Kolem kterého lichoběžníku lze popsat kruh? Zajímavé vlastnosti lichoběžníku

V tomto článku se pokusíme co nejúplněji odrážet vlastnosti lichoběžníku. Zejména budeme hovořit o obecných charakteristikách a vlastnostech lichoběžníku a také o vlastnostech vepsaného lichoběžníku a kružnice vepsané do lichoběžníku. Dotkneme se také vlastností rovnoramenného a obdélníkového lichoběžníku.

Příklad řešení problému pomocí probíraných vlastností vám pomůže roztřídit si jej do míst v hlavě a lépe si materiál zapamatovat.

Hrazda a všichni-všechny

Pro začátek si stručně připomeňme, co je lichoběžník a jaké další pojmy jsou s ním spojeny.

Lichoběžník je tedy čtyřúhelníkový obrazec, jehož dvě strany jsou vzájemně rovnoběžné (toto jsou základny). A ty dvě nejsou rovnoběžné - to jsou strany.

V lichoběžníku lze výšku snížit - kolmo na základny. Nakreslí se středová čára a úhlopříčky. Je také možné nakreslit osičku z libovolného úhlu lichoběžníku.

Nyní budeme hovořit o různých vlastnostech spojených se všemi těmito prvky a jejich kombinacemi.

Vlastnosti lichoběžníkových úhlopříček

Aby to bylo jasnější, při čtení si načrtněte lichoběžník ACME na kus papíru a nakreslete do něj úhlopříčky.

Pokud najdete středy každé z úhlopříček (říkejme těmto bodům X a T) a spojíte je, získáte segment. Jednou z vlastností úhlopříček lichoběžníku je, že segment HT leží na střední čáře. A jeho délku lze získat vydělením rozdílu základen dvěma: ХТ = (a – b)/2.
Před námi je stejný lichoběžník ACME. Úhlopříčky se protínají v bodě O. Podívejme se na trojúhelníky AOE a MOK, tvořené segmenty úhlopříček spolu se základnami lichoběžníku. Tyto trojúhelníky jsou podobné. Koeficient podobnosti k trojúhelníků je vyjádřen poměrem základen lichoběžníku: k = AE/KM.
Poměr ploch trojúhelníků AOE a MOK popisuje koeficient k 2 .
Stejný lichoběžník, stejné úhlopříčky protínající se v bodě O. Pouze tentokrát budeme uvažovat trojúhelníky, které segmenty úhlopříček tvořily spolu se stranami lichoběžníku. Plochy trojúhelníků AKO a EMO jsou stejně velké - jejich plochy jsou stejné.
Další vlastností lichoběžníku je konstrukce úhlopříček. Pokud tedy budete pokračovat po stranách AK a ME ve směru k menší základně, tak se dříve nebo později v určitém bodě protnou. Dále nakreslete přímku středem základen lichoběžníku. Protíná základny v bodech X a T.
Pokud nyní prodloužíme úsečku XT, spojí dohromady průsečík úhlopříček lichoběžníku O, bod, ve kterém se protínají prodloužení stran a středu základen X a T.
Přes průsečík úhlopříček nakreslíme úsečku, která bude spojovat základny lichoběžníku (T leží na menší základně KM, X na větší AE). Průsečík úhlopříček rozděluje tento segment v následujícím poměru: TO/OX = KM/AE.
Nyní přes průsečík úhlopříček nakreslíme segment rovnoběžný se základnami lichoběžníku (a a b). Průsečík jej rozdělí na dvě stejné části. Délku segmentu zjistíte pomocí vzorce 2ab/(a + b).

Vlastnosti středové čáry lichoběžníku

Nakreslete střední čáru v lichoběžníku rovnoběžně s jeho základnami.

Délku střední čáry lichoběžníku lze vypočítat sečtením délek základen a jejich rozdělením na polovinu: m = (a + b)/2.
Pokud nakreslíte libovolný segment (například výšku) přes obě základny lichoběžníku, prostřední čára jej rozdělí na dvě stejné části.

Vlastnost lichoběžníkové osy

Vyberte libovolný roh lichoběžníku a nakreslete osičku. Vezměme si například úhel KAE našeho lichoběžníku ACME. Po dokončení stavby sami si snadno ověříte, že osa odřízne od základny (nebo jejího pokračování na přímce mimo samotnou postavu) segment o stejné délce jako strana.

Vlastnosti lichoběžníkových úhlů

Ať už zvolíte kterýkoli ze dvou párů úhlů sousedících se stranou, součet úhlů v páru je vždy 180 0: α + β = 180 0 a γ + δ = 180 0.
Spojme středy základen lichoběžníku se segmentem TX. Nyní se podívejme na úhly na základnách lichoběžníku. Pokud je součet úhlů pro kterýkoli z nich 90 0, lze délku segmentu TX snadno vypočítat na základě rozdílu délek základen, rozděleného na polovinu: TX = (AE – KM)/2.
Pokud jsou rovnoběžné čáry nakresleny stranami lichoběžníkového úhlu, rozdělí strany úhlu na proporcionální segmenty.

