Hledání ohraničené rovinné postavy. Příklady

Určitý integrál. Jak vypočítat plochu obrázku

Přejděme k aplikacím integrálního počtu. V této lekci budeme analyzovat typický a nejčastější problém - jak vypočítat plochu rovinného obrazce pomocí určitého integrálu. Konečně ti, kteří hledají smysl ve vyšší matematice – ať ho najdou. Člověk nikdy neví. V reálném životě budete muset aproximovat graf dachy pomocí elementárních funkcí a najít jeho plochu pomocí určitého integrálu.

Pro úspěšné zvládnutí materiálu musíte:

1) Porozumět neurčitému integrálu alespoň na středně pokročilé úrovni. Proto by se figuríny měly nejprve seznámit s lekcí Ne.

2) Umět použít Newton-Leibnizův vzorec a vypočítat určitý integrál. Na stránce Určitý integrál můžete navázat přátelské vztahy s určitými integrály. Příklady řešení.

Ve skutečnosti, abyste našli oblast obrazce, nepotřebujete tolik znalostí o neurčitém a určitém integrálu. Úkol „vypočítat plochu pomocí určitého integrálu“ vždy zahrnuje konstrukci výkresu, takže vaše znalosti a dovednosti v konstrukci výkresů budou mnohem naléhavější otázkou. V tomto ohledu je užitečné osvěžit si paměť grafů základních elementárních funkcí a minimálně umět sestrojit přímku, parabolu a hyperbolu. To lze provést (pro mnohé nutné) pomocí metodického materiálu a článku o geometrických transformacích grafů.

S úkolem najít oblast pomocí určitého integrálu je vlastně každý obeznámen už od školy a my nepůjdeme o moc dál než do školních osnov. Tento článek by možná vůbec neexistoval, ale faktem je, že problém nastává v 99 případech ze 100, kdy student trpí nenáviděnou školou a s nadšením zvládá kurz vyšší matematiky.

Materiály tohoto workshopu jsou prezentovány jednoduše, podrobně as minimem teorie.

Začněme zakřiveným lichoběžníkem.

Zakřivený lichoběžník je plochý obrazec ohraničený osou, přímkami a grafem funkce spojité na segmentu, který na tomto intervalu nemění znaménko. Nechte toto číslo najít ne nižší osa x:

Potom se plocha křivočarého lichoběžníku číselně rovná určitému integrálu. Jakýkoli určitý integrál (který existuje) má velmi dobrý geometrický význam. V lekci Určitý integrál. Příklady řešení Řekl jsem, že určitý integrál je číslo. A nyní je čas uvést další užitečný fakt. Z hlediska geometrie je určitým integrálem PLOCHA.

To znamená, že určitý integrál (pokud existuje) geometricky odpovídá ploše určitého obrázku. Uvažujme například určitý integrál. Integrand definuje křivku v rovině umístěné nad osou (kdo si přeje, může kreslit) a samotný určitý integrál je číselně roven ploše odpovídajícího křivočarého lichoběžníku.

Příklad 1

Toto je typický příkaz k zadání. Prvním a nejdůležitějším bodem při rozhodování je kreslení. Kromě toho musí být výkres sestaven SPRÁVNĚ.

Při konstrukci výkresu doporučuji následující pořadí: nejprve je lepší sestrojit všechny přímky (pokud existují) a teprve potom – paraboly, hyperboly a grafy dalších funkcí. Výhodnější je konstruovat grafy funkcí bodově; techniku bodové konstrukce naleznete v referenčním materiálu Grafy a vlastnosti elementárních funkcí. Tam také můžete najít velmi užitečný materiál pro naši lekci - jak rychle postavit parabolu.

