Rozdíl aritmetické progrese podle. Aritmetický postup – číselná posloupnost

Pokud pro každé přirozené číslo n odpovídat skutečnému číslu a n , pak říkají, že je dáno číselná řada :

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , a n , . . . .

Číselná posloupnost je tedy funkcí přirozeného argumentu.

Číslo A 1 volal první termín sekvence , číslo A 2 — druhý termín sekvence , číslo A 3 — třetí a tak dále. Číslo a n volal n-tý člen sekvence a přirozené číslo n — jeho číslo .

Od dvou sousedních členů a n A a n +1 člen sekvence a n +1 volal následující (vzhledem k a n ), A a n — předchozí (vzhledem k a n +1 ).

Chcete-li definovat posloupnost, musíte určit metodu, která vám umožní najít člen posloupnosti s libovolným číslem.

Často je sekvence specifikována pomocí vzorce n-tého členu , tedy vzorec, který umožňuje určit člen posloupnosti podle jeho čísla.

Například,

posloupnost kladných lichých čísel může být dána vzorcem

a n= 2n- 1,

a sled střídání 1 A -1 - vzorec

b n = (-1)n +1 . ◄

Pořadí lze určit opakující se vzorec, tedy vzorec, který vyjadřuje libovolný člen posloupnosti, počínaje některým, přes předchozí (jeden nebo více) členy.

Například,

Li A 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

A 1 = 1,

A 2 = A 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

A 3 = A 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

A 4 = A 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

A 5 = A 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Li 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , pak prvních sedm členů číselné posloupnosti se stanoví takto:

1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

5 = a 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

A 6 = A 4 + A 5 = 3 + 5 = 8,

A 7 = A 5 + A 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvence mohou být finále A nekonečný .

Sekvence je volána konečný , pokud má konečný počet členů. Sekvence je volána nekonečný , pokud má nekonečně mnoho členů.

Například,

posloupnost dvouciferných přirozených čísel:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

finále.

Posloupnost prvočísel:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

nekonečný. ◄

Sekvence je volána zvyšující se , je-li každý jeho člen, počínaje druhým, větší než předchozí.

Sekvence je volána klesající , je-li každý její člen, počínaje druhým, menší než předchozí.

Například,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — rostoucí posloupnost;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — klesající posloupnost. ◄

Zavolá se posloupnost, jejíž prvky s rostoucím číslem neklesají, nebo naopak nerostou monotónní sekvence .

Monotónní sekvence jsou zejména rostoucí sekvence a klesající sekvence.

Aritmetický postup

Aritmetický postup je posloupnost, ve které je každý člen, počínaje druhým, roven předchozímu, ke kterému je přidáno stejné číslo.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetický postup pro libovolné přirozené číslo n podmínka je splněna:

a n +1 = a n + d,

Kde d - určitý počet.

Rozdíl mezi následujícími a předchozími členy dané aritmetické progrese je tedy vždy konstantní:

a 2 - A 1 = a 3 - A 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Číslo d volal rozdíl aritmetického postupu.

K definování aritmetické progrese stačí uvést její první člen a rozdíl.

Například,

Li A 1 = 3, d = 4 , pak najdeme prvních pět členů posloupnosti takto:

1 =3,

a 2 = 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

A 5 = A 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Pro aritmetický postup s prvním termínem A 1 a rozdíl d jí n

a n = 1 + (n- 1)d.

Například,

najít třicátý člen aritmetického postupu

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, d = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = 1 + (n- 2)d,

a n= 1 + (n- 1)d,

a n +1 = A 1 + nd,

pak evidentně

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Každý člen aritmetické posloupnosti, počínaje druhým, se rovná aritmetickému průměru předchozích a následujících členů.

čísla a, b a c jsou po sobě jdoucí členy nějaké aritmetické posloupnosti právě tehdy, když se jedno z nich rovná aritmetickému průměru ostatních dvou.

Například,

a n = 2n- 7 , je aritmetický postup.

Použijme výše uvedené tvrzení. máme:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Proto,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Všimněte si toho n Člen aritmetického postupu lze nalézt nejen prostřednictvím A 1 , ale i jakékoli předchozí a k

a n = a k + (n- k)d.

Například,

Pro A 5 lze zapsat

5 = 1 + 4d,

5 = a 2 + 3d,

5 = a 3 + 2d,

5 = 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

pak evidentně

a n=	A n-k +a n+k
	2

jakýkoli člen aritmetické posloupnosti, počínaje druhým, se rovná polovině součtu členů této aritmetické posloupnosti rovnoměrně od ní vzdálených.

Navíc pro jakýkoli aritmetický postup platí následující rovnost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Například,

v aritmetickém postupu

1) A 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (A 9 + A 11 )/2;

2) 28 = 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, protože

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

první n členy aritmetické progrese se rovná součinu poloviny součtu extrémních členů a počtu členů:

Z toho zejména vyplývá, že pokud potřebujete sečíst termíny

a k, a k +1 , . . . , a n,

pak si předchozí vzorec zachová svou strukturu:

Například,

v aritmetickém postupu 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Pokud je uvedena aritmetická posloupnost, pak množství A 1 , a n, d, n AS n spojené dvěma vzorci:

Pokud jsou tedy uvedeny hodnoty tří z těchto veličin, pak se odpovídající hodnoty dalších dvou veličin určí z těchto vzorců, sloučených do systému dvou rovnic se dvěma neznámými.

Aritmetický postup je monotónní posloupnost. V tomto případě:

• Li d > 0 , pak se zvyšuje;
• Li d < 0 , pak se snižuje;
• Li d = 0 , pak bude sekvence nehybná.

Geometrická progrese

Geometrická progrese je posloupnost, ve které se každý člen, počínaje druhým, rovná předchozímu vynásobenému stejným číslem.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrická posloupnost pro libovolné přirozené číslo n podmínka je splněna:

b n +1 = b n · q,

Kde q ≠ 0 - určitý počet.

Poměr následujícího členu dané geometrické posloupnosti k předchozímu je tedy konstantní číslo:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Číslo q volal jmenovatel geometrické progrese.

K definování geometrické posloupnosti stačí uvést její první člen a jmenovatele.

Například,

Li b 1 = 1, q = -3 , pak najdeme prvních pět členů posloupnosti takto:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 a jmenovatel q jí n Termín lze nalézt pomocí vzorce:

b n = b 1 · qn -1 .

Například,

najít sedmý člen geometrické posloupnosti 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

pak evidentně

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

každý člen geometrické posloupnosti, počínaje druhým, je roven geometrickému průměru (proporcionálnímu) předchozích a následujících členů.

