Jak zjistit průměrné číslo. Průměrné hodnoty ve statistikách

Tento termín má jiné významy, viz průměrný význam.

Aritmetický průměr(v matematice a statistice) množiny čísel - součet všech čísel dělený jejich počtem. Je to jedno z nejběžnějších měřítek centrální tendence.

To bylo navrženo (spolu s geometrickým průměrem a harmonickým průměrem) Pythagorejci.

Zvláštními případy aritmetického průměru jsou průměr (obecná populace) a výběrový průměr (vzorek).

Zavedení

Označme množinu dat X = (x 1 , x 2 , …, x n), pak je průměr vzorku obvykle označen vodorovným pruhem nad proměnnou (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))), vyslovováno " x s čárou").

Řecké písmeno μ se používá k označení aritmetického průměru celé populace. Pro náhodnou veličinu, pro kterou je určena střední hodnota, je μ pravděpodobnostní průměr nebo matematické očekávání náhodné veličiny. Pokud je sada X je soubor náhodných čísel s pravděpodobnostním průměrem μ, pak pro libovolný vzorek x i z této množiny μ = E( x i) je matematické očekávání tohoto vzorku.

V praxi je rozdíl mezi μ a x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) v tom, že μ je typická proměnná, protože můžete vidět spíše vzorek než celou populaci. Pokud je tedy vzorek reprezentován náhodně (z hlediska teorie pravděpodobnosti), pak x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (ale ne μ) lze považovat za náhodnou proměnnou s rozdělením pravděpodobnosti na vzorku ( rozdělení pravděpodobnosti střední hodnoty).

Obě tyto veličiny se počítají stejným způsobem:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\součet _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Li X je náhodná veličina, pak matematické očekávání X lze považovat za aritmetický průměr hodnot při opakovaném měření veličiny X. To je projev zákona velkých čísel. Proto se k odhadu neznámé očekávané hodnoty používá výběrový průměr.

V elementární algebře bylo prokázáno, že průměr n+ 1 číslo nad průměrem nčísla tehdy a jen tehdy, když je nové číslo větší než starý průměr, menší tehdy a jen tehdy, když je nové číslo menší než průměr, a nemění se právě tehdy, když je nové číslo rovno průměru. Čím více n, tím menší je rozdíl mezi novým a starým průměrem.

Všimněte si, že existuje několik dalších „průměrů“, včetně mocninného průměru, Kolmogorovova průměru, harmonického průměru, aritmeticko-geometrického průměru a různých vážených průměrů (např. vážený aritmetický průměr, vážený geometrický průměr, vážený harmonický průměr).

Příklady

Pro tři čísla je třeba je sečíst a vydělit 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

Pro čtyři čísla je třeba je sečíst a vydělit 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Nebo jednodušší 5+5=10, 10:2. Protože jsme sčítali 2 čísla, což znamená, kolik čísel sečteme, vydělíme tímto počtem.

Spojitá náhodná veličina

Pro spojitě rozloženou veličinu f (x) (\displaystyle f(x)) je aritmetický průměr na intervalu [ a ; b ] (\displaystyle ) je určeno pomocí určitého integrálu:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Některé problémy s používáním průměru

Nedostatek robustnosti

Hlavní článek: Robustnost ve statistice

Ačkoli se aritmetické průměry často používají jako průměry nebo centrální tendence, tento koncept není robustní statistika, což znamená, že aritmetický průměr je silně ovlivněn „velkými odchylkami“. Je pozoruhodné, že u distribucí s velkým koeficientem šikmosti nemusí aritmetický průměr odpovídat pojmu „průměr“ a hodnoty průměru z robustních statistik (například medián) mohou lépe popisovat centrální tendence.

Klasickým příkladem je výpočet průměrného příjmu. Aritmetický průměr může být chybně interpretován jako medián, což může vést k závěru, že lidí s vyššími příjmy je více, než ve skutečnosti je. „Průměrný“ příjem je interpretován tak, že většina lidí má příjmy kolem tohoto čísla. Tento „průměrný“ (ve smyslu aritmetického průměru) příjem je vyšší než příjmy většiny lidí, protože vysoký příjem s velkou odchylkou od průměru činí aritmetický průměr značně zkreslený (naproti tomu průměrný příjem na mediánu „odolává“ takovému zkreslení). Tento „průměrný“ příjem však neříká nic o počtu lidí blízko středního příjmu (a neříká nic o počtu lidí blízko modálního příjmu). Pokud však pojmy „průměr“ a „většina lidí“ vezmete na lehkou váhu, můžete vyvodit nesprávný závěr, že většina lidí má příjmy vyšší, než ve skutečnosti jsou. Například zpráva o „průměrném“ čistém příjmu v Medině ve Washingtonu, vypočítaném jako aritmetický průměr všech ročních čistých příjmů obyvatel, by díky Billu Gatesovi vyprodukovala překvapivě velké číslo. Zvažte vzorek (1, 2, 2, 2, 3, 9). Aritmetický průměr je 3,17, ale pět ze šesti hodnot je pod tímto průměrem.

Složené úročení

Hlavní článek: Návratnost investic

Pokud čísla násobit, ne složit, musíte použít geometrický průměr, ne aritmetický průměr. Nejčastěji k tomuto incidentu dochází při výpočtu návratnosti investice do financí.

Pokud například akcie klesly o 10 % v prvním roce a vzrostly o 30 % ve druhém, pak je nesprávné vypočítat „průměrný“ nárůst za tyto dva roky jako aritmetický průměr (-10 % + 30 %) / 2 = 10 %; správný průměr je v tomto případě dán složenou roční mírou růstu, která dává roční míru růstu pouze asi 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.

Důvodem je, že procenta mají pokaždé nový výchozí bod: 30 % je 30 % z nižšího počtu, než byla cena na začátku prvního roku: pokud akcie začínaly na 30 USD a klesly o 10 %, mají na začátku druhého roku hodnotu 27 USD. Pokud by akcie vzrostly o 30 %, měla by na konci druhého roku hodnotu 35,1 USD. Aritmetický průměr tohoto růstu je 10 %, ale protože akcie vzrostly pouze o 5,1 USD za 2 roky, průměrný růst 8,2 % dává konečný výsledek 35,1 USD:

[30 $ (1 - 0,1) (1 + 0,3) = 30 $ (1 + 0,082) (1 + 0,082) = 35,1 $]. Pokud stejným způsobem použijeme aritmetický průměr 10 %, nedostaneme skutečnou hodnotu: [30 $ (1 + 0,1) (1 + 0,1) = 36,3 $].

Složený úrok na konci 2 let: 90 % * 130 % = 117 %, to znamená, že celkový nárůst je 17 % a průměrný roční složený úrok je 117 % ≈ 108,2 % (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\cca 108,2\%), tj. průměrný roční nárůst o 8,2%.

Pokyny

Hlavní článek: Statistiky destinací

Při výpočtu aritmetického průměru nějaké proměnné, která se cyklicky mění (jako je fáze nebo úhel), je třeba věnovat zvláštní pozornost. Například průměr 1° a 359° by byl 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Toto číslo je nesprávné ze dvou důvodů.

Za prvé, úhlové míry jsou definovány pouze pro rozsah od 0° do 360° (nebo od 0 do 2π při měření v radiánech). Stejný pár čísel by tedy mohl být zapsán jako (1° a -1°) nebo jako (1° a 719°). Průměrné hodnoty každého páru se budou lišit: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ circ)).
Za druhé, v tomto případě bude hodnota 0° (ekvivalent 360°) geometricky lepší průměrnou hodnotou, protože čísla se od 0° odchylují méně než od jakékoli jiné hodnoty (hodnota 0° má nejmenší rozptyl). Porovnat:
- číslo 1° se odchyluje od 0° pouze o 1°;
- číslo 1° se odchyluje od vypočteného průměru 180° o 179°.

Průměrná hodnota pro cyklickou proměnnou vypočítaná pomocí výše uvedeného vzorce bude uměle posunuta vzhledem ke skutečnému průměru směrem ke středu číselného rozsahu. Z tohoto důvodu se průměr vypočítává jiným způsobem, a to číslo s nejmenším rozptylem (střed) jako průměrná hodnota. Místo odečítání se také používá modulární vzdálenost (tj. obvodová vzdálenost). Například modulární vzdálenost mezi 1° a 359° je 2°, nikoli 358° (na kruhu mezi 359° a 360°==0° - jeden stupeň, mezi 0° a 1° - také 1°, celkem -2 °).

Druhy průměrných hodnot a způsoby jejich výpočtu

Ve fázi statistického zpracování lze nastavit nejrůznější výzkumné problémy, pro jejichž řešení je nutné zvolit vhodný průměr. V tomto případě je nutné se řídit následujícím pravidlem: veličiny, které představují čitatel a jmenovatel průměru, musí spolu logicky souviset.

výkonové průměry;
strukturální průměry.

Představme si následující konvence:

množství, pro která se vypočítává průměr;

Průměr, kde sloupec nahoře označuje, že dochází k průměrování jednotlivých hodnot;

Frekvence (opakovatelnost jednotlivých charakteristických hodnot).

Z obecného vzorce průměrného výkonu jsou odvozeny různé průměry:

(5.1)

když k = 1 - aritmetický průměr; k = -1 - harmonický průměr; k = 0 - geometrický průměr; k = -2 - střední kvadratická hodnota.

