Faktorizace polynomiální rovnice. Faktorování polynomů

Obecně tento úkol vyžaduje kreativní přístup, protože neexistuje žádná univerzální metoda pro jeho řešení. Ale zkusme dát pár tipů.

V drtivé většině případů je faktorizace polynomu založena na důsledku Bezoutovy věty, to znamená, že se najde nebo vybere kořen a stupeň polynomu se sníží o jednu dělením . Hledá se kořen výsledného polynomu a proces se opakuje až do úplného rozšíření.

Pokud kořen nelze nalézt, použijí se specifické metody rozšíření: od seskupování až po zavedení dalších vzájemně se vylučujících termínů.

Další prezentace je založena na dovednostech řešení rovnic vyšších stupňů s celočíselnými koeficienty.

Vydělení společného faktoru.

Začněme tím nejjednodušším případem, kdy je volný člen roven nule, tedy polynom má tvar .

Je zřejmé, že kořen takového polynomu je , to znamená, že polynom můžeme reprezentovat ve tvaru .

Tato metoda není nic jiného než uvedení společného faktoru ze závorek.

Příklad.

Faktor polynomu třetího stupně.

Řešení.

Je zřejmé, co je kořenem polynomu, tzn X lze vyjmout ze závorek:

Pojďme najít kořeny kvadratického trinomu

Tedy,

Začátek stránky

Rozložení polynomu s racionálními kořeny.

Nejprve uvažujme metodu pro rozšíření polynomu celočíselnými koeficienty tvaru , koeficient nejvyššího stupně je roven jedné.

V tomto případě, pokud má polynom celočíselné kořeny, pak jsou to dělitelé volného členu.

Příklad.

Řešení.

Zkontrolujeme, zda tam jsou neporušené kořeny. Chcete-li to provést, zapište dělitele čísla -18 : . To znamená, že pokud má polynom celočíselné kořeny, pak jsou mezi zapsanými čísly. Zkontrolujme tato čísla postupně pomocí Hornerova schématu. Jeho výhoda spočívá také v tom, že nakonec získáme expanzní koeficienty polynomu:

to znamená, x=2 A x=-3 jsou kořeny původního polynomu a můžeme jej reprezentovat jako součin:

Zbývá rozšířit kvadratický trinom.

Diskriminant tohoto trinomu je záporný, proto nemá žádné skutečné kořeny.

Odpověď:

Komentář:

Místo Hornerova schématu by se dalo použít výběr kořene a následné dělení polynomu polynomem.

Nyní zvažte expanzi polynomu s celočíselnými koeficienty tvaru , a koeficient nejvyššího stupně není roven jedné.

V tomto případě může mít polynom zlomkově racionální kořeny.

Příklad.

Zohledněte výraz.

Řešení.

Provedením změny proměnné y=2x, přejdeme k polynomu s koeficientem rovným jedné na nejvyšším stupni. Chcete-li to provést, nejprve výraz vynásobte 4 .

Pokud má výsledná funkce celočíselné kořeny, pak patří mezi dělitele volného členu. Pojďme si je zapsat:

Pojďme postupně vypočítat hodnoty funkce g(y) v těchto bodech, dokud není dosaženo nuly.

S pojmy „polynom“ a „faktorizace polynomu“ se v algebře setkáváme velmi často, protože je potřebujete znát, abyste mohli snadno provádět výpočty s velkými vícecifernými čísly. Tento článek popisuje několik metod rozkladu. Všechny jsou velmi jednoduché na použití, stačí si vybrat ten správný pro každý konkrétní případ.

Pojem polynom

Polynom je součet monočlenů, tedy výrazů obsahujících pouze operaci násobení.

Například 2 * x * y je monočlen, ale 2 * x * y + 25 je polynom, který se skládá ze 2 monomiů: 2 * x * y a 25. Takové polynomy se nazývají binomy.

Někdy je pro usnadnění řešení příkladů s vícehodnotovými hodnotami potřeba výraz transformovat, například rozložit na určitý počet faktorů, tedy čísel nebo výrazů, mezi nimiž se provádí akce násobení. Existuje několik způsobů, jak faktorizovat polynom. Stojí za to je zvážit, počínaje tím nejprimitivnějším, který se používá na základní škole.

Seskupení (záznam v obecné podobě)

Vzorec pro faktorizaci polynomu pomocí metody seskupení obecně vypadá takto:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Je nutné seskupit monočleny tak, aby každá skupina měla společný faktor. V první závorce je to faktor c a ve druhé - d. To musí být provedeno, aby bylo možné jej přesunout z držáku, čímž se zjednoduší výpočty.

