Objem zakřiveného lichoběžníku online. Plocha křivočarého lichoběžníku se číselně rovná určitému integrálu

Příklad1 . Vypočítejte plochu obrazce ohraničenou úsečkami: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 a x = 2

Sestrojme obrazec (viz obrázek) Sestrojíme přímku x + 2y – 4 = 0 pomocí dvou bodů A(4;0) a B(0;2). Vyjádřením y až x dostaneme y = -0,5x + 2. Pomocí vzorce (1), kde f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, zjistíme

S = = [-0,25=11,25 sq. jednotek

Příklad 2 Vypočítejte plochu obrazce ohraničenou úsečkami: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 a y = 0.

Řešení. Zkonstruujeme postavu.

Sestrojme přímku x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Sestrojme přímku x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Pojďme najít průsečík přímek řešením soustavy rovnic:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Pro výpočet požadované plochy rozdělíme trojúhelník AMC na dva trojúhelníky AMN a NMC, protože když se x změní z A na N, je plocha omezena přímkou a když se x změní z N na C - přímkou

Pro trojúhelník AMN máme: ; y = 0,5x + 2, tj. f(x) = 0,5x + 2, a = -4, b = 2.

Pro trojúhelník NMC platí: y = - x + 5, tj. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Výpočtem plochy každého trojúhelníku a sečtením výsledků zjistíme:

sq jednotek

9 + 4, 5 = 13,5 čtverečních. jednotek Zkontrolujte: = 0,5 AC = 0,5 čtverečních. jednotek

Příklad 3 Vypočítejte obsah obrázku ohraničeného čarami: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

V v tomto případě musíte vypočítat plochu zakřiveného lichoběžníku ohraničeného parabolou y = x 2 , přímky x = 2 a x = 3 a osa Ox (viz obrázek) Pomocí vzorce (1) najdeme plochu křivočarého lichoběžníku

= = 6 čtverečních jednotek

Příklad 4. Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami: y = - x 2 + 4 a y = 0

Pojďme sestavit postavu. Požadovaná plocha je uzavřena mezi parabolou y = - x 2 + 4 a osa Ox.

Najdeme průsečíky paraboly s osou Ox. Za předpokladu, že y = 0, najdeme x = Protože tento údaj je symetrický kolem osy Oy, vypočítáme plochu obrázku umístěného napravo od osy Oy a zdvojnásobíme získaný výsledek: = +4x]sq. jednotek 2 = 2 čtvereční jednotek

Příklad 5. Vypočítejte plochu obrazce ohraničenou čarami: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Zde musíte vypočítat plochu křivočarého lichoběžníku ohraničeného horní větví paraboly 2 = x, osa Ox a přímky x = 1 a x = 4 (viz obrázek)

Podle vzorce (1), kde f(x) = a = 1 a b = 4, máme = (= čtverečních jednotek.

Příklad 6 . Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Potřebná plocha je omezena půlvlnou sinusoidy a osou Ox (viz obrázek).

Máme - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 čtvereční. jednotek

Příklad 7. Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami: y = - 6x, y = 0 a x = 4.

Obrázek je umístěn pod osou Ox (viz obrázek).

Proto zjistíme jeho plochu pomocí vzorce (3)

= =

Příklad 8. Vypočítejte plochu obrazce ohraničenou úsečkami: y = a x = 2. Sestrojte z bodů křivku y = (viz obrázek). Najdeme tedy plochu obrázku pomocí vzorce (4)

Příklad 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Zde je třeba vypočítat plochu ohraničenou kružnicí x 2 + y 2 = r 2 , tj. oblast kruhu o poloměru r se středem v počátku. Pojďme najít čtvrtou část této oblasti tak, že vezmeme hranice integrace od 0

před; máme: 1 = = [

Proto, 1 =

Příklad 10. Vypočítejte obsah obrazce ohraničeného čarami: y= x 2 a y = 2x

Toto číslo je omezeno parabolou y = x 2 a přímka y = 2x (viz obrázek) Pro určení průsečíků daných přímek řešíme soustavu rovnic: x 2 – 2x = 0 x = 0 a x = 2

Pomocí vzorce (5) k nalezení oblasti získáme

= (základna zakřiveného lichoběžníku) na n stejných dílů; toto rozdělení se provádí pomocí bodů x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Těmito body narýsujme přímky rovnoběžné s osou y. Potom bude daný křivočarý lichoběžník rozdělen na n částí, na n úzkých sloupků. Plocha celého lichoběžníku se rovná součtu ploch sloupců.

