Význam vektorového součinu. Vektorový součin vektorů

Definice. Vektorový součin vektoru a a vektoru b je vektor označený symbolem [α, b] (nebo l x b), takže 1) délka vektoru [a, b] je rovna (p, kde y je úhel mezi vektory a a b ( obr. 31) vektor [a, b) je kolmý na vektory a a b, tzn. kolmé k rovině těchto vektorů; 3) vektor [a, b] je nasměrován tak, že od konce tohoto vektoru je vidět nejkratší obrat z a do b proti směru hodinových ručiček (obr. 32). Rýže. 32 Obr.31 Jinými slovy, vektory a, b a [a, b) tvoří pravostranný triplet vektorů, tzn. umístěné jako palec, ukazováček a prostředníček pravé ruky. Pokud jsou vektory a a b kolineární, budeme předpokládat, že [a, b] = 0. Podle definice je délka vektorového součinu číselně rovna ploše Sa rovnoběžníku (obr. 33), sestrojeného na vynásobeném vektory a a b jako strany: 6.1 . Vlastnosti vektorového součinu 1. Vektorový součin je roven nulovému vektoru právě tehdy, když je alespoň jeden z vynásobených vektorů nulový nebo když jsou tyto vektory kolineární (jsou-li vektory a a b kolineární, pak úhel mezi nimi je buď 0 nebo 7r). Najděte oblast trojúhelníku (obr. 36). Je zřejmé, že plocha b"d trojúhelníku OAO je rovna polovině plochy S rovnoběžníku O AC B. Výpočtem vektorového součinu (a, b| vektorů a = OA a b = ob získáme Poznámka: Vektorový součin není asociativní, tj. rovnost ( (a, b),c) = [a, |b,c)) v obecném případě neplatí. Například pro a = ss j máme §. 7. Smíšený součin vektorů Vynásobme vektory a, b, c a 1> vektorem [a, 1>] ), c).Číslo ([a, b], e) se nazývá smíšený součin vektorů a, b a značí se symbolem (a, 1), vektory a, b a c jsou nazývaný v tomto případě koplanární), pak smíšený součin ([a, b], c) = 0. To vyplývá ze skutečnosti, že vektor [a, b| je kolmý k rovině, ve které leží vektory a a 1. ", a tedy k vektoru c. / Pokud body O, A, B, C neleží ve stejné rovině (vektory a, b a c jsou nekoplanární), sestrojíme na hranách OA rovnoběžnostěn, OB a OS (obr. 38 a). Podle definice vektorového součinu máme (a,b) = So c, kde So je plocha rovnoběžníku OADB a c je jednotkový vektor kolmý na vektory a a b a takový, že trojice a , b, c je pravotočivá, tzn. vektory a, b a c jsou umístěny jako palec, ukazováček a prostředníček pravé ruky (obr. 38 b). Vynásobením obou stran poslední rovnosti zprava skalárně vektorem c získáme vektorový součin vektorů daný souřadnicemi. Smíšená práce. Číslo pc c se rovná výšce h sestrojeného rovnoběžnostěnu se znaménkem „+“, pokud je úhel mezi vektory c a c ostrý (trojité a, b, c – vpravo), a se znaménkem „-“ znaménko, pokud je úhel tupý (trojitý a, b, c - vlevo), takže smíšený součin vektorů a, b a c je roven objemu V kvádru postaveného na těchto vektorech jako na hranách, pokud trojité a, b, c je vpravo a -V, pokud trojité a , b, c - vlevo. Na základě geometrického významu smíšeného součinu můžeme usoudit, že vynásobením stejných vektorů a, b a c v libovolném jiném pořadí vždy dostaneme buď +7 nebo -K. Značka výrobce Obr. 38 reference bude záviset pouze na tom, jakou trojici tvoří vynásobené vektory - vpravo nebo vlevo. Pokud vektory a, b, c tvoří pravotočivou trojici, pak trojice b, c, a a c, a, b budou také pravotočivé. Přitom všechny tři trojice b, a, c; a, c, b a c, b, a - vlevo. Tedy (a,b, c) = (b,c, a) = (c,a,b) = -(b,a,c) = -(a,c,b) = -(c,b , A). Znovu zdůrazňujeme, že smíšený součin vektorů je roven nule pouze tehdy, jsou-li vynásobené vektory a, b, c koplanární: (a, b, c jsou koplanární) 7.2. Smíšený součin v souřadnicích Nechť jsou vektory a, b, c dány jejich souřadnicemi v bázi i, j, k: a = (x\,y\,z]), b= (x2,y2>z2), c = (x3, uz, 23). Najdeme výraz pro jejich smíšený součin (a, b, c). Máme smíšený součin vektorů specifikovaných jejich souřadnicemi v bázi i, J, k, rovný determinantu třetího řádu, jehož čáry jsou složeny příslušně ze souřadnic prvního, druhého a třetího vynásobeného vektoru. Nezbytnou a postačující podmínku pro koplanaritu vektorů a y\, Z|), b = (хъ У2.22), с = (жз, з, 23) zapíšeme ve tvaru У| z, ag2 y2-2 =0. Příklad Uz. Zkontrolujte, zda jsou vektory „ = (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17) koplanární. Vypočítejte výšku h rovnoběžnostěnu postaveného na vektorech a = 31 + 2j - 5k, b = i- j + 4knc = i-3j + k, jestliže za základ vezmeme rovnoběžník postavený na vektorech a a I. Odpovědi

