Matematické očekávání je rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Náhodné proměnné

Jak je již známo, distribuční zákon zcela charakterizuje náhodnou veličinu. Často je však zákon o distribuci neznámý a člověk se musí omezit na méně informací. Někdy je ještě výhodnější použít čísla, která popisují náhodnou veličinu celkem; taková čísla se nazývají číselné charakteristiky náhodné veličiny.

Jednou z důležitých číselných charakteristik je matematické očekávání.

Matematické očekávání se přibližně rovná průměrné hodnotě náhodné veličiny.

Matematické očekávání diskrétní náhodné veličiny je součtem součinů všech jeho možných hodnot a jejich pravděpodobností.

Pokud je náhodná veličina charakterizována konečnou distribuční řadou:

X	x 1	x 2	x 3	…	x n
R	p 1	p 2	p 3	…	r p

pak matematické očekávání M(X) určeno vzorcem:

Matematické očekávání spojité náhodné veličiny je určeno rovností:

kde je hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X.

Příklad 4.7. Najděte matematické očekávání počtu bodů, které se objeví při hodu kostkou.

Řešení:

Náhodná hodnota X nabývá hodnot 1, 2, 3, 4, 5, 6. Vytvořme zákon jeho rozdělení:

X
R

Pak je matematické očekávání:

Vlastnosti matematického očekávání:

1. Matematické očekávání konstantní hodnoty se rovná samotné konstantě:

M (S) = S.

2. Konstantní faktor lze vyjmout z matematického znaku očekávání:

M (CX) = CM (X).

3. Matematické očekávání součinu dvou nezávislých náhodných veličin se rovná součinu jejich matematických očekávání:

M(XY) = M(X)M(Y).

Příklad 4.8. Nezávislé náhodné veličiny X A Y jsou dány následujícími distribučními zákony:

X					Y
R	0,6	0,1	0,3		R	0,8	0,2

Najděte matematické očekávání náhodné veličiny XY.

Řešení.

Pojďme najít matematická očekávání každé z těchto veličin:

Náhodné proměnné X A Y nezávislý, proto požadované matematické očekávání je:

M(XY) = M(X)M(Y)=

Následek. Matematické očekávání součinu několika vzájemně nezávislých náhodných veličin se rovná součinu jejich matematických očekávání.

4. Matematické očekávání součtu dvou náhodných proměnných se rovná součtu matematických očekávání členů:

M (X + Y) = M (X) + M (Y).

Následek. Matematické očekávání součtu několika náhodných proměnných se rovná součtu matematických očekávání členů.

Příklad 4.9. Vystřelí se 3 rány s pravděpodobností zásahu cíle rovna p 1 = 0,4; p2= 0,3 a p 3= 0,6. Najděte matematické očekávání celkového počtu zásahů.

Řešení.

Počet zásahů při prvním výstřelu je náhodná veličina X 1, který může nabývat pouze dvou hodnot: 1 (zásah) s pravděpodobností p 1= 0,4 a 0 (chybí) s pravděpodobností q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

Matematické očekávání počtu zásahů při prvním výstřelu se rovná pravděpodobnosti zásahu:

Podobně najdeme matematická očekávání počtu zásahů pro druhý a třetí výstřel:

M(X 2)= 0,3 a M(X3)= 0,6.

Celkový počet zásahů je také náhodná proměnná sestávající ze součtu zásahů v každém ze tří výstřelů:

X = Xi + X2 + X3.

Požadované matematické očekávání X Najdeme ji pomocí věty o matematickém očekávání součtu.

Každá jednotlivá hodnota je zcela určena svou distribuční funkcí. K řešení praktických problémů také stačí znát několik číselných charakteristik, díky nimž je možné prezentovat hlavní rysy náhodné veličiny ve zkrácené podobě.

Tato množství zahrnují především očekávaná hodnota A disperze .

Očekávaná hodnota— průměrná hodnota náhodné veličiny v teorii pravděpodobnosti. Označeno jako .

Nejjednodušším způsobem matematické očekávání náhodné veličiny X(š), zjistěte jak integrálníLebesgue ve vztahu k míře pravděpodobnosti R originál pravděpodobnostní prostor

Můžete také najít matematické očekávání hodnoty jako Lebesgueův integrál z X podle rozdělení pravděpodobnosti R X množství X:

kde je množina všech možných hodnot X.

Matematické očekávání funkcí od náhodné veličiny X nalezené prostřednictvím distribuce R X. Například, Pokud X- náhodná proměnná s hodnotami v a f(x)- jednoznačný Borelovafunkce X , Že:

Li F(x)- distribuční funkce X, pak je matematické očekávání reprezentovatelné integrálníLebesgue - Stieltjes (nebo Riemann - Stieltjes):

v tomto případě integrovatelnost X Ve smyslu ( * ) odpovídá konečnosti integrálu

V konkrétních případech, pokud X má diskrétní rozdělení s pravděpodobnými hodnotami x k, k=1,2, . a pak pravděpodobnosti

Li X má absolutně spojité rozdělení s hustotou pravděpodobnosti p(x), Že

v tomto případě je existence matematického očekávání ekvivalentní absolutní konvergenci odpovídající řady nebo integrálu.