Uvažujme samostatně k-tý sloupec, tzn. zakřivený lichoběžník, jehož základnou je segment. Nahradíme jej obdélníkem se stejnou základnou a výškou rovnou f(x k) (viz obrázek). Plocha obdélníku se rovná $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, kde $\Delta x_k $ je délka segmentu; Je přirozené považovat výsledný produkt za přibližnou hodnotu plochy k-tého sloupce.

Pokud nyní uděláme totéž se všemi ostatními sloupci, dojdeme k následujícímu výsledku: plocha S daného křivočarého lichoběžníku se přibližně rovná ploše S n stupňovitého obrazce složeného z n obdélníků (viz obrázek):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \tečky + f(x_k)\Delta x_k + \tečky + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Zde z důvodu jednotnosti zápisu předpokládáme, že a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - délka segmentu, $\Delta x_1 $ - délka segmentu atd.; v tomto případě, jak jsme se shodli výše, $\Delta x_0 = \tečky = \Delta x_(n-1) $

Takže, $S \approx S_n $, a tato přibližná rovnost je přesnější, čím větší n.
Podle definice se má za to, že požadovaná plocha křivočarého lichoběžníku se rovná limitu sekvence (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problém 2(o posunutí bodu)
Hmotný bod se pohybuje po přímce. Závislost rychlosti na čase vyjadřuje vzorec v = v(t). Najděte pohyb bodu za určitý časový úsek [a; b].
Řešení. Pokud by byl pohyb rovnoměrný, pak by se problém vyřešil velmi jednoduše: s = vt, tzn. s = v(b-a). Pro nerovnoměrný pohyb musíte použít stejné nápady, na kterých bylo založeno řešení předchozího problému.
1) Vydělte časový interval [a; b] na n stejných dílů.
2) Uvažujme časový úsek a předpokládejme, že během tohoto časového úseku byla rychlost konstantní, stejná jako v čase t k. Předpokládáme tedy, že v = v(t k).
3) Najděte přibližnou hodnotu pohybu bodu za určité časové období, tuto přibližnou hodnotu označíme jako s k
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Najděte přibližnou hodnotu posunutí s:
$s \cca S_n $ kde
$S_n = s_0 + \tečky + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \tečky + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Požadované posunutí se rovná limitě posloupnosti (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Pojďme si to shrnout. Řešení různých problémů byla redukována na stejný matematický model. Mnoho problémů z různých oblastí vědy a techniky vede v procesu řešení ke stejnému modelu. To znamená, že tento matematický model musí být speciálně studován.

Pojem určitého integrálu

Uveďme matematický popis modelu, který byl sestaven ve třech uvažovaných úlohách pro funkci y = f(x), spojitý (ne však nutně nezáporný, jak se v uvažovaných úlohách předpokládalo) na intervalu [a; b]:
1) rozdělte segment [a; b] na n stejných dílů;
2) vytvořte součet $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) vypočítejte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

V průběhu matematické analýzy bylo prokázáno, že tato limita existuje v případě spojité (nebo po částech spojité) funkce. Volají mu určitý integrál funkce y = f(x) přes segment [a; b] a označeny takto:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Čísla a a b se nazývají limity integrace (dolní a horní).

Vraťme se k výše probíraným úkolům. Definici oblasti uvedenou v problému 1 lze nyní přepsat takto:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
zde S je oblast křivočarého lichoběžníku znázorněného na obrázku výše. Toto je geometrický význam určitého integrálu.

Definici posunutí s bodu pohybujícího se v přímce rychlostí v = v(t) za časové období od t = a do t = b, uvedenou v úloze 2, lze přepsat následovně:

Newtonův-Leibnizův vzorec

Nejprve si odpovězme na otázku: jaká je souvislost mezi určitým integrálem a primitivní funkcí?

Odpověď najdeme v úloze 2. Na jedné straně posunutí s bodu pohybujícího se přímočaře rychlostí v = v(t) za časové období od t = a do t = b se vypočítá jako vzorec
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Na druhou stranu, souřadnice pohybujícího se bodu je primitivní pro rychlost - označme ji s(t); To znamená, že posunutí s je vyjádřeno vzorcem s = s(b) - s(a). V důsledku toho dostaneme:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
kde s(t) je primitivní derivát v(t).

Následující věta byla prokázána v průběhu matematické analýzy.
Teorém. Je-li funkce y = f(x) spojitá na intervalu [a; b], pak je vzorec platný
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
kde F(x) je primitivní funkce f(x).

Daný vzorec se obvykle nazývá Newtonův-Leibnizův vzorec na počest anglického fyzika Isaaca Newtona (1643-1727) a německého filozofa Gottfrieda Leibnize (1646-1716), kteří jej obdrželi nezávisle na sobě a téměř současně.