Vektorové kresby je pseudovektor kolmý k rovině sestrojený ze dvou faktorů, který je výsledkem binární operace „násobení vektorů“ nad vektory v trojrozměrném euklidovském prostoru. Vektorový součin nemá vlastnosti komutativnosti a asociativnosti (je antikomutativní) a na rozdíl od skalárního součinu vektorů je vektorem. Široce používán v mnoha inženýrských a fyzikálních aplikacích. Například moment hybnosti a Lorentzova síla jsou zapsány matematicky jako vektorový součin. Křížový součin je užitečný pro „měření“ kolmosti vektorů – modul křížového součinu dvou vektorů se rovná součinu jejich modulů, pokud jsou kolmé, a klesá k nule, jsou-li vektory rovnoběžné nebo antiparalelní.

Vektorový součin lze definovat různými způsoby a teoreticky lze v prostoru libovolné dimenze n vypočítat součin n-1 vektorů, čímž se získá jediný vektor kolmý na všechny. Pokud je však součin omezen na netriviální binární součiny s vektorovými výsledky, pak je tradiční vektorový součin definován pouze v trojrozměrných a sedmirozměrných prostorech. Výsledek vektorového součinu, stejně jako skalárního součinu, závisí na metrice euklidovského prostoru.

Na rozdíl od vzorce pro výpočet vektorů skalárního součinu ze souřadnic v trojrozměrném pravoúhlém souřadnicovém systému závisí vzorec pro křížový součin na orientaci pravoúhlého souřadnicového systému, nebo jinými slovy na jeho „chiralitě“.

Definice:
Vektorový součin vektoru a a vektoru b v prostoru R3 je vektor c, který splňuje následující požadavky:
délka vektoru c je rovna součinu délek vektorů a a b a sinusu úhlu φ mezi nimi:
|c|=|a||b|sin φ;
vektor c je ortogonální ke každému z vektorů a a b;
vektor c je směrován tak, že trojice vektorů abc je pravotočivá;
v případě prostoru R7 je vyžadována asociativita trojice vektorů a, b, c.
Označení:
c===a × b

Rýže. 1. Plocha rovnoběžníku se rovná modulu vektorového produktu

Geometrické vlastnosti křížového produktu:
Nezbytnou a postačující podmínkou pro kolinearitu dvou nenulových vektorů je, že jejich vektorový součin je roven nule.

Modul pro více produktů rovná se plocha S paralelogram konstruovaný na vektorech redukovaných na společný počátek A A b(viz obr. 1).

Li E- jednotkový vektor ortogonální k vektorům A A b a vybrali tak, že tři a,b,e- správně a S je plocha na nich vytvořeného rovnoběžníku (redukovaného na společný počátek), pak platí vzorec pro vektorový součin:
=S e

Obr.2. Objem kvádru pomocí vektorového a skalárního součinu vektorů; tečkované čáry ukazují projekce vektoru c na a × b a vektoru a na b × c, prvním krokem je nalezení skalárních součinů

Li C- nějaký vektor, π - jakákoli rovina obsahující tento vektor, E- jednotkový vektor ležící v rovině π a ortogonální k c,g- jednotkový vektor ortogonální k rovině π a nasměrované tak, že trojice vektorů EKG je správné, pak pro jakékoliv ležení v letadle π vektor A vzorec je správný:
=Pr e a |c|g
kde Pr e a je projekce vektoru e na a
|c|-modul vektoru c

Při použití vektorových a skalárních součinů můžete vypočítat objem rovnoběžnostěnu postaveného na vektorech redukovaných na společný počátek a, b A C. Takový součin tří vektorů se nazývá smíšený.
V=|a (b×c)|
Obrázek ukazuje, že tento objem lze nalézt dvěma způsoby: geometrický výsledek je zachován i při záměně „skalárního“ a „vektorového“ produktu:
V=a×b c=a b×c

