Menu
DomovRuční práce

Najděte násobky online. Hledání nejmenšího společného násobku, metody, příklady hledání LCM

V matematice dostávají školáci spoustu úkolů. Mezi nimi se velmi často vyskytují problémy s následující formulací: existují dva významy. Jak najít nejmenší společný násobek daných čísel? Takové úkoly je nutné umět, protože získané dovednosti slouží k práci se zlomky s různými jmenovateli. V tomto článku se podíváme na to, jak najít LOC a základní pojmy.

Než najdete odpověď na otázku, jak najít LCM, musíte definovat pojem násobek. Nejčastěji zní formulace tohoto pojmu takto: násobek určité hodnoty A je přirozené číslo, které bude dělitelné A beze zbytku, takže pro 4 budou násobky 8, 12, 16, 20, a tak dále, do požadovaného limitu.

Navíc počet dělitelů pro konkrétní hodnotu může být omezen, ale násobků je nekonečně mnoho. Stejnou hodnotu mají také přírodní hodnoty. Jedná se o ukazatel, který se na ně beze zbytku dělí. Když jsme pochopili koncept nejmenší hodnoty pro určité ukazatele, přejděme k tomu, jak ji najít.

Hledání NOC

Nejmenší násobek dvou nebo více exponentů je nejmenší přirozené číslo, které je zcela dělitelné všemi zadanými čísly.

Existuje několik způsobů, jak takovou hodnotu zjistit, zvažte následující metody:

  1. Pokud jsou čísla malá, zapište na řádek všechna, která jsou jím dělitelná. Pokračujte v tom, dokud mezi nimi nenajdete něco společného. Písemně se označují písmenem K. Například pro 4 a 3 je nejmenší násobek 12.
  2. Pokud jsou velké nebo potřebujete najít násobek 3 nebo více hodnot, měli byste použít jinou techniku, která zahrnuje rozklad čísel na prvočinitele. Nejprve rozložte ten největší uvedený v seznamu a poté všechny ostatní. Každý z nich má svůj vlastní počet násobitelů. Jako příklad si rozložme 20 (2*2*5) a 50 (5*5*2). U menší podtrhněte faktory a přidejte je k největšímu. Výsledkem bude 100, což bude nejmenší společný násobek výše uvedených čísel.
  3. Při hledání 3 čísel (16, 24 a 36) jsou principy stejné jako u zbývajících dvou. Rozšiřme každý z nich: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Pouze dvě dvojky z rozšíření čísla 16 nebyly zahrnuty do rozšíření největšího Sečteme je a dostaneme 144, což je nejmenší výsledek pro dříve uvedené číselné hodnoty.

Nyní víme, jaká je obecná technika pro nalezení nejmenší hodnoty pro dvě, tři nebo více hodnot. Existují však i soukromé metody, pomáhá hledat NOC, pokud předchozí nepomohou.

Jak najít GCD a NOC.

Soukromé metody hledání

Stejně jako u každé matematické sekce existují speciální případy nalezení LCM, které pomáhají v konkrétních situacích:

  • je-li jedno z čísel dělitelné ostatními beze zbytku, pak se mu rovná nejnižší násobek těchto čísel (LCM 60 a 15 je 15);
  • relativně prvočísla nemají žádné společné prvočísla. Jejich nejmenší hodnota je rovna součinu těchto čísel. Pro čísla 7 a 8 to tedy bude 56;
  • stejné pravidlo funguje i pro další případy, včetně speciálních, o kterých se lze dočíst v odborné literatuře. Sem by měly patřit i případy rozkladu složených čísel, které jsou tématem jednotlivých článků a dokonce i kandidátských disertací.

Speciální případy jsou méně časté než standardní příklady. Ale díky nim se můžete naučit pracovat se zlomky různého stupně složitosti. To platí zejména pro zlomky, kde jsou nerovné jmenovatele.