Algoritmus rozkladu na konkrétním příkladu

Nejjednodušší příklad faktorizace polynomu pomocí metody seskupení je uveden níže:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

V první závorce musíte vzít termíny s faktorem a, který bude společný, a ve druhé - s faktorem b. Dávejte pozor na znaménka + a - v hotovém výrazu. Před jednočlen dáme znak, který byl v počátečním výrazu. To znamená, že musíte pracovat nikoli s výrazem 25a, ale s výrazem -25. Zdá se, že znaménko mínus je „přilepeno“ k výrazu za ním a vždy se bere v úvahu při výpočtu.

V dalším kroku je potřeba vyjmout násobitel, který je běžný, ze závorek. Právě k tomu seskupení slouží. Dát mimo závorku znamená napsat před závorku (vynechat znaménko násobení) všechny ty faktory, které se přesně opakují ve všech termínech, které jsou v závorce. Pokud v závorce nejsou 2, ale 3 nebo více členů, společný faktor musí být obsažen v každém z nich, jinak jej nelze ze závorky vyjmout.

V našem případě jsou v závorkách pouze 2 termíny. Celkový multiplikátor je okamžitě viditelný. V první závorce je a, ve druhé je b. Zde je třeba věnovat pozornost digitálním koeficientům. V první závorce jsou oba koeficienty (10 a 25) násobky 5. To znamená, že ze závorky lze vyjmout nejen a, ale i 5a. Před závorku napište 5a a poté vydělte každý z členů v závorce společným faktorem, který byl vyjmut, a také zapište podíl do závorky, nezapomeňte na znaménka + a - Udělejte totéž s druhou závorkou. vyjměte 7b a také 14 a 35 násobek 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Máme 2 termíny: 5a(2c - 5) a 7b(2c - 5). Každý z nich obsahuje společný faktor (celý výraz v závorkách je zde stejný, což znamená, že se jedná o společný faktor): 2c - 5. Je také potřeba jej vyjmout ze závorky, to znamená, že zůstávají členy 5a a 7b ve druhé závorce:

5a(2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5)* (5a + 7b).

Takže celý výraz je:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Polynom 10ac + 14bc - 25a - 35b se tedy rozloží na 2 faktory: (2c - 5) a (5a + 7b). Znaménko násobení mezi nimi lze při psaní vynechat

Někdy se vyskytují výrazy tohoto typu: 5a 2 + 50a 3, zde můžete ze závorek vyjmout nejen a nebo 5a, ale dokonce i 5a 2. Vždy byste se měli snažit vyjmout největší společný faktor ze závorky. Pokud v našem případě vydělíme každý termín společným faktorem, dostaneme:

5a2/5a2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(při výpočtu podílu více mocnin se stejnými základy se zachová základ a exponent se odečte). V závorce tedy zůstává jednotka (v žádném případě nezapomínejte napsat jedničku, pokud některý z členů ze závorky vyjmete) a podíl dělení: 10a. Ukazuje se, že:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

Čtvercové vzorce

Pro usnadnění výpočtu bylo odvozeno několik vzorců. Říká se jim zkrácené násobící vzorce a používají se poměrně často. Tyto vzorce pomáhají faktorizovat polynomy obsahující stupně. Toto je další účinný způsob faktorizace. Takže tady jsou:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - vzorec nazvaný „čtverec součtu“, protože v důsledku rozkladu na čtverec se bere součet čísel uzavřených v závorkách, to znamená, že hodnota tohoto součtu se sama násobí 2krát, a proto je násobitel.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - vzorec pro druhou mocninu rozdílu, je podobný předchozímu. Výsledkem je rozdíl, uzavřený v závorkách, obsažený v druhé mocnině.
• a 2 - b 2 = (a + b) (a - b)- toto je vzorec pro rozdíl druhých mocnin, protože zpočátku se polynom skládá ze 2 čtverců čísel nebo výrazů, mezi kterými se provádí odčítání. Snad ze tří zmíněných se používá nejčastěji.

Příklady pro výpočty pomocí čtvercových vzorců

Výpočty pro ně jsou poměrně jednoduché. Například:

1. 25x 2 + 20xy + 4 roky 2 - použijte vzorec „druhá mocnina součtu“.
2. 25x 2 je čtverec 5x. 20xy je dvojitý součin 2*(5x*2y) a 4y 2 je druhá mocnina 2y.
3. Tedy 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Tento polynom je rozložen na 2 faktory (faktory jsou stejné, proto se zapisuje jako výraz s druhou mocninou).