Velikost křížového součinu závisí na sinu úhlu mezi původními vektory, takže křížový součin může být vnímán jako stupeň „kolmosti“ vektorů, stejně jako skalární součin může být viděn jako stupeň „rovnoběžnosti“. “. Vektorový součin dvou jednotkových vektorů je roven 1 (jednotkový vektor), pokud jsou původní vektory kolmé, a rovný 0 (nulový vektor), pokud jsou vektory paralelní nebo antiparalelní.

Výraz pro křížový součin v kartézských souřadnicích
Pokud dva vektory A A b definovány svými pravoúhlými kartézskými souřadnicemi, nebo přesněji reprezentovanými na ortonormální bázi
a=(a x,ay,az)
b=(b x, b y, b z)
a souřadnicový systém je pravotočivý, pak jejich vektorový součin má tvar
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Pro zapamatování tohoto vzorce:
i =∑ε ijk a j b k
Kde ε ijk- symbol Levi-Civita.

Angličtina: Wikipedie dělá stránky bezpečnější. Používáte starý webový prohlížeč, který se v budoucnu nebude moci připojit k Wikipedii. Aktualizujte své zařízení nebo se obraťte na správce IT.

中文: The以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。

Španělština: Wikipedia je haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web je que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Aktuální informace o kontaktu a správci informático. Más abajo hay una updatedización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipédia va bientôt augmenter la securité de son site. Pokud používáte aktuální webový navigátor, můžete použít připojení na Wikipédii, protože je to pravda. Merci de mettre à jour votre appareil nebo de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Informace o doplňkových informacích a technikách a angličtině, které jsou k dispozici ci-dessous.

日本語: ???するか情報は以下に英語で提供しています。

Němec: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Tento webový prohlížeč používá nový webový prohlížeč, který není k dispozici na Wikipedii. Bitte aktualisiere dein Gerät nebo sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

italština: Wikipedia se nachází na svém místě. Zůstaňte v používání webového prohlížeče, který není sarà v grado di connetters a Wikipedia v budoucnosti. Za laskavost, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

maďarština: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia je sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare inte commer att Kunna läsa Wikipedia and framtiden. Aktualizace nebo kontakt na správce IT. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

Odstraňujeme podporu pro nezabezpečené verze protokolu TLS, konkrétně TLSv1.0 a TLSv1.1, na které se software vašeho prohlížeče při připojování k našim stránkám spoléhá. To je obvykle způsobeno zastaralými prohlížeči nebo staršími smartphony Android. Nebo to může být rušení od podnikového nebo osobního softwaru "Web Security", který ve skutečnosti snižuje zabezpečení připojení.

Chcete-li získat přístup k našim stránkám, musíte upgradovat svůj webový prohlížeč nebo tento problém vyřešit jiným způsobem. Tato zpráva zůstane do 1. ledna 2020. Po tomto datu nebude váš prohlížeč schopen navázat spojení s našimi servery.

Tato online kalkulačka počítá vektorový součin vektorů. Je uvedeno podrobné řešení. Pro výpočet křížového součinu vektorů zadejte do buněk souřadnice vektorů a klikněte na tlačítko "Vypočítat".

Varování

Vymazat všechny buňky?

Zavřít Vymazat

Pokyny pro zadávání dat.Čísla se zadávají jako celá čísla (příklady: 487, 5, -7623 atd.), desetinná místa (např. 67., 102,54 atd.) nebo zlomky. Zlomek je nutné zadat ve tvaru a/b, kde a a b (b>0) jsou celá čísla nebo desetinná čísla. Příklady 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 atd.

Vektorový součin vektorů

Než přejdeme k definici vektorového součinu vektorů, uvažujme o konceptech uspořádaný vektorový triplet, levý vektorový triplet, pravý vektorový triplet.

Definice 1. Jsou volány tři vektory objednal trojitý(nebo trojitý), pokud je uvedeno, který z těchto vektorů je první, který je druhý a který je třetí.

Záznam cba- znamená - první je vektor C, druhý je vektor b a třetí je vektor A.

Definice 2. Trojice nekoplanárních vektorů abc se nazývá pravý (levý), pokud jsou tyto vektory po zmenšení na společný počátek umístěny stejným způsobem jako velký, neohnutý ukazováček a prostředníček pravé (levé) ruky.

Definice 2 může být formulována různě.