Protože platí i opak, platí následující tvrzení:

čísla a, b a c jsou po sobě jdoucí členy nějaké geometrické posloupnosti právě tehdy, když druhá mocnina jednoho z nich je rovna součinu ostatních dvou, to znamená, že jedno z čísel je geometrickým průměrem ostatních dvou.

Například,

Dokažme, že posloupnost daná vzorcem b n= -3 2 n , je geometrická progrese. Použijme výše uvedené tvrzení. máme:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Proto,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

což dokazuje požadované tvrzení. ◄

Všimněte si toho n Termín geometrické progrese lze nalézt nejen prostřednictvím b 1 , ale i kterýkoli předchozí člen b k , u kterého stačí použít vzorec

b n = b k · qn - k.

Například,

Pro b 5 lze zapsat

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

pak evidentně

b n 2 = b n - k· b n + k

druhá mocnina libovolného členu geometrické posloupnosti, počínaje druhým, je rovna součinu stejně rozmístěných členů této posloupnosti.

Navíc pro jakoukoli geometrickou progresi platí rovnost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Například,

v geometrickém postupu

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , protože

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

první n členy geometrické posloupnosti se jmenovatelem q ≠ 0 vypočítá se podle vzorce:

A kdy q = 1 - podle vzorce

S n= nb 1

Všimněte si, že pokud potřebujete sečíst podmínky

b k, b k +1 , . . . , b n,

pak se použije vzorec:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Například,

v geometrickém postupu 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Je-li dána geometrická posloupnost, pak veličiny b 1 , b n, q, n A S n spojené dvěma vzorci:

Pokud jsou tedy uvedeny hodnoty libovolných tří z těchto veličin, pak se odpovídající hodnoty dalších dvou veličin určí z těchto vzorců, sloučených do systému dvou rovnic se dvěma neznámými.

Pro geometrický postup s prvním členem b 1 a jmenovatel q proběhnou následující vlastnosti monotonie :

• progrese se zvyšuje, pokud je splněna jedna z následujících podmínek:

b 1 > 0 A q> 1;

b 1 < 0 A 0 < q< 1;

• Progrese se snižuje, pokud je splněna jedna z následujících podmínek:

b 1 > 0 A 0 < q< 1;

b 1 < 0 A q> 1.

Li q< 0 , pak se geometrická posloupnost střídá: její členy s lichými čísly mají stejné znaménko jako její první člen a členy se sudými čísly mají opačné znaménko. Je zřejmé, že střídavý geometrický postup není monotónní.

Produkt prvního n členy geometrické posloupnosti lze vypočítat pomocí vzorce:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Například,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Nekonečně klesající geometrický postup

Nekonečně klesající geometrický postup nazývá se nekonečná geometrická progrese, jejíž jmenovatel modul je menší 1 , to je

|q| < 1 .

Všimněte si, že nekonečně klesající geometrická progrese nemusí být klesající posloupností. Hodí se k příležitosti

1 < q< 0 .

S takovým jmenovatelem se posloupnost střídá. Například,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Součet nekonečně klesající geometrické progrese pojmenujte číslo, ke kterému se součet prvních neomezeně blíží n členů progrese s neomezeným nárůstem počtu n . Toto číslo je vždy konečné a je vyjádřeno vzorcem

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Například,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Vztah mezi aritmetickými a geometrickými posloupnostmi

Aritmetické a geometrické posloupnosti spolu úzce souvisí. Podívejme se jen na dva příklady.

A 1 , A 2 , A 3 , . . . d , To

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Například,

1, 3, 5, . . . - aritmetický postup s rozdílem 2 A

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrická posloupnost se jmenovatelem 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrická posloupnost se jmenovatelem q , To

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmetický postup s rozdílem log aq .

Například,

2, 12, 72, . . . - geometrická posloupnost se jmenovatelem 6 A

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetický postup s rozdílem lg 6 . ◄

Součet aritmetické progrese.

Součet aritmetické progrese je jednoduchá věc. Jak ve smyslu, tak ve vzorci. Na toto téma jsou ale nejrůznější úkoly. Od základních až po celkem solidní.

Nejprve pochopíme význam a vzorec částky. A pak se rozhodneme. Pro vlastní potěšení.) Význam částky je jednoduchý jako bučení. Chcete-li najít součet aritmetické progrese, stačí pečlivě sečíst všechny její členy. Pokud je těchto výrazů málo, můžete je přidat bez jakýchkoli vzorců. Ale pokud je toho hodně, nebo hodně... sčítání je otravné.) V tomto případě přichází na pomoc vzorec.

Vzorec pro výši částky je jednoduchý:

Pojďme zjistit, jaké druhy písmen jsou ve vzorci zahrnuty. Tím se mnohé vyjasní.

S n - součet aritmetického postupu. Výsledek sčítání každýčleny, s první Podle poslední. To je důležité. Přesně se sčítají Všečlenů v řadě, bez přeskakování nebo přeskakování. A přesně od toho první. V problémech, jako je nalezení součtu třetího a osmého členu nebo součtu pátého až dvacátého členu, přímá aplikace vzorce zklame.)

1 - prvníčlen progrese. Zde je vše jasné, je to jednoduché prvníčíslo řádku.

a n- posledníčlen progrese. Poslední číslo série. Není to příliš známé jméno, ale když se použije na množství, je to velmi vhodné. Pak uvidíte sami.

n - číslo posledního člena. Je důležité pochopit, že ve vzorci toto číslo se shoduje s počtem přidaných termínů.

Pojďme definovat pojem posledníčlen a n. Záludná otázka: který člen bude poslední pokud je dán nekonečný aritmetický postup?)

Abyste mohli s jistotou odpovědět, musíte pochopit základní význam aritmetického postupu a... pozorně si úkol přečíst!)

V úloze najít součet aritmetické posloupnosti se vždy objeví poslední člen (přímo nebo nepřímo), která by měla být omezena. Jinak konečná, konkrétní částka prostě neexistuje. Pro řešení nezáleží na tom, zda je daná posloupnost: konečná nebo nekonečná. Nezáleží na tom, jak je to dáno: řada čísel nebo vzorec pro n-tý člen.

Nejdůležitější je pochopit, že vzorec funguje od prvního členu postupu až po člen s číslem n. Ve skutečnosti celý název vzorce vypadá takto: součet prvních n členů aritmetické posloupnosti. Počet těchto úplně prvních členů, tzn. n, je určena výhradně úkolem. V úkolu jsou všechny tyto cenné informace často zašifrovány, ano... Ale nevadí, v příkladech níže tato tajemství odhalíme.)

