Součet součinu a rozdílu náhodných událostí. Úvod do teorie pravděpodobnosti

Definice 1. Říkají, že v nějaké zkušenosti událost A znamená za zdáním události V, pokud při výskytu události A událost přichází V. Zápis pro tuto definici A Ì V. Z hlediska elementárních událostí to znamená, že každá elementární událost zahrnutá v A, je také součástí V.

Definice 2. Události A A V se nazývají stejné nebo ekvivalentní (označené A= V), Pokud A Ì V A VÌ A, tzn. A A V sestávají ze stejných elementárních událostí.

Spolehlivá akce je reprezentována všeobjímající množinou Ω a nemožný děj je reprezentován prázdnou podmnožinou Æ v ní. Neslučitelnost událostí A A V znamená, že odpovídající podmnožiny A A V neprotínají se: A∩V = Æ.

Definice 3. Součet dvou událostí A A V(označeno S= A + V) se nazývá událost S, skládající se z přijde minimálně jedna z akcí A nebo V(spojka „nebo“ pro částku je klíčové slovo), tzn. přichází nebo A nebo V nebo A A V spolu.

Příklad. Nechte dva střelce střílet na terč současně a event A je, že 1. střelec zasáhne cíl a event B– že 2. střelec zasáhne cíl. Událost A+ B znamená, že terč je zasažen, nebo jinými slovy, že alespoň jeden ze střelců (1. střelec nebo 2. střelec, nebo oba střelci) trefil terč.

Podobně součet konečného počtu událostí A 1 , A 2 , …, A n (označeno A= A 1 + A 2 + … + A n) událost se nazývá A, skládající se z výskyt alespoň jednoho z akcí A já ( i = 1, … , n), nebo libovolnou sbírku A já ( i = 1, 2, … , n).

Příklad. Součet událostí A, B, C je událost sestávající z výskytu jedné z následujících událostí: A, B, C, A A V, A A S, V A S, A A V A S, A nebo V, A nebo S, V nebo S,A nebo V nebo S.

Definice 4. Produkt dvou událostí A A V s názvem událost S(označeno S = A ∙ B), spočívající v tom, že v důsledku zkoušky došlo i k event A, a událost V zároveň. (Spojka „a“ pro vytváření událostí je klíčové slovo).

Podobné jako součin konečného počtu událostí A 1 , A 2 , …, A n (označeno A = A 1 ∙A 2 ∙…∙ A n) událost se nazývá A, spočívající v tom, že v důsledku testu došlo ke všem specifikovaným událostem.

Příklad. Pokud události A, V, S v prvním, druhém a třetím pokusu se objeví „erb“, poté událost A× V× S Ve všech třech zkouškách dochází k poklesu „erbu“.

Poznámka 1. Pro nekompatibilní události A A V rovnost je pravdivá A ∙ B= Æ, kde Æ je nemožná událost.

Poznámka 2. Události A 1 , A 2, … , A n tvoří úplnou skupinu párově nekompatibilních událostí if .

Definice 5. Opačné události jsou volány dvě jedinečně možné nekompatibilní události, které tvoří kompletní skupinu. Událost opačná k události A, označeno . Událost opačná k události A, je doplňkem akce A do nastaveného Ω.

Pro opačné události jsou současně splněny dvě podmínky A∙= Æ a A+= Ω.

Definice 6. Rozdílem události A A V(označeno A– V) se nazývá událost spočívající v tom, že událost A přijde a událost IN - ne a je to rovné A– V= A× .

Všimněte si, že události A + B, A ∙ B, , A – B je vhodné graficky interpretovat pomocí Euler–Vennových diagramů (obr. 1.1).

Formulujme příklad takto: nechme zažít G sestává z náhodného střelby do oblasti Ω, jejíž body jsou elementární události ω. Dostat se do oblasti Ω nechť je spolehlivou událostí Ω a dostat se do oblasti A A V– respektive události A A V. Pak události A+B(nebo AÈ V– světlo oblast na obrázku), A ∙ B(nebo AÇ IN - oblast v centru), A – B(nebo A\IN - světlé podoblasti) bude odpovídat čtyřem obrázkům na obr. 1.1. V podmínkách předchozího příkladu se dvěma střelci střílejícími na terč součin událostí A A V bude akce C = AÇ V, spočívající v zasažení cíle oběma šípy.

