GIA. Kvadratická funkce

Kvadratická funkce je funkcí tvaru:
y=a*(x^2)+b*x+c,
kde a je koeficient pro nejvyšší stupeň neznámé x,
b - koeficient pro neznámé x,
a c je volným členem.
Grafem kvadratické funkce je křivka zvaná parabola. Celkový pohled na parabolu je znázorněn na obrázku níže.

Obr.1 Celkový pohled na parabolu.

Existuje několik různých způsobů, jak vykreslit graf kvadratické funkce. Podíváme se na hlavní a nejobecnější z nich.

Algoritmus pro vykreslení kvadratické funkce y=a*(x^2)+b*x+c

1. Sestrojte souřadnicový systém, označte jednotkový segment a označte souřadnicové osy.

2. Určete směr větví paraboly (nahoru nebo dolů).
Chcete-li to provést, musíte se podívat na znaménko koeficientu a. Pokud je plus, pak větve směřují nahoru, pokud je mínus, pak větve směřují dolů.

3. Určete souřadnici x vrcholu paraboly.
Chcete-li to provést, musíte použít vzorec Xvertex = -b/2*a.

4. Určete souřadnici ve vrcholu paraboly.
Chcete-li to provést, dosaďte do rovnice Uvershiny = a*(x^2)+b*x+c místo x hodnotu Xverhiny nalezenou v předchozím kroku.

5. Vyneste výsledný bod do grafu a nakreslete skrz něj osu symetrie, rovnoběžnou se souřadnicovou osou Oy.

6. Najděte průsečíky grafu s osou Ox.
K tomu je třeba vyřešit kvadratickou rovnici a*(x^2)+b*x+c = 0 pomocí jedné ze známých metod. Pokud rovnice nemá reálné kořeny, pak graf funkce neprotíná osu Ox.

7. Najděte souřadnice průsečíku grafu s osou Oy.
K tomu dosadíme do rovnice hodnotu x=0 a vypočteme hodnotu y. Na grafu označíme toto a k němu symetrický bod.

8. Najděte souřadnice libovolného bodu A(x,y)
Chcete-li to provést, vyberte libovolnou hodnotu pro souřadnici x a dosaďte ji do naší rovnice. V tomto bodě dostáváme hodnotu y. Zakreslete bod do grafu. A také označte na grafu bod, který je symetrický k bodu A(x,y).

9. Výsledné body na grafu spojte hladkou čarou a pokračujte v grafu za krajní body až na konec souřadnicové osy. Označte graf buď na odkazu, nebo, pokud to prostor dovolí, podél grafu samotného.

Příklad vykreslování

Jako příklad si nakreslíme kvadratickou funkci danou rovnicí y=x^2+4*x-1
1. Nakreslete souřadnicové osy, označte je a označte jednotkový segment.
2. Hodnoty koeficientu a=1, b=4, c= -1. Protože a=1, které je větší než nula, směřují větve paraboly nahoru.
3. Určete souřadnici X vrcholu paraboly Xvertices = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Určete souřadnici Y vrcholu paraboly
Vrcholy = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Označte vrchol a nakreslete osu symetrie.
6. Najděte průsečíky grafu kvadratické funkce s osou Ox. Řešíme kvadratickou rovnici x^2+4*x-1=0.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Získané hodnoty zaznačíme do grafu.
7. Najděte průsečíky grafu s osou Oy.
x=0; y=-1
8. Vyberte libovolný bod B. Nechť má souřadnici x=1.
Pak y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Spojte výsledné body a podepište graf.

V hodinách matematiky ve škole jste se již seznámili s nejjednoduššími vlastnostmi a grafem funkce y = x 2. Rozšiřme své znalosti kvadratická funkce.

Úkol 1.

Graf funkce y = x 2. Měřítko: 1 = 2 cm Označte bod na ose Oy F(0; 1/4). Pomocí kružítka nebo proužku papíru změřte vzdálenost od bodu F do nějakého bodu M paraboly. Poté proužek přišpendlete v bodě M a otáčejte kolem tohoto bodu, dokud nebude svislý. Konec proužku klesne mírně pod osu x (obr. 1). Označte na proužku, jak daleko přesahuje osu x. Nyní vezměte další bod na parabole a opakujte měření znovu. Jak hluboko klesl okraj pásu pod osu x?