Průměrné hodnoty mohou být jednoduché nebo vážené. Vážené průměry se nazývají veličiny, které berou v úvahu, že některé varianty hodnot atributů mohou mít různá čísla, a proto je třeba každou možnost vynásobit tímto číslem. Jinými slovy, „škály“ jsou počty agregovaných jednotek v různých skupinách, tj. Každá možnost je „vážena“ svou frekvencí. Frekvence f se nazývá statistická váha nebo průměrná hmotnost.

Aritmetický průměr- nejběžnější typ průměru. Používá se, když se výpočet provádí na neseskupených statistických datech, kde potřebujete získat průměrný člen. Aritmetický průměr je průměrná hodnota charakteristiky, při jejímž získání zůstává celkový objem charakteristiky v souhrnu nezměněn.

Vzorec aritmetického průměru ( jednoduchý) má tvar

kde n je velikost populace.

Například průměrná mzda zaměstnanců podniku se vypočítá jako aritmetický průměr:

Určujícími ukazateli jsou zde mzda každého zaměstnance a počet zaměstnanců podniku. Při výpočtu průměru zůstala celková výše mezd stejná, ale rovnoměrně rozdělená mezi všechny zaměstnance. Například musíte vypočítat průměrnou mzdu pracovníků v malé společnosti zaměstnávající 8 lidí:

Při výpočtu průměrných hodnot lze jednotlivé hodnoty charakteristiky, která je průměrována, opakovat, takže průměrná hodnota se vypočítává pomocí seskupených dat. V tomto případě mluvíme o použití aritmetický průměr vážený, který má podobu

(5.3)

Potřebujeme tedy vypočítat průměrnou cenu akcií akciové společnosti při obchodování na burze. Je známo, že transakce byly provedeny do 5 dnů (5 transakcí), počet akcií prodaných za prodejní kurz byl rozdělen takto:

1 - 800 ak. - 1010 rublů.

2 - 650 ak. - 990 rublů.

3 - 700 ak. - 1015 rublů.

4 - 550 ak. - 900 rublů.

5 - 850 ak. - 1150 rublů.

Počáteční poměr pro stanovení průměrné ceny akcií je poměr celkového množství transakcí (TVA) k počtu prodaných akcií (KPA):

OSS = 1010·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3 634 500;

KPA = 800+650+700+550+850=3550.

V tomto případě se průměrná cena akcií rovnala

Je nutné znát vlastnosti aritmetického průměru, což je velmi důležité jak pro jeho použití, tak pro jeho výpočet. Můžeme rozlišit tři hlavní vlastnosti, které nejvíce určovaly široké použití aritmetického průměru ve statistických a ekonomických výpočtech.

Nemovitost jedna (nula): součet kladných odchylek jednotlivých hodnot charakteristiky od její průměrné hodnoty se rovná součtu záporných odchylek. Toto je velmi důležitá vlastnost, protože ukazuje, že jakékoli odchylky (jak +, tak -) způsobené náhodnými příčinami budou vzájemně vyrovnány.

Důkaz:

Nemovitost dvě (minimální): součet čtverců odchylek jednotlivých hodnot charakteristiky od aritmetického průměru je menší než od kteréhokoli jiného čísla (a), tzn. existuje minimální počet.

Důkaz.

Sestavme součet čtverců odchylek od proměnné a:

(5.4)

Abychom našli extrém této funkce, je nutné přirovnat její derivaci vzhledem k a k nule:

Odtud dostáváme:

(5.5)

V důsledku toho je extrém součtu čtverců odchylek dosažen při . Tento extrém je minimum, protože funkce nemůže mít maximum.

Vlastnost tři: aritmetický průměr konstantní hodnoty je roven této konstantě: pro a = konst.

Kromě těchto tří nejdůležitějších vlastností aritmetického průměru existují tzv konstrukční vlastnosti, které používáním elektronické výpočetní techniky postupně ztrácejí na významu:

pokud je jednotlivá hodnota atributu každé jednotky vynásobena nebo vydělena konstantním číslem, pak se aritmetický průměr zvýší nebo sníží o stejnou hodnotu;
aritmetický průměr se nezmění, pokud je váha (četnost) každé hodnoty atributu dělena konstantním číslem;
pokud se jednotlivé hodnoty atributu každé jednotky sníží nebo zvýší o stejnou hodnotu, aritmetický průměr se sníží nebo zvýší o stejnou hodnotu.

Harmonický průměr. Tento průměr se nazývá inverzní aritmetický průměr, protože tato hodnota se používá, když k = -1.

Jednoduchý harmonický průměr se používá, když jsou váhy hodnot atributů stejné. Jeho vzorec lze odvodit ze základního vzorce dosazením k = -1:

Potřebujeme například vypočítat průměrnou rychlost dvou aut, která urazila stejnou cestu, ale rozdílnou rychlostí: první při rychlosti 100 km/h, druhé při rychlosti 90 km/h. Pomocí metody harmonického průměru vypočítáme průměrnou rychlost:

Ve statistické praxi se častěji používá harmonický vážený, jehož vzorec má tvar

Tento vzorec se používá v případech, kdy váhy (nebo objemy jevů) pro každý atribut nejsou stejné. V počátečním vztahu pro výpočet průměru je čitatel znám, ale jmenovatel neznámý.

Například při výpočtu průměrné ceny musíme použít poměr prodejní částky k počtu prodaných kusů. Neznáme počet prodaných kusů (mluvíme o různých produktech), ale známe prodejní množství těchto různých produktů. Řekněme, že potřebujete zjistit průměrnou cenu prodávaného zboží:

Dostáváme

Geometrický průměr. Nejčastěji najde geometrický průměr uplatnění při určování průměrných růstových rychlostí (průměrných růstových koeficientů), kdy jsou jednotlivé hodnoty charakteristiky prezentovány ve formě relativních hodnot. Používá se také, pokud je nutné najít průměr mezi minimální a maximální hodnotou charakteristiky (například mezi 100 a 1000000). Existují vzorce pro jednoduchý a vážený geometrický průměr.

Pro jednoduchý geometrický průměr

Pro vážený geometrický průměr

Odmocnina střední kvadratická hodnota. Hlavní oblastí jeho použití je měření variace charakteristiky v agregátu (výpočet směrodatné odchylky).

Jednoduchý střední čtvercový vzorec

Vzorec váženého středního čtverce

(5.11)

V důsledku toho můžeme říci, že úspěšné řešení problémů statistického výzkumu závisí na správné volbě typu průměrné hodnoty v každém konkrétním případě. Výběr průměru zahrnuje následující sekvenci:

a) stanovení obecného ukazatele populace;

b) určení matematického vztahu veličin pro daný obecný ukazatel;

c) nahrazení jednotlivých hodnot průměrnými hodnotami;

d) výpočet průměru pomocí příslušné rovnice.

Průměry a variace

Průměrná hodnota- jedná se o obecný ukazatel, který charakterizuje kvalitativně homogenní populaci podle určité kvantitativní charakteristiky. Například průměrný věk osob odsouzených za krádeže.

V soudních statistikách se průměrné hodnoty používají k charakterizaci:

Průměrná doba pro posouzení případů této kategorie;

Průměrná velikost nároku;

Průměrný počet obžalovaných na případ;

Průměrné poškození;

Průměrná vytíženost rozhodčích atp.

Průměr je vždy pojmenovaná hodnota a má stejný rozměr jako charakteristika jednotlivé jednotky populace. Každá průměrná hodnota charakterizuje studovanou populaci podle jedné proměnné charakteristiky, proto za každou průměrnou hodnotou leží řada rozdělení jednotek této populace podle studované charakteristiky. Volba typu průměru je dána obsahem ukazatele a výchozími údaji pro výpočet průměrné hodnoty.

Všechny typy průměrů používaných ve statistickém výzkumu jsou rozděleny do dvou kategorií:

1) průměry výkonu;

2) strukturální průměry.

První kategorie průměrů zahrnuje: aritmetický průměr, harmonický průměr, geometrický průměr A střední kvadrát . Druhá kategorie je móda A medián. Navíc každý z uvedených typů průměrů výkonu může mít dvě formy: jednoduchý A vážený . Jednoduchá forma průměru se používá k získání průměrné hodnoty studované charakteristiky, když se výpočet provádí na neseskupených statistických datech, nebo když se každá možnost v souhrnu vyskytuje pouze jednou. Vážené průměry jsou hodnoty, které berou v úvahu, že varianty hodnot atributů mohou mít různá čísla, a proto je třeba každou variantu vynásobit odpovídající frekvencí. Jinými slovy, každá možnost je „vážena“ svou frekvencí. Frekvence se nazývá statistická váha.

Jednoduchý aritmetický průměr- nejběžnější typ průměru. Je rovna součtu jednotlivých hodnot atributu dělenému celkovým počtem těchto hodnot:

Kde x 1, x 2, …, x N jsou jednotlivé hodnoty proměnné charakteristiky (varianty) a N je počet jednotek v populaci.

Aritmetický průměr vážený používá se v případech, kdy jsou údaje prezentovány ve formě distribučních řad nebo seskupení. Vypočítá se jako součet součinů opcí a jejich odpovídajících četností, dělený součtem četností všech opcí:

Kde x i- význam i-té varianty charakteristiky; f i– frekvence i-té možnosti.

Každá hodnota varianty je tedy vážena svou frekvencí, proto se frekvence někdy nazývají statistické váhy.

Komentář. Když mluvíme o aritmetickém průměru bez uvedení jeho typu, máme na mysli jednoduchý aritmetický průměr.

Tabulka 12.