Vlastnosti rovnoramenného (rovnostranného) lichoběžníku

V rovnoramenném lichoběžníku jsou úhly na jakékoli základně stejné.
Nyní znovu postavte lichoběžník, abyste si snadněji představili, o čem mluvíme. Podívejte se pozorně na základnu AE - vrchol protilehlé základny M se promítá do určitého bodu na přímce, která obsahuje AE. Vzdálenost od vrcholu A k bodu průmětu vrcholu M a střední čára rovnoramenného lichoběžníku jsou stejné.
Pár slov o vlastnosti úhlopříček rovnoramenného lichoběžníku - jejich délky jsou stejné. A také úhly sklonu těchto úhlopříček k základně lichoběžníku jsou stejné.
Kružnici lze popsat pouze kolem rovnoramenného lichoběžníku, protože součet protilehlých úhlů čtyřúhelníku je 180 0 - předpoklad k tomu.
Vlastnost rovnoramenného lichoběžníku vyplývá z předchozího odstavce - lze-li v blízkosti lichoběžníku popsat kružnici, je rovnoramenná.
Z rysů rovnoramenného lichoběžníku vyplývá vlastnost výšky lichoběžníku: pokud se jeho úhlopříčky protínají v pravém úhlu, pak se délka výšky rovná polovině součtu základen: h = (a + b)/2.
Opět nakreslete segment TX přes středy základen lichoběžníku - v rovnoramenném lichoběžníku je kolmý k základnám. A zároveň je TX osou symetrie rovnoramenného lichoběžníku.
Tentokrát snižte výšku z opačného vrcholu lichoběžníku na větší základnu (říkejme tomu a). Získáte dva segmenty. Délku jedné lze zjistit, pokud se délky základen sečtou a rozdělí na polovinu: (a + b)/2. Druhý dostaneme, když od většího základu odečteme menší a výsledný rozdíl vydělíme dvěma: (a – b)/2.

Vlastnosti lichoběžníku vepsaného do kruhu

Protože již mluvíme o lichoběžníku vepsaném do kruhu, zastavme se u této problematiky podrobněji. Zejména tam, kde je střed kruhu ve vztahu k lichoběžníku. I zde se doporučuje, abyste si udělali čas a vzali do ruky tužku a nakreslili to, o čem bude řeč níže. Rychleji tak pochopíte a lépe si zapamatujete.

Umístění středu kruhu je určeno úhlem sklonu úhlopříčky lichoběžníku k jeho straně. Například úhlopříčka může sahat od vrcholu lichoběžníku v pravém úhlu ke straně. V tomto případě větší základna protíná střed opsané kružnice přesně uprostřed (R = ½AE).
Úhlopříčka a strana se také mohou setkat pod ostrým úhlem - pak je střed kruhu uvnitř lichoběžníku.
Střed opsané kružnice může být mimo lichoběžník, za jeho větší základnou, pokud je mezi úhlopříčkou lichoběžníku a stranou tupý úhel.
Úhel tvořený úhlopříčkou a velkou základnou lichoběžníku ACME (vepsaný úhel) je polovina středového úhlu, který mu odpovídá: MAE = ½ MOE.
Stručně o dvou způsobech, jak zjistit poloměr kružnice opsané. Metoda jedna: pozorně se podívejte na svůj výkres – co vidíte? Snadno si všimnete, že úhlopříčka rozděluje lichoběžník na dva trojúhelníky. Poloměr lze nalézt poměrem strany trojúhelníku k sinu opačného úhlu, vynásobeným dvěma. Například, R = AE/2*sinAME. Vzorec lze napsat podobným způsobem pro kteroukoli ze stran obou trojúhelníků.
Metoda druhá: najděte poloměr opsané kružnice přes oblast trojúhelníku tvořeného úhlopříčkou, stranou a základnou lichoběžníku: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Vlastnosti lichoběžníku opsaného kolem kruhu

Pokud je splněna jedna podmínka, můžete umístit kruh do lichoběžníku. Přečtěte si o tom více níže. A dohromady má tato kombinace figurek řadu zajímavých vlastností.

Je-li kružnice vepsána do lichoběžníku, délku její středové čáry lze snadno zjistit sečtením délek stran a dělením výsledného součtu na polovinu: m = (c + d)/2.
Pro lichoběžník ACME, popsaný kolem kruhu, se součet délek základen rovná součtu délek stran: AK + ME = KM + AE.
Z této vlastnosti základen lichoběžníku vyplývá obrácené tvrzení: do lichoběžníku, jehož součet základen je roven součtu jeho stran, lze vepsat kružnici.
Tečný bod kružnice s poloměrem r vepsaným do lichoběžníku rozděluje stranu na dva segmenty, říkejme jim a a b. Poloměr kruhu lze vypočítat pomocí vzorce: r = √ab.
A ještě jedna nemovitost. Abyste předešli zmatkům, nakreslete si tento příklad také sami. Máme starý dobrý lichoběžník ACME, popsaný kolem kruhu. Obsahuje úhlopříčky, které se protínají v bodě O. Trojúhelníky AOK a EOM tvořené segmenty úhlopříček a bočními stranami jsou obdélníkové.
Výšky těchto trojúhelníků, snížených na přepony (tj. boční strany lichoběžníku), se shodují s poloměry vepsané kružnice. A výška lichoběžníku se shoduje s průměrem vepsané kružnice.

Vlastnosti pravoúhlého lichoběžníku

Lichoběžník se nazývá obdélníkový, pokud je jeden z jeho úhlů pravý. A z této okolnosti pramení jeho vlastnosti.

Obdélníkový lichoběžník má jednu ze svých stran kolmou ke své základně.
Výška a strana lichoběžníku sousedícího s pravým úhlem jsou stejné. To vám umožní vypočítat plochu pravoúhlého lichoběžníku (obecný vzorec S = (a + b) * h/2) nejen na výšku, ale i na stranu přiléhající k pravému úhlu.
Pro pravoúhlý lichoběžník jsou důležité obecné vlastnosti úhlopříček lichoběžníku již popsané výše.