Definice 2". Trojice nekoplanárních vektorů abc se nazývá pravý (levý), jestliže, když je redukován na společný počátek, vektor C se nachází na druhé straně roviny definované vektory A A b, odkud je nejkratší odbočka A Na b prováděno proti směru hodinových ručiček (ve směru hodinových ručiček).

Trojka vektorů abc, znázorněné na Obr. 1 má pravdu a tři abc znázorněno na Obr. 2 je levá.

Pokud jsou dvě trojice vektorů vpravo nebo vlevo, pak se říká, že mají stejnou orientaci. Jinak jsou prý opačné orientace.

Definice 3. Kartézský nebo afinní souřadnicový systém se nazývá pravý (levý), pokud tři základní vektory tvoří pravý (levý) trojitý.

Pro jistotu, v následujícím budeme uvažovat pouze pravotočivé souřadnicové systémy.

Definice 4. Vektorové kresby vektor A do vektoru b nazývaný vektor S, označený symbolem c=[ab] (nebo c=[a,b], popř c=a×b) a splňující následující tři požadavky:

vektorová délka S roven součinu délek vektorů A A b sinusem úhlu φ mezi nimi:

|C|=|[ab]|=|A||b|sinφ;

(1)

vektor S ortogonální ke každému z vektorů A A b;
vektor C nasměrované tak, že tři abc má pravdu.

Křížový součin vektorů má následující vlastnosti:

[ab]=−[ba] (anti-permutabilita faktory);
[(λa)b]=λ [ab] (kombinace vzhledem k číselnému faktoru);
[(a+b)C]=[AC]+[bC] (distributivnost vzhledem k součtu vektorů);
[aa]=0 pro libovolný vektor A.

Geometrické vlastnosti vektorového součinu vektorů

Věta 1. Aby dva vektory byly kolineární, je nutné a postačující, aby jejich vektorový součin byl roven nule.

Důkaz. Nutnost. Nechte vektory A A b kolineární. Potom je úhel mezi nimi 0 nebo 180° a sinφ=hřích180=hřích 0=0. Proto, vezmeme-li v úvahu výraz (1), délku vektoru C rovna nule. Pak C nulový vektor.

Přiměřenost. Nechť vektorový součin vektorů A A b zjevně nula: [ ab]=0. Dokažme, že vektory A A b kolineární. Pokud alespoň jeden z vektorů A A b nula, pak jsou tyto vektory kolineární (protože nulový vektor má neurčitý směr a lze jej považovat za kolineární s jakýmkoli vektorem).

Pokud oba vektory A A b nenulové, pak | A|>0, |b|>0. Poté od [ ab]=0 a z (1) to vyplývá sinφ=0. Proto vektory A A b kolineární.

Věta je dokázána.

Věta 2. Délka (modul) vektorového součinu [ ab] se rovná ploše S paralelogram konstruovaný na vektorech redukovaných na společný počátek A A b.

Důkaz. Jak víte, plocha rovnoběžníku se rovná součinu sousedních stran tohoto rovnoběžníku a sinusu úhlu mezi nimi. Proto:

Pak má vektorový součin těchto vektorů tvar:

Rozšířením determinantu o prvky prvního řádku získáme rozklad vektoru a×b podle základu i, j, k, což je ekvivalentní vzorci (3).

Důkaz věty 3. Vytvořme všechny možné dvojice bázových vektorů i, j, k a vypočítat jejich vektorový součin. Je třeba vzít v úvahu, že základní vektory jsou vzájemně ortogonální, tvoří pravotočivou trojici a mají jednotkovou délku (jinými slovy, můžeme předpokládat, že i={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k=(0, 0, 1)). Pak máme:

Z poslední rovnosti a vztahů (4) získáme:

Vytvořme matici 3x3, jejíž první řádek jsou základní vektory i, j, k, a zbývající řádky jsou vyplněny vektorovými prvky A A b.

SMÍŠENÝ PRODUKT TŘÍ VEKTORŮ A JEHO VLASTNOSTI

Smíšená práce tři vektory se nazývá číslo rovné . Určeno . Zde jsou první dva vektory násobeny vektorově a následně je výsledný vektor násoben skalárně třetím vektorem. Je zřejmé, že takový produkt je určitý počet.

Uvažujme vlastnosti smíšeného produktu.

Geometrický význam smíšená práce. Smíšený součin 3 vektorů až do znaménka se rovná objemu kvádru postaveného na těchto vektorech, jako na hranách, tzn. .
Tak a .

