Soustavy lineárních algebraických rovnic Gaussovou metodou. Gaussova metoda pro figuríny: příklady řešení

1. Systém lineárních algebraických rovnic

1.1 Pojem soustavy lineárních algebraických rovnic

Systém rovnic je stav sestávající ze současného provádění několika rovnic s ohledem na několik proměnných. Soustava lineárních algebraických rovnic (dále jen SLAE) obsahující m rovnic a n neznámých se nazývá soustava tvaru:

kde čísla a ij se nazývají systémové koeficienty, čísla b i se nazývají volné členy, a ij A b i(i=1,…, m; b=1,…, n) představují některá známá čísla a x 1,…, x n– neznámý. V označení koeficientů a ij první index i označuje číslo rovnice a druhý j je číslo neznámé, na kterém tento koeficient stojí. Čísla x n je třeba najít. Je vhodné napsat takový systém ve formě kompaktní matice: AX=B. Zde je A matice systémových koeficientů, nazývaná hlavní matice;

– sloupcový vektor neznámých xj.
je sloupcový vektor volných členů bi.

Součin matic A*X je definován, protože v matici A je tolik sloupců, kolik je řádků v matici X (n kusů).

Rozšířenou maticí systému je matice A systému doplněná o sloupec volných členů

1.2 Řešení soustavy lineárních algebraických rovnic

Řešením soustavy rovnic je uspořádaná množina čísel (hodnot proměnných), při jejich dosazení místo proměnných se každá z rovnic soustavy změní ve skutečnou rovnost.

Řešením systému je n hodnot neznámých x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, po jejichž dosazení se všechny rovnice systému stanou skutečnými rovnostmi. Jakékoli řešení systému lze zapsat jako sloupcovou matici

Systém rovnic se nazývá konzistentní, pokud má alespoň jedno řešení, a nekonzistentní, pokud žádné řešení nemá.

O konzistentním systému se říká, že je určitý, pokud má jediné řešení, a neurčitý, pokud má více řešení. V druhém případě se každé jeho řešení nazývá konkrétním řešením systému. Množina všech partikulárních řešení se nazývá obecné řešení.

Řešit systém znamená zjistit, zda je kompatibilní nebo nekonzistentní. Pokud je systém konzistentní, najděte jeho obecné řešení.

Dva systémy se nazývají ekvivalentní (ekvivalentní), pokud mají stejné obecné řešení. Jinými slovy, systémy jsou ekvivalentní, pokud každé řešení jednoho z nich je řešením druhého, a naopak.

Transformace, jejíž aplikací se systém změní v nový systém ekvivalentní původnímu, se nazývá ekvivalentní nebo ekvivalentní transformace. Příklady ekvivalentních transformací zahrnují následující transformace: záměna dvou rovnic systému, záměna dvou neznámých spolu s koeficienty všech rovnic, násobení obou stran libovolné rovnice systému nenulovým číslem.

Systém lineárních rovnic se nazývá homogenní, pokud jsou všechny volné členy rovny nule:

Homogenní systém je vždy konzistentní, protože x1=x2=x3=…=xn=0 je řešením systému. Toto řešení se nazývá nulové nebo triviální.

2. Gaussova eliminační metoda

2.1 Podstata Gaussovy eliminační metody

Klasickou metodou řešení soustav lineárních algebraických rovnic je metoda sekvenční eliminace neznámých - Gaussova metoda(nazývá se také Gaussova eliminační metoda). Jedná se o metodu sekvenční eliminace proměnných, kdy se pomocí elementárních transformací redukuje soustava rovnic na ekvivalentní soustavu stupňovitého (nebo trojúhelníkového) tvaru, ze které se postupně nalézají všechny ostatní proměnné, počínaje poslední (podle počet) proměnné.

Proces řešení pomocí Gaussovy metody se skládá ze dvou fází: pohybu vpřed a vzad.

1. Přímý zdvih.

V první fázi se provádí tzv. přímý tah, kdy se elementárními transformacemi přes řádky systém dostane do stupňovitého nebo trojúhelníkového tvaru, nebo se zjistí, že systém je nekompatibilní. Konkrétně mezi prvky prvního sloupce matice vyberte nenulový jeden, přesuňte jej na nejvyšší pozici přeskupením řádků a výsledný první řádek odečtěte od zbývajících řádků po přeskupení a vynásobte jej hodnotou. rovný poměru prvního prvku každého z těchto řádků k prvnímu prvku prvního řádku, čímž se sloupec pod ním vynuluje.

Po dokončení uvedených transformací se první řádek a první sloupec v duchu přeškrtnou a pokračuje se, dokud nezůstane matice nulové velikosti. Pokud v jakékoli iteraci není mezi prvky prvního sloupce žádný nenulový prvek, přejděte k dalšímu sloupci a proveďte podobnou operaci.

V první fázi (přímý zdvih) je systém redukován na stupňovitý (zejména trojúhelníkový) tvar.

Níže uvedený systém má stupňovitou formu:

,

Koeficienty aii se nazývají hlavní (vedoucí) prvky systému.