Výsledek: bez ohledu na to, jaký bod na parabole y = x 2 vezmete, vzdálenost od tohoto bodu k bodu F(0; 1/4) bude větší než vzdálenost od stejného bodu k ose úsečky vždy o stejné číslo - 1/4.

Můžeme to říci jinak: vzdálenost libovolného bodu paraboly k bodu (0; 1/4) se rovná vzdálenosti stejného bodu paraboly k přímce y = -1/4. Tento úžasný bod F(0; 1/4) se nazývá soustředit paraboly y = x 2 a přímka y = -1/4 – ředitelka tato parabola. Každá parabola má směrovou přímku a ohnisko.

Zajímavé vlastnosti paraboly:

1. Jakýkoli bod paraboly je stejně vzdálený od nějakého bodu, který se nazývá ohnisko paraboly, a od nějaké přímky, která se nazývá její přímka.

2. Pokud otočíte parabolu kolem osy symetrie (například parabola y = x 2 kolem osy Oy), získáte velmi zajímavou plochu zvanou rotační paraboloid.

Povrch kapaliny v rotující nádobě má tvar rotačního paraboloidu. Tento povrch můžete vidět, pokud intenzivně zamícháte lžičkou v neúplné sklenici čaje a poté lžíci odstraníte.

3. Pokud hodíte kámen do prázdna pod určitým úhlem k horizontu, poletí v parabole (obr. 2).

4. Pokud protnete povrch kužele rovinou rovnoběžnou s některou z jeho tvořících přímek, výsledkem průřezu bude parabola (obr. 3).

5. Zábavní parky mají někdy zábavnou jízdu s názvem Paraboloid of Wonders. Všem stojícím uvnitř rotujícího paraboloidu se zdá, že stojí na podlaze a zbytek lidí se jaksi zázračně drží stěn.

6. V odrazných dalekohledech se také používají parabolická zrcadla: světlo vzdálené hvězdy přicházející v paralelním paprsku dopadající na zrcadlo dalekohledu je shromažďováno do ohniska.

7. Bodová světla mají většinou zrcadlo ve tvaru paraboloidu. Pokud umístíte zdroj světla do ohniska paraboloidu, pak paprsky odražené od parabolického zrcadla vytvoří paralelní paprsek.

Graf kvadratické funkce

V hodinách matematiky jste se učili, jak získat grafy funkcí tvaru z grafu funkce y = x 2:

1) y = ax 2– protažení grafu y = x 2 podél osy Oy v |a| krát (s |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, rýže. 4).

2) y = x 2 + n– posun grafu o n jednotek podél osy Oy, a pokud n > 0, pak je posun nahoru, a pokud n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– posun grafu o m jednotek podél osy Ox: pokud m< 0, то вправо, а если m >0, pak odešel, (obr. 5).

4) y = -x 2– symetrické zobrazení vzhledem k ose Ox grafu y = x 2 .

Podívejme se blíže na vykreslení funkce y = a(x – m) 2 + n.

Kvadratickou funkci tvaru y = ax 2 + bx + c lze vždy redukovat na tvar

y = a(x – m) 2 + n, kde m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Pojďme to dokázat.

Opravdu,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 /(4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Pojďme si představit nové zápisy.

Nechat m = -b/(2a), A n = -(b 2 – 4ac)/(4a),

pak dostaneme y = a(x – m) 2 + n nebo y – n = a(x – m) 2.

Udělejme ještě další substituce: nechť y – n = Y, x – m = X (*).

Pak dostaneme funkci Y = aX 2, jejímž grafem je parabola.

Vrchol paraboly je v počátku. X = 0; Y = 0.

Dosazením souřadnic vrcholu do (*) získáme souřadnice vrcholu grafu y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

Aby bylo možné vykreslit kvadratickou funkci reprezentovanou jako

y = a(x – m) 2 + n

pomocí transformací můžete postupovat následovně:

A) vykreslete funkci y = x 2 ;

b) paralelním posunem podél osy Ox o m jednotek a podél osy Oy o n jednotek - přenést vrchol paraboly z počátku do bodu se souřadnicemi (m; n) (obr. 6).

Transformace záznamu:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Příklad.