Příklady úloh na součtu aritmetické posloupnosti.

Nejprve užitečné informace:

Hlavní potíž v úlohách zahrnujících součet aritmetického postupu spočívá ve správném určení prvků vzorce.

Autoři úkolů zašifrují právě tyto prvky s bezmeznou fantazií.) Zde je hlavní nebát se. Abychom pochopili podstatu prvků, stačí je jednoduše dešifrovat. Podívejme se na několik příkladů podrobně. Začněme úkolem založeným na skutečném GIA.

1. Aritmetický průběh je dán podmínkou: a n = 2n-3,5. Najděte součet jeho prvních 10 členů.

Dobrá práce. Snadno.) Co potřebujeme vědět, abychom určili množství pomocí vzorce? První člen 1, poslední termín a n, ano číslo posledního člena n.

Kde získám číslo posledního člena? n? Ano, přímo tam, pod podmínkou! Říká: najdi součet prvních 10 členů. No a s jakým číslem to bude? poslední, desátý člen?) Nebudete tomu věřit, jeho číslo je desáté!) Proto místo toho a n dosadíme do vzorce 10 a místo toho n- deset. Opakuji, číslo posledního člena se shoduje s počtem členů.

Zbývá určit 1 A 10. To lze snadno vypočítat pomocí vzorce pro n-tý člen, který je uveden v zadání problému. Nevíte jak na to? Navštivte předchozí lekci, bez toho to nejde.

1= 21 - 3,5 = -1,5

10= 2,10 - 3,5 = 16,5

S n = S 10.

Zjistili jsme význam všech prvků vzorce pro součet aritmetické posloupnosti. Zbývá je pouze nahradit a počítat:

To je vše. Odpověď: 75.

Další úkol založený na GIA. Trochu složitější:

2. Je dána aritmetická progrese (a n), jejíž rozdíl je 3,7; a 1 = 2,3. Najděte součet jeho prvních 15 členů.

Okamžitě napíšeme součtový vzorec:

Tento vzorec nám umožňuje najít hodnotu libovolného členu podle jeho čísla. Hledáme jednoduchou náhradu:

a15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Zbývá pouze dosadit všechny prvky do vzorce pro součet aritmetické posloupnosti a vypočítat odpověď:

Odpověď: 423.

Mimochodem, pokud v součtovém vzorci místo a n Jednoduše dosadíme vzorec za n-tý člen a dostaneme:

Ukažme si podobné a získáme nový vzorec pro součet členů aritmetické posloupnosti:

Jak vidíte, n-tý termín zde není vyžadován a n. V některých problémech tento vzorec hodně pomáhá, ano... Tento vzorec si můžete zapamatovat. Nebo jej můžete jednoduše ve správný čas stáhnout, jako zde. Koneckonců, vždy si musíte zapamatovat vzorec pro součet a vzorec pro n-tý člen.)

Nyní úkol ve formě krátkého šifrování):

3. Najděte součet všech kladných dvouciferných čísel, která jsou násobky tří.

Páni! Ani tvůj první člen, ani tvůj poslední, už vůbec ne postup... Jak žít!?

Budete muset přemýšlet hlavou a vytáhnout z podmínky všechny prvky součtu aritmetické progrese. Víme, co jsou dvouciferná čísla. Skládají se ze dvou čísel.) Jaké bude dvouciferné číslo první? 10, pravděpodobně.) A poslední dvouciferné číslo? 99, samozřejmě! Trojciferné ho budou následovat...

Násobky tří... Hm... To jsou čísla, která jsou dělitelná třemi, tady! Deset není dělitelné třemi, 11 není dělitelné... 12... je dělitelné! Takže se něco rýsuje. Již si můžete zapsat řadu podle podmínek problému:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bude tato série aritmetickým postupem? Jistě! Každý termín se od předchozího liší striktně třemi. Pokud k termínu přidáte 2 nebo 4, řekněme výsledek, tzn. nové číslo již není dělitelné 3. Okamžitě můžete určit rozdíl aritmetické posloupnosti: d = 3. Bude se to hodit!)

Můžeme si tedy bezpečně zapsat některé parametry progrese:

Jaké to bude číslo? n poslední člen? Kdo si myslí, že 99 se fatálně mýlí... Čísla jdou vždy za sebou, ale naši členové skáčou přes tři. Neshodují se.

Zde jsou dvě řešení. Jedna cesta je pro super pracovité. Můžete si zapisovat postup, celou řadu čísel a prstem počítat počet členů.) Druhý způsob je pro přemýšlivé. Musíte si zapamatovat vzorec pro n-tý člen. Pokud použijeme vzorec na náš problém, zjistíme, že 99 je třicátý člen progrese. Tito. n = 30.

Podívejme se na vzorec pro součet aritmetické posloupnosti:

Díváme se a radujeme se.) Z výpisu problému jsme vytáhli vše potřebné k výpočtu částky:

1= 12.

30= 99.

S n = S 30.

Zbývá jen elementární aritmetika. Dosadíme čísla do vzorce a vypočítáme:

Odpověď: 1665

Další typ populární hádanky:

4. Při aritmetickém postupu:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Najděte součet členů od dvacátého do třiceti čtyř.

Díváme se na vzorec pro částku a... rozčilujeme se.) Vzorec, připomenu, počítá částku od prvníhočlen. A v úloze je potřeba spočítat součet od dvacátého... Vzorec nebude fungovat.

Můžete samozřejmě napsat celý průběh v sérii a přidat výrazy od 20 do 34. Ale... je to nějak hloupé a trvá to dlouho, že?)

Existuje elegantnější řešení. Rozdělme naši sérii na dvě části. První část bude od prvního do devatenáctého období. Druhá část - od dvaceti do třiceti čtyř. Je jasné, že pokud spočítáme součet členů první části S 1-19, sečteme to se součtem podmínek druhé části S 20-34, dostaneme součet postupu od prvního termínu do třicátého čtvrtého S 1-34. Takhle:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Z toho můžeme vidět, že najděte součet S 20-34 lze provést jednoduchým odečtením

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Uvažují se obě částky na pravé straně od prvníhočlen, tzn. standardní sumární vzorec je pro ně docela použitelný. Pojďme začít?

Extrahujeme parametry progrese z příkazu problému:

d = 1,5.

1= -21,5.