Řešení. K výpočtu použijeme vzorec váženého aritmetického průměru:

Na jeden trestní případ tak připadají v průměru dva obžalovaní.

Pokud se výpočet průměrné hodnoty provádí pomocí dat seskupených ve formě intervalových distribučních řad, musíte nejprve určit střední hodnoty každého intervalu x"i a poté vypočítat průměrnou hodnotu pomocí aritmetického váženého průměru vzorce, do kterého se místo xi dosadí x"i.

Příklad.Údaje o věku pachatelů trestných činů odsouzených za krádež jsou uvedeny v tabulce:

Tabulka 13.

Určete průměrný věk zločinců odsouzených za krádež.

Řešení. Aby bylo možné určit průměrný věk zločinců na základě intervalové variační řady, je nutné nejprve najít střední hodnoty intervalů. Protože je uvedena intervalová řada s prvním a posledním otevřeným intervalem, hodnoty těchto intervalů se považují za rovné hodnotám sousedních uzavřených intervalů. V našem případě se hodnoty prvního a posledního intervalu rovnají 10.

Nyní zjistíme průměrný věk zločinců pomocí vzorce váženého aritmetického průměru:

Průměrný věk pachatelů trestných činů odsouzených za krádež je tedy přibližně 27 let.

Střední harmonický jednoduchý představuje převrácenou hodnotu aritmetického průměru převrácených hodnot atributu:

kde 1/ x i jsou převrácené hodnoty možností a N je počet jednotek v populaci.

Příklad. Pro zjištění průměrné roční zátěže soudců okresního soudu při projednávání trestních věcí byla provedena studie zátěže 5 soudců tohoto soudu. Průměrná doba strávená na jedné trestní věci u každého z dotazovaných soudců se ukázala být stejná (ve dnech): 6, 0, 5, 6, 6, 3, 4, 9, 5, 4. Najděte průměrné náklady na jednom trestní věci a průměrné roční pracovní zátěži soudců daného okresního soudu při projednávání trestních věcí.

Řešení. Pro určení průměrné doby strávené na jednom kriminálním případu používáme harmonický průměrný vzorec:

Pro zjednodušení výpočtů uvedeme v příkladu počet dní v roce 365 včetně víkendů (toto neovlivňuje metodiku výpočtu a při výpočtu podobného ukazatele v praxi je nutné dosadit počet odprac. dnů v konkrétním roce namísto 365 dnů). Průměrná roční zátěž soudců daného okresního soudu při posuzování trestních věcí pak bude: 365 (dnů) : 5,56 ≈ 65,6 (věcí).

Pokud bychom použili jednoduchý aritmetický průměrný vzorec k určení průměrné doby strávené na jednom trestním případu, dostali bychom:

365 (dny): 5,64 ≈ 64,7 (případy), tzn. průměrné vytížení soudců se ukázalo být menší.

Pojďme si ověřit platnost tohoto přístupu. K tomu použijeme údaje o době strávené na jedné trestní věci u každého soudce a vypočítáme počet trestních věcí posuzovaných každým z nich za rok.

Podle toho dostaneme:

365 (dny) : 6 ≈ 61 (případy), 365 (dny) : 5,6 ≈ 65,2 (případy), 365 (dny) : 6,3 ≈ 58 (případy),

365 (dny): 4,9 ≈ 74,5 (případy), 365 (dny) : 5,4 ≈ 68 (případy).

Nyní spočítejme průměrnou roční zátěž soudců daného okresního soudu při posuzování trestních věcí:

Tito. průměrná roční zátěž je stejná jako při použití harmonického průměru.

Použití aritmetického průměru je tedy v tomto případě nezákonné.

V případech, kdy jsou známy varianty charakteristiky a jejich objemové hodnoty (součin variant a frekvence), ale samotné frekvence neznámé, použije se vzorec váženého harmonického průměru:

Kde x i jsou hodnoty možností atributu a w i jsou objemové hodnoty možností ( w i = x i f i).

Příklad.Údaje o ceně jednotky stejného druhu výrobku vyrobeného různými institucemi trestního systému a o objemu jeho prodeje jsou uvedeny v tabulce 14.

Tabulka 14

Najděte průměrnou prodejní cenu produktu.

Řešení. Při výpočtu průměrné ceny musíme použít poměr prodejní částky k počtu prodaných kusů. Neznáme počet prodaných kusů, ale známe výši prodeje zboží. Pro zjištění průměrné ceny prodávaného zboží tedy použijeme vzorec váženého harmonického průměru. Dostáváme

Pokud zde použijete aritmetický průměrný vzorec, můžete získat průměrnou cenu, která bude nerealistická:

Geometrický průměr se vypočítá extrakcí kořene stupně N ze součinu všech hodnot variant atributu:

Kde x 1, x 2, …, x N– jednotlivé hodnoty proměnné charakteristiky (varianty) a

N– počet jednotek obyvatelstva.

Tento typ průměru se používá k výpočtu průměrných temp růstu časových řad.

Střední čtverec se používá k výpočtu směrodatné odchylky, která je indikátorem variace, a bude diskutována níže.

Pro zjištění struktury obyvatelstva se používají speciální průměrné ukazatele, mezi které patří medián A móda , neboli tzv. strukturální průměry. Pokud je aritmetický průměr vypočítán na základě použití všech variant hodnot atributů, pak medián a mod charakterizují hodnotu varianty, která zaujímá určitou průměrnou pozici v řazené (uspořádané) řadě. Jednotky statistické populace mohou být seřazeny ve vzestupném nebo sestupném pořadí variant studované charakteristiky.

Medián (já)– toto je hodnota, která odpovídá možnosti umístěné uprostřed hodnocené řady. Medián je tedy ta verze řazené série, na jejíchž obou stranách by v této sérii měl být stejný počet jednotek populace.

Chcete-li zjistit medián, musíte nejprve určit jeho sériové číslo v seřazené řadě pomocí vzorce:

kde N je objem série (počet jednotek v populaci).

Pokud se řada skládá z lichého počtu členů, pak je medián roven možnosti s číslem N Me. Pokud se řada skládá ze sudého počtu členů, pak je medián definován jako aritmetický průměr dvou sousedních možností umístěných uprostřed.

Příklad. Je dána seřazená série 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10. Objem série je N = 9, což znamená N Me = (9 + 1) / 2 = 5. Proto Me = 6, tj. pátá možnost. Je-li uveden řádek 1, 5, 7, 9, 11, 14, 15, 16, tzn. řada se sudým počtem členů (N = 8), pak N Me = (8 + 1) / 2 = 4,5. To znamená, že medián se rovná polovině součtu čtvrté a páté možnosti, tzn. Me = (9 + 11) / 2 = 10.

V diskrétních variačních sériích je medián určen akumulovanými frekvencemi. Frekvence volby, počínaje první, se sčítají, dokud není překročeno střední číslo. Hodnota posledních sečtených opcí bude medián.

Příklad. Zjistěte medián počtu obviněných na jeden trestní případ pomocí údajů v tabulce 12.

Řešení. V tomto případě je objem variační řady N = 154, proto N Me = (154 + 1) / 2 = 77,5. Po sečtení četností první a druhé možnosti dostaneme: 75 + 43 = 118, tzn. překonali jsme střední číslo. Takže já = 2.

V řadě intervalových variací rozdělení nejprve udává interval, ve kterém se bude nacházet medián. Volají mu medián . Toto je první interval, jehož akumulovaná frekvence přesahuje polovinu objemu intervalové variační řady. Potom je číselná hodnota mediánu určena vzorcem:

Kde x Já– spodní hranice středního intervalu; i – hodnota středního intervalu; S Me-1– akumulovaná frekvence intervalu, který předchází mediánu; f Já– frekvence středního intervalu.

Příklad. Najděte střední věk pachatelů odsouzených za krádež na základě statistik uvedených v tabulce 13.

Řešení. Statistická data jsou prezentována intervalovou variační řadou, což znamená, že nejprve určíme medián intervalu. Objem populace je N = 162, tedy medián intervalu je interval 18-28, protože toto je první interval, jehož akumulovaná frekvence (15 + 90 = 105) přesahuje polovinu objemu (162: 2 = 81) řady variačních intervalů. Nyní určíme číselnou hodnotu mediánu pomocí výše uvedeného vzorce:

Polovina odsouzených za krádeže je tedy mladší 25 let.

móda (po) Označují hodnotu vlastnosti, která se nejčastěji vyskytuje v jednotkách populace. Móda se používá k identifikaci hodnoty vlastnosti, která je nejrozšířenější. U diskrétních sérií bude režim volbou s nejvyšší frekvencí. Například pro samostatné řady uvedené v tabulce 3 Mo= 1, protože tato hodnota odpovídá nejvyšší frekvenci - 75. Pro určení režimu intervalové řady nejprve určete modální interval (interval s nejvyšší frekvencí). Potom se v tomto intervalu najde hodnota prvku, což může být režim.

Jeho hodnota se zjistí pomocí vzorce:

Kde x Po– spodní hranice modálního intervalu; i – hodnota modálního intervalu; f Po– frekvence modálního intervalu; f Po-1– četnost intervalu předcházejícího modálnímu; f Po+1– četnost intervalu následujícího po modálním.

Příklad. Zjistěte věk zločinců odsouzených za krádež, údaje o nich jsou uvedeny v tabulce 13.

Řešení. Nejvyšší frekvence odpovídá intervalu 18-28, proto by měl být režim v tomto intervalu. Jeho hodnota je určena výše uvedeným vzorcem:

Největší počet odsouzených za krádeže je tedy ve věku 24 let.

