Obrázek 42 ukazuje graf diferencovatelné funkce y f x. Deriváty různých řádů

Pokud je úkol vyřešen správně, obdržíte 1 bod.

Trvá to přibližně 5 minut.

K vyřešení úlohy 7 v matematice na úrovni profilu potřebujete vědět:

1. Úkoly jsou rozděleny do několika typů:
   • fyzikální význam derivátu.
   • geometrický význam derivace a tečny;
   • aplikace derivace ke studiu funkcí;
   • primitivní.
2. Znalost derivační funkce a .
3. A ve většině případů stačí definovat pojmy a pochopit význam odvozeniny.

• derivát – rychlost změny funkce. Derivát je kladný v intervalech kde funkce PROTI roste A negativní na intervalech, ve kterých funkce klesá.
• Extrémní, maximální a minimální body. Extrémní bod– maximální/minimální hodnota funkce na dané množině. Pokud je dosaženo maximální hodnoty, pak se extrémní bod nazývá „maximální bod“; pokud je dosaženo minimální hodnoty, pak se extrémní bod nazývá „minimální bod“.
• Primitivní. Funkce F(x) se nazývá primitivní funkce f(x) v daném intervalu, pokud pro všechny X od tohoto intervalu platí rovnost F'(x) = f (x). Operace hledání primitivní funkce funkce se nazývá integrace.
• Integrace – matematická operace inverzní k derivaci, tedy nalezení derivace. Integrace umožňuje použít derivaci funkce k nalezení funkce samotné.

O geometrickém významu bylo napsáno mnoho teorie. Nebudu se zabývat odvozováním přírůstku funkce, ale dovolte mi připomenout základy pro dokončení úkolů:

Derivace v bodě x je rovna sklonu tečny ke grafu funkce y = f(x) v tomto bodě, to znamená, že je to tečna úhlu sklonu k ose X.

Okamžitě převezmeme úkol z jednotné státní zkoušky a začněme mu rozumět:

Úkol č. 1. Obrázek ukazuje graf funkce y = f(x) a tečna k němu v bodě s úsečkou x0. Najděte hodnotu derivace funkce f(x) v bodě x0.
Kdo spěchá a nechce rozumět vysvětlivkám: přistavte k jakémukoli takovému trojúhelníku (jak je znázorněno níže) a rozdělte stranu vestoje (svislou) stranou ležící (horizontální) a budete mít štěstí, pokud nezapomenete na znak (pokud se čára snižuje (→↓) , pak by odpověď měla být mínus, pokud se řádek zvětšuje (→), pak musí být odpověď kladná!)

Musíte najít úhel mezi tečnou a osou X, nazvěme to α: nakreslete přímku rovnoběžnou s osou X kdekoli přes tečnu ke grafu, dostaneme stejný úhel.

Bod x0 je lepší nebrat, protože K určení přesných souřadnic budete potřebovat velkou lupu.

Vezmeme-li libovolný pravoúhlý trojúhelník (na obrázku jsou navrženy 3 možnosti), najdeme tgα (úhly jsou pak stejné, jak si odpovídají), tzn. získáme derivaci funkce f(x) v bodě x0. proč tomu tak je?

Pokud nakreslíme tečny v jiných bodech x2, x1 atd. tečny budou jiné.

Vraťme se do 7. třídy, abychom postavili linku!

Rovnice přímky je dána rovnicí y = kx + b, kde

k - sklon vzhledem k ose X.

b je vzdálenost mezi průsečíkem s osou Y a počátkem.

Derivace přímky je vždy stejná: y" = k.

V jakémkoli bodě na přímce vezmeme derivaci, bude nezměněná.

Nezbývá tedy než najít tgα (jak bylo uvedeno výše: rozdělte stojící stranu stranou ležící). Protější stranu vydělíme sousední stranou, dostaneme, že k = 0,5. Pokud je však graf klesající, koeficient je záporný: k = −0,5.

