Nakreslete obrázek, aniž byste zvedli ruku. Konstrukce figurek jedním tahem tužky

Matematik Leonhard Euler si jednou kladl otázku, zda je možné přejít všechny mosty ve městě, kde tehdy žil, aniž by dvakrát prošel žádným mostem? Tato otázka odstartovala nový a vzrušující problém: pokud je dán geometrický obrazec, jak to nakreslit na papír jedním tahem pera, aniž byste dvakrát nakreslili jedinou čáru?

Instrukce

Předpokládá se, že daný obrazec sestává z bodů spojených přímými nebo zakřivenými segmenty. V důsledku toho se v každém takovém bodě sbíhá určitý počet segmentů. V matematice se taková čísla obvykle nazývají grafy.

Pokud se sudý počet segmentů sbíhá v bodě, pak se takový bod sám nazývá sudý vrchol. Pokud je počet segmentů lichý, pak se vrchol nazývá lichý. Například čtverec, ve kterém jsou nakresleny obě úhlopříčky, má v průsečíku úhlopříček čtyři liché vrcholy a jeden sudý vrchol.

Podle definice má úsečka dva konce, a proto vždy spojuje dva vrcholy. Proto sečtením všech příchozích segmentů pro všechny vrcholy grafu můžete získat pouze sudé číslo. Proto bez ohledu na to, jaký je graf, vždy v něm budou liché vrcholy sudé číslo(včetně nuly).

Graf, ve kterém nejsou vůbec žádné liché vrcholy, lze vždy nakreslit, aniž byste zvedli ruku z papíru. Nezáleží na tom, od kterého vrcholu začnete.

Pokud existují pouze dva liché vrcholy, pak je takový graf také jednokurzový. Cesta musí začínat v jednom z lichých vrcholů a končit v jiném z nich.

Obrazec, ve kterém jsou čtyři nebo více lichých vrcholů, není jednokurzální a nebude možné jej nakreslit bez opakujících se čar. Například stejný čtverec s nakreslenými úhlopříčkami není jednokurzální, protože má čtyři liché vrcholy. Ale čtverec s jednou úhlopříčkou nebo „obálka“ - čtverec s úhlopříčkami a „víkem“ - lze nakreslit jednou čárou.

Chcete-li problém vyřešit, musíte si představit, že každá nakreslená čára z obrázku zmizí - není možné ji projít podruhé. Proto při zobrazování jednokurzové postavy musíte zajistit, aby se zbytek práce nerozpadl na nesouvisející části. Pokud se tak stane, nebude již možné věc dokončit.

Všechno zajímavé

Kostka je běžný geometrický útvar, známý téměř každému, kdo je alespoň trochu obeznámen s geometrií. Navíc má přesně definovaný počet ploch, vrcholů a hran. Krychle je geometrický útvar s 8 vrcholy. Kromě...

Trojúhelník je jedním z nejběžnějších geometrických tvarů, který má velký počet odrůd. Jedním z nich je pravoúhlý trojúhelník. Jak se liší od jiných podobných postav? Obyčejný trojúhelník...

Stavění různých geometrických tvarů je nejen zábavná činnost, ale také užitečná. Možná budete potřebovat elipsy, kruhy, obdélníky, mnohoúhelníky a čtverce k realizaci některých konstrukčních řešení, návrhů...

Hranol („něco odříznutého“ v řečtině) se skládá ze dvou základen stejného tvaru, které leží v rovnoběžných rovinách, a bočních ploch. Boční plochy mají tvar rovnoběžníku a jejich počet závisí na počtu vrcholů...

Trojúhelník je jedním z nejjednodušších klasických obrazců v matematice, speciální případ mnohoúhelníku s počtem stran a vrcholů rovným třem. V souladu s tím má trojúhelník také tři výšky a mediány a lze je najít pomocí dobře známých vzorců založených na...

Někdy můžete kolem konvexního mnohoúhelníku nakreslit kružnici tak, že na ní leží vrcholy všech úhlů. Takový kruh ve vztahu k mnohoúhelníku by se měl nazývat opsaný. Jeho střed nemusí být uvnitř...