K výpočtu součtů prvních 19 a prvních 34 termínů budeme potřebovat 19. a 34. termíny. Vypočítáme je pomocí vzorce pro n-tý člen, jako v problému 2:

19= -21,5 + (19-1) 1,5 = 5,5

34= -21,5 + (34-1) 1,5 = 28

Nezůstalo nic. Od součtu 34 termínů odečtěte součet 19 termínů:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odpověď: 262,5

Jedna důležitá poznámka! Při řešení tohoto problému existuje velmi užitečný trik. Místo přímé kalkulace co potřebujete (S 20–34), počítali jsme něco, co by se zdálo nepotřebné - S 1-19. A pak se rozhodli S 20-34, vyřazení nepotřebného z kompletního výsledku. Tento druh „finty s ušima“ vás často zachrání před zlými problémy.)

V této lekci jsme se podívali na problémy, u kterých stačí pochopit význam součtu aritmetické posloupnosti. No, musíte znát pár vzorců.)

Praktické rady:

Při řešení jakéhokoli problému zahrnujícího součet aritmetické posloupnosti doporučuji ihned sepsat dva hlavní vzorce z tohoto tématu.

Vzorec pro n-tý termín:

Tyto vzorce vám okamžitě řeknou, co hledat a jakým směrem myslet, abyste problém vyřešili. Pomáhá.

A nyní úkoly k samostatnému řešení.

5. Najděte součet všech dvouciferných čísel, která nejsou dělitelná třemi.

Super?) Nápověda je skrytá v poznámce k problému 4. No, problém 3 pomůže.

6. Aritmetický postup je dán podmínkou: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Najděte součet jeho prvních 24 členů.

Neobvyklé?) Toto je opakující se vzorec. O tom si můžete přečíst v předchozí lekci. Neignorujte odkaz, takové problémy se často vyskytují ve Státní akademii věd.

7. Vasja našetřil peníze na dovolenou. Až 4550 rublů! A rozhodla jsem se svému oblíbenému člověku (sám sobě) dopřát pár dní štěstí). Žijte krásně, aniž byste si cokoliv odpírali. Utraťte 500 rublů první den a každý další den utraťte o 50 rublů více než ten předchozí! Dokud nedojdou peníze. Kolik dní štěstí měl Vasya?

Obtížné?) Pomůže dodatečný vzorec z úkolu 2.

Odpovědi (neuspořádané): 7, 3240, 6.

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Pojďme se učit - se zájmem!)

Můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

Při studiu algebry na střední škole (9. ročník) je jedním z důležitých témat studium číselných posloupností, které zahrnují posloupnosti - geometrické a aritmetické. V tomto článku se podíváme na aritmetický postup a příklady s řešením.

Co je to aritmetická progrese?

Abychom tomu porozuměli, je nutné definovat příslušný postup a také poskytnout základní vzorce, které budou později použity při řešení problémů.

Je známo, že v nějaké algebraické posloupnosti je 1. člen roven 6 a 7. člen je roven 18. Je nutné najít rozdíl a obnovit tuto posloupnost na 7. člen.

K určení neznámého členu použijeme vzorec: a n = (n - 1) * d + a 1 . Dosadíme do něj známá data z podmínky, tedy čísla a 1 a a 7, máme: 18 = 6 + 6 * d. Z tohoto výrazu snadno spočítáte rozdíl: d = (18 - 6) /6 = 2. Tím jsme odpověděli na první část úlohy.

Chcete-li obnovit posloupnost na 7. člen, měli byste použít definici algebraické posloupnosti, tj. a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d atd. V důsledku toho obnovíme celou sekvenci: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Příklad č. 3: sestavení postupu

Pojďme si problém ještě více zkomplikovat. Nyní musíme odpovědět na otázku, jak najít aritmetickou progresi. Lze uvést následující příklad: jsou dána dvě čísla, například - 4 a 5. Je nutné vytvořit algebraickou posloupnost tak, aby mezi ně byly umístěny další tři členy.

Než začnete tento problém řešit, musíte pochopit, jaké místo budou daná čísla v budoucím postupu zaujímat. Protože mezi nimi budou další tři členy, pak a 1 = -4 a a 5 = 5. Po zjištění tohoto přejdeme k problému, který je podobný předchozímu. Opět, pro n-tý člen použijeme vzorec, dostaneme: a 5 = a 1 + 4 * d. Od: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. To, co jsme zde dostali, není celočíselná hodnota rozdílu, ale je to racionální číslo, takže vzorce pro algebraický postup zůstávají stejné.

Nyní přičteme nalezený rozdíl k 1 a obnovíme chybějící členy progrese. Dostaneme: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, což se shoduje s podmínkami problému.

Příklad č. 4: první termín progrese

Pokračujme v uvádění příkladů aritmetické progrese s řešeními. Ve všech předchozích úlohách bylo známo první číslo algebraické posloupnosti. Nyní uvažujme problém jiného typu: nechť jsou dána dvě čísla, kde a 15 = 50 a a 43 = 37. Je třeba zjistit, kterým číslem tato posloupnost začíná.

Dosud používané vzorce předpokládají znalost a 1 a d. V prohlášení o problému není o těchto číslech nic známo. Přesto si pro každý termín zapíšeme výrazy, o kterých jsou dostupné informace: a 15 = a 1 + 14 * da a 43 = a 1 + 42 * d. Dostali jsme dvě rovnice, ve kterých jsou 2 neznámé veličiny (a 1 a d). To znamená, že problém je redukován na řešení soustavy lineárních rovnic.

Nejjednodušší způsob, jak vyřešit tento systém, je vyjádřit 1 v každé rovnici a poté porovnat výsledné výrazy. První rovnice: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druhá rovnice: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Porovnáním těchto výrazů dostaneme: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, odkud je rozdíl d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (jsou uvedeny pouze 3 desetinná místa).

Když znáte d, můžete pro 1 použít kterýkoli z výše uvedených 2 výrazů. Například nejprve: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Pokud máte pochybnosti o získaném výsledku, můžete si jej zkontrolovat, např. určit 43. termín progrese, který je uveden v podmínce. Dostaneme: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Malá chyba je způsobena tím, že při výpočtech bylo použito zaokrouhlování na tisíciny.

Příklad č. 5: částka

Nyní se podívejme na několik příkladů s řešením součtu aritmetické posloupnosti.

Nechť je dána číselná posloupnost následujícího tvaru: 1, 2, 3, 4, ...,. Jak vypočítat součet 100 těchto čísel?

