Poloměr boční plochy kužele. Celková plocha kužele je

Zpět Vpřed

Pozor! Náhledy snímků slouží pouze pro informační účely a nemusí představovat všechny funkce prezentace. Pokud vás tato práce zaujala, stáhněte si prosím plnou verzi.

Typ lekce: lekce osvojování nového materiálu s využitím prvků problémové vývojové výukové metody.

Cíle lekce:

• vzdělávací:
  • seznámení s novým matematickým konceptem;
  • vytváření nových školicích středisek;
  • formování praktických dovedností při řešení problémů.
• vývoj:
  • rozvoj samostatného myšlení žáků;
  • rozvoj správných řečových dovedností školáků.
• vzdělávací:
  • rozvoj dovedností týmové práce.

Vybavení lekce: magnetická tabule, počítač, plátno, multimediální projektor, model kužele, prezentace lekce, letáky.

Cíle lekce (pro studenty):

• seznámit se s novým geometrickým pojmem - kuželem;
• odvodit vzorec pro výpočet plochy povrchu kužele;
• naučit se aplikovat získané znalosti při řešení praktických problémů.

Postup lekce

Fáze I. Organizační.

Odevzdání sešitů s domácí testovou prací na probrané téma.

Studenti jsou vyzváni, aby zjistili téma nadcházející lekce vyřešením hádanky (snímek 1):

Obrázek 1

Oznámení tématu a cílů lekce žákům (snímek 2).

Etapa II. Vysvětlení nového materiálu.

1) Přednáška učitele.

Na desce je tabulka s obrázkem šišky. Nový materiál je vysvětlen spolu s programovým materiálem „Stereometrie“. Na obrazovce se objeví trojrozměrný obraz kužele. Učitel definuje kužel a mluví o jeho prvcích. (snímek 3). Říká se, že kužel je těleso vytvořené rotací pravoúhlého trojúhelníku vzhledem k noze. (snímky 4, 5). Objeví se obraz skenování bočního povrchu kužele. (snímek 6)

2) Praktická práce.

Aktualizace základních znalostí: zopakujte vzorce pro výpočet plochy kruhu, plochy sektoru, délky kruhu, délky oblouku kruhu. (snímky 7–10)

Třída je rozdělena do skupin. Každá skupina obdrží sken bočního povrchu kužele vystřiženého z papíru (výseč kruhu s přiřazeným číslem). Studenti provedou potřebná měření a vypočítají plochu výsledného sektoru. Na obrazovce se objevují pokyny k provádění práce, otázky - problémová prohlášení (snímky 11–14). Zástupce každé skupiny zapisuje výsledky výpočtů do tabulky připravené na tabuli. Účastníci každé skupiny slepí model kužele ze vzoru, který mají. (snímek 15)

3) Vyjádření a řešení problému.

Jak vypočítat boční povrch kužele, pokud je znám pouze poloměr základny a délka tvořící čáry kužele? (snímek 16)

Každá skupina provede potřebná měření a pokusí se z dostupných dat odvodit vzorec pro výpočet potřebné plochy. Při této práci by si školáci měli všimnout, že obvod základny kužele se rovná délce oblouku sektoru - vývoje bočního povrchu tohoto kužele. (snímky 17–21) Pomocí potřebných vzorců se odvodí požadovaný vzorec. Argumenty studentů by měly vypadat nějak takto:

Poloměr rozmítání sektoru je roven l, míra oblouku – φ. Plocha sektoru se vypočítá podle vzorce: délka oblouku ohraničujícího tento sektor se rovná poloměru základny kužele R. Délka kruhu ležícího na základně kužele je C = 2πR . Všimněte si, že protože plocha bočního povrchu kužele se rovná rozvojové ploše jeho bočního povrchu, pak

Plocha bočního povrchu kužele se tedy vypočítá podle vzorce S BSK = πRl.