Poznámka 3. Pokud jsou operace na událostech reprezentovány jako operace na množinách a události jsou reprezentovány jako podmnožiny nějaké množiny Ω, pak součet událostí A+B odpovídá svazu AÈ V tyto podmnožiny a produkt událostí A ∙ B- křižovatka A∩V tyto podmnožiny.

Operace s událostmi tedy mohou být spojeny s operacemi na množinách. Tato korespondence je uvedena v tabulce. 1.1

Tabulka 1.1

Akce s událostmi mají následující vlastnosti:

A + B = B + A, A ∙ B = B ∙ A(komutativní);

(A + B) ∙ C = A× C + B× C, A ∙ B + C =(A+C) × ( B + C) (distribuce);

(A + B) + S = A + (B + C), (A ∙ B) ∙ S= A ∙ (B ∙ C) (asociativní);

A + A = A, A ∙ A = A;

A + Ω = Ω, A∙ Ω = A;

Budeme předpokládat, že výsledkem reálné zkušenosti (experimentu) může být jeden nebo více vzájemně se vylučujících výsledků; tyto výsledky jsou nerozložitelné a vzájemně se vylučující. V tomto případě prý experiment končí jedním a jediným elementární výsledek.

Množina všech elementárních událostí, které se v důsledku toho odehrají náhodný experiment, budeme tomu říkat prostor elementárních událostí W (elementární událost odpovídá elementárnímu výsledku).

Náhodné události(události), budeme nazývat podmnožiny prostoru elementárních událostí W .

Příklad 1 Hodíme jednou mincí.

Mince může padnout s číslem nahoru - elementární událost w c (nebo w 1), nebo s erbem - elementární událost w Г (nebo w 2).

Odpovídající prostor elementárních událostí W se skládá ze dvou elementárních událostí: i W = (w c,w Г) nebo W = (w 1,w 2). i Příklad 2. Jednou hodíme kostkou. V tomto experimentu je prostor elementárních událostí W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), kde w A- ztráta A body. Událost A- získat sudý počet bodů,

= (š 2 , š 4 , š 6 ),

W.

Příklad 3. Bod je umístěn náhodně (náhodně) na segment. Měří se vzdálenost bodu od levého konce segmentu. V tomto experimentu je prostor elementárních událostí W = množina reálných čísel na jednotkovém segmentu. Přesněji, formálně, elementární události a prostor elementárních událostí jsou popsány následovně. .

Prostor elementárních událostí je libovolná množina W, W =(w). Prvky w této množiny W se nazývají elementární události Koncepty

elementární událost, událost, prostor elementárních událostí , jsou původní koncepty teorie pravděpodobnosti. Konkrétněji popsat prostor elementárních událostí nelze. Pro popis každého reálného modelu je vybrán odpovídající prostor W.

Událost W se nazývá spolehlivý.

událost. i Spolehlivá událost nemůže nastat jako výsledek experimentu i vždy se stane

Příklad 4. Jednou hodíme kostkou.

Spolehlivou událostí je, že počet hozených bodů není menší než jeden a není větší než šest, tzn. W = (š 1, š 2, š 3, š 4, š 5, š 6), kde w - ztráta.

bodů, je spolehlivou událostí. Nemožná událost je prázdná množina..

Nemožná událost nemůže nastat jako výsledek experimentu

se nikdy nestane A Náhodná událost může, ale nemusí nastat jako výsledek experimentu A se někdy stává

Příklad 5. Jednou hodíme kostkou. A pak je událostí ztráta lichého počtu bodů. Zde W = (š 1, š 2, š 3, š 4, š 5, š 6), kde w i Spolehlivá událost nemůže nastat jako výsledek experimentu i brýle, A= (w2,w4,w6), =.

Příklad 7. Jednou hodíme kostkou. A Událost B- házení sudým počtem bodů, event A- počet shozených bodů je menší než dva. Událost B A body. Událost sestává z hození sudým počtem bodů menším než dva. To je nemožné, B= A(w 1), B = , A A těch. události B-

nekompatibilní. události A A B Množství A nebo je událost sestávající ze všech elementárních událostí patřících k jedné z událostí B. Určeno je událost sestávající ze všech elementárních událostí patřících k jedné z událostí

A+ i Spolehlivá událost nemůže nastat jako výsledek experimentu i Příklad 8. Jednou hodíme kostkou. V tomto experimentu je prostor elementárních událostí W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), kde elementární jev w A body. A B sestává z hození sudým počtem bodů menším než dva. To je nemožné, Událost