Akce používající vzorec pro druhou mocninu rozdílu se provádějí podobně jako tyto. Zbývající vzorec je rozdíl čtverců. Příklady tohoto vzorce lze velmi snadno definovat a najít mezi ostatními výrazy. Například:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20) (5a + 20). Protože 25a 2 = (5a) 2 a 400 = 20 2
• 36x 2 - 25 let 2 = (6x - 5 let) (6x + 5 let). Protože 36x 2 = (6x) 2 a 25y 2 = (5y 2)
• c2-169b2= (c-13b)(c + 13b). Protože 169b 2 = (13b) 2

Je důležité, aby každý z výrazů byl čtvercem nějakého výrazu. Pak tento polynom musí být faktorizován pomocí vzorce rozdílu čtverců. K tomu není nutné, aby byl druhý stupeň nad číslem. Existují polynomy, které obsahují velké stupně, ale přesto vyhovují těmto vzorcům.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

V tomto příkladu může být 8 reprezentována jako (a 4) 2, tedy druhá mocnina určitého výrazu. 25 je 5 2 a 10a je 4 - toto je dvojitý součin výrazů 2 * a 4 * 5. To znamená, že tento výraz, i přes přítomnost stupňů s velkými exponenty, lze rozložit na 2 faktory, aby se s nimi následně pracovalo.

Vzorce krychle

Stejné vzorce existují pro faktorizaci polynomů obsahujících krychle. Jsou o něco složitější než ty se čtverci:

• a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)- tento vzorec se nazývá součet krychlí, protože ve svém počátečním tvaru je polynom součtem dvou výrazů nebo čísel uzavřených v krychli.
• a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2) - vzorec shodný s předchozím je označen jako rozdíl kostek.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - kostka součtu, v důsledku výpočtů je součet čísel nebo výrazů uzavřen v závorkách a vynásoben sám sebou 3krát, to znamená, že se nachází v krychli
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - vzorec, sestavený analogicky s předchozím, měnící pouze některá znaménka matematických operací (plus a minus), se nazývá „diferenční kostka“.

Poslední dva vzorce se pro účely faktorizace polynomu prakticky nepoužívají, protože jsou složité a je dost vzácné najít polynomy, které plně odpovídají přesně této struktuře, aby mohly být faktorizovány pomocí těchto vzorců. Stále je však musíte znát, protože budou vyžadovány při provozu v opačném směru - při otevírání závorek.

Příklady na vzorcích krychle

Podívejme se na příklad: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b) ((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Jsou zde použita poměrně jednoduchá čísla, takže můžete okamžitě vidět, že 64a 3 je (4a) 3 a 8b 3 je (2b) 3. Tento polynom je tedy rozšířen podle vzorce rozdíl kostek na 2 faktory. Akce používající vzorec pro součet kostek se provádějí analogicky.

Je důležité pochopit, že ne všechny polynomy lze rozšířit alespoň jedním způsobem. Existují však výrazy, které obsahují větší mocniny než čtverec nebo krychle, ale lze je také rozšířit do zkrácených tvarů násobení. Například: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25 y 2).

Tento příklad obsahuje až 12 stupňů. Ale i to lze faktorizovat pomocí vzorce součtu kostek. K tomu je potřeba si představit x 12 jako (x 4) 3, tedy jako krychli nějakého výrazu. Nyní jej místo a musíte ve vzorci nahradit. No, výraz 125y 3 je krychle 5y. Dále musíte sestavit produkt pomocí vzorce a provést výpočty.

Nejprve, nebo v případě pochybností, můžete vždy zkontrolovat inverzním násobením. Stačí otevřít závorky ve výsledném výrazu a provést akce s podobnými výrazy. Tato metoda platí pro všechny uvedené redukční metody: jak pro práci se společným faktorem a seskupením, tak pro práci se vzorci krychlí a kvadratických mocnin.

Rozložení polynomu. Část 1

Faktorizace je univerzální technika, která pomáhá řešit složité rovnice a nerovnice. První myšlenka, která by vás měla napadnout při řešení rovnic a nerovnic, ve kterých je na pravé straně nula, je pokusit se vynásobit levou stranu.

Uveďme si to hlavní způsoby rozkladu polynomu:

• uvedení společného faktoru ze závorek
• pomocí zkrácených vzorců pro násobení
• pomocí vzorce pro rozklad kvadratického trinomu
• seskupovací metoda
• dělení polynomu binomem
• metoda nejistých koeficientů

V tomto článku se budeme podrobně zabývat prvními třemi metodami a zbytek zvážíme v následujících článcích.