Doklady některých vlastností lichoběžníku

Rovnost úhlů na základně rovnoramenného lichoběžníku:

Pravděpodobně jste již uhodli, že zde budeme opět potřebovat lichoběžník AKME - nakreslete rovnoramenný lichoběžník. Nakreslete přímku MT z vrcholu M, rovnoběžnou se stranou AK (MT || AK).

Výsledný čtyřúhelník AKMT je rovnoběžník (AK || MT, KM || AT). Protože ME = KA = MT, ∆ MTE je rovnoramenné a MET = MTE.

AK || MT, tedy MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Kde je AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Nyní na základě vlastnosti rovnoramenného lichoběžníku (rovnost úhlopříček) to dokážeme lichoběžník ACME je rovnoramenný:

Nejprve nakreslíme přímku MX – MX || KE. Získáme rovnoběžník KMHE (základ – MX || KE a KM || EX).

∆AMX je rovnoramenný, protože AM = KE = MX a MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, tedy MAE = MXE.

Ukázalo se, že trojúhelníky AKE a EMA jsou si navzájem rovny, protože AM = KE a AE jsou společnou stranou těchto dvou trojúhelníků. A také MAE = MXE. Můžeme usoudit, že AK = ME a z toho vyplývá, že lichoběžník AKME je rovnoramenný.

Zkontrolovat úkol

Základny lichoběžníku ACME jsou 9 cm a 21 cm, boční strana KA, rovna 8 cm, svírá s menší základnou úhel 150°. Musíte najít oblast lichoběžníku.

Řešení: Z vrcholu K snížíme výšku k větší základně lichoběžníku. A začněme se dívat na úhly lichoběžníku.

Úhly AEM a KAN jsou jednostranné. To znamená, že celkem dávají 180 0. Proto KAN = 30 0 (na základě vlastnosti lichoběžníkových úhlů).

Podívejme se nyní na obdélníkový ∆ANC (věřím, že tento bod je čtenářům zřejmý bez dalších důkazů). Z ní zjistíme výšku lichoběžníku KH - v trojúhelníku je to noha, která leží proti úhlu 30 0. Proto KH = ½AB = 4 cm.

Plochu lichoběžníku zjistíme pomocí vzorce: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Doslov

Pokud jste pečlivě a promyšleně prostudovali tento článek, nebyli líní nakreslit tužkou v ruce lichoběžníky pro všechny dané vlastnosti a v praxi je rozebrat, měli jste materiál dobře ovládat.

Informací je zde samozřejmě mnoho, rozmanitých a někdy i matoucích: zaměnit vlastnosti popisovaného lichoběžníku s vlastnostmi vepsaného není tak těžké. Sami jste ale viděli, že rozdíl je obrovský.

Nyní máte podrobný přehled všech obecných vlastností lichoběžníku. Stejně jako specifické vlastnosti a charakteristiky rovnoramenných a pravoúhlých lichoběžníků. Je velmi výhodné použít k přípravě na testy a zkoušky. Zkuste to sami a sdílejte odkaz se svými přáteli!

blog.site, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.

\[(\Velký(\text(Volný lichoběžník)))\]

Definice

Lichoběžník je konvexní čtyřúhelník, ve kterém jsou dvě strany rovnoběžné a další dvě strany nejsou rovnoběžné.

Rovnoběžné strany lichoběžníku se nazývají jeho základny a další dvě strany se nazývají jeho boční strany.

Výška lichoběžníku je kolmice vedená z libovolného bodu jedné základny k jiné základně.

Věty: vlastnosti lichoběžníku

1) Součet úhlů na straně je \(180^\circ\) .

2) Úhlopříčky rozdělují lichoběžník na čtyři trojúhelníky, z nichž dva jsou podobné a další dva jsou stejně velké.

Důkaz

1) Protože \(AD\paralelní BC\), pak úhly \(\úhel BAD\) a \(\úhel ABC\) jsou pro tyto úsečky jednostranné a příčný \(AB\), proto, \(\úhel BAD +\úhel ABC=180^\circ\).

2) Protože \(AD\paralelní BC\) a \(BD\) jsou sečna, potom \(\úhel DBC=\úhel BDA\) leží napříč.
Také \(\úhel BOC=\úhel AOD\) jako vertikální.
Proto ve dvou úhlech \(\triangle BOC \sim \triangle AOD\).

Pojďme to dokázat \(S_(\trojúhelník AOB)=S_(\trojúhelník COD)\). Nechť \(h\) je výška lichoběžníku. Pak \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\triangle ACD)\). Pak: \

Definice

Středová čára lichoběžníku je segment spojující středy stran.

Teorém

Středová čára lichoběžníku je rovnoběžná se základnami a rovná se jejich polovičnímu součtu.

Důkaz*

1) Dokažme paralelismus.

Nakreslete bodem \(M\) přímku \(MN"\paralelní AD\) (\(N"\v CD\) ). Pak podle Thalesovy věty (od \(MN"\paralelní AD\paralelní BC, AM=MB\)) bod \(N"\) je středem segmentu \(CD\). To znamená, že body \(N\) a \(N"\) budou shodné.

2) Dokažme vzorec.