- získat sudý počet bodů, Určeno B = (w 5, w 6). A Událost je událost sestávající ze všech elementárních událostí patřících k jedné z událostí(w 2 , w 4 , w 5 , w 6 ) je, že byl vržen buď sudý počet bodů, nebo počet bodů větší než čtyři, tzn. došlo k události Určeno B, nebo událost

To je zřejmé události A W. B Práce A W. je událost sestávající ze všech elementárních událostí patřících k jedné z událostí B. A.

je událost skládající se ze všech elementárních událostí, které současně patří k událostem AB Příklad 9. Jednou hodíme kostkou. V této zkušenosti prostor elementárních událostí i Spolehlivá událost nemůže nastat jako výsledek experimentu i Příklad 8. Jednou hodíme kostkou. V tomto experimentu je prostor elementárních událostí W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), kde elementární jev w A body. A W = ( B w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), kde elementární děj w sestává z hození sudým počtem bodů menším než dva. To je nemožné, Událost

- získat sudý počet bodů, A B= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), event A- hození počtu bodů větším než čtyři, spočívá v tom, že se hází sudý počet bodů, větší než čtyři, tzn. B = došlo k oběma událostem a události A B a událost

Rozdílem události A A B B, A A(w 6) je událost sestávající ze všech elementárních událostí patřících k jedné z událostí B. W..

je událost skládající se ze všech elementárních událostí, které k ní patří A body. A W = ( B w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), kde elementární děj w sestává z hození sudým počtem bodů menším než dva. To je nemožné,, ale nepatří A\B B = Příklad 10. Jednou hodíme kostkou. A Událost (w 5, w 6). Událost- získat sudý počet bodů,

A\

(w 2 ,w 4 ) je, že se hází sudý počet bodů nepřesahující čtyři, tzn. došlo k události .

a událost se nestala

, (B, A\B)To je zřejmé.

A+A=A, AA=A,

Je snadné dokázat rovnost:

A+B

C=AC+BC - Definice součtu a součinu událostí se přenášejí do nekonečných posloupností událostí: , událost sestávající z elementárních událostí, z nichž každá náleží alespoň jedné z nich; , událost sestávající z elementárních událostí, z nichž každá náleží současně všem. Nechť W je libovolný prostor elementárních událostí a

takhle množina náhodných událostí, pro které platí: W , AB, A+B a A\B, pokud A : (A a B. A Je volána numerická funkce P definovaná na množině událostí ; pravděpodobnost,

Volají trojku pravděpodobnostní prostor.

Součet všech pravděpodobností událostí ve vzorovém prostoru je roven 1. Pokud například experiment hází mincí s událostí A = hlavy a událost B = ocasy, pak A a B představují celý prostor vzorku. Prostředek, P(A) + P(B) = 0,5 + 0,5 = 1.

Příklad.V dříve navrženém příkladu výpočtu pravděpodobnosti vyjmutí červeného pera z kapsy županu (toto je událost A), která obsahuje dvě modré a jedno červené pero, P(A) = 1/3 ≈ 0,33, pravděpodobnost opaku událost - kreslení modrým perem - bude

Než přejdeme k hlavním větám, zavedeme dva složitější pojmy – součet a součin událostí. Tyto pojmy se liší od běžných pojmů součtu a součinu v aritmetice. Sčítání a násobení v teorii pravděpodobnosti jsou symbolické operace, které podléhají určitým pravidlům a usnadňují logickou konstrukci vědeckých závěrů.

nekompatibilní. více událostí je událost spočívající ve výskytu alespoň jedné z nich. To znamená, že součet dvou událostí A a B se nazývá událost C, která se skládá z výskytu buď události A, nebo události B, nebo událostí A a B společně.

Pokud například cestující čeká na zastávce tramvaje na kteroukoli ze dvou tras, pak událostí, kterou potřebuje, je výskyt tramvaje první trasy (událost A) nebo tramvaje druhé trasy (událost B), nebo společné vystoupení tramvají první a druhé trasy (akce S). V jazyce teorie pravděpodobnosti to znamená, že událost D, kterou cestující potřebuje, sestává z výskytu buď události A, nebo události B, nebo události C, která bude symbolicky zapsána ve tvaru:

D=A+B+C

Produkt dvou událostíA A V je událost spočívající ve společném výskytu událostí A A V. Produkt několika událostí společný výskyt všech těchto událostí se nazývá.