V praxi místo psaní F(b) - F(a) používají zápis $\left. F(x)\right|_a^b $ (někdy se nazývá tzv. dvojitá substituce) a podle toho přepište Newtonův-Leibnizův vzorec do tohoto tvaru:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

Při výpočtu určitého integrálu nejprve najděte primitivní derivaci a poté proveďte dvojitou substituci.

Na základě Newton-Leibnizova vzorce můžeme získat dvě vlastnosti určitého integrálu.

Nemovitost 1. Integrál součtu funkcí se rovná součtu integrálů:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Nemovitost 2. Konstantní faktor lze vyjmout z integrálního znaménka:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Výpočet ploch rovinných útvarů pomocí určitého integrálu

Pomocí integrálu můžete vypočítat plochy nejen křivočarých lichoběžníků, ale také rovinných obrazců složitějšího typu, například toho, který je znázorněn na obrázku. Obrazec P je omezen přímkami x = a, x = b a grafy spojitých funkcí y = f(x), y = g(x) a na úsečce [a; b] platí nerovnost $g(x) \leq f(x) $. Pro výpočet plochy S takového obrázku budeme postupovat následovně:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Takže plocha S obrazce ohraničená přímkami x = a, x = b a grafy funkcí y = f(x), y = g(x), spojité na úsečce a takové, že pro libovolné x z úsečky [A; b] je splněna nerovnost $g(x) \leq f(x) $, vypočtená podle vzorce
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tabulka neurčitých integrálů (antiderivátů) některých funkcí

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Přejděme k aplikacím integrálního počtu. V této lekci analyzujeme typický a nejběžnější úkol výpočet plochy rovinného útvaru pomocí určitého integrálu. Nakonec ať ho najdou všichni, kdo hledají smysl ve vyšší matematice. Člověk nikdy neví. V reálném životě budete muset aproximovat graf dachy pomocí elementárních funkcí a najít jeho plochu pomocí určitého integrálu.

Pro úspěšné zvládnutí materiálu musíte:

1) Porozumět neurčitému integrálu alespoň na středně pokročilé úrovni. Takže figuríny by si měly lekci nejprve přečíst Ne.

2) Umět aplikovat Newton-Leibnizův vzorec a vypočítat určitý integrál. S určitými integrály na stránce můžete navázat vřelé přátelské vztahy Určitý integrál. Příklady řešení. Úloha „vypočítat plochu pomocí určitého integrálu“ vždy zahrnuje vytvoření výkresu, takže vaše znalosti a dovednosti v kreslení budou také relevantní. Minimálně musíte být schopni sestrojit přímku, parabolu a hyperbolu.

Začněme zakřiveným lichoběžníkem. Zakřivený lichoběžník je plochý obrazec ohraničený grafem nějaké funkce y = F(x), osa VŮL a linky x = A; x = b.

Plocha křivočarého lichoběžníku se číselně rovná určitému integrálu

Jakýkoli určitý integrál (který existuje) má velmi dobrý geometrický význam. Ve třídě Určitý integrál. Příklady řešenířekli jsme, že určitý integrál je číslo. A nyní je čas uvést další užitečný fakt. Z hlediska geometrie je určitým integrálem PLOCHA. to znamená, určitý integrál (pokud existuje) geometricky odpovídá ploše určitého obrazce. Uvažujme určitý integrál

Integrand

definuje křivku v rovině (lze ji nakreslit, pokud je to žádoucí) a samotný určitý integrál se číselně rovná ploše odpovídajícího křivočarého lichoběžníku.

Příklad 1

, , , .

Toto je typický příkaz k zadání. Nejdůležitějším bodem při rozhodování je konstrukce výkresu. Kromě toho musí být výkres vytvořen PRÁVO.

Při konstrukci výkresu doporučuji následující pořadí: nejprve je lepší konstruovat všechny přímky (pokud existují) a pouze Pak– paraboly, hyperboly, grafy dalších funkcí. Techniku výstavby bod po bodu lze nalézt v referenčním materiálu Grafy a vlastnosti elementárních funkcí. Tam také můžete najít velmi užitečný materiál pro naši lekci - jak rychle postavit parabolu.

V tomto problému může řešení vypadat takto.

Udělejme kresbu (všimněte si, že rovnice y= 0 určuje osu VŮL):

Nebudeme stínit zakřivený lichoběžník, zde je zřejmé, o jakou oblast mluvíme. Řešení pokračuje takto:

Na segmentu [-2; 1] funkční graf y = x 2 + 2 se nachází nad osouVŮL, Proto:

Odpověď: .

