Najděte počet tří čísel. Společný dělitel a násobek

Největší společný dělitel

Definice 2

Pokud je přirozené číslo a dělitelné přirozeným číslem $b$, pak $b$ se nazývá dělitel $a$ a $a$ se nazývá násobek $b$.

Nechť $a$ a $b$ jsou přirozená čísla. Číslo $c$ se nazývá společný dělitel $a$ a $b$.

Množina společných dělitelů čísel $a$ a $b$ je konečná, protože žádný z těchto dělitelů nemůže být větší než $a$. To znamená, že mezi těmito děliteli je jeden největší, který se nazývá největší společný dělitel čísel $a$ a $b$ a označuje se následujícím způsobem:

$GCD\(a;b)\ nebo \D\(a;b)$

K nalezení největšího společného dělitele dvou čísel potřebujete:

Najděte součin čísel nalezených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaným největším společným dělitelem.

Příklad 1

Najděte gcd čísel $ 121 $ a $ 132, $

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Vyberte čísla, která jsou součástí rozšíření těchto čísel

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Najděte součin čísel nalezených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaným největším společným dělitelem.

$GCD=2\cdot 11=22$

Příklad 2

Najděte gcd monomiálů $ 63 $ a $ 81 $.

Najdeme podle předloženého algoritmu. Postup:

Rozložme čísla na prvočinitele

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Vybíráme čísla, která jsou zahrnuta v rozšíření těchto čísel

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Pojďme najít součin čísel nalezených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný největší společný dělitel.

$GCD=3\cdot 3=9$

Gcd dvou čísel můžete najít jiným způsobem, pomocí sady dělitelů čísel.

Příklad 3

Najděte gcd čísel $ 48 $ a $ 60 $.

Řešení:

Najdeme množinu dělitelů čísla $48$: $\left$(\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right$$

Nyní najdeme množinu dělitelů čísla $60$:$\ \left$(\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\vpravo$ $

Najdeme průnik těchto množin: $\left$(\rm 1,2,3,4,6,12)\right$$ - tato množina určí množinu společných dělitelů čísel $48$ a $60 $. Největší prvek v této sadě bude číslo $12$. To znamená, že největší společný dělitel čísel $48$ a $60$ je $12$.

Definice NPL

Definice 3

Společné násobky přirozených čísel$a$ a $b$ je přirozené číslo, které je násobkem $a$ a $b$.

Společné násobky čísel jsou čísla, která jsou dělitelná původními čísly beze zbytku. Například pro čísla $25$ a $50$ budou společnými násobky čísla $50,100,150,200 $ atd.

Nejmenší společný násobek se bude nazývat nejmenší společný násobek a bude označen LCM$(a;b)$ nebo K$(a;b).$

Chcete-li najít LCM dvou čísel, musíte:

Rozdělte čísla na prvočinitele
Zapište faktory, které jsou součástí prvního čísla, a přidejte k nim faktory, které jsou součástí druhého a nejsou součástí prvního

Příklad 4

Najděte LCM čísel $ 99 $ a $ 77 $.

Najdeme podle předloženého algoritmu. Za tohle

Rozdělte čísla na prvočinitele

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Zapište faktory zahrnuté v prvním

přidejte k nim násobitele, které jsou součástí druhého a nikoli součástí prvního

Najděte součin čísel nalezených v kroku 2. Výsledné číslo bude požadovaný nejmenší společný násobek

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Sestavování seznamů dělitelů čísel je často velmi pracný úkol. Existuje způsob, jak najít GCD, nazývaný Euklidovský algoritmus.

Výroky, na kterých je založen euklidovský algoritmus:

Pokud $a$ a $b$ jsou přirozená čísla a $a\vtečky b$, pak $D(a;b)=b$

Jestliže $a$ a $b$ jsou přirozená čísla taková, že $b

Pomocí $D(a;b)= D(a-b;b)$ můžeme postupně redukovat uvažovaná čísla, dokud nedosáhneme dvojice čísel tak, že jedno z nich je dělitelné druhým. Potom menší z těchto čísel bude požadovaným největším společným dělitelem pro čísla $a$ a $b$.