Výsledkem spojení protilehlých vrcholů ve čtyřúhelníku je konstrukce jeho úhlopříček. Existuje obecný vzorec spojující délky těchto segmentů s jinými rozměry obrázku. S jeho pomocí lze zejména zjistit délku úhlopříčky...

Výška trojúhelníku je přímka vedená z jednoho z jeho vrcholů na opačnou stranu pod úhlem 90 stupňů. Každý trojúhelník má 3 výšky. Ale v závislosti na typu trojúhelníku má konstrukce jeho výšek některé rysy. ...

Mnohoúhelník je plochý geometrický útvar sestávající z úseček protínajících se ve třech nebo více bodech. V tomto případě je polygon uzavřená přerušovaná čára. V mnohoúhelníku jsou body vrcholy a úsečky jsou strany. Vrcholy,…

Nakreslení čtverce nebo pravidelného trojúhelníku na kus papíru je poměrně jednoduché. Ale co když potřebujete kreslit plochá postava s pěti stranami? K nakreslení takové postavy budete potřebovat nejvíce jednoduché nástroje. Budete potřebovat list...

Medián je úsečka, která začíná v jednom z vrcholů trojúhelníku a končí v bodě rozdělujícím protější stranu trojúhelníku na dvě stejné části. Sestrojení mediánu bez jakéhokoli počítání je docela jednoduché. Vám…

I. Vyjádření k problémové situaci.

Pravděpodobně si každý z dětství pamatuje, že následující úkol byl velmi oblíbený: aniž byste zvedli tužku z papíru a aniž byste dvakrát kreslili podél stejné čáry, nakreslete „ otevřená obálka”:

Zkuste nakreslit „otevřenou obálku“.
Jak vidíte, někomu se to podaří a někomu ne. Proč se to děje? Jak správně kreslit, aby to fungovalo? A k čemu to je? Abych odpověděl na tyto otázky, řeknu vám jeden historický fakt.

Město Koenigsberg (po světové válce se jmenovalo Kaliningrad) stojí na řece Pregol. Kdysi tu bylo 7 mostů, které spojovaly břehy a dva ostrovy. Obyvatelé města si všimli, že se nemohou projít přes všech sedm mostů a na každém z nich šli právě jednou. Hádanka vznikla takto: „Je možné přejít všech sedm Königsberských mostů přesně jednou a vrátit se na výchozí místo?

Zkuste to taky, třeba se to někomu povede.

V roce 1735 se o tomto problému dozvěděl Leonhard Euler. Euler zjistil, že žádná taková cesta neexistuje, tedy dokázal, že tento problém je neřešitelný. Euler samozřejmě neřešil jen problém Königsbergských mostů, ale celou třídu podobných problémů, pro které vyvinul metodu řešení. Vidíte, že úkolem je nakreslit do mapy trasu – čáru, aniž byste zvedli tužku z papíru, obešli všech sedm mostů a vrátili se do výchozího bodu. Proto Euler začal uvažovat o diagramu bodů a čar místo mapy mostů, mosty, ostrovy a břehy zavrhl jako nematematické pojmy. Zde je to, co dostal:

A, B jsou ostrovy, M, N jsou břehy a sedm křivek je sedm mostů.

Nyní je úkolem obejít obrys na obrázku tak, aby každá křivka byla nakreslena právě jednou.
Dnes se takovým diagramům bodů a čar říkáme grafy, body se nazývají vrcholy grafu a přímky se nazývají hrany grafu. V každém vrcholu grafu se sbíhá několik čar. Pokud je počet řádků sudý, pak se vrchol nazývá sudý, pokud je počet vrcholů lichý, pak se vrchol nazývá lichý.

Dokažme neřešitelnost našeho problému.
Jak vidíme, v našem grafu jsou všechny vrcholy liché. Nejprve dokažme, že pokud procházení grafu nezačíná od lichého bodu, musí v tomto bodě skončit

Vezměme si příklad vrcholu se třemi úsečkami. Pokud jsme přišli po jedné linii, odešli po druhé a zase se vrátili po třetí. Dál už není kam jít (už nejsou žebra). V našem problému jsme řekli, že všechny body jsou liché, to znamená, že když jeden z nich opustíme, musíme skončit na dalších třech lichých bodech najednou, což se nemůže stát.
Před Eulerem si nikdo nemyslel, že rébus s mostem a další rébusy s přechodem na cestu mají něco společného s matematikou. Eulerova analýza takových problémů „je prvním zárodkem nového odvětví matematiky, dnes známého jako topologie“.