V tomto problému může řešení vypadat takto.
Nakreslíme výkres (všimněte si, že rovnice definuje osu):

Nebudu stínit zakřivený lichoběžník, zde je zřejmé, o jaké oblasti mluvíme. Řešení pokračuje takto:

Na segmentu je graf funkce umístěn nad osou, proto:

Odpověď:

Kdo má potíže s výpočtem určitého integrálu a aplikací Newton-Leibnizova vzorce , viz přednáška Určitý integrál. Příklady řešení.

Po dokončení úkolu je vždy užitečné podívat se na nákres a zjistit, zda je odpověď skutečná. V tomto případě počítáme počet buněk ve výkresu „okem“ - no, bude jich asi 9, zdá se, že je to pravda. Je naprosto jasné, že pokud jsme dostali řekněme odpověď: 20 čtverečních jednotek, tak je zřejmé, že se někde stala chyba - 20 buněk se evidentně do dotyčného čísla nevejde, maximálně tucet. Pokud je odpověď záporná, pak byl úkol také vyřešen nesprávně.

Příklad 2

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , , a osou

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Co dělat, když se pod osou nachází zakřivený lichoběžník?

Příklad 3

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami a souřadnicovými osami.

Řešení: Udělejme výkres:

Pokud je zakřivený lichoběžník umístěn pod osou (nebo alespoň ne vyšší daná osa), pak lze její plochu najít pomocí vzorce:
V tomto případě:

Pozor! Tyto dva typy úkolů by se neměly zaměňovat:

1) Pokud budete požádáni, abyste jednoduše vyřešili určitý integrál bez jakéhokoli geometrického významu, pak může být záporný.

2) Pokud budete požádáni, abyste našli plochu obrazce pomocí určitého integrálu, pak je plocha vždy kladná! Proto se v právě diskutovaném vzorci objevuje mínus.

V praxi se nejčastěji figura nachází v horní i dolní polorovině, a proto od nejjednodušších školních úloh přecházíme k smysluplnějším příkladům.

Příklad 4

Najděte plochu rovinné postavy ohraničenou čarami , .

Řešení: Nejprve musíte udělat výkres. Obecně řečeno, při konstrukci výkresu v plošných úlohách nás nejvíce zajímají průsečíky čar. Najdeme průsečíky paraboly a přímky. To lze provést dvěma způsoby. První metoda je analytická. Řešíme rovnici:

To znamená, že spodní hranice integrace je , horní hranice integrace je .
Je lepší, pokud je to možné, tuto metodu nepoužívat.

Mnohem výnosnější a rychlejší je konstruovat čáry bod po bodu a hranice integrace se vyjasní „samo od sebe“. Technika bodové konstrukce pro různé grafy je podrobně rozebrána v nápovědě Grafy a vlastnosti elementárních funkcí. Analytická metoda hledání limit se však stále někdy musí použít, pokud je například graf dostatečně velký nebo detailní konstrukce neodhalila limity integrace (mohou být zlomkové nebo iracionální). A také zvážíme takový příklad.

Vraťme se k našemu úkolu: racionálnější je nejprve sestrojit přímku a teprve potom parabolu. Udělejme nákres:

Opakuji, že při bodové konstrukci se hranice integrace nejčastěji zjišťují „automaticky“.

A nyní pracovní vzorec: Pokud je na segmentu nějaká spojitá funkce větší nebo rovna nějaké spojité funkci, pak lze plochu obrázku omezenou grafy těchto funkcí a přímkami najít pomocí vzorce:

Zde již nemusíte přemýšlet, kde se obrazec nachází - nad osou nebo pod osou, a zhruba řečeno je důležité, který graf je VYŠŠÍ (vzhledem k jinému grafu) a který POD.

V uvažovaném příkladu je zřejmé, že na segmentu se parabola nachází nad přímkou, a proto je nutné odečíst od

Hotové řešení může vypadat takto:

Požadovaná hodnota je omezena parabolou nahoře a přímkou dole.
Na segmentu podle odpovídajícího vzorce:

Odpověď:

Školní vzorec pro oblast křivočarého lichoběžníku ve spodní polorovině (viz jednoduchý příklad č. 3) je ve skutečnosti speciálním případem vzorce . Protože osa je určena rovnicí a graf funkce je umístěn ne vyšší osy tedy

A nyní pár příkladů pro vlastní řešení

Příklad 5

Příklad 6

Najděte oblast obrázku ohraničenou čarami , .