Vlastnosti GCD a LCM

Jakýkoli společný násobek $a$ a $b$ je dělitelný K$(a;b)$
Pokud $a\vdots b$ , pak К$(a;b)=a$

Pokud je K$(a;b)=k$ a $m$ přirozené číslo, pak K$(am;bm)=km$

Jestliže $d$ je společný dělitel pro $a$ a $b$, pak K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Jestliže $a\vdots c$ a $b\vdots c$ , pak $\frac(ab)(c)$ je společný násobek $a$ a $b$

Pro jakákoli přirozená čísla $a$ a $b$ platí rovnost

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Jakýkoli společný dělitel čísel $a$ a $b$ je dělitelem čísla $D(a;b)$

Ale mnoho přirozených čísel je dělitelných i jinými přirozenými čísly.

Například:

Číslo 12 je dělitelné 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Číslo 36 je dělitelné 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Čísla, kterými je číslo dělitelné celkem (pro 12 jsou to 1, 2, 3, 4, 6 a 12), se nazývají dělitelé čísel. Dělitel přirozeného čísla A- je přirozené číslo, které dělí dané číslo A beze stopy. Volá se přirozené číslo, které má více než dva dělitele kompozitní .

Vezměte prosím na vědomí, že čísla 12 a 36 mají společné faktory. Tato čísla jsou: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Největší dělitel těchto čísel je 12. Společný dělitel těchto dvou čísel A A b- je to číslo, kterým se obě daná čísla beze zbytku dělí A A b.

Společné násobky několik čísel je číslo, které je dělitelné každým z těchto čísel. Například, čísla 9, 18 a 45 mají společný násobek 180. Ale 90 a 360 jsou také jejich společné násobky. Mezi všemi společnými násobky je vždy jeden nejmenší, v tomto případě je to 90. Toto číslo se nazývá nejmenšíspolečný násobek (CMM).

LCM je vždy přirozené číslo, které musí být větší než největší z čísel, pro které je definováno.

Nejmenší společný násobek (LCM). Vlastnosti.

Komutativnost:

Asociativita:

Konkrétně, pokud a jsou prvočísla, pak:

Nejmenší společný násobek dvou celých čísel m A n je dělitelem všech ostatních společných násobků m A n. Navíc množina společných násobků m, n se shoduje se sadou násobků LCM( m, n).

Asymptotiku for lze vyjádřit pomocí některých číselně-teoretických funkcí.

Tak, Čebyševova funkce. A také:

Vyplývá to z definice a vlastností Landauovy funkce g(n).

Co vyplývá ze zákona rozdělení prvočísel.

Hledání nejmenšího společného násobku (LCM).

NOC( a, b) lze vypočítat několika způsoby:

1. Pokud je znám největší společný dělitel, můžete použít jeho spojení s LCM:

2. Nechť je znám kanonický rozklad obou čísel na prvočinitele:

Kde p 1,...,p k- různá prvočísla a d 1,..., d k A e 1,...,ek— nezáporná celá čísla (mohou to být nuly, pokud odpovídající prvočíslo není v rozšíření).

Poté NOC ( A,b) se vypočítá podle vzorce:

Jinými slovy, rozklad LCM obsahuje všechny prvočinitele zahrnuté v alespoň jednom z rozkladů čísel a, b a vezme se největší ze dvou exponentů tohoto multiplikátoru.

Příklad:

Výpočet nejmenšího společného násobku několika čísel lze zredukovat na několik po sobě jdoucích výpočtů LCM dvou čísel:

Pravidlo. Chcete-li najít LCM řady čísel, potřebujete:

- rozložit čísla na prvočinitele;

- převést největší rozklad (součin faktorů největšího počtu z daných) na faktory požadovaného součinu a poté přidat faktory z rozkladu dalších čísel, která se v prvním čísle nevyskytují nebo se v něm vyskytují méněkrát;

— výsledným součinem prvočinitelů bude LCM daných čísel.

Libovolná dvě nebo více přirozených čísel mají svůj vlastní LCM. Pokud čísla nejsou navzájem násobky nebo nemají stejné faktory v rozšíření, pak se jejich LCM rovná součinu těchto čísel.

Prvočísla čísla 28 (2, 2, 7) doplníme činitelem 3 (číslo 21), výsledný součin (84) bude nejmenší číslo, které je dělitelné 21 a 28.