Kdo má potíže s výpočtem určitého integrálu a aplikací Newton-Leibnizova vzorce

odkazovat na přednášku Určitý integrál. Příklady řešení. Po dokončení úkolu je vždy užitečné podívat se na nákres a zjistit, zda je odpověď skutečná. V tomto případě počítáme počet buněk ve výkresu „okem“ - no, bude jich asi 9, zdá se, že je to pravda. Je naprosto jasné, že pokud jsme dostali řekněme odpověď: 20 čtverečních jednotek, tak je zřejmé, že se někde stala chyba - 20 buněk se evidentně do dotyčného čísla nevejde, maximálně tucet. Pokud je odpověď záporná, pak byl úkol také vyřešen nesprávně.

Příklad 2

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami xy = 4, x = 2, x= 4 a os VŮL.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Co dělat, když se nachází zakřivený lichoběžník pod nápravouVŮL?

Příklad 3

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami y = e-x, x= 1 a souřadnicové osy.

Řešení: Udělejme výkres:

Pokud zakřivený lichoběžník zcela umístěn pod osou VŮL , pak jeho oblast lze najít pomocí vzorce:

V tomto případě:

Pozor! Tyto dva typy úkolů by se neměly zaměňovat:

1) Pokud budete požádáni, abyste jednoduše vyřešili určitý integrál bez jakéhokoli geometrického významu, pak může být záporný.

2) Pokud budete požádáni, abyste našli plochu obrazce pomocí určitého integrálu, pak je plocha vždy kladná! Proto se v právě diskutovaném vzorci objevuje mínus.

V praxi se nejčastěji figura nachází v horní i dolní polorovině, a proto od nejjednodušších školních úloh přecházíme k smysluplnějším příkladům.

Příklad 4

Najděte plochu rovinné postavy ohraničenou čarami y = 2x – x 2 , y = -x.

Řešení: Nejprve musíte udělat výkres. Při konstrukci výkresu v plošných úlohách nás nejvíce zajímají průsečíky čar. Pojďme najít průsečíky paraboly y = 2x – x 2 a rovnou y = -x. To lze provést dvěma způsoby. První metoda je analytická. Řešíme rovnici:

To znamená, že spodní hranice integrace A= 0, horní hranice integrace b= 3. Často je ziskovější a rychlejší konstruovat čáry bod po bodu a hranice integrace se vyjasní „samo od sebe“. Analytická metoda hledání limit se však stále někdy musí použít, pokud je například graf dostatečně velký nebo detailní konstrukce neodhalila limity integrace (mohou být zlomkové nebo iracionální). Vraťme se k našemu úkolu: racionálnější je nejprve sestrojit přímku a teprve potom parabolu. Udělejme nákres:

Zopakujme, že při bodové konstrukci se hranice integrace nejčastěji určují „automaticky“.

A nyní pracovní vzorec:

Pokud na segmentu [ A; b] nějakou spojitou funkci F(x) větší nebo rovno nějakou kontinuální funkci G(x), pak lze oblast odpovídajícího obrázku najít pomocí vzorce:

Zde již nemusíte přemýšlet, kde se postava nachází - nad osou nebo pod osou, ale záleží, který graf je VYŠŠÍ(ve vztahu k jinému grafu), a který je NÍŽE.

V uvažovaném příkladu je zřejmé, že na segmentu se parabola nachází nad přímkou, a proto od 2 x – x 2 se musí odečíst - x.

Hotové řešení může vypadat takto:

Požadovaná hodnota je omezena parabolou y = 2x – x 2 nahoře a rovně y = -x níže.

Na segmentu 2 x – x 2 ≥ -x. Podle odpovídajícího vzorce:

Odpověď: .

Školní vzorec pro oblast křivočarého lichoběžníku ve spodní polorovině (viz příklad č. 3) je ve skutečnosti speciálním případem vzorce

Protože osa VŮL daný rovnicí y= 0 a graf funkce G(x) umístěný pod osou VŮL, To

A nyní pár příkladů pro vlastní řešení

Příklad 5

Příklad 6

Najděte oblast obrázku ohraničenou čarami

Při řešení úloh týkajících se výpočtu plochy pomocí určitého integrálu se občas stane vtipná příhoda. Kresba byla provedena správně, výpočty byly správné, ale kvůli neopatrnosti... Byla nalezena oblast nesprávného obrázku.

Příklad 7

Nejprve si uděláme nákres:

Postava, jejíž oblast potřebujeme najít, je vystínována modře(podívejte se pozorně na stav - jak je počet omezen!). Ale v praxi se lidé kvůli nepozornosti často rozhodnou, že potřebují najít oblast postavy, která je stínovaná zeleně!

