Jak znázornit graf funkce y 1 x. Transformace grafů s modulem

"Přirozený logaritmus" - 0,1. Přirozené logaritmy. 4. Logaritmické šipky. 0,04. 7.121.

"Stupeň výkonové funkce 9" - U. kubická parabola. Y = x3. Učitelka 9. třídy Ladoshkina I.A. Y = x2. Hyperbola. 0. Y = xn, y = x-n kde n je dané přirozené číslo. X. Exponent je sudé přirozené číslo (2n).

„Kvadratická funkce“ - 1 Definice kvadratické funkce 2 Vlastnosti funkce 3 Grafy funkce 4 Kvadratické nerovnice 5 Závěr. Vlastnosti: Nerovnosti: Připravil student třídy 8A Andrey Gerlitz. Plán: Graf: -Intervaly monotonie pro a > 0 pro a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

“Kvadratická funkce a její graf” - Řešení.y=4x A(0,5:1) 1=1 A-patří. Když a=1, vzorec y=ax má tvar.

„Kvadratická funkce 8. stupně“ - 1) Sestrojte vrchol paraboly. Vynesení grafu kvadratické funkce. x. -7. Sestrojte graf funkce. Algebra 8. ročník Učitel 496 Bovina škola T.V.-1. Stavební plán. 2) Sestrojte osu souměrnosti x=-1. y

1. Zlomková lineární funkce a její graf

Funkce ve tvaru y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) jsou polynomy, se nazývá zlomková racionální funkce.

Pravděpodobně již znáte koncept racionálních čísel. Rovněž racionální funkce jsou funkce, které lze znázornit jako podíl dvou polynomů.

Je-li zlomková racionální funkce podílem dvou lineárních funkcí - polynomů prvního stupně, tzn. funkce formuláře

y = (ax + b) / (cx + d), pak se nazývá zlomková lineární.

Všimněte si, že ve funkci y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (jinak se funkce stane lineární y = ax/d + b/d) a že a/c ≠ b/d (jinak funkce je konstantní). Lineární zlomková funkce je definována pro všechna reálná čísla kromě x = -d/c. Grafy zlomkových lineárních funkcí se tvarem neliší od grafu y = 1/x, který znáte. Zavolá se křivka, která je grafem funkce y = 1/x nadsázka. Při neomezeném nárůstu x v absolutní hodnotě funkce y = 1/x neomezeně klesá v absolutní hodnotě a obě větve grafu se blíží k úsečce: pravá shora a levá zdola. Čáry, ke kterým se větve hyperboly blíží, se nazývají její asymptoty.

Příklad 1

y = (2x + 1) / (x – 3).

Řešení.

Vyberme celou část: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Nyní je snadné vidět, že graf této funkce získáme z grafu funkce y = 1/x následujícími transformacemi: posun o 3 jednotkové segmenty doprava, protažení podél osy Oy 7krát a posunutí o 2 segmenty jednotky směrem nahoru.

Podobným způsobem lze zapsat libovolný zlomek y = (ax + b) / (cx + d) se zvýrazněním „celé části“. V důsledku toho jsou grafy všech zlomkových lineárních funkcí hyperboly, posunuté různými způsoby podél souřadnicových os a natažené podél osy Oy.

Pro sestavení grafu libovolné frakčně-lineární funkce není vůbec nutné transformovat zlomek definující tuto funkci. Protože víme, že graf je hyperbola, bude stačit najít přímky, ke kterým se jeho větve blíží - asymptoty hyperboly x = -d/c a y = a/c.

Příklad 2

Najděte asymptoty grafu funkce y = (3x + 5)/(2x + 2).

Řešení.

Funkce není definována, při x = -1. To znamená, že přímka x = -1 slouží jako vertikální asymptota. Abychom našli horizontální asymptotu, zjistěme, k čemu se blíží hodnoty funkce y(x), když argument x vzroste v absolutní hodnotě.