Průměrná hodnota poskytuje obecnou charakteristiku celého studovaného jevu. Dvě populace, které mají stejné průměrné hodnoty, se však mohou od sebe výrazně lišit ve stupni fluktuace (variace) hodnoty studované charakteristiky. Například u jednoho soudu byly uloženy tyto tresty odnětí svobody: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 12, 12, 15 let a u jiného - 5, 5, 6, 6, 7, 7 , 7, 8, 8, 8 let. V obou případech je aritmetický průměr 6,7 roku. Tyto populace se však od sebe výrazně liší v rozložení jednotlivých hodnot přiděleného trestu odnětí svobody vůči průměrné hodnotě.

A u prvního soudu, kde je tento rozptyl poměrně velký, průměrná délka trestu odnětí svobody neodráží celou populaci. Pokud se tedy jednotlivé hodnoty charakteristiky od sebe liší jen málo, pak bude aritmetický průměr poměrně indikativní charakteristikou vlastností dané populace. V opačném případě bude aritmetický průměr nespolehlivé charakteristiky této populace a jeho použití v praxi bude neúčinné. Proto je nutné vzít v úvahu kolísání hodnot studované charakteristiky.

Variace– to jsou rozdíly v hodnotách jakékoli charakteristiky mezi různými jednotkami dané populace ve stejném období nebo časovém okamžiku. Termín „variation“ je latinského původu – variatio, což znamená rozdíl, změna, kolísání. Vzniká v důsledku skutečnosti, že jednotlivé hodnoty charakteristiky se tvoří pod kombinovaným vlivem různých faktorů (podmínek), které se v každém jednotlivém případě kombinují odlišně. K měření variace charakteristiky se používají různé absolutní a relativní ukazatele.

Mezi hlavní ukazatele odchylky patří:

1) rozsah variace;

2) průměrná lineární odchylka;

3) disperze;

4) směrodatná odchylka;

5) variační koeficient.

Podívejme se krátce na každou z nich.

Rozsah variací R je nejdostupnější absolutní ukazatel z hlediska snadnosti výpočtu, který je definován jako rozdíl mezi největší a nejmenší hodnotou charakteristiky pro jednotky dané populace:

Rozsah variace (rozsah fluktuací) je důležitým ukazatelem variability znaku, ale umožňuje vidět pouze extrémní odchylky, což omezuje rozsah jeho aplikace. Pro přesnější charakterizaci variace znaku na základě jeho variability se používají další ukazatele.

Průměrná lineární odchylka představuje aritmetický průměr absolutních hodnot odchylek jednotlivých hodnot charakteristiky od průměru a je určen vzorcem:

1) Pro neseskupená data

2) Pro variační série

Nejpoužívanějším měřítkem variace je však disperze . Charakterizuje míru rozptylu hodnot studované charakteristiky vzhledem k její průměrné hodnotě. Disperze je definována jako průměr druhé mocniny odchylek.

Jednoduchá variace pro neseskupená data:

Rozptyl vážený pro variační sérii:

Komentář. V praxi je pro výpočet rozptylu lepší použít následující vzorce:

Pro jednoduchou variaci

Pro vážený rozptyl

Směrodatná odchylka je druhá odmocnina z rozptylu:

Směrodatná odchylka je mírou spolehlivosti průměru. Čím menší je směrodatná odchylka, tím je populace homogennější a tím lépe aritmetický průměr odráží celou populaci.

Výše diskutované míry rozptylu (rozsah variace, rozptyl, směrodatná odchylka) jsou absolutními ukazateli, pomocí kterých není vždy možné posoudit míru variability charakteristiky. V některých úlohách je nutné použít relativní indexy rozptylu, z nichž jeden je variační koeficient.

Variační koeficient– poměr směrodatné odchylky k aritmetickému průměru, vyjádřený v procentech:

Variační koeficient se používá nejen pro srovnávací hodnocení variace různých charakteristik nebo stejné charakteristiky v různých populacích, ale také k charakterizaci homogenity populace. Statistická populace je považována za kvantitativně homogenní, pokud variační koeficient nepřesahuje 33 % (u distribucí blízkých normálnímu rozdělení).

Příklad. O trestech odnětí svobody 50 odsouzených dodaných k výkonu trestu uloženého soudem v nápravném zařízení trestního řádu jsou k dispozici tyto údaje: 5, 4, 2, 1, 6, 3, 4, 3, 2, 2 , 5, 6, 4, 3, 10, 5, 4, 1, 2, 3, 3, 4, 1, 6, 5, 3, 4, 3, 5, 12, 4, 3, 2, 4, 6 , 4, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 12, 6, 7, 3, 4, 5, 5, 3.

1. Sestavte řadu distribucí podle podmínek odnětí svobody.

2. Najděte průměr, rozptyl a směrodatnou odchylku.

3. Vypočítejte variační koeficient a udělejte závěr o homogenitě nebo heterogenitě studované populace.

Řešení. Pro konstrukci diskrétní distribuční řady je nutné určit možnosti a frekvence. Možností v tomto problému je doba odnětí svobody a četností počet jednotlivých možností. Po výpočtu frekvencí získáme následující diskrétní distribuční řady:

Pojďme najít průměr a rozptyl. Protože statistická data jsou reprezentována diskrétními variačními řadami, použijeme k jejich výpočtu vzorce pro vážený aritmetický průměr a rozptyl. Dostáváme:

= = 4,1;

= 5,21.

Nyní vypočítáme směrodatnou odchylku:

Zjištění variačního koeficientu:

V důsledku toho je statistická populace kvantitativně heterogenní.

Jednoduchý aritmetický průměr

Průměrné hodnoty

Průměrné hodnoty jsou široce používány ve statistice.

Průměrná hodnota- jedná se o obecný ukazatel, ve kterém jsou vyjádřeny vlivy obecných podmínek a zákonitostí vývoje studovaného jevu.

Statistické průměry jsou počítány na základě hromadných dat z řádně statisticky organizovaného pozorování (kontinuálního a výběrového). Statistický průměr však bude objektivní a typický, bude-li vypočítán z hromadných dat pro kvalitativně homogenní populaci (masové jevy). Pokud například spočítáte průměrnou mzdu v akciových společnostech a státních podnicích a výsledek rozšíříte na celou populaci, pak je průměr fiktivní, protože se počítá pro heterogenní populaci a takový průměr ztratí všechny význam.

Pomocí průměru se vyrovnávají rozdíly v hodnotě charakteristiky, které z toho či onoho důvodu vznikají v jednotlivých jednotkách pozorování.

Například průměrný výkon jednotlivého prodejce závisí na mnoha důvodech: kvalifikace, délka služby, věk, forma služby, zdravotní stav atd. Průměrná produkce odráží obecné charakteristiky celé populace.

Průměrná hodnota se měří ve stejných jednotkách jako samotný atribut.

Každá průměrná hodnota charakterizuje studovanou populaci podle jedné charakteristiky. Abychom získali úplný a komplexní obraz o zkoumané populaci na základě řady podstatných charakteristik, je nutné mít systém průměrných hodnot, který dokáže popsat jev z různých úhlů.

Existují různé typy průměrů:

aritmetický průměr;

harmonický průměr;

geometrický průměr;

střední čtverec;

průměrný krychlový.

Průměry všech výše uvedených typů se zase dělí na jednoduché (nevážené) a vážené.

Podívejme se na typy průměrů, které se používají ve statistice.

Jednoduchý aritmetický průměr (nevážený) se rovná součtu jednotlivých hodnot atributu dělenému počtem těchto hodnot.

Jednotlivé hodnoty charakteristiky se nazývají varianty a značí se x i (
); počet jednotek populace se označí n, průměrná hodnota charakteristiky se označí . Proto je aritmetický jednoduchý průměr roven:

nebo

Příklad 1 Tabulka 1

Údaje o dělnické výrobě produktu A za směnu

V tomto příkladu je atributem proměnné výroba produktů za směnu.

Číselné hodnoty atributu (16, 17 atd.) se nazývají opce. Stanovme průměrný výkon pracovníků této skupiny:

Jednoduchý aritmetický průměr se používá v případech, kdy existují samostatné hodnoty charakteristiky, tzn. data nejsou seskupena. Pokud jsou data prezentována ve formě distribučních řad nebo seskupení, pak se průměr počítá jinak.

Aritmetický průměr vážený

Aritmetický vážený průměr se rovná součtu součinů každé jednotlivé hodnoty atributu (varianty) odpovídající četností, děleno součtem všech četností.

Počet identických hodnot charakteristiky v distribučních řádcích se nazývá frekvence nebo váha a označuje se f i.

V souladu s tím vypadá vážený aritmetický průměr takto:

nebo

Ze vzorce je zřejmé, že průměr závisí nejen na hodnotách atributu, ale také na jejich četnosti, tzn. na složení kameniva, na jeho struktuře.

Příklad 2 Tabulka 2

Údaje o mzdách pracovníků

Podle údajů z diskrétních distribučních řad je zřejmé, že stejné charakteristické hodnoty (varianty) se opakují několikrát. Možnost x 1 se tedy vyskytuje celkem 2krát a možnost x 2 - 6krát atd.

Spočítejme si průměrnou mzdu jednoho pracovníka:

Mzdový fond pro každou skupinu pracovníků se rovná součinu možností a frekvence (
), a součet těchto produktů dává celkový mzdový fond všech pracovníků (
).