1. Vyjmutí společného činitele ze závorek.

Chcete-li vyjmout společný faktor ze závorek, musíte jej nejprve najít. Společný multiplikační faktor roven největšímu společnému děliteli všech koeficientů.

Dopisová část společný činitel se rovná součinu výrazů obsažených v každém členu s nejmenším exponentem.

Schéma pro přiřazení společného násobitele vypadá takto:

Pozor!
Počet termínů v závorkách se rovná počtu termínů v původním výrazu. Pokud se některý z členů shoduje se společným činitelem, pak při jeho dělení společným činitelem dostaneme jedničku.

Příklad 1

Faktor polynomu:

Vyjmeme společný faktor ze závorek. Abychom to mohli udělat, nejprve jej najdeme.

1. Najděte největšího společného dělitele všech koeficientů polynomu, tzn. čísla 20, 35 a 15. Rovná se 5.

2. Zjistíme, že proměnná je obsažena ve všech členech a nejmenší z jejích exponentů je roven 2. Proměnná je obsažena ve všech členech a nejmenší z jejích exponentů je 3.

Proměnná je obsažena pouze ve druhém členu, není tedy součástí společného faktoru.

Takže celkový faktor je

3. Vyjmeme multiplikátor ze závorek pomocí výše uvedeného schématu:

Příklad 2Řešte rovnici:

Řešení. Rozložme levou stranu rovnice na faktor. Vyjmeme faktor ze závorek:

Takže dostaneme rovnici

Srovnejme každý faktor s nulou:

Dostaneme - kořen první rovnice.

Kořeny:

Odpověď: -1, 2, 4

2. Faktorizace pomocí zkrácených násobicích vzorců.

Pokud je počet členů v polynomu, který budeme faktorizovat, menší nebo roven třem, pak se pokusíme použít zkrácené násobící vzorce.

1. Pokud je polynomrozdíl dvou termínů, pak se pokusíme uplatnit vzorec čtvercového rozdílu:

nebo vzorec rozdílu kostek:

Tady jsou písmena a označují číslo nebo algebraický výraz.

2. Je-li polynom součtem dvou členů, pak jej možná lze faktorizovat pomocí vzorce součet kostek:

3. Pokud se polynom skládá ze tří členů, pak se pokusíme aplikovat vzorec čtvercového součtu:

nebo vzorec pro čtvercový rozdíl:

Nebo se pokusíme faktorizovat podle vzorec pro rozklad kvadratického trinomu:

Zde a jsou kořeny kvadratické rovnice

Příklad 3Zvažte výraz:

Řešení. Máme před sebou součet dvou členů. Zkusme použít vzorec pro součet kostek. Chcete-li to provést, musíte nejprve reprezentovat každý výraz jako krychli nějakého výrazu a poté použít vzorec pro součet krychlí:

Příklad 4. Zvažte výraz:

Rozhodnutí. Zde máme rozdíl druhých mocnin dvou výrazů. První výraz: , druhý výraz:

Použijme vzorec pro rozdíl čtverců:

Otevřeme závorky a přidáme podobné výrazy, dostaneme:

Faktorizace rovnice je proces hledání těch termínů nebo výrazů, které po vynásobení vedou k počáteční rovnici. Faktoring je užitečná dovednost pro řešení základních algebraických problémů a stává se téměř nezbytným při práci s kvadratickými rovnicemi a jinými polynomy. Faktoring se používá ke zjednodušení algebraických rovnic, aby bylo snazší je řešit. Faktoring vám může pomoci odstranit určité možné odpovědi rychleji, než kdybyste řešili rovnici ručně.

Kroky

Rozdělení čísel a základní algebraické výrazy

1. Faktoring čísel. Koncept faktoringu je jednoduchý, ale v praxi může být faktoring náročný (pokud je dána složitá rovnice). Nejprve se tedy podívejme na koncept faktoringu pomocí čísel jako příklad, pokračujeme jednoduchými rovnicemi a poté přejdeme ke složitým rovnicím. Faktory daného čísla jsou čísla, která po vynásobení dávají původní číslo. Například faktory čísla 12 jsou čísla: 1, 12, 2, 6, 3, 4, protože 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Stejně tak si činitele čísla můžete představit jako jeho dělitele, tedy čísla, kterými je číslo dělitelné.
   • Najděte všechny faktory čísla 60. Často používáme číslo 60 (například 60 minut za hodinu, 60 sekund za minutu atd.) a toto číslo má poměrně velké množství faktorů.
     • 60 násobitelů: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 a 60.