Radím vám, abyste se sami překontrolovali druhý způsob:
Přímku můžete definovat pomocí dvou bodů. Najdeme souřadnice libovolných dvou bodů. Například (-2;-2) a (2;-4):

Dosadíme souřadnice bodů do rovnice y = kx + b místo y a x:

−2 = −2k + b

Řešením této soustavy dostaneme b = −3, k = −0,5

Závěr: Druhá metoda trvá déle, ale v ní na znamení nezapomenete.

Odpověď: − 0,5

Úkol č. 2. Obrázek ukazuje derivační graf funkce f(x). Na ose x je vyznačeno osm bodů: x1, x2, x3, ..., x8. Kolik z těchto bodů leží na intervalech rostoucí funkce f(x)?

Pokud je graf funkce klesající - derivace je záporná (a naopak je pravdivá).

Pokud se graf funkce zvětšuje, derivace je kladná (a naopak je pravdivá).

Tyto dvě fráze vám pomohou vyřešit většinu problémů.

Podívejte se pozorně dostanete kresbu derivace nebo funkce a poté si vyberte jednu ze dvou frází.

Sestrojme schematický graf funkce. Protože Je nám dán graf derivace, kde je pak záporná, graf funkce klesá, kde je kladná, roste!

Ukazuje se, že 3 body leží na rostoucích plochách: x4; x5; x6.

Odpověď: 3

Úkol č. 3. Funkce f(x) je definována na intervalu (-6; 4). Obrázek ukazuje graf jeho derivace. Najděte úsečku bodu, ve kterém funkce nabývá největší hodnoty.

Radím vám, abyste si vždy zakreslili, jak probíhá graf funkce, pomocí šipek, jako je tato, nebo schematicky se znaménky (jako v č. 4 a č. 5):

Je zřejmé, že pokud se graf zvýší na -2, pak maximální bod je -2.

Odpověď: -2

Úkol č. 4. Obrázek ukazuje graf funkce f(x) a dvanáct bodů na ose x1, x2, ..., x12. V kolika z těchto bodů je derivace funkce záporná?

Problém je opačný, vzhledem k grafu funkce je potřeba schematicky nakreslit, jak bude graf derivace funkce vypadat, a spočítat, kolik bodů bude ležet v záporném rozsahu.

Pozitivní: x1, x6, x7, x12.

Zápor: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Odpověď: 7

Jiný typ úkolu, když se ho zeptáte na nějaké hrozné „extrémy“? Nebude pro vás těžké najít, co to je, ale vysvětlím to na grafech.

Úkol č. 5. Obrázek ukazuje graf derivace funkce f(x), definované na intervalu (-16; 6). Najděte počet extrémních bodů funkce f(x) na intervalu [-11; 5].

Označme interval od -11 do 5!

Obraťme své bystré oči ke znaménku: je dán graf derivace funkce => pak extrémy jsou průsečíky s osou X.

Odpověď: 3

Úkol č. 6. Obrázek ukazuje graf derivace funkce f(x), definované na intervalu (-13; 9). Najděte počet maximálních bodů funkce f(x) na intervalu [-12; 5].

Označme interval od -12 do 5!

Na tabulku se můžete dívat jedním okem; maximální bod je extrém, takže před ním je derivace kladná (funkce roste) a za ní je derivace záporná (funkce klesá). Takové body jsou zakroužkované.

Šipky ukazují, jak se chová graf funkcí

Odpověď: 3

Úkol č. 7. Obrázek ukazuje graf funkce f(x) definované na intervalu (-7; 5). Najděte počet bodů, ve kterých je derivace funkce f(x) rovna 0.

Můžete se podívat na tabulku výše (derivace je rovna nule, což znamená, že se jedná o extrémní body). A v tomto problému je uveden graf funkce, což znamená, že musíte najít počet inflexních bodů!

Nebo můžete jako obvykle: vytvořit schematický graf derivace.

Derivace je nulová, když graf funkce změní svůj směr (z rostoucího na klesající a naopak)

Odpověď: 8

Úkol č. 8. Obrázek ukazuje derivační graf funkce f(x), definovaná na intervalu (-2; 10). Najděte intervaly rostoucí funkce f(x). Ve své odpovědi uveďte součet celočíselných bodů zahrnutých v těchto intervalech.