Díky rozvoji výpočetní techniky je možné tento problém vyřešit, tedy postupně sčítat všechna čísla, což počítač provede, jakmile člověk stiskne klávesu Enter. Problém však lze vyřešit myšlenkově, pokud budete věnovat pozornost skutečnosti, že prezentovaná řada čísel je algebraická posloupnost a její rozdíl je roven 1. Použitím vzorce pro součet dostaneme: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Zajímavé je, že tento problém se nazývá „gausovský“, protože na počátku 18. století jej slavný Němec, stále ještě pouhých 10 let, dokázal vyřešit v hlavě během několika sekund. Chlapec neznal vzorec pro součet algebraické posloupnosti, ale všiml si, že když sečtete čísla na koncích posloupnosti ve dvojicích, dostanete vždy stejný výsledek, tedy 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a protože tyto součty budou přesně 50 (100 / 2), pak pro získání správné odpovědi stačí vynásobit 50 101.

Příklad č. 6: součet členů od n do m

Dalším typickým příkladem součtu aritmetické posloupnosti je následující: daná řada čísel: 3, 7, 11, 15, ..., musíte zjistit, jakému se bude rovnat součet jejích členů od 8 do 14 .

Problém se řeší dvěma způsoby. První z nich zahrnuje nalezení neznámých výrazů od 8 do 14 a jejich následné sečtení. Vzhledem k tomu, že existuje jen málo termínů, není tato metoda docela pracná. Přesto se navrhuje tento problém řešit pomocí druhé metody, která je univerzálnější.

Cílem je získat vzorec pro součet algebraické posloupnosti mezi členy m an n, kde n > m jsou celá čísla. Pro oba případy napíšeme dva výrazy pro součet:

1. Sm = m* (am + a 1) / 2.
2. Sn = n* (a n + a 1) / 2.

Protože n > m, je zřejmé, že 2. součet zahrnuje první. Poslední závěr znamená, že vezmeme-li rozdíl mezi těmito součty a přičteme k němu člen a m (v případě odebrání rozdílu se odečte od součtu S n), získáme potřebnou odpověď na úlohu. Máme: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + am* (1- m/2). Do tohoto výrazu je nutné dosadit vzorce pro a n a a m. Pak dostaneme: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m/2) = a 1* (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m2 - 2) / 2.

Výsledný vzorec je poněkud těžkopádný, nicméně součet S mn závisí pouze na n, m, a 1 a d. V našem případě a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Dosazením těchto čísel dostaneme: S mn = 301.

Jak je vidět z výše uvedených řešení, všechny úlohy vycházejí ze znalosti výrazu pro n-tý člen a vzorce pro součet množiny prvních členů. Před zahájením řešení některého z těchto problémů se doporučuje pečlivě si přečíst stav, jasně pochopit, co potřebujete najít, a teprve poté pokračovat v řešení.

Dalším tipem je usilovat o jednoduchost, to znamená, že pokud můžete odpovědět na otázku bez použití složitých matematických výpočtů, musíte to udělat, protože v tomto případě je pravděpodobnost, že uděláte chybu, menší. Například v příkladu aritmetického postupu s řešením č. 6 bychom se mohli zastavit u vzorce S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, a rozdělte celkový problém do samostatných dílčích úloh (v tomto případě nejprve najděte členy a n a a m).

Máte-li pochybnosti o dosaženém výsledku, doporučujeme jej zkontrolovat, jak bylo provedeno v některých uvedených příkladech. Zjistili jsme, jak najít aritmetickou progresi. Pokud na to přijdete, není to tak těžké.

Co je hlavní podstatou formule?

Tento vzorec vám umožňuje najít žádný PODLE JEHO ČÍSLA" n" .

Samozřejmě je potřeba znát i první termín 1 a rozdíl v postupu d, no, bez těchto parametrů nemůžete zapsat konkrétní postup.

Učit se nazpaměť (nebo oslnit) tento vzorec nestačí. Musíte pochopit jeho podstatu a aplikovat vzorec v různých problémech. A také nezapomenout v pravou chvíli, že ano...) Jak nezapomeň- Nevím. Ale jak si zapamatovat V případě potřeby Vám určitě poradím. Pro ty, kteří dokončí lekci až do konce.)

Podívejme se tedy na vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti.

Co je to vzorec obecně? Mimochodem, koukněte, pokud jste to nečetli. Všechno je tam jednoduché. Zbývá zjistit, co to je n-tý termín.

Progresi lze obecně zapsat jako řadu čísel:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, ......

1- označuje první člen aritmetického postupu, a 3- třetí člen, 4- čtvrtý a tak dále. Pokud nás zajímá pátý termín, řekněme, že pracujeme s 5, je-li sto dvacáté s 120.

Jak to můžeme definovat obecně? žádný termín aritmetické progrese, s žádnýčíslo? Velmi jednoduché! Takhle:

a n

Tohle je ono n-tý člen aritmetické progrese. Písmeno n skryje všechna čísla členů najednou: 1, 2, 3, 4 atd.

A co nám takový rekord dává? Jen si pomysli, místo čísla napsali písmeno...

Tento zápis nám poskytuje mocný nástroj pro práci s aritmetickou progresí. Použití notace a n, můžeme rychle najít žádnýčlen žádný aritmetický postup. A vyřešit spoustu dalších problémů s postupem. Dále uvidíte sami.

Ve vzorci pro n-tý člen aritmetické posloupnosti:

a n = a 1 + (n-1)d

1- první člen aritmetického postupu;

n- členské číslo.

Vzorec spojuje klíčové parametry jakékoli progrese: a n; a 1; d A n. Všechny problémy s progresí se točí kolem těchto parametrů.

Vzorec n-tého členu lze také použít k zápisu konkrétního postupu. Problém může například říci, že průběh je určen podmínkou:

a n = 5 + (n-1) 2.

Takový problém může být slepá ulička... Neexistuje ani řada, ani rozdíl... Ale při porovnání podmínky se vzorcem je snadné pochopit, že v tomto postupu ai=5 a d=2.

A může to být ještě horší!) Pokud vezmeme stejnou podmínku: a n = 5 + (n-1) 2, Ano, otevřít závorky a přinést podobné? Dostáváme nový vzorec:

a n = 3 + 2n.

Tento Jen ne obecné, ale pro konkrétní postup. Tady se skrývá úskalí. Někteří lidé si myslí, že první termín je trojka. I když ve skutečnosti je první termín pět... O něco níže budeme pracovat s takto upraveným vzorcem.

V problémech progrese existuje další označení - a n+1. Toto je, jak jste uhodli, „n plus první“ člen progrese. Jeho význam je jednoduchý a neškodný.) Jedná se o člen posloupnosti, jehož číslo je větší než číslo n o jedna. Například pokud v nějakém problému vezmeme a n tedy páté volební období a n+1 bude šestým členem. A podobně.