Chcete-li to provést, vydělte čitatel a jmenovatel zlomku x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Jako x → ∞ bude mít zlomek tendenci k 3/2. To znamená, že vodorovná asymptota je přímka y = 3/2.

Příklad 3

Nakreslete graf funkce y = (2x + 1)/(x + 1).

Řešení.

Vyberme „celou část“ zlomku:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Nyní je dobře vidět, že graf této funkce získáme z grafu funkce y = 1/x následujícími transformacemi: posunem o 1 jednotku doleva, symetrickým zobrazením vzhledem k Ox a posunem o 2 segmenty jednotky nahoru podél osy Oy.

Doména D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Rozsah hodnot E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Průsečíky s osami: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkce se zvyšuje v každém intervalu definičního oboru.

Odpověď: Obrázek 1.

2. Zlomková racionální funkce

Uvažujme zlomkovou racionální funkci tvaru y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) jsou polynomy stupně vyššího než první.

Příklady takových racionálních funkcí:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) nebo y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Pokud funkce y = P(x) / Q(x) představuje podíl dvou polynomů stupně vyššího než první, pak bude její graf zpravidla složitější a někdy může být obtížné jej přesně sestrojit. , se všemi detaily. Často však stačí použít techniky podobné těm, které jsme již představili výše.

Nechť zlomek je vlastní zlomek (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + pt x + q t) m1 + ... + (M 1 x + N 1) / (x 2 + pt x + qt).

Je zřejmé, že graf zlomkové racionální funkce lze získat jako součet grafů elementárních zlomků.

Vykreslování grafů zlomkových racionálních funkcí

Zvažme několik způsobů, jak sestrojit grafy zlomkové racionální funkce.

Příklad 4.

Nakreslete graf funkce y = 1/x 2 .

Řešení.

Z grafu funkce y = x 2 sestrojíme graf y = 1/x 2 a použijeme techniku „dělení“ grafů.

Doména D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Rozsah hodnot E(y) = (0; +∞).

Nejsou zde žádné průsečíky s osami. Funkce je sudá. Zvyšuje pro všechna x z intervalu (-∞; 0), snižuje pro x od 0 do +∞.

Odpověď: Obrázek 2.

Příklad 5.

Graf funkce y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Řešení.

Doména D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Zde jsme použili techniku faktorizace, redukce a redukce na lineární funkci.

Odpověď: Obrázek 3.

Příklad 6.

Nakreslete graf funkce y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Řešení.

Definiční obor je D(y) = R. Protože funkce je sudá, je graf symetrický podle ordináty. Než vytvoříme graf, transformujme výraz znovu a zvýrazněme celou část:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Všimněte si, že izolace části celého čísla ve vzorci zlomkové racionální funkce je jednou z hlavních při sestavování grafů.

Jestliže x → ±∞, pak y → 1, tzn. přímka y = 1 je vodorovná asymptota.

Odpověď: Obrázek 4.

Příklad 7.

Uvažujme funkci y = x/(x 2 + 1) a pokusme se přesně najít její největší hodnotu, tzn. nejvyšší bod v pravé polovině grafu. K přesné konstrukci tohoto grafu dnešní znalosti nestačí. Je zřejmé, že naše křivka nemůže „vystoupat“ příliš vysoko, protože jmenovatel rychle začne „předbíhat“ čitatele. Podívejme se, zda se hodnota funkce může rovnat 1. K tomu potřebujeme vyřešit rovnici x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Tato rovnice nemá žádné reálné kořeny. To znamená, že náš předpoklad je nesprávný. Abyste našli největší hodnotu funkce, musíte zjistit, v jakém největším A bude mít rovnice A = x/(x 2 + 1) řešení. Původní rovnici nahraďme kvadratickou: Ax 2 – x + A = 0. Tato rovnice má řešení, když 1 – 4A 2 ≥ 0. Odtud najdeme největší hodnotu A = 1/2.