Při řešení úloh týkajících se výpočtu plochy pomocí určitého integrálu se občas stane vtipná příhoda. Kresba byla provedena správně, výpočty byly správné, ale kvůli neopatrnosti... byla nalezena oblast špatné postavy, přesně takhle se váš skromný sluha několikrát pokazil. Zde je případ ze skutečného života:

Příklad 7

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , , , .

Řešení: Nejprve nakreslete:

...Eh, kresba vypadla, ale vše se zdá být čitelné.

Figurka, jejíž oblast potřebujeme najít, je vystínována modře (pozorně se podívejte na stav - jak je figurka omezená!). Ale v praxi se kvůli nepozornosti často vyskytuje „závada“, že musíte najít oblast postavy, která je vystínovaná zeleně!

Tento příklad je také užitečný v tom, že počítá plochu obrazce pomocí dvou určitých integrálů. Opravdu:

1) Na segmentu nad osou je graf přímky;

2) Na segmentu nad osou je graf hyperboly.

Je zcela zřejmé, že oblasti mohou (a měly by být) přidány, proto:

Odpověď:

Přejděme k dalšímu smysluplnému úkolu.

Příklad 8

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami,
Představme rovnice ve „školní“ podobě a nakreslime bod po bodu:

Z nákresu je zřejmé, že naše horní hranice je „dobrá“: .
Ale jaká je spodní hranice?! Je jasné, že to není celé číslo, ale co to je? Může být? Ale kde je záruka, že je kresba provedena s dokonalou přesností, může se klidně ukázat, že... Nebo kořen. Co když jsme graf sestavili špatně?

V takových případech musíte věnovat více času a analyticky ujasnit limity integrace.

Najdeme průsečíky přímky a paraboly.
Za tímto účelem vyřešíme rovnici:

,

Opravdu, .

Další řešení je triviální, hlavní je nenechat se zmást v substitucích a znacích, výpočty zde nejsou nejjednodušší.

Na segmentu , podle odpovídajícího vzorce:

Odpověď:

Na závěr lekce se podívejme na dva obtížnější úkoly.

Příklad 9

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , ,

Řešení: Znázorněme tento obrázek na výkresu.

Sakra, zapomněl jsem podepsat rozvrh a promiň, nechtěl jsem ten obrázek předělat. Není den kreslení, zkrátka dnes je ten den =)

Pro konstrukci bodu po bodu potřebujete znát vzhled sinusoidy (a obecně je užitečné znát grafy všech elementárních funkcí) a také některé hodnoty sinusu, lze je nalézt v trigonometrickou tabulku. V některých případech (jako v tomto případě) je možné sestrojit schematický výkres, na kterém by měly být grafy a limity integrace zásadně správně zobrazeny.

Nejsou zde žádné problémy s limity integrace, které vyplývají přímo z podmínky: „x“ se změní z nuly na „pi“. Udělejme další rozhodnutí:

Na segmentu je graf funkce umístěn nad osou, proto:

V tomto článku se dozvíte, jak najít plochu obrázku ohraničenou čarami pomocí integrálních výpočtů. S formulací takového problému se poprvé setkáváme na střední škole, kdy jsme právě ukončili studium určitých integrálů a je čas začít s geometrickým výkladem získaných poznatků v praxi.