Udělejme \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Nechat \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Potom podle Thalesovy věty jsou \(M"\) a \(N"\) středy segmentů \(BB"\) a \(CC"\). To znamená, že \(MM"\) je střední čára \(\triangle ABB"\) , \(NN"\) je střední čára \(\triangle DCC"\) . Proto: \

Protože \(MN\paralelní AD\paralelní BC\) a \(BB", CC"\perp AD\), potom \(B"M"N"C"\) a \(BM"N"C\) jsou obdélníky. Podle Thalesovy věty z \(MN\paralelní AD\) a \(AM=MB\) vyplývá, že \(B"M"=M"B\) . Proto \(B"M"N"C "\) a \(BM"N"C\) jsou stejné obdélníky, proto \(M"N"=B"C"=BC\) .

Tedy:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Věta: vlastnost libovolného lichoběžníku

Středy základen, průsečík úhlopříček lichoběžníku a průsečík prodloužení bočních stran leží na stejné přímce.

Důkaz*
Po prostudování tématu „Podobnost trojúhelníků“ se doporučuje seznámit se s důkazem.

1) Dokažme, že body \(P\) , \(N\) a \(M\) leží na stejné přímce.

Nakreslíme přímku \(PN\) (\(P\) je průsečík prodloužení bočních stran, \(N\) je střed \(BC\)). Nechť protíná stranu \(AD\) v bodě \(M\) . Dokažme, že \(M\) je střed \(AD\) .

Zvažte \(\triangle BPN\) a \(\triangle APM\) . Jsou si podobné ve dvou úhlech (\(\úhel APM\) – obecný, \(\úhel PAM=\úhel PBN\) odpovídající v \(AD\paralelní BC\) a \(AB\) sečna). Prostředek: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Zvažte \(\triangle CPN\) a \(\triangle DPM\) . Jsou podobné ve dvou úhlech (\(\úhel DPM\) – obecný, \(\úhel PDM=\úhel PCN\) odpovídající v \(AD\paralelní BC\) a \(CD\) sečna). Prostředek: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Odtud \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Ale \(BN=NC\) proto \(AM=DM\) .

2) Dokažme, že body \(N, O, M\) leží na téže přímce.

Nechť \(N\) je střed \(BC\) a \(O\) je průsečík úhlopříček. Nakreslíme přímku \(NE\) , bude protínat stranu \(AD\) v bodě \(M\) . Dokažme, že \(M\) je střed \(AD\) .

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) podél dvou úhlů (\(\úhel OBN=\úhel ODM\) ležící napříč v \(BC\paralelní AD\) a \(BD\) sečna; \(\úhel BON=\úhel DOM\) jako svislý). Prostředek: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Rovněž \(\triangle CON\sim \trojuhelník AOM\). Prostředek: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Odtud \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Ale \(BN=CN\) proto \(AM=MD\) .

\[(\Velký(\text(Rovnostranný lichoběžník)))\]

Definice

Lichoběžník se nazývá obdélníkový, pokud je jeden z jeho úhlů pravý.

Lichoběžník se nazývá rovnoramenný, pokud jsou jeho strany stejné.

Věty: vlastnosti rovnoramenného lichoběžníku

1) Rovnoramenný lichoběžník má stejné základní úhly.

2) Úhlopříčky rovnoramenného lichoběžníku jsou stejné.

3) Dva trojúhelníky tvořené úhlopříčkami a podstavou jsou rovnoramenné.

Důkaz

1) Uvažujme rovnoramenný lichoběžník \(ABCD\) .

Z vrcholů \(B\) a \(C\) pustíme kolmice \(BM\) a \(CN\) na stranu \(AD\). Protože \(BM\perp AD\) a \(CN\perp AD\) , pak \(BM\paralelní CN\) ; \(AD\paralelní BC\) , pak \(MBCN\) je rovnoběžník, proto \(BM = CN\) .

Uvažujme pravoúhlé trojúhelníky \(ABM\) a \(CDN\) . Protože jejich přepony jsou stejné a noha \(BM\) se rovná noze \(CN\), pak jsou tyto trojúhelníky stejné, tedy \(\úhel DAB = \úhel CDA\) .

Protože \(AB=CD, \úhel A=\úhel D, AD\)– obecný, pak podle prvního znaku. Proto \(AC=BD\) .

3) Protože \(\trojúhelník ABD=\trojúhelník ACD\), pak \(\úhel BDA=\úhel CAD\) . Proto je trojúhelník \(\triangle AOD\) rovnoramenný. Podobně je dokázáno, že \(\trojúhelník BOC\) je rovnoramenný.

Věty: znaky rovnoramenného lichoběžníku

1) Pokud má lichoběžník stejné základní úhly, pak je rovnoramenný.

2) Pokud má lichoběžník stejné úhlopříčky, pak je rovnoramenný.

Důkaz

Uvažujme lichoběžník \(ABCD\) takový, že \(\úhel A = \úhel D\) .

Doplňme lichoběžník na trojúhelník \(AED\), jak je znázorněno na obrázku. Protože \(\úhel 1 = \úhel 2\) , pak je trojúhelník \(AED\) rovnoramenný a \(AE = ED\) . Úhly \(1\) a \(3\) jsou stejné jako odpovídající úhly pro rovnoběžné úsečky \(AD\) a \(BC\) a příčné \(AB\). Podobně jsou úhly \(2\) a \(4\) stejné, ale \(\úhel 1 = \úhel 2\), pak \(\úhel 3 = \úhel 1 = \úhel 2 = \úhel 4\), proto je trojúhelník \(BEC\) také rovnoramenný a \(BE = EC\) .

Nakonec \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), tedy \(AB = CD\), což je to, co bylo potřeba dokázat.