Odpověď: Obrázek 5, max y(x) = ½.

Máte ještě otázky? Nevíte si rady s grafem funkcí?
Chcete-li získat pomoc od lektora, zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!

webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.

1. Zlomková lineární funkce a její graf

Funkce ve tvaru y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) jsou polynomy, se nazývá zlomková racionální funkce.

Pravděpodobně již znáte koncept racionálních čísel. Rovněž racionální funkce jsou funkce, které lze znázornit jako podíl dvou polynomů.

Je-li zlomková racionální funkce podílem dvou lineárních funkcí - polynomů prvního stupně, tzn. funkce formuláře

y = (ax + b) / (cx + d), pak se nazývá zlomková lineární.

Příklad 1

y = (2x + 1) / (x – 3).

Řešení.

Vyberme celou část: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Příklad 2

Najděte asymptoty grafu funkce y = (3x + 5)/(2x + 2).

Řešení.

Chcete-li to provést, vydělte čitatel a jmenovatel zlomku x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Jako x → ∞ bude mít zlomek tendenci k 3/2. To znamená, že vodorovná asymptota je přímka y = 3/2.

Příklad 3

Nakreslete graf funkce y = (2x + 1)/(x + 1).

Řešení.

Vyberme „celou část“ zlomku:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Doména D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Rozsah hodnot E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Průsečíky s osami: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkce se zvyšuje v každém intervalu definičního oboru.

Odpověď: Obrázek 1.

2. Zlomková racionální funkce

Uvažujme zlomkovou racionální funkci tvaru y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) jsou polynomy stupně vyššího než první.

Příklady takových racionálních funkcí:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) nebo y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + pt x + q t) m1 + ... + (M 1 x + N 1) / (x 2 + pt x + qt).

Je zřejmé, že graf zlomkové racionální funkce lze získat jako součet grafů elementárních zlomků.

Vykreslování grafů zlomkových racionálních funkcí

Zvažme několik způsobů, jak sestrojit grafy zlomkové racionální funkce.

Příklad 4.

Nakreslete graf funkce y = 1/x 2 .

Řešení.

Z grafu funkce y = x 2 sestrojíme graf y = 1/x 2 a použijeme techniku „dělení“ grafů.

Doména D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Rozsah hodnot E(y) = (0; +∞).

Nejsou zde žádné průsečíky s osami. Funkce je sudá. Zvyšuje pro všechna x z intervalu (-∞; 0), snižuje pro x od 0 do +∞.

Odpověď: Obrázek 2.

Příklad 5.

Graf funkce y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Řešení.

Doména D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Zde jsme použili techniku faktorizace, redukce a redukce na lineární funkci.

Odpověď: Obrázek 3.

Příklad 6.

Nakreslete graf funkce y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Řešení.

Definiční obor je D(y) = R. Protože funkce je sudá, je graf symetrický podle ordináty. Než vytvoříme graf, transformujme výraz znovu a zvýrazněme celou část:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Všimněte si, že izolace části celého čísla ve vzorci zlomkové racionální funkce je jednou z hlavních při sestavování grafů.

Jestliže x → ±∞, pak y → 1, tzn. přímka y = 1 je vodorovná asymptota.

Odpověď: Obrázek 4.

Příklad 7.

Odpověď: Obrázek 5, max y(x) = ½.

Máte ještě otázky? Nevíte si rady s grafem funkcí?
Chcete-li získat pomoc od lektora -.
První lekce je zdarma!

blog.site, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.

Zvolme pravoúhlý souřadnicový systém v rovině a nakreslete hodnoty argumentu na ose x. X a na pořadnici - hodnoty funkce y = f(x).

Funkční graf y = f(x) je množina všech bodů, jejichž úsečky patří do oblasti definice funkce a pořadnice se rovnají odpovídajícím hodnotám funkce.