Co je tedy potřeba k úspěšnému vyřešení problému nalezení oblasti obrázku pomocí integrálů:

Schopnost vytvářet kompetentní výkresy;
Schopnost řešit určitý integrál pomocí známého Newton-Leibnizova vzorce;
Schopnost „vidět“ výnosnější variantu řešení – tzn. chápete, jak bude v tom či onom případě pohodlnější provést integraci? Podél osy x (OX) nebo osy y (OY)?
No, kde bychom byli bez správných výpočtů?) To zahrnuje pochopení toho, jak vyřešit tento jiný typ integrálů a správné numerické výpočty.

Algoritmus pro řešení problému výpočtu plochy obrázku ohraničeného čarami:

1. Stavíme výkres. Je vhodné to udělat na kostkovaném papíru ve velkém měřítku. Název této funkce podepisujeme tužkou nad každým grafem. Podepisování grafů se provádí pouze pro usnadnění dalších výpočtů. Po obdržení grafu požadovaného čísla bude ve většině případů okamžitě jasné, které limity integrace budou použity. Úlohu tedy řešíme graficky. Stává se však, že hodnoty limitů jsou zlomkové nebo iracionální. Proto můžete provést další výpočty, přejděte ke druhému kroku.

2. Pokud nejsou meze integrace explicitně specifikovány, pak najdeme průsečíky grafů mezi sebou a uvidíme, zda se naše grafické řešení shoduje s analytickým.

3. Dále musíte analyzovat výkres. V závislosti na tom, jak jsou grafy funkcí uspořádány, existují různé přístupy k nalezení oblasti obrázku. Podívejme se na různé příklady hledání oblasti obrázku pomocí integrálů.

3.1.

Nejklasičtější a nejjednodušší verze problému je, když potřebujete najít oblast zakřiveného lichoběžníku. Co je to zakřivený lichoběžník? Jedná se o plochý obrazec ohraničený osou x (y = 0), přímkami x = a, x = b a libovolnou křivkou spojitou v intervalu od a do b. Navíc toto číslo není záporné a nenachází se pod osou x. V tomto případě je plocha křivočarého lichoběžníku číselně rovna určitému integrálu, vypočítanému pomocí vzorce Newton-Leibniz: Příklad 1

y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Jakými čarami je obrazec ohraničen? Máme parabolu y = x2 - 3x + 3, která se nachází nad osou OX, je nezáporná, protože všechny body této paraboly mají kladné hodnoty. Dále jsou uvedeny přímky x = 1 a x = 3, které probíhají rovnoběžně s osou operačního zesilovače a jsou hraničními čarami obrázku vlevo a vpravo. No, y = 0, což je také osa x, která omezuje číslo zespodu. Výsledný obrázek je stínovaný, jak je patrné z obrázku vlevo. V takovém případě můžete problém okamžitě začít řešit. Před námi je jednoduchý příklad zakřiveného lichoběžníku, který dále řešíme pomocí Newton-Leibnizova vzorce.

3.2. V předchozím odstavci 3.1 jsme zkoumali případ, kdy se nad osou x nachází zakřivený lichoběžník. Nyní zvažte případ, kdy jsou podmínky problému stejné, kromě toho, že funkce leží pod osou x. Ke standardnímu Newton-Leibnizovu vzorci se přidá mínus. Jak takový problém vyřešit, zvážíme níže.

V tomto příkladu máme parabolu y = x2 + 6x + 2, která vychází pod osou OX, přímky x = -4, x = -1, y = 0. Zde y = 0 omezuje požadovanou hodnotu shora. Přímky x = -4 a x = -1 jsou hranice, ve kterých se bude vypočítat určitý integrál. Princip řešení problému nalezení oblasti obrazce se téměř úplně shoduje s příkladem číslo 1. Jediný rozdíl je v tom, že daná funkce není kladná a je také spojitá na intervalu [-4; -1]. Co tím myslíš, že není pozitivní? Jak je vidět z obrázku, obrazec, který leží v daném x, má výhradně „záporné“ souřadnice, což je to, co potřebujeme vidět a zapamatovat si při řešení problému. Hledáme oblast obrázku pomocí vzorce Newton-Leibniz, pouze se znaménkem mínus na začátku.