Sestrojme schematický graf funkce:

Kde se zvětší, dostaneme 4 celočíselné body: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Odpověď: 22

Úkol č. 9. Obrázek ukazuje derivační graf funkce f(x), definovaná na intervalu (-6; 6). Najděte počet bodů f(x), ve kterých je tečna ke grafu funkce rovnoběžná s přímkou ​​y = 2x + 13 nebo se s ní shoduje.

Dostali jsme graf derivace! To znamená, že naše tečna musí být také „přeložena“ do derivace.

Derivace tečny: y" = 2.

Nyní sestrojíme obě derivace:

Tečny se protínají ve třech bodech, což znamená, že naše odpověď je 3.

Odpověď: 3

Úkol č. 10. Na obrázku je graf funkce f(x), přičemž body -2, 1, 2, 3 jsou vyznačeny Ve kterém z těchto bodů je hodnota derivace nejmenší? Označte prosím tento bod ve své odpovědi.

Úkol je poněkud podobný prvnímu: pro zjištění hodnoty derivace je třeba sestrojit tečnu k tomuto grafu v bodě a najít koeficient k.

Pokud se čára zmenšuje, k< 0.

Pokud čára roste, k > 0.

Zamysleme se nad tím, jak hodnota koeficientu ovlivní sklon přímky:

Při k = 1 nebo k = − 1 bude graf uprostřed mezi osami X a Y.

Čím blíže je přímka k ose X, tím blíže je koeficient k nule.

Čím blíže je přímka k ose Y, tím blíže je koeficient k nekonečnu.

V bodě -2 a 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>zde bude nejmenší hodnota derivátu

Odpověď: 1

Úkol č. 11.

Přímka je tečnou y = 3x + 9 ke grafu funkce y = x³ + x² + 2x + 8. Najděte úsečku tečného bodu.

Přímka bude tečnou ke grafu, když grafy mají společný bod, stejně jako jejich derivace. Srovnejme rovnice grafu a jejich derivace:

Po vyřešení druhé rovnice získáme 2 body. Abychom ověřili, která z nich je vhodná, dosadíme každé z x do první rovnice. Stačí jeden.

Vůbec nechci řešit kubickou rovnici, ale rád bych vyřešil kvadratickou rovnici.

Ale co byste měli napsat jako odpověď, pokud dostanete dvě „normální“ odpovědi?

Při dosazení x(x) do původních grafů y = 3x + 9 a y = x³ + x² + 2x + 8 byste měli dostat stejné Y

y= 1³+1²+2×1+8=12

Odpověď: 1

Právo! Odpověď tedy bude x=1

Úkol č. 12.

Přímka y = − 5x − 6 je tečnou ke grafu funkce ax² + 5x − 5. Najděte a.

Položme rovnítko mezi funkce a jejich derivace:

Pojďme vyřešit tento systém pro proměnné a a x:

Odpověď: 25

Rozbor typických variant úloh č. 7 Jednotné státní zkoušky z matematiky na profilové úrovni

První verze úlohy (demo verze 2018)

Obrázek ukazuje graf diferencovatelné funkce y = f(x). Na ose x je vyznačeno devět bodů: x 1, x 2, ..., x 9. Mezi těmito body najděte všechny body, ve kterých je derivace funkce y = f(x) záporná. Ve své odpovědi uveďte počet nalezených bodů.

Algoritmus řešení:

1. Podívejme se na graf funkce.
2. Hledáme body, ve kterých funkce klesá.
3. Spočítejme jejich počet.
4. Odpověď zapisujeme.

Řešení:

1. Na grafu se funkce periodicky zvyšuje a periodicky snižuje.

2. V těch intervalech, kdy funkce klesá, má derivace záporné hodnoty.

3. Tyto intervaly obsahují body x 3 , x 4 , x 5 , x 9. Existují 4 takové body.

Druhá verze úkolu (od Jaščenka, č. 4)

Na obrázku je graf funkce y = f(x). Na ose x jsou vyznačeny body -2, -1, 2, 4 Ve kterém z těchto bodů je hodnota derivace největší? Označte prosím tento bod ve své odpovědi.