Pokud by byl výpočet proveden pomocí jednoduchého aritmetického průměrného vzorce, průměrný výdělek by se rovnal 3 000 rublům. (). Porovnáním získaného výsledku s počátečními údaji je zřejmé, že průměrná mzda by měla být výrazně vyšší (více než polovina pracovníků pobírá mzdy nad 3000 rublů). Proto bude výpočet pomocí jednoduchého aritmetického průměru v takových případech chybný.

Výsledkem zpracování může být statistický materiál nejen ve formě diskrétních distribučních řad, ale také ve formě intervalových variačních řad s uzavřenými nebo otevřenými intervaly.

Zvažme výpočet aritmetického průměru pro takové řady.

Průměr je:

Průměrná hodnota

Průměrná hodnota- číselné charakteristiky množiny čísel nebo funkcí; - určité číslo mezi nejmenší a největší z jejich hodnot.

1 Základní informace
2 Hierarchie průměrů v matematice
3 V teorii pravděpodobnosti a statistice
4 Viz také
5 Poznámky

Základy

Východiskem pro rozvoj teorie průměrů bylo studium proporcí Pythagorovou školou. Přitom se striktně nerozlišovalo mezi pojmy průměrná velikost a proporce. Významný impuls k rozvoji teorie proporcí z aritmetického hlediska dali řečtí matematici - Nikomachus z Gerasu (konec 1. - začátek 2. století n. l.) a Pappus z Alexandrie (3. století n. l.). První fází ve vývoji pojmu průměru je fáze, kdy se průměr začal považovat za ústřední člen spojité proporce. Pojem průměru jako centrální hodnoty progrese však neumožňuje odvodit pojem průměru ve vztahu k posloupnosti n členů, bez ohledu na pořadí, ve kterém po sobě následují. Za tímto účelem je nutné uchýlit se k formálnímu zobecnění průměrů. Další fází je přechod od spojitých proporcí k posloupnosti – aritmetické, geometrické a harmonické.

V historii statistiky je poprvé rozšířené používání průměrů spojeno se jménem anglického vědce W. Pettyho. W. Petty byl jedním z prvních, kdo se pokusil dát průměrné hodnotě statistický význam a spojil ji s ekonomickými kategoriemi. Petty však koncept průměrné velikosti nepopsal ani jej neizoloval. A. Quetelet je považován za zakladatele teorie průměrů. Byl jedním z prvních, kdo soustavně rozvíjel teorii průměrných hodnot a snažil se pro ni poskytnout matematický základ. A. Quetelet rozlišil dva typy průměrů – skutečné průměry a aritmetické průměry. Ve skutečnosti průměr představuje věc, číslo, které skutečně existuje. Ve skutečnosti by průměry nebo statistické průměry měly být odvozeny z jevů stejné kvality, identických ve svém vnitřním významu. Aritmetické průměry jsou čísla, která dávají nejbližší možnou představu o mnoha číslech, různých, i když homogenních.

Každý typ průměru se může objevit buď ve formě jednoduchého nebo ve formě váženého průměru. Správná volba střední formy vyplývá z materiální podstaty předmětu studia. Jednoduché průměrové vzorce se použijí, pokud se jednotlivé hodnoty průměrované charakteristiky neopakují. Pokud se v praktickém výzkumu jednotlivé hodnoty studované charakteristiky vyskytují několikrát v jednotkách zkoumané populace, pak je frekvence opakování jednotlivých hodnot charakteristiky přítomna ve výpočtových vzorcích výkonových průměrů. V tomto případě se nazývají vzorce váženého průměru.

Nadace Wikimedia. 2010.

Disciplína: Statistika

Možnost č. 2

Průměrné hodnoty používané ve statistice

Úvod……………………………………………………………………………………………….. 3

Teoretický úkol

Průměrná hodnota ve statistice, její podstata a podmínky aplikace.

1.1. Podstata průměrné velikosti a podmínek použití………….4

1.2. Druhy průměrů………………………………………………………………8

Praktický úkol

Úkol 1,2,3……………………………………………………………………………………………… 14

Závěr………………………………………………………………………………………………. 21

Seznam referencí………………………………………………………………...23

Zavedení

Tento test se skládá ze dvou částí – teoretické a praktické. V teoretické části bude podrobně prozkoumána tak důležitá statistická kategorie, jako je průměrná hodnota, s cílem identifikovat její podstatu a podmínky aplikace, jakož i upozornit na typy průměrů a metody jejich výpočtu.

Statistika, jak víme, studuje masivní socioekonomické jevy. Každý z těchto jevů může mít různé kvantitativní vyjádření stejné charakteristiky. Například mzdy pracovníků stejné profese nebo tržní ceny za stejný výrobek atp. Průměrné hodnoty charakterizují kvalitativní ukazatele komerční činnosti: distribuční náklady, zisk, ziskovost atd.

Ke studiu jakékoli populace podle měnících se (kvantitativně se měnících) charakteristik používá statistika průměrné hodnoty.

Středně velká entita

Průměrná hodnota je zobecňující kvantitativní charakteristika souboru podobných jevů založená na jedné proměnlivé charakteristice. V hospodářské praxi se používá široká škála ukazatelů počítaných jako průměrné hodnoty.

Nejdůležitější vlastností průměrné hodnoty je, že představuje jedním číslem hodnotu určitého znaku v celé populaci i přes její kvantitativní rozdíly v jednotlivých jednotkách populace a vyjadřuje to, co je společné všem jednotkám zkoumané populace. . Skrze charakteristiky jednotky populace tedy charakterizuje celou populaci jako celek.

Průměrné hodnoty souvisí se zákonem velkých čísel. Podstatou tohoto spojení je, že při průměrování se náhodné odchylky jednotlivých hodnot působením zákona velkých čísel vzájemně ruší a v průměru se odhalí hlavní vývojový trend, nutnost a vzor. Průměrné hodnoty vám umožňují porovnávat ukazatele týkající se populace s různým počtem jednotek.

V moderních podmínkách rozvoje tržních vztahů v ekonomice slouží průměry jako nástroj pro studium objektivních zákonitostí socioekonomických jevů. V ekonomické analýze se však nelze omezovat pouze na průměrné ukazatele, neboť obecné příznivé průměry mohou skrývat velké závažné nedostatky v činnosti jednotlivých ekonomických subjektů a zárodky nového, progresivního. Například rozdělení obyvatelstva podle příjmů umožňuje identifikovat vytváření nových sociálních skupin. Spolu s průměrnými statistickými údaji je proto nutné brát v úvahu i charakteristiky jednotlivých jednotek populace.

Průměrná hodnota je výsledkem všech faktorů ovlivňujících zkoumaný jev. To znamená, že při výpočtu průměrných hodnot se vliv náhodných (poruchových, individuálních) faktorů ruší a je tak možné určit vzorec vlastní studovanému jevu. Adolphe Quetelet zdůraznil, že význam metody průměrů spočívá v možnosti přechodu od individuálního k obecnému, od náhodného k pravidelnému a existence průměrů je kategorií objektivní reality.

Statistika studuje hromadné jevy a procesy. Každý z těchto jevů má jak společné pro celý soubor, tak zvláštní, individuální vlastnosti. Rozdíl mezi jednotlivými jevy se nazývá variace. Další vlastností hromadných jevů je jejich inherentní podobnost charakteristik jednotlivých jevů. Interakce prvků množiny tedy vede k omezení variace alespoň části jejich vlastností. Tento trend objektivně existuje. Právě v její objektivitě tkví důvod nejširšího využití průměrných hodnot v praxi i v teorii.

Průměrná hodnota ve statistice je obecný ukazatel, který charakterizuje typickou úroveň jevu v konkrétních podmínkách místa a času, odrážející hodnotu proměnlivé charakteristiky na jednotku kvalitativně homogenní populace.

V hospodářské praxi se používá široká škála ukazatelů počítaných jako průměrné hodnoty.

Pomocí metody průměrů řeší statistika mnoho problémů.

Hlavní význam průměrů spočívá v jejich zobecňující funkci, to znamená nahrazení mnoha různých individuálních hodnot charakteristiky průměrnou hodnotou, která charakterizuje celý soubor jevů.

Pokud průměrná hodnota zobecňuje kvalitativně homogenní hodnoty charakteristiky, pak se jedná o typickou charakteristiku charakteristiky v dané populaci.

Není však správné redukovat roli průměrných hodnot pouze na charakterizaci typických hodnot charakteristik v populacích homogenních pro danou charakteristiku. V praxi mnohem častěji moderní statistiky používají průměrné hodnoty, které zobecňují jasně homogenní jevy.

Průměrný národní důchod na hlavu, průměrný výnos obilí v celé zemi, průměrná spotřeba různých potravinářských výrobků – to jsou charakteristiky státu jako jednotného ekonomického systému, jedná se o tzv. systémové průměry.

Systémové průměry mohou charakterizovat jak prostorové nebo objektové systémy, které existují současně (stát, průmysl, region, planeta Země atd.), tak dynamické systémy rozšířené v čase (rok, dekáda, roční období atd.).

Nejdůležitější vlastností průměrné hodnoty je, že odráží to, co je společné všem jednotkám zkoumané populace. Hodnoty atributů jednotlivých jednotek populace kolísají jedním nebo druhým směrem pod vlivem mnoha faktorů, mezi nimiž mohou být základní i náhodné. Například cena akcií korporace jako celku je určena její finanční pozicí. Zároveň v určité dny a na určitých burzách mohou být tyto akcie vzhledem k převažujícím okolnostem prodány za vyšší nebo nižší kurz. Podstata průměru spočívá v tom, že ruší odchylky charakteristických hodnot jednotlivých jednotek populace způsobené působením náhodných faktorů a zohledňuje změny způsobené působením hlavních faktorů. To umožňuje, aby průměr odrážel typickou úroveň vlastnosti a abstrahoval od individuálních charakteristik, které jsou jednotlivým jednotkám vlastní.