Nejčastěji označení a n+1 nalezené ve vzorcích pro opakování. Nebojte se tohoto děsivého slova!) Toto je jen způsob, jak vyjádřit člen aritmetické posloupnosti přes předchozí.Řekněme, že jsme dostali aritmetický průběh v této formě pomocí opakujícího se vzorce:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Čtvrtý - přes třetí, pátý - přes čtvrtý a tak dále. Jak můžeme okamžitě počítat řekněme dvacátý termín? 20? Ale neexistuje!) Dokud nezjistíme 19. termín, nemůžeme počítat 20. To je základní rozdíl mezi rekurentním vzorcem a vzorcem n-tého členu. Rekurentní funguje pouze prostřednictvím předchozíčlen a vzorec n-tého členu je přes první a umožňuje hned najít libovolného člena podle jeho čísla. Bez počítání celé řady čísel v pořadí.

Při aritmetickém postupu je snadné změnit opakující se vzorec na pravidelný. Spočítejte dvojice po sobě jdoucích členů, vypočítejte rozdíl d, v případě potřeby najděte první termín 1, napište vzorec v jeho obvyklém tvaru a pracujte s ním. Ve Státní akademii věd se s takovými úkoly setkáváme často.

Aplikace vzorce pro n-tý člen aritmetické posloupnosti.

Nejprve se podívejme na přímou aplikaci vzorce. Na konci předchozí lekce se vyskytl problém:

Je uvedena aritmetická progrese (a n). Najděte 121, pokud a 1 = 3 a d = 1/6.

Tento problém lze vyřešit bez jakýchkoliv vzorců, jednoduše na základě významu aritmetické posloupnosti. Přidat a přidat... Hodinu nebo dvě.)

A podle vzorce bude řešení trvat méně než minutu. Můžete si to načasovat.) Pojďme se rozhodnout.

Podmínky poskytují všechna data pro použití vzorce: a 1 = 3, d = 1/6. Zbývá zjistit, co se rovná n.Žádná otázka! Musíme najít 121. Takže píšeme:

Věnujte prosím pozornost! Místo indexu n objevilo se konkrétní číslo: 121. Což je celkem logické.) Zajímá nás člen aritmetické posloupnosti číslo sto dvacet jedna. Tohle bude naše n. Toto je smysl n= 121 dosadíme dále do vzorce, v závorkách. Dosadíme všechna čísla do vzorce a vypočítáme:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

To je vše. Stejně rychle se dalo najít pět set desátý termín a tisíc a třetí, kterýkoli. Místo toho jsme dali n požadované číslo v indexu písmene " A" a v závorkách a počítáme.

Dovolte mi, abych vám připomněl bod: tento vzorec vám umožňuje najít žádnýčlen aritmetického postupu PODLE JEHO ČÍSLA" n" .

Pojďme problém vyřešit mazanějším způsobem. Pojďme se setkat s následujícím problémem:

Najděte první člen aritmetické posloupnosti (a n), jestliže a 17 =-2; d = -0,5.

Pokud máte nějaké potíže, řeknu vám první krok. Zapište vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti! Ano, ano. Zapište si rukama přímo do sešitu:

a n = a 1 + (n-1)d

A teď, když se podíváme na písmena vzorce, chápeme, jaká data máme a co chybí? K dispozici d=-0,5, je tam sedmnáctý člen... Je to tak? Pokud si myslíte, že je to ono, pak problém nevyřešíte, ano...

Stále máme číslo n! Ve stavu a 17 = -2 skrytý dva parametry. Jedná se jak o hodnotu sedmnáctého členu (-2), tak o jeho číslo (17). Tito. n=17. Tato „maličkost“ často proklouzne přes hlavu a bez ní (bez „maličkosti“, nikoli hlavy!) nelze problém vyřešit. I když... a taky bez hlavy.)

Nyní můžeme jednoduše hloupě dosadit naše data do vzorce:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

ach ano, 17 víme, že je -2. Dobře, nahradíme:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

To je v podstatě vše. Zbývá vyjádřit první člen aritmetického postupu ze vzorce a vypočítat jej. Odpověď bude: a 1 = 6.

Tato technika – zapsání vzorce a pouhé nahrazení známých dat – je skvělým pomocníkem v jednoduchých úkolech. No, samozřejmě, musíte být schopni vyjádřit proměnnou ze vzorce, ale co dělat!? Bez této dovednosti možná nebudete studovat matematiku vůbec...

Další populární hádanka:

Najděte rozdíl aritmetické posloupnosti (a n), jestliže a 1 =2; a 15 = 12.

co děláme? Budete překvapeni, píšeme vzorec!)

a n = a 1 + (n-1)d

Zvažme, co víme: ai=2; a15=12; a (zvláště vyzdvihnu!) n=15. Klidně to dosaďte do vzorce:

12=2 + (15-1)d

Děláme aritmetiku.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Toto je správná odpověď.

Takže úkoly pro a n, a 1 A d rozhodl. Zbývá jen naučit se najít číslo:

Číslo 99 je členem aritmetické posloupnosti (a n), kde a 1 = 12; d=3. Najděte číslo tohoto člena.

Námi známá množství dosadíme do vzorce n-tého členu:

a n = 12 + (n-1) 3

Na první pohled jsou zde dvě neznámé veličiny: a n a n. Ale a n- to je nějaký člen progrese s číslem n...A tohoto člena progrese známe! Je to 99. Neznáme jeho číslo. n, Takže toto číslo je to, co potřebujete najít. Dosadíme člen posloupnosti 99 do vzorce:

99 = 12 + (n-1) 3

Vyjádříme ze vzorce n, myslíme si. Dostáváme odpověď: n=30.

A teď problém na stejné téma, ale kreativnější):

Určete, zda je číslo 117 členem aritmetické posloupnosti (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Napíšeme vzorec znovu. Co, nejsou tam žádné parametry? Hm... Proč máme oči?) Vidíme první termín progrese? Vidíme. To je -3,6. Můžete klidně napsat: a 1 = -3,6. Rozdíl d můžete určit ze série? Je to snadné, pokud víte, jaký je rozdíl v aritmetickém postupu:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Takže jsme udělali to nejjednodušší. Zbývá se vypořádat s neznámým číslem n a nesrozumitelné číslo 117. V předchozím problému se alespoň vědělo, že je dán termín progrese. Ale tady ani nevíme... Co dělat!? No, jak být, jak být... ​​Zapněte své tvůrčí schopnosti!)