Několik příkladů

Podívejme se na několik příkladů, které vám pomohou pochopit princip hledání nejmenšího násobku:

  1. Najděte LOC (35; 40). Nejprve rozložíme 35 = 5*7, poté 40 = 5*8. Přidejte 8 k nejmenšímu číslu a získáte LOC 280.
  2. NOC (45; 54). Každou z nich rozložíme: 45 = 3*3*5 a 54 = 3*3*6. Přičteme číslo 6 ke 45. Dostaneme LCM rovné 270.
  3. No, poslední příklad. Existuje 5 a 4. Neexistují žádné prvonásobky, takže nejmenší společný násobek v tomto případě bude jejich součin, který se rovná 20.

Díky příkladům můžete pochopit, jak se NOC nachází, jaké jsou nuance a jaký je význam takových manipulací.

Najít NOC je mnohem jednodušší, než by se mohlo zpočátku zdát. K tomu se používá jak jednoduchá expanze, tak násobení jednoduchých hodnot mezi sebou. Schopnost pracovat s tímto úsekem matematiky pomáhá při dalším studiu matematických témat, zejména zlomků různého stupně složitosti.

Nezapomeňte pravidelně řešit příklady pomocí různých metod, rozvíjíte tím svůj logický aparát a můžete si zapamatovat četné pojmy. Naučte se, jak takový exponent najít, a ve zbytku matematických částí se vám bude dařit dobře. Hodně štěstí při učení matematiky!

Video

Toto video vám pomůže pochopit a zapamatovat si, jak najít nejmenší společný násobek.

Podívejme se na tři způsoby, jak najít nejmenší společný násobek.

Zjištění faktorizací

První metodou je najít nejmenší společný násobek rozkladem daných čísel na prvočinitele.

Řekněme, že potřebujeme najít LCM čísel: 99, 30 a 28. Abychom to udělali, rozložme každé z těchto čísel do prvočísel:

Aby bylo požadované číslo dělitelné 99, 30 a 28, je nutné a postačující, aby zahrnovalo všechny prvočinitele těchto dělitelů. Abychom to udělali, musíme vzít všechny prvočinitele těchto čísel na největší možnou moc a vynásobit je dohromady:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

LCM (99, 30, 28) = 13 860 tedy žádné jiné číslo menší než 13 860 není dělitelné 99, 30 nebo 28.

Chcete-li najít nejmenší společný násobek daných čísel, započítáte je do jejich prvočinitelů, pak vezmete každý prvočinitel s největším exponentem, ve kterém se vyskytuje, a tyto faktory vynásobíte dohromady.

Protože relativně prvočísla nemají společné prvočinitele, jejich nejmenší společný násobek se rovná součinu těchto čísel. Například tři čísla: 20, 49 a 33 jsou relativně prvočísla. Proto

LCM (20, 49, 33) = 204933 = 32,340.

Totéž je třeba udělat při hledání nejmenšího společného násobku různých prvočísel. Například LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Hledání výběrem

Druhou metodou je nalezení nejmenšího společného násobku výběrem.

Příklad 1. Když je největší z daných čísel děleno jiným daným číslem, pak se LCM těchto čísel rovná největšímu z nich. Například zadaná čtyři čísla: 60, 30, 10 a 6. Každé z nich je dělitelné 60, proto:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

V ostatních případech se k nalezení nejmenšího společného násobku používá následující postup:

  1. Určete největší číslo z uvedených čísel.
  2. Dále najdeme čísla, která jsou násobky největšího čísla, vynásobíme je přirozenými čísly v rostoucím pořadí a zkontrolujeme, zda je výsledný součin dělitelný zbývajícími danými čísly.

Příklad 2. Jsou dána tři čísla 24, 3 a 18. Určíme největší z nich - toto je číslo 24. Dále najdeme čísla, která jsou násobky 24, přičemž zkontrolujeme, zda je každé z nich dělitelné 18 a 3:

24 · 1 = 24 – dělitelné 3, ale nedělitelné 18.

24 · 2 = 48 – dělitelné 3, ale nedělitelné 18.

24 · 3 = 72 – dělitelné 3 a 18.

LCM (24, 3, 18) = 72.

