Sestavte matematický algoritmus pro nalezení kořenů kvadratické rovnice. Metody řešení kvadratických rovnic
Problém je dobře známý z matematiky. Výchozími údaji jsou zde koeficienty a, b, c. Řešením v obecném případě jsou dva kořeny x 1 a x 2, které se vypočítají pomocí vzorců:
Všechny veličiny použité v tomto programu jsou skutečného typu.
alg kořeny kvadratické rovnice
věci a, b, c, x1, x2, d
začátek vstup a, b, c
x1:=(-b+Öd)/(2a)
x2:=(-b–Öd)/(2a)
výstup x1, X2
Slabost takového algoritmu je viditelná pouhým okem. Nemá nejdůležitější vlastnost vyžadovanou od vysoce kvalitních algoritmů: univerzálnost vzhledem ke zdrojovým datům. Ať už jsou hodnoty počátečních dat jakékoli, algoritmus musí vést k určitému výsledku a dosáhnout konce. Výsledkem může být číselná odpověď, ale může to být také zpráva, že s danými údaji problém nemá řešení. Zastavení uprostřed algoritmu z důvodu nemožnosti provést nějakou operaci je nepřijatelné. Stejná vlastnost se v literatuře o programování nazývá účinnost algoritmu (v každém případě je třeba získat nějaký výsledek).
Chcete-li vytvořit univerzální algoritmus, musíte nejprve pečlivě analyzovat matematický obsah problému.
Řešení rovnice závisí na hodnotách koeficientů a, b, c. Zde je analýza tohoto problému (omezujeme se pouze na hledání skutečných kořenů):
jestliže a=0, b=0, c=0, pak libovolné x je řešením rovnice;
jestliže a=0, b=0, c¹0, pak rovnice nemá řešení;
pokud a=0, b¹0, pak se jedná o lineární rovnici, která má jedno řešení: x=–c/b;
jestliže a¹0 a d=b 2 -4ac³0, pak má rovnice dva reálné kořeny (vzorce jsou uvedeny výše);
pokud a¹0 a d<0, то уравнение не имеет вещественных корней.
Blokové schéma algoritmu:
Stejný algoritmus v algoritmickém jazyce:
alg kořeny kvadratické rovnice
věci a, b, c, d, x1, x2
začátek vstup a, b, c
Li a=0
pak jestli b=0
pak jestli c=0
Že výstup „libovolné x je řešení“
jinak výstup "žádná řešení"
jinak x:= –c/b
jinak d:=b2–4ac
-li a d<0
Že výstup "žádné skutečné kořeny"
jinak e xl:=(-b+Öd)/(2a); x2:=(-b–Öd)/(2a)
výstup "x1=",x1, "x2=",x2
V tomto algoritmu je opakovaně používán příkaz strukturální větve. Obecný vzhled příkazu větve v blokových diagramech a v algoritmickém jazyce je následující:
Nejprve se zkontroluje „podmínka“ (vypočítá se vztah, logický výraz). Pokud je podmínka pravdivá, provede se „série 1“ – sekvence příkazů označená šipkou označenou „ano“ (kladná větev). Jinak se provede "běh 2" (záporná větev). V SL se podmínka píše za pomocným slovem „pokud“, kladná větev - za slovem "pak", záporná větev - za slovem "jinak". Písmena "kv" označují konec větve.
Pokud větve jedné větve obsahují další větve, pak má takový algoritmus strukturu vnořené větve. Toto je přesně struktura algoritmu „kořenů kvadratické rovnice“. Pro stručnost se místo slov „ano“ a „ne“ používá „+“ a „–“.
Zvažte následující problém: dané kladné celé číslo n. Je třeba vypočítat n! (n-faktoriální). Připomeňme si definici faktoriálu.
Níže je vývojový diagram algoritmu. Používá tři proměnné typu integer: n – argument; i – střední proměnná; F – výsledek. Pro kontrolu správnosti algoritmu byla vytvořena tabulka trasování. V takové tabulce jsou pro konkrétní hodnoty počátečních dat sledovány změny v proměnných zahrnutých v algoritmu krok za krokem. Tato tabulka je sestavena pro případ n=3.
Stopa dokazuje správnost algoritmu. Nyní napíšeme tento algoritmus v algoritmickém jazyce.
alg Faktorový
neporušený n, i, F
začátek vstup n
F:=1; i:=1
Ahoj i£n, opakovat
nc F:=F'i
Tento algoritmus má cyklickou strukturu. Algoritmus používá strukturální příkaz „loop-while“ nebo „loop with precondition“. Obecný vzhled příkazu „loop-bye“ v blokových diagramech a ve FL je následující:
Opakuje provádění řady příkazů (těla smyčky), dokud je podmínka smyčky pravdivá. Když se podmínka stane nepravdivou, cyklus ukončí provádění. Servisní slova „nts“ a „kts“ označují začátek a konec cyklu.
Smyčka s předpokladem je hlavní, ale ne jedinou formou organizace cyklických algoritmů. Další možností je smyčka s dodatečnou podmínkou. Vraťme se k algoritmu řešení kvadratické rovnice. Můžete se k ní přiblížit z této pozice: pokud a=0, pak to již není kvadratická rovnice a lze ji ignorovat. V tomto případě budeme předpokládat, že uživatel udělal chybu při zadávání dat a měl by být požádán o opakování zadání. Jinými slovy, algoritmus zajistí kontrolu spolehlivosti zdrojových dat a poskytne uživateli příležitost opravit chybu. Přítomnost takové kontroly je dalším znakem dobré kvality programu.
Obecně je strukturální příkaz „loop with postcondition“ nebo „loop-to“ reprezentován následovně:
Zde se používá podmínka konce smyčky. Když se to stane pravdou, smyčka končí.
Vytvořme algoritmus pro řešení následující úlohy: jsou dána dvě přirozená čísla M a N. Je potřeba vypočítat jejich největšího společného dělitele - GCD(M,N).