Tento příklad je také užitečný, protože počítá plochu obrazce pomocí dvou určitých integrálů. Opravdu:

1) Na segmentu [-1; 1] nad osou VŮL graf je umístěn rovně y = x+1;

2) Na segmentu nad osou VŮL je umístěn graf hyperboly y = (2/x).

Je zcela zřejmé, že oblasti mohou (a měly by být) přidány, proto:

Odpověď:

Příklad 8

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami

Uveďme rovnice ve „školní“ podobě

a vytvořte bod po bodu nákres:

Z nákresu je zřejmé, že naše horní hranice je „dobrá“: b = 1.

Ale jaká je spodní hranice?! Je jasné, že to není celé číslo, ale co to je?

může být, A= (-1/3)? Ale kde je záruka, že kresba je provedena s dokonalou přesností, to se může dobře ukázat A=(-1/4). Co když jsme graf sestavili špatně?

V takových případech musíte věnovat více času a analyticky ujasnit limity integrace.

Pojďme najít průsečíky grafů

Za tímto účelem vyřešíme rovnici:

Proto, A=(-1/3).

Další řešení je triviální. Hlavní věcí je nenechat se zmást v substitucích a znacích. Výpočty zde nejsou nejjednodušší. Na segmentu

, ,

podle odpovídajícího vzorce:

Odpověď:

Na závěr lekce se podívejme na dva obtížnější úkoly.

Příklad 9

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami

Řešení: Znázorněme tento obrázek na výkresu.

Chcete-li sestavit výkres bod po bodu, musíte znát vzhled sinusoidy. Obecně je užitečné znát grafy všech elementárních funkcí a také některé sinusové hodnoty. Najdete je v tabulce hodnot goniometrické funkce. V některých případech (například v tomto případě) je možné sestrojit schematický výkres, na kterém by měly být grafy a limity integrace zásadně správně zobrazeny.

Nejsou zde žádné problémy s limity integrace, které vyplývají přímo z podmínky:

– „x“ se změní z nuly na „pi“. Udělejme další rozhodnutí:

Na segmentu, grafu funkce y= hřích 3 x umístěný nad osou VŮL, Proto:

(1) V lekci můžete vidět, jak jsou sinusy a kosiny integrovány do lichých mocnin Integrály goniometrických funkcí. Odřízneme jeden sinus.

(2) Ve formuláři používáme hlavní goniometrickou identitu

(3) Změňme proměnnou t= cos x, pak: se nachází nad osou, proto:

Poznámka: všimněte si, jak je zde použit integrál tečné krychle;

Začneme uvažovat o vlastním procesu výpočtu dvojného integrálu a seznámíme se s jeho geometrickým významem.

Dvojný integrál se numericky rovná ploše rovinného útvaru (oblast integrace). Toto je nejjednodušší forma dvojitého integrálu, kdy funkce dvou proměnných je rovna jedné: .

Nejprve se podívejme na problém v obecné podobě. Nyní budete docela překvapeni, jak je všechno ve skutečnosti jednoduché! Vypočítejme plochu ploché postavy ohraničenou čarami. Pro jistotu předpokládáme, že na segmentu . Plocha tohoto obrázku se číselně rovná:

Znázorněme oblast na výkresu:

Zvolme první způsob, jak oblast projet:

Tedy:

A hned důležitá technická technika: iterované integrály lze vypočítat samostatně. Nejprve vnitřní integrál, pak vnější integrál. Tuto metodu vřele doporučuji začátečníkům v oboru.

1) Vypočítejme vnitřní integrál a integrace se provede přes proměnnou „y“:

Nejjednodušší je zde neurčitý integrál a pak se používá banální Newton-Leibnizův vzorec, jen s tím rozdílem, že limity integrace nejsou čísla, ale funkce. Nejprve jsme dosadili horní mez do „y“ (antiderivační funkce), poté dolní mez

2) Výsledek získaný v prvním odstavci je třeba dosadit do externího integrálu:

Kompaktnější znázornění celého řešení vypadá takto:

Výsledný vzorec je přesně pracovní vzorec pro výpočet plochy rovinného útvaru pomocí „obyčejného“ určitého integrálu! Podívejte se na lekci Výpočet plochy pomocí určitého integrálu,tam je na každém kroku!

to znamená, problém výpočtu plochy pomocí dvojitého integrálu ne moc odlišné z problému hledání oblasti pomocí určitého integrálu! Ve skutečnosti je to to samé!

Proto by neměly nastat žádné potíže! Nebudu se dívat na mnoho příkladů, protože ve skutečnosti jste se s tímto úkolem opakovaně setkali.

Příklad 9

Řešení: Znázorněme oblast na výkresu:

Zvolme následující pořadí procházení oblasti:

Zde a dále se nebudu zdržovat tím, jak oblast procházet, protože velmi podrobné vysvětlení bylo uvedeno v prvním odstavci.