Hledání postupným hledáním LCM

Třetí metodou je nalezení nejmenšího společného násobku postupným hledáním LCM.

LCM dvou daných čísel se rovná součinu těchto čísel dělenému jejich největším společným dělitelem.

Příklad 1. Najděte LCM dvou daných čísel: 12 a 8. Určete jejich největšího společného dělitele: GCD (12, 8) = 4. Vynásobte tato čísla:

Produkt dělíme podle jejich gcd:

LCM (12, 8) = 24.

Chcete-li najít LCM tří nebo více čísel, použijte následující postup:

  1. Nejprve najděte LCM libovolných dvou z těchto čísel.
  2. Potom LCM nalezeného nejmenšího společného násobku a třetího daného čísla.
  3. Potom LCM výsledného nejmenšího společného násobku a čtvrtého čísla atd.
  4. Hledání LCM tedy pokračuje, dokud existují čísla.

Příklad 2. Nalezneme LCM tří daných čísel: 12, 8 a 9. LCM čísel 12 a 8 jsme již našli v předchozím příkladu (toto je číslo 24). Zbývá najít nejmenší společný násobek čísla 24 a třetího daného čísla - 9. Určete jejich největšího společného dělitele: GCD (24, 9) = 3. Vynásobte LCM číslem 9:

Produkt dělíme podle jejich gcd:

LCM (12, 8, 9) = 72.

Společné násobky

Jednoduše řečeno, každé celé číslo, které je dělitelné každým z daných čísel, je společný násobek daná celá čísla.

Můžete najít společný násobek dvou nebo více celých čísel.

Příklad 1

Vypočítejte společný násobek dvou čísel: $2$ a $5$.

Řešení.

Podle definice je společný násobek $2$ a $5$ $10, protože je to násobek čísla $2$ a čísla $5$:

Společné násobky čísel $2$ a $5$ budou také čísla $–10, 20, –20, 30, –30 $ atd., protože všechny jsou rozděleny do čísel $2$ a $5$.

Poznámka 1

Nula je společný násobek libovolného počtu nenulových celých čísel.

Podle vlastností dělitelnosti, je-li určité číslo společným násobkem více čísel, pak číslo opačné ve znaménku bude také společným násobkem daných čísel. To lze vidět z uvažovaného příkladu.

U daných celých čísel můžete vždy najít jejich společný násobek.

Příklad 2

Vypočítejte společný násobek 111 $ a 55 $.

Řešení.

Vynásobme daná čísla: $111\div 55=6105$. Je snadné ověřit, že číslo $6105$ je dělitelné číslem $111$ a číslem $55$:

$6105\div 111=$55;

6105 $\div 55=111 $.

6105 $ je tedy společný násobek 111 $ a 55 $.

Odpověď: Společný násobek 111 $ a 55 $ je 6 105 $.

Ale jak jsme již viděli z předchozího příkladu, tento společný násobek není jedna. Další společné násobky by byly $ –6105, 12210, –12210, 61050, –61050 $ atd. Došli jsme tedy k následujícímu závěru:

Poznámka 2

Libovolná množina celých čísel má nekonečný počet společných násobků.

V praxi se omezují na hledání společných násobků pouze kladných celých (přirozených) čísel, protože množiny násobků daného čísla a jeho opaku se shodují.

Určení nejmenšího společného násobku

Ze všech násobků daných čísel se nejčastěji používá nejmenší společný násobek (LCM).

Definice 2

Nejmenší kladný společný násobek daných celých čísel je nejmenší společný násobek tato čísla.

Příklad 3

Vypočítejte LCM čísel $4$ a $7$.

Řešení.

Protože tato čísla nemají žádné společné dělitele, pak $LCM(4,7)=28$.

Odpověď: $NOK (4,7)=28 $.

Hledání NOC přes GCD

Protože existuje spojení mezi LCM a GCD, s jeho pomocí můžete vypočítat LCM dvou kladných celých čísel:

Poznámka 3

Příklad 4

Vypočítejte LCM čísel $232$ a $84$.