(pokud a11=0, uspořádejte řádky matice tak, aby A 11 nebylo rovno 0. To je vždy možné, protože jinak matice obsahuje nulový sloupec, její determinant je roven nule a systém je nekonzistentní).

Transformujme systém odstraněním neznámé x1 ve všech rovnicích kromě první (pomocí elementárních transformací systému). Chcete-li to provést, vynásobte obě strany první rovnice číslem

a sčítat člen po členu s druhou rovnicí systému (nebo od druhé rovnice odečíst člen po členu od prvního, násobeno ). Poté obě strany první rovnice vynásobíme a přičteme ke třetí rovnici soustavy (nebo od třetí odečteme první vynásobenou ). První řádek tedy postupně vynásobíme číslem a přičteme iřádek, pro i= 2, 3, …,n.

Pokračujeme-li v tomto procesu, získáme ekvivalentní systém:

– nové hodnoty koeficientů pro neznámé a volné členy v posledních m-1 rovnicích soustavy, které jsou určeny vzorci:

V prvním kroku jsou tedy všechny koeficienty ležící pod prvním vodicím prvkem a11 zničeny

0, ve druhém kroku jsou zničeny prvky ležící pod druhým vodicím prvkem a 22 (1) (pokud a 22 (1) 0) atd. Pokračujeme-li v tomto procesu dále, nakonec v kroku (m-1) zredukujeme původní systém na trojúhelníkový systém.

Pokud se v procesu redukce soustavy do stupňovitého tvaru objeví nulové rovnice, tzn. rovnosti tvaru 0=0, jsou vyřazeny. Pokud se objeví rovnice tvaru

pak to ukazuje na nekompatibilitu systému.

Zde přímá progrese Gaussovy metody končí.

2. Zpětný zdvih.

Ve druhé fázi se provádí tzv. zpětný pohyb, jehož podstatou je vyjádřit všechny výsledné základní proměnné z hlediska nebázických a vybudovat fundamentální systém řešení, nebo, pokud jsou všechny proměnné základní , pak vyjádři číselně jediné řešení soustavy lineárních rovnic.

Tento postup začíná poslední rovnicí, ze které je vyjádřena příslušná základní proměnná (je v ní pouze jedna) a dosazena do předchozích rovnic a tak dále, po „stupních“.

Každý řádek odpovídá právě jedné základní proměnné, takže v každém kroku kromě posledního (nejvrchnějšího) situace přesně opakuje případ posledního řádku.

Poznámka: v praxi je pohodlnější nepracovat se systémem, ale s jeho rozšířenou maticí, provádět všechny elementární transformace na jejích řádcích. Je vhodné, aby koeficient a11 byl roven 1 (přeskupte rovnice nebo vydělte obě strany rovnice a11).

2.2 Příklady řešení SLAE pomocí Gaussovy metody

V této části si na třech různých příkladech ukážeme, jak může Gaussova metoda řešit SLAE.

Příklad 1. Řešte SLAE 3. řádu.

Vynulujeme koeficienty na

ve druhém a třetím řádku. Chcete-li to provést, vynásobte je 2/3 a 1 a přidejte je na první řádek:

Tato online kalkulačka najde řešení systému lineárních rovnic (SLE) pomocí Gaussovy metody. Je uvedeno podrobné řešení. Pro výpočet vyberte počet proměnných a počet rovnic. Poté zadejte data do buněk a klikněte na tlačítko "Vypočítat".

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Zobrazení čísel:

Celá čísla a/nebo běžné zlomky
Celá čísla a/nebo desetinná místa

Počet míst za oddělovačem desetinných míst

×

Varování

Vymazat všechny buňky?

Zavřít Vymazat

Pokyny pro zadávání dat.Čísla se zadávají jako celá čísla (příklady: 487, 5, -7623 atd.), desetinná místa (např. 67., 102,54 atd.) nebo zlomky. Zlomek je nutné zadat ve tvaru a/b, kde a a b (b>0) jsou celá čísla nebo desetinná čísla. Příklady 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 atd.

Gaussova metoda

Gaussova metoda je metoda přechodu od původní soustavy lineárních rovnic (pomocí ekvivalentních transformací) k soustavě, která je snáze řešitelná než původní soustava.

Ekvivalentní transformace soustavy lineárních rovnic jsou:

• prohození dvou rovnic v systému,
• vynásobení jakékoli rovnice v systému nenulovým reálným číslem,
• přidat k jedné rovnici další rovnici vynásobenou libovolným číslem.

Zvažte systém lineárních rovnic:

(1)

Zapišme systém (1) v maticovém tvaru:

Sekera=b

(2)

(3)

A- nazývá se matice koeficientů systému, b− pravá strana omezení, x− vektor proměnných, které mají být nalezeny. Nechat pořadí ( A)=p.

Ekvivalentní transformace nemění hodnost matice koeficientů a hodnost rozšířené matice systému. Množina řešení soustavy se také při ekvivalentních transformacích nemění. Podstatou Gaussovy metody je redukce matice koeficientů A na diagonální nebo stupňovité.