Pomocí transformací sestrojte graf funkce y = 2(x – 3) 2 v kartézském souřadném systému – 2.

Řešení.

Řetězec transformací:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2(x – 3) 2 – 2 (4) .

Vykreslení je zobrazeno v rýže. 7.

Grafování kvadratických funkcí si můžete procvičit sami. Sestavte například graf funkce y = 2(x + 3) 2 + 2 v jednom souřadnicovém systému pomocí transformací Pokud máte nějaké dotazy nebo chcete poradit od učitele, pak máte možnost dirigovat bezplatná 25minutová lekce s online lektorem po registraci. Pro další spolupráci s učitelem si můžete vybrat tarif, který vám vyhovuje.

Máte ještě otázky? Nevíte, jak znázornit graf kvadratické funkce?
Chcete-li získat pomoc od lektora, zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!

webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.

Jak ukazuje praxe, úlohy o vlastnostech a grafech kvadratické funkce způsobují vážné potíže. To je docela zvláštní, protože v 8. třídě studují kvadratickou funkci a pak celé první čtvrtletí 9. třídy „trápí“ vlastnosti paraboly a sestavují její grafy pro různé parametry.

Je to dáno tím, že když nutí studenty konstruovat paraboly, prakticky nevěnují čas „čtení“ grafů, tedy nenacvičují chápání informací získaných z obrázku. Zřejmě se předpokládá, že po sestrojení tuctu nebo dvou grafů chytrý student sám objeví a zformuluje vztah mezi koeficienty ve vzorci a vzhledem grafu. V praxi to nefunguje. K takovému zobecnění je potřeba seriózní praxe v matematickém minivýzkumu, kterou většina deváťáků samozřejmě nemá. Státní inspekce mezitím navrhuje stanovit znaménka koeficientů pomocí harmonogramu.

Nebudeme od školáků vyžadovat nemožné a jednoduše nabídneme některý z algoritmů pro řešení takových problémů.

Takže funkce formuláře y = ax 2 + bx + c nazývá se kvadratický, jeho grafem je parabola. Jak název napovídá, hlavním pojmem je sekera 2. To znamená A by se neměly rovnat nule, zbývající koeficienty ( b A S) se může rovnat nule.

Podívejme se, jak znaménka jejích koeficientů ovlivňují vzhled paraboly.

Nejjednodušší závislost pro koeficient A. Většina školáků sebevědomě odpovídá: „kdyby A> 0, pak větve paraboly směřují nahoru a pokud A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5 x 2 - 3 x + 1

V tomto případě A = 0,5

A teď pro A < 0:

y = - 0,5 x 2 - 3 x + 1

V tomto případě A = - 0,5

Vliv koeficientu S Je to také docela snadné sledovat. Představme si, že chceme najít hodnotu funkce v bodě X= 0. Dosaďte do vzorce nulu:

y = A 0 2 + b 0 + C = C. Ukazuje se, že y = c. To znamená S je pořadnicí průsečíku paraboly s osou y. Tento bod lze obvykle snadno najít v grafu. A určit, zda leží nad nulou nebo pod. To znamená S> 0 nebo S < 0.

S > 0:

y = x 2 + 4 x + 3

S < 0

y = x 2 + 4 x - 3

V souladu s tím, pokud S= 0, pak parabola nutně projde počátkem:

y = x 2 + 4x

Obtížnější s parametrem b. Bod, ve kterém to najdeme, závisí nejen na b ale také od A. Toto je vrchol paraboly. Jeho úsečka (souřadnice osy X) se zjistí podle vzorce x v = - b/(2a). Tedy, b = - 2x palce. To znamená, že postupujeme takto: najdeme na grafu vrchol paraboly, určíme znaménko její úsečky, to znamená, že se podíváme vpravo od nuly ( x v> 0) nebo doleva ( x v < 0) она лежит.

To však není vše. Pozor si musíme dát i na znaménko koeficientu A. To znamená, podívejte se, kam směřují větve paraboly. A teprve potom podle vzorce b = - 2x palce určit znamení b.

Podívejme se na příklad:

Větve směřují nahoru, což znamená A> 0, parabola protíná osu na pod nulou, tzn S < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x v> 0. Takže b = - 2x palce = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, S < 0.