Čísla na zápornou mocninu. Negativní stupeň

Je zřejmé, že čísla s mocninami lze sčítat jako jiné veličiny , a to tak, že je přidáte jeden po druhém se svými znaky.

Takže součet a 3 a b 2 je a 3 + b 2.
Součet a 3 - b n a h 5 - d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

Kurzy stejné stupně identických proměnných lze přidat nebo odečíst.

Takže součet 2a2 a 3a2 se rovná 5a2.

Je také zřejmé, že když vezmete dvě pole a, nebo tři pole a, nebo pět polí a.

Ale stupně různé proměnné A různé stupně identické proměnné, musí být složen tak, že je sečte se svými znaménky.

Takže součet 2 a 3 je součet 2 + a 3.

Je zřejmé, že druhá mocnina a a krychle a se nerovnají dvojnásobku druhé mocniny a, ale dvojnásobku krychle a.

Součet a 3 b n a 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6.

Odčítání mocniny se provádějí stejným způsobem jako sčítání, s tím rozdílem, že znaménka subtrahendů musí být odpovídajícím způsobem změněna.

Nebo:
2a4 - (-6a4) = 8a4
3h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Násobení mocnin

Čísla s mocninami lze násobit, stejně jako jiné veličiny, jejich psaním za sebou, s násobícím znaménkem nebo bez něj.

Výsledkem vynásobení a 3 b 2 je tedy a 3 b 2 nebo aaabb.

Nebo:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Výsledek v posledním příkladu lze seřadit přidáním identických proměnných.
Výraz bude mít tvar: a 5 b 5 y 3.

Porovnáním několika čísel (proměnných) s mocninami můžeme vidět, že pokud se kterákoli dvě z nich vynásobí, pak výsledkem je číslo (proměnná) s mocninou rovnou množství stupně termínů.

Takže a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Zde 5 je mocnina výsledku násobení, rovna 2 + 3, součet mocnin členů.

Takže a n .a m = a m+n .

Pro a n se a bere jako faktor tolikrát jako mocnina n;

A m se bere jako faktor tolikrát, kolikrát je stupeň m roven;

proto, mocniny se stejnými základy lze násobit sečtením mocnin.

Takže a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . A x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Nebo:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpověď: x 4 - y 4.
Vynásobte (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Toto pravidlo platí i pro čísla, jejichž exponenty jsou negativní.

1. Takže a-2.a-3 = a-5. To lze zapsat jako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Pokud a + b vynásobíme a - b, výsledkem bude a 2 - b 2: tzn

Výsledek vynásobení součtu nebo rozdílu dvou čísel se rovná součtu nebo rozdílu jejich druhých mocnin.

Pokud vynásobíte součet a rozdíl dvou čísel umocněných na náměstí, výsledek se bude rovnat součtu nebo rozdílu těchto čísel v čtvrtý stupně.

Takže (a - y). (a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Dělení stupňů

Čísla s mocninami lze dělit jako ostatní čísla odečtením od dělence nebo jejich umístěním ve zlomkovém tvaru.

Takže a 3 b 2 děleno b 2 se rovná a 3.

Nebo:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Zápis 5 děleno 3 vypadá jako $\frac(a^5)(a^3)$. Ale to se rovná 2. V řadě čísel
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
libovolné číslo lze vydělit jiným a exponent bude roven rozdíl ukazatele dělitelných čísel.

Při dělení stupňů se stejným základem se jejich exponenty odečítají..

Takže y3:y2 = y3-2 = y1. To znamená, $\frac(yyy)(yy) = y$.

A a n+1:a = a n+1-1 = a n . To znamená, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Nebo:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Pravidlo platí i pro čísla s negativní hodnoty stupňů.
Výsledkem dělení -5 a -3 je -2.
Také $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 nebo $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Násobení a dělení mocnin je nutné velmi dobře ovládat, protože takové operace jsou v algebře velmi rozšířené.

Příklady řešení příkladů se zlomky obsahujícími čísla s mocninami

1. Zmenšete exponenty o $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odpověď: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Snižte exponenty o $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odpověď: $\frac(2x)(1)$ nebo 2x.