Tedy:

Jak jsem již poznamenal, pro začátečníky je lepší počítat iterované integrály samostatně a já se budu držet stejné metody:

1) Nejprve se pomocí Newtonova-Leibnizova vzorce zabýváme vnitřním integrálem:

2) Výsledek získaný v prvním kroku se dosadí do externího integrálu:

Bod 2 je vlastně nalezení plochy rovinného obrazce pomocí určitého integrálu.

Odpověď:

To je tak hloupý a naivní úkol.

Zajímavý příklad nezávislého řešení:

Příklad 10

Pomocí dvojitého integrálu vypočítejte plochu rovinného útvaru ohraničeného čarami , ,

Přibližný příklad konečného řešení na konci lekce.

V příkladech 9-10 je mnohem výhodnější použít první způsob procházení oblasti, mimochodem zvědaví čtenáři mohou změnit pořadí procházení a vypočítat plochy pomocí druhého způsobu; Pokud neuděláte chybu, pak přirozeně získáte stejné hodnoty plochy.

Ale v některých případech je druhý způsob procházení oblasti efektivnější a na konci kurzu mladého pitomce se podívejme na několik dalších příkladů na toto téma:

Příklad 11

Pomocí dvojitého integrálu vypočítejte plochu rovinného útvaru ohraničeného čarami,

Řešení: Těšíme se na dvě paraboly s vtípkem, které leží na bocích. Není třeba se usmívat, podobné věci se ve vícenásobných integrálech vyskytují poměrně často.

Jaký je nejjednodušší způsob, jak vytvořit kresbu?

Představme si parabolu ve formě dvou funkcí:
– horní větev a – spodní větev.

Podobně si představte parabolu v podobě horní a dolní větví.

Dále bodové vykreslování pravidel grafů, což má za následek takový bizarní obrázek:

Vypočítáme plochu obrázku pomocí dvojitého integrálu podle vzorce:

Co se stane, když zvolíme první způsob procházení území? Nejprve bude nutné tuto oblast rozdělit na dvě části. A za druhé, uvidíme tento smutný obrázek: . Integrály samozřejmě nejsou na superkomplikované úrovni, ale... staré matematické přísloví říká: kdo má blízko ke kořenům, nepotřebuje test.

Proto z nedorozumění uvedeného v podmínce vyjádříme inverzní funkce:

Inverzní funkce v tomto příkladu mají tu výhodu, že specifikují celou parabolu najednou bez jakýchkoli listů, žaludů, větví a kořenů.

Podle druhé metody bude procházení oblasti následující:

Tedy:

Jak se říká, pociťte ten rozdíl.

1) Zabýváme se vnitřním integrálem:

Výsledek dosadíme do vnějšího integrálu:

Integrace nad proměnnou „y“ by neměla být matoucí, pokud by tam bylo písmeno „zy“, bylo by skvělé ji integrovat. I když kdo četl druhý odstavec lekce Jak vypočítat objem rotačního tělesa, s integrací podle metody „Y“ již nezažívá sebemenší trapas.

Věnujte také pozornost prvnímu kroku: integrand je sudý a interval integrace je symetrický k nule. Proto lze segment rozpůlit a výsledek lze zdvojnásobit. Tato technika je v lekci podrobně komentována. Efektivní metody výpočtu určitého integrálu.

Co dodat... Vše!

Odpověď:

Chcete-li otestovat svou integrační techniku, můžete zkusit vypočítat . Odpověď by měla být úplně stejná.

Příklad 12

Pomocí dvojitého integrálu vypočítejte plochu rovinného útvaru ohraničeného čarami

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Zajímavostí je, že pokud zkusíte použít první způsob procházení plochy, figurka se již nebude muset dělit na dvě, ale na tři části! A podle toho dostaneme tři páry opakovaných integrálů. To se také stává.

Mistrovská třída skončila a je čas přejít na velmistrovskou úroveň - Jak vypočítat dvojný integrál? Příklady řešení. V druhém článku se pokusím nebýt tak šílený =)

Přeji vám úspěch!

Řešení a odpovědi:

Příklad 2:Řešení: Pojďme si oblast znázornit na výkresu:

Zvolme následující pořadí procházení oblasti:

Tedy:
Pojďme k inverzním funkcím:

Tedy:
Odpověď:

Příklad 4:Řešení: Pojďme k přímým funkcím:

Udělejme nákres:

Změňme pořadí procházení oblasti:

Odpověď:

V předchozí části věnované analýze geometrického významu určitého integrálu jsme dostali řadu vzorců pro výpočet plochy křivočarého lichoběžníku:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x pro spojitou a nezápornou funkci y = f (x) na intervalu [ a ; b],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x pro spojitou a nekladnou funkci y = f (x) na intervalu [ a ; b].