Ve výše uvedeném příkladu s cestujícím událost S(společné vystoupení tramvají na dvou trasách) je produktem dvou akcí A A V, který je symbolicky napsán takto:

Předpokládejme, že dva lékaři samostatně vyšetřují pacienta, aby identifikovali konkrétní onemocnění. Během kontrol mohou nastat následující události:

Objev nemocí prvním lékařem ( A);

Neodhalení onemocnění prvním lékařem ();

Detekce onemocnění druhým lékařem ( V);

Neodhalení onemocnění druhým lékařem ().

Zvažte případ, kdy bude onemocnění zjištěno při vyšetřeních přesně jednou. Tato událost může být realizována dvěma způsoby:

Nemoc odhalí první lékař ( A) a nezjistí druhé ();

Nemoci nezjistí první lékař () a zjistí je druhý ( B).

Označme uvažovanou událost a zapišme ji symbolicky:

Zvažte případ, že nemoc bude zjištěna při vyšetřeních dvakrát (u prvního i druhého lékaře). Označme tuto událost a napište: .

Událost, že ani první ani druhý lékař nemoc nezjistí, označíme a zapíšeme: .

Algebraické operace s událostmi definují pravidla pro zacházení s událostmi a umožňují vyjádřit jednu událost jinou. Operace s událostmi jsou použitelné pouze pro události, které představují podmnožiny stejného prostoru elementárních událostí.

Akce událostí lze vizualizovat pomocí Vennových diagramů. V diagramech události odpovídají různým oblastem v rovině a konvenčně označují podmnožiny elementárních událostí, které tvoří události. V diagramech na obr. 1.1 tedy prostor elementárních událostí odpovídá vnitřním bodům čtverce, událost A vnitřním bodům kružnice a událost B vnitřním bodům trojúhelníku. Skutečnost, že události A a B jsou podmnožinami prostoru elementárních událostí (A, B), ukazují diagramy na obr. 1.1a,b.

Součet (sjednocení) událostí A a B je událost C=A+B (nebo C=AB), která spočívá v tom, že alespoň jedna z událostí A nebo B nastane ze všech elementárních událostí patřící alespoň k jedné z událostí A nebo B nebo k oběma událostem. V diagramu (obr. 1.2.) událost C odpovídá šrafované oblasti C, která představuje spojení oblastí A a B. Podobně součet několika událostí A 1, A 2,..., A n se nazývá událost C, spočívající v tom, že nastane alespoň jedna z událostí A i, i=:

Součet událostí kombinuje všechny elementární události, které tvoří A i, i=. Pokud události E 1, E 2,…, E n tvoří úplnou skupinu, pak se jejich součet rovná spolehlivé události:

Součet elementárních událostí se rovná spolehlivé události

Součin (průnik) událostí A a B je událost C=AB (nebo C=AB), která se skládá ze společného výskytu událostí A a B. Událost C se skládá z těch elementárních událostí, které patří jak A, tak B. Na obr. 1.3.a je událost C reprezentována průsečíkem oblastí A a B. Jsou-li A a B neslučitelné události, pak jejich součin je nemožný jev, tj. AB = (obr. 1.3.b).

Součin událostí A 1, A 2,…, A n je jev C, který se skládá ze současného provedení všech událostí A i, i=:

Součin párově neslučitelných jevů A 1, A 2,…, A n jsou nemožné jevy: A i A j =, pro libovolné ij. Produkty dějů, které tvoří ucelenou skupinu, jsou nemožné jevy: E i E j =, ij, součiny elementárních dějů jsou také nemožné jevy: ij =, ij.

Rozdíl mezi událostmi A a B se nazývá událost C=A_B (C=AB), která spočívá v tom, že událost A nastane a událost B nenastane, událost C se skládá z těch elementárních událostí, které patří do A a nenastávají patří do B. Diagram rozdílu událostí znázorněný na Obr. 1.4. Diagram ukazuje, že C=A_B=

Opačná událost pro událost A (nebo její doplněk) je událost, která spočívá v tom, že událost A nenastala. Opačná událost doplňuje událost A do kompletní skupiny a skládá se z těch elementárních událostí, které patří do prostoru a nepatří do události A (obr. 1.5). Je tedy rozdíl mezi spolehlivou událostí a událostí A: =_A.

Vlastnosti operací s událostmi.