Tento problém se řeší pomocí metody známé jako Euklidovský algoritmus. Jeho myšlenka je založena na vlastnosti, že když M>N, pak gcd(M 1) pokud jsou čísla stejná, vezměte jako odpověď jejich celkovou hodnotu; jinak pokračujte ve vykonávání algoritmu; 2) určit největší z čísel; 3) nahraďte větší číslo rozdílem mezi větší a menší hodnotou; 4) vraťte se ke kroku 1. Blokové schéma a algoritmus v AY budou následující: Algoritmus má strukturu smyčky s vnořeným větvením. Proveďte vlastní sledování tohoto algoritmu pro případ M=18, N=12. Výsledkem bude GCD=6, což je samozřejmě správné. Programování v Lazar pro školáky. Lekce č. 12. Řešení kvadratické rovnice. Matycin Igor Vladimirovič Učitel matematiky a informatiky Střední škola MBOU s. Služka Cíl: napsat program na řešení kvadratické rovnice, za předpokladu jakýchkoliv vstupních dat. Panna 2013. Kvadratická rovnice je jednou z nejběžnějších školních rovnic. I když je to docela snadné vyřešit, někdy je potřeba odpovědi zkontrolovat. K tomu můžete použít jednoduchý program. Jeho napsání nezabere mnoho času. Musíte začít samotnou kvadratickou rovnicí. Z kurzu algebry víme, že kvadratická rovnice je rovnice tvaru sekera 2
+
bx +
C =0, kde x - variabilní, A ,
b a c – některá čísla a A .
Z definice je zřejmé, že v rovnici se mění pouze koeficienty A ,
b A C . To jsou parametry, které zadáme do našeho programu, a k tomu si z komponent vytvoříme tři vstupní pole. Obrázek 14.1 Vstupní pole pro koeficienty. Rýže. 14.2 Kontrola existence rovnice. Nyní je potřeba popsat, co se stane, pokud bude rovnice kvadratická. To bude také ve stejném prohlášení-li po slově jiný a při použití složeného operátoru. Pokud je rovnice kvadratická, tak ji ihned vyřešíme pomocí vzorce pro diskriminant a kořeny kvadratické rovnice. Diskriminant najdeme pomocí vzorce: D :=
b *
b – 4*
A *
C ;
Pokud je diskriminant menší než nula, pak rovnice nemá řešení. Bude to popsáno takto: Pokud d pak označení 4.
Titulek :='Rovnice nemá řešení' jiný …
A po jiný budeme přímo hledat kořeny rovnice pomocí vzorců: X1:=(-b+sqrt(D))/2*a; X2:=(-b-sqrt(D))/2*a; Zde je úplný kód operátora-li :
pokud a=0, pak Label4.Caption:="Rovnice není kvadratická" jinak začít D:=b*b-4*a*c; pokud d začít X1:=(-b+sqrt(D))/2*a; X2:=(-b-sqrt(D))/2*a; Label4.Caption:="X1="+floattostr(x1)+" X2="+floattostr(x2); konec; konec; Rýže. 14.3 Pracovní okno programu kvadratických rovnic. Bibliografický popis: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metody řešení kvadratických rovnic // Young scientist. 2016. č. 6.1. P. 17-20..04.2019).
Náš projekt je o způsobech řešení kvadratických rovnic. Cíl projektu: naučit se řešit kvadratické rovnice způsoby, které nejsou součástí školního vzdělávacího programu. Úkol: najděte všechny možné způsoby řešení kvadratických rovnic a naučte se je sami používat a seznamte s těmito metodami své spolužáky. Co jsou to „kvadratické rovnice“? Kvadratická rovnice- rovnice tvaru sekera2
+ bx + c = 0, Kde A, b, C- nějaká čísla ( a ≠ 0), x- neznámý. Čísla a, b, c se nazývají koeficienty kvadratické rovnice. Kdo jako první „vynalezl“ kvadratické rovnice? Některé algebraické techniky pro řešení lineárních a kvadratických rovnic byly známy již před 4000 lety ve starověkém Babylonu. Objev starobabylonských hliněných tabulek, pocházejících někde mezi 1800 a 1600 př. n. l., poskytuje nejranější důkazy o studiu kvadratických rovnic. Stejné tablety obsahují metody pro řešení určitých typů kvadratických rovnic. Potřeba řešit rovnice nejen prvního, ale i druhého stupně již v dávných dobách byla vyvolána nutností řešit problémy související se zjišťováním výměr pozemků a s výkopovými pracemi vojenského charakteru. stejně jako s rozvojem samotné astronomie a matematiky. Pravidlo pro řešení těchto rovnic, stanovené v babylonských textech, se v podstatě shoduje s tím moderním, ale není známo, jak Babyloňané k tomuto pravidlu dospěli. Téměř všechny dosud nalezené klínopisné texty poskytují pouze problémy s řešeními ve formě receptů, bez náznaku, jak byly nalezeny. Navzdory vysokému stupni rozvoje algebry v Babylonu klínové texty postrádají koncept záporného čísla a obecné metody řešení kvadratických rovnic. Babylonští matematici asi ze 4. století před naším letopočtem. použil metodu doplňku čtverce k řešení rovnic s kladnými kořeny. Kolem roku 300 př. Kr Euklides přišel s obecnější metodou geometrického řešení. Prvním matematikem, který našel řešení rovnic se zápornými kořeny ve formě algebraického vzorce, byl indický vědec Brahmagupta(Indie, 7. století našeho letopočtu). Brahmagupta stanovil obecné pravidlo pro řešení kvadratických rovnic zredukovaných na jedinou kanonickou formu: ax2 + bx = c, a>0 Koeficienty v této rovnici mohou být také záporné. Brahmaguptovo pravidlo je v podstatě stejné jako naše. Veřejné soutěže v řešení obtížných problémů byly v Indii běžné. Jedna ze starých indických knih o takových soutěžích říká toto: „Jako slunce zastiňuje hvězdy svým leskem, tak vzdělaný člověk zastíní svou slávu na veřejných shromážděních tím, že bude navrhovat a řešit algebraické problémy.