Prvočísla největšího čísla 30 jsou doplněna činitelem 5 čísla 25, výsledný součin 150 je větší než největší číslo 30 a je dělitelný všemi danými čísly beze zbytku. Jedná se o nejmenší možný součin (150, 250, 300...), který je násobkem všech zadaných čísel.

Čísla 2,3,11,37 jsou prvočísla, jejich LCM se tedy rovná součinu daných čísel.

Pravidlo. Chcete-li vypočítat LCM prvočísel, musíte všechna tato čísla vynásobit dohromady.

Další možnost:

K nalezení nejmenšího společného násobku (LCM) několika čísel potřebujete:

1) reprezentovat každé číslo jako součin jeho prvočinitelů, například:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) zapište mocniny všech prvočinitelů:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) zapište všechny prvočíselné dělitele (násobiče) každého z těchto čísel;

4) vyberte největší stupeň každého z nich, který se nachází ve všech rozšířeních těchto čísel;

5) vynásobte tyto síly.

Příklad. Najděte LCM čísel: 168, 180 a 3024.

Řešení. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Zapíšeme největší mocniny všech prvočíselných dělitelů a vynásobíme je:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Níže uvedený materiál je logickým pokračováním teorie z článku s názvem LCM - nejmenší společný násobek, definice, příklady, spojení mezi LCM a GCD. Zde budeme mluvit o nalezení nejmenšího společného násobku (LCM), a zvláštní pozornost budeme věnovat řešení příkladů. Nejprve si ukážeme, jak se počítá LCM dvou čísel pomocí GCD těchto čísel. Dále se podíváme na nalezení nejmenšího společného násobku rozkladem čísel na prvočinitele. Poté se zaměříme na nalezení LCM tří nebo více čísel a také věnujeme pozornost výpočtu LCM záporných čísel.

Navigace na stránce.

Výpočet nejmenšího společného násobku (LCM) pomocí GCD

Jeden způsob, jak najít nejmenší společný násobek, je založen na vztahu mezi LCM a GCD. Stávající spojení mezi LCM a GCD nám umožňuje vypočítat nejmenší společný násobek dvou kladných celých čísel prostřednictvím známého největšího společného dělitele. Odpovídající vzorec je LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Podívejme se na příklady nalezení LCM pomocí daného vzorce.

Příklad.

Najděte nejmenší společný násobek dvou čísel 126 a 70.

Řešení.

V tomto příkladu a=126, b=70. Použijme spojení mezi LCM a GCD, vyjádřené vzorcem LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). To znamená, že nejprve musíme najít největšího společného dělitele čísel 70 a 126, poté můžeme pomocí napsaného vzorce vypočítat LCM těchto čísel.

Najděte GCD(126, 70) pomocí euklidovského algoritmu: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, tedy GCD(126, 70)=14.

Nyní najdeme požadovaný nejmenší společný násobek: GCD(126; 70)=126·70:GCD(126; 70)= 126-70:14=630.

Odpověď:

LCM(126,70)=630.

Příklad.

Čemu se rovná LCM(68, 34)?

Řešení.

Protože 68 je dělitelné 34, pak GCD(68, 34)=34. Nyní vypočítáme nejmenší společný násobek: GCD(68; 34)=68·34:GCD(68; 34)= 68-34:34=68.

Odpověď:

LCM(68,34)=68.

Všimněte si, že předchozí příklad odpovídá následujícímu pravidlu pro nalezení LCM pro kladná celá čísla a a b: je-li číslo a dělitelné b, pak nejmenší společný násobek těchto čísel je a.

Nalezení LCM rozdělením čísel na prvočinitele

Dalším způsobem, jak najít nejmenší společný násobek, je rozklad čísel na prvočinitele. Pokud poskládáte součin ze všech prvočísel daných čísel a poté z tohoto součinu vyloučíte všechny společné prvočinitele přítomné v rozšířeních daných čísel, bude výsledný součin roven nejmenšímu společnému násobku daných čísel. .

Uvedené pravidlo pro nalezení LCM vyplývá z rovnosti LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Ve skutečnosti se součin čísel a a b rovná součinu všech faktorů podílejících se na expanzi čísel a a b. GCD(a, b) se zase rovná součinu všech prvočinitelů současně přítomných v rozšířeních čísel a a b (jak je popsáno v části o nalezení GCD pomocí rozšíření čísel na prvočinitele).