3. Snižte exponenty a 2 /a 3 a a -3 /a -4 a přiveďte na společného jmenovatele.
a 2 .a -4 je a -2 první čitatel.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, druhý čitatel.
a 3 .a -4 je a -1 , společný čitatel.
Po zjednodušení: a-2/a-1 a 1/a-1.

4. Zmenšete exponenty 2a 4 /5a 3 a 2 /a 4 a přiveďte na společného jmenovatele.
Odpověď: 2a 3 /5a 7 a 5a 5 /5a 7 nebo 2a 3 /5a 2 a 5/5a 2.

5. Vynásobte (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.

6. Vynásobte (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).

7. Vynásobte b4/a-2 h-3/x a a n/y-3.

8. Vydělte a 4 /y 3 a 3 /y 2 . Odpověď: a/y.

9. Vydělte (h 3 - 1)/d 4 (d n + 1)/h.

Zvýšení na zápornou mocninu je jedním ze základních prvků matematiky, který se často vyskytuje při řešení algebraických problémů. Níže jsou uvedeny podrobné pokyny.

Jak se povznést k negativní síle - teorie

Když číslo umocníme na obyčejnou mocninu, jeho hodnotu několikrát vynásobíme. Například 3 3 = 3×3×3 = 27. Se záporným zlomkem je tomu naopak. Obecný tvar vzorce bude následující: a -n = 1/a n. Chcete-li tedy zvýšit číslo na zápornou mocninu, musíte jedničku vydělit daným číslem, ale na kladnou mocninu.

Jak zvýšit na zápornou mocninu - příklady na obyčejných číslech

S ohledem na výše uvedené pravidlo vyřešme několik příkladů.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Odpověď: 4-2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Odpověď -4 -2 = 1/16.

Proč jsou ale odpovědi v prvním a druhém příkladu stejné? Faktem je, že když se záporné číslo zvýší na sudou mocninu (2, 4, 6 atd.), znaménko se stane kladným. Pokud by byl stupeň sudý, zůstalo by mínus:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Jak zvýšit čísla od 0 do 1 na zápornou mocninu

Připomeňme, že když je číslo mezi 0 a 1 zvýšeno na kladnou mocninu, hodnota se s rostoucí mocninou snižuje. Takže například 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Příklad 3: Vypočítejte 0,5 -2
Řešení: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Odpověď: 0,5 -2 = 4

Analýza (pořadí akcí):

• Převeďte desetinný zlomek 0,5 na zlomek 1/2. Je to tak jednodušší.
  Zvyšte 1/2 na zápornou mocninu. 1/(2)-2. Vydělte 1 1/(2) 2, dostaneme 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Příklad 4: Vypočítejte 0,5 -3
Řešení: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Příklad 5: Vypočítejte -0,5 -3
Řešení: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Odpověď: -0,5 -3 = -8

Na základě 4. a 5. příkladu můžeme vyvodit několik závěrů:

• Pro kladné číslo v rozsahu od 0 do 1 (příklad 4), umocněné na zápornou mocninu, nezáleží na tom, zda je mocnina sudá nebo lichá, hodnota výrazu bude kladná. Navíc, čím vyšší stupeň, tím větší hodnota.
• Pro záporné číslo v rozsahu od 0 do 1 (příklad 5), umocněné na zápornou mocninu, nezáleží na tom, zda je mocnina sudá nebo lichá, hodnota výrazu bude záporná. V tomto případě platí, že čím vyšší stupeň, tím nižší hodnota.

Jak zvýšit na zápornou mocninu - mocninu ve tvaru zlomkového čísla

Výrazy tohoto typu mají následující tvar: a -m/n, kde a je regulární číslo, m je čitatel stupně, n je jmenovatel stupně.

Podívejme se na příklad:
Vypočítejte: 8 -1/3

Řešení (pořadí akcí):

• Připomeňme si pravidlo pro zvýšení čísla na zápornou mocninu. Dostaneme: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Všimněte si, že jmenovatel má číslo 8 ve zlomkové mocnině. Obecná forma výpočtu zlomkové mocniny je následující: a m/n = n √8 m.
• Tedy 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Dostaneme odmocninu z osmi, která se rovná 2. Odtud 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Odpověď: 8-1/3 = 2

V tomto článku zjistíme, co to je mocnina čísla. Zde uvedeme definice mocniny čísla, přičemž podrobně zvážíme všechny možné exponenty, počínaje přirozeným exponentem a konče iracionálním. V materiálu najdete spoustu příkladů stupňů, pokrývajících všechny jemnosti, které se objevují.