Vytvořme rozšířenou matici systému:

V další fázi resetujeme všechny prvky sloupce 2 pod prvkem. Pokud je tento prvek nulový, pak se tento řádek zamění s řádkem ležícím pod tímto řádkem a majícím nenulový prvek ve druhém sloupci. Dále resetujte všechny prvky sloupce 2 pod úvodním prvkem A 22. Chcete-li to provést, přidejte řádky 3, ... m s řetězcem 2 vynásobeným − A 32 /A 22 , ..., −A m2/ A 22, resp. Pokračujeme-li v postupu, získáme matici diagonálního nebo stupňovitého tvaru. Nechť má výsledná rozšířená matice tvar:

(7)

Protože rangA=zazvonil(A|b), pak množina řešení (7) je ( n−p)− rozmanitost. Proto n−p neznámé lze volit libovolně. Zbývající neznámé ze systému (7) se vypočítají následovně. Z poslední rovnice vyjádříme x p přes zbývající proměnné a vložte do předchozích výrazů. Dále z předposlední rovnice vyjádříme x p−1 přes zbývající proměnné a vložit do předchozích výrazů atd. Podívejme se na Gaussovu metodu na konkrétních příkladech.

Příklady řešení soustavy lineárních rovnic Gaussovou metodou

Příklad 1. Najděte obecné řešení soustavy lineárních rovnic pomocí Gaussovy metody:

Označme podle A ij prvky i-tý řádek a j sloupec.

A 11. Chcete-li to provést, přidejte řádky 2,3 s řádkem 1, vynásobené -2/3,-1/2:

Typ maticového záznamu: Sekera=b, Kde

Označme podle A ij prvky i-tý řádek a j sloupec.

Vynechme prvky 1. sloupce matice pod prvkem A 11. Chcete-li to provést, přidejte řádky 2,3 s řádkem 1, vynásobené -1/5,-6/5, v tomto pořadí:

Každý řádek matice rozdělíme odpovídajícím vodicím prvkem (pokud vodicí prvek existuje):

Kde x 3 , x

Dosazením horních výrazů do nižších dostaneme řešení.

Potom může být vektorové řešení reprezentováno následovně:

Kde x 3 , x 4 jsou libovolná reálná čísla.

Gaussova metoda je snadná! Proč? Slavný německý matematik Johann Carl Friedrich Gauss se za svého života dočkal uznání jako největšího matematika všech dob, génia a dokonce i přezdívky „král matematiky“. A vše důmyslné, jak víme, je jednoduché! Mimochodem, peníze nedostávají jen hulváti, ale i géniové - Gaussův portrét byl na 10-ti německých markách (před zavedením eura) a Gauss se na Němce dodnes záhadně usmívá z obyčejných poštovních známek.

Gaussova metoda je jednoduchá v tom, že k jejímu zvládnutí STAČÍ ZNALOSTI ŽÁKA PÁTÉ TŘÍDY. Musíte vědět, jak sčítat a násobit! Není náhodou, že učitelé často uvažují o metodě postupného vylučování neznámých ve školních volitelných matematice. Je to paradox, ale pro studenty je Gaussova metoda nejobtížnější. Nic překvapivého - je to všechno o metodologii a pokusím se mluvit o algoritmu metody v přístupné podobě.

Nejprve systematizujeme trochu znalostí o soustavách lineárních rovnic. Systém lineárních rovnic může:

1) Mít jedinečné řešení.
2) Mít nekonečně mnoho řešení.
3) Nemít žádná řešení (být nespojující).

Gaussova metoda je nejmocnějším a nejuniverzálnějším nástrojem pro hledání řešení žádný soustav lineárních rovnic. Jak si pamatujeme, Cramerovo pravidlo a maticová metoda jsou nevhodné v případech, kdy systém má nekonečně mnoho řešení nebo je nekonzistentní. A metoda sekvenční eliminace neznámých Stejně dovede nás k odpovědi! V této lekci se budeme opět zabývat Gaussovou metodou pro případ č. 1 (jediné řešení systému), článek je věnován situacím bodů č. 2-3. Podotýkám, že samotný algoritmus metody funguje ve všech třech případech stejně.

Vraťme se k nejjednoduššímu systému z lekce Jak vyřešit soustavu lineárních rovnic?
a vyřešit to pomocí Gaussovy metody.

Prvním krokem je zapsat rozšířená matice systému:
. Myslím, že každý vidí, jakým principem se koeficienty píší. Svislá čára uvnitř matice nemá žádný matematický význam - je to pouze přeškrtnutí pro usnadnění návrhu.

Odkaz :Doporučuji si zapamatovat podmínky lineární algebry. Systémová matice je matice složená pouze z koeficientů pro neznámé, v tomto příkladu matice systému: . Rozšířená matice systému– toto je stejná matice systému plus sloupec volných výrazů, v tomto případě: . Pro stručnost lze kteroukoli z matic jednoduše nazvat maticí.

Po napsání rozšířené systémové matice je nutné s ní provést některé akce, které se také nazývají elementární transformace.

Existují následující elementární transformace:

1) Struny matrice Může přeskupit na některých místech. Například v uvažované matici můžete bezbolestně přeskupit první a druhý řádek:

2) Pokud jsou (nebo se objevily) v matici proporcionální (jako zvláštní případ - identické) řádky, pak byste měli vymazat z matice všechny tyto řádky kromě jednoho. Vezměme si například matici . V této matici jsou poslední tři řádky proporcionální, takže stačí ponechat pouze jeden z nich: .