Uveďme příklad. Dejte nám vědět, že 75=3·5·5 a 210=2·3·5·7. Sestavme součin ze všech faktorů těchto rozšíření: 2·3·3·5·5·5·7 . Nyní z tohoto součinu vyloučíme všechny faktory přítomné jak v rozšíření čísla 75, tak v rozšíření čísla 210 (takovými faktory jsou 3 a 5), pak bude mít součin tvar 2·3·5·5·7 . Hodnota tohoto součinu se rovná nejmenšímu společnému násobku 75 a 210, tj. NOC(75; 210)= 2·3·5·5·7=1 050.

Příklad.

Rozložte čísla 441 a 700 na prvočinitele a najděte nejmenší společný násobek těchto čísel.

Řešení.

Rozložme čísla 441 a 700 na prvočinitele:

Dostaneme 441=3·3·7·7 a 700=2·2·5·5·7.

Nyní vytvoříme součin ze všech faktorů podílejících se na rozšíření těchto čísel: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Vylučme z tohoto součinu všechny faktory, které jsou současně přítomny v obou expanzích (existuje pouze jeden takový faktor - toto je číslo 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Tedy, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Odpověď:

NOC(441,700)= 44100.

Pravidlo pro nalezení LCM pomocí rozkladu čísel na prvočinitele lze formulovat trochu jinak. Pokud se chybějící faktory z rozvoje čísla b sečtou k faktorům z rozvoje čísla a, bude hodnota výsledného součinu rovna nejmenšímu společnému násobku čísel a a b.

Vezměme například stejná čísla 75 a 210, jejich rozklady na prvočinitele jsou následující: 75=3·5·5 a 210=2·3·5·7. K činitelům 3, 5 a 5 z rozšíření čísla 75 přičteme chybějící činitele 2 a 7 z rozšíření čísla 210, získáme součin 2·3·5·5·7, jehož hodnota je rovno LCM(75, 210).

Příklad.

Najděte nejmenší společný násobek 84 a 648.

Řešení.

Nejprve získáme rozklady čísel 84 a 648 na prvočinitele. Vypadají jako 84=2·2·3·7 a 648=2·2·2·3·3·3·3. K činitelům 2, 2, 3 a 7 z rozšíření čísla 84 přičteme chybějící činitele 2, 3, 3 a 3 z rozšíření čísla 648, získáme součin 2 2 2 3 3 3 3 7, což se rovná 4 536 . Požadovaný nejmenší společný násobek 84 a 648 je tedy 4536.

Odpověď:

LCM(84,648)=4,536.

Nalezení LCM tří nebo více čísel

Nejmenší společný násobek tří nebo více čísel lze najít postupným hledáním LCM dvou čísel. Připomeňme si odpovídající větu, která umožňuje najít LCM tří nebo více čísel.

Teorém.

Nechť jsou dána kladná celá čísla a 1 , a 2 , …, a k, nejmenší společný násobek m k těchto čísel najdeme sekvenčním výpočtem m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2, a 3) , …, mk = LCM(mk−1, ak) .

Uvažujme aplikaci této věty na příkladu hledání nejmenšího společného násobku čtyř čísel.

Příklad.

Najděte LCM čtyř čísel 140, 9, 54 a 250.

Řešení.

V tomto příkladu a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Nejprve najdeme m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140; 9). Abychom to udělali, pomocí euklidovského algoritmu určíme GCD(140, 9), máme 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, tedy GCD(140, 9)=1 , odkud GCD(140; 9)=140 9:GCD(140; 9)= 140-9:1 = 1260. To znamená, m2 = 1 260.

Nyní najdeme m 3 = LOC (m 2, a 3) = LOC (1 260, 54). Vypočítejme to pomocí GCD(1 260, 54), které také určíme pomocí euklidovského algoritmu: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Potom gcd(1,260, 54)=18, z toho gcd(1,260,54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. To znamená, m3 = 3 780.