“ Problémy byly často prezentovány v poetické formě. V algebraickém pojednání Al-Chwarizmi je uvedena klasifikace lineárních a kvadratických rovnic. Autor počítá 6 typů rovnic a vyjadřuje je takto: 1) „Čtverce se rovnají odmocninám“, tj. ax2 = bx. 2) „Čtverce se rovnají číslům“, tj. ax2 = c. 3) „Kořeny se rovnají číslu“, tj. ax2 = c. 4) „Čtverce a čísla se rovnají odmocninám“, tj. ax2 + c = bx. 5) „Čtverce a odmocniny se rovnají číslu“, tj. ax2 + bx = c. 6) „Odmocniny a čísla se rovnají čtvercům“, tj. bx + c == ax2. Pro Al-Khwarizmiho, který se vyhnul použití záporných čísel, jsou členy každé z těchto rovnic sčítání, nikoli odečitatelné. V tomto případě se zjevně neberou v úvahu rovnice, které nemají kladná řešení. Autor uvádí metody řešení těchto rovnic pomocí technik al-jabr a al-mukabal. Jeho rozhodnutí se samozřejmě úplně neshoduje s naším. Nemluvě o tom, že je to čistě rétorické, nutno podotknout, že například při řešení neúplné kvadratické rovnice prvního typu Al-Khorezmi, jako všichni matematici do 17. století, nepočítá s nulovým řešením, asi proto, že v konkrétní praxi na úkolech nezáleží. Při řešení úplných kvadratických rovnic stanoví Al-Khwarizmi pravidla řešení pomocí konkrétních numerických příkladů a následně jejich geometrických důkazů. Formuláře pro řešení kvadratických rovnic podle modelu Al-Khwarizmiho v Evropě byly poprvé uvedeny v „Knize počítadla“ napsané v roce 1202. italský matematik Leonard Fibonacci. Autor nezávisle vyvinul některé nové algebraické příklady řešení problémů a jako první v Evropě přistoupil k zavedení záporných čísel. Tato kniha přispěla k rozšíření algebraických znalostí nejen v Itálii, ale také v Německu, Francii a dalších evropských zemích. Mnoho problémů z této knihy bylo použito téměř ve všech evropských učebnicích 14.–17. století. Obecné pravidlo pro řešení kvadratických rovnic zredukované na jediný kanonický tvar x2 + bх = с pro všechny možné kombinace znamének a koeficientů b, c bylo v Evropě formulováno v roce 1544. M. Stiefel. Odvození vzorce pro řešení kvadratické rovnice v obecném tvaru je k dispozici od Viète, ale Viète rozpoznal pouze kladné kořeny. italští matematici Tartaglia, Cardano, Bombelli mezi prvními v 16. století. Kromě pozitivních se berou v úvahu i kořeny negativní. Teprve v 17. stol. díky úsilí Girard, Descartes, Newton a dalších vědců dostává metoda řešení kvadratických rovnic moderní podobu. Podívejme se na několik způsobů řešení kvadratických rovnic. Standardní metody řešení kvadratických rovnic ze školního vzdělávacího programu: Zastavme se podrobněji u řešení redukovaných a neredukovaných kvadratických rovnic pomocí Vietovy věty. Připomeňme, že k řešení výše uvedených kvadratických rovnic stačí najít dvě čísla, jejichž součin se rovná volnému členu a jejichž součet se rovná druhému koeficientu s opačným znaménkem. Příklad.x 2
-5x+6=0 Musíte najít čísla, jejichž součin je 6 a jejichž součet je 5. Tato čísla budou 3 a 2. Odpověď: x 1
=2, x 2
=3.
Tuto metodu však můžete použít pro rovnice, jejichž první koeficient se nerovná jedné. Příklad.3x 2
+2x-5=0 Vezměte první koeficient a vynásobte jej volným členem: x 2 +2x-15=0 Kořeny této rovnice budou čísla, jejichž součin se rovná - 15 a jejichž součet se rovná - 2. Tato čísla jsou 5 a 3. Chcete-li najít kořeny původní rovnice, vydělte výsledné kořeny prvním koeficientem. Odpověď: x 1
=-5/3, x 2
=1
6. Řešení rovnic metodou "házení".
Uvažujme kvadratickou rovnici ax 2 + bx + c = 0, kde a≠0. Vynásobením obou stran a dostaneme rovnici a 2 x 2 + abx + ac = 0. Nechť ax = y, odkud x = y/a; pak dojdeme k rovnici y 2 + by + ac = 0, ekvivalentní dané rovnici. Jeho kořeny pro 1 a 2 najdeme pomocí Vietovy věty. Nakonec dostaneme x 1 = y 1 /a a x 2 = y 2 /a. U této metody se koeficient a násobí volným členem, jako by mu byl „přihozen“, proto se nazývá metoda „házení“. Tato metoda se používá, když lze kořeny rovnice snadno najít pomocí Vietovy věty a hlavně, když je diskriminant přesný čtverec. Příklad.2x 2
- 11x + 15 = 0. Koeficient 2 „hodíme“ na volný člen a provedeme náhradu, dostaneme rovnici y 2 - 11y + 30 = 0. Podle Vietovy inverzní věty y1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3. Odpověď: x 1
= 2,5; X 2
= 3.
7. Vlastnosti koeficientů kvadratické rovnice.
Nechť je dána kvadratická rovnice ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0. 1. Jestliže a+ b + c = 0 (tj. součet koeficientů rovnice je nulový), pak x 1 = 1. 2. Jestliže a - b + c = 0 nebo b = a + c, pak x 1 = - 1. Příklad.345x 2
- 137x - 208 = 0. Protože a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), pak x 1 = 1, x 2 = -208/345. Odpověď: x 1
=1; X 2
= -208/345
. Příklad.132x 2
+ 247x + 115 = 0 Protože a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), pak x 1 = - 1, x 2 = - 115/132 Odpověď: x 1
= -1; X 2
=- 115/132
Existují další vlastnosti koeficientů kvadratické rovnice. ale jejich použití je složitější. 8. Řešení kvadratických rovnic pomocí nomogramu.