3) Pokud se při transformacích objeví v matici nulový řádek, pak by také měl být vymazat. Nebudu kreslit, samozřejmě, nulová čára je čára, ve které všechny nuly.

4) Řádek matice může být násobit (dělit) na libovolné číslo nenulové. Vezměme si například matici . Zde je vhodné vydělit první řádek -3 a vynásobit druhý řádek 2: . Tato akce je velmi užitečná, protože zjednodušuje další transformace matice.

5) Tato transformace působí nejvíce potíží, ale ve skutečnosti v ní také není nic složitého. Do řádku matice můžete přidat další řetězec vynásobený číslem, odlišný od nuly. Podívejme se na naši matici z praktického příkladu: . Nejprve velmi podrobně popíšu transformaci. Vynásobte první řádek -2: , A ke druhému řádku přidáme první řádek vynásobený –2: . Nyní lze první řádek vydělit „zpět“ –2: . Jak můžete vidět, řádek, který je PŘIDÁN LI – se nezměnilo. Vždy změní se řádek, KTERÝ JE PŘIDÁN UT.

V praxi to samozřejmě nepíšou tak podrobně, ale píšou to stručně:

Ještě jednou: do druhého řádku přidal první řádek vynásobený –2. Řádek se obvykle násobí ústně nebo na konceptu, přičemž proces mentálního výpočtu probíhá asi takto:

"Přepíšu matici a přepíšu první řádek: »

„První sloupec. Na dně potřebuji dostat nulu. Tu nahoře tedy vynásobím –2: , a první přičtu na druhý řádek: 2 + (–2) = 0. Výsledek zapíšu do druhého řádku: »

"A teď druhý sloupec." Nahoře vynásobím -1 -2: . První přidám do druhého řádku: 1 + 2 = 3. Výsledek zapíšu do druhého řádku: »

"A třetí sloupec." Nahoře vynásobím -5 -2: . První přidám do druhého řádku: –7 + 10 = 3. Do druhého řádku zapíšu výsledek: »

Prosím, pochopte pečlivě tento příklad a pochopte algoritmus sekvenčního výpočtu, pokud tomu rozumíte, pak máte Gaussovu metodu prakticky v kapse. Na této proměně ale samozřejmě ještě zapracujeme.

Elementární transformace nemění řešení soustavy rovnic

! POZOR: považovány za manipulace nelze použít, pokud je vám nabídnut úkol, kde se matice dávají „samo od sebe“. Například s „klasickým“ operace s maticemi Za žádných okolností nic uvnitř matric nepřestavujte!

Vraťme se k našemu systému. Prakticky je rozebrán na kusy.

Zapišme rozšířenou matici systému a pomocí elementárních transformací ji zredukujeme na stupňovitý pohled:

(1) První řádek byl přidán k druhému řádku, vynásobený –2. A znovu: proč násobíme první řádek –2? Abychom dole dostali nulu, což znamená zbavit se jedné proměnné na druhém řádku.

(2) Vydělte druhý řádek 3.

Účel elementárních transformací – zredukujte matici na postupný tvar: . V návrhu úkolu pouze označí „schody“ jednoduchou tužkou a také zakroužkují čísla, která se nacházejí na „schodech“. Samotný termín „odstupňovaný pohled“ není ve vědecké a vzdělávací literatuře často nazýván lichoběžníkový pohled nebo trojúhelníkový pohled.

V důsledku elementárních transformací jsme získali ekvivalent původní soustava rovnic:

Nyní je třeba systém „rozvinout“ v opačném směru - tento proces se nazývá zdola nahoru inverzní ke Gaussově metodě.

Ve spodní rovnici již máme hotový výsledek: .

Uvažujme první rovnici systému a dosaďte do ní již známou hodnotu „y“:

Uvažujme nejběžnější situaci, kdy Gaussova metoda vyžaduje řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými.

Příklad 1

Vyřešte soustavu rovnic pomocí Gaussovy metody:

Napišme rozšířenou matici systému:

Nyní okamžitě nakreslím výsledek, ke kterému dojdeme během řešení:

A opakuji, naším cílem je přivést matici do stupňovité formy pomocí elementárních transformací. kde začít?

Nejprve se podívejte na číslo vlevo nahoře:

Měl by tu být téměř vždy jednotka. Obecně lze říci, že –1 (a někdy i jiná čísla) postačí, ale nějak se tradičně stalo, že se tam obvykle umísťuje jednička. Jak uspořádat jednotku? Díváme se na první sloupec – máme hotovou jednotku! Transformace jedna: prohoďte první a třetí řádek:

Nyní první řádek zůstane nezměněn až do konce řešení. Už je to jednodušší.