Zbývá jen najít m4 = LOC(m3, a4) = LOC(3 780, 250). K tomu najdeme GCD(3,780, 250) pomocí euklidovského algoritmu: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Proto GCM(3,780, 250)=10, odkud GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3 780 · 250 : 10 = 94 500. To znamená, m4 = 94 500.

Nejmenší společný násobek původních čtyř čísel je tedy 94 500.

Odpověď:

LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.

V mnoha případech je vhodné najít nejmenší společný násobek tří a více čísel pomocí prvočíselných rozkladů daných čísel. V tomto případě byste měli dodržovat následující pravidlo. Nejmenší společný násobek několika čísel se rovná součinu, který se skládá takto: chybějící činitele z rozšíření druhého čísla se přičtou ke všem činitelům z rozšíření prvního čísla, chybějící činitele z rozšíření prvního čísla třetí číslo se přičte k výsledným faktorům a tak dále.

Podívejme se na příklad nalezení nejmenšího společného násobku pomocí prvočíselného rozkladu.

Příklad.

Najděte nejmenší společný násobek pěti čísel 84, 6, 48, 7, 143.

Řešení.

Nejprve získáme rozklady těchto čísel na prvočísla: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 je prvočíslo, shoduje se s jeho rozkladem na prvočinitele) a 143=11·13.

Chcete-li najít LCM těchto čísel, k faktorům prvního čísla 84 (jsou to 2, 2, 3 a 7), musíte přidat chybějící faktory z rozšíření druhého čísla 6. Rozklad čísla 6 neobsahuje chybějící faktory, protože jak 2, tak 3 jsou již přítomny v rozkladu prvního čísla 84. Dále k faktorům 2, 2, 3 a 7 přidáme chybějící faktory 2 a 2 z rozšíření třetího čísla 48, dostaneme množinu faktorů 2, 2, 2, 2, 3 a 7. V dalším kroku nebude nutné do této sady přidávat násobiče, protože 7 je v ní již obsažena. Nakonec k faktorům 2, 2, 2, 2, 3 a 7 přidáme chybějící faktory 11 a 13 z rozšíření čísla 143. Dostaneme součin 2·2·2·2·3·7·11·13, který se rovná 48 048.

Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek jsou klíčové aritmetické pojmy, díky kterým je práce se zlomky snadná. LCM a se nejčastěji používají k nalezení společného jmenovatele několika zlomků.

Základní pojmy

Dělitel celého čísla X je další celé číslo Y, kterým je X děleno beze zbytku. Například dělitel 4 je 2 a 36 je 4, 6, 9. Násobkem celého čísla X je číslo Y, které je dělitelné X beze zbytku. Například 3 je násobek 15 a 6 je násobek 12.

Pro libovolnou dvojici čísel najdeme jejich společné dělitele a násobky. Například pro 6 a 9 je společný násobek 18 a společný dělitel je 3. Je zřejmé, že páry mohou mít několik dělitelů a násobků, takže výpočty používají největšího dělitele GCD a nejmenšího násobku LCM.

Nejmenší dělitel nemá význam, protože pro libovolné číslo je vždy jedna. Největší násobek je také bezvýznamný, protože posloupnost násobků jde do nekonečna.

Hledání gcd

Existuje mnoho metod pro nalezení největšího společného dělitele, z nichž nejznámější jsou:

sekvenční vyhledávání dělitelů, výběr společných pro dvojici a hledání největšího z nich;
rozklad čísel na nedělitelné činitele;
Euklidovský algoritmus;
binární algoritmus.

Dnes jsou ve vzdělávacích institucích nejoblíbenějšími metodami rozklad na prvočinitele a euklidovský algoritmus. Ten se zase používá při řešení diofantických rovnic: hledání GCD je nutné pro kontrolu rovnice pro možnost rozlišení v celých číslech.

Hledání NOC

Nejmenší společný násobek je také určen sekvenčním výčtem nebo rozkladem na nedělitelné faktory. Kromě toho je snadné najít LCM, pokud již byl určen největší dělitel. Pro čísla X a Y jsou LCM a GCD spojeny následujícím vztahem:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Pokud například GCM(15,18) = 3, pak LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Nejviditelnějším příkladem použití LCM je nalezení společného jmenovatele, což je nejmenší společný násobek dané zlomky.