Tyto vzorce jsou použitelné pro řešení relativně jednoduchých problémů. Ve skutečnosti budeme muset často pracovat se složitějšími figurami. V tomto ohledu budeme tuto část věnovat analýze algoritmů pro výpočet plochy obrazců, které jsou omezeny funkcemi v explicitní podobě, tzn. jako y = f(x) nebo x = g(y).

Teorém

Nechť jsou funkce y = f 1 (x) a y = f 2 (x) definovány a spojité na intervalu [ a ; b] a f 1 (x) ≤ f 2 (x) pro jakoukoli hodnotu x z [ a ; b]. Pak vzorec pro výpočet plochy obrázku G, ohraničeného přímkami x = a, x = b, y = f 1 (x) a y = f 2 (x) bude vypadat jako S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Podobný vzorec bude platit pro oblast obrazce ohraničenou úsečkami y = c, y = d, x = g 1 (y) a x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Důkaz

Podívejme se na tři případy, pro které bude vzorec platit.

V prvním případě, s přihlédnutím k vlastnosti aditivity plochy, se součet ploch původního obrázku G a křivočarého lichoběžníku G1 rovná ploše obrázku G2. To znamená, že

Proto S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Poslední přechod můžeme provést pomocí třetí vlastnosti určitého integrálu.

Ve druhém případě platí rovnost: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Grafické znázornění bude vypadat takto:

Pokud jsou obě funkce kladné, dostaneme: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x. Grafické znázornění bude vypadat takto:

Přejdeme k obecnému případu, kdy y = f 1 (x) a y = f 2 (x) protínají osu O x.

Průsečíky označíme jako x i, i = 1, 2, . . . , n-1. Tyto body rozdělují segment [a; b ] na n dílů x i - 1 ; x i, i = 1, 2,. . . , n, kde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Proto,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Poslední přechod můžeme provést pomocí páté vlastnosti určitého integrálu.

Ukažme si obecný případ na grafu.

Vzorec S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x lze považovat za prokázaný.

Nyní přejdeme k analýze příkladů výpočtu plochy obrazců, které jsou omezeny úsečkami y = f (x) a x = g (y).

Uvažování o kterémkoli z příkladů začneme sestrojením grafu. Obrázek nám umožní reprezentovat složité tvary jako spojení jednodušších tvarů. Pokud je pro vás konstruování grafů a obrázků na nich obtížné, můžete si při studiu funkce prostudovat část o základních elementárních funkcích, geometrické transformaci grafů funkcí a také sestrojování grafů.

Příklad 1

Je nutné určit plochu obrázku, která je omezena parabolou y = - x 2 + 6 x - 5 a přímkami y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Řešení

Nakreslete čáry do grafu v kartézské soustavě souřadnic.

Na segmentu [1; 4 ] graf paraboly y = - x 2 + 6 x - 5 je umístěn nad přímkou y = - 1 3 x - 1 2. V tomto ohledu k získání odpovědi použijeme vzorec získaný dříve, stejně jako metodu výpočtu určitého integrálu pomocí Newton-Leibnizova vzorce:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Odpověď: S(G) = 13

Podívejme se na složitější příklad.

Příklad 2

Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena čarami y = x + 2, y = x, x = 7.

Řešení

V tomto případě máme pouze jednu přímku umístěnou rovnoběžně s osou x. Toto je x = 7. To vyžaduje, abychom sami našli druhou hranici integrace.

Sestavme graf a nakreslete do něj čáry uvedené v zadání problému.

Když máme graf před očima, snadno určíme, že spodní hranicí integrace bude úsečka průsečíku grafu přímky y = x a semiparaboly y = x + 2. K nalezení úsečky použijeme rovnosti:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Ukazuje se, že úsečka průsečíku je x = 2.

Upozorňujeme na skutečnost, že v obecném příkladu na výkresu se přímky y = x + 2, y = x protínají v bodě (2; 2), takže takto podrobné výpočty se mohou zdát zbytečné. Takto podrobné řešení jsme zde uvedli jen proto, že ve složitějších případech nemusí být řešení tak zřejmé. To znamená, že je vždy lepší vypočítat souřadnice průsečíku čar analyticky.

Na intervalu [ 2 ; 7] nad grafem funkce y = x + 2 je umístěn graf funkce y = x. Pro výpočet plochy použijeme vzorec:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Odpověď: S (G) = 59 6

Příklad 3

Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena grafy funkcí y = 1 x a y = - x 2 + 4 x - 2.

Řešení

Nakreslíme čáry do grafu.