My předpokládatže 117 je koneckonců členem naší progrese. S neznámým číslem n. A stejně jako v předchozím problému zkusme najít toto číslo. Tito. napíšeme vzorec (ano, ano!)) a dosadíme naše čísla:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Opět vyjadřujeme ze vzorcen, spočítáme a dostaneme:

Jejda! Číslo vyšlo zlomkové! Sto jedna a půl. A zlomková čísla v průběhu se nestane. Jaký závěr můžeme vyvodit? Ano! Číslo 117 neníčlen naší progrese. Je to někde mezi sto prvním a sto druhým termínem. Pokud by počet dopadl přirozeně, tzn. je kladné celé číslo, pak by číslo bylo členem posloupnosti s nalezeným číslem. A v našem případě bude odpověď na problém: Žádný.

Úloha založená na skutečné verzi GIA:

Aritmetický postup je dán podmínkou:

a n = -4 + 6,8 n

Najděte první a desátý termín postupu.

Zde je postup nastaven neobvyklým způsobem. Nějaký druh vzorce... To se stává.) Nicméně tento vzorec (jak jsem psal výše) - také vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti! Ona také umožňuje najít libovolného člena progrese podle jeho čísla.

Hledáme prvního člena. Ten, kdo myslí. že první člen je mínus čtyři je fatální omyl!) Protože vzorec v úloze je upraven. První člen aritmetického postupu v něm skrytý. Nevadí, teď to najdeme.)

Stejně jako v předchozích problémech dosazujeme n=1 do tohoto vzorce:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Zde! První termín je 2,8, ne -4!

Stejným způsobem hledáme desátý termín:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

To je vše.

A nyní pro ty, kteří dočetli tyto řádky, slibovaný bonus.)

Předpokládejme, že jste v obtížné bojové situaci státní zkoušky nebo jednotné státní zkoušky zapomněli na užitečný vzorec pro n-tý termín aritmetického postupu. Něco si pamatuji, ale nějak nejistě... Nebo n tam, popř n+1, popř n-1... Jak být!?

Uklidnit! Tento vzorec lze snadno odvodit. Není to příliš striktní, ale pro sebevědomí a správné rozhodnutí to rozhodně stačí!) K závěru si postačí zapamatovat si základní význam aritmetického postupu a mít pár minut času. Stačí si nakreslit obrázek. Pro přehlednost.

Nakreslete číselnou osu a označte na ní první. druhý, třetí atd. členů. A všimneme si rozdílu d mezi členy. Takhle:

Díváme se na obrázek a říkáme si: čemu se rovná druhý termín? Druhý jeden d:

A 2 =a 1 + 1 d

Jaký je třetí termín? Třetí termín se rovná prvnímu termínu plus dva d.

A 3 =a 1 + 2 d

chápeš to? Ne nadarmo zvýrazním některá slova tučně. Dobře, ještě jeden krok).

Jaký je čtvrtý termín? Čtvrtý termín se rovná prvnímu termínu plus tři d.

A 4 =a 1 + 3 d

Je na čase si uvědomit, že počet mezer, tzn. d, Vždy o jeden méně, než je číslo člena, kterého hledáte n. Tedy do počtu n, počet mezer vůle n-1. Vzorec tedy bude (bez obměn!):

a n = a 1 + (n-1)d

Obecně jsou vizuální obrázky velmi užitečné při řešení mnoha problémů v matematice. Nezanedbávejte obrázky. Ale pokud je obtížné nakreslit obrázek, pak ... pouze vzorec!) Vzorec n-tého členu navíc umožňuje připojit k řešení celý silný arzenál matematiky - rovnice, nerovnice, systémy atd. Do rovnice nejde vložit obrázek...

Úkoly pro samostatné řešení.

Pro zahřátí:

1. V aritmetickém postupu (a n) a 2 =3; a 5 = 5,1. Najděte 3.

Nápověda: podle obrázku lze problém vyřešit za 20 sekund... Podle vzorce to vychází obtížněji. Ale pro zvládnutí vzorce je to užitečnější.) V § 555 je tento problém vyřešen pomocí obrázku i vzorce. Cítit ten rozdíl!)

A tohle už není rozcvička.)

2. V aritmetickém postupu (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Najděte a 3 .

Co, nechceš si nakreslit obrázek?) Samozřejmě! Lepší podle vzorce, ano...

3. Aritmetický postup je dán podmínkou:ai = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Najděte sto dvacátý pátý termín tohoto postupu.

V tomto úkolu je postup specifikován opakujícím se způsobem. Ale počítat do sto dvacátého pátého termínu... Ne každý je takového výkonu schopen.) Ale vzorec n-tého termínu je v silách každého!

4. Daný aritmetický postup (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Najděte číslo nejmenšího kladného členu progrese.

5. Podle podmínek úlohy 4 najděte součet nejmenších kladných a největších záporných členů průběhu.

6. Součin pátého a dvanáctého členu rostoucí aritmetické progrese je -2,5 a součet třetího a jedenáctého členu je nula. Najděte 14.

Není to nejsnadnější úkol, ano...) Metoda „konček prstu“ zde nebude fungovat. Budete muset psát vzorce a řešit rovnice.

Odpovědi (v nepořádku):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Fungovalo to? Je to pěkné!)

Ne všechno se daří? Stává se. Mimochodem, v posledním úkolu je jeden jemný bod. Při čtení problému bude třeba opatrnosti. A logika.

Řešení všech těchto problémů je podrobně probráno v oddíle 555. A prvek fantazie pro čtvrtý a jemný bod pro šestý a obecné přístupy k řešení jakýchkoli problémů zahrnujících vzorec n-tého členu - vše je popsáno. doporučuji to.

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Pojďme se učit - se zájmem!)

Můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

Někteří lidé zacházejí se slovem „progrese“ opatrně, jako s velmi složitým termínem z větví vyšší matematiky. Mezitím je nejjednodušší aritmetický postup práce taxametru (kde stále existují). A porozumět podstatě (a v matematice není nic důležitějšího než „získat podstatu“) aritmetické posloupnosti není tak obtížné, po analýze několika základních pojmů.

Matematická číselná posloupnost

Číselná posloupnost se obvykle nazývá řada čísel, z nichž každé má své vlastní číslo.

a 1 je první člen sekvence;

a 2 je druhý člen sekvence;

a 7 je sedmý člen sekvence;

a n je n-tý člen sekvence;

Žádná libovolná množina čísel a čísel nás však nezajímá. Svou pozornost zaměříme na číselnou posloupnost, v níž hodnota n-tého členu souvisí s jeho pořadovým číslem vztahem, který lze jasně matematicky formulovat. Jinými slovy: číselná hodnota n-tého čísla je nějaká funkce n.

a je hodnota členu číselné posloupnosti;

n je jeho sériové číslo;

f(n) je funkce, kde pořadové číslo v číselné posloupnosti n je argument.