Jednotka v levém horním rohu je uspořádána. Nyní musíte získat nuly na těchto místech:

Nuly dostaneme pomocí „obtížné“ transformace. Nejprve se zabýváme druhým řádkem (2, –1, 3, 13). Co je potřeba udělat, aby se na první pozici dostala nula? Je potřeba ke druhému řádku přidejte první řádek vynásobený –2. V duchu nebo na konceptu vynásobte první řádek –2: (–2, –4, 2, –18). A důsledně provádíme (opět mentálně nebo na návrh) sčítání, k druhému řádku přidáme první řádek, již vynásobený –2:

Výsledek zapíšeme do druhého řádku:

Stejným způsobem nakládáme se třetím řádkem (3, 2, –5, –1). Chcete-li získat nulu na první pozici, potřebujete ke třetímu řádku přidejte první řádek vynásobený –3. V duchu nebo na konceptu vynásobte první řádek –3: (–3, –6, 3, –27). A ke třetímu řádku přidáme první řádek vynásobený –3:

Výsledek zapíšeme do třetího řádku:

V praxi se tyto úkony obvykle provádějí ústně a zapisují se v jednom kroku:

Není potřeba počítat vše najednou a zároveň. Pořadí výpočtů a „zapisování“ výsledků konzistentní a většinou je to tak: nejprve přepíšeme první řádek a pomalu ze sebe bafáme - DŮSLEDNĚ a POZORNĚ:


A o mentálním procesu samotných výpočtů jsem již hovořil výše.

V tomto příkladu je to snadné, vydělíme druhý řádek –5 (protože všechna čísla jsou dělitelná 5 beze zbytku). Zároveň vydělíme třetí řádek –2, protože čím menší čísla, tím jednodušší řešení:

V konečné fázi elementárních transformací zde musíte získat další nulu:

Za tohle ke třetímu řádku přidáme druhý řádek vynásobený –2:


Zkuste na tuto akci přijít sami – v duchu vynásobte druhý řádek –2 a proveďte sčítání.

Poslední provedenou akcí je účes výsledku, vydělte třetí řádek 3.

V důsledku elementárních transformací byl získán ekvivalentní systém lineárních rovnic:

Ochladit.

Nyní přichází na řadu opak Gaussovy metody. Rovnice se „odvíjejí“ zdola nahoru.

Ve třetí rovnici již máme hotový výsledek:

Podívejme se na druhou rovnici: . Význam „zet“ je již znám, tedy:

A nakonec první rovnice: . „Igrek“ a „zet“ jsou známé, jde jen o maličkosti:

Odpověď:

Jak již bylo několikrát poznamenáno, u jakékoli soustavy rovnic je možné a nutné nalezené řešení zkontrolovat, naštěstí je to snadné a rychlé.

Příklad 2

Toto je příklad samostatného řešení, ukázka finálního návrhu a odpověď na konci lekce.

Je třeba poznamenat, že vaše průběh rozhodnutí se nemusí shodovat s mým rozhodovacím procesem, a to je vlastnost Gaussovy metody. Ale odpovědi musí být stejné!

Příklad 3

Řešte soustavu lineárních rovnic pomocí Gaussovy metody

Zapišme si rozšířenou matici systému a pomocí elementárních transformací ji uveďme do stupňovité podoby:

Podíváme se na levý horní „krok“. Měli bychom tam jeden mít. Problém je, že v prvním sloupci nejsou vůbec žádné jednotky, takže přeskupení řádků nic nevyřeší. V takových případech musí být jednotka organizována pomocí elementární transformace. To lze obvykle provést několika způsoby. Udělal jsem toto:
(1) K prvnímu řádku přidáme druhý řádek, vynásobený –1. To znamená, že jsme v duchu vynásobili druhý řádek –1 a přidali první a druhý řádek, zatímco druhý řádek se nezměnil.

Nyní vlevo nahoře je „mínus jedna“, což nám docela vyhovuje. Každý, kdo chce získat +1, může provést další pohyb: vynásobit první řádek –1 (změnit jeho znaménko).

(2) První řádek vynásobený 5 byl přidán ke druhému řádku První řádek vynásobený 3 byl přidán ke třetímu řádku.

(3) První řádek byl vynásoben –1, v zásadě je to pro krásu. Změnilo se i znaménko třetí řady a posunulo se na druhé místo, takže na druhém „kroku“ jsme měli požadovanou jednotku.

(4) Druhý řádek byl přidán ke třetímu řádku, vynásobený 2.

(5) Třetí řádek byl rozdělen 3.

Špatným znakem, který označuje chybu ve výpočtech (vzácněji překlep), je „špatný“ spodní řádek. To znamená, že pokud máme něco jako , níže, a podle toho , pak s vysokou mírou pravděpodobnosti můžeme říci, že při elementárních transformacích došlo k chybě.

Účtujeme obráceně, v návrhu příkladů často nepřepisují samotný systém, ale rovnice jsou „převzaty přímo z dané matice“. Zpětný zdvih, připomínám, funguje zdola nahoru. Ano, zde je dárek:

Odpověď: .

Příklad 4

Řešte soustavu lineárních rovnic pomocí Gaussovy metody

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami, je poněkud složitější. Nevadí, když je někdo zmatený. Kompletní řešení a vzorový návrh na konci lekce. Vaše řešení se může lišit od mého řešení.