Jinými slovy, graf funkce y = f (x) je množinou všech bodů roviny, souřadnic X, na které uspokojují vztah y = f(x).

Na Obr. 45 a 46 ukazují grafy funkcí y = 2x + 1 A y = x 2 - 2x.

Přísně vzato je třeba rozlišovat mezi grafem funkce (jejíž přesná matematická definice byla uvedena výše) a nakreslenou křivkou, která vždy poskytuje pouze více či méně přesný náčrt grafu (a i tehdy zpravidla ne celý graf, ale pouze jeho část umístěná v koncových částech roviny). V následujícím však budeme obecně říkat „graf“ spíše než „náčrt grafu“.

Pomocí grafu můžete najít hodnotu funkce v bodě. Totiž pokud bod x = a patří do oboru definice funkce y = f(x) a poté vyhledejte číslo f(a)(tj. funkční hodnoty v bodě x = a), měli byste to udělat. Je to nutné přes úsečku x = a nakreslete přímku rovnoběžnou s osou pořadnic; tato čára bude protínat graf funkce y = f(x) v jednom bodě; pořadnice tohoto bodu bude na základě definice grafu rovna f(a)(obr. 47).

Například pro funkci f(x) = x 2 - 2x pomocí grafu (obr. 46) zjistíme f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 atd.

Funkční graf jasně ilustruje chování a vlastnosti funkce. Například z pohledu na Obr. 46 je zřejmé, že funkce y = x 2 - 2x nabývá kladných hodnot, když X< 0 a při x > 2, negativní - na 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x přijímá na x = 1.

Chcete-li zobrazit graf funkce f(x) musíte najít všechny body roviny, souřadnice X,na které splňují rovnici y = f(x). Ve většině případů to není možné, protože takových bodů je nekonečné množství. Proto je graf funkce znázorněn přibližně - s větší či menší přesností. Nejjednodušší je metoda vykreslení grafu pomocí několika bodů. Spočívá v tom, že argument X zadejte konečný počet hodnot - řekněme x 1, x 2, x 3,..., x k a vytvořte tabulku obsahující hodnoty vybraných funkcí.

Tabulka vypadá takto:

Po sestavení takové tabulky můžeme na grafu funkce načrtnout několik bodů y = f(x). Potom spojením těchto bodů hladkou čarou získáme přibližný pohled na graf funkce y = f(x).

Je však třeba poznamenat, že metoda vícebodového vykreslování je velmi nespolehlivá. Ve skutečnosti zůstává chování grafu mezi zamýšlenými body a jeho chování mimo segment mezi přijatými extrémními body neznámé.

Příklad 1. Chcete-li zobrazit graf funkce y = f(x) někdo sestavil tabulku hodnot argumentů a funkcí:

Odpovídajících pět bodů je znázorněno na Obr. 48.

Na základě umístění těchto bodů usoudil, že graf funkce je přímka (na obr. 48 je znázorněna tečkovanou čarou). Lze tento závěr považovat za spolehlivý? Pokud neexistují další úvahy na podporu tohoto závěru, lze jej stěží považovat za spolehlivý. spolehlivý.

Abychom doložili naše tvrzení, zvažte funkci

Výpočty ukazují, že hodnoty této funkce v bodech -2, -1, 0, 1, 2 přesně popisuje výše uvedená tabulka. Graf této funkce však vůbec není přímka (je znázorněna na obr. 49). Dalším příkladem může být funkce y = x + l + sinπx; jeho významy jsou také popsány v tabulce výše.

Tyto příklady ukazují, že ve své „čisté“ podobě je metoda vykreslení grafu pomocí několika bodů nespolehlivá. Pro vykreslení grafu dané funkce se tedy obvykle postupuje následovně. Nejprve si prostudujeme vlastnosti této funkce, s jejíž pomocí můžeme sestavit náčrt grafu. Poté výpočtem hodnot funkce v několika bodech (jejichž výběr závisí na stanovených vlastnostech funkce) se najdou odpovídající body grafu. A nakonec je vytvořenými body nakreslena křivka pomocí vlastností této funkce.