Po výpočtu plochy bočního povrchu kuželového modelu pomocí vzorce odvozeného nezávisle zapíše zástupce každé skupiny výsledek výpočtů do tabulky na tabuli v souladu s čísly modelu. Výsledky výpočtu v každém řádku musí být stejné. Na základě toho učitel určí správnost závěrů každé skupiny. Tabulka výsledků by měla vypadat takto:

Parametry modelu:

1. l=12 cm, φ=120°
2. l=10 cm, φ=150°
3. l=15 cm, φ=120°
4. l=10 cm, φ=170°
5. l=14 cm, φ=110°

Aproximace výpočtů je spojena s chybami měření.

Po kontrole výsledků se na obrazovce objeví výstup vzorců pro plochy bočních a celkových ploch kužele. (snímky 22–26), studenti si vedou poznámky do sešitů.

Stupeň III. Konsolidace studovaného materiálu.

1) Studenti jsou nabízeni problémy pro ústní řešení na hotových výkresech.

Najděte plochy celých povrchů kuželů znázorněných na obrázcích (snímky 27–32).

2) Otázka: Jsou povrchy kuželů vytvořené rotací jednoho pravoúhlého trojúhelníku o různých stranách stejné? Studenti vymyslí hypotézu a ověří ji. Hypotéza je testována řešením úloh a zapsána žákem na tabuli.

Vzhledem k tomu: AABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

ВАА", АВВ" – rotační tělesa.

Nalézt: S PPK 1, S PPK 2.

Obrázek 5. (snímek 33)

Řešení:

1) R=BC = a; S PPK 1 = S BSK 1 + S hlavní 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).

2) R=AC = b; S PPK 2 = S BSK 2 + S základ 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).

Pokud S PPK 1 = S PPK 2, pak a2+ac = b2 + bc, a2 - b2 + ac - bc = 0, (a-b) (a+b+c) = 0. Protože a, b, c – kladná čísla (délky stran trojúhelníku), rovnost platí pouze tehdy, když a =b.

Závěr: Plochy dvou kuželů jsou stejné, pouze pokud jsou strany trojúhelníku stejné. (snímek 34)

3) Řešení úlohy z učebnice: č. 565.

Etapa IV. Shrnutí lekce.

Domácí úkol: odstavce 55, 56; č. 548, č. 561. (snímek 35)

Vyhlášení přidělených známek.

Závěry během hodiny, opakování hlavních informací získaných během hodiny.

Literatura (snímek 36)

1. Geometrie stupně 10–11 – Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev a kol., M., „Prosveshchenie“, 2008.
2. "Matematické hádanky a šarády" - N.V. Udaltsova, knihovna „První září“, řada „MATEMATIKA“, číslo 35, M., Chistye Prudy, 2010.

Víme, co je kužel, zkusme najít jeho povrch. Proč potřebujete řešit takový problém? Potřebujete například pochopit, kolik těsta se spotřebuje na výrobu vaflového kornoutu? Nebo kolik cihel je potřeba k výrobě cihlové zámecké střechy?

Měření bočního povrchu kužele jednoduše nelze provést. Představme si však stejný roh zabalený v látce. Chcete-li najít oblast kusu látky, musíte ji odříznout a položit na stůl. Výsledkem je plochá postava, najdeme její plochu.

Rýže. 1. Řez kuželem podél tvořící přímky

Totéž uděláme s kuželem. Jeho boční plochu „prořízneme“ například podél libovolné tvořící čáry (viz obr. 1).

Nyní „rozvineme“ boční povrch na rovinu. Dostáváme sektor. Střed tohoto sektoru je vrcholem kužele, poloměr sektoru je roven tvořící přímce kužele a délka jeho oblouku se shoduje s obvodem základny kužele. Tento sektor se nazývá rozvinutí boční plochy kužele (viz obr. 2).

Rýže. 2. Vývoj boční plochy

Rýže. 3. Měření úhlu v radiánech

Zkusme najít oblast sektoru pomocí dostupných dat. Nejprve si zavedeme zápis: úhel ve vrcholu sektoru nechť je v radiánech (viz obr. 3).

V problémech se často budeme muset vypořádat s úhlem v horní části rozmítání. Pokusme se nyní odpovědět na otázku: nemůže být tento úhel větší než 360 stupňů? To znamená, neukázalo by se, že by se zametání překrývalo? Samozřejmě že ne. Pojďme to dokázat matematicky. Nechte skenování „překrýt“ se samo. To znamená, že délka oblouku rozmítání je větší než délka kruhu o poloměru. Ale jak již bylo zmíněno, délka oblouku rozmítání je délkou kruhu o poloměru . A poloměr základny kužele je samozřejmě menší než tvořící čára, například, protože rameno pravoúhlého trojúhelníku je menší než přepona

Pak si vzpomeňme na dva vzorce z kurzu planimetrie: délku oblouku. Oblast odvětví: .

V našem případě hraje roli generátor , a délka oblouku se rovná obvodu základny kužele, tzn. máme:

Nakonec dostáváme: .

Spolu s bočním povrchem lze nalézt také celkový povrch. Chcete-li to provést, přidejte plochu základny k ploše bočního povrchu. Základem je ale kružnice o poloměru, jejíž obsah se podle vzorce rovná .

Nakonec máme: , kde je poloměr základny válce, je tvořící čára.

Pojďme vyřešit pár problémů pomocí uvedených vzorců.

Rýže. 4. Požadovaný úhel

Příklad 1. Vývoj bočního povrchu kužele je sektor s úhlem na vrcholu. Najděte tento úhel, pokud je výška kužele 4 cm a poloměr základny 3 cm (viz obr. 4).

Rýže. 5. Pravý trojúhelník tvořící kužel

První akcí podle Pythagorovy věty najdeme generátor: 5 cm (viz obr. 5). Dále to víme .

Příklad 2. Axiální plocha průřezu kužele je rovna , výška je rovna . Najděte celkovou plochu povrchu (viz obr. 6).

Tělesa rotace studovaná ve škole jsou válec, kužel a koule.

Pokud v problému na jednotné státní zkoušce z matematiky potřebujete vypočítat objem kužele nebo plochu koule, považujte se za šťastného.

Použijte vzorce pro objem a povrch válce, kužele a koule. Všechny jsou v naší tabulce. Učit se nazpaměť. Zde začíná znalost stereometrie.

Někdy je dobré nakreslit pohled shora. Nebo, jako v tomto problému, zdola.

2. Kolikrát je objem kužele opsaného kolem pravidelného čtyřbokého jehlanu větší než objem kužele vepsaného do tohoto jehlanu?

Je to jednoduché – nakreslete pohled zdola. Vidíme, že poloměr větší kružnice je krát větší než poloměr menší. Výšky obou kuželů jsou stejné. Proto bude objem většího kužele dvakrát větší.

Další důležitý bod. Pamatujeme si, že v úlohách části B Jednotné státní zkoušky z matematiky se odpověď zapisuje jako celé číslo nebo koncový desetinný zlomek. Proto by ve vaší odpovědi v části B nemělo být žádné nebo. Není třeba dosazovat ani přibližnou hodnotu čísla! Musí se rozhodně zmenšit! Právě za tímto účelem je v některých problémech úkol formulován například takto: „Najděte plochu boční plochy válce dělenou“.

Kde jinde se používají vzorce pro objem a povrch rotačních těles? Samozřejmě v problému C2 (16). Také vám o tom povíme.

Plocha povrchu kužele (nebo jednoduše povrch kužele) se rovná součtu ploch základny a bočního povrchu.

Plocha bočního povrchu kužele se vypočítá podle vzorce: S = πR l, kde R je poloměr základny kužele, a l- vytvoření kužele.

Protože plocha základny kužele je rovna πR 2 (jako plocha kruhu), bude plocha celkového povrchu kužele rovna: πR 2 + πR l= πR(R+ l).

Získání vzorce pro plochu bočního povrchu kužele lze vysvětlit následující úvahou. Nechť výkres ukazuje vývoj boční plochy kužele. Rozdělme oblouk AB na co nejvíce stejných částí a spojíme všechny body dělení ke středu oblouku a sousední k sobě tětivami.

Dostaneme řadu stejných trojúhelníků. Plocha každého trojúhelníku je ach / 2 kde A- délka základny trojúhelníku, a h- jeho výška.