2. Pamatujte:členy výrazu obsahujícího koeficient (číslo) a proměnnou lze také faktorizovat. Chcete-li to provést, najděte koeficientové faktory pro proměnnou. Když víte, jak faktorizovat členy rovnic, můžete tuto rovnici snadno zjednodušit.

   • Například výraz 12x lze zapsat jako součin 12 a x. Můžete také napsat 12x jako 3(4x), 2(6x) atd., přičemž 12 rozložíte na faktory, které vám nejlépe vyhovují.
     • Můžete jednat 12x vícekrát za sebou. Jinými slovy, neměli byste se zastavit na 3(4x) nebo 2(6x); pokračovat v expanzi: 3(2(2x)) nebo 2(3(2x)) (samozřejmě 3(4x)=3(2(2x)) atd.)

3. Aplikujte distributivní vlastnost násobení na faktorové algebraické rovnice. Znáte-li způsob faktorizace čísel a výrazových členů (koeficienty s proměnnými), můžete zjednodušit jednoduché algebraické rovnice nalezením společného činitele čísla a výrazového členu. Pro zjednodušení rovnice obvykle potřebujete najít největší společný faktor (GCD). Toto zjednodušení je možné díky distributivní vlastnosti násobení: pro všechna čísla a, b, c platí rovnost a(b+c) = ab+ac.

   • Příklad. Vynásobte rovnici 12x + 6. Nejprve najděte gcd 12x a 6. 6 je největší číslo, které dělí 12x i 6, takže tuto rovnici můžete vynásobit: 6(2x+1).
   • Tento proces platí také pro rovnice, které mají záporné a zlomkové členy. Například x/2+4 lze rozdělit na 1/2(x+8); například -7x+(-21) lze rozdělit na -7(x+3).

   Faktorování kvadratických rovnic

   1. Ujistěte se, že rovnice je uvedena v kvadratickém tvaru (ax 2 + bx + c = 0). Kvadratické rovnice mají tvar: ax 2 + bx + c = 0, kde a, b, c jsou číselné koeficienty jiné než 0. Pokud dostanete rovnici s jednou proměnnou (x) a v této rovnici je jeden nebo více členů s proměnnou druhého řádu můžete přesunout všechny členy rovnice na jednu stranu rovnice a nastavit ji na nulu.

      • Například za předpokladu rovnice: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Tu lze převést na rovnici x 2 + 6x + 9 = 0, což je kvadratická rovnice.
      • Rovnice s proměnným x velkých řádů, například x 3, x 4 atd. nejsou kvadratické rovnice. Jsou to kubické rovnice, rovnice čtvrtého řádu a tak dále (pokud takové rovnice nelze zjednodušit na kvadratické rovnice s proměnnou x umocněnou na 2).

   2. Kvadratické rovnice, kde a = 1, jsou rozšířeny na (x+d)(x+e), kde d*e=ca d+e=b. Pokud má kvadratická rovnice tvar: x 2 + bx + c = 0 (to znamená, že koeficient x 2 je 1), pak lze takovou rovnici (ale není zaručeno) rozšířit na výše uvedené faktory. Chcete-li to provést, musíte najít dvě čísla, která po vynásobení dávají „c“ a po sečtení „b“. Jakmile najdete tato dvě čísla (d a e), dosaďte je do následujícího výrazu: (x+d)(x+e), který po otevření závorky vede k původní rovnici.

      • Pokud je například dána kvadratická rovnice x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 a 3+2=5, můžete tuto rovnici rozdělit na (x+3)(x+2).
      • U záporných výrazů proveďte v procesu faktorizace následující drobné změny:
        • Pokud má kvadratická rovnice tvar x 2 -bx+c, expanduje do: (x-_)(x-_).
        • Pokud má kvadratická rovnice tvar x 2 -bx-c, expanduje do: (x+_)(x-_).
      • Poznámka: mezery lze nahradit zlomky nebo desetinnými místy. Například rovnice x 2 + (21/2)x + 5 = 0 je rozšířena na (x+10)(x+1/2).