V poslední části se podíváme na některé vlastnosti Gaussova algoritmu.
První vlastností je, že někdy některé proměnné v rovnicích systému chybí, například:

Jak správně napsat matici rozšířeného systému? O tomto bodu jsem již mluvil ve třídě. Cramerovo pravidlo. Maticová metoda. V rozšířené matici systému dosadíme nuly na místo chybějících proměnných:

Mimochodem, toto je docela snadný příklad, protože první sloupec již má jednu nulu a je potřeba provést méně elementárních transformací.

Druhá vlastnost je toto. Ve všech uvažovaných příkladech jsme na „kroky“ umístili buď –1 nebo +1. Mohla by tam být jiná čísla? V některých případech mohou. Zvažte systém: .

Zde na levém horním „kroku“ máme dvojku. Všimneme si ale faktu, že všechna čísla v prvním sloupci jsou beze zbytku dělitelná 2 – a to druhé je dvě a šest. A ty dvě vlevo nahoře nám budou slušet! V prvním kroku je potřeba provést následující transformace: přidat první řádek vynásobený –1 k druhému řádku; ke třetímu řádku přidejte první řádek vynásobený –3. Takto získáme požadované nuly v prvním sloupci.

Nebo jiný konvenční příklad: . Zde se nám hodí i trojka na druhém „kroku“, protože 12 (místo, kde potřebujeme dostat nulu) je dělitelné 3 beze zbytku. Je nutné provést následující transformaci: přidat druhý řádek ke třetímu řádku, vynásobený –4, v důsledku čehož dostaneme nulu, kterou potřebujeme.

Gaussova metoda je univerzální, ale má jednu zvláštnost. Můžete se sebevědomě naučit řešit systémy pomocí jiných metod (Cramerova metoda, maticová metoda) doslova poprvé - mají velmi přísný algoritmus. Abyste se ale cítili v Gaussově metodě sebevědomí, musíte se v ní dobře orientovat a vyřešit alespoň 5-10 systémů. Zpočátku proto může docházet ke zmatkům a chybám ve výpočtech a na tom není nic neobvyklého nebo tragického.

Deštivé podzimní počasí za oknem.... Proto pro každého, kdo chce složitější příklad, který si vyřeší sám:

Příklad 5

Vyřešte soustavu čtyř lineárních rovnic se čtyřmi neznámými pomocí Gaussovy metody.

Takový úkol není v praxi tak vzácný. Myslím, že i čajník, který důkladně prostudoval tuto stránku, pochopí algoritmus pro řešení takového systému intuitivně. V zásadě je vše při starém – jen akcí je více.

Případy, kdy systém nemá řešení (nekonzistentní) nebo má nekonečně mnoho řešení, jsou probrány v lekci Neslučitelné systémy a systémy s obecným řešením. Zde můžete opravit uvažovaný algoritmus Gaussovy metody.

Přeji úspěch!

Řešení a odpovědi:

Příklad 2: Řešení : Zapišme rozšířenou matici soustavy a pomocí elementárních transformací ji uveďme do stupňovité podoby.


Provedené elementární transformace:
(1) První řádek byl přidán k druhému řádku, vynásobený –2. První řádek byl přidán ke třetímu řádku, vynásobený –1. Pozor! Zde můžete být v pokušení odečíst první od třetího řádku vřele doporučuji neodečítat - riziko chyby se značně zvyšuje. Stačí to složit!
(2) Znaménko druhého řádku bylo změněno (vynásobeno –1). Druhý a třetí řádek byly prohozeny. Vezměte prosím na vědomí, že na „stupních“ se spokojíme nejen s jedničkou, ale i s –1, což je ještě pohodlnější.
(3) Druhý řádek byl přidán ke třetímu řádku, vynásobený 5.
(4) Znaménko druhého řádku bylo změněno (vynásobeno –1). Třetí řádek byl rozdělen 14.

Zvrátit:

Odpověď: .

Příklad 4: Řešení : Zapišme si rozšířenou matici systému a pomocí elementárních transformací ji uveďme do stupňovité podoby:

Provedené konverze:
(1) K prvnímu řádku byl přidán druhý řádek. Požadovaná jednotka je tedy uspořádána v levém horním „kroku“.
(2) První řádek vynásobený 7 byl přidán ke druhému řádku První řádek vynásobený 6 byl přidán ke třetímu řádku.

S druhým „krokem“ se vše ještě zhorší , „kandidáty“ na něj jsou čísla 17 a 23 a potřebujeme buď jedničku, nebo –1. Transformace (3) a (4) budou zaměřeny na získání požadované jednotky

(3) Druhý řádek byl přidán ke třetímu řádku, vynásobený –1.
(4) Třetí řádek byl přidán k druhému řádku, vynásobený –3.
(3) Druhý řádek byl přidán ke třetímu řádku, vynásobeno 4. Druhý řádek byl přidán ke čtvrtému řádku, vynásobeno –1.
(4) Znaménko druhého řádku bylo změněno. Čtvrtý řádek byl rozdělen 3 a umístěn na místo třetího řádku.
(5) Třetí řádek byl přidán ke čtvrtému řádku, vynásobený –5.

