využívat multimediální technologie, a to: využívat prezentace pro přednášky, elektronické učebnice a knihy a vlastní vývoj z mediatéky. Binární lekce matematiky + informatiky jsou velmi efektivní. Internet je nepostradatelným pomocníkem pro učitele i studenty. Prezentace vyžaduje importované objekty z existujících výukových zdrojů. Nejpohodlnější a nejpřijatelnější pro práci je centrum „Using Microsoft Office at School“.

Vypracování metodických doporučení na toto téma usnadní práci mladým učitelům, kteří přicházejí do školy, doplní učitelovo portfolio, poslouží jako vzor pro odborné předměty a vzorová řešení pomohou studentům zvládnout složité úkoly.

Literatura.

1. Gornshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Problémy s parametry. "Ilexa", "Gymnasium", Moskva - Charkov, 2002.

2. Balayan E.N. Sbírka úloh z matematiky pro přípravu na jednotnou státní zkoušku a olympiády. 9-11 tříd. "Phoenix", Rostov na Donu, 2010.

3. Yastrebinetsky G.A. Problémy s parametry. M., "Osvícení", 1986.

4. Kolesníková S.I. Matematika. Řešení komplexních problémů jednotné státní zkoušky. M. "IRIS - tisk", 2005.

5. Rodionov E.M., Sinyakova S.L. Matematika. Průvodce pro uchazeče o studium na vysokých školách. Školicí středisko "Orientir" MSTU pojmenované po. N.E. Bauman, M., 2004.

6. Skanavi M.I. Sbírka úloh z matematiky pro studenty na vysoké školy: Ve 2 knihách. Kniha 1, M., 2009.