Vlastnosti matematického očekávání náhodné veličiny.

Matematické očekávání konstantní hodnoty se rovná této hodnotě:

C- konstantní;

M=C.M[X]

Matematické očekávání součtu náhodně vybraných hodnot se rovná součtu jejich matematických očekávání:

Matematické očekávání součinu nezávislých náhodně vybraných proměnných = součin jejich matematických očekávání:

M=M[X]+M[Y]

Li X A Y nezávislý.

pokud řada konverguje:

Algoritmus pro výpočet matematického očekávání.

Vlastnosti diskrétních náhodných proměnných: všechny jejich hodnoty lze přečíslovat přirozenými čísly; přiřadit každé hodnotě nenulovou pravděpodobnost.

1. Vynásobte dvojice jednu po druhé: x i na p i.

2. Přidejte produkt každého páru x i p i.

Například, Pro n = 4 :

Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny postupně se prudce zvyšuje v těch bodech, jejichž pravděpodobnosti mají kladné znaménko.

Příklad: Najděte matematické očekávání pomocí vzorce.

Charakteristika DSV a jejich vlastnosti. Očekávání, rozptyl, směrodatná odchylka

Distribuční zákon plně charakterizuje náhodnou veličinu. Pokud však není možné najít distribuční zákon nebo to není vyžadováno, můžete se omezit na hledání hodnot nazývaných číselné charakteristiky náhodné proměnné. Tyto hodnoty určují nějakou průměrnou hodnotu, kolem které jsou seskupeny hodnoty náhodné proměnné, a míru, do jaké jsou kolem této průměrné hodnoty rozptýleny.

Matematické očekávání Diskrétní náhodná veličina je součet součinů všech možných hodnot náhodné veličiny a jejich pravděpodobností.

Matematické očekávání existuje, pokud řada na pravé straně rovnosti absolutně konverguje.

Z hlediska pravděpodobnosti můžeme říci, že matematické očekávání se přibližně rovná aritmetickému průměru pozorovaných hodnot náhodné veličiny.

Příklad. Zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny je znám. Najděte matematické očekávání.

X
p	0.2	0.3	0.1	0.4

Řešení:

9.2 Vlastnosti matematického očekávání

1. Matematické očekávání konstantní hodnoty se rovná samotné konstantě.

2. Konstantní faktor lze vyjmout jako znak matematického očekávání.

3. Matematické očekávání součinu dvou nezávislých náhodných veličin se rovná součinu jejich matematických očekávání.

Tato vlastnost platí pro libovolný počet náhodných proměnných.

4. Matematické očekávání součtu dvou náhodných veličin se rovná součtu matematických očekávání členů.

Tato vlastnost platí také pro libovolný počet náhodných proměnných.

Nechť je provedeno n nezávislých pokusů, přičemž pravděpodobnost výskytu události A je rovna p.

Teorém. Matematické očekávání M(X) počtu výskytů jevu A v n nezávislých pokusech se rovná součinu počtu pokusů a pravděpodobnosti výskytu jevu v každém pokusu.

Příklad. Najděte matematické očekávání náhodné veličiny Z, pokud jsou známa matematická očekávání X a Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Řešení:

9.3 Disperze diskrétní náhodné veličiny

Matematické očekávání však nemůže zcela charakterizovat náhodný proces. Kromě matematického očekávání je nutné zadat hodnotu, která charakterizuje odchylku hodnot náhodné veličiny od matematického očekávání.

Tato odchylka se rovná rozdílu mezi náhodnou veličinou a jejím matematickým očekáváním. V tomto případě je matematické očekávání odchylky nulové. To se vysvětluje tím, že některé možné odchylky jsou kladné, jiné záporné a v důsledku jejich vzájemného zrušení se získá nula.

Rozptyl (rozptyl) diskrétní náhodné veličiny je matematické očekávání druhé mocniny odchylky náhodné veličiny od jejího matematického očekávání.

V praxi je tento způsob výpočtu rozptylu nepohodlný, protože vede k těžkopádným výpočtům pro velký počet hodnot náhodných proměnných.

Proto se používá jiný způsob.

Teorém. Rozptyl je roven rozdílu mezi matematickým očekáváním druhé mocniny náhodné veličiny X a druhou mocninou jejího matematického očekávání.

Důkaz. Vezmeme-li v úvahu skutečnost, že matematické očekávání M(X) a druhá mocnina matematického očekávání M2(X) jsou konstantní veličiny, můžeme napsat:

Příklad. Najděte rozptyl diskrétní náhodné veličiny daný distribučním zákonem.