Na některé (nejjednodušší a nejčastěji používané) vlastnosti funkcí sloužících k nalezení náčrtu grafu se podíváme později, ale nyní se podíváme na některé běžně používané metody pro konstrukci grafů.

Graf funkce y = |f(x)|.

Často je nutné vykreslit funkci y = |f(x)|, kde f(x) - danou funkci. Připomeňme si, jak se to dělá. Definováním absolutní hodnoty čísla můžeme psát

To znamená, že graf funkce y =|f(x)| lze získat z grafu, funkce y = f(x) takto: všechny body na grafu funkce y = f(x), jehož ordináty jsou nezáporné, by měly zůstat nezměněny; dále místo bodů grafu funkce y = f(x) s zápornými souřadnicemi byste měli vytvořit odpovídající body na grafu funkce y = -f(x)(tj. část grafu funkce
y = f(x), která leží pod osou X, by se měla odrážet symetricky kolem osy X).

Příklad 2 Graf funkce y = |x|.

Vezměme si graf funkce y = x(obr. 50, a) a část tohoto grafu při X< 0 (leží pod osou X) symetricky odrážené vzhledem k ose X. Výsledkem je graf funkce y = |x|(obr. 50, b).

Příklad 3. Graf funkce y = |x 2 - 2x|.

Nejprve nakreslete funkci y = x 2 - 2x. Grafem této funkce je parabola, jejíž větve směřují vzhůru, vrchol paraboly má souřadnice (1; -1), její graf protíná osu x v bodech 0 a 2. V intervalu (0; 2) funkce nabývá záporných hodnot, proto se tato část grafu odráží symetricky vzhledem k ose x. Obrázek 51 ukazuje graf funkce y = |x 2 -2x|, na základě grafu funkce y = x 2 - 2x

Graf funkce y = f(x) + g(x)

Zvažte problém sestrojení grafu funkce y = f(x) + g(x). pokud jsou uvedeny funkční grafy y = f(x) A y = g(x).

Všimněte si, že definiční obor funkce y = |f(x) + g(x)| je množina všech hodnot x, pro které jsou definovány obě funkce y = f(x) a y = g(x), tj. tato definiční doména je průsečíkem definičních oborů, funkcí f(x) a g(x).

Nechte body (x 0, y 1) A (x 0, y 2), respektive patří do grafů funkcí y = f(x) A y = g(x), tj. y 1 = f(x 0), y2 = g(x 0). Potom bod (x0;. y1 + y2) patří do grafu funkce y = f(x) + g(x)(pro f(x 0) + g(x 0) = y 1 + y2),. a libovolný bod na grafu funkce y = f(x) + g(x) lze získat tímto způsobem. Proto graf funkce y = f(x) + g(x) lze získat z funkčních grafů y = f(x). A y = g(x) nahrazení každého bodu ( x n, y 1) funkční grafika y = f(x) tečka (x n, y 1 + y 2), Kde y2 = g(x n), tj. posunutím každého bodu ( x n, y 1) funkční graf y = f(x) podél osy na podle částky yi = g(x n). V tomto případě se berou v úvahu pouze takové body X n, pro které jsou definovány obě funkce y = f(x) A y = g(x).

Tento způsob vykreslení funkce y = f(x) + g(x) se nazývá sčítání funkčních grafů y = f(x) A y = g(x)

Příklad 4. Na obrázku byl sestrojen graf funkce metodou sčítání grafů
y = x + sinx.

Při vykreslování funkce y = x + sinx mysleli jsme si to f(x) = x, A g(x) = sinx. Pro vykreslení funkčního grafu vybereme body s úsečkami -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Hodnoty f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Počítejme ve vybraných bodech a výsledky umístíme do tabulky.