Obr 1. Nomogram Jedná se o starou a v současnosti zapomenutou metodu řešení kvadratických rovnic, umístěnou na str. 83 sbírky: Bradis V.M. Čtyřmístné matematické tabulky. - M., Vzdělávání, 1990. Tabulka XXII. Nomogram pro řešení rovnice z 2 + pz + q = 0. Tento nomogram umožňuje bez řešení kvadratické rovnice určit kořeny rovnice z jejích koeficientů. Křivočará stupnice nomogramu se sestaví podle vzorců (obr. 1): Věřící OS = p, ED = q, OE = a(vše v cm), z obr. 1 podobnosti trojúhelníků SAN A CDF dostaneme poměr což po substitucích a zjednodušeních dává rovnici z 2 + pz + q = 0, a dopis z znamená značku libovolného bodu na zakřivené stupnici. Rýže. 2 Řešení kvadratických rovnic pomocí nomogramu Příklady. 1) Pro rovnici z 2
- 9z + 8 = 0 nomogram dává kořeny z 1 = 8,0 az 2 = 1,0 Odpověď: 8,0; 1,0. 2) Pomocí nomogramu vyřešíme rovnici 2z 2
- 9z + 2 = 0. Vydělte koeficienty této rovnice 2, dostaneme rovnici z 2 - 4,5z + 1 = 0. Nomogram dává kořeny z 1 = 4 az 2 = 0,5. Odpověď: 4; 0,5. 9. Geometrická metoda řešení kvadratických rovnic.
Příklad.X 2
+ 10x = 39. V originále je tento problém formulován takto: „Čtverec a deset odmocnin se rovná 39.“ Uvažujme čtverec se stranou x, obdélníky jsou konstruovány na jeho stranách tak, že druhá strana každého z nich je 2,5, tedy plocha každého z nich je 2,5x. Výsledný obrazec je poté doplněn o nový čtverec ABCD, přičemž v rozích vytvoří čtyři stejné čtverce, strana každého z nich je 2,5 a plocha je 6,25. Rýže. 3 Grafická metoda řešení rovnice x 2 + 10x = 39 Plochu S čtverce ABCD lze znázornit jako součet ploch: původního čtverce x 2, čtyř obdélníků (4∙2,5x = 10x) a čtyř dalších čtverců (6,25∙4 = 25), tzn. S = x 2 + 10x = 25. Nahradíme-li x 2 + 10x číslem 39, dostaneme, že S = 39+ 25 = 64, což znamená, že strana čtverce je ABCD, tzn. segment AB = 8. Pro požadovanou stranu x původního čtverce získáme 10. Řešení rovnic pomocí Bezoutovy věty.
Bezoutova věta. Zbytek dělení polynomu P(x) binomem x - α je roven P(α) (tj. hodnotě P(x) v x = α). Je-li číslo α kořenem polynomu P(x), pak je tento polynom beze zbytku dělitelný x -α. Příklad.x²-4x+3=0 Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Vydělte P(x) (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3 x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0 x-l=0; x=1 nebo x-3=0, x=3; Odpověď: x1
=2, x2
=3.
Závěr: Schopnost rychle a racionálně řešit kvadratické rovnice je nezbytná pro řešení složitějších rovnic, jako jsou zlomkové racionální rovnice, rovnice vyšších mocnin, bikvadratické rovnice a na střední škole trigonometrické, exponenciální a logaritmické rovnice. Po prostudování všech nalezených metod řešení kvadratických rovnic můžeme našim spolužákům kromě standardních metod poradit řešení převodní metodou (6) a řešení rovnic pomocí vlastnosti koeficientů (7), protože jsou dostupnější. k pochopení. Literatura:
Kvadratická rovnice je rovnice tvaru a*x^2 +b*x+c=0, kde a,b,c jsou nějaká libovolná reálná čísla a x je proměnná. Navíc číslo a=0.
Čísla a,b,c se nazývají koeficienty. Číslo a se nazývá vedoucí koeficient, číslo b je koeficient x a číslo c se nazývá volný člen.
Řešení kvadratických rovnic
Řešení kvadratické rovnice znamená nalezení všech jejích kořenů nebo zjištění skutečnosti, že kvadratická rovnice nemá žádné kořeny. Kořenem kvadratické rovnice a*x^2 +b*x+c=0 je jakákoliv hodnota proměnné x taková, že kvadratický trinom a*x^2 +b*x+c zmizí. Někdy se tato hodnota x nazývá odmocnina čtvercového trinomu.
Existuje několik způsobů, jak řešit kvadratické rovnice. Zvažte jeden z nich - nejuniverzálnější. Lze jej použít k řešení libovolné kvadratické rovnice.
Vzorce pro řešení kvadratických rovnic
Vzorec pro kořeny kvadratické rovnice je a*x^2 +b*x+c=0.
x=(-b±√D)/(2*a), kde D =b^2-4*a*c.
Tento vzorec se získá řešením rovnice a*x^2 +b*x+c=0 v obecném tvaru za použití druhé mocniny binomu.
Ve vzorci pro kořeny kvadratické rovnice se výraz D (b^2-4*a*c) nazývá diskriminant kvadratické rovnice a*x^2 +b*x+c=0. Tento název pochází z latinského jazyka, překládá se jako „diskriminační“. V závislosti na hodnotě diskriminantu bude mít kvadratická rovnice dva nebo jeden kořen nebo žádné kořeny.
Pokud je diskriminant větší než nula, pak má kvadratická rovnice dva kořeny. (x=(-b±√D)/(2*a))
Pokud je diskriminant nulový, pak má kvadratická rovnice jeden kořen. (x=(-b/(2*a))
Pokud je diskriminant záporný, pak kvadratická rovnice nemá kořeny.
