Co je přímá a nepřímá úměra? Přímé a nepřímé úměrné vztahy

Typy závislostí

Podívejme se na nabíjení baterie. Jako první množství uveďme čas potřebný k nabití. Druhá hodnota je doba, po kterou bude fungovat po nabití. Čím déle baterii nabíjíte, tím déle vydrží. Proces bude pokračovat, dokud nebude baterie plně nabitá.

Závislost provozní doby baterie na době jejího nabíjení

Poznámka 1

Tato závislost se nazývá řídit:

Jak se jedna hodnota zvyšuje, zvyšuje se i druhá. Jak jedna hodnota klesá, druhá hodnota také klesá.

Podívejme se na další příklad.

Čím více knih student přečte, tím méně chyb v diktátu udělá. Nebo čím výše v horách vystoupáte, tím nižší bude atmosférický tlak.

Poznámka 2

Tato závislost se nazývá zvrátit:

Jak jedna hodnota roste, druhá klesá. Když jedna hodnota klesá, druhá hodnota se zvyšuje.

Tedy v případě přímou závislost obě veličiny se mění stejně (obě buď rostou, nebo klesají), a v případě inverzní vztah– opak (jeden se zvyšuje a druhý snižuje, nebo naopak).

Určování závislostí mezi veličinami

Příklad 1

Návštěva přítele trvá 20 $ minut. Pokud se rychlost (první hodnota) zvýší o $2$ krát, zjistíme, jak se změní čas (druhá hodnota), který strávíme na cestě za přítelem.

Čas se samozřejmě zkrátí o 2 $ krát.

Poznámka 3

Tato závislost se nazývá úměrný:

Kolikrát se změní jedna veličina, kolikrát se změní druhá veličina.

Příklad 2

Za 2 $ bochníky chleba v obchodě musíte zaplatit 80 rublů. Pokud potřebujete koupit bochníky chleba za 4 $ (množství chleba se zvýší o 2 $ krát), kolikrát budete muset zaplatit?

Je zřejmé, že náklady se také zvýší 2 $ krát. Máme příklad proporcionální závislosti.

V obou příkladech byly uvažovány proporcionální závislosti. Ale v příkladu s bochníky chleba se množství mění jedním směrem, takže závislost je řídit. A v příkladu chození k příteli je vztah mezi rychlostí a časem zvrátit. Tak existuje přímo úměrný vztah A nepřímo úměrný vztah.

Přímá úměrnost

Uvažujme poměrné množství 2 $: počet bochníků chleba a jejich cenu. Nechte 2 $ bochníky chleba stát $ 80 $ rublů. Pokud se počet buchet zvýší o 4 $ krát (8 $ housky), jejich celková cena bude 320 $ rublů.

Poměr počtu bochánků: $\frac(8)(2)=4$.

Poměr ceny buchty: $\frac(320)(80)=4 $.

Jak vidíte, tyto vztahy jsou si navzájem rovné:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

Definice 1

Rovnost dvou poměrů se nazývá poměr.

S přímo úměrnou závislostí se získá vztah, když se změna první a druhé veličiny shoduje:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

Definice 2

Obě veličiny se nazývají přímo úměrné, jestliže se při změně (zvýšení nebo snížení) jedné z nich o stejnou hodnotu změní (zvýší, resp. sníží) i druhá hodnota.

Příklad 3

Auto ujelo 180 $ km za $ 2 hodiny. Najděte čas, během kterého urazí 2$ krát vzdálenost stejnou rychlostí.

Řešení.

Čas je přímo úměrný vzdálenosti:

$t=\frac(S)(v)$.

Kolikrát se vzdálenost prodlouží při konstantní rychlosti o stejnou hodnotu:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

Auto ujelo 180 $ km za $ 2 hodiny

Auto ujede $180 \cdot 2=360$ km - za $x$ hodin

Čím dále auto jede, tím déle to bude trvat. V důsledku toho je vztah mezi veličinami přímo úměrný.

Udělejme poměr:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

Odpověď: Auto bude potřebovat 4 $ hodiny.

Inverzní úměrnost

Definice 3

Řešení.

Čas je nepřímo úměrný rychlosti:

$t=\frac(S)(v)$.

Kolikrát se rychlost zvýší, při stejné dráze se čas sníží o stejnou hodnotu:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

Zapišme si problémový stav ve formě tabulky:

Auto ujelo 60 $ km - za $ 6 $ hodin

Auto ujede 120 $ km – za $ x $ hodin

Čím rychleji auto jede, tím méně času to zabere. V důsledku toho je vztah mezi veličinami nepřímo úměrný.