Navigace na stránce.

Mocnina s přirozeným exponentem, druhá mocnina čísla, třetí mocnina čísla

Začněme s . Při pohledu dopředu řekněme, že pro a je dána definice mocniny čísla a s přirozeným exponentem n, kterou budeme nazývat stupně základ, a n, které budeme nazývat exponent. Všimli jsme si také, že stupeň s přirozeným exponentem se určuje prostřednictvím součinu, takže abyste porozuměli níže uvedenému materiálu, musíte rozumět násobení čísel.

Definice.

Mocnina čísla s přirozeným exponentem n je vyjádření tvaru a n, jehož hodnota je rovna součinu n faktorů, z nichž každý je roven a, tedy .
Konkrétně, mocnina čísla a s exponentem 1 je samotné číslo a, tedy a 1 =a.

Okamžitě stojí za zmínku o pravidlech pro čtení diplomů. Univerzální způsob čtení zápisu a n je: „a na mocninu n“. V některých případech jsou přijatelné také následující možnosti: „a až n-tá mocnina“ a „n-tá mocnina a“. Vezměme například mocninu 8 12, to je „osm na dvanáct“ nebo „osm na dvanáctou mocninu“ nebo „dvanáctá mocnina osm“.

Druhá mocnina čísla, stejně jako třetí mocnina čísla, mají svá vlastní jména. Druhá mocnina čísla se nazývá odmocni číslo, například 7 2 se čte jako „sedm na druhou“ nebo „druhá mocnina čísla sedm“. Třetí mocnina čísla se nazývá krychlová čísla, například 5 3 lze číst jako „pět kostek“ nebo můžete říci „krychle s číslem 5“.

Je čas přinést příklady stupňů s přirozenými exponenty. Začněme stupněm 5 7, zde 5 je základ stupně a 7 je exponent. Uveďme další příklad: 4.32 je základ a přirozené číslo 9 je exponent (4.32) 9 .

Upozorňujeme, že v posledním příkladu je v závorce zapsán základ mocniny 4.32: abychom předešli nesrovnalostem, dáme do závorek všechny základy mocniny, které se liší od přirozených čísel. Jako příklad uvádíme následující stupně s přirozenými exponenty , jejich základy nejsou přirozená čísla, proto se píší v závorkách. Pro úplnou názornost si na tomto místě ukážeme rozdíl obsažený v záznamech ve tvaru (−2) 3 a −2 3. Výraz (−2) 3 je mocnina −2 s přirozeným exponentem 3 a výraz −2 3 (může být zapsán jako −(2 3) ) odpovídá číslu, hodnotě mocniny 2 3 .

Všimněte si, že existuje zápis pro mocninu čísla a s exponentem n ve tvaru a^n. Navíc, pokud n je vícehodnotové přirozené číslo, pak se exponent bere v závorkách. Například 4^9 je jiný zápis pro mocninu 4 9 . A zde je několik dalších příkladů zápisu stupňů pomocí symbolu „^“: 14^(21) , (−2,1)^(155) . V následujícím budeme primárně používat zápis stupně tvaru a n .

Jedním z inverzních problémů ke zvýšení na mocninu s přirozeným exponentem je problém najít základ mocniny ze známé hodnoty mocniny a známého exponentu. Tento úkol vede k .

Je známo, že množina racionálních čísel se skládá z celých čísel a zlomků a každý zlomek může být reprezentován jako kladný nebo záporný obyčejný zlomek. V předchozím odstavci jsme definovali stupeň s celočíselným exponentem, proto, abychom dokončili definici stupně s racionálním exponentem, musíme dát význam mocnině čísla a se zlomkovým exponentem m/n, kde m je celé číslo a n je přirozené číslo. Pojďme na to.