Obecný algoritmus pro řešení kvadratické rovnice
Na základě výše uvedeného formulujeme obecný algoritmus pro řešení kvadratické rovnice a*x^2 +b*x+c=0 pomocí vzorce:
1. Najděte hodnotu diskriminantu pomocí vzorce D =b^2-4*a*c.
2. V závislosti na hodnotě diskriminantu vypočítejte kořeny pomocí vzorců:
D<0, корней нет.
D=0, x=(-b/(2*a)
D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)
Tento algoritmus je univerzální a vhodný pro řešení libovolných kvadratických rovnic. Úplné a neúplné, dané a nedané.
Důležité poznámky!
1. Pokud místo vzorců vidíte gobbledygook, vymažte mezipaměť. Jak to udělat ve vašem prohlížeči je napsáno zde:
2. Než začnete číst článek, věnujte pozornost našemu navigátoru, kde najdete nejužitečnější zdroje pro
V termínu „kvadratická rovnice“ je klíčové slovo „kvadratická“. To znamená, že rovnice musí nutně obsahovat proměnnou (totéž x) na druhou a nemělo by existovat xes na třetí (nebo větší) mocninu.
Řešení mnoha rovnic spočívá v řešení kvadratických rovnic.
Naučme se určit, že se jedná o kvadratickou rovnici a ne o nějakou jinou rovnici.
Příklad 1.
Zbavme se jmenovatele a vynásobme každý člen rovnice
Přesuňme vše na levou stranu a uspořádejme členy sestupně podle mocnin X
Nyní můžeme s jistotou říci, že tato rovnice je kvadratická!
Příklad 2
Vynásobte levou a pravou stranu:
Tato rovnice, ačkoliv v ní původně byla, není kvadratická!
Příklad 3
Vše vynásobme:
děsivé? Čtvrtý a druhý stupeň... Pokud však provedeme náhradu, uvidíme, že máme jednoduchou kvadratickou rovnici:
Příklad 4.
Zdá se, že tam je, ale pojďme se na to podívat blíže. Přesuneme vše na levou stranu:
Vidíte, je to zmenšené – a teď je to jednoduchá lineární rovnice!
Nyní zkuste sami určit, které z následujících rovnic jsou kvadratické a které ne:
Příklady:
Odpovědi:
- náměstí;
- náměstí;
- ne čtvercový;
- ne čtvercový;
- ne čtvercový;
- náměstí;
- ne čtvercový;
- náměstí.
Matematici konvenčně rozdělují všechny kvadratické rovnice do následujících typů:
- Kompletní kvadratické rovnice- rovnice, ve kterých se koeficienty a stejně jako volný člen c nerovnají nule (jako v příkladu). Kromě toho mezi úplnými kvadratickými rovnicemi existují daný- jedná se o rovnice, ve kterých je koeficient (rovnice z příkladu 1 nejen kompletní, ale i redukovaný!)
- Neúplné kvadratické rovnice- rovnice, ve kterých se koeficient a nebo volný člen c rovnají nule:
Jsou neúplné, protože v nich chybí nějaký prvek. Ale rovnice musí vždy obsahovat x na druhou!!! Jinak to už nebude kvadratická rovnice, ale nějaká jiná rovnice.
Proč přišli s takovým rozdělením? Zdálo by se, že existuje X na druhou, a dobře. Toto rozdělení je určeno metodami řešení. Podívejme se na každou z nich podrobněji.
Řešení neúplných kvadratických rovnic
Nejprve se zaměřme na řešení neúplných kvadratických rovnic – jsou mnohem jednodušší!
Existují typy neúplných kvadratických rovnic:
- , v této rovnici je koeficient roven.
- , v této rovnici je volný člen roven.
- , v této rovnici se koeficient a volný člen rovnají.
1. i. Protože víme, jak vzít druhou odmocninu, vyjádřeme se z této rovnice
Výraz může být negativní nebo pozitivní. Druhé číslo nemůže být záporné, protože při vynásobení dvou záporných nebo dvou kladných čísel bude výsledkem vždy kladné číslo, takže: pokud, pak rovnice nemá řešení.
A pokud, pak dostaneme dva kořeny. Není třeba se tyto vzorce učit nazpaměť. Hlavní věc je, že musíte vědět a vždy si pamatovat, že to nemůže být méně.
Zkusme vyřešit nějaké příklady.
Příklad 5:
Vyřešte rovnici
Nyní zbývá pouze vytáhnout kořen z levé a pravé strany. Koneckonců, pamatujete si, jak extrahovat kořeny?
Odpověď:
Nikdy nezapomínejte na kořeny se záporným znaménkem!!!
Příklad 6:
Vyřešte rovnici
Odpověď:
Příklad 7:
Vyřešte rovnici
Ó! Druhá mocnina čísla nemůže být záporná, což znamená, že rovnice
žádné kořeny!
Pro takové rovnice, které nemají kořeny, přišli matematici se speciální ikonou - (prázdná množina). A odpověď lze napsat takto:
Odpověď:
Tato kvadratická rovnice má tedy dva kořeny. Neexistují zde žádná omezení, protože jsme nevytáhli kořen.
Příklad 8:
Vyřešte rovnici
Vyjmeme společný faktor ze závorek:
Tedy,
Tato rovnice má dva kořeny.
Odpověď:
Nejjednodušší typ neúplných kvadratických rovnic (ačkoli jsou všechny jednoduché, že?). Je zřejmé, že tato rovnice má vždy pouze jeden kořen:
Zde se obejdeme bez příkladů.
Řešení úplných kvadratických rovnic
Připomínáme, že úplná kvadratická rovnice je rovnice tvaru rovnice kde
Řešení úplných kvadratických rovnic je trochu obtížnější (jen trochu) než tyto.
Pamatujte si Libovolnou kvadratickou rovnici lze vyřešit pomocí diskriminantu! Dokonce neúplné.
Ostatní metody vám pomohou to udělat rychleji, ale pokud máte problémy s kvadratickými rovnicemi, nejprve si osvojte řešení pomocí diskriminantu.