Topologie je obor matematiky, který studuje vlastnosti obrazců, které se nemění během deformací prováděných bez trhání nebo lepení.
Například z hlediska topologie mají kružnice, elipsa, čtverec a trojúhelník stejné vlastnosti a jsou stejným obrazcem, protože jeden může být deformován v jiný, ale prsten se na ně nevztahuje, protože deformujte jej do kruhu, je nutné lepení.

II. Známky kreslení grafu.

1. Pokud v grafu nejsou žádné liché body, lze jej nakreslit jedním tahem, aniž byste museli zvedat tužku z papíru, a to z libovolného místa.
2. Pokud jsou v grafu dva liché vrcholy, pak jej lze nakreslit jedním tahem, aniž byste zvedli tužku z papíru, a musíte začít kreslit v jednom lichém bodě a skončit v druhém.
3. Pokud jsou v grafu více než dva liché body, nelze jej nakreslit jedním tahem tužky.

Vraťme se k našemu problému s otevřenou obálkou. Spočítejme si počet sudých a lichých bodů: 2 liché a 3 sudé, což znamená, že toto číslo lze kreslit jedním tahem a musíte začít od lichého bodu. Zkuste to, teď uspěli všichni?

Pojďme si upevnit nabyté znalosti. Určete, které figurky lze postavit a které ne.

a) Všechny body jsou sudé, takže tento obrazec lze sestavit z libovolného místa, například:

b) Tento obrazec má dva liché body, takže jej lze sestrojit bez zvednutí tužky z papíru, počínaje od lichého bodu.
c) Tento obrazec má čtyři liché body, takže jej nelze sestrojit.
d) Všechny body jsou zde sudé, takže může být sestrojen z libovolného místa.

Pojďme se podívat, jak jste se naučili nové znalosti.

III. Samostatná práce na kartičkách s jednotlivými úkoly.

Cvičení: zkontrolujte, zda je možné projít všechny mosty tak, že po každém z nich půjdete právě jednou. A pokud je to možné, nakreslete cestu.

IV. Výsledky lekce.

Pokud jste se dostali na tuto stránku, pak jste pravděpodobně již zkoušeli vyřešit „test 9 teček“, konkrétně spojení devíti teček se čtyřmi rovnými čarami, aniž byste zvedli pero z listu papíru. Pokud jste tuto hádanku nedokázali vyřešit, nezoufejte. Na této stránce najdete několik řešení tohoto známého není snadný úkol o devíti bodech, které napínaly mysl mnoha tisíc, ne-li milionů lidí.

Problémový stav

Stav:

Stav: musíte spojit nakreslených devět teček se čtyřmi rovnými čarami, aniž byste zvedli pero z listu papíru.

Tento úkol není tak jednoduchý, jak by se mohlo zdát. Chcete-li to vyřešit, musíte myslet mimo krabici a aplikovat své kreativní myšlení, jinak nebude fungovat nic. Pokud se pokusíte jednat bezhlavě a začnete spojovat všechny tečky standardními čarami, můžete strávit spoustu času a stále nevyřešíte problém devíti teček. Naše standardní myšlení, které nás učí ve škole, nás vede k nalezení řešení založeného pouze na šesti typických čarách: 4 stranách čtverce a jeho 2 úhlopříčkách. Většina lidí si myslí, že řešení 9bodové hádanky by mělo ležet v tomto rámci. Ale on tam není. Nemůžete to ani najít, když spojíte další 2 čáry mezi středy stran čtverce:

Obecně lze mezi všemi devíti body nakreslit pouze 20 rovných čar: 4 strany čtverce; 2 úhlopříčky; 6 čar spojujících středy stran velkého čtverce; 8 čar spojujících středy stran velkého čtverce s jeho rohy. Jak nakreslit všechny úsečky spojující našich 9 bodů je znázorněno na obrázku níže:

Ale ani pomocí tohoto diagramu je nemožné najít 4 čáry, které by dokázaly spojit všech devět bodů, aniž byste zvedli ruku.