2) Nechť \(AC=BD\) . Protože \(\triangle AOD\sim \trojuhelník BOC\), pak jejich koeficient podobnosti označíme jako \(k\) . Pak pokud \(BO=x\) , pak \(OD=kx\) . Podobně jako \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Protože \(AC=BD\) , poté \(x+kx=y+ky \Šipka doprava x=y\) . To znamená, že \(\trojúhelník AOD\) je rovnoramenný a \(\úhel OAD=\úhel ODA\) .

Tedy podle prvního znamení \(\trojúhelník ABD=\trojúhelník ACD\) (\(AC=BD, \úhel OAD=\úhel ODA, AD\)– obecné). Takže, \(AB=CD\) , proč.

Lichoběžník je geometrický útvar se čtyřmi úhly. Při konstrukci lichoběžníku je důležité vzít v úvahu, že dvě protilehlé strany jsou rovnoběžné a další dvě naopak nejsou vůči sobě rovnoběžné. Toto slovo přišlo do moderní doby ze starověkého Řecka a znělo jako „trapedzion“, což znamenalo „stůl“, „jídelní stůl“.

Tento článek pojednává o vlastnostech lichoběžníku opsaného kolem kruhu. Podíváme se také na typy a prvky tohoto obrázku.

Prvky, typy a charakteristiky lichoběžníku geometrického útvaru

Rovnoběžné strany na tomto obrázku se nazývají základny a ty, které nejsou rovnoběžné, se nazývají strany. Za předpokladu, že strany jsou stejně dlouhé, je lichoběžník považován za rovnoramenný. Lichoběžník, jehož strany leží kolmo k základně pod úhlem 90°, se nazývá obdélníkový.

Tato zdánlivě jednoduchá postava má značné množství vlastností, které jsou jí vlastní, zdůrazňující její vlastnosti:

Pokud po stranách nakreslíte střední čáru, bude rovnoběžná se základnami. Tento segment se bude rovnat 1/2 rozdílu základen.
Při konstrukci osy z libovolného rohu lichoběžníku vznikne rovnostranný trojúhelník.
Z vlastností lichoběžníku popsaného kolem kružnice je známo, že součet rovnoběžných stran se musí rovnat součtu základen.
Při konstrukci diagonálních segmentů, kde jedna ze stran je základnou lichoběžníku, budou výsledné trojúhelníky podobné.
Při konstrukci diagonálních segmentů, kde jedna ze stran je boční, budou mít výsledné trojúhelníky stejnou plochu.
Pokud budeme pokračovat v postranních úsecích a sestrojíme segment ze středu základny, pak bude vytvořený úhel roven 90°. Segment spojující základny bude roven 1/2 jejich rozdílu.

Vlastnosti lichoběžníku opsaného kolem kruhu

Kruh do lichoběžníku je možné uzavřít pouze za jedné podmínky. Touto podmínkou je, že součet stran se musí rovnat součtu základen. Například při konstrukci lichoběžníkového AFDM platí AF + DM = FD + AM. Pouze v tomto případě může být kruh uzavřen do lichoběžníku.

Takže více o vlastnostech lichoběžníku popsaného kolem kruhu:

Pokud je kruh uzavřen v lichoběžníku, pak abychom našli délku jeho čáry, která protíná obrazec v polovině, je nutné najít 1/2 součtu délek stran.

Při konstrukci lichoběžníku opsaného kolem kruhu je vytvořená přepona shodná s poloměrem kružnice a výška lichoběžníku je zároveň průměrem kružnice.

Další vlastností rovnoramenného lichoběžníku opsaného kolem kruhu je, že jeho strana je okamžitě viditelná ze středu kruhu pod úhlem 90°.

Trochu více o vlastnostech lichoběžníku uzavřeného v kruhu

Do kruhu lze vepsat pouze rovnoramenný lichoběžník. To znamená, že je nutné splnit podmínky, za kterých bude konstruovaný lichoběžník AFDM splňovat následující požadavky: AF + DM = FD + MA.

Ptolemaiova věta říká, že v lichoběžníku uzavřeném v kruhu je součin úhlopříček totožný a roven součtu násobených protilehlých stran. To znamená, že při konstrukci kružnice opsané kolem lichoběžníku AFDM platí: AD × FM = AF × DM + FD × AM.

Poměrně často se u školních zkoušek vyskytují problémy, které vyžadují řešení problémů s lichoběžníkem. Velké množství teorémů je třeba si zapamatovat, ale pokud se je nemůžete naučit hned, nevadí. Nejlepší je pravidelně se uchylovat k nápovědám v učebnicích, aby se vám tyto znalosti bez větších potíží vešly do hlavy samy.

Příklad řešení problému pomocí probíraných vlastností vám pomůže roztřídit si jej do míst v hlavě a lépe si materiál zapamatovat.

Hrazda a všichni-všechny

Pro začátek si stručně připomeňme, co je lichoběžník a jaké další pojmy jsou s ním spojeny.

Lichoběžník je tedy čtyřúhelníkový obrazec, jehož dvě strany jsou vzájemně rovnoběžné (toto jsou základny). A ty dvě nejsou rovnoběžné - to jsou strany.

V lichoběžníku lze výšku snížit - kolmo na základny. Nakreslí se středová čára a úhlopříčky. Je také možné nakreslit osičku z libovolného úhlu lichoběžníku.

Nyní budeme hovořit o různých vlastnostech spojených se všemi těmito prvky a jejich kombinacemi.