1. Řešení kvadratických rovnic pomocí diskriminantu.
Řešení kvadratických rovnic pomocí této metody je velmi jednoduché; hlavní věcí je zapamatovat si posloupnost akcí a několik vzorců.
Pokud, pak má rovnice kořen, musíte věnovat zvláštní pozornost kroku. Diskriminant () nám říká počet kořenů rovnice.
- Pokud, pak se vzorec v kroku zmenší na. Rovnice tedy bude mít pouze kořen.
- Pokud, pak nebudeme schopni extrahovat kořen diskriminantu v kroku. To znamená, že rovnice nemá kořeny.
Vraťme se k našim rovnicím a podívejme se na některé příklady.
Příklad 9:
Vyřešte rovnici
Krok 1 přeskočíme.
Krok 2
Najdeme diskriminační:
To znamená, že rovnice má dva kořeny.
Krok 3
Odpověď:
Příklad 10:
Vyřešte rovnici
Rovnice je prezentována ve standardním tvaru, takže Krok 1 přeskočíme.
Krok 2
Najdeme diskriminační:
To znamená, že rovnice má jeden kořen.
Odpověď:
Příklad 11:
Vyřešte rovnici
Rovnice je prezentována ve standardním tvaru, takže Krok 1 přeskočíme.
Krok 2
Najdeme diskriminační:
To znamená, že nebudeme schopni extrahovat kořen diskriminantu. Neexistují žádné kořeny rovnice.
Nyní víme, jak takové odpovědi správně zapsat.
Odpověď:žádné kořeny
2. Řešení kvadratických rovnic pomocí Vietovy věty.
Pokud si pamatujete, existuje typ rovnice, který se nazývá redukovaný (když koeficient a je roven):
Takové rovnice lze velmi snadno vyřešit pomocí Vietovy věty:
Součet kořenů daný kvadratická rovnice se rovná a součin kořenů se rovná.
Příklad 12:
Vyřešte rovnici
Tuto rovnici lze vyřešit pomocí Vietovy věty, protože .
Součet kořenů rovnice je roven, tzn. dostaneme první rovnici:
A produkt se rovná:
Pojďme složit a vyřešit systém:
- A. Částka se rovná;
- A. Částka se rovná;
- A. Částka je stejná.
a jsou řešením systému:
Odpověď: ; .
Příklad 13:
Vyřešte rovnici
Odpověď:
Příklad 14:
Vyřešte rovnici
Rovnice je dána, což znamená:
Odpověď:
KVADRÁTOVÉ ROVNICE. STŘEDNÍ ÚROVEŇ
Co je to kvadratická rovnice?
Jinými slovy, kvadratická rovnice je rovnice tvaru, kde - neznámá, - nějaká čísla a.
Číslo se nazývá nejvyšší resp první koeficient kvadratická rovnice, - druhý koeficient, A - volný člen.
Proč? Protože pokud se rovnice okamžitě stane lineární, protože zmizí.
V tomto případě a může být rovno nule. V této židli se rovnice nazývá neúplná. Pokud jsou všechny termíny na svém místě, to znamená, že rovnice je kompletní.
Řešení různých typů kvadratických rovnic
Metody řešení neúplných kvadratických rovnic:
Nejprve se podívejme na metody řešení neúplných kvadratických rovnic – jsou jednodušší.
Můžeme rozlišit následující typy rovnic:
I., v této rovnici se koeficient a volný člen rovnají.
II. , v této rovnici je koeficient roven.
III. , v této rovnici je volný člen roven.
Nyní se podívejme na řešení každého z těchto podtypů.
Je zřejmé, že tato rovnice má vždy pouze jeden kořen:
Druhé číslo nemůže být záporné, protože když vynásobíte dvě záporná nebo dvě kladná čísla, výsledkem bude vždy kladné číslo. Proto:
jestliže, pak rovnice nemá řešení;
máme-li dva kořeny
Není třeba se tyto vzorce učit nazpaměť. Hlavní věc k zapamatování je, že to nemůže být méně.
Příklady:
Řešení:
Odpověď:
Nikdy nezapomeňte na kořeny se záporným znaménkem!
Druhá mocnina čísla nemůže být záporná, což znamená, že rovnice
žádné kořeny.
Abychom stručně zapsali, že problém nemá řešení, použijeme ikonu prázdné sady.
Odpověď:
Takže tato rovnice má dva kořeny: a.
Odpověď:
Vyjmeme společný faktor ze závorek:
Součin je roven nule, pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule. To znamená, že rovnice má řešení, když:
Tato kvadratická rovnice má tedy dva kořeny: a.
Příklad:
Vyřešte rovnici.
Řešení:
Rozložme levou stranu rovnice a najdeme kořeny:
Odpověď:
Metody řešení úplných kvadratických rovnic:
1. Diskriminační
Řešení kvadratických rovnic tímto způsobem je snadné, hlavní věcí je zapamatovat si posloupnost akcí a několik vzorců. Pamatujte, že každá kvadratická rovnice může být vyřešena pomocí diskriminantu! Dokonce neúplné.
Všimli jste si odmocniny z diskriminantu ve vzorci pro odmocniny? Ale diskriminant může být negativní. co dělat? Musíme věnovat zvláštní pozornost kroku 2. Diskriminant nám říká počet kořenů rovnice.
- Pokud, pak má rovnice kořeny:
- Pokud, pak má rovnice stejné kořeny a ve skutečnosti jeden kořen:
Takové kořeny se nazývají dvojité kořeny.
- Pokud, pak kořen diskriminantu není extrahován. To znamená, že rovnice nemá kořeny.
Proč jsou možné různé počty kořenů? Vraťme se ke geometrickému významu kvadratické rovnice. Grafem funkce je parabola:
Ve speciálním případě, kterým je kvadratická rovnice, . To znamená, že kořeny kvadratické rovnice jsou průsečíky s osou úsečky (osa). Parabola nemusí osu protínat vůbec, nebo ji může protínat v jednom (když vrchol paraboly leží na ose) nebo dvou bodech.