Článek není dokončen.

Úkol č. 3. Nakreslete a vypočítejte plochu obrazce ohraničenou čarami

Aplikace integrálu při řešení aplikovaných úloh

Výpočet plochy

Určitý integrál spojité nezáporné funkce f(x) se numericky rovná ploše křivočarého lichoběžníku ohraničeného křivkou y = f(x), osou O x a přímkami x = a a x = b. V souladu s tím je plošný vzorec zapsán takto:

Podívejme se na některé příklady výpočtu ploch rovinných obrazců.

Úkol č. 1. Vypočítejte plochu ohraničenou přímkami y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Řešení. Sestrojme obrazec, jehož plochu budeme muset vypočítat.

y = x 2 + 1 je parabola, jejíž větve směřují nahoru a parabola je posunuta nahoru o jednu jednotku vzhledem k ose O y (obrázek 1).

Obrázek 1. Graf funkce y = x 2 + 1

Úkol č. 2. Vypočítejte plochu ohraničenou úsečkami y = x 2 – 1, y = 0 v rozsahu od 0 do 1.

Řešení. Grafem této funkce je parabola větví, které směřují nahoru a parabola je posunuta vzhledem k ose O y dolů o jednu jednotku (obrázek 2).

Obrázek 2. Graf funkce y = x 2 – 1

Úkol č. 3. Nakreslete a vypočítejte plochu obrazce ohraničenou čarami

y = 8 + 2x – x 2 a y = 2x – 4.

Řešení. První z těchto dvou přímek je parabola, jejíž větve směřují dolů, protože koeficient x 2 je záporný, a druhá přímka je přímka protínající obě souřadnicové osy.

Pro sestrojení paraboly najdeme souřadnice jejího vrcholu: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – úsečka vrcholu; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 je jeho pořadnice, N(1;9) je jeho vrchol.

Nyní najdeme průsečíky paraboly a přímky řešením soustavy rovnic:

Vyrovnání pravých stran rovnice, jejíž levé strany jsou stejné.

Dostaneme 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 nebo x 2 – 12 = 0, odkud .

Body jsou tedy průsečíky paraboly a přímky (obrázek 1).

Obrázek 3 Grafy funkcí y = 8 + 2x – x 2 a y = 2x – 4

Sestrojme přímku y = 2x – 4. Prochází body (0;-4), (2;0) na souřadnicových osách.

Pro sestrojení paraboly lze použít i její průsečíky s osou 0x, tedy kořeny rovnice 8 + 2x – x 2 = 0 nebo x 2 – 2x – 8 = 0. Pomocí Vietovy věty je snadné najít jeho kořeny: x 1 = 2, x 2 = 4.

Obrázek 3 ukazuje obrazec (parabolický segment M 1 N M 2) ohraničený těmito přímkami.

Druhou částí problému je najít oblast tohoto obrázku. Jeho obsah lze zjistit pomocí určitého integrálu podle vzorce .

Ve vztahu k této podmínce získáme integrál:

2 Výpočet objemu rotačního tělesa

Objem tělesa získaný z rotace křivky y = f(x) kolem osy O x se vypočte podle vzorce:

Při otáčení kolem osy O y vzorec vypadá takto:

Úkol č. 4. Určete objem tělesa získaného rotací zakřiveného lichoběžníku ohraničeného přímkami x = 0 x = 3 a křivkou y = kolem osy O x.

Řešení. Nakreslíme obrázek (obrázek 4).

Obrázek 4. Graf funkce y =

Požadovaný objem je

Úkol č. 5. Vypočítejte objem tělesa získaného rotací zakřiveného lichoběžníku ohraničeného křivkou y = x 2 a přímkami y = 0 a y = 4 kolem osy O y.

Řešení. máme:

Kontrolní otázky

Potom se plocha křivočarého lichoběžníku číselně rovná určitému integrálu. Jakýkoli určitý integrál (který existuje) má velmi dobrý geometrický význam.