Vlastnosti lichoběžníkových úhlopříček

Aby to bylo jasnější, při čtení si načrtněte lichoběžník ACME na kus papíru a nakreslete do něj úhlopříčky.

Pokud najdete středy každé z úhlopříček (říkejme těmto bodům X a T) a spojíte je, získáte segment. Jednou z vlastností úhlopříček lichoběžníku je, že segment HT leží na střední čáře. A jeho délku lze získat vydělením rozdílu základen dvěma: ХТ = (a – b)/2.
Před námi je stejný lichoběžník ACME. Úhlopříčky se protínají v bodě O. Podívejme se na trojúhelníky AOE a MOK, tvořené segmenty úhlopříček spolu se základnami lichoběžníku. Tyto trojúhelníky jsou podobné. Koeficient podobnosti k trojúhelníků je vyjádřen poměrem základen lichoběžníku: k = AE/KM.
Poměr ploch trojúhelníků AOE a MOK popisuje koeficient k 2 .
Stejný lichoběžník, stejné úhlopříčky protínající se v bodě O. Pouze tentokrát budeme uvažovat trojúhelníky, které segmenty úhlopříček tvořily spolu se stranami lichoběžníku. Plochy trojúhelníků AKO a EMO jsou stejně velké - jejich plochy jsou stejné.
Další vlastností lichoběžníku je konstrukce úhlopříček. Pokud tedy budete pokračovat po stranách AK a ME ve směru k menší základně, tak se dříve nebo později v určitém bodě protnou. Dále nakreslete přímku středem základen lichoběžníku. Protíná základny v bodech X a T.
Pokud nyní prodloužíme úsečku XT, spojí dohromady průsečík úhlopříček lichoběžníku O, bod, ve kterém se protínají prodloužení stran a středu základen X a T.
Přes průsečík úhlopříček nakreslíme úsečku, která bude spojovat základny lichoběžníku (T leží na menší základně KM, X na větší AE). Průsečík úhlopříček rozděluje tento segment v následujícím poměru: TO/OX = KM/AE.
Nyní přes průsečík úhlopříček nakreslíme segment rovnoběžný se základnami lichoběžníku (a a b). Průsečík jej rozdělí na dvě stejné části. Délku segmentu zjistíte pomocí vzorce 2ab/(a + b).

Vlastnosti středové čáry lichoběžníku

Nakreslete střední čáru v lichoběžníku rovnoběžně s jeho základnami.

Délku střední čáry lichoběžníku lze vypočítat sečtením délek základen a jejich rozdělením na polovinu: m = (a + b)/2.
Pokud nakreslíte libovolný segment (například výšku) přes obě základny lichoběžníku, prostřední čára jej rozdělí na dvě stejné části.

Vlastnost lichoběžníkové osy

Vlastnosti lichoběžníkových úhlů

Ať už zvolíte kterýkoli ze dvou párů úhlů sousedících se stranou, součet úhlů v páru je vždy 180 0: α + β = 180 0 a γ + δ = 180 0.
Spojme středy základen lichoběžníku se segmentem TX. Nyní se podívejme na úhly na základnách lichoběžníku. Pokud je součet úhlů pro kterýkoli z nich 90 0, lze délku segmentu TX snadno vypočítat na základě rozdílu délek základen, rozděleného na polovinu: TX = (AE – KM)/2.
Pokud jsou rovnoběžné čáry nakresleny stranami lichoběžníkového úhlu, rozdělí strany úhlu na proporcionální segmenty.

Vlastnosti rovnoramenného (rovnostranného) lichoběžníku

V rovnoramenném lichoběžníku jsou úhly na jakékoli základně stejné.
Nyní znovu postavte lichoběžník, abyste si snadněji představili, o čem mluvíme. Podívejte se pozorně na základnu AE - vrchol protilehlé základny M se promítá do určitého bodu na přímce, která obsahuje AE. Vzdálenost od vrcholu A k bodu průmětu vrcholu M a střední čára rovnoramenného lichoběžníku jsou stejné.
Pár slov o vlastnosti úhlopříček rovnoramenného lichoběžníku - jejich délky jsou stejné. A také úhly sklonu těchto úhlopříček k základně lichoběžníku jsou stejné.
Kružnici lze popsat pouze kolem rovnoramenného lichoběžníku, protože součet protilehlých úhlů čtyřúhelníku je 180 0 - předpoklad k tomu.
Vlastnost rovnoramenného lichoběžníku vyplývá z předchozího odstavce - lze-li v blízkosti lichoběžníku popsat kružnici, je rovnoramenná.
Z rysů rovnoramenného lichoběžníku vyplývá vlastnost výšky lichoběžníku: pokud se jeho úhlopříčky protínají v pravém úhlu, pak se délka výšky rovná polovině součtu základen: h = (a + b)/2.
Opět nakreslete segment TX přes středy základen lichoběžníku - v rovnoramenném lichoběžníku je kolmý k základnám. A zároveň je TX osou symetrie rovnoramenného lichoběžníku.
Tentokrát snižte výšku z opačného vrcholu lichoběžníku na větší základnu (říkejme tomu a). Získáte dva segmenty. Délku jedné lze zjistit, pokud se délky základen sečtou a rozdělí na polovinu: (a + b)/2. Druhý dostaneme, když od většího základu odečteme menší a výsledný rozdíl vydělíme dvěma: (a – b)/2.