Kromě toho je koeficient zodpovědný za směr větví paraboly. Jestliže, pak větve paraboly směřují nahoru a jestliže, pak dolů.
Příklady:
Řešení:
Odpověď:
Odpověď: .
Odpověď:
To znamená, že neexistují žádná řešení.
Odpověď: .
2. Vietova věta
Je velmi snadné použít Vietovu větu: stačí vybrat dvojici čísel, jejichž součin se rovná volnému členu rovnice a součet se rovná druhému koeficientu, branému s opačným znaménkem.
Je důležité si uvědomit, že Vietův teorém lze použít pouze v redukované kvadratické rovnice ().
Podívejme se na několik příkladů:
Příklad č. 1:
Vyřešte rovnici.
Řešení:
Tuto rovnici lze vyřešit pomocí Vietovy věty, protože . Další koeficienty: ; .
Součet kořenů rovnice je:
A produkt se rovná:
Vyberme dvojice čísel, jejichž součin se rovná, a zkontrolujeme, zda se jejich součet rovná:
- A. Částka se rovná;
- A. Částka se rovná;
- A. Částka je stejná.
a jsou řešením systému:
Tak a jsou kořeny naší rovnice.
Odpověď: ; .
Příklad č. 2:
Řešení:
Vyberme dvojice čísel, které dávají v součinu, a pak zkontrolujte, zda se jejich součet rovná:
a: dávají celkem.
a: dávají celkem. K získání stačí jednoduše změnit znaky předpokládaných kořenů: a koneckonců i produkt.
Odpověď:
Příklad č. 3:
Řešení:
Volný člen rovnice je záporný, a proto je součin kořenů záporné číslo. To je možné pouze v případě, že jeden z kořenů je záporný a druhý kladný. Součet kořenů je tedy roven rozdíly jejich modulů.
Vyberme takové dvojice čísel, které dávají součin a jejichž rozdíl je roven:
a: jejich rozdíl je stejný - nesedí;
a: - nevhodné;
a: - nevhodné;
a: - vhodné. Nezbývá než si připomenout, že jeden z kořenů je negativní. Protože jejich součet se musí rovnat, odmocnina s menším modulem musí být záporná: . Kontrolujeme:
Odpověď:
Příklad č. 4:
Vyřešte rovnici.
Řešení:
Rovnice je dána, což znamená:
Volný člen je záporný, a proto je součin kořenů záporný. A to je možné pouze tehdy, když je jeden kořen rovnice záporný a druhý kladný.
Vyberme dvojice čísel, jejichž součin se rovná, a pak určíme, které kořeny by měly mít záporné znaménko:
Je zřejmé, že pouze kořeny a jsou vhodné pro první podmínku:
Odpověď:
Příklad č. 5:
Vyřešte rovnici.
Řešení:
Rovnice je dána, což znamená:
Součet kořenů je záporný, což znamená, že alespoň jeden z kořenů je záporný. Ale protože jejich produkt je pozitivní, znamená to, že oba kořeny mají znaménko mínus.
Vyberme dvojice čísel, jejichž součin je roven:
Je zřejmé, že kořeny jsou čísla a.
Odpověď:
Souhlasíte, je velmi výhodné přijít s kořeny ústně, namísto počítání tohoto ošklivého diskriminantu. Snažte se co nejčastěji používat Vietovu větu.
Ale Vietův teorém je potřebný, aby se usnadnilo a urychlilo hledání kořenů. Abyste z toho měli užitek, musíte akce zautomatizovat. A k tomu vyřešte dalších pět příkladů. Ale nepodvádějte: nemůžete použít diskriminant! Pouze Vietův teorém:
Řešení úkolů pro samostatnou práci:
Úkol 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Podle Vietovy věty:
Jako obvykle začínáme výběr kouskem:
Nevhodné, protože množství;
: částka je přesně to, co potřebujete.
Odpověď: ; .
Úkol 2.
A opět naše oblíbená Vieta věta: součet se musí rovnat a součin se musí rovnat.
Ale protože to musí být ne, ale, měníme znaménka kořenů: a (celkem).
Odpověď: ; .
Úkol 3.
Hmm... Kde to je?
Musíte přesunout všechny termíny do jedné části:
Součet kořenů se rovná součinu.
Dobře, přestaň! Rovnice není dána. Ale Vietův teorém je použitelný pouze v daných rovnicích. Nejprve je tedy potřeba dát rovnici. Pokud nemůžete vést, vzdejte se této myšlenky a řešte ji jiným způsobem (například diskriminantem). Dovolte mi, abych vám připomněl, že zadat kvadratickou rovnici znamená, aby se vedoucí koeficient rovnal:
Velký. Potom se součet kořenů rovná a součin.
Vybrat si zde je snadné: koneckonců je to prvočíslo (omlouvám se za tautologii).
Odpověď: ; .
Úkol 4.
Volný člen je záporný. Co je na tom zvláštního? A faktem je, že kořeny budou mít různá znamení. A nyní, během výběru, nekontrolujeme součet kořenů, ale rozdíl v jejich modulech: tento rozdíl je roven, ale součin.
Kořeny se tedy rovnají a, ale jeden z nich je mínus. Vietův teorém nám říká, že součet kořenů se rovná druhému koeficientu s opačným znaménkem, tzn. To znamená, že menší kořen bude mít mínus: a od.
Odpověď: ; .
Úkol 5.
Co byste měli udělat jako první? Přesně tak, dej rovnici:
Opět: vybereme faktory čísla a jejich rozdíl by se měl rovnat:
Kořeny se rovnají a, ale jeden z nich je mínus. Který? Jejich součet by se měl rovnat, což znamená, že mínus bude mít větší odmocninu.
Odpověď: ; .
Dovolte mi to shrnout:
- Vietův teorém se používá pouze v uvedených kvadratických rovnicích.
- Pomocí Vietovy věty můžete najít kořeny výběrem, ústně.