Správné řešení „9bodového testu“

Řešení této hádanky leží poněkud mimo naše standardní vnímání problému. Abyste sami našli ten správný přístup, nezapomeňte, že:

1. Přes libovolné 2 body lze nakreslit pouze jednu přímku.
2. Přímka není úsečka, a proto se při kreslení čar nemusíme omezovat na našich devět modrých kruhů.

Pokusme se tedy prodloužit linie za náměstí, které nás donedávna omezovalo. Zde můžete vidět, že naše vyhledávací oblast se výrazně zvětšila. S trochou snahy můžete dojít k jednomu ze správných rozhodnutí.

Posloupnost spojení devíti bodů čtyřmi čarami:

1. Nejprve nakreslete čáru spojující bod č. 1 a bod č. 7 přes bod č. 4. Nepřestávejte se hýbat a pokračujte v kreslení přibližně stejně jako od bodu č. 4 k bodu č. 7.
2. Dále se posuňte diagonálně doprava a nahoru a spojte body č. 8 a č. 6. Nezastavujte se v bodě č. 6 a pokračujte v linii k myšlenkové přímce procházející horní stranou našeho čtverce.
3. Nakreslete čáru zprava doleva postupně přes body č. 3, č. 2 a č. 1. Zastavte se v bodě #1.
4. Nyní nakreslete konečný segment přes body č. 1, č. 5 a č. 9. Všech 9 bodů je skutečně spojeno čtyřmi čarami, jak je požadováno v podmínkách úlohy.

Další možnosti. Tato metoda není jediná, můžete začít z libovolného rohu a pohybovat se jedním ze dvou směrů. Na webu 4 mozek Existuje alespoň 12 takových možností pro řešení problému „9 bodů 4 řádky“:

Jen si pomysli, problém, který mnozí neumí vyřešit, má 12 způsobů, jak ho vyřešit. Také viz zjednodušená verze tohoto problému: jak spojit 4 body třemi úsečkami tak, aby se čáry uzavřely do celého obrazce.

Buďte kreativní s touto hádankou

Většina lidí, kteří tento problém vyřešili, se nikdy nedokázala dostat dál standardní myšlení, který je v tomto testu vyjádřen čtvercem tvořeným devíti tečkami. Je nám příjemné dívat se na jakýkoli životní úkol přímo, tím nejjednodušším způsobem. Na druhou stranu může člověk strávit spoustu času a úsilí pomocí standardního přístupu k hledání správné rozhodnutí, kdy je lepší hledat toto řešení, zpočátku přistupovat k procesu kreativně.

V našem životě se často setkáváme s takovými problémy o „devět bodech a čtyřech řádcích“, a abyste je vyřešili, rozvíjejte své kreativní myšlení, včetně pomoci naší výcvik. Ostatně problém 9 bodů má i jiná řešení (o tom si přečtěte více).

Jiná řešení

Změnou našeho rám nebo přihláškou boční trhlina Můžete najít další řešení tohoto problému. Například metoda hyperbolizace při vytváření laterální diskontinuity nás může vést k úvaze, že nikdo neurčuje, že v úloze mají být aplikovány standardní podmínky geometrie (o nekonečné malosti bodů a nekonečné tenkosti čar). Nechť je naše čára tak široká, že může okamžitě protínat několik bodů podél své šířky. Pak budeme moci nejen spojit všech 9 bodů 4 úsečkami, ale dokonce i jednou.

Navíc i na našem 4bodovém obrázku, který je uveden v našem 9bodovém puzzle stavu, jsou samotné kruhové tečky dostatečně velké na to, aby byly spojeny 3 řádky, jako je tento:

Nebo byste se možná neměli omezovat na dvourozměrný prostor vůbec nebo používat koncept zakřivení prostoru. Můžeme se také zaměřit na frázi „bez zvednutí pera z listu papíru“ a jednoduše položit pero na bok a pohybovat s ním, a tak jednoduše nakreslit 3 rovnoběžné čáry.

Moderní děti je těžké něčím zaujmout. Milují sledování karikatur a hraní počítačové hry. Ale chytří rodiče vždy dokážou své dítě zaujmout. Mohou ho například požádat, aby našel způsob, jak nakreslit obálku, aniž by zvedl ruku. Přečtěte si níže o některých tricích tohoto úkolu.