X
X 2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Řešení: .

9.4 Vlastnosti disperze

1. Rozptyl konstantní hodnoty je nulový. .

2. Konstantní faktor lze ze znaménka disperze vyjmout jeho umocněním. .

3. Rozptyl součtu dvou nezávislých náhodných proměnných je roven součtu rozptylů těchto proměnných. .

4. Rozptyl rozdílu dvou nezávislých náhodných proměnných je roven součtu rozptylů těchto proměnných. .

Teorém. Rozptyl počtu výskytů jevu A v n nezávislých pokusech, z nichž v každém je pravděpodobnost p výskytu jevu konstantní, se rovná součinu počtu pokusů pravděpodobností výskytu a ne- výskyt události v každém pokusu.

9.5 Směrodatná odchylka diskrétní náhodné veličiny

Standardní odchylka náhodná veličina X se nazývá druhá odmocnina rozptylu.

Teorém. Směrodatná odchylka součtu konečného počtu vzájemně nezávislých náhodných proměnných je rovna druhé odmocnině součtu druhých mocnin směrodatných odchylek těchto proměnných.

Matematické očekávání (průměrná hodnota) náhodné veličiny X dané na diskrétním pravděpodobnostním prostoru je číslo m =M[X]=∑x i p i, pokud řada konverguje absolutně.

Účel služby. Použití online služby počítá se matematické očekávání, rozptyl a směrodatná odchylka(viz příklad). Navíc je vykreslen graf distribuční funkce F(X).

Vlastnosti matematického očekávání náhodné veličiny

Matematické očekávání konstantní hodnoty je rovno sobě samé: M[C]=C, C – konstanta;
M=C M[X]
Matematické očekávání součtu náhodných proměnných se rovná součtu jejich matematických očekávání: M=M[X]+M[Y]
Matematické očekávání součinu nezávislých náhodných veličin se rovná součinu jejich matematických očekávání: M=M[X] M[Y] , jestliže X a Y jsou nezávislé.

Disperzní vlastnosti

Rozptyl konstantní hodnoty je nulový: D(c)=0.
Konstantní faktor lze vyjmout zpod znaménka disperze jeho umocněním: D(k*X)= k 2 D(X).
Pokud jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé, pak se rozptyl součtu rovná součtu rozptylů: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
Pokud jsou náhodné proměnné X a Y závislé: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
Pro disperzi platí následující výpočetní vzorec:
D(X)=M(X2)-(M(X)) 2

Příklad. Matematická očekávání a rozptyly dvou nezávislých náhodných veličin X a Y jsou známé: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Najděte matematické očekávání a rozptyl náhodné veličiny Z=9X-8Y+7.
Řešení. Na základě vlastností matematického očekávání: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Na základě vlastností disperze: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Algoritmus pro výpočet matematického očekávání

Vlastnosti diskrétních náhodných proměnných: všechny jejich hodnoty lze přečíslovat přirozenými čísly; Přiřaďte každé hodnotě nenulovou pravděpodobnost.

Dvojice po jedné násobíme: x i x p i .
Sečtěte součin každého páru x i p i .
Například pro n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny postupně se prudce zvyšuje v těch bodech, jejichž pravděpodobnosti jsou kladné.

Příklad č. 1.

x i	1	3	4	7	9
p i	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Matematické očekávání najdeme pomocí vzorce m = ∑x i p i .
Očekávání M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Rozptyl zjistíme pomocí vzorce d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Rozptyl D[X].
D[X] = 1 2 * 0,1 + 3 2 * 0,2 + 4 2 * 0,1 + 7 2 * 0,3 + 9 2 * 0,3 - 5,9 2 = 7,69
Směrodatná odchylka σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78

Příklad č. 2. Diskrétní náhodná veličina má následující distribuční řady:

X	-10	-5	0	5	10
R	A	0,32	2A	0,41	0,03

Najděte hodnotu a, matematické očekávání a směrodatnou odchylku této náhodné veličiny.

Řešení. Hodnotu a zjistíme ze vztahu: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 nebo 0,24 = 3 a , odkud a = 0,08

Příklad č. 3. Určete distribuční zákon diskrétní náhodné veličiny, pokud je znám její rozptyl a x 1 x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = x; x 4 = 15
p 1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p4 = 0,3
d(x)=12,96

Řešení.
Zde musíte vytvořit vzorec pro nalezení rozptylu d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
kde očekávání m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Pro naše data
m(x)=6*0,3+9*0,3+x3 *0,1+15*0,3=9+0,1x3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
nebo -9/100 (x 2 -20x+96)=0
V souladu s tím musíme najít kořeny rovnice a budou dva.
x3=8, x3=12
Vyberte ten, který splňuje podmínku x 1 x 3 = 12

Zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny
x 1 = 6; x 2 = 9; x 3 = 12; x 4 = 15
p 1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p4 = 0,3

Distribuční zákon plně charakterizuje náhodnou veličinu. Často je však zákon o distribuci neznámý a člověk se musí omezit na méně informací. Někdy je ještě výhodnější použít čísla, která celkem popisují náhodnou veličinu, taková čísla se nazývají číselné charakteristiky náhodná proměnná. Jednou z důležitých číselných charakteristik je matematické očekávání.