Udělejme poměr.

Protože proporcionalita je inverzní, druhý vztah v poměru je obrácený:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

Odpověď: Auto bude potřebovat 3 $ hodin.

Hlavní cíle:

zavést pojem přímé a nepřímo úměrné závislosti veličin;
naučit, jak řešit problémy pomocí těchto závislostí;
podporovat rozvoj dovedností řešení problémů;
upevnit dovednost řešení rovnic pomocí proporcí;
opakujte kroky s běžnými a desetinnými zlomky;
rozvíjet logické myšlení žáků.

PRŮBĚH LEKCE

já Sebeurčení pro činnost(organizační moment)

- Kluci! Dnes se v lekci seznámíme s problémy řešenými pomocí proporcí.

II. Aktualizace znalostí a zaznamenávání potíží v činnostech

2.1. Ústní práce (3 min)

– Najděte význam výrazů a najděte slovo zašifrované v odpovědích.

14 – s; 0,1 – a; 7 – l; 0,2 – a; 17 – in; 25 – do

– Výsledné slovo je síla. Dobrá práce!
– Motto naší dnešní lekce: Síla je ve znalostech! Hledám – to znamená, že se učím!
– Z výsledných čísel sestavte poměr. (14:7 = 0,2:0,1 atd.)

2.2. Uvažujme o vztahu mezi veličinami, které známe (7 min)

– vzdálenost, kterou vůz urazí konstantní rychlostí, a čas jeho pohybu: S = v t ( s rostoucí rychlostí (časem) se vzdálenost zvětšuje;
– rychlost vozidla a čas strávený na cestě: v=S:t(jak se prodlužuje doba jízdy, rychlost klesá);
– cena zboží zakoupeného za jednu cenu a jeho množství: C = a · n (se zvýšením (poklesem) ceny pořizovací náklady rostou (klesají));
– cena produktu a jeho množství: a = C: n (s nárůstem množství cena klesá)
– plocha obdélníku a jeho délka (šířka): S = a · b (s rostoucí délkou (šířkou) se plocha zvětšuje;
– délka a šířka obdélníku: a = S: b (jak se délka zvětšuje, šířka se zmenšuje;
– počet pracovníků vykonávajících nějakou práci se stejnou produktivitou práce a doba potřebná k dokončení této práce: t = A: n (s rostoucím počtem pracovníků klesá doba strávená prováděním práce) atd. .

Získali jsme závislosti, ve kterých při několikanásobném zvýšení jedné veličiny o stejnou hodnotu okamžitě vzroste jiná (příklady jsou znázorněny šipkami) a závislosti, ve kterých při několikanásobném zvýšení jedné veličiny druhá veličina klesá o stejný početkrát.
Takové závislosti se nazývají přímá a nepřímá úměrnost.
Přímo úměrná závislost– vztah, kdy jak jedna hodnota několikrát vzroste (klesne), druhá hodnota se zvýší (sníží) o stejnou hodnotu.
Nepřímo úměrný vztah– vztah, kdy jak jedna hodnota několikrát vzroste (klesne), druhá hodnota se sníží (roste) o stejnou hodnotu.

III. Stanovení učebního úkolu

– Jaký problém nás čeká? (Naučte se rozlišovat mezi přímou a inverzní závislostí)
- toto - cíl naše lekce. Nyní formulujte téma lekce. (Přímý a nepřímý úměrný vztah).
- Výborně! Zapište si téma lekce do sešitu. (Učitel napíše téma na tabuli.)

IV. „Objevování“ nových poznatků(10 min)

Podívejme se na problém č. 199.

1. Tiskárna vytiskne 27 stránek za 4,5 minuty. Jak dlouho bude trvat vytištění 300 stran?

27 stran – 4,5 min.
300 stran - x?

2. Krabička obsahuje 48 balení čaje, každé 250 g. Kolik 150g balení tohoto čaje získáte?

48 balení – 250 g.
X? – 150 g.

3. Vůz ujel 310 km, spotřeboval 25 litrů benzínu. Jak daleko ujede auto na plnou 40L nádrž?

310 km – 25 l
X? - 40 l

4. Jedno z ozubených kol spojky má 32 zubů a druhé 40. Kolik otáček udělá druhý převod, zatímco první udělá 215 otáček?

32 zubů – 315 ot.
40 zubů – x?

K sestavení poměru je nutný jeden směr šipek, v nepřímé úměrnosti je jeden poměr nahrazen inverzním.

U tabule žáci na místě zjišťují význam veličin, žáci řeší jednu úlohu dle vlastního výběru.