Z geometrického hlediska je určitým integrálem PLOCHA.

Příklad 1

Toto je typický příkaz k zadání. Prvním a nejdůležitějším bodem při rozhodování je kreslení. Kromě toho musí být výkres sestaven SPRÁVNĚ.

Při konstrukci výkresu doporučuji následující pořadí: nejprve je lepší sestrojit všechny přímky (pokud existují) a teprve potom - paraboly, hyperboly a grafy dalších funkcí. Je výhodnější vytvářet grafy funkcí bod po bodu.

V tomto problému může řešení vypadat takto.
Nakreslíme výkres (všimněte si, že rovnice definuje osu):

Na segmentu je graf funkce umístěn nad osou, proto:

Odpověď:

Po dokončení úkolu je vždy užitečné podívat se na nákres a zjistit, zda je odpověď skutečná. V tomto případě „okem“ počítáme počet buněk na výkresu - no, bude jich asi 9, zdá se, že je to pravda. Je naprosto jasné, že pokud jsme dostali řekněme odpověď: 20 čtverečních jednotek, tak je zřejmé, že se někde stala chyba - 20 buněk se evidentně do dotyčného čísla nevejde, maximálně tucet. Pokud je odpověď záporná, pak byl úkol také vyřešen nesprávně.

Příklad 3

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami a souřadnicovými osami.

Řešení: Udělejme výkres:

Pokud je zakřivený lichoběžník umístěn pod osou (nebo alespoň ne vyšší daná osa), pak lze její plochu najít pomocí vzorce:

V tomto případě:

Pozor! Tyto dva typy úkolů by se neměly zaměňovat:

1) Pokud budete požádáni, abyste jednoduše vyřešili určitý integrál bez jakéhokoli geometrického významu, pak může být záporný.

2) Pokud budete požádáni, abyste našli plochu obrazce pomocí určitého integrálu, pak je plocha vždy kladná! Proto se v právě diskutovaném vzorci objevuje mínus.

V praxi se nejčastěji figura nachází v horní i dolní polorovině, a proto od nejjednodušších školních úloh přecházíme k smysluplnějším příkladům.

Příklad 4

Najděte plochu rovinné postavy ohraničenou čarami , .

To znamená, že spodní hranice integrace je , horní hranice integrace je .

Je lepší, pokud je to možné, tuto metodu nepoužívat.

Mnohem výnosnější a rychlejší je konstruovat čáry bod po bodu a hranice integrace se vyjasní „samo od sebe“. Analytická metoda hledání limit se však stále někdy musí použít, pokud je například graf dostatečně velký nebo detailní konstrukce neodhalila limity integrace (mohou být zlomkové nebo iracionální). A také zvážíme takový příklad.

Vraťme se k našemu úkolu: racionálnější je nejprve sestrojit přímku a teprve potom parabolu. Udělejme nákres:

Zde již nemusíte přemýšlet, kde se obrazec nachází - nad osou nebo pod osou, a zhruba řečeno je důležité, který graf je VYŠŠÍ (vzhledem k jinému grafu) a který POD.

V uvažovaném příkladu je zřejmé, že na segmentu se parabola nachází nad přímkou, a proto je nutné odečíst od

Hotové řešení může vypadat takto:

Požadovaná hodnota je omezena parabolou nahoře a přímkou dole.
Na segmentu podle odpovídajícího vzorce:

Odpověď:

Příklad 4

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , , , .

Řešení: Nejprve nakreslete:

Figurka, jejíž oblast potřebujeme najít, je vystínovaná modře (pozorně se podívejte na stav - jak je figurka omezená!). Ale v praxi se kvůli nepozornosti často vyskytuje „závada“, že musíte najít oblast obrázku, která je vystínovaná zeleně!