Zvrátit:

Jedním z nejjednodušších způsobů řešení soustavy lineárních rovnic je technika založená na výpočtu determinantů ( Cramerovo pravidlo). Jeho výhodou je, že umožňuje okamžitě zaznamenat řešení, což je zvláště výhodné v případech, kdy koeficienty systému nejsou čísla, ale některé parametry. Jeho nevýhodou je těžkopádnost výpočtů v případě velkého množství rovnic, navíc Cramerovo pravidlo není přímo použitelné pro systémy, ve kterých se počet rovnic neshoduje s počtem neznámých. V takových případech se obvykle používá Gaussova metoda.

Nazývají se soustavy lineárních rovnic se stejnou množinou řešení ekvivalent. Je zřejmé, že množina řešení lineárního systému se nezmění, pokud dojde k záměně jakýchkoli rovnic, nebo pokud se jedna z rovnic vynásobí nějakým nenulovým číslem, nebo pokud se jedna rovnice přidá k druhé.

Gaussova metoda (metoda sekvenční eliminace neznámých) je, že pomocí elementárních transformací je systém redukován na ekvivalentní systém stupňovitého typu. Nejprve pomocí 1. rovnice eliminujeme x 1 všech následujících rovnic soustavy. Potom pomocí 2. rovnice eliminujeme x 2 ze 3. a všech následujících rovnic. Tento proces, tzv přímou Gaussovou metodou, pokračuje, dokud na levé straně poslední rovnice nezůstane pouze jedna neznámá x n. Po tomto je hotovo inverzní ke Gaussově metodě– řešení poslední rovnice, najdeme x n; poté pomocí této hodnoty z předposlední rovnice, kterou vypočítáme x n-1 atd. Najdeme poslední x 1 z první rovnice.

Gaussovy transformace je vhodné provádět tak, že se neprovádějí transformace s rovnicemi samotnými, ale s maticemi jejich koeficientů. Zvažte matici:

volal rozšířená matice systému, protože kromě hlavní matice systému obsahuje sloupec volných výrazů. Gaussova metoda je založena na redukci hlavní matice systému do trojúhelníkového tvaru (nebo lichoběžníkového tvaru v případě nečtvercových systémů) pomocí elementárních řádkových transformací (!) rozšířené matice systému.

Příklad 5.1. Vyřešte soustavu pomocí Gaussovy metody:

Řešení. Vypíšeme rozšířenou matici systému a pomocí prvního řádku poté resetujeme zbývající prvky:

dostaneme nuly ve 2., 3. a 4. řádku prvního sloupce:

Nyní potřebujeme, aby se všechny prvky ve druhém sloupci pod 2. řádkem rovnaly nule. Chcete-li to provést, můžete vynásobit druhý řádek -4/7 a přidat jej ke třetímu řádku. Abychom se však nezabývali zlomky, utvořme jednotku ve 2. řádku druhého sloupce a pouze

Nyní, abyste získali trojúhelníkovou matici, musíte resetovat prvek čtvrtého řádku 3. sloupce, abyste to udělali, můžete vynásobit třetí řádek 8/54 a přidat jej ke čtvrtému; Abychom se však nezabývali zlomky, prohodíme 3. a 4. řádek a 3. a 4. sloupec a teprve poté vynulujeme zadaný prvek. Všimněte si, že při přeskupování sloupců mění odpovídající proměnné místa a to je třeba mít na paměti; ostatní elementární transformace se sloupci (sčítání a násobení číslem) nelze provést!

Poslední zjednodušená matice odpovídá soustavě rovnic ekvivalentní té původní:

Odtud pomocí inverzní Gaussovy metody zjistíme ze čtvrté rovnice x 3 = -1; od třetího x 4 = –2, od druhého x 2 = 2 az první rovnice x 1 = 1. V maticovém tvaru se odpověď zapisuje jako

Uvažovali jsme případ, kdy je systém definitivní, tzn. když je jen jedno řešení. Podívejme se, co se stane, pokud je systém nekonzistentní nebo nejistý.

Příklad 5.2. Prozkoumejte systém pomocí Gaussovy metody:

Řešení. Vypíšeme a transformujeme rozšířenou matici systému

Napíšeme zjednodušenou soustavu rovnic:

Zde v poslední rovnici vyšlo, že 0=4, tzn. rozpor. Systém tedy nemá řešení, tzn. ona nekompatibilní. à

Příklad 5.3. Prozkoumejte a vyřešte systém pomocí Gaussovy metody:

Řešení. Vypíšeme a transformujeme rozšířenou matici systému:

V důsledku transformací obsahuje poslední řádek pouze nuly. To znamená, že počet rovnic se snížil o jednu:

Po zjednodušení tedy zbyly dvě rovnice a čtyři neznámé, tzn. dva neznámí „navíc“. Ať jsou „nadbytečné“, nebo, jak se říká, volné proměnné, vůle x 3 a x 4. Pak

Věřící x 3 = 2A A x 4 = b, dostáváme x 2 = 1–A A x 1 = 2b–A; nebo v matricové formě

Takto napsané řešení se nazývá generál, protože zadávání parametrů A A b různé hodnoty, lze popsat všechna možná řešení systému. A

Jednou z univerzálních a účinných metod řešení lineárních algebraických systémů je Gaussova metoda , spočívající v postupném odstraňování neznámých.