– Formulujte pravidlo pro řešení úloh s přímou a nepřímo úměrnou závislostí.

Na desce se objeví tabulka:

V. Primární upevňování ve vnější řeči(10 min)

Zadání pracovních listů:

Z 21 kg bavlníkových semen bylo získáno 5,1 kg oleje.
Kolik oleje se získá ze 7 kg bavlníkových semen?

Při výstavbě stadionu 5 buldozerů vyklidilo místo za 210 minut. Jak dlouho by trvalo 7 buldozerům vyčistit tuto lokalitu?VI. Samostatná práce s autotestem dle normy

(5 min)
Dva studenti plní úkol č. 225 samostatně na skrytých deskách a zbytek - v sešitech. Poté zkontrolují práci algoritmu a porovnají ji s řešením na desce. Chyby jsou opraveny a jsou určeny jejich příčiny. Pokud je úkol splněn správně, studenti vedle sebe dají znaménko „+“.

Studenti, kteří při samostatné práci chybují, mohou využít konzultanty.№ 271, № 270.

VII. Zařazení do systému znalostí a opakování

V představenstvu pracuje šest lidí. Po 3-4 minutách studenti pracující u tabule prezentují svá řešení a ostatní zkontrolují zadání a zapojí se do jejich diskuse.

VIII. Zamyšlení nad aktivitou (shrnutí lekce)
– Co nového jste se v lekci naučili?
-Co opakovali?
– Jaký je algoritmus pro řešení proporčních problémů?
– Dosáhli jsme svého cíle?

– Jak hodnotíte svou práci?

– Jak hodnotíte svou práci? Lineární funkce

je funkce, která může být specifikována vzorcem y = kx + b,

kde x je nezávislá proměnná, kab jsou nějaká čísla.

Grafem lineární funkce je přímka. sklon přímky– graf funkce y = kx + b.

Je-li k > 0, pak úhel sklonu přímky y = kx + b k ose X pikantní; pokud k< 0, то этот угол тупой.

Pokud jsou sklony čar, které jsou grafy dvou lineárních funkcí, různé, pak se tyto přímky protínají. A pokud jsou úhlové koeficienty stejné, pak jsou čáry rovnoběžné.

Graf funkce y =kx +b, kde k ≠ 0, je přímka rovnoběžná s přímkou y = kx.

Přímá úměrnost.

Přímá úměrnost je funkce, kterou lze specifikovat vzorcem y = kx, kde x je nezávislá proměnná, k je nenulové číslo. Volá se číslo k koeficient přímé úměrnosti.

Graf přímé úměrnosti je přímka procházející počátkem souřadnic (viz obrázek).

Přímá úměrnost je speciální případ lineární funkce.

Vlastnosti funkcey =kx:

Inverzní úměrnost

Inverzní úměrnost se nazývá funkce, kterou lze specifikovat vzorcem:

k
y = -
x

Kde x je nezávislá proměnná a k– nenulové číslo.

Grafem nepřímé úměrnosti je křivka tzv nadsázka(viz obrázek).

U křivky, která je grafem této funkce, je osa x A y působí jako asymptoty. Asymptota- to je přímka, ke které se body křivky přibližují, když se vzdalují do nekonečna.

k
Vlastnosti funkcey = -:
x

Dnes se podíváme na to, jak se veličinám říká nepřímo úměrné, jak vypadá graf nepřímé úměrnosti a jak se vám to všechno může hodit nejen v hodinách matematiky, ale i mimo školu.

Takové různé proporce

Proporcionalita vyjmenuj dvě veličiny, které jsou na sobě vzájemně závislé.

Závislost může být přímá a inverzní. V důsledku toho jsou vztahy mezi veličinami popsány přímou a nepřímou úměrností.

Přímá úměrnost- jde o takový vztah mezi dvěma veličinami, kdy zvýšení nebo snížení jedné z nich vede ke zvýšení nebo snížení druhé. Tito. jejich postoj se nemění.

Například čím více úsilí věnujete studiu na zkoušky, tím vyšší je vaše hodnocení. Nebo čím více věcí si s sebou na túru vezmete, tím těžší batoh unesete. Tito. Množství úsilí vynaloženého na přípravu na zkoušky je přímo úměrné dosaženým známkám. A počet věcí sbalených v batohu je přímo úměrný jeho váze.

Inverzní úměrnost– jedná se o funkční závislost, kdy několikanásobné snížení nebo zvýšení nezávislé hodnoty (říká se tomu argument) způsobí proporcionální (tj. stejný početkrát) zvýšení nebo snížení závislé hodnoty (označuje se jako funkce).