Tento příklad je také užitečný v tom, že počítá plochu obrazce pomocí dvou určitých integrálů.

opravdu:

1) Na segmentu nad osou je graf přímky;

2) Na segmentu nad osou je graf hyperboly.

Je zcela zřejmé, že oblasti mohou (a měly by být) přidány, proto:

Jak vložit matematické vzorce na web?

Pokud někdy budete potřebovat přidat jeden nebo dva matematické vzorce na webovou stránku, pak nejjednodušší způsob, jak to udělat, je ten, který je popsán v článku: matematické vzorce lze snadno vložit na web ve formě obrázků, které automaticky generuje Wolfram Alpha . Tato univerzální metoda kromě jednoduchosti pomůže zlepšit viditelnost webu ve vyhledávačích. Funguje to už dlouho (a myslím, že bude fungovat navždy), ale už je morálně zastaralé.

Pokud na svém webu pravidelně používáte matematické vzorce, pak vám doporučuji používat MathJax – speciální knihovnu JavaScript, která zobrazuje matematický zápis ve webových prohlížečích pomocí značek MathML, LaTeX nebo ASCIIMathML.

Existují dva způsoby, jak začít používat MathJax: (1) pomocí jednoduchého kódu můžete ke své webové stránce rychle připojit skript MathJax, který se ve správný čas automaticky načte ze vzdáleného serveru (seznam serverů); (2) stáhněte si skript MathJax ze vzdáleného serveru na váš server a připojte jej ke všem stránkám vašeho webu. Druhý způsob – složitější a časově náročnější – urychlí načítání stránek vašeho webu, a pokud se nadřazený server MathJax z nějakého důvodu stane dočasně nedostupným, váš vlastní web to nijak neovlivní. I přes tyto výhody jsem zvolil první metodu, protože je jednodušší, rychlejší a nevyžaduje technické dovednosti. Postupujte podle mého příkladu a za pouhých 5 minut budete moci na svém webu používat všechny funkce MathJax.

Skript knihovny MathJax můžete připojit ze vzdáleného serveru pomocí dvou možností kódu převzatých z hlavního webu MathJax nebo na stránce dokumentace:

Jednu z těchto možností kódu je třeba zkopírovat a vložit do kódu vaší webové stránky, nejlépe mezi značky a nebo bezprostředně za značku. Podle první možnosti se MathJax načítá rychleji a méně zpomaluje stránku. Ale druhá možnost automaticky sleduje a načítá nejnovější verze MathJax. Pokud vložíte první kód, bude nutné jej pravidelně aktualizovat. Pokud vložíte druhý kód, stránky se budou načítat pomaleji, ale nebudete muset neustále sledovat aktualizace MathJax.

Nejjednodušší způsob, jak připojit MathJax, je v Bloggeru nebo WordPressu: do ovládacího panelu webu přidejte widget určený pro vložení kódu JavaScript třetí strany, zkopírujte do něj první nebo druhou verzi výše uvedeného kódu pro stahování a umístěte widget blíže. na začátek šablony (mimochodem, není to vůbec nutné, protože skript MathJax se načítá asynchronně). To je vše. Nyní se naučte syntaxi značek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a jste připraveni vkládat matematické vzorce do webových stránek svého webu.

Jakýkoli fraktál je konstruován podle určitého pravidla, které je důsledně aplikováno neomezeně mnohokrát. Každý takový čas se nazývá iterace.

Iterační algoritmus pro konstrukci Mengerovy houby je poměrně jednoduchý: původní krychle se stranou 1 je rozdělena rovinami rovnoběžnými s jejími plochami na 27 stejných krychlí. Odebere se z ní jedna centrální krychle a 6 k ní přiléhajících krychlí podél stěn. Výsledkem je sada skládající se ze zbývajících 20 menších kostek. Když uděláme totéž s každou z těchto kostek, dostaneme sadu skládající se ze 400 menších kostek. Pokračujeme-li v tomto procesu donekonečna, získáme Mengerovu houbu.