Coprime čísla

Pokud dvojice čísel nemá žádné společné dělitele, pak se taková dvojice nazývá koprimá. Gcd pro takové páry se vždy rovná jedné a na základě spojení mezi děliteli a násobky je gcd pro páry v koprime rovno jejich součinu. Například čísla 25 a 28 jsou relativně prvočísla, protože nemají žádné společné dělitele, a LCM(25, 28) = 700, což odpovídá jejich součinu. Jakákoli dvě nedělitelná čísla budou vždy relativně prvočísla.

Společný dělitel a vícenásobná kalkulačka

Pomocí naší kalkulačky můžete vypočítat GCD a LCM pro libovolný počet čísel, ze kterých si můžete vybrat. Úkoly týkající se počítání společných dělitelů a násobků se nacházejí v aritmetice 5. a 6. ročníku, ale GCD a LCM jsou klíčové pojmy v matematice a používají se v teorii čísel, planimetrii a komunikativní algebře.

Příklady ze života

Společný jmenovatel zlomků

Nejmenší společný násobek se používá při hledání společného jmenovatele násobných zlomků. Řekněme, že v aritmetickém problému potřebujete sečíst 5 zlomků:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Chcete-li přidat zlomky, výraz musí být redukován na společného jmenovatele, což redukuje na problém nalezení LCM. Chcete-li to provést, vyberte 5 čísel v kalkulačce a zadejte hodnoty jmenovatelů do odpovídajících buněk. Program vypočítá LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Nyní musíte pro každý zlomek vypočítat další faktory, které jsou definovány jako poměr LCM ke jmenovateli. Dodatečné násobiče by tedy vypadaly takto:

360/8 = 45
360/9 = 40
360/12 = 30
360/15 = 24
360/18 = 20.

Poté vynásobíme všechny zlomky odpovídajícím dalším faktorem a dostaneme:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Takové zlomky snadno sečteme a dostaneme výsledek 159/360. Snížíme zlomek o 3 a vidíme konečnou odpověď - 53/120.

Řešení lineárních diofantických rovnic

Lineární diofantické rovnice jsou vyjádřením tvaru ax + by = d. Pokud je poměr d / gcd(a, b) celé číslo, pak je rovnice řešitelná v celých číslech. Pojďme zkontrolovat pár rovnic, abychom zjistili, zda mají celočíselné řešení. Nejprve zkontrolujme rovnici 150x + 8y = 37. Pomocí kalkulačky zjistíme GCD (150,8) = 2. Dělíme 37/2 = 18,5. Číslo není celé, proto rovnice nemá celočíselné kořeny.

Zkontrolujeme rovnici 1320x + 1760y = 10120. Pomocí kalkulačky najděte GCD(1320, 1760) = 440. Vydělte 10120/440 = 23. Výsledkem je celé číslo, proto je diofantická rovnice řešitelná v .

Závěr

GCD a LCM hrají velkou roli v teorii čísel a samotné pojmy jsou široce používány v široké škále oblastí matematiky. Pomocí naší kalkulačky spočítejte největší dělitele a nejmenší násobky libovolného počtu čísel.

Online kalkulačka vám umožňuje rychle najít největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku pro dva nebo jakýkoli jiný počet čísel.

Kalkulačka pro nalezení GCD a LCM

Najděte GCD a LOC

Nalezeno GCD a LOC: 5806

Jak používat kalkulačku

Do vstupního pole zadejte čísla
Pokud zadáte nesprávné znaky, vstupní pole se zvýrazní červeně
klikněte na tlačítko "Najít GCD a LCM".

Jak zadávat čísla

Čísla se zadávají oddělená mezerou, tečkou nebo čárkou
Délka zadávaných čísel není omezena, takže nalezení GCD a LCM dlouhých čísel není obtížné

Co jsou GCD a NOC?

Největší společný dělitel několik čísel je největší přirozené celé číslo, kterým jsou všechna původní čísla dělitelná beze zbytku. Největší společný dělitel je zkrácen jako GCD.
Nejmenší společný násobek několik čísel je nejmenší číslo, které je dělitelné každým z původních čísel beze zbytku. Nejmenší společný násobek je zkrácen jako NOC.

Jak zkontrolovat, zda je číslo dělitelné jiným číslem beze zbytku?