Uvažujme stupeň se zlomkovým exponentem tvaru . Aby vlastnost power-to-power zůstala platná, musí platit rovnost . Pokud vezmeme v úvahu výslednou rovnost a to, jak jsme určili , pak je logické ji přijmout, za předpokladu, že daný výraz m, n a a dává smysl.

Je snadné ověřit, že pro všechny vlastnosti stupně s celočíselným exponentem platí (to bylo provedeno v sekci vlastnosti stupně s racionálním exponentem).

Výše uvedená úvaha nám umožňuje učinit následující závěr: pokud je dáno m, n a a výraz dává smysl, pak se mocnina a se zlomkovým exponentem m/n nazývá n-tá odmocnina z a k mocnině m.

Toto tvrzení nás přibližuje k definici stupně se zlomkovým exponentem. Nezbývá než popsat, při čem m, n a a výraz dává smysl. V závislosti na omezeních m, n a a existují dva hlavní přístupy.

Nejjednodušší způsob je zavést omezení na a tím, že vezmeme a≥0 pro kladné m a a>0 pro záporné m (protože pro m≤0 není stupeň 0 m definován). Pak dostaneme následující definici stupně se zlomkovým exponentem.

Definice.

Mocnina kladného čísla a se zlomkovým exponentem m/n, kde m je celé číslo a n je přirozené číslo, se nazývá n-tá odmocnina čísla a k mocnině m, tedy .

Zlomková mocnina nuly je také určena s jedinou výhradou, že indikátor musí být kladný.

Definice.

Mocnina nuly se zlomkovým kladným exponentem m/n, kde m je kladné celé číslo a n je přirozené číslo, je definován jako .
Když stupeň není určen, to znamená, že stupeň čísla nula se zlomkovým záporným exponentem nedává smysl.

Je třeba poznamenat, že s touto definicí stupně se zlomkovým exponentem existuje jedna výhrada: pro některá záporná a a některá m a n výraz dává smysl a tyto případy jsme zavrhli zavedením podmínky a≥0. Například záznamy dávají smysl nebo , a výše uvedená definice nás nutí říci, že mocniny se zlomkovým exponentem tvaru nedávají smysl, protože základ by neměl být záporný.

Dalším přístupem k určení stupně se zlomkovým exponentem m/n je oddělené uvažování sudých a lichých exponentů odmocniny. Tento přístup vyžaduje další podmínku: mocninu čísla a, jehož exponent je , považujeme za mocninu čísla a, jehož exponentem je odpovídající neredukovatelný zlomek (význam této podmínky vysvětlíme níže ). To znamená, že pokud m/n je neredukovatelný zlomek, pak pro jakékoli přirozené číslo k je stupeň nejprve nahrazen číslem .

Pro sudé n a kladné m má výraz smysl pro libovolné nezáporné a (sudá odmocnina záporného čísla nedává smysl pro záporné m, číslo a musí být stále jiné než nula (jinak dojde k dělení); nulou). A pro liché n a kladné m může být číslo a libovolné (kořen lichého stupně je definován pro libovolné reálné číslo) a pro záporné m musí být číslo a nenulové (aby nedocházelo k dělení nula).

Výše uvedená úvaha nás vede k této definici stupně se zlomkovým exponentem.

Definice.

Nechť m/n je neredukovatelný zlomek, m celé číslo a n přirozené číslo. Pro jakýkoli redukovatelný zlomek je stupeň nahrazen znakem . Mocnina čísla s neredukovatelným zlomkovým exponentem m/n je pro



Vysvětleme, proč je stupeň s redukovatelným zlomkovým exponentem nejprve nahrazen stupněm s neredukovatelným exponentem. Pokud bychom jednoduše definovali stupeň jako , a neučinili výhradu k neredukovatelnosti zlomku m/n, pak bychom se ocitli v situacích podobných následujícím: protože 6/10 = 3/5, pak musí platit rovnost , Ale , A.

Vzorce stupňů používá se v procesu redukce a zjednodušování složitých výrazů, při řešení rovnic a nerovnic.

Číslo C je n-tá mocnina čísla A Když:

Operace se stupni.

1. Vynásobením stupňů se stejným základem se jejich ukazatele sečtou:

a m·a n = a m + n .