Definice

Aritmetická progrese se obvykle nazývá číselná posloupnost, ve které je každý následující člen větší (menší) než předchozí o stejné číslo. Vzorec pro n-tý člen aritmetické posloupnosti je následující:

a n - hodnota aktuálního členu aritmetické posloupnosti;

a n+1 - vzorec dalšího čísla;

d - rozdíl (určité číslo).

Je snadné určit, že pokud je rozdíl kladný (d>0), pak každý následující člen uvažované řady bude větší než předchozí a taková aritmetická progrese se bude zvyšovat.

V níže uvedeném grafu je snadné vidět, proč se číselná řada nazývá „rostoucí“.

V případech, kdy je rozdíl záporný (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Zadaná hodnota člena

Někdy je nutné určit hodnotu libovolného členu a n aritmetické posloupnosti. To lze provést postupným výpočtem hodnot všech členů aritmetické progrese, počínaje prvním po požadovaný. Tato cesta však není vždy přijatelná, pokud je například nutné najít hodnotu pětitisícového nebo osmimiliontého členu. Tradiční výpočty zaberou spoustu času. Konkrétní aritmetický postup však lze studovat pomocí určitých vzorců. Existuje také vzorec pro n-tý člen: hodnotu libovolného členu aritmetické progrese lze určit jako součet prvního členu progrese s rozdílem progrese, vynásobený číslem požadovaného členu, snížený o jeden.

Vzorec je univerzální pro zvýšení a snížení progrese.

Příklad výpočtu hodnoty daného termínu

Vyřešme následující problém zjištění hodnoty n-tého členu aritmetické posloupnosti.

Podmínka: existuje aritmetický postup s parametry:

První člen sekvence je 3;

Rozdíl v číselné řadě je 1,2.

Úkol: musíte najít hodnotu 214 výrazů

Řešení: K určení hodnoty daného členu použijeme vzorec:

a(n) = a1 + d(n-1)

Dosazením dat z problémového příkazu do výrazu máme:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odpověď: 214. člen posloupnosti se rovná 258,6.

Výhody tohoto způsobu výpočtu jsou zřejmé - celé řešení nezabere více než 2 řádky.

Součet daného počtu členů

Velmi často je v dané aritmetické řadě nutné určit součet hodnot některých jejích segmentů. K tomu také není nutné počítat hodnoty každého termínu a poté je sčítat. Tato metoda je použitelná, pokud je počet členů, jejichž součet je třeba najít, malý. V ostatních případech je výhodnější použít následující vzorec.

Součet členů aritmetické posloupnosti od 1 do n se rovná součtu prvního a n-tého členu, vynásobenému číslem členu n a dělenému dvěma. Pokud je ve vzorci hodnota n-tého členu nahrazena výrazem z předchozího odstavce článku, dostaneme:

Příklad výpočtu

Vyřešme například problém s následujícími podmínkami:

První člen posloupnosti je nula;

Rozdíl je 0,5.

Problém vyžaduje určení součtu členů řady od 56 do 101.

Řešení. Pro určení velikosti progrese použijeme vzorec:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Nejprve určíme součet hodnot 101 členů progrese dosazením daných podmínek našeho problému do vzorce:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Abychom zjistili součet členů postupu od 56. do 101., je samozřejmě nutné odečíst S 55 od S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Takže součet aritmetické posloupnosti pro tento příklad je:

s 101 – s 55 = 2 525 – 742,5 = 1 782,5

Příklad praktické aplikace aritmetické progrese

Na konci článku se vraťme k příkladu aritmetické posloupnosti uvedené v prvním odstavci - taxametru (taxi car meter). Podívejme se na tento příklad.

Nástup do taxíku (který zahrnuje 3 km cesty) stojí 50 rublů. Každý další kilometr se platí sazbou 22 rublů/km. Dojezdová vzdálenost je 30 km. Spočítejte si náklady na cestu.

1. Zahodíme první 3 km, jejichž cena je zahrnuta v ceně přistání.

30 - 3 = 27 km.

2. Další výpočet není nic jiného než analýza aritmetické číselné řady.

Členské číslo - počet ujetých kilometrů (mínus první tři).

Hodnota člena je součet.

První termín v tomto problému se bude rovnat 1 = 50 rublů.

Rozdíl postupu d = 22 r.

číslo, které nás zajímá, je hodnota (27+1) členu aritmetického postupu - stav měřiče na konci 27. kilometru je 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Výpočty kalendářních dat za libovolně dlouhé období jsou založeny na vzorcích popisujících určité číselné posloupnosti. V astronomii je délka oběžné dráhy geometricky závislá na vzdálenosti nebeského tělesa od hvězdy. Kromě toho se různé číselné řady úspěšně používají ve statistice a dalších aplikovaných oblastech matematiky.

Dalším typem číselné řady je geometrická

Geometrická progrese se vyznačuje větší rychlostí změn ve srovnání s aritmetickou progresí. Není náhodou, že v politice, sociologii a medicíně, aby ukázali vysokou rychlost šíření určitého fenoménu, například nemoci během epidemie, často říkají, že proces se vyvíjí geometrickou progresí.

N-tý člen geometrické číselné řady se od předchozího liší tím, že je vynásoben nějakým konstantním číslem - jmenovatel, například první člen je 1, jmenovatel je odpovídajícím způsobem roven 2, pak:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - hodnota aktuálního členu geometrické progrese;

b n+1 - vzorec dalšího členu geometrické posloupnosti;

q je jmenovatel geometrické posloupnosti (konstantní číslo).

Pokud je grafem aritmetické progrese přímka, pak geometrická progrese vykresluje trochu jiný obrázek:

Stejně jako v případě aritmetiky má geometrická posloupnost vzorec pro hodnotu libovolného členu. Libovolný n-tý člen geometrické posloupnosti se rovná součinu prvního členu a jmenovatele posloupnosti k mocnině n zmenšenému o jedničku:

Příklad. Máme geometrickou posloupnost s prvním členem rovným 3 a jmenovatelem posloupnosti rovným 1,5. Pojďme najít 5. termín progrese

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Součet daného počtu členů se také vypočítá pomocí speciálního vzorce. Součet prvních n členů geometrické posloupnosti se rovná rozdílu mezi součinem n-tého členu posloupnosti a jeho jmenovatele a prvního členu posloupnosti, děleno jmenovatelem zmenšeným o jednu:

Pokud je b n nahrazeno výše uvedeným vzorcem, hodnota součtu prvních n členů uvažované číselné řady bude mít tvar:

Příklad. Geometrická posloupnost začíná prvním členem rovným 1. Jmenovatel je nastaven na 3. Najděte součet prvních osmi členů.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280