Řešení.

Použijme vzorec k nalezení LCM prostřednictvím GCD:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$

Pojďme najít GCD čísel $ 232 $ a $ 84 $ pomocí euklidovského algoritmu:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20 $,

$64=20\cdot 3+4$,

Tito. $GCD(232, 84)=4$.

Pojďme najít $LCC (232, 84)$:

$NOK (232,84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

Odpověď: $ NOK (232,84) = $ 4872.

Příklad 5

Vypočítejte $LCD(23, 46)$.

Řešení.

Protože $46$ je dělitelné $23$, pak $gcd (23, 46)=23$. Pojďme najít LOC:

$NOK (23,46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

Odpověď: $ NOK (23,46) = $ 46.

Tak lze formulovat pravidlo:

Poznámka 4

Online kalkulačka vám umožňuje rychle najít největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku pro dva nebo jakýkoli jiný počet čísel.

Kalkulačka pro nalezení GCD a LCM

Najděte GCD a LOC

Nalezeno GCD a LOC: 5806

Jak používat kalkulačku

  • Do vstupního pole zadejte čísla
  • Pokud zadáte nesprávné znaky, vstupní pole se zvýrazní červeně
  • klikněte na tlačítko "Najít GCD a LCM".

Jak zadávat čísla

  • Čísla se zadávají oddělená mezerou, tečkou nebo čárkou
  • Délka zadávaných čísel není omezena, takže nalezení GCD a LCM dlouhých čísel není obtížné

Co jsou GCD a NOC?

Největší společný dělitel několik čísel je největší přirozené celé číslo, kterým jsou všechna původní čísla dělitelná beze zbytku. Největší společný dělitel je zkrácen jako GCD.
Nejmenší společný násobek několik čísel je nejmenší číslo, které je dělitelné každým z původních čísel beze zbytku. Nejmenší společný násobek je zkrácen jako NOC.

Jak zkontrolovat, zda je číslo dělitelné jiným číslem beze zbytku?

Chcete-li zjistit, zda je jedno číslo beze zbytku dělitelné druhým, můžete použít některé vlastnosti dělitelnosti čísel. Jejich kombinací pak můžete zkontrolovat dělitelnost některých z nich a jejich kombinací.

Některé znaky dělitelnosti čísel

1. Test dělitelnosti čísla 2
K určení, zda je číslo dělitelné dvěma (zda je sudé), se stačí podívat na poslední číslici tohoto čísla: pokud se rovná 0, 2, 4, 6 nebo 8, pak je číslo sudé, což znamená, že je dělitelný 2.
Příklad: určit, zda je číslo 34938 dělitelné 2.
Řešení: Podíváme se na poslední číslici: 8 - to znamená, že číslo je dělitelné dvěma.

2. Test dělitelnosti čísla 3
Číslo je dělitelné třemi, když součet jeho číslic je dělitelný třemi. Chcete-li tedy určit, zda je číslo dělitelné 3, musíte vypočítat součet číslic a zkontrolovat, zda je dělitelné 3. I když je součet číslic velmi velký, můžete stejný postup opakovat znovu.
Příklad: určit, zda je číslo 34938 dělitelné 3.
Řešení: Počítáme součet čísel: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je dělitelné 3, což znamená, že číslo je dělitelné třemi.

3. Test dělitelnosti čísla 5
Číslo je dělitelné 5, když jeho poslední číslice je nula nebo pět.
Příklad: určete, zda je číslo 34938 dělitelné 5.
Řešení: podívejte se na poslední číslici: 8 znamená, že číslo NENÍ dělitelné pěti.

4. Test dělitelnosti čísla 9
Toto znaménko je velmi podobné znaménku dělitelnosti třemi: číslo je dělitelné 9, když je součet jeho číslic dělitelný 9.
Příklad: určit, zda je číslo 34938 dělitelné 9.
Řešení: Spočítáme součet čísel: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je dělitelné 9, což znamená, že číslo je dělitelné devíti.