Vlastnosti posunutí: A+B=B+A, A·B=В·A.

Kombinace vlastností: (A+B)+C=A+(B+C), (AB)C=A(BC).

Distribuční vlastnost: A(B+C)=AB+AC.

Z definic operací na událostech vyplývají vlastnosti

A+A=A; A+=; A+=A; A·A=A; A = A; A·=

Z definice opačného děje vyplývá, že

A+=; A=; =A; =; =; ;

Z diagramu na obr. 1.4 jsou zřejmé vlastnosti rozdílu společných událostí:

Pokud jsou A a B neslučitelné události, pak

Vlastnosti společných akcí jsou také zřejmé

Pro opačné události platí vlastnosti, které se někdy nazývají De Morganovo pravidlo nebo princip duality: operace sjednocení a průniku mění místa při přechodu k opačným událostem.

Důkaz principu duality lze získat graficky pomocí Vennových diagramů nebo analyticky aplikací vlastností 1-6

Je třeba poznamenat, že akce podobné akcím „snížení podobných pojmů“ a zvýšení na mocninu v algebře čísel jsou při provádění operací s událostmi nepřijatelné.

Například při práci s událostmi jsou správné akce:

Nesprávná aplikace akcí analogicky s algebraickými: (A+B)B=A+BB=A vede k nesprávnému výsledku (zkontrolujte pomocí Vennových diagramů!).

Příklad 1.11. Prokázat identity

a) (A+C)(B+C)=AB+C;

b) AC_B=AC_BC

a) (A+C)(B+C) = AB+CB+AC+CC = AB+C(A+B)+C= =AB+C(A+B)+C = AB+C(A+ B+ ) = AB+C = AB+C;

b) AC_B = AC = CA = C(A_B) = SA_SV = AC_BC

Příklad 1.12. O cenu se losují dva finalisté pořadu. Losování probíhá jeden po druhém až do prvního úspěšného pokusu, počet pokusů pro každého účastníka je omezen na tři. Jako první začíná první finalista. Posuzují se následující události: A = (první finalista vyhrál cenu); B=(druhý finalista vyhrál cenu). 1) Přidejte tyto události do celé skupiny a vytvořte pro ni spolehlivou událost. 2) Sestavte kompletní skupinu elementárních událostí. 3) Vyjádřete události první kompletní skupiny prostřednictvím elementárních. 4) Sestavte další ucelené skupiny událostí a zaznamenejte jejich prostřednictvím spolehlivé události.

1) Události A a B jsou neslučitelné pro doplnění skupiny jsou doplněny neslučitelným případem C = (cenu nikdo nezískal). Spolehlivá událost = (buď první finalista vyhraje cenu, nebo druhý, nebo nevyhraje nikdo) se rovná: =A+B+C.

2) Uveďme události, které popisují výsledek každého pokusu pro každého hráče a nezávisí na podmínkách soutěže: A i = (první finalista úspěšně dokončil i-tý pokus), B i = (druhý finalista úspěšně dokončil i-tý pokus), . Tyto akce nezohledňují podmínky soutěže, a proto nejsou elementární z hlediska výhry ceny. Ale prostřednictvím těchto událostí, pomocí operací na událostech, je možné vytvořit kompletní skupinu elementárních událostí, které berou v úvahu podmínky pro výhru na první úspěšný pokus: 1 = (první finalista vyhrál cenu na první pokus), 2 = (druhý finalista vyhrál cenu na první pokus), 3 = (první finalista vyhrál cenu na druhý pokus), 4 = (druhý finalista vyhrál cenu na druhý pokus), 5 = (první finalista vyhrál cena na třetí pokus), 6 =(druhý finalista vyhrál cenu na třetí pokus), 7 =(oba finalisté nezískali cenu ani po třech pokusech). Podle podmínek soutěže

1 = A 1, 2 =, 3 =, 4 =,

5 =, 6 = , 7 = .

Kompletní skupina elementárních událostí: =( 1 ,…, 7 )

3) Události A a B jsou vyjádřeny pomocí elementárních událostí pomocí sčítacích operací, C se shoduje s elementární událostí:

4) Událostmi jsou také kompletní skupiny událostí

Odpovídající spolehlivé události:

=(první finalista cenu buď vyhraje, nebo ne)=;

=(druhý finalista cenu buď vyhraje, nebo ne)=;

=(buď cenu nevyhrají, nebo vyhrají)=.