   3. Faktorizace metodou pokus-omyl. Jednoduché kvadratické rovnice lze rozložit jednoduchým dosazováním čísel do možných řešení, dokud nenajdete správné řešení. Pokud má rovnice tvar ax 2 +bx+c, kde a>1, možná řešení se zapisují ve tvaru (dx +/- _)(ex +/- _), kde d a e jsou nenulové číselné koeficienty , které při vynásobení dávají a. Buď d nebo e (nebo oba koeficienty) se mohou rovnat 1. Pokud jsou oba koeficienty rovné 1, použijte metodu popsanou výše.

      • Například vzhledem k rovnici 3x 2 - 8x + 4. Zde má 3 pouze dva faktory (3 a 1), takže možná řešení jsou zapsána jako (3x +/- _)(x +/- _). V tomto případě, když za mezery dosadíte -2, najdete správnou odpověď: -2*3x=-6x a -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x a -2*-2=4, tedy takové rozšíření při otevírání závorek povede ke členům původní rovnice.

Je uvedeno 8 příkladů faktorizace polynomů. Zahrnují příklady řešení kvadratických a bikvadratických rovnic, příklady reciprokých polynomů a příklady hledání celých kořenů polynomů třetího a čtvrtého stupně.

1. Příklady s řešením kvadratické rovnice

Příklad 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Řešení

Vyjmeme x 2 mimo závorky:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Kořeny rovnice:
, .

.

Odpověď

Příklad 1.2

Faktor polynomu třetího stupně:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Řešení

Vyjmeme x ze závorek:
.
Řešení kvadratické rovnice x 2 + 6 x + 9 = 0:
Jeho diskriminant: .
Protože diskriminant je nula, kořeny rovnice jsou násobky: ;
.

Odtud získáme rozklad polynomu:
.

Odpověď

Příklad 1.3

Faktor polynomu pátého stupně:
x 5 – 2 x 4 + 10 x 3.

Řešení

Vyjmeme x 3 mimo závorky:
.
Řešení kvadratické rovnice x 2 - 2 x + 10 = 0.
Jeho diskriminant: .
Protože diskriminant je menší než nula, kořeny rovnice jsou složité: ;
, .

Faktorizace polynomu má tvar:
.

Pokud nás zajímá faktorizace s reálnými koeficienty, pak:
.

Odpověď

Příklady faktorizace polynomů pomocí vzorců

Příklady s bikvadratickými polynomy

Příklad 2.1

Faktor bikvadratického polynomu:
x 4 + x 2 - 20.

Řešení

Aplikujme vzorce:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

;
.

Odpověď

Příklad 2.2

Faktor polynom, který se redukuje na bikvadratický:
x 8 + x 4 + 1.

Řešení

Aplikujme vzorce:
A 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
A 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

;

;
.

Odpověď

Příklad 2.3 s rekurentním polynomem

Faktor recipročního polynomu:
.

Řešení

Reciproký polynom má lichý stupeň. Proto má kořen x = - 1 . Vydělte polynom x -(-1) = x + 1
.
.
, ;
;


;
.

Odpověď

V důsledku toho dostaneme:

Udělejme náhradu:

Příklady faktorizace polynomů s celočíselnými kořeny
.

Řešení

Příklad 3.1

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
Faktor polynomu:;
Předpokládejme, že rovnice;
(-6) 3 - 6·(-6) 2 + 11·(-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6·(-3) 2 + 11·(-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6·(-2) 2 + 11·(-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6·(-1) 2 + 11·(-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0.

3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0
x 1 = 1 6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 2 = 2 6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 3 = 3 .
Našli jsme tedy tři kořeny:
.

Odpověď

, x

Příklady faktorizace polynomů s celočíselnými kořeny
.

Řešení

Příklad 3.1

Protože původní polynom je třetího stupně, nemá více než tři kořeny. Protože jsme našli tři kořeny, jsou jednoduché. Pak 2 Příklad 3.2
-2, -1, 1, 2 .
má alespoň jeden celý kořen. Pak je to dělitel čísla
(člen bez x). To znamená, že celý kořen může být jedno z čísel: 6 ;
Tyto hodnoty nahradíme jednu po druhé: 0 ;
(-2) 4 + 2·(-2) 3 + 3·(-2) 3 + 4·(-2) + 2 =;
(-1) 4 + 2·(-1) 3 + 3·(-1) 3 + 4·(-1) + 2 = .
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12 2 Příklad 3.2
1, 2, -1, -2 .
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 -1 :
.

Pokud předpokládáme, že tato rovnice má celočíselný kořen, pak je to dělitel čísla 2 = -1 Dosadíme x =
.

Takže jsme našli další kořen x 2 + 2 = 0 nemá reálné kořeny, pak rozklad polynomu má tvar.