Vlastnosti lichoběžníku vepsaného do kruhu

Umístění středu kruhu je určeno úhlem sklonu úhlopříčky lichoběžníku k jeho straně. Například úhlopříčka může sahat od vrcholu lichoběžníku v pravém úhlu ke straně. V tomto případě větší základna protíná střed opsané kružnice přesně uprostřed (R = ½AE).
Úhlopříčka a strana se také mohou setkat pod ostrým úhlem - pak je střed kruhu uvnitř lichoběžníku.
Střed opsané kružnice může být mimo lichoběžník, za jeho větší základnou, pokud je mezi úhlopříčkou lichoběžníku a stranou tupý úhel.
Úhel tvořený úhlopříčkou a velkou základnou lichoběžníku ACME (vepsaný úhel) je polovina středového úhlu, který mu odpovídá: MAE = ½ MOE.
Stručně o dvou způsobech, jak zjistit poloměr kružnice opsané. Metoda jedna: pozorně se podívejte na svůj výkres – co vidíte? Snadno si všimnete, že úhlopříčka rozděluje lichoběžník na dva trojúhelníky. Poloměr lze nalézt poměrem strany trojúhelníku k sinu opačného úhlu, vynásobeným dvěma. Například, R = AE/2*sinAME. Vzorec lze napsat podobným způsobem pro kteroukoli ze stran obou trojúhelníků.
Metoda druhá: najděte poloměr opsané kružnice přes oblast trojúhelníku tvořeného úhlopříčkou, stranou a základnou lichoběžníku: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Vlastnosti lichoběžníku opsaného kolem kruhu

Pokud je splněna jedna podmínka, můžete umístit kruh do lichoběžníku. Přečtěte si o tom více níže. A dohromady má tato kombinace figurek řadu zajímavých vlastností.

Je-li kružnice vepsána do lichoběžníku, délku její středové čáry lze snadno zjistit sečtením délek stran a dělením výsledného součtu na polovinu: m = (c + d)/2.
Pro lichoběžník ACME, popsaný kolem kruhu, se součet délek základen rovná součtu délek stran: AK + ME = KM + AE.
Z této vlastnosti základen lichoběžníku vyplývá obrácené tvrzení: do lichoběžníku, jehož součet základen je roven součtu jeho stran, lze vepsat kružnici.
Tečný bod kružnice s poloměrem r vepsaným do lichoběžníku rozděluje stranu na dva segmenty, říkejme jim a a b. Poloměr kruhu lze vypočítat pomocí vzorce: r = √ab.
A ještě jedna nemovitost. Abyste předešli zmatkům, nakreslete si tento příklad také sami. Máme starý dobrý lichoběžník ACME, popsaný kolem kruhu. Obsahuje úhlopříčky, které se protínají v bodě O. Trojúhelníky AOK a EOM tvořené segmenty úhlopříček a bočními stranami jsou obdélníkové.
Výšky těchto trojúhelníků, snížených na přepony (tj. boční strany lichoběžníku), se shodují s poloměry vepsané kružnice. A výška lichoběžníku se shoduje s průměrem vepsané kružnice.

Vlastnosti pravoúhlého lichoběžníku

Lichoběžník se nazývá obdélníkový, pokud je jeden z jeho úhlů pravý. A z této okolnosti pramení jeho vlastnosti.

Obdélníkový lichoběžník má jednu ze svých stran kolmou ke své základně.
Výška a strana lichoběžníku sousedícího s pravým úhlem jsou stejné. To vám umožní vypočítat plochu pravoúhlého lichoběžníku (obecný vzorec S = (a + b) * h/2) nejen na výšku, ale i na stranu přiléhající k pravému úhlu.
Pro pravoúhlý lichoběžník jsou důležité obecné vlastnosti úhlopříček lichoběžníku již popsané výše.

Doklady některých vlastností lichoběžníku

Rovnost úhlů na základně rovnoramenného lichoběžníku:

Pravděpodobně jste již uhodli, že zde budeme opět potřebovat lichoběžník AKME - nakreslete rovnoramenný lichoběžník. Nakreslete přímku MT z vrcholu M, rovnoběžnou se stranou AK (MT || AK).

Výsledný čtyřúhelník AKMT je rovnoběžník (AK || MT, KM || AT). Protože ME = KA = MT, ∆ MTE je rovnoramenné a MET = MTE.

AK || MT, tedy MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Kde je AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Nyní na základě vlastnosti rovnoramenného lichoběžníku (rovnost úhlopříček) to dokážeme lichoběžník ACME je rovnoramenný:

Nejprve nakreslíme přímku MX – MX || KE. Získáme rovnoběžník KMHE (základ – MX || KE a KM || EX).

∆AMX je rovnoramenný, protože AM = KE = MX a MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, tedy MAE = MXE.

Zkontrolovat úkol

Základny lichoběžníku ACME jsou 9 cm a 21 cm, boční strana KA, rovna 8 cm, svírá s menší základnou úhel 150°. Musíte najít oblast lichoběžníku.

Řešení: Z vrcholu K snížíme výšku k větší základně lichoběžníku. A začněme se dívat na úhly lichoběžníku.

Úhly AEM a KAN jsou jednostranné. To znamená, že celkem dávají 180 0. Proto KAN = 30 0 (na základě vlastnosti lichoběžníkových úhlů).

Plochu lichoběžníku zjistíme pomocí vzorce: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Doslov

webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.