Součet obsahů všech trojúhelníků bude: ach / 2 n = anh / 2 kde n- počet trojúhelníků.

Při velkém počtu dělení se součet ploch trojúhelníků velmi blíží oblasti vývoje, tj. ploše boční plochy kužele. Součet základen trojúhelníků, tzn. an, se velmi přibližuje délce oblouku AB, tj. obvodu základny kužele. Výška každého trojúhelníku se velmi přibližuje poloměru oblouku, tj. tvořící přímce kužele.

Zanedbáním menších rozdílů ve velikostech těchto množství získáme vzorec pro plochu bočního povrchu kužele (S):

S=C l / 2, kde C je obvod základny kužele, l- vytvoření kužele.

Když víme, že C = 2πR, kde R je poloměr kružnice základny kužele, dostaneme: S = πR l.

Poznámka. Ve vzorci S = C l / 2 je příznak přesné, nikoli přibližné rovnosti, i když na základě výše uvedené úvahy bychom tuto rovnost mohli považovat za přibližnou. Ale na střední škole je tato rovnost prokázána

S=C l / 2 je přesné, nikoli přibližné.

Teorém. Boční plocha kužele je rovna součinu obvodu základny a poloviny tvořící čáry.

Vepišme do kužele nějaký pravidelný jehlan (obr.) a označme jej písmeny r A lčísla vyjadřující délky obvodu podstavy a apotému této pyramidy.

Potom bude jeho boční plocha vyjádřena součinem 1/2 r l .

Předpokládejme nyní, že počet stran mnohoúhelníku vepsaného do základny se neomezeně zvětšuje. Pak obvod r bude směřovat k limitu brány jako délka C obvodu základny a apotému l bude mít jako limitu tvořící čáru kužele (z ΔSAK vyplývá, že SA - SK
1 / 2 r l bude mít tendenci k hranici 1/2 C L. Tato mez se bere jako velikost boční plochy kužele. Označením boční plochy kužele písmenem S můžeme napsat:

S = 1/2 C L = C 1/2 l

Důsledky.
1) Protože C = 2 π R, pak je boční plocha kužele vyjádřena vzorcem:

S = 1/2 2π R L= π R.L.

2) Získáme celý povrch kužele, pokud přidáme boční povrch k ploše základny; takže označíme-li celý povrch T, budeme mít:

T= π RL+ π R2= π R(L+R)

Teorém. Boční plocha komolého kužele je rovna součinu poloviny součtu délek kružnic základen a generátoru.

Vepišme do komolého kužele nějaký pravidelný komolý jehlan (obr.) a označme jej písmeny r, r 1 a lčísla vyjadřující v identických lineárních jednotkách délky obvodů spodní a horní podstavy a apotému této pyramidy.

Potom je boční plocha vepsaného jehlanu rovna 1/2 ( p + p 1) l

S neomezeným nárůstem počtu bočních stěn vepsané pyramidy, obvodů r A r 1 mají sklon k limitům braným jako délky C a C1 základních kružnic a apotému l má jako limit generátor L komolého kužele. V důsledku toho má velikost boční plochy vepsaného jehlanu tendenci k hranici rovné (C + C 1) L. Tato mez je brána jako velikost boční plochy komolého kužele. Označením boční plochy komolého kužele písmenem S máme:

S = 1/2 (C + C1) L

Důsledky.
1) Pokud R a R 1 znamenají poloměry kružnic spodní a horní základny, pak boční plocha komolého kužele bude:

S = 1/2 (2 π R+2 π R1) L= π (R + R1) L.

2) Pokud v lichoběžníku OO 1 A 1 A (obr.), z jehož rotace získáme komolý kužel, nakreslíme střední čáru BC, pak dostaneme:

BC = 1/2 (OA + O1A1) = 1/2 (R + R1),

R + R1 = 2VS.

Proto,

S=2 π BC L,

tj. boční plocha komolého kužele je rovna součinu obvodu střední části a tvořící čáry.

3) Celková plocha T komolého kužele bude vyjádřena takto:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)