Ukažme si to na jednoduchém příkladu. Chcete koupit jablka na trhu. Jablka na pultě a množství peněz ve vaší peněžence jsou v nepřímém poměru. Tito. Čím více jablek koupíte, tím méně peněz vám zbude.

Funkce a její graf

Funkci nepřímé úměrnosti lze popsat jako y = k/x. Ve kterém x≠ 0 a k≠ 0.

Tato funkce má následující vlastnosti:

Jeho definičním oborem je množina všech reálných čísel kromě x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
Rozsah jsou všechna reálná čísla kromě y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
Nemá maximální ani minimální hodnoty.
Je lichý a jeho graf je symetrický podle počátku.
Neperiodické.
Jeho graf neprotíná souřadnicové osy.
Nemá žádné nuly.
Li k> 0 (tj. argument se zvětšuje), funkce klesá proporcionálně na každém ze svých intervalů. Li k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
Jak argument narůstá ( k> 0) záporné hodnoty funkce jsou v intervalu (-∞; 0) a kladné hodnoty jsou v intervalu (0; +∞). Když argument klesá ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf funkce inverzní úměrnosti se nazývá hyperbola. Zobrazeno následovně:

Problémy s inverzní proporcionalitou

Aby to bylo jasnější, podívejme se na několik úkolů. Nejsou příliš složité a jejich řešení vám pomůže představit si, co je to nepřímá úměrnost a jak mohou být tyto znalosti užitečné ve vašem každodenním životě.

Úkol č. 1. Automobil se pohybuje rychlostí 60 km/h. Trvalo mu 6 hodin, než se dostal do cíle. Jak dlouho mu bude trvat, než urazí stejnou vzdálenost, pokud se bude pohybovat dvojnásobnou rychlostí?

Můžeme začít tím, že zapíšeme vzorec, který popisuje vztah mezi časem, vzdáleností a rychlostí: t = S/V. Souhlasím, velmi nám to připomíná funkci nepřímé úměrnosti. A naznačuje, že čas, který auto stráví na silnici, a rychlost, kterou se pohybuje, jsou v nepřímém poměru.

Abychom to ověřili, najdeme V 2, které je podle podmínky 2x vyšší: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Poté vypočítáme vzdálenost pomocí vzorce S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Nyní není těžké zjistit čas t 2, který je od nás požadován podle podmínek problému: t 2 = 360/120 = 3 hodiny.

Jak vidíte, doba jízdy a rychlost jsou skutečně nepřímo úměrné: při rychlosti 2krát vyšší, než je původní rychlost, auto stráví 2krát méně času na silnici.

Řešení tohoto problému lze také napsat jako poměr. Nejprve tedy vytvoříme tento diagram:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Šipky označují nepřímo úměrný vztah. Navrhují také, že při sestavování poměru musí být pravá strana záznamu otočena: 60/120 = x/6. Kde získáme x = 60 * 6/120 = 3 hodiny.

Úkol č. 2. Dílna zaměstnává 6 pracovníků, kteří zvládnou dané množství práce za 4 hodiny. Pokud se počet pracovníků sníží na polovinu, jak dlouho bude zbývajícím pracovníkům trvat, než dokončí stejné množství práce?

Zapišme si podmínky problému ve formě vizuálního diagramu:

↓ 6 pracovníků – 4 hodiny

↓ 3 pracovníci – x h

Zapišme to jako podíl: 6/3 = x/4. A dostaneme x = 6 * 4/3 = 8 hodin Pokud je 2krát méně pracovníků, zbývající stráví 2krát více času veškerou prací.

Úkol č. 3. Do bazénu vedou dvě trubky. Jednou trubkou protéká voda rychlostí 2 l/s a naplní bazén za 45 minut. Dalším potrubím se bazén naplní za 75 minut. Jakou rychlostí vstupuje voda tímto potrubím do bazénu?

Pro začátek zredukujme všechny nám dané veličiny podle podmínek úlohy na stejné měrné jednotky. K tomu vyjadřujeme rychlost napouštění bazénu v litrech za minutu: 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Vzhledem k tomu, že podmínka znamená, že se bazén plní druhým potrubím pomaleji, znamená to, že rychlost proudění vody je nižší. Proporcionalita je inverzní. Vyjádřeme neznámou rychlost pomocí x a nakreslete následující diagram:

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

A pak vytvoříme poměr: 120/x = 75/45, odkud x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

V problému je rychlost naplnění bazénu vyjádřena v litrech za sekundu, redukujeme odpověď, kterou jsme dostali, na stejný tvar: 72/60 = 1,2 l/s.