Algoritmus řešení:

1. Podívejme se na graf funkce.
2. Uvažujeme chování funkce v každém z bodů a znaménko derivace v nich.
3. Najdeme body na největší hodnotě derivace.
4. Odpověď zapisujeme.

Řešení:

1. Funkce má několik intervalů klesajícího a rostoucího.

2. Kde se funkce snižuje. Derivace má znaménko mínus. Takové body patří mezi uvedené. Ale na grafu jsou body, kde se funkce zvyšuje. V nich je derivace kladná. Toto jsou body s úsečkami -2 a 2.

3. Uvažujme graf v bodech s x=-2 a x=2. V bodě x=2 funkce stoupá strměji, což znamená, že tečna v tomto bodě má větší sklon. Proto v bodě s úsečkou 2. Největší hodnotu má derivace.

Třetí verze úkolu (od Yashchenko, č. 21)

Přímka je tečnou ke grafu funkce . Najděte a.

Algoritmus řešení:

1. Položme rovnítko mezi tečnu a rovnici funkce.
2. Zjednodušme výslednou rovnost.
3. Najdeme diskriminační.
4. Definování parametru A, pro které existuje jediné řešení.
5. Odpověď zapisujeme.

Řešení:

1. Souřadnice tečného bodu splňují obě rovnice: tečnu i funkci. Proto můžeme rovnice rovnat. Dostáváme:

2. Zjednodušíme rovnost tím, že přesuneme všechny termíny na jednu stranu:

3. V bodě tečnosti musí být jedno řešení, takže diskriminant výsledné rovnice musí být roven nule. To je podmínka jednoznačnosti kořene kvadratické rovnice.

4. Dostáváme:

Ukazuje souvislost mezi znaménkem derivace a povahou monotónnosti funkce.

V následujících případech buďte velmi opatrní. Podívejte se, rozpis CO je vám dán! Funkce nebo její derivace

Pokud je uveden graf derivace, pak nás budou zajímat pouze znaménka a nuly funkce. Žádné „kopce“ nebo „prohlubně“ nás v zásadě nezajímají!

Úkol 1.

Obrázek ukazuje graf funkce definované na intervalu. Určete počet celočíselných bodů, ve kterých je derivace funkce záporná.

Řešení:

Na obrázku jsou barevně zvýrazněny oblasti klesající funkce:

Tyto klesající oblasti funkce obsahují 4 celočíselné hodnoty.

Úkol 2.

Obrázek ukazuje graf funkce definované na intervalu. Najděte počet bodů, ve kterých je tečna ke grafu funkce rovnoběžná s přímkou ​​nebo se s ní shoduje.

Řešení:

Jakmile je tečna ke grafu funkce rovnoběžná (nebo se shoduje) s přímkou ​​(nebo, což je totéž), mající sklon, rovna nule, pak má tečna úhlový koeficient .

To zase znamená, že tečna je rovnoběžná s osou, protože sklon je tečnou úhlu sklonu tečny k ose.

Na grafu tedy najdeme extrémní body (maximální a minimální body) - právě v těchto bodech budou funkce tečné ke grafu rovnoběžné s osou.

Existují 4 takové body.

Úkol 3.

Obrázek ukazuje graf derivace funkce definované na intervalu. Najděte počet bodů, ve kterých je tečna ke grafu funkce rovnoběžná s přímkou ​​nebo se s ní shoduje.

Řešení:

Protože tečna ke grafu funkce je rovnoběžná (nebo se shoduje) s přímkou, která má sklon, má tečna také sklon.

To zase znamená, že na dotykových bodech.

Proto se podíváme na to, kolik bodů v grafu má pořadnici rovnou .

Jak vidíte, existují čtyři takové body.

Úkol 4.