2. Při dělení stupňů se stejným základem se jejich exponenty odečítají:

3. Stupeň součinu 2 nebo více faktorů se rovná součinu stupňů těchto faktorů:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Stupeň zlomku se rovná poměru stupňů dividendy a dělitele:

(a/b) n = an/bn.

5. Zvýšením mocniny na mocninu se exponenty vynásobí:

(a m) n = a m n .

Každý výše uvedený vzorec platí ve směru zleva doprava a naopak.

Například. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operace s kořeny.

1. Kořen součinu několika faktorů se rovná součinu kořenů těchto faktorů:

2. Odmocnina poměru se rovná poměru dividendy a dělitele odmocnin:

3. Při zvýšení odmocniny na mocninu stačí zvýšit radikální číslo na tuto mocninu:

4. Pokud zvýšíte stupeň zakořenění v n jednou a zároveň zabudovat do n mocnina je radikální číslo, pak se hodnota odmocniny nezmění:

5. Pokud snížíte stupeň zakořenění v n současně extrahujte kořen n-tá mocnina radikálního čísla, pak se hodnota odmocniny nezmění:

Titul se záporným exponentem. Mocnina určitého čísla s nekladným (celým) exponentem je definována jako mocnina vydělená mocninou stejného čísla s exponentem rovným absolutní hodnotě nekladného exponentu:

Vzorec a m:a n =a m - n lze použít nejen pro m> n, ale také s m< n.

Například. A4:a7 = a4-7 = a-3.

Formulovat a m:a n =a m - n se stal spravedlivým, když m=n, je vyžadována přítomnost nulového stupně.

Titul s nulovým indexem. Mocnina libovolného čísla, které se nerovná nule s nulovým exponentem, je rovna jedné.

Například. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupeň se zlomkovým exponentem. Chcete-li zvýšit skutečné číslo A na míru m/n, musíte extrahovat kořen n tý stupeň m-tá mocnina tohoto čísla A.

Kalkulačka vám pomůže rychle zvýšit číslo na mocninu online. Základem stupně může být libovolné číslo (celá i reálná). Exponent může být také celé číslo nebo reálné číslo a může být také kladný nebo záporný. Pamatujte prosím, že pro záporná čísla není umocnění neceločíselného umocnění nedefinované, a proto kalkulačka ohlásí chybu, pokud se o to pokusíte.

Kalkulačka stupňů

Pozvednout k moci

Umocnění: 20880

Co je přirozená mocnina čísla?

Číslo p se nazývá n-tá mocnina čísla, pokud p je rovno číslu a násobenému samo sebou n krát: p = a n = a·...·a
n - volal exponent a číslo a je stupně základ.

Jak zvýšit číslo na přirozenou sílu?

Chcete-li pochopit, jak zvýšit různá čísla na přirozené síly, zvažte několik příkladů:

Příklad 1. Zvyšte číslo tři na čtvrtou mocninu. To znamená, že je nutné vypočítat 3 4
Řešení: jak je uvedeno výše, 3 4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
Odpověď: 3 4 = 81 .

Příklad 2. Zvyšte číslo pět na pátou mocninu. To znamená, že je nutné vypočítat 5 5
Řešení: podobně, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Odpověď: 5 5 = 3125 .

Chcete-li tedy zvýšit číslo na přirozenou mocninu, stačí je vynásobit samo sebou nkrát.

Co je záporná mocnina čísla?

Záporná mocnina -n a je dělena a na mocninu n: a -n = .

V tomto případě existuje záporná mocnina pouze pro nenulová čísla, protože jinak by došlo k dělení nulou.

Jak zvýšit číslo na zápornou mocninu celého čísla?

Chcete-li zvýšit nenulové číslo na zápornou mocninu, musíte vypočítat hodnotu tohoto čísla na stejnou kladnou mocninu a vydělit jedničku výsledkem.

Příklad 1. Zvyšte číslo dvě na zápornou čtvrtou mocninu. To znamená, že musíte vypočítat 2 -4

Řešení: jak je uvedeno výše, 2-4 = = = 0,0625.

Odpověď: 2 -4 = 0.0625 .