- Pokud rovnice není dána nebo není nalezena vhodná dvojice faktorů volného členu, pak neexistují celé kořeny a je třeba to řešit jiným způsobem (například přes diskriminant).
3. Metoda výběru celého čtverce
Pokud jsou všechny členy obsahující neznámou reprezentovány ve formě členů ze zkrácených vzorců pro násobení - druhé mocniny součtu nebo rozdílu - pak po nahrazení proměnných může být rovnice prezentována ve formě neúplné kvadratické rovnice typu.
Například:
Příklad 1:
Řešte rovnici: .
Řešení:
Odpověď:
Příklad 2:
Řešte rovnici: .
Řešení:
Odpověď:
Obecně bude transformace vypadat takto:
Následuje: .
Nepřipomíná vám to nic? To je diskriminační věc! Přesně tak jsme dostali diskriminační vzorec.
KVADRÁTOVÉ ROVNICE. KRÁTCE O HLAVNÍCH VĚCÍCH
Kvadratická rovnice- jedná se o rovnici tvaru, kde - neznámá, - koeficienty kvadratické rovnice, - volný člen.
Kompletní kvadratická rovnice- rovnice, ve které se koeficienty nerovnají nule.
Redukovaná kvadratická rovnice- rovnice, ve které je koeficient, tj.: .
Neúplná kvadratická rovnice- rovnice, ve které se koeficient a nebo volný člen c rovnají nule:
- pokud je koeficient, rovnice vypadá takto:
- pokud existuje volný člen, rovnice má tvar: ,
- jestliže a, rovnice vypadá takto: .
1. Algoritmus pro řešení neúplných kvadratických rovnic
1.1. Neúplná kvadratická rovnice tvaru, kde:
1) Vyjádřeme neznámé: ,
2) Zkontrolujte znaménko výrazu:
- jestliže, pak rovnice nemá řešení,
- jestliže, pak má rovnice dva kořeny.
1.2. Neúplná kvadratická rovnice tvaru, kde:
1) Vyjmeme společný faktor ze závorek: ,
2) Součin je roven nule, pokud je alespoň jeden z faktorů roven nule. Rovnice má tedy dva kořeny:
1.3. Neúplná kvadratická rovnice tvaru, kde:
Tato rovnice má vždy pouze jeden kořen: .
2. Algoritmus pro řešení úplných kvadratických rovnic ve tvaru kde
2.1. Řešení pomocí diskriminantu
1) Uveďme rovnici do standardního tvaru: ,
2) Vypočítejme diskriminant pomocí vzorce: , který udává počet kořenů rovnice:
3) Najděte kořeny rovnice:
- jestliže, pak rovnice má kořeny, které najdeme podle vzorce:
- jestliže, pak má rovnice kořen, který se najde podle vzorce:
- jestliže, pak rovnice nemá kořeny.
2.2. Řešení pomocí Vietovy věty
Součet kořenů redukované kvadratické rovnice (rovnice tvaru kde) je roven a součin kořenů je roven, tzn. , A.
2.3. Řešení metodou výběru úplného čtverce
Pokud má kvadratická rovnice tvaru kořeny, lze ji zapsat ve tvaru: .
No, téma skončilo. Pokud čtete tyto řádky, znamená to, že jste velmi cool.
Protože jen 5 % lidí je schopno něco zvládnout samo. A pokud dočtete až do konce, pak jste v těchto 5%!
Teď to nejdůležitější.
Pochopili jste teorii na toto téma. A opakuji, tohle... to je prostě super! Už teď jste lepší než drtivá většina vašich vrstevníků.
Problém je, že to nemusí stačit...
za co?
Za úspěšné složení jednotné státní zkoušky, za vstup na vysokou školu s omezeným rozpočtem a NEJDŮLEŽITĚJŠÍ, na celý život.
Nebudu tě o ničem přesvědčovat, řeknu jen jedno...
Lidé, kteří získali dobré vzdělání, vydělávají mnohem více než ti, kteří ho nezískali. Toto je statistika.
Ale to není to hlavní.
Hlavní je, že jsou VÍCE ŠŤASTNĚ (takové studie jsou). Možná proto, že se před nimi otevírá mnohem více příležitostí a život se stává jasnějším? nevím...
Ale zamyslete se sami...
Co je potřeba k tomu, abyste byli ve sjednocené státní zkoušce lepší než ostatní a nakonec byli... šťastnější?
ZÍSKEJTE SI RUKU ŘEŠENÍM PROBLÉMŮ NA TOMTO TÉMATU.
Při zkoušce se vás nebudou ptát na teorii.
budete potřebovat řešit problémy s časem.
A pokud jste je nevyřešili (HODNĚ!), určitě někde uděláte hloupou chybu nebo prostě nebudete mít čas.
Je to jako ve sportu – je potřeba to mnohokrát opakovat, abyste zaručeně vyhráli.
Najděte sbírku, kdekoli chcete, nutně s řešeními, podrobným rozborem a rozhodnout, rozhodnout, rozhodnout!
Můžete využít naše úkoly (volitelné) a my je samozřejmě doporučujeme.
Abyste mohli lépe používat naše úkoly, musíte pomoci prodloužit životnost učebnice YouClever, kterou právě čtete.
Jak? Jsou dvě možnosti:
- Odemkněte všechny skryté úkoly v tomto článku -
- Odemkněte přístup ke všem skrytým úkolům ve všech 99 článcích učebnice - Koupit učebnici - 499 RUR
Ano, takových článků máme v učebnici 99 a přístup ke všem úkolům a všem skrytým textům v nich lze okamžitě otevřít.
Přístup ke všem skrytým úkolům je poskytován po CELOU životnost webu.
A závěrem...
Pokud se vám naše úkoly nelíbí, najděte si jiné. Nezůstávejte jen u teorie.
„Rozumím“ a „Dokážu vyřešit“ jsou zcela odlišné dovednosti. Potřebujete obojí.
Najděte problémy a řešte je!