Výpočet průměru je jednou z nejběžnějších technik zobecnění; průměrný ukazatel odráží to, co je společné (typické) pro všechny jednotky studované populace, přičemž zároveň ignoruje rozdíly jednotlivých jednotek. V každém jevu a jeho vývoji se snoubí náhoda a nutnost.

Průměr je souhrnná charakteristika zákonitostí procesu v podmínkách, ve kterých se vyskytuje.

Každý průměr charakterizuje studovanou populaci podle jedné charakteristiky, ale pro charakterizaci jakékoli populace, popis jejích typických rysů a kvalitativních rysů je zapotřebí systém průměrných ukazatelů. Proto se v praxi domácí statistiky ke studiu socioekonomických jevů zpravidla vypočítává systém průměrných ukazatelů. Takže například ukazatel průměrné mzdy se posuzuje spolu s ukazateli průměrného výkonu, poměru kapitál-práce a poměru energie a práce, stupně mechanizace a automatizace práce atd.

Průměr by se měl vypočítat s ohledem na ekonomický obsah zkoumaného ukazatele. Pro konkrétní ukazatel používaný v socioekonomické analýze lze tedy na základě vědecké metody výpočtu vypočítat pouze jednu skutečnou hodnotu průměru.

Průměrná hodnota je jedním z nejdůležitějších zobecňujících statistických ukazatelů, charakterizujících soubor podobných jevů podle nějaké kvantitativně proměnlivé charakteristiky. Průměry ve statistice jsou obecné ukazatele, čísla vyjadřující typické charakteristické dimenze sociálních jevů podle jedné kvantitativně proměnlivé charakteristiky.

Typy průměrů

Typy průměrných hodnot se liší především v tom, jaká vlastnost, jaký parametr počáteční proměnlivé hmotnosti jednotlivých hodnot atributu musí zůstat nezměněn.

Aritmetický průměr

Aritmetický průměr je průměrná hodnota charakteristiky, při jejímž výpočtu zůstává celkový objem charakteristiky v agregátu nezměněn. Jinak můžeme říci, že aritmetický průměr je průměrný člen. Při jeho výpočtu je celkový objem atributu mentálně rozdělen rovnoměrně mezi všechny jednotky populace.

Aritmetický průměr se použije, pokud jsou známy hodnoty zprůměrované charakteristiky (x) a počet jednotek populace s určitou charakteristickou hodnotou (f).

Aritmetický průměr může být jednoduchý nebo vážený.

Jednoduchý aritmetický průměr

Simple se používá, pokud se každá hodnota atributu x vyskytuje jednou, tzn. pro každé x je hodnota atributu f=1, nebo pokud zdrojová data nejsou uspořádaná a není známo, kolik jednotek má určité hodnoty atributu.

Vzorec pro aritmetický průměr je jednoduchý:

Téma aritmetický průměr a geometrický průměr je zařazeno do programu matematika pro 6.–7. ročník. Vzhledem k tomu, že je odstavec celkem snadno srozumitelný, je rychle obsažený a do konce školního roku ho studenti zapomenou. Ke složení jednotné státní zkoušky a také k mezinárodním zkouškám SAT jsou však potřeba znalosti základních statistik. A pro každodenní život rozvinuté analytické myšlení nikdy neuškodí.

Jak vypočítat aritmetický průměr a geometrický průměr čísel

Řekněme, že existuje řada čísel: 11, 4 a 3. Aritmetický průměr je součet všech čísel dělený počtem daných čísel. To znamená, že v případě čísel 11, 4, 3 bude odpověď 6. Jak získáte 6?

Řešení: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

Jmenovatel musí obsahovat číslo rovné počtu čísel, jejichž průměr je třeba zjistit. Součet je dělitelný 3, protože existují tři členy.

Nyní musíme zjistit geometrický průměr. Řekněme, že existuje řada čísel: 4, 2 a 8.

Geometrický průměr čísel je součin všech daných čísel umístěných pod odmocninou s mocninou rovnou počtu daných čísel. To znamená, že v případě čísel 4, 2 a 8 bude odpověď 4. Zde je návod ukázalo se:

Řešení: ∛(4 × 2 × 8) = 4

V obou možnostech jsme dostali celé odpovědi, protože pro příklad byla použita speciální čísla. To se nestává vždy. Ve většině případů musí být odpověď zaokrouhlena nebo ponechána u kořene. Například pro čísla 11, 7 a 20 je aritmetický průměr ≈ 12,67 a geometrický průměr je ∛1540. A pro čísla 6 a 5 budou odpovědi 5,5 a √30.

Může se stát, že se aritmetický průměr rovná geometrickému průměru?

Samozřejmě, že může. Ale jen ve dvou případech. Pokud existuje řada čísel sestávající pouze z jedniček nebo nul. Je také pozoruhodné, že odpověď nezávisí na jejich počtu.

Důkaz jednotkami: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (aritmetický průměr).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (geometrický průměr).

Důkaz s nulami: (0 + 0) / 2=0 (aritmetický průměr).

√(0 × 0) = 0 (geometrický průměr).

Jiná možnost není a ani být nemůže.

Každý člověk v moderním světě, který si plánuje vzít půjčku nebo zásobit se zeleninou na zimu, se pravidelně setkává s pojmem „průměr“. Pojďme zjistit: co to je, jaké typy a třídy existují a proč se používá ve statistice a dalších disciplínách.

Průměrná hodnota - co to je?

Podobný název (SV) je zobecněná charakteristika souboru homogenních jevů, určovaných jednou kvantitativní proměnnou charakteristikou.

Avšak lidé, kteří mají k takto srozumitelným definicím daleko, chápou tento pojem jako průměrné množství něčeho. Pracovník banky například před čerpáním úvěru určitě požádá potenciálního klienta o poskytnutí údajů o průměrném příjmu za rok, tedy o celkové výši peněz, které člověk vydělá. Vypočítá se tak, že se sečtou výdělky za celý rok a vydělí se počtem měsíců. Banka tak bude moci určit, zda její klient bude schopen dluh splatit včas.

Proč se používá?

Průměrné hodnoty jsou zpravidla široce používány k souhrnnému popisu určitých společenských jevů masové povahy. Lze je také použít pro výpočty v menším měřítku, jako v případě půjčky ve výše uvedeném příkladu.

Nejčastěji se však průměrné hodnoty stále používají pro globální účely. Příkladem jednoho z nich je výpočet množství elektřiny spotřebované občany během jednoho kalendářního měsíce. Na základě získaných dat jsou následně stanoveny maximální standardy pro kategorie obyvatel požívajících dávek od státu.

Také pomocí průměrných hodnot je vypracována záruční životnost některých domácích spotřebičů, automobilů, budov atd. Na základě takto shromážděných dat byly kdysi vyvinuty moderní standardy práce a odpočinku.

Ve skutečnosti každý fenomén moderního života, který má masovou povahu, je tak či onak nutně spojen s uvažovaným konceptem.

Oblasti použití

Tento jev je široce používán téměř ve všech exaktních vědách, zejména v těch experimentálního.

Zjištění průměru má velký význam v medicíně, strojírenství, vaření, ekonomii, politice atd.

Na základě dat získaných z takových zobecnění vyvíjejí terapeutické léky, vzdělávací programy, stanovují minimální životní minimum a platy, sestavují vzdělávací plány, vyrábějí nábytek, oděvy a obuv, hygienické potřeby a mnoho dalšího.

V matematice se tento termín nazývá „průměrná hodnota“ a používá se k řešení různých příkladů a problémů. Nejjednodušší je sčítání a odčítání s obyčejnými zlomky. Koneckonců, jak víte, k řešení takových příkladů je nutné přivést oba zlomky ke společnému jmenovateli.

Také v královně exaktních věd se často používá termín „průměrná hodnota náhodné veličiny“, který má podobný význam. Pro většinu je známější jako „matematické očekávání“, častěji zvažované v teorii pravděpodobnosti. Stojí za zmínku, že podobný jev platí i při provádění statistických výpočtů.

Průměrná hodnota ve statistice

Nejčastěji se však zkoumaný koncept používá ve statistice. Jak známo, tato věda se sama specializuje na výpočet a analýzu kvantitativních charakteristik masových společenských jevů. Proto je průměrná hodnota ve statistice používána jako specializovaná metoda pro dosažení jejích hlavních cílů – sběru a analýzy informací.

Podstatou této statistické metody je nahradit jednotlivé jedinečné hodnoty uvažované charakteristiky určitou vyrovnanou průměrnou hodnotou.

Příkladem je známý vtip o jídle. Takže v jisté továrně v úterý k obědu její šéfové obvykle jedí kastrol s masem a obyčejní dělníci jedí dušené zelí. Na základě těchto údajů můžeme usoudit, že v průměru zaměstnanci závodu v úterý obědvají zelí.

Tento příklad je sice mírně nadsazený, ale ilustruje hlavní nevýhodu metody hledání průměrné hodnoty – nivelizaci individuálních vlastností předmětů či osobností.

V průměrných hodnotách se používají nejen k analýze shromážděných informací, ale také k plánování a predikci dalších akcí.