Připomeňme, že se nazývají dva systémy ekvivalent (ekvivalent), pokud se množiny jejich řešení shodují. Jinými slovy, systémy jsou ekvivalentní, pokud každé řešení jednoho z nich je řešením druhého a naopak. Ekvivalentní systémy se získají, když elementární transformace rovnice soustavy:

násobení obou stran rovnice číslem jiným než nula;

přidání k nějaké rovnici odpovídající části jiné rovnice, vynásobené číslem jiným než nula;

přeskupení dvou rovnic.

Nechť je dána soustava rovnic

Proces řešení tohoto systému pomocí Gaussovy metody se skládá ze dvou etap. V první fázi (přímý pohyb) je systém pomocí elementárních transformací redukován na postupně , nebo trojúhelníkový a ve druhé fázi (reverzní) je sekvenční, počínaje posledním proměnným číslem, určování neznámých z výsledného krokového systému.

Předpokládejme, že koeficient tohoto systému
, jinak v systému lze první řádek prohodit s jakýmkoli jiným řádkem tak, že koeficient at byla jiná než nula.

Pojďme transformovat systém odstraněním neznámého ve všech rovnicích kromě první. Chcete-li to provést, vynásobte obě strany první rovnice číslem a přidejte člen po členu s druhou rovnicí systému. Poté vynásobte obě strany první rovnice číslem a přidejte ji do třetí rovnice soustavy. Pokračujeme-li v tomto procesu, získáme ekvivalentní systém

Zde
– nové hodnoty koeficientů a volných členů, které se získají po prvním kroku.

Podobně s ohledem na hlavní prvek
, vyloučit neznámé ze všech rovnic soustavy kromě první a druhé. Pokračujme v tomto procesu tak dlouho, jak je to možné, a jako výsledek dostaneme krokový systém

,

Kde ,
,…,– hlavní prvky systému
.

Pokud se v procesu redukce systému na stupňovitý tvar objeví rovnice, tj.
, jsou vyřazeny, protože jsou splněny jakoukoli sadou čísel
.
Pokud v

Pokud se objeví rovnice ve tvaru, která nemá řešení, znamená to nekompatibilitu systému. Při zpětném zdvihu je první neznámá vyjádřena z poslední rovnice transformovaného stupňovitého systému
přes všechny ostatní neznámé které se nazývají . uvolnit z poslední rovnice soustavy se dosadí do předposlední rovnice a z ní se vyjádří proměnná
. Proměnné jsou definovány sekvenčně podobným způsobem
. Proměnné
, vyjádřené prostřednictvím volných proměnných, se nazývají základní (závislý). Výsledkem je obecné řešení soustavy lineárních rovnic.

Najít soukromé řešení systémy, volný neznámý
v obecném řešení jsou přiřazeny libovolné hodnoty a jsou vypočteny hodnoty proměnných
.

Technicky výhodnější je podrobit elementárním transformacím nikoli samotné systémové rovnice, ale rozšířenou matici systému

.

Gaussova metoda je univerzální metoda, která umožňuje řešit nejen čtvercové, ale i obdélníkové soustavy, ve kterých je počet neznámých
není roven počtu rovnic
.

Výhodou této metody je také to, že v procesu řešení současně zkoumáme kompatibilitu systému, protože s ohledem na rozšířenou matici
k postupné formě je snadné určit pořadí matice a rozšířená matice
a aplikovat Kronecker-Capelliho věta .

Příklad 2.1 Soustavu řešte Gaussovou metodou

Řešení. Počet rovnic
a počet neznámých
.

Vytvořme rozšířenou matici systému přiřazením koeficientů napravo od matice sloupec volných členů .

Představme si matrici na trojúhelníkový pohled; K tomu získáme „0“ pod prvky umístěnými na hlavní diagonále pomocí elementárních transformací.

Chcete-li získat "0" na druhé pozici prvního sloupce, vynásobte první řádek (-1) a přidejte jej do druhého řádku.

Tuto transformaci zapíšeme jako číslo (-1) proti prvnímu řádku a označíme jej šipkou směřující z prvního řádku na druhý řádek.

Chcete-li získat "0" na třetí pozici prvního sloupce, vynásobte první řádek (-3) a přidejte do třetího řádku; Ukažme tuto akci pomocí šipky jdoucí z prvního řádku na třetí.

.

Ve výsledné matici, zapsané jako druhé v řetězci matic, dostaneme „0“ ve druhém sloupci na třetí pozici. Abychom to udělali, vynásobili jsme druhý řádek (-4) a přidali ho ke třetímu. Ve výsledné matici vynásobte druhý řádek (-1) a vydělte třetí (-8). Všechny prvky této matice ležící pod diagonálními prvky jsou nuly.

Protože , systém je kolaborativní a definovaný.

Soustava rovnic odpovídající poslední matici má trojúhelníkový tvar:

Z poslední (třetí) rovnice
. Dosaďte do druhé rovnice a dostaňte
.

Pojďme nahradit
A
do první rovnice najdeme


.