Obrázek ukazuje graf funkce definované na intervalu. Najděte počet bodů, ve kterých je derivace funkce 0.

Řešení:

Derivace je rovna nule v extrémních bodech. Máme 4 z nich:

Úkol 5.

Obrázek ukazuje graf funkce a jedenáct bodů na ose x:. V kolika z těchto bodů je derivace funkce záporná?

Řešení:

Na intervalech klesající funkce nabývá její derivace záporných hodnot. A funkce v bodech klesá. Existují 4 takové body.

Úkol 6.

Obrázek ukazuje graf funkce definované na intervalu. Najděte součet extrémních bodů funkce.

Řešení:

Extrémní body– jedná se o maximální počet bodů (-3, -1, 1) a minimální počet bodů (-2, 0, 3).

Součet extrémních bodů: -3-1+1-2+0+3=-2.

Úkol 7.

Obrázek ukazuje graf derivace funkce definované na intervalu. Najděte intervaly nárůstu funkce. Ve své odpovědi uveďte součet celočíselných bodů zahrnutých v těchto intervalech.

Řešení:

Obrázek ukazuje intervaly, ve kterých je derivace funkce nezáporná.

Na malém rostoucím intervalu nejsou žádné celočíselné body na rostoucím intervalu jsou čtyři celočíselné hodnoty: , , a .

Jejich součet:

Úkol 8.

Obrázek ukazuje graf derivace funkce definované na intervalu. Najděte intervaly nárůstu funkce. Ve své odpovědi uveďte délku největšího z nich.

Řešení:

Na obrázku jsou všechny intervaly, na kterých je derivace kladná, barevně zvýrazněny, což znamená, že samotná funkce na těchto intervalech roste.

Délka největšího z nich je 6.

Úkol 9.

Obrázek ukazuje graf derivace funkce definované na intervalu. V jakém bodě segmentu nabývá největší hodnoty?

Řešení:

Podívejme se, jak se graf chová na segmentu, což nás zajímá pouze znaménko derivace .

Znaménko derivace je mínus, protože graf na tomto segmentu je pod osou.

02.01.2020

Vzácné snachy se mohou pochlubit tím, že mají s tchyní vyrovnaný a přátelský vztah. Většinou se stane pravý opak

DERIVÁT– derivace funkce y = F(x), daný v určitém intervalu ( A, b) v bodě x tohoto intervalu se nazývá mez, ke které směřuje poměr přírůstku funkce F v tomto bodě na odpovídající přírůstek argumentu, když má přírůstek argumentu tendenci k nule.

Derivát se obvykle označuje takto:

Široce se používají i další označení:

Okamžitá rychlost.

Nechte bod M se pohybuje v přímé linii. Vzdálenost s pohyblivý bod, počítaný od nějaké počáteční pozice M 0 , záleží na čase t, tj. s existuje funkce času t: s= F(t). Nechte v určitém okamžiku t pohyblivý bod M byl na dálku s z výchozí pozice M 0 a v příštím okamžiku t+D t se ocitla v pozici M 1 – na dálku s+D s z výchozí pozice ( viz obr.).

Takže po určitou dobu D t vzdálenost s změněno o částku D s. V tomto případě říkají, že během časového intervalu D t velikost s obdržel přírůstek D s.

Průměrná rychlost nemůže ve všech případech přesně charakterizovat rychlost pohybu bodu M v určitém okamžiku t. Pokud např. těleso na začátku intervalu D t pohyboval se velmi rychle a na konci velmi pomalu, pak průměrná rychlost nebude schopna odrážet naznačené vlastnosti pohybu bodu a poskytnout představu o skutečné rychlosti jeho pohybu v tuto chvíli t. Chcete-li přesněji vyjádřit skutečnou rychlost pomocí průměrné rychlosti, musíte vzít kratší dobu D t. Většina plně charakterizuje rychlost pohybu bodu v daném okamžiku t limit, ke kterému se průměrná rychlost blíží při D t® 0. Tento limit se nazývá aktuální rychlost:

Rychlost pohybu v daném okamžiku se tedy nazývá mez poměru D přírůstku dráhy s na časový přírůstek D t, kdy má časový přírůstek tendenci k nule. Protože

Geometrický význam derivace. Tečna ke grafu funkce.