Jak najít GCD a LCM dvou čísel

Jak najít gcd dvou čísel

Nejjednodušší způsob, jak vypočítat největšího společného dělitele dvou čísel, je najít všechny možné dělitele těchto čísel a vybrat největšího.

Zvažme tuto metodu pomocí příkladu hledání GCD(28, 36):

  1. Vynásobíme obě čísla: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
  2. Najdeme společné faktory, tedy ty, které mají obě čísla: 1, 2 a 2.
  3. Vypočítáme součin těchto činitelů: 1 2 2 = 4 - to je největší společný dělitel čísel 28 a 36.

Jak najít LCM dvou čísel

Existují dva nejběžnější způsoby, jak najít nejmenší násobek dvou čísel. První způsob spočívá v tom, že si můžete zapsat první násobky dvou čísel a z nich pak vybrat číslo, které bude oběma číslům společné a zároveň nejmenší. A druhým je najít gcd těchto čísel. Uvažujme pouze to.

Chcete-li vypočítat LCM, musíte vypočítat součin původních čísel a poté jej vydělit dříve nalezeným GCD. Pojďme najít LCM pro stejná čísla 28 a 36:

  1. Najděte součin čísel 28 a 36: 28·36 = 1008
  2. GCD(28, 36), jak již bylo známo, se rovná 4
  3. LCM(28, 36) = 1008/4 = 252.

Hledání GCD a LCM pro několik čísel

Největší společný dělitel lze nalézt pro několik čísel, nejen pro dvě. K tomu jsou čísla, která mají být nalezena pro největšího společného dělitele, rozložena na prvočinitele, pak je nalezen součin společných prvočinitelů těchto čísel. K nalezení gcd několika čísel můžete také použít následující vztah: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Podobný vztah platí pro nejmenší společný násobek: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Příklad: najděte GCD a LCM pro čísla 12, 32 a 36.

  1. Nejprve rozložme čísla na faktor: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
  2. Pojďme najít společné faktory: 1, 2 a 2.
  3. Jejich součin dá GCD: 1·2·2 = 4
  4. Nyní najdeme LCM: abychom to udělali, najdeme nejprve LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
  5. Chcete-li najít LCM všech tří čísel, musíte najít GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
  6. LCM(12, 32, 36) = 96,36/12 = 288.

Jak najít nejmenší společný násobek?

    Musíme najít každý faktor každého ze dvou čísel, pro které najdeme nejmenší společný násobek, a pak vzájemně vynásobit faktory, které se shodují v prvním a druhém čísle. Výsledkem součinu bude požadovaný násobek.

    Například máme čísla 3 a 5 a potřebujeme najít LCM (nejmenší společný násobek). Nás potřeba množit a tři a pět pro všechna čísla začínající od 1 2 3 ... a tak dále, dokud na obou místech neuvidíme stejné číslo.

    Vynásobte třemi a dostanete: 3, 6, 9, 12, 15

    Vynásobte pěti a dostanete: 5, 10, 15

    Metoda prvočíselného rozkladu je nejklasičtější metodou pro nalezení nejmenšího společného násobku (LCM) několika čísel. Tato metoda je jasně a jednoduše demonstrována v následujícím videu:

    Sčítání, násobení, dělení, redukování na společného jmenovatele a další aritmetické operace jsou velmi vzrušující činností, zvláště fascinující jsou příklady, které zaberou celý list papíru.

    Najděte tedy společný násobek dvou čísel, který bude nejmenším číslem, kterým se ta dvě čísla dělí. Chtěl bych poznamenat, že v budoucnu není nutné uchýlit se k vzorcům, abyste našli to, co hledáte, pokud umíte počítat v hlavě (a to lze trénovat), pak se vám v hlavě objeví samotná čísla a pak zlomky praskají jako ořechy.

    Nejprve se naučíme, že můžete násobit dvě čísla navzájem, a pak toto číslo zmenšit a střídavě dělit těmito dvěma čísly, takže najdeme nejmenší násobek.