Slouží také k vyhodnocení dosažených výsledků (např. plnění plánu pěstování a sklizně pšenice na sezónu jaro-léto).

Jak správně počítat

Přestože v závislosti na typu SV existují různé vzorce pro jeho výpočet, v obecné teorii statistiky se zpravidla používá pouze jeden způsob výpočtu průměrné hodnoty charakteristiky. Chcete-li to provést, musíte nejprve sečíst hodnoty všech jevů a poté vydělit výsledný součet jejich počtem.

Při provádění takových výpočtů je vhodné pamatovat na to, že průměrná hodnota má vždy stejný rozměr (nebo jednotky) jako jednotlivá jednotka populace.

Podmínky pro správný výpočet

Výše diskutovaný vzorec je velmi jednoduchý a univerzální, takže je téměř nemožné s ním udělat chybu. Vždy se však vyplatí zvážit dva aspekty, jinak získaná data nebudou odrážet skutečný stav.

třídy SV

Po nalezení odpovědí na základní otázky: "Jaká je průměrná hodnota?", "Kde se používá?" a „Jak to můžete vypočítat?“, stojí za to zjistit, jaké třídy a typy SV existují.

V první řadě je tento fenomén rozdělen do 2 tříd. Jedná se o strukturální a výkonové průměry.

Typy výkonových SV

Každá z výše uvedených tříd je zase rozdělena do typů. Sedačka má čtyři.

Aritmetický průměr je nejběžnějším typem SV. Je to průměrný člen, který určuje, který celkový objem uvažované charakteristiky v souboru dat je rovnoměrně rozdělen mezi všechny jednotky tohoto souboru.
Tento typ se dělí na podtypy: jednoduchá a vážená aritmetika SV.
Harmonický průměr je indikátor, který je inverzí k jednoduchému aritmetickému průměru, vypočítanému z reciprokých hodnot uvažované charakteristiky.
Používá se v případech, kdy jsou známy jednotlivé hodnoty charakteristiky a produktu, ale nejsou známy údaje o frekvenci.
Geometrický průměr se nejčastěji používá při analýze temp růstu ekonomických jevů. Umožňuje zachovat nezměněný součin jednotlivých hodnot dané veličiny, nikoli součet.
Může být i jednoduchý a vyvážený.
Střední kvadratická hodnota se používá při výpočtu jednotlivých ukazatelů, jako je variační koeficient, charakterizující rytmus výstupu produktu atd.
Používá se také k výpočtu průměrných průměrů trubek, kol, průměrných stran čtverce a podobných čísel.
Stejně jako všechny ostatní typy průměrů může být střední kvadrát jednoduchý a vážený.

Typy strukturních veličin

Kromě průměrných SV se ve statistice často používají strukturální typy. Jsou vhodnější pro výpočet relativních charakteristik hodnot proměnné charakteristiky a vnitřní struktury distribučních řad.

Existují dva takové typy.

5.1. Koncept průměru

Průměrná hodnota – Jedná se o obecný ukazatel charakterizující typickou úroveň jevu. Vyjadřuje hodnotu charakteristiky na jednotku populace.

Průměr vždy zobecňuje kvantitativní variaci znaku, tzn. v průměrných hodnotách jsou eliminovány jednotlivé rozdíly mezi jednotkami v populaci vlivem náhodných okolností. Na rozdíl od průměru absolutní hodnota charakterizující úroveň charakteristiky jednotlivé jednotky populace neumožňuje porovnávat hodnoty charakteristiky mezi jednotkami patřícími k různým populacím. Pokud tedy potřebujete porovnat úrovně odměňování pracovníků ve dvou podnicích, nemůžete na tomto základě porovnat dva zaměstnance různých podniků. Odměňování pracovníků vybraných pro srovnání nemusí být pro tyto podniky typické. Porovnáme-li velikost mzdových prostředků u posuzovaných podniků, není zohledněn počet zaměstnanců, a proto nelze určit, kde je výše mezd vyšší. V konečném důsledku lze porovnávat pouze průměrné ukazatele, tzn. Kolik si průměrně vydělá jeden zaměstnanec v každém podniku? Vzniká tedy potřeba vypočítat průměrnou hodnotu jako zobecňující charakteristiku populace.

Výpočet průměru je jednou z běžných technik zobecnění; průměrný ukazatel popírá to, co je společné (typické) pro všechny studované jednotky populace, přičemž zároveň ignoruje rozdíly jednotlivých jednotek. V každém jevu a jeho vývoji se snoubí náhoda a nutnost. Při výpočtu průměrů se v důsledku působení zákona velkých čísel náhodnost ruší a vyrovnává, takže je možné abstrahovat od nedůležitých rysů jevu, od kvantitativních hodnot charakteristiky v každém konkrétním případě. . Schopnost abstrahovat od náhodnosti jednotlivých hodnot a fluktuací spočívá ve vědecké hodnotě průměrů jako zobecňujících charakteristik agregátů.

Aby byl průměr skutečně reprezentativní, je třeba jej vypočítat s přihlédnutím k určitým zásadám.

Zastavme se u některých obecných zásad pro použití průměrů.
1. Průměr musí být stanoven pro populace sestávající z kvalitativně homogenních jednotek.
2. Průměr se musí vypočítat pro populaci skládající se z dostatečně velkého počtu jednotek.
3. Průměr se musí vypočítat pro populaci, jejíž jednotky jsou v normálním přirozeném stavu.
4. Průměr by se měl vypočítat s ohledem na ekonomický obsah zkoumaného ukazatele.

5.2. Typy průměrů a metody jejich výpočtu

Podívejme se nyní na typy průměrných hodnot, vlastnosti jejich výpočtu a oblasti použití. Průměrné hodnoty jsou rozděleny do dvou velkých tříd: výkonové průměry, strukturální průměry.

NA průměr výkonu Patří mezi ně nejznámější a nejčastěji používané typy, jako je geometrický průměr, aritmetický průměr a kvadratický průměr.

Jak strukturální průměry zohledňuje se režim a medián.

Zaměřme se na výkonové průměry. Výkonové průměry, v závislosti na prezentaci zdrojových dat, mohou být jednoduché nebo vážené. Jednoduchý průměr Vypočítává se na základě neseskupených dat a má následující obecný tvar:

kde Xi je varianta (hodnota) zprůměrované charakteristiky;

n – možnost čísla.

Vážený průměr se vypočítává na základě seskupených dat a má obecný vzhled

kde X i je varianta (hodnota) zprůměrované charakteristiky nebo střední hodnota intervalu, ve kterém je varianta měřena;
m – index průměrného stupně;
f i – frekvence udávající, kolikrát se vyskytuje hodnota i-e zprůměrované charakteristiky.

Uveďme jako příklad výpočet průměrného věku studentů ve skupině 20 lidí:

Průměrný věk vypočítáme pomocí jednoduchého vzorce:

Seskupíme zdrojová data. Získáme následující distribuční řady:

V důsledku seskupení získáme nový ukazatel – četnost, udávající počet studentů ve věku X let. Proto se průměrný věk studentů ve skupině vypočítá pomocí vzorce váženého průměru:

Obecné vzorce pro výpočet výkonových průměrů mají exponent (m). V závislosti na hodnotě, kterou nabývá, se rozlišují následující typy průměrů výkonu:
harmonický průměr, jestliže m = -1;
geometrický průměr, jestliže m –> 0;
aritmetický průměr, pokud m = 1;
střední čtverec, pokud m = 2;
průměrná krychlová, pokud m = 3.

Vzorce pro výkonové průměry jsou uvedeny v tabulce. 4.4.

Pokud vypočítáte všechny typy průměrů pro stejná počáteční data, jejich hodnoty se budou lišit. Platí zde pravidlo většiny průměrů: s rostoucím exponentem m se zvyšuje i odpovídající průměrná hodnota:

Ve statistické praxi se aritmetické průměry a harmonické vážené průměry používají častěji než jiné typy vážených průměrů.

Tabulka 5.1

Druhy silových prostředků

Druh moci průměrný	Indikátor stupeň (m)	Výpočtový vzorec
Druh moci průměrný	Indikátor stupeň (m)	Jednoduchý	Vážené
Harmonický	-1
Geometrický	0
Aritmetický	1
Kvadratický	2
Krychlový	3

Harmonický průměr má složitější strukturu než aritmetický průměr. Harmonický průměr se používá pro výpočty, kdy se jako váhy nepoužívají jednotky populace - nositelé charakteristiky, ale součin těchto jednotek hodnotami charakteristiky (tj. m = Xf). Průměrná harmonická jednoduchá by se měla uchýlit v případech, kdy se určují například průměrné náklady na práci, čas, materiály na jednotku výroby, na jednu část pro dva (tři, čtyři atd.) podniky, dělníky zabývající se výrobou stejného typu výrobku, stejného dílu, výrobku.

Hlavním požadavkem na vzorec pro výpočet průměrné hodnoty je, aby všechny fáze výpočtu měly reálné smysluplné opodstatnění; výsledná průměrná hodnota by měla nahradit jednotlivé hodnoty atributu pro každý objekt, aniž by byla narušena vazba mezi jednotlivými a souhrnnými ukazateli. Jinými slovy, průměrná hodnota se musí vypočítat tak, že při nahrazení každé jednotlivé hodnoty zprůměrovaného ukazatele její průměrnou hodnotou zůstane nějaký výsledný souhrnný ukazatel, tak či onak spojený s průměrnou hodnotou, nezměněn. Tento součet se nazývá definující protože povaha jeho vztahu s jednotlivými hodnotami určuje konkrétní vzorec pro výpočet průměrné hodnoty. Demonstrujme toto pravidlo na příkladu geometrického průměru.