Konstrukce tečných čar je jedním z těch problémů, které vedly ke zrodu diferenciálního počtu. První publikovaná práce související s diferenciálním počtem, kterou napsal Leibniz, byla nazvána Nová metoda maxim a minim, jakož i tečen, pro které nejsou překážkou ani zlomkové ani iracionální veličiny, a speciální typ kalkulu k tomu.

Nechť je křivka grafem funkce y =F(x) v pravoúhlém souřadnicovém systému ( cm. rýže.).

V nějaké hodnotě x na funkci záleží y =F(x). Tyto hodnoty x A y bod na křivce odpovídá M 0(x, y). Pokud argument x dát přírůstek D x, pak novou hodnotu argumentu x+D x odpovídá hodnotě nové funkce y+ D y = F(x + D x). Odpovídajícím bodem křivky bude bod M 1(x+D x,y+D y). Pokud nakreslíte seč M 0M 1 a označeno j úhel, který svírá příčka s kladným směrem osy Vůl, z obrázku je hned jasné, že.

Pokud nyní D x inklinuje k nule, pak bod M 1 se pohybuje po křivce a blíží se k bodu M 0 a úhel j změny s D x. Na Dx® 0 úhel j směřuje k určité meze a a přímka procházející bodem M 0 a složka s kladným směrem osy x, úhel a, bude požadovanou tečnou. Její sklon je:

Proto, F´( x) = tga

těch. hodnota derivátu F´( x) pro danou hodnotu argumentu x rovná se tangens úhlu, který svírá tečna ke grafu funkce F(x) v odpovídajícím bodě M 0(x,y) s kladným směrem osy Vůl.

Diferencovatelnost funkcí.

Definice. Pokud je funkce y = F(x) má v bodě derivaci x = x 0, pak je funkce v tomto bodě diferencovatelná.

Spojitost funkce s derivací. Teorém.

Pokud je funkce y = F(x) je v určitém okamžiku rozlišitelná x = x 0, pak je v tomto bodě spojitý.

Funkce tedy nemůže mít derivaci v bodech nespojitosti. Opačný závěr je nesprávný, tzn. z toho, že v určitém okamžiku x = x 0 funkce y = F(x) je spojitý neznamená, že je v tomto bodě diferencovatelný. Například funkce y = |x| nepřetržitě pro všechny x(–Ґ x x = 0 nemá žádnou derivaci. V tomto bodě není tečna ke grafu. Existuje pravá a levá tečna, ale neshodují se.

Některé věty o diferencovatelných funkcích. Věta o kořenech derivace (Rolleova věta). Pokud je funkce F(x) je v segmentu spojitý [A,b], je diferencovatelný ve všech vnitřních bodech tohoto segmentu a na koncích x = A A x = b jde na nulu ( F(A) = F(b) = 0), pak uvnitř segmentu [ A,b] existuje alespoň jeden bod x= S, A c b, ve kterém je derivace Fў( x) jde na nulu, tzn. Fў( C) = 0.

Věta o konečném přírůstku (Lagrangeova věta). Pokud je funkce F(x) je spojitý na intervalu [ A, b] a je diferencovatelný ve všech vnitřních bodech tohoto segmentu, pak uvnitř segmentu [ A, b] existuje alespoň jeden bod S, A c b to

F(b) – F(A) = Fў( C)(b– A).

Věta o poměru přírůstků dvou funkcí (Cauchyho věta). Li F(x) A G(x) – dvě funkce spojité na segmentu [A, b] a diferencovatelné ve všech vnitřních bodech tohoto segmentu a Gў( x) nezmizí nikde uvnitř tohoto segmentu, pak uvnitř segmentu [ A, b] je takový bod x = S, A c b to

Deriváty různých řádů.