Chcete-li zjistit, zda je jedno číslo beze zbytku dělitelné druhým, můžete použít některé vlastnosti dělitelnosti čísel. Jejich kombinací pak můžete zkontrolovat dělitelnost některých z nich a jejich kombinací.

Některé znaky dělitelnosti čísel

1. Test dělitelnosti čísla 2
K určení, zda je číslo dělitelné dvěma (zda je sudé), se stačí podívat na poslední číslici tohoto čísla: pokud se rovná 0, 2, 4, 6 nebo 8, pak je číslo sudé, což znamená, že je dělitelný 2.
Příklad: určit, zda je číslo 34938 dělitelné 2.
Řešení: Podíváme se na poslední číslici: 8 - to znamená, že číslo je dělitelné dvěma.

2. Test dělitelnosti čísla 3
Číslo je dělitelné třemi, když součet jeho číslic je dělitelný třemi. Chcete-li tedy určit, zda je číslo dělitelné 3, musíte vypočítat součet číslic a zkontrolovat, zda je dělitelné 3. I když je součet číslic velmi velký, můžete stejný postup opakovat znovu.
Příklad: určit, zda je číslo 34938 dělitelné 3.
Řešení: Počítáme součet čísel: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je dělitelné 3, což znamená, že číslo je dělitelné třemi.

3. Test dělitelnosti čísla 5
Číslo je dělitelné 5, když jeho poslední číslice je nula nebo pět.
Příklad: určete, zda je číslo 34938 dělitelné 5.
Řešení: podívejte se na poslední číslici: 8 znamená, že číslo NENÍ dělitelné pěti.

4. Test dělitelnosti čísla 9
Toto znaménko je velmi podobné znaménku dělitelnosti třemi: číslo je dělitelné 9, když je součet jeho číslic dělitelný 9.
Příklad: určit, zda je číslo 34938 dělitelné 9.
Řešení: Spočítáme součet čísel: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je dělitelné 9, což znamená, že číslo je dělitelné devíti.

Jak najít GCD a LCM dvou čísel

Jak najít gcd dvou čísel

Nejjednodušší způsob, jak vypočítat největšího společného dělitele dvou čísel, je najít všechny možné dělitele těchto čísel a vybrat největšího.

Zvažme tuto metodu pomocí příkladu hledání GCD(28, 36):

Vynásobíme obě čísla: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
Najdeme společné faktory, tedy ty, které mají obě čísla: 1, 2 a 2.
Vypočítáme součin těchto činitelů: 1 2 2 = 4 - to je největší společný dělitel čísel 28 a 36.

Jak najít LCM dvou čísel

Existují dva nejběžnější způsoby, jak najít nejmenší násobek dvou čísel. První způsob spočívá v tom, že si můžete zapsat první násobky dvou čísel a z nich pak vybrat číslo, které bude oběma číslům společné a zároveň nejmenší. A druhým je najít gcd těchto čísel. Uvažujme pouze to.

Chcete-li vypočítat LCM, musíte vypočítat součin původních čísel a poté jej vydělit dříve nalezeným GCD. Pojďme najít LCM pro stejná čísla 28 a 36:

Najděte součin čísel 28 a 36: 28·36 = 1008
GCD(28, 36), jak již bylo známo, se rovná 4
LCM(28, 36) = 1008/4 = 252.

Hledání GCD a LCM pro několik čísel

Největší společný dělitel lze nalézt pro několik čísel, nejen pro dvě. K tomu jsou čísla, která mají být nalezena pro největšího společného dělitele, rozložena na prvočinitele, pak je nalezen součin společných prvočinitelů těchto čísel. K nalezení gcd několika čísel můžete také použít následující vztah: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Podobný vztah platí pro nejmenší společný násobek: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Příklad: najděte GCD a LCM pro čísla 12, 32 a 36.

Nejprve rozložme čísla na faktor: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
Pojďme najít společné faktory: 1, 2 a 2.
Jejich součin dá GCD: 1·2·2 = 4
Nyní najdeme LCM: abychom to udělali, najdeme nejprve LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
Chcete-li najít LCM všech tří čísel, musíte najít GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
LCM(12, 32, 36) = 96,36/12 = 288.