Definujme hranice integrace. Za tímto účelem určíme souřadnice průsečíků přímek tak, že přirovnáme výrazy 1 x a - x 2 + 4 x - 2. Za předpokladu, že x není nula, se rovnost 1 x = - x 2 + 4 x - 2 stane ekvivalentní rovnici třetího stupně - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 s celočíselnými koeficienty. Chcete-li si osvěžit paměť na algoritmus pro řešení takových rovnic, můžeme se podívat na část „Řešení kubických rovnic“.

Kořen této rovnice je x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Vydělením výrazu - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 binomem x - 1 dostaneme: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x -1) = 0

Zbývající kořeny můžeme najít z rovnice x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Našli jsme interval x ∈ 1; 3 + 13 2, ve kterém je číslice G obsažena nad modrou a pod červenou čarou. To nám pomáhá určit oblast obrázku:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Odpověď: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Příklad 4

Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena křivkami y = x 3, y = - log 2 x + 1 a osou úsečky.

Řešení

Vynesme všechny čáry do grafu. Graf funkce y = - log 2 x + 1 získáme z grafu y = log 2 x, pokud jej umístíme symetricky kolem osy x a posuneme o jednotku nahoru. Rovnice na ose x je y = 0.

Označme průsečíky čar.

Jak je z obrázku patrné, grafy funkcí y = x 3 a y = 0 se protínají v bodě (0; 0). To se děje proto, že x = 0 je jediný skutečný kořen rovnice x 3 = 0.

x = 2 je jediný kořen rovnice - log 2 x + 1 = 0, takže grafy funkcí y = - log 2 x + 1 a y = 0 se protínají v bodě (2; 0).

x = 1 je jediným kořenem rovnice x 3 = - log 2 x + 1 . V tomto ohledu se grafy funkcí y = x 3 a y = - log 2 x + 1 protínají v bodě (1; 1). Poslední tvrzení nemusí být zřejmé, ale rovnice x 3 = - log 2 x + 1 nemůže mít více než jeden kořen, protože funkce y = x 3 je striktně rostoucí a funkce y = - log 2 x + 1 je přísně klesající.

Další řešení zahrnuje několik možností.

Možnost #1

Obrázek G si můžeme představit jako součet dvou křivočarých lichoběžníků umístěných nad osou x, z nichž první je umístěn pod střední osou na úsečce x ∈ 0; 1 a druhý je pod červenou čárou na segmentu x ∈ 1; 2. To znamená, že plocha bude rovna S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Možnost č. 2

Obrázek G lze znázornit jako rozdíl dvou obrázků, z nichž první je umístěn nad osou x a pod modrou čarou na segmentu x ∈ 0; 2 a druhá mezi červenou a modrou čárou na segmentu x ∈ 1; 2. To nám umožňuje najít oblast následovně:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

V tomto případě k nalezení oblasti budete muset použít vzorec ve tvaru S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Ve skutečnosti mohou být čáry, které spojují obrazec, reprezentovány jako funkce argumentu y.

Vyřešme rovnice y = x 3 a - log 2 x + 1 vzhledem k x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Získáme požadovanou oblast:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Odpověď: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Příklad 5

Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena čarami y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Řešení

Červenou čarou vyneseme čáru definovanou funkcí y = x. Čáru y = - 1 2 x + 4 nakreslíme modře a čáru y = 2 3 x - 3 černě.

Označme průsečíky.

Najděte průsečíky grafů funkcí y = x a y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Kontrola: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ne Je řešením rovnice x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 je řešení rovnice ⇒ (4; 2) průsečík i y = x a y = - 1 2 x + 4

Najdeme průsečík grafů funkcí y = x a y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrola: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 je řešení rovnice ⇒ (9 ; 3) bod a s y = x a y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Rovnice nemá řešení

Najděte průsečík přímek y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) průsečík y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3

Metoda č. 1

Představme si plochu požadovaného obrazce jako součet ploch jednotlivých obrazců.

Pak je plocha obrázku:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda č. 2

Oblast původního obrázku může být reprezentována jako součet dvou dalších obrázků.

Poté vyřešíme rovnici přímky vzhledem k x a teprve poté použijeme vzorec pro výpočet plochy obrázku.

y = x ⇒ x = y 2 červená čára y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 černá čára y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Oblast je tedy:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Jak vidíte, hodnoty jsou stejné.

Odpověď: S (G) = 11 3

Výsledky

Abychom našli oblast obrázku, která je omezena danými čarami, musíme sestrojit čáry v rovině, najít jejich průsečíky a použít vzorec k nalezení oblasti. V této části jsme zkoumali nejběžnější varianty úloh.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter