Matematické očekávání náhodné veličiny. Základy teorie pravděpodobnosti
2. Základy teorie pravděpodobnosti
Očekávaná hodnota
Uvažujme náhodnou proměnnou s číselnými hodnotami. Často je užitečné přiřadit k této funkci číslo - jeho „střední hodnotu“ nebo, jak se říká, „průměrnou hodnotu“, „index centrální tendence“. Z mnoha důvodů, z nichž některé budou zřejmé později, se jako „průměrná hodnota“ obvykle používá matematické očekávání.
Definice 3. Matematické očekávání náhodné veličiny X volané číslo
těch. matematické očekávání náhodné veličiny je vážený součet hodnot náhodné veličiny s váhami rovnými pravděpodobnosti odpovídajících elementárních událostí.
Příklad 6. Vypočítejme matematické očekávání čísla, které se objeví na horní straně kostky. Přímo z Definice 3 vyplývá, že
Prohlášení 2. Nechť náhodnou veličinu X nabývá hodnot x 1, x 2,…, xm. Pak je rovnost pravdivá
(5)
těch. Matematické očekávání náhodné veličiny je vážený součet hodnot náhodné veličiny s váhami rovnými pravděpodobnosti, že náhodná veličina nabývá určitých hodnot.
Na rozdíl od (4), kde se sčítání provádí přímo nad elementárními událostmi, může náhodná událost sestávat z několika elementárních událostí.
Někdy je vztah (5) brán jako definice matematického očekávání. S použitím Definice 3, jak je ukázáno níže, je však snazší stanovit vlastnosti matematického očekávání nezbytného pro konstrukci pravděpodobnostních modelů skutečných jevů než pomocí vztahu (5).
Abychom dokázali vztah (5), seskupujeme do (4) členy se shodnými hodnotami náhodné veličiny:
Protože konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka součtu, pak
Stanovením pravděpodobnosti události
Pomocí posledních dvou vztahů získáme požadované:
Pojem matematického očekávání v pravděpodobnostně-statistické teorii odpovídá pojmu těžiště v mechanice. Dejme tomu v bodech x 1, x 2,…, xm na ose hmotnostních čísel P(X= X 1 ), P(X= X 2 ),…, P(X= x m) respektive. Pak rovnost (5) ukazuje, že těžiště tohoto systému hmotných bodů se shoduje s matematickým očekáváním, což ukazuje přirozenost Definice 3.
Prohlášení 3. Nechat X- náhodná hodnota, M(X)– jeho matematické očekávání, A– určitý počet. Pak
1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3 miliony[(X- A) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(A- M(X)) 2 .
Abychom to dokázali, uvažujme nejprve náhodnou veličinu, která je konstantní, tzn. funkce mapuje prostor elementárních událostí do jednoho bodu A. Protože konstantní násobitel může být za znaménkem součtu, pak
Je-li každý člen součtu rozdělen na dva členy, pak se celý součet rozdělí na dva součty, z nichž první je tvořen prvními členy a druhý je tvořen druhým. Proto matematické očekávání součtu dvou náhodných veličin X+Y, definovaný na stejném prostoru elementárních událostí, se rovná součtu matematických očekávání M(X) A M(U) tyto náhodné proměnné:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
A proto M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Jak je uvedeno výše, M(M(X)) = M(X). Proto, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.
Protože (X - a) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - A)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - A) + (M(X) – A) 2 , Že M[(X - a) 2] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - A)} + M[(M(X) – A) 2 ]. Zjednodušme poslední rovnost. Jak je ukázáno na začátku důkazu tvrzení 3, matematickým očekáváním konstanty je konstanta samotná, a proto M[(M(X) – A) 2 ] = (M(X) – A) 2 . Protože konstantní násobitel může být za znaménkem součtu, pak M{2(X - M(X))(M(X) - A)} = 2(M(X) - A)M(X - M(X)). Pravá strana poslední rovnosti je 0, protože, jak je ukázáno výše, M(X-M(X))=0. Proto, M[(X- A) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(A- M(X)) 2 , což bylo potřeba dokázat.
Z výše uvedeného vyplývá, že M[(X- A) 2 ] dosáhne minima A, rovnat se M[(X- M(X)) 2 ], na a = M(X), protože druhý člen v rovnosti 3) je vždy nezáporný a rovná se 0 pouze pro zadanou hodnotu A.
Prohlášení 4. Nechť náhodnou veličinu X nabývá hodnot x 1, x 2,…, xm a f je nějaká funkce číselného argumentu. Pak
Abychom to dokázali, seskupme na pravou stranu rovnosti (4), která definuje matematické očekávání, pojmy se stejnými hodnotami:
Pomocí skutečnosti, že konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka součtu, a definice pravděpodobnosti náhodného jevu (2), získáme
Q.E.D.
Prohlášení 5. Nechat X A U– náhodné proměnné definované na stejném prostoru elementárních událostí, A A b- nějaká čísla. Pak M(sekera+ podle)= dopoledne(X)+ bM(Y).
Pomocí definice matematického očekávání a vlastností součtového symbolu získáme řetězec rovnosti:
Bylo prokázáno požadované.
Výše uvedené ukazuje, jak matematické očekávání závisí na přechodu do jiného referenčního bodu a na jinou jednotku měření (přechod Y=sekera+b), stejně jako funkcím náhodných veličin. Získané výsledky jsou neustále využívány v technicko-ekonomických analýzách, při hodnocení finanční a ekonomické činnosti podniku, při přechodu z jedné měny na druhou v zahraničních ekonomických kalkulacích, v regulační a technické dokumentaci atd. Uvažované výsledky umožňují použití stejných výpočtových vzorců pro různé měřítko a posun parametrů.
| Předchozí |
Matematické očekávání diskrétní náhodné veličiny je součtem součinů všech jejích možných hodnot a jejich pravděpodobností.
Nechť náhodná proměnná nabývá pouze hodnot pravděpodobnosti, které jsou v daném pořadí stejné. Potom je matematické očekávání náhodné veličiny určeno rovností
Pokud diskrétní náhodná proměnná nabývá spočetné sady možných hodnot, pak
Navíc matematické očekávání existuje, pokud řada na pravé straně rovnosti absolutně konverguje.
Komentář. Z definice vyplývá, že matematické očekávání diskrétní náhodné veličiny je nenáhodná (konstantní) veličina.
Definice matematického očekávání v obecném případě
Stanovme matematické očekávání náhodné veličiny, jejíž rozdělení nemusí být nutně diskrétní. Začněme případem nezáporných náhodných proměnných. Cílem bude aproximovat takové náhodné veličiny pomocí diskrétních, pro které již bylo určeno matematické očekávání, a nastavit matematické očekávání rovné limitu matematických očekávání diskrétních náhodných veličin, které je aproximují. To je mimochodem velmi užitečná obecná myšlenka, která spočívá v tom, že se nejprve určí nějaká charakteristika pro jednoduché objekty a pak se pro složitější objekty určí jejich aproximací jednoduššími.
Lemma 1. Nechť existuje libovolná nezáporná náhodná veličina. Pak existuje posloupnost diskrétních náhodných proměnných taková, že
Důkaz. Rozdělme poloosu na stejně dlouhé segmenty a určeme
Pak vlastnosti 1 a 2 snadno vyplývají z definice náhodné veličiny a
Lemma 2. Nechť je nezáporná náhodná proměnná a dvě posloupnosti diskrétních náhodných proměnných majících vlastnosti 1-3 z lemmatu 1. Potom
Důkaz. Všimněte si, že pro nezáporné náhodné proměnné povolujeme
Na základě vlastnosti 3 je snadné vidět, že existuje taková posloupnost kladných čísel, že
Z toho vyplývá, že
Pomocí vlastností matematických očekávání pro diskrétní náhodné veličiny získáme
Překročením limitu v získáme výrok lemmatu 2.
Definice 1. Nechť je nezáporná náhodná veličina, - posloupnost diskrétních náhodných proměnných, které mají vlastnosti 1-3 z lemmatu 1. Matematické očekávání náhodné veličiny je číslo
Lemma 2 zaručuje, že nezávisí na volbě aproximační sekvence.
Nechť je nyní libovolná náhodná veličina. Pojďme definovat
Z definice a z toho snadno vyplývá
Definice 2. Matematické očekávání libovolné náhodné veličiny je číslo
Pokud je alespoň jedno z čísel na pravé straně této rovnosti konečné.
Vlastnosti matematického očekávání
Vlastnost 1. Matematické očekávání konstantní hodnoty se rovná samotné konstantě:
Důkaz. Konstantu budeme považovat za diskrétní náhodnou veličinu, která má jednu možnou hodnotu a nabývá ji s pravděpodobností, proto,
Poznámka 1. Definujme součin konstantní proměnné diskrétní náhodnou veličinou jako diskrétní náhodnou, jejíž možné hodnoty se rovnají součinu konstanty o možné hodnoty; pravděpodobnosti možných hodnot se rovnají pravděpodobností odpovídajících možných hodnot. Pokud je například pravděpodobnost možné hodnoty rovna, pak je rovna i pravděpodobnost, že hodnota nabude hodnotu
Vlastnost 2. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka matematického očekávání:
Důkaz. Nechť je náhodná veličina dána zákonem o rozdělení pravděpodobnosti:
Vezmeme-li v úvahu poznámku 1, zapíšeme distribuční zákon náhodné veličiny
Poznámka 2. Než přejdeme k další vlastnosti, poukážeme na to, že dvě náhodné proměnné se nazývají nezávislé, pokud distribuční zákon jedné z nich nezávisí na možných hodnotách, které nabývala druhá proměnná. Jinak jsou náhodné veličiny závislé. Několik náhodných proměnných se nazývá vzájemně nezávislých, pokud zákony rozdělení libovolného počtu z nich nezávisí na možných hodnotách zbývajících proměnných.
Poznámka 3. Definujme součin nezávislých náhodných veličin a jako náhodnou veličinu, jejíž možné hodnoty se rovnají součinům každé možné hodnoty každou možnou hodnotou, se pravděpodobnosti možných hodnot součinu rovnají součin pravděpodobností možných hodnot faktorů. Například, jestliže pravděpodobnost možné hodnoty je, pravděpodobnost možné hodnoty je pak pravděpodobnost možné hodnoty je
Vlastnost 3. Matematické očekávání součinu dvou nezávislých náhodných veličin se rovná součinu jejich matematických očekávání:
Důkaz. Nechť jsou nezávislé náhodné proměnné specifikovány jejich vlastními zákony rozdělení pravděpodobnosti:
Zkompilujme všechny hodnoty, které může nabývat náhodná proměnná. K tomu vynásobme všechny možné hodnoty každou možnou hodnotou; V důsledku toho získáme a s přihlédnutím k poznámce 3 sepíšeme distribuční zákon, přičemž pro jednoduchost předpokládáme, že všechny možné hodnoty produktu jsou různé (pokud tomu tak není, pak se důkaz provede v podobným způsobem):
Matematické očekávání se rovná součtu součinů všech možných hodnot a jejich pravděpodobností:
Následek. Matematické očekávání součinu několika vzájemně nezávislých náhodných veličin se rovná součinu jejich matematických očekávání.
Vlastnost 4. Matematické očekávání součtu dvou náhodných proměnných se rovná součtu matematických očekávání členů:
Důkaz. Nechť náhodné proměnné a jsou specifikovány následujícími distribučními zákony:
Zkompilujme všechny možné hodnoty veličiny. K tomu přičteme každou možnou hodnotu ke každé možné hodnotě; Pro zjednodušení předpokládejme, že tyto možné hodnoty jsou různé (pokud tomu tak není, pak se důkaz provádí podobným způsobem) a jejich pravděpodobnosti označíme resp.
Matematické očekávání hodnoty se rovná součtu součinů možných hodnot a jejich pravděpodobností:
Dokažme, že Událost, která nabude hodnoty (pravděpodobnost této události je rovna) má za následek událost, která nabude hodnoty nebo (pravděpodobnost této události podle věty o sčítání je rovna) a naopak. Z toho plyne, že rovnosti se dokazují podobně
Dosazením pravých stran těchto rovností do vztahu (*) získáme
nebo konečně
Rozptyl a směrodatná odchylka
V praxi je často nutné odhadnout rozptyl možných hodnot náhodné veličiny kolem její střední hodnoty. Například u dělostřelectva je důležité vědět, jak blízko dopadnou granáty blízko cíle, který má být zasažen.
Na první pohled se může zdát, že nejjednodušší způsob, jak odhadnout disperzi, je vypočítat všechny možné odchylky náhodné veličiny a následně zjistit jejich průměrnou hodnotu. Tato cesta však nic nedá, jelikož průměrná hodnota odchylky, tzn. protože jakákoli náhodná veličina je rovna nule. Tato vlastnost je vysvětlena skutečností, že některé možné odchylky jsou pozitivní, zatímco jiné jsou negativní; v důsledku jejich vzájemného zrušení je průměrná hodnota odchylky nulová. Tyto úvahy naznačují, že je vhodné nahradit možné odchylky jejich absolutními hodnotami nebo jejich čtverci. To je to, co dělají v praxi. Je pravda, že v případě, kdy jsou možné odchylky nahrazeny absolutními hodnotami, je třeba pracovat s absolutními hodnotami, což někdy vede k vážným potížím. Nejčastěji se proto vydávají jinou cestou, tzn. vypočítat průměrnou hodnotu druhé mocniny odchylky, která se nazývá disperze.
Budou zde také problémy, které budete muset vyřešit sami, na které můžete vidět odpovědi.
Očekávání a rozptyl jsou nejčastěji používané číselné charakteristiky náhodné veličiny. Charakterizují nejdůležitější znaky distribuce: její polohu a stupeň rozptylu. Očekávaná hodnota se často nazývá jednoduše průměr. náhodná proměnná. Disperze náhodné veličiny - charakteristika disperze, šíření náhodné veličiny o jeho matematickém očekávání.
V mnoha praktických problémech úplnou, vyčerpávající charakteristiku náhodné veličiny - zákon rozdělení - buď nelze získat, nebo není vůbec potřeba. V těchto případech se omezíme na přibližný popis náhodné veličiny pomocí číselných charakteristik.
Očekávání diskrétní náhodné veličiny
Pojďme k pojmu matematické očekávání. Nechť je hmotnost nějaké látky rozložena mezi body osy x X1 , X 2 , ..., X n. Navíc každý hmotný bod má odpovídající hmotnost s pravděpodobností p1 , p 2 , ..., p n. Je třeba vybrat jeden bod na ose x, charakterizující polohu celého systému hmotných bodů s přihlédnutím k jejich hmotám. Je přirozené brát jako takový bod těžiště soustavy hmotných bodů. Toto je vážený průměr náhodné veličiny X, ke kterému úsečka každého bodu Xi vstupuje s „váhou“ rovnou odpovídající pravděpodobnosti. Takto získaná průměrná hodnota náhodné veličiny X se nazývá jeho matematické očekávání.
Matematické očekávání diskrétní náhodné veličiny je součtem součinů všech jejích možných hodnot a pravděpodobností těchto hodnot:
Příklad 1. Byla uspořádána loterie win-win. Existuje 1000 výher, z nichž 400 je 10 rublů. 300 - 20 rublů každý. 200 - 100 rublů každý. a 100 - 200 rublů každý. Jaká je průměrná výhra pro někoho, kdo si koupí jeden tiket?
Řešení. Průměrné výhry zjistíme, pokud celkovou částku výher, která je 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50 000 rublů, vydělíme 1000 (celková výše výher). Pak dostaneme 50 000/1 000 = 50 rublů. Ale výraz pro výpočet průměrných výher může být uveden v následující podobě:
Na druhou stranu v těchto podmínkách je výherní velikost náhodná proměnná, která může nabývat hodnot 10, 20, 100 a 200 rublů. s pravděpodobnostmi rovnou 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Očekávaná průměrná výhra se tedy rovná součtu součinů velikosti výher a pravděpodobnosti jejich obdržení.
Příklad 2 Nakladatelství se rozhodlo vydat novou knihu. Knihu plánuje prodat za 280 rublů, z nichž on sám dostane 200, 50 - knihkupectví a 30 - autor. Tabulka poskytuje informace o nákladech na vydání knihy a pravděpodobnosti prodeje určitého počtu výtisků knihy.
Najděte očekávaný zisk vydavatele.
Řešení. Náhodná veličina „zisk“ se rovná rozdílu mezi příjmy z prodeje a náklady na náklady. Pokud se například prodá 500 kopií knihy, pak příjem z prodeje je 200 * 500 = 100 000 a náklady na publikaci jsou 225 000 rublů. Vydavatel tak čelí ztrátě 125 000 rublů. Následující tabulka shrnuje očekávané hodnoty náhodné veličiny – zisk:
| Číslo | Zisk Xi | Pravděpodobnost pi | Xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Celkový: | 1,00 | 25000 |
Získáme tak matematické očekávání zisku vydavatele:
.
Příklad 3 Pravděpodobnost zásahu jednou ranou p= 0,2. Určete spotřebu projektilů, které poskytují matematický odhad počtu zásahů rovný 5.
Řešení. Ze stejného matematického vzorce očekávání, který jsme dosud používali, vyjadřujeme X- spotřeba skořápky:
.
Příklad 4. Určete matematické očekávání náhodné veličiny X počet zásahů při třech výstřelech, pokud je pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu p = 0,4 .
Tip: najděte pravděpodobnost hodnot náhodných proměnných podle Bernoulliho vzorec .
Vlastnosti matematického očekávání
Uvažujme o vlastnostech matematického očekávání.
Nemovitost 1. Matematické očekávání konstantní hodnoty se rovná této konstantě:
Nemovitost 2. Konstantní faktor lze vyjmout z matematického znaku očekávání:
Nemovitost 3. Matematické očekávání součtu (rozdílu) náhodných veličin se rovná součtu (rozdílu) jejich matematických očekávání:
Nemovitost 4. Matematické očekávání součinu náhodných veličin se rovná součinu jejich matematických očekávání:
Nemovitost 5. Pokud jsou všechny hodnoty náhodné proměnné X snížit (zvětšit) o stejné číslo S, pak se jeho matematické očekávání sníží (zvýší) o stejné číslo:
Když se nemůžete omezit pouze na matematická očekávání
Ve většině případů pouze matematické očekávání nemůže dostatečně charakterizovat náhodnou veličinu.
Nechť náhodné proměnné X A Y jsou dány následujícími distribučními zákony:
| Význam X | Pravděpodobnost |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Význam Y | Pravděpodobnost |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Matematická očekávání těchto veličin jsou stejná – rovna nule:
Jejich distribuce se však liší. Náhodná hodnota X může nabývat pouze hodnot, které se jen málo liší od matematického očekávání a náhodné proměnné Y může nabývat hodnot, které se výrazně odchylují od matematického očekávání. Podobný příklad: průměrná mzda neumožňuje posoudit podíl pracovníků s vysokým a nízkým platem. Jinými slovy, z matematického očekávání nelze soudit, jaké odchylky od něj, alespoň v průměru, jsou možné. Chcete-li to provést, musíte najít rozptyl náhodné proměnné.
Rozptyl diskrétní náhodné veličiny
Rozptyl diskrétní náhodná veličina X se nazývá matematické očekávání druhé mocniny jeho odchylky od matematického očekávání:
Směrodatná odchylka náhodné veličiny X aritmetická hodnota druhé odmocniny jejího rozptylu se nazývá:
.
Příklad 5. Vypočítejte rozptyly a směrodatné odchylky náhodných veličin X A Y, jehož distribuční zákony jsou uvedeny v tabulkách výše.
Řešení. Matematická očekávání náhodných veličin X A Y, jak bylo zjištěno výše, se rovnají nule. Podle disperzního vzorce at E(X)=E(y)=0 dostaneme:
Pak směrodatné odchylky náhodných veličin X A Y makeup
.
Tedy při stejných matematických očekáváních rozptyl náhodné veličiny X velmi malá, ale náhodná proměnná Y- významný. Je to důsledek rozdílů v jejich distribuci.
Příklad 6. Investor má 4 alternativní investiční projekty. Tabulka shrnuje očekávaný zisk v těchto projektech s odpovídající pravděpodobností.
| Projekt 1 | Projekt 2 | Projekt 3 | Projekt 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Najděte matematické očekávání, rozptyl a směrodatnou odchylku pro každou alternativu.
Řešení. Ukážeme si, jak se tyto hodnoty počítají pro 3. alternativu:
Tabulka shrnuje nalezené hodnoty pro všechny alternativy.
Všechny alternativy mají stejná matematická očekávání. To znamená, že dlouhodobě mají všichni stejný příjem. Směrodatnou odchylku lze interpretovat jako míru rizika – čím vyšší je, tím větší je riziko investice. Investor, který nechce příliš riskovat, si vybere projekt 1, protože má nejmenší směrodatnou odchylku (0). Pokud investor preferuje riziko a vysoké výnosy v krátkém období, pak si vybere projekt s největší směrodatnou odchylkou - projekt 4.
Disperzní vlastnosti
Uveďme si vlastnosti disperze.
Nemovitost 1. Rozptyl konstantní hodnoty je nula:
Nemovitost 2. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka disperze jeho umocněním:
.
Nemovitost 3. Rozptyl náhodné veličiny se rovná matematickému očekávání druhé mocniny této hodnoty, od které se odečte druhá mocnina matematického očekávání samotné hodnoty:
,
Kde 
.
Nemovitost 4. Rozptyl součtu (rozdílu) náhodných veličin se rovná součtu (rozdílu) jejich rozptylů:
Příklad 7. Je známo, že diskrétní náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot: −3 a 7. Navíc je známo matematické očekávání: E(X) = 4. Najděte rozptyl diskrétní náhodné veličiny.
Řešení. Označme podle p pravděpodobnost, s jakou náhodná veličina nabývá hodnoty X1 = −3 . Pak pravděpodobnost hodnoty X2 = 7 bude 1 − p. Odvoďme rovnici pro matematické očekávání:
E(X) = X 1 p + X 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
kde získáme pravděpodobnost: p= 0,3 a 1 - p = 0,7 .
Zákon rozdělení náhodné veličiny:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Rozptyl této náhodné veličiny vypočítáme pomocí vzorce z vlastnosti 3 disperze:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Najděte matematické očekávání náhodné proměnné sami a pak se podívejte na řešení
Příklad 8. Diskrétní náhodná veličina X má pouze dvě hodnoty. Přijímá větší z hodnot 3 s pravděpodobností 0,4. Navíc je znám rozptyl náhodné veličiny D(X) = 6. Najděte matematické očekávání náhodné veličiny.
Příklad 9. V urně je 6 bílých a 4 černé koule. Z urny se losují 3 míčky. Počet bílých kuliček mezi vytaženými koulemi je diskrétní náhodná veličina X. Najděte matematické očekávání a rozptyl této náhodné veličiny.
Řešení. Náhodná hodnota X může nabývat hodnot 0, 1, 2, 3. Odpovídající pravděpodobnosti lze vypočítat pravidlo násobení pravděpodobnosti. Zákon rozdělení náhodné veličiny:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Odtud matematické očekávání této náhodné veličiny:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Rozptyl dané náhodné veličiny je:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Očekávání a rozptyl spojité náhodné veličiny
Pro spojitou náhodnou veličinu si mechanická interpretace matematického očekávání zachová stejný význam: těžiště pro jednotkovou hmotu rozloženou spojitě na ose x s hustotou F(X). Na rozdíl od diskrétní náhodné proměnné, jejíž argument funkce Xi mění se náhle, u spojité náhodné veličiny se argument mění plynule. Ale s její průměrnou hodnotou souvisí i matematické očekávání spojité náhodné veličiny.
Chcete-li najít matematické očekávání a rozptyl spojité náhodné veličiny, musíte najít určité integrály . Pokud je dána funkce hustoty spojité náhodné veličiny, pak přímo vstupuje do integrandu. Pokud je dána funkce rozdělení pravděpodobnosti, pak jejím derivováním musíte najít funkci hustoty.
Aritmetický průměr všech možných hodnot spojité náhodné veličiny se nazývá její matematické očekávání, označené nebo .
Řešení:
6.1.2 Vlastnosti matematického očekávání
1. Matematické očekávání konstantní hodnoty se rovná samotné konstantě.
2. Konstantní faktor lze vyjmout jako znak matematického očekávání. 
3. Matematické očekávání součinu dvou nezávislých náhodných veličin se rovná součinu jejich matematických očekávání.
Tato vlastnost platí pro libovolný počet náhodných proměnných.
4. Matematické očekávání součtu dvou náhodných veličin se rovná součtu matematických očekávání členů.
Tato vlastnost platí také pro libovolný počet náhodných proměnných.
Příklad: M(X) = 5, MŮJ)= 2. Najděte matematické očekávání náhodné veličiny Z, používající vlastnosti matematického očekávání, pokud je známo, že Z=2X+3Y.
Řešení: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =
1) matematické očekávání součtu se rovná součtu matematických očekávání
2) konstantní faktor lze vyjmout z matematického znaku očekávání
Nechť je provedeno n nezávislých pokusů, přičemž pravděpodobnost výskytu události A je rovna p. Pak platí následující věta:
Teorém. Matematické očekávání M(X) počtu výskytů jevu A v n nezávislých pokusech se rovná součinu počtu pokusů a pravděpodobnosti výskytu jevu v každém pokusu.
6.1.3 Disperze diskrétní náhodné veličiny
Matematické očekávání nemůže plně charakterizovat náhodný proces. Kromě matematického očekávání je nutné zadat hodnotu, která charakterizuje odchylku hodnot náhodné veličiny od matematického očekávání.
Tato odchylka se rovná rozdílu mezi náhodnou veličinou a jejím matematickým očekáváním. V tomto případě je matematické očekávání odchylky nulové. To se vysvětluje tím, že některé možné odchylky jsou kladné, jiné záporné a v důsledku jejich vzájemného zrušení se získá nula.
Rozptyl (rozptyl) diskrétní náhodné veličiny je matematické očekávání druhé mocniny odchylky náhodné veličiny od jejího matematického očekávání.
V praxi je tento způsob výpočtu rozptylu nepohodlný, protože vede k těžkopádným výpočtům pro velký počet hodnot náhodných proměnných.
Proto se používá jiný způsob.
Teorém. Rozptyl je roven rozdílu mezi matematickým očekáváním druhé mocniny náhodné veličiny X a druhou mocninou jejího matematického očekávání.
Důkaz. Vezmeme-li v úvahu skutečnost, že matematické očekávání M(X) a druhá mocnina matematického očekávání M2(X) jsou konstantní veličiny, můžeme napsat:
Příklad. Najděte rozptyl diskrétní náhodné veličiny daný distribučním zákonem.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Řešení: .
6.1.4 Disperzní vlastnosti
1. Rozptyl konstantní hodnoty je nulový. .
2. Konstantní faktor lze ze znaménka disperze vyjmout jeho umocněním. 
.
3. Rozptyl součtu dvou nezávislých náhodných proměnných je roven součtu rozptylů těchto proměnných. .
4. Rozptyl rozdílu dvou nezávislých náhodných proměnných je roven součtu rozptylů těchto proměnných. .
Teorém. Rozptyl počtu výskytů jevu A v n nezávislých pokusech, z nichž v každém je pravděpodobnost p výskytu jevu konstantní, se rovná součinu počtu pokusů pravděpodobností výskytu a ne- výskyt události v každém pokusu.
Příklad: Najděte rozptyl DSV X - počet výskytů události A ve 2 nezávislých studiích, pokud je pravděpodobnost výskytu události v těchto studiích stejná a je známo, že M(X) = 1,2.
Aplikujme větu z oddílu 6.1.2:
M(X) = np
M(X) = 1,2; n= 2. Pojďme najít p:
1,2 = 2∙p
p = 1,2/2
q = 1 – p = 1 – 0,6 = 0,4
Pojďme najít rozptyl pomocí vzorce:
D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48
6.1.5 Směrodatná odchylka diskrétní náhodné veličiny
Standardní odchylka náhodná veličina X se nazývá druhá odmocnina rozptylu.
(25)
Teorém. Směrodatná odchylka součtu konečného počtu vzájemně nezávislých náhodných proměnných je rovna druhé odmocnině součtu druhých mocnin směrodatných odchylek těchto proměnných.
6.1.6 Mód a medián diskrétní náhodné veličiny
Móda M nebo DSV nazývá se nejpravděpodobnější hodnota náhodné veličiny (tj. hodnota, která má nejvyšší pravděpodobnost)
Medián M a DSV je hodnota náhodné veličiny, která rozděluje distribuční řadu na polovinu. Pokud je počet hodnot náhodné proměnné sudý, pak se medián najde jako aritmetický průměr dvou průměrných hodnot.
Příklad: Najděte režim a medián DSV X:
| X | ||||
| p | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Mě = = 5,5
Pokrok
1. Seznamte se s teoretickou částí této práce (přednášky, učebnice).
2. Dokončete úkol podle vlastní verze.
3. Udělejte zprávu o práci.
4. Chraňte svou práci.
2. Účel práce.
3. Postup práce.
4. Řešení vlastní možnosti.
6.4 Možnosti úkolů pro samostatnou práci
Možnost 1
1. Najděte matematické očekávání, disperzi, směrodatnou odchylku, modus a medián DSV X, dané distribučním zákonem.
| X | ||||
| P | 0.1 | 0.6 | 0.2 | 0.1 |
2. Najděte matematické očekávání náhodné veličiny Z, pokud jsou známa matematická očekávání X a Y: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.
3. Najděte rozptyl DSV X - počet výskytů události A ve dvou nezávislých studiích, pokud jsou pravděpodobnosti výskytu událostí v těchto studiích stejné a je známo, že M (X) = 1.
4. Je uveden seznam možných hodnot diskrétní náhodné proměnné X: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3= 5 a matematická očekávání této hodnoty a její druhé mocniny jsou také známa: , . Najděte pravděpodobnosti , , , odpovídající možným hodnotám , a sestavte distribuční zákon DSV.
Možnost č. 2
| X | ||||
| P | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.4 |
2. Najděte matematické očekávání náhodné veličiny Z, pokud jsou známa matematická očekávání X a Y: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.
3. Najděte rozptyl DSV X - počet výskytů události A ve třech nezávislých studiích, pokud jsou pravděpodobnosti výskytu událostí v těchto studiích stejné a je známo, že M (X) = 0,9.
4. Je uveden seznam možných hodnot diskrétní náhodné proměnné X: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 4, x 4= 10 a matematická očekávání této hodnoty a její druhé mocniny jsou také známa: , . Najděte pravděpodobnosti , , , odpovídající možným hodnotám , a sestavte distribuční zákon DSV.
Možnost #3
1. Najděte matematické očekávání, rozptyl a směrodatnou odchylku DSV X, dané distribučním zákonem.
| X | ||||
| P | 0.5 | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
2. Najděte matematické očekávání náhodné veličiny Z, pokud jsou známa matematická očekávání X a Y: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.
3. Najděte rozptyl DSV X - počet výskytů události A ve čtyřech nezávislých studiích, pokud jsou pravděpodobnosti výskytu událostí v těchto studiích stejné a je známo, že M (x) = 1,2.
Jak je již známo, distribuční zákon zcela charakterizuje náhodnou veličinu. Často je však zákon o distribuci neznámý a člověk se musí omezit na méně informací. Někdy je ještě výhodnější použít čísla, která popisují náhodnou veličinu celkem; taková čísla se nazývají číselné charakteristiky náhodné veličiny.
Jednou z důležitých číselných charakteristik je matematické očekávání.
Matematické očekávání se přibližně rovná průměrné hodnotě náhodné veličiny.
Matematické očekávání diskrétní náhodné veličiny je součtem součinů všech jeho možných hodnot a jejich pravděpodobností.
Pokud je náhodná veličina charakterizována konečnou distribuční řadou:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | … | x n |
| R | p 1 | p 2 | p 3 | … | r p |
pak matematické očekávání M(X) určeno vzorcem:
Matematické očekávání spojité náhodné veličiny je určeno rovností:
kde je hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X.
Příklad 4.7. Najděte matematické očekávání počtu bodů, které se objeví při hodu kostkou.
Řešení:
Náhodná hodnota X nabývá hodnot 1, 2, 3, 4, 5, 6. Vytvořme zákon jeho rozdělení:
| X | ||||||
| R |
Pak je matematické očekávání:
Vlastnosti matematického očekávání:
1. Matematické očekávání konstantní hodnoty se rovná samotné konstantě:
M (S) = S.
2. Konstantní faktor lze vyjmout z matematického znaku očekávání:
M (CX) = CM (X).
3. Matematické očekávání součinu dvou nezávislých náhodných veličin se rovná součinu jejich matematických očekávání:
M(XY) = M(X)M(Y).
Příklad 4.8. Nezávislé náhodné veličiny X A Y jsou dány následujícími distribučními zákony:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Najděte matematické očekávání náhodné veličiny XY.
Řešení.
Pojďme najít matematická očekávání každé z těchto veličin:
Náhodné proměnné X A Y nezávislý, proto požadované matematické očekávání je:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Následek. Matematické očekávání součinu několika vzájemně nezávislých náhodných veličin se rovná součinu jejich matematických očekávání.
4. Matematické očekávání součtu dvou náhodných proměnných se rovná součtu matematických očekávání členů:
M (X + Y) = M (X) + M (Y).
Následek. Matematické očekávání součtu několika náhodných proměnných se rovná součtu matematických očekávání členů.
Příklad 4.9. Vystřelí se 3 rány s pravděpodobností zásahu cíle rovna p 1 = 0,4; p2= 0,3 a p 3= 0,6. Najděte matematické očekávání celkového počtu zásahů.
Řešení.
Počet zásahů při prvním výstřelu je náhodná veličina X 1, který může nabývat pouze dvou hodnot: 1 (zásah) s pravděpodobností p 1= 0,4 a 0 (chybí) s pravděpodobností q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.
Matematické očekávání počtu zásahů při prvním výstřelu se rovná pravděpodobnosti zásahu:
Podobně najdeme matematická očekávání počtu zásahů pro druhý a třetí výstřel:
M(X 2)= 0,3 a M(X3)= 0,6.
Celkový počet zásahů je také náhodná proměnná sestávající ze součtu zásahů v každém ze tří výstřelů:
X = Xi + X2 + X3.
Požadované matematické očekávání X Najdeme ji pomocí věty o matematickém očekávání součtu.