Rozcvička

Než začnete své dítě trápit logickými úkoly, musíte s ním udělat přípravné práce. Proč je to potřeba? Aby dítě nepodvádělo, když si začne lámat hlavu nad otázkou, jak nakreslit obálku, aniž by zvedlo ruku. Ostatně nejzajímavější na tomto problému je, že čára musí jít z bodu do bodu nepřetržitě.

Jaké úkoly lze nabídnout dítěti jako rozcvičku? Samozřejmě na prvním místě by měly být osmičky. Kreslení tohoto čísla zmírňuje stres, čistí mozek a trénuje ruku. Celkově vzato, užitečné cvičení. Poté můžete přejít ke kreslení zaoblených tvarů. Mohou to být kudrlinky nebo jakékoli jiné klikyháky, hlavní věc je, že během procesu kreslení dítě nezvedne tužku a zobrazuje vše v jedné hladké linii.

Jak nakreslit zavřenou obálku

Mnozí rodiče sami strávili více než jednu hodinu, než takový úkol svému dítěti nabídli. Můžete to zkusit taky. Můžeme vás ale rovnou zklamat – splnit takový úkol, aniž byste trochu nepodváděli, je prostě nemožné. Proto vám řekneme metodu, která vám a vašemu dítěti pomůže jít trochu za hranice běžné logiky, abyste pochopili, jak nakreslit zavřenou obálku, aniž byste zvedli ruku.

Vezměte list papíru a ohněte jeho okraj. Ohneme to zpět. Nyní je naším úkolem nakreslit horní okraj uzavřené obálky právě na linii přehybu. Aby to bylo srozumitelnější, umístěme na konce obdélníku tečky. Očíslujme je od levého horního rohu. Číslo jedna se objeví zde a dále ve směru hodinových ručiček. Od čísla 4 do 1 nakreslíme čáru, nyní spojíme 1 až 2 a nyní nakreslíme úhlopříčku ke 4. Od 4 do 3 nakreslíme přímku a pak opět úhlopříčku k 1.

Nyní pojďme k zábavnější části. Ohneme okraj našeho listu a nakreslíme cikcak, který tvoří jakoby hlavu naší obálky. Půjde to od 1 do 2. Zbývá jen spojit 2 a 3 přímkou ​​– a hádanka je vyřešena. Ohněte část listu zpět. Hádanku, jak nakreslit obálku, aniž byste zvedli ruku, můžete nabídnout nejen dětem, ale také přátelům nebo kolegům.

Jak nakreslit otevřenou obálku

Ti, kteří si pozorně přečetli předchozí odstavec a vytvořili vlastní kresbu na základě popisu, již pochopili, jak odpovědět na výše položenou otázku. Koneckonců, řešení hádanky, jak nakreslit otevřenou obálku bez zvednutí ruky, bude podobné tomu napsanému v předchozím odstavci. Pouze zde nebudete muset ohýbat a ohýbat části plechu. Celý obrázek bude vytvořen jednou čarou podle stejného vzoru.

Pokud se ale nechcete opakovat, nabízíme jinou metodu, která povede ke stejnému výsledku. Jak nakreslit obálku bez sundání rukou pomocí druhé metody? Pro začátek znovu nakreslíme obdélník s tečkami a znovu ho očíslujeme, jako v předchozím odstavci. Od čísla 4 do 2 nakreslíme úhlopříčku, od 2 do 3 přímku a od 3 do 1 zase úhlopříčku. Dále musíte nakreslit roh. Od 1 do 2 nakreslíme cikcak, který označuje horní část obálky. Od 2 se vrátíme k 1 přímkou ​​a dokončíme naši konstrukci střídavým kreslením rovných čar od 1 do 4 a od 4 do 3.

Proč jsou takové úkoly potřeba?

Ty by měly být prováděny nejen pro děti, ale i pro dospělé. Díky jim lidský mozek napne a začne pracovat. Pokud se každý den trénujete v provádění podobného úkolu, po měsíci si všimnete, že v kritických situacích jsou řešení generována rychleji a je na to vynaloženo méně úsilí. Zvláště pro školáky je užitečné studovat logické úlohy. Trénují si tak kreativitu a učí se přistupovat ke standardním problémům nekonvenčním způsobem.