Úkol č. 4. Malá soukromá tiskárna tiskne vizitky. Zaměstnanec tiskárny pracuje rychlostí 42 vizitek za hodinu a pracuje celý den - 8 hodin. Kdyby pracoval rychleji a vytiskl 48 vizitek za hodinu, o kolik dříve by mohl jít domů?

Postupujeme osvědčenou cestou a sestavíme diagram podle podmínek problému, přičemž požadovanou hodnotu označíme jako x:

↓ 42 vizitek/hod – 8 hodin

↓ 48 vizitek/h – x h

Máme nepřímo úměrný vztah: kolikrát více vizitek vytiskne zaměstnanec tiskárny za hodinu, stejně kolikrát méně času bude potřebovat na dokončení stejné práce. Když to víme, vytvoříme poměr:

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 hodin.

Po dokončení práce za 7 hodin tak zaměstnanec tiskárny mohl jít domů o hodinu dříve.

Závěr

Zdá se nám, že tyto problémy s inverzní úměrností jsou opravdu jednoduché. Doufáme, že nyní na ně takto myslíte i vy. A hlavní je, že znalosti o nepřímo úměrné závislosti veličin se vám opravdu mohou nejednou hodit.

Nejen v hodinách matematiky a u zkoušek. Ale i potom, když se chystáte na výlet, nakupujete, rozhodnete se o prázdninách si trochu přivydělat atd.

Napište nám do komentářů, jakých příkladů inverzních a přímo úměrných vztahů si kolem sebe všímáte. Ať je to taková hra. Uvidíte, jak je to vzrušující. Nezapomeňte tento článek sdílet na sociálních sítích, aby si mohli zahrát i vaši přátelé a spolužáci.

blog.site, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.

Příklad

1,6/2 = 0,8;

4/5 = 0,8;

5,6 / 7 = 0,8 atd. Faktor proporcionality Nazývá se konstantní vztah úměrných veličin

Přímá úměrnost

Přímá úměrnost faktor proporcionality . Koeficient úměrnosti ukazuje, kolik jednotek jedné veličiny připadá na jednotku jiné.- funkční závislost, kdy určitá veličina závisí na jiné veličině tak, že jejich poměr zůstává konstantní. Jinými slovy, tyto proměnné se mění

úměrně

, rovným dílem, to znamená, že pokud se argument změní dvakrát v libovolném směru, pak se funkce také změní dvakrát ve stejném směru.(x) = Matematicky je přímá úměrnost zapsána jako vzorec:x,Matematicky je přímá úměrnost zapsána jako vzorec: = FACÓn

Inverzní úměrnost

s t

Inverzní úměrnost

- jedná se o funkční závislost, při které zvýšení nezávislé hodnoty (argumentu) způsobí proporcionální snížení závislé hodnoty (funkce).

Matematicky je nepřímá úměrnost zapsána jako vzorec:

Vlastnosti funkce:

Zdroje

Nadace Wikimedia. 2010. Podívejte se, co je „Přímá proporcionalita“ v jiných slovnících:

Nadace Wikimedia.- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. přímá úměrnost vok. direkte Proportionalität, f rus. přímá úměrnost, f pranc. proporcionalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

- (z lat. proporcionální, poměrný). Proporcionalita. Slovník cizích slov zahrnutých v ruském jazyce. Chudinov A.N., 1910. PROPORCIONALITA lat. proporcionální, proporcionální. Proporcionalita. Vysvětlení 25000...... Slovník cizích slov ruského jazyka

PROPORCIONALITA, proporcionalita, plurál. ne, samice (rezervovat). 1. abstraktní podstatné jméno na proporcionální. Proporcionalita dílů. Proporcionalita těla. 2. Takový vztah mezi veličinami, když jsou úměrné (viz proporcionální ... Ušakovův vysvětlující slovník

Dvě vzájemně závislé veličiny se nazývají proporcionální, pokud poměr jejich hodnot zůstane nezměněn Obsah 1 Příklad 2 Koeficient proporcionality ... Wikipedie

PROPORCIONALITA, a, ženský. 1. viz proporcionální. 2. V matematice: takový vztah mezi veličinami, kdy zvýšení jedné z nich znamená změnu druhé o stejnou hodnotu. Rovná čára (s řezem s nárůstem o jednu hodnotu... ... Ozhegovův výkladový slovník

A; a. 1. až proporcionální (1 hodnota); proporcionality. P. díly. P. tělesná stavba. P. zastoupení v parlamentu. 2. Matematika. Závislost mezi proporcionálně se měnícími veličinami. Faktor proporcionality. Přímá linka (ve které s... ... Encyklopedický slovník