Projektová práce „Zajímavé vlastnosti lichoběžníku“ Vypracovali: žáci 10. ročníku Kudzaeva Ellina Bazzaeva Diana Střední škola MCOU s. r. o. N.Batako Hlava: Gagieva A.O. 20. listopadu 2015

Účel práce: Uvažovat o vlastnostech lichoběžníku, které se nestudují ve školním kurzu geometrie, ale při řešení geometrických úloh Jednotné státní zkoušky z rozšířené části C 4 může být nutné znát a umět uplatnit přesně tyto vlastnosti.

Vlastnosti lichoběžníku: Je-li lichoběžník rozdělen přímkou rovnoběžnou s jeho základnami rovnou aab, na dva stejné lichoběžníky. Potom se segment k této přímce, uzavřené mezi bočními stranami, rovná a B to

Vlastnost segmentu procházejícího průsečíkem úhlopříček lichoběžníku. Úsek rovnoběžný se základnami procházející průsečíkem úhlopříček je roven: a v c

Vlastnosti lichoběžníku: Úsečka přímky rovnoběžná se základnami lichoběžníku, uzavřená uvnitř lichoběžníku, je svými úhlopříčkami rozdělena na tři části. Potom jsou segmenty sousedící se stranami navzájem stejné. MP=OK R M O K

Vlastnosti rovnoramenného lichoběžníku: Pokud lze do lichoběžníku vepsat kružnici, pak je poloměr kružnice průměrem úměrným segmentům, na které tečný bod rozděluje stranu. O S V A D. E O

Vlastnosti rovnoramenného lichoběžníku: Leží-li střed opsané kružnice na patě lichoběžníku, pak je jeho úhlopříčka kolmá ke straně O A B C D

Vlastnosti rovnoramenného lichoběžníku: Kružnici lze vepsat do rovnoramenného lichoběžníku, pokud je boční strana rovna jeho středové čáře. S V A D h

1) Pokud zadání úlohy říká, že kruh je vepsán do pravoúhlého lichoběžníku, můžete použít následující vlastnosti: 1. Součet základen lichoběžníku se rovná součtu stran. 2. Vzdálenosti od vrcholu lichoběžníku k bodům tečnosti kružnice vepsané jsou stejné. 3. Výška pravoúhlého lichoběžníku je rovna jeho menší straně a rovna průměru vepsané kružnice. 4. Střed vepsané kružnice je průsečíkem os úhlů lichoběžníku. 5. Pokud tečný bod rozděluje stranu na segmenty m a n, pak je poloměr vepsané kružnice roven

Vlastnosti pravoúhlého lichoběžníku, do kterého je vepsána kružnice: 1) Čtyřúhelník tvořený středem kružnice vepsané, body dotyku a vrcholem lichoběžníku - čtverec, jehož strana je rovna poloměru. (AMOE a BKOM jsou čtverce se stranou r). 2) Pokud je kruh vepsán do pravoúhlého lichoběžníku, pak se plocha lichoběžníku rovná součinu jeho základen: S=AD*BC

Důkaz: Plocha lichoběžníku je rovna součinu poloviny součtu jeho základen a jeho výšky: Označme CF=m, FD=n. Protože vzdálenosti od vrcholů k tečným bodům jsou stejné, je výška lichoběžníku rovna dvěma poloměrům vepsané kružnice a

I. Osy úhlů na boční straně lichoběžníku se protínají pod úhlem 90°. 1)∠ABC+∠BAD=180º (jako vnitřní jednostranné s AD∥BC a sečnou AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º (protože osy půlí úhly). 3) Protože součet úhlů trojúhelníku je 180º, v trojúhelníku ABK máme: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, tedy ∠AKB=180-90=90º. Závěr: Osy úhlu na boční straně lichoběžníku se protínají v pravém úhlu. Toto tvrzení se používá při řešení úloh na lichoběžníku, do kterého je vepsána kružnice.

I I. Průsečík bisektorů lichoběžníku přiléhající k laterální straně leží na střední čáře lichoběžníku. Nechť osa úhlu ABC protíná stranu AD v bodě S. Pak je trojúhelník ABS rovnoramenný se základnou BS To znamená, že jeho osa AK je také středem, to znamená, že bod K je středem BS. Jestliže M a N jsou středy bočních stran lichoběžníku, pak MN je středová čára lichoběžníku a MN∥AD. Protože M a K jsou středy AB a BS, pak MK je středová čára trojúhelníku ABS a MK∥AS. Protože bodem M lze vést pouze jednu přímku rovnoběžnou s danou, leží bod K na střední čáře lichoběžníku.

III. Průsečík os ostrých úhlů na základně lichoběžníku patří k jiné základně. V tomto případě jsou trojúhelníky ABK a DCK rovnoramenné se základnami AK a DK. Tedy BC=BK+KC=AB+CD. Závěr: Pokud se osy ostrých úhlů lichoběžníku protínají v bodě patřícímu menší základně, pak se menší základna rovná součtu bočních stran lichoběžníku. Rovnoramenný lichoběžník má v tomto případě menší základnu dvakrát větší než je jeho strana.

I V. Průsečík os tupých úhlů na základně lichoběžníku náleží jiné základně. V tomto případě jsou trojúhelníky ABF a DCF rovnoramenné se bázemi BF a CF. Proto AD=AF+FD=AB+CD. Závěr: Pokud se osy tupých úhlů lichoběžníku protínají v bodě patřícímu větší základně, pak se větší základna rovná součtu bočních stran lichoběžníku. V tomto případě má rovnoramenný lichoběžník větší základnu, která je dvakrát větší než jeho strana.

Pokud lze vepsat rovnoramenný lichoběžník se stranami a, b, c, d a kolem něj nakreslit kružnice, pak je plocha lichoběžníku