Matematické očekávání, jak bude ukázáno níže, se přibližně rovná průměrné hodnotě náhodné veličiny. K vyřešení mnoha problémů stačí znát matematické očekávání. Pokud je například známo, že matematické očekávání počtu bodů dosažených prvním střelcem je větší než u druhého střelce, pak první střelec v průměru získá více bodů než druhý, a proto střílí lépe. než druhý.

Definice 4.1: Matematické očekávání Diskrétní náhodná veličina je součtem součinů všech jejích možných hodnot a jejich pravděpodobností.

Nechť náhodnou veličinu X může nabývat pouze hodnot x 1, x 2, … x n, jejichž pravděpodobnosti jsou příslušně stejné p 1, p 2, … p n. Pak matematické očekávání M(X) náhodná proměnná X je určeno rovností

M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + …+ x npn.

Pokud jde o diskrétní náhodnou veličinu X nabývá spočetné sady možných hodnot

Navíc matematické očekávání existuje, pokud řada na pravé straně rovnosti absolutně konverguje.

Příklad. Najděte matematické očekávání počtu výskytů události A v jednom pokusu, je-li pravděpodobnost události A rovná p.

Řešení: Náhodná hodnota X– počet výskytů události A má distribuci Bernoulli, takže

Tím pádem, matematické očekávání počtu výskytů události v jednom pokusu se rovná pravděpodobnosti této události.

Pravděpodobnostní význam matematického očekávání

Ať se vyrábí n testy, ve kterých náhodná veličina X přijato m 1 krát hodnotu x 1, m 2 krát hodnotu x 2 ,…, m k krát hodnotu x k, a m 1 + m 2 + …+ m k = n. Pak součet všech přijatých hodnot X, je roven x 1 m 1 + x 2 m 2 + …+ x k m k .

Aritmetický průměr všech hodnot přijatých náhodnou veličinou bude

přístup m i/n- relativní četnost W i hodnoty x i přibližně rovna pravděpodobnosti, že k události dojde p i, Kde , Proto

Pravděpodobnostní význam získaného výsledku je následující: matematické očekávání je přibližně stejné(čím přesnější, tím větší počet testů) aritmetický průměr pozorovaných hodnot náhodné veličiny.

Vlastnosti matematického očekávání

Vlastnost 1:Matematické očekávání konstantní hodnoty se rovná samotné konstantě

Vlastnost 2:Konstantní faktor lze vzít za znaménko matematického očekávání

Definice 4.2: Dvě náhodné proměnné jsou nazývány nezávislý pokud distribuční zákon jednoho z nich nezávisí na tom, jaké možné hodnoty nabývala druhá veličina. v opačném případě náhodné veličiny jsou závislé.

Definice 4.3: Několik náhodných proměnných volal vzájemně nezávislé pokud zákony rozdělení libovolného počtu z nich nezávisí na možných hodnotách ostatních veličin.

Vlastnost 3:Matematické očekávání součinu dvou nezávislých náhodných veličin se rovná součinu jejich matematických očekávání.

Následek:Matematické očekávání součinu několika vzájemně nezávislých náhodných veličin se rovná součinu jejich matematických očekávání.

Vlastnost 4:Matematické očekávání součtu dvou náhodných proměnných se rovná součtu jejich matematických očekávání.

Následek:Matematické očekávání součtu několika náhodných proměnných se rovná součtu jejich matematických očekávání.

Příklad. Vypočítejme matematické očekávání binomické náhodné veličiny X - datum vzniku události A PROTI n experimenty.

Řešení: Celkový počet X výskytů události A v těchto studiích je součet počtu výskytů události v jednotlivých studiích. Zavedeme náhodné veličiny X i– počet výskytů události v i test, což jsou Bernoulliho náhodné veličiny s matematickým očekáváním, kde . Vlastností matematického očekávání máme

Tím pádem, matematické očekávání binomického rozdělení s parametry n a p se rovná součinu np.

Příklad. Pravděpodobnost zásahu cíle při střelbě z pistole p = 0,6. Najděte matematický odhad celkového počtu zásahů, pokud je vystřeleno 10 výstřelů.

Řešení: Zásah každého výstřelu nezávisí na výsledcích ostatních výstřelů, proto jsou uvažované události nezávislé a v důsledku toho požadované matematické očekávání