Důkaz. Nechme stranou vektory ze společného počátku a sestrojme na nich rovnoběžnostěn. Označme a poznamenejme, že . Podle definice skalárního součinu

Za předpokladu, že a označující tím h zjistěte výšku rovnoběžnostěnu.

Tedy, když

Pokud, tak ano. Proto, .

Kombinací obou těchto případů dostaneme nebo .

Z důkazu této vlastnosti zejména vyplývá, že je-li trojice vektorů pravotočivá, pak smíšený součin je , a je-li levotočivý, pak .
Pro všechny vektory , platí rovnost
Důkaz této vlastnosti vyplývá z vlastnosti 1. Je skutečně snadné prokázat, že a . Kromě toho se znaménka „+“ a „–“ berou současně, protože úhly mezi vektory a a a jsou ostré i tupé.
Když jsou jakékoli dva faktory přeskupeny, smíšený produkt změní znaménko.
Pokud totiž uvažujeme smíšený produkt, pak např. popř
Smíšený součin tehdy a jen tehdy, když je jeden z faktorů roven nule nebo jsou vektory koplanární.
Důkaz.

Nezbytnou a postačující podmínkou pro koplanaritu 3 vektorů je tedy to, že jejich smíšený součin je roven nule. Navíc z toho plyne, že tři vektory tvoří základ v prostoru if .

Pokud jsou vektory uvedeny v souřadnicovém tvaru, pak lze ukázat, že jejich smíšený součin lze nalézt podle vzorce:

.

Smíšený součin se tedy rovná determinantu třetího řádu, který má souřadnice prvního vektoru v prvním řádku, souřadnice druhého vektoru ve druhém řádku a souřadnice třetího vektoru ve třetím řádku.

Příklady.

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

Rovnice F(x, y, z)= 0 definuje v prostoru Oxyz nějaký povrch, tzn. místo bodů, jejichž souřadnice x, y, z splnit tuto rovnici. Tato rovnice se nazývá povrchová rovnice a x, y, z– aktuální souřadnice.

Často však povrch není specifikován rovnicí, ale jako množina bodů v prostoru, které mají tu či onu vlastnost. V tomto případě je nutné najít rovnici povrchu na základě jeho geometrických vlastností.

ROVINA.

NORMÁLNÍ ROVINNÝ VEKTOR.

ROVNICE LETADLA PROLETUJÍCÍHO DANÝM BODEM

Uvažujme libovolnou rovinu σ v prostoru. Jeho poloha je určena určením vektoru kolmého k této rovině a nějakého pevného bodu M0(x 0, y 0, z 0), ležící v rovině σ.

Vektor kolmý k rovině σ se nazývá normální vektor této roviny. Nechť má vektor souřadnice .

Odvoďme rovnici roviny σ procházející tímto bodem M0 a mající normální vektor. K tomu vezměte libovolný bod v rovině σ M(x, y, z) a zvažte vektor .

Za jakýkoli bod MО σ je vektor Proto je jejich skalární součin roven nule. Tato rovnost je podmínkou, že bod MО σ. Platí pro všechny body této roviny a je porušeno, jakmile bod M bude mimo rovinu σ.

Označíme-li body poloměrovým vektorem M, – vektor poloměru bodu M0, pak lze rovnici zapsat ve tvaru

Tato rovnice se nazývá vektor rovinná rovnice. Pojďme to napsat v souřadnicovém tvaru. Od té doby

Získali jsme tedy rovnici roviny procházející tímto bodem. K vytvoření rovnice roviny tedy potřebujete znát souřadnice normálového vektoru a souřadnice nějakého bodu ležícího v rovině.

Všimněte si, že rovnice roviny je rovnicí 1. stupně vzhledem k aktuálním souřadnicím x, y A z.

Příklady.

OBECNÁ ROVNICE LETADLA

Lze ukázat, že jakákoli rovnice prvního stupně s ohledem na kartézské souřadnice x, y, z představuje rovnici nějaké roviny. Tato rovnice je napsána takto:

Ax+By+Cz+D=0

a nazývá se obecná rovnice rovinu a souřadnice A, B, C zde jsou souřadnice normálového vektoru roviny.

Uvažujme speciální případy obecné rovnice. Pojďme zjistit, jak je rovina umístěna vzhledem k souřadnicovému systému, pokud se jeden nebo více koeficientů rovnice stane nulou.

A je délka segmentu odříznutého rovinou na ose Vůl. Podobně lze ukázat, že b A C– délky segmentů odříznutých uvažovanou rovinou na osách Oj A Oz.

Pro konstrukci rovin je vhodné použít rovnici roviny v úsecích.