    Například dvě čísla 15 a 6. Vynásobte a dostanete 90. Toto je jednoznačně větší číslo. Navíc 15 je dělitelné 3 a 6 je dělitelné 3, což znamená, že také dělíme 90 3. Dostaneme 30. Zkusíme 30 dělit 15 rovná se 2. A 30 dělit 6 rovná se 5. Protože 2 je limita, obrací se že nejmenší násobek čísel je 15 a 6 bude 30.

    S většími počty to bude trochu složitější. ale pokud víte, která čísla dávají nulový zbytek při dělení nebo násobení, pak v zásadě neexistují žádné velké potíže.

  • Jak najít NOC

    Zde je video, které vám ukáže dva způsoby, jak najít nejmenší společný násobek (LCM). Po procvičení pomocí první z navrhovaných metod můžete lépe pochopit, co je nejmenší společný násobek.

    • Uvádím další způsob, jak najít nejmenší společný násobek. Podívejme se na to na jasném příkladu.

    Musíte najít LCM tří čísel najednou: 16, 20 a 28.

    • Každé číslo reprezentujeme jako součin jeho prvočísel:
    • Zapíšeme mocniny všech prvočinitelů:

    16 = 224 = 2^24^1

    20 = 225 = 2^25^1

    28 = 227 = 2^27^1

    • Vybereme všechny prvočíselné dělitele (násobiče) s největší mocninou, vynásobíme je a najdeme LCM:

    LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

    LCM(16, 20, 28) = 560.

    Výsledkem výpočtu tedy bylo číslo 560. Je to nejmenší společný násobek, to znamená, že je beze zbytku dělitelné každým ze tří čísel.

    Nejmenší společný násobek je číslo, které lze rozdělit na několik daných čísel bez zanechání zbytku. Abyste mohli vypočítat takové číslo, musíte vzít každé číslo a rozložit ho na jednoduché faktory. Odpovídající čísla jsou odstraněna. Nechá všechny po jednom, násobte je postupně mezi sebou a získejte požadovaný - nejmenší společný násobek.

    NOC, popř nejmenší společný násobek, je nejmenší přirozené číslo ze dvou nebo více čísel, které je dělitelné každým z daných čísel beze zbytku.

    Zde je příklad, jak najít nejmenší společný násobek 30 a 42.

    • Prvním krokem je zahrnout tato čísla do prvočísel.

    Za 30 je to 2 x 3 x 5.

    Pro 42 je to 2 x 3 x 7. Protože 2 a 3 jsou v rozšíření čísla 30, škrtneme je.

    • Vypíšeme faktory, které jsou obsaženy v rozšíření čísla 30. To je 2 x 3 x 5.
    • Nyní je potřebujeme vynásobit chybějícím faktorem, který máme při expanzi 42, což je 7. Dostaneme 2 x 3 x 5 x 7.
    • Zjistíme, čemu se rovná 2 x 3 x 5 x 7 a dostaneme 210.

    V důsledku toho zjistíme, že LCM čísel 30 a 42 je 210.

    Najít nejmenší společný násobek, musíte provést několik jednoduchých kroků postupně. Podívejme se na to na příkladu dvou čísel: 8 a 12

    1. Obě čísla rozložíme na prvočinitele: 8=2*2*2 a 12=3*2*2
    2. Snížíme stejné faktory jednoho z čísel. V našem případě se 2 * 2 shodují, zmenšíme je na číslo 12, pak 12 zbude jeden faktor: 3.
    3. Najděte součin všech zbývajících faktorů: 2*2*2*3=24

    Při kontrole se ujistíme, že 24 je dělitelné jak 8, tak 12, a to je nejmenší přirozené číslo, které je dělitelné každým z těchto čísel. Tady jsme našel nejmenší společný násobek.

    Pokusím se vysvětlit na příkladu čísla 6 a 8 Nejmenší společný násobek je číslo, které lze těmito čísly dělit (v našem případě 6 a 8) a nezůstane.

    Nejprve tedy začneme násobit 6 1, 2, 3 atd. a 8 1, 2, 3 atd.