Nechte funkci y =F(x) je diferencovatelný na nějakém intervalu [ A, b]. Derivační hodnoty F ў( x), obecně řečeno, závisí na x, tj. derivát F ў( x) je také funkcí x. Při derivování této funkce získáme tzv. druhou derivaci funkce F(x), který je označen F ўў ( x).

Derivát n- funkčního řádu F(x) se nazývá derivace (prvního řádu) derivace n- 1- a je označen symbolem y(n) = (y(n– 1))ў.

Diferenciály různých řádů.

Funkční diferenciál y = F(x), kde x– nezávislá proměnná, ano dy = F ў( x)dx, nějaká funkce z x, ale od x může záviset pouze první faktor F ў( x), druhý faktor ( dx) je přírůstek nezávislé proměnné x a nezávisí na hodnotě této proměnné. Protože dy existuje funkce od x, pak můžeme určit diferenciál této funkce. Diferenciál diferenciálu funkce se nazývá druhý diferenciál nebo diferenciál druhého řádu této funkce a označuje se d 2y:

d(dx) = d 2y = F ўў( x)(dx) 2 .

Rozdíl n- prvního řádu se nazývá první diferenciál diferenciálu n- 1- pořadí:

d n y = d(d n–1y) = F(n)(x)dx(n).

Částečná derivace.

Pokud funkce nezávisí na jednom, ale na několika argumentech x i(i se liší od 1 do n,i= 1, 2,… n),F(x 1,x 2,… x n), pak se v diferenciálním počtu zavádí pojem parciální derivace, který charakterizuje rychlost změny funkce více proměnných, když se změní pouze jeden argument, např. x i. Parciální derivace 1. řádu vzhledem k x i je definována jako obyčejná derivace a předpokládá se, že všechny argumenty kromě x i, udržujte konstantní hodnoty. U parciálních derivací se zavádí zápis

Takto definované parciální derivace 1. řádu (jako funkce stejných argumentů) zase mohou mít i parciální derivace, jedná se o parciální derivace druhého řádu atd. Takové deriváty převzaté z různých argumentů se nazývají smíšené. Spojité smíšené derivace stejného řádu nezávisí na řádu derivace a jsou si navzájem rovny.

Anna Chugainová

Derivát funkcí v bodě se nazývá limita poměru přírůstku funkce k přírůstku argumentu za předpokladu, že směřuje k nule.

Základní pravidla pro nalezení derivace

Pokud - a - jsou diferencovatelné funkce v bodě (tj. funkce, které mají v bodě derivace), pak:

Tabulka derivací základních funkcí

1. 8.

2. 9.

3. 10.

5. 12.

6. 13.

7.

Pravidlo pro derivování komplexní funkce. Pokud a, tzn. , kde a mají deriváty, pak

Diferenciace funkce zadané parametricky. Nechť je závislost proměnné na proměnné specifikována parametricky pomocí parametru:

Úkol 3. Najděte derivace těchto funkcí.

1)

Řešení. Použitím pravidla 2 pro hledání derivací a vzorců 1 a 2 tabulky derivací získáme:

Řešení. Použitím pravidla 4 pro hledání derivací a vzorců 1 a 13 tabulky derivací získáme:

.

Řešení. Použitím pravidla 3 pro hledání derivací a vzorců 5 a 11 tabulky derivací získáme:

Řešení. Za předpokladu, kde podle vzorce pro nalezení derivace komplexní funkce dostaneme:

Řešení. Máme: Pak podle vzorce pro nalezení derivace parametricky zadané funkce získáme:

4. Deriváty vyššího řádu. L'Hopitalovo pravidlo.

Derivace druhého řádu funkce se nazývá derivát jeho derivátu, tzn. . Pro druhou derivaci se používají následující zápisy: nebo, nebo.

Derivace 1. řádu funkce se nazývá derivace jeho derivace th-řádu. Pro derivaci -tého řádu se používají následující zápisy: nebo, nebo.

L'Hopitalovo pravidlo. Nechť funkce a jsou diferencovatelné v okolí bodu a derivace nezmizí. Jestliže funkce a jsou současně buď nekonečně malé nebo nekonečně velké at a zároveň existuje limita poměru at, pak existuje také limita poměru at. Navíc

.

Pravidlo platí i kdy.

Všimněte si, že v některých případech může zveřejnění nejistot typu nebo může vyžadovat opakované použití L'Hopitalova pravidla.

Typové nejistoty atd. pomocí elementárních transformací je lze snadno redukovat na neurčitosti tvaru resp.

Úkol 4. Najděte limit pomocí L'Hopitalova pravidla.

Řešení Zde máme nejistotu formy, protože na. Použijme L'Hopitalovo pravidlo:

.

Po aplikaci L'Hopitalova pravidla jsme opět získali neurčitost tvaru, protože na. Opětovným použitím L'Hopitalova pravidla dostaneme:

.

5. Funkční studie

a) Zvyšování a snižování funkcí

Funkce je volána zvyšující se na segmentu , pokud pro nějaké body a ze segmentu, kde nerovnost platí. Pokud je funkce spojitá na intervalu a v, pak na intervalu roste.

Funkce je volána klesající na segmentu ,pokud pro nějaké body a ze segmentu, kde nerovnost platí. Pokud je funkce spojitá na intervalu a v, pak na intervalu klesá.

Je-li funkce v daném intervalu pouze rostoucí nebo pouze klesající, je volána monotónní na intervalu.

b) Extrémy funkcí

minimální bod funkcí .

Pokud existuje -sousedství bodu taková, že pro všechny body v tomto okolí platí nerovnost, pak se bod nazývá maximální bod funkcí .

Maximální a minimální body funkce se nazývají její extrémní body.

Bod se nazývá stacionární bod, jestli nebo neexistuje.

Pokud existuje -okolí stacionárního bodu takové, že at a at, pak je maximální bod funkce.

Pokud existuje -okolí stacionárního bodu takové, že at a at, pak -je minimální bod funkce.

A) Konvexní směr. Inflexní body

konvexní nahoru na intervalu , pokud se nachází pod tečnou vynesenou do grafu funkce v libovolném bodě tohoto intervalu.

Postačující podmínkou pro vzestupnou konvexnost grafu funkce na intervalu je splnění nerovnosti pro kterýkoli z uvažovaných intervalů.

Zavolá se graf diferencovatelné funkce konvexní dolů na intervalu , pokud se nachází nad tečnou vynesenou do grafu funkce v libovolném bodě tohoto intervalu.

Postačující podmínkou pro sestupnou konvexnost grafu funkce na intervalu je splnění nerovnosti pro kterýkoli z uvažovaných intervalů.

Bod, ve kterém se změní směr konvexnosti grafu funkce, se nazývá inflexní bod.

Bod, kde nebo neexistuje, je úsečka inflexního bodu, pokud se znaménka nalevo a napravo od něj liší.

d) Asymptoty

Jestliže vzdálenost od bodu na grafu funkce k určité přímce má tendenci k nule, když se bod nekonečně vzdaluje od počátku, pak se přímka nazývá asymptota grafu funkce.

Pokud existuje takové číslo, pak řádek je vertikální asymptota.

Pokud existují limity , pak je čára šikmá (horizontální v k=0) asymptota.

e) Obecná studie funkce

1. Funkční doména

2. Průsečíky grafu se souřadnicovými osami

3. Studium funkce pro spojitost, sudou/lichou a periodicitu

4. Intervaly monotonie funkce

5. Extrémní body funkce

6. Intervaly konvexnosti a inflexní body grafu funkcí

7. Asymptoty grafu funkce

8. Funkční graf.

Úkol 5. Prozkoumejte funkci a vytvořte její graf.

Řešení. 1) Funkce je definována na celé číselné ose kromě bodu, kde se jmenovatel zlomku stává nulou. . Máme: nepatří do definičního oboru této funkce. Stacionární body této funkce jsou tedy body s minimální hodnotou (jak je znázorněno na obrázku).