Vzorec geometrického průměru

používá se nejčastěji při výpočtu průměrné hodnoty na základě individuální relativní dynamiky.

Geometrický průměr se použije, je-li uvedena posloupnost řetězové relativní dynamiky, udávající např. nárůst výroby oproti úrovni předchozího roku: i 1, i 2, i 3,..., i n. Je zřejmé, že objem výroby v posledním roce je určen její počáteční úrovní (q 0) a následným nárůstem v průběhu let:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

Vezmeme-li q n jako určující ukazatel a nahradíme jednotlivé hodnoty ukazatelů dynamiky průměrnými, dospějeme ke vztahu

Odtud

5.3. Strukturální průměry

Speciální typ průměrných hodnot - strukturální průměry - se používá ke studiu vnitřní struktury distribuční řady hodnot atributů a také k odhadu průměrné hodnoty (typu mocniny), pokud je podle dostupných statistických údajů její kalkulaci nelze provést (např. pokud v uvažovaném příkladu nebyly údaje jak o objemu výroby, tak o výši nákladů podle skupiny podniků).

Indikátory se nejčastěji používají jako strukturální průměry móda - nejčastěji se opakující hodnota atributu – a mediány – hodnota charakteristiky, která rozděluje uspořádanou sekvenci svých hodnot na dvě stejné části. Výsledkem je, že pro jednu polovinu jednotek v populaci hodnota atributu nepřesahuje střední úroveň a pro druhou polovinu není nižší než ona.

Pokud má studovaná charakteristika diskrétní hodnoty, pak při výpočtu modu a mediánu nejsou žádné zvláštní potíže. Pokud jsou data o hodnotách atributu X prezentována ve formě uspořádaných intervalů jeho změny (intervalové řady), výpočet modu a mediánu se poněkud zkomplikuje.

Protože hodnota mediánu rozděluje celou populaci na dvě stejné části, skončí v jednom z intervalů charakteristiky X. Pomocí interpolace se hodnota mediánu najde v tomto intervalu mediánu:
kde X Me je spodní mez středního intervalu;
h Já – jeho hodnota;
(Součet m)/2 – polovina z celkového počtu pozorování nebo polovina objemu ukazatele, který se používá jako váha ve vzorcích pro výpočet průměrné hodnoty (absolutně nebo relativní);
S Me-1 – součet pozorování (nebo objem váženého atributu) nashromážděný před začátkem mediánového intervalu;

m Me – počet pozorování nebo objem váhové charakteristiky ve středním intervalu (také v absolutním nebo relativním vyjádření).

V našem příkladu lze získat dokonce tři střední hodnoty - na základě počtu podniků, objemu výroby a celkových výrobních nákladů:

V polovině podniků tedy náklady na jednotku výroby přesahují 125,19 tisíc rublů, polovina celkového objemu produktů se vyrábí s náklady na produkt vyšší než 124,79 tisíc rublů. a 50 % celkových nákladů se tvoří, když náklady na jeden produkt jsou vyšší než 125,07 tisíc rublů. Všimněte si také, že existuje určitá tendence ke zvýšení nákladů, protože Me 2 = 124,79 tisíc rublů a průměrná úroveň je 123,15 tisíc rublů.

Při výpočtu modální hodnoty charakteristiky na základě dat intervalové řady je třeba věnovat pozornost skutečnosti, že intervaly jsou totožné, protože na tom závisí indikátor opakovatelnosti hodnot charakteristiky X intervalová řada se stejnými intervaly, velikost modu je určena jako
kde X Mo je nižší hodnota modálního intervalu;
m Po -1 – stejné pro interval předcházející modálnímu;
m Po+1 – totéž pro interval následující po modálním;
h – hodnota intervalu změny charakteristiky ve skupinách.

Pro náš příklad můžeme vypočítat tři modální hodnoty založené na charakteristikách počtu podniků, objemu produktů a výše nákladů. Ve všech třech případech je modální interval stejný, protože ve stejném intervalu je největší počet podniků, objem výroby a celková výše výrobních nákladů:

Nejčastěji tedy existují podniky s úrovní nákladů 126,75 tisíc rublů, nejčastěji se produkty vyrábějí s úrovní nákladů 126,69 tisíc rublů a nejčastěji se výrobní náklady vysvětlují úrovní nákladů 123,73 tisíc rublů.

5.4. Variační indikátory

Konkrétní podmínky, ve kterých se každý ze studovaných objektů nachází, i rysy jeho vlastního vývoje (sociálního, ekonomického atd.) jsou vyjádřeny odpovídajícími číselnými úrovněmi statistických ukazatelů. Tedy, variace, těch. nesoulad mezi úrovněmi stejného ukazatele v různých objektech je objektivní povahy a pomáhá pochopit podstatu studovaného jevu.

Existuje několik metod používaných k měření odchylek ve statistikách.

Nejjednodušší je vypočítat ukazatel rozsah variací H jako rozdíl mezi maximální (X max) a minimální (X min) pozorovanou hodnotou charakteristiky:

H=X max - X min.

Rozsah variací však ukazuje pouze extrémní hodnoty vlastnosti. Opakovatelnost středních hodnot se zde nebere v úvahu.

Přísnější charakteristiky jsou indikátory variability vzhledem k průměrné úrovni atributu. Nejjednodušší indikátor tohoto typu je průměrná lineární odchylka L jako aritmetický průměr absolutních odchylek charakteristiky od její průměrné úrovně:

Pokud jsou jednotlivé hodnoty X opakovatelné, použijte vzorec váženého aritmetického průměru:

(Připomeňme, že algebraický součet odchylek od průměrné úrovně je nulový.)

Ukazatel průměrné lineární odchylky našel v praxi široké uplatnění. S jeho pomocí se analyzuje například složení pracovníků, rytmus výroby, rovnoměrnost dodávek materiálů, rozvíjejí se systémy materiálních pobídek. Tento ukazatel však bohužel komplikuje pravděpodobnostní výpočty a komplikuje použití metod matematické statistiky. Proto se ve statistickém výzkumu nejčastěji používá k měření variace ukazatel

Rozptyl charakteristiky (s 2) je určen na základě kvadratického mocninného průměru:

Zavolá se indikátor s rovný směrodatná odchylka.

V obecné teorii statistiky je rozptylový indikátor odhadem stejnojmenného indikátoru teorie pravděpodobnosti a (jako součet čtverců odchylek) odhadem rozptylu v matematické statistice, což umožňuje využít ustanovení těchto teoretické disciplíny pro analýzu socioekonomických procesů.

Je-li variace odhadnuta z malého počtu pozorování z neomezené populace, pak je průměrná hodnota charakteristiky určena s určitou chybou. Vypočtená hodnota rozptylu se ukazuje jako posunutá směrem k poklesu. Pro získání nezkresleného odhadu je třeba výběrový rozptyl získaný pomocí výše uvedených vzorců vynásobit hodnotou n / (n - 1). Výsledkem je, že s malým počtem pozorování (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Obvykle již pro n > (15÷20) se rozpor mezi zkreslenými a nezkreslenými odhady stává nevýznamným. Ze stejného důvodu se ve vzorci pro sčítání rozptylů obvykle nebere v úvahu vychýlení.

Pokud se odebere více vzorků z obecné populace a pokaždé se určí průměrná hodnota znaku, pak nastává problém s posouzením variability průměrů. Odhad rozptylu průměrná hodnota je možné na základě pouze jednoho pozorování vzorku pomocí vzorce

kde n je velikost vzorku; s 2 – rozptyl charakteristiky vypočítaný z dat vzorku.

Velikost se nazývá průměrná výběrová chyba a je charakteristikou odchylky průměrné hodnoty vzorku atributu X od jeho skutečné průměrné hodnoty. Ukazatel průměrné chyby se používá k posouzení spolehlivosti výsledků pozorování vzorku.

Indikátory relativního rozptylu. Pro charakterizaci míry variability studované charakteristiky jsou ukazatele variability vypočítány v relativních hodnotách. Umožňují porovnávat charakter rozptylu v různých distribucích (různé jednotky pozorování stejné charakteristiky ve dvou populacích, s různými průměrnými hodnotami, při srovnání populací různých jmen). Výpočet ukazatelů míry relativního rozptylu se provádí jako poměr ukazatele absolutního rozptylu k aritmetickému průměru, vynásobený 100 %.

1. Oscilační koeficient odráží relativní kolísání extrémních hodnot charakteristiky kolem průměru

2. Relativní lineární vypnutí charakterizuje podíl průměrné hodnoty znaménka absolutních odchylek od průměrné hodnoty

3. Variační koeficient:

je nejběžnější mírou variability používanou k posouzení typičnosti průměrných hodnot.

Ve statistice jsou populace s variačním koeficientem větším než 30–35 % považovány za heterogenní.

Tento způsob hodnocení variace má také významnou nevýhodu. Nechť totiž například původní populace pracovníků s průměrnou praxí 15 let se směrodatnou odchylkou s = 10 let „zestárne“ o dalších 15 let. Nyní = 30 let a směrodatná odchylka je stále 10. Dříve heterogenní populace (10/15 × 100 = 66,7 %), což se v průběhu času ukázalo jako zcela homogenní (10/30 × 100 = 33,3 %).

Boyarsky A.Ya. Teoretické studie ve statistice: So. Vědecký Trudov – M.: Statistika, 1974. s. 19–57.

Předchozí