Příklady exponenciálních funkcí. Exponenciální rovnice a nerovnice
Hypermarket znalostí >>Matematika >>Matematika 10. třída >>
Exponenciální funkce, její vlastnosti a graf
Uvažujme výraz 2x a najdeme jeho hodnoty pro různé racionální hodnoty proměnné x, například pro x = 2;
Obecně platí, že bez ohledu na to, jaký racionální význam přiřadíme proměnné x, vždy dokážeme vypočítat odpovídající číselnou hodnotu výrazu 2 x. Můžeme tedy mluvit o exponenciálním funkcí y=2 x, definované na množině Q racionálních čísel:
Podívejme se na některé vlastnosti této funkce.
Nemovitost 1.- zvýšení funkce. Důkaz provádíme ve dvou fázích.
První etapa. Dokažme, že je-li r kladné racionální číslo, pak 2 r >1.
Jsou možné dva případy: 1) r je přirozené číslo, r = n; 2) obyčejný neredukovatelný zlomek,
Na levé straně poslední nerovnosti máme , a na pravé straně 1. To znamená, že poslední nerovnost lze přepsat do tvaru
V každém případě tedy platí nerovnost 2 r > 1, což bylo potřeba dokázat.
Druhá fáze. Nechť x 1 a x 2 jsou čísla a x 1 a x 2< х2. Составим разность 2 х2 -2 х1 и выполним некоторые ее преобразования:
(rozdíl x 2 - x 1 jsme označovali písmenem r).
Protože r je kladné racionální číslo, pak podle toho, co bylo prokázáno v první fázi, 2 r > 1, tzn. 2 r-1 >0. Číslo 2x" je také kladné, což znamená, že součin 2 x-1 (2 Г -1) je rovněž kladný. Tím jsme dokázali, že nerovnost 2 Xg -2x" >0.
Takže z nerovnosti x 1< х 2 следует, что 2х" <2 x2 , а это и означает, что функция у -2х - возрастающая.
Nemovitost 2. omezené zdola a neomezené shora.
Ohraničenost funkce zdola vyplývá z nerovnosti 2 x >0, která platí pro libovolné hodnoty x z oboru definice funkce. Přitom ať vezmete jakékoliv kladné číslo M, vždy můžete zvolit exponent x takový, že bude splněna nerovnost 2 x >M - což charakterizuje neohraničenost funkce shora. Uveďme několik příkladů.
Nemovitost 3. nemá nejmenší ani největší hodnotu.
Že tato funkce nemá největší význam, je zřejmé, protože, jak jsme právě viděli, není shora omezena. Ale je to omezeno zdola, proč to nemá minimální hodnotu?
Předpokládejme, že 2 r je nejmenší hodnota funkce (r je nějaký racionální ukazatel). Vezměme racionální číslo q<г. Тогда в силу возрастания функции у=2 х будем иметь 2 x <2г. А это значит, что 2 r не может служить наименьшим значением функции.
To vše je dobré, říkáte, ale proč uvažujeme funkci y-2 x pouze na množině racionálních čísel, proč ji neuvažujeme jako jiné známé funkce na celé číselné ose nebo na nějakém souvislém intervalu číselná řada? Co nám v tom brání? Zamysleme se nad situací.
Číselná řada obsahuje nejen racionální, ale i iracionální čísla. U dříve studovaných funkcí nám to nevadilo. Například hodnoty funkce y = x2 jsme našli stejně snadno pro racionální i iracionální hodnoty x: stačilo umocnit danou hodnotu x.
Ale s funkcí y=2 x je situace složitější. Pokud má argument x racionální význam, pak lze v zásadě x vypočítat (vraťte se znovu na začátek odstavce, kde jsme přesně toto udělali). Co když má argument x iracionální význam? Jak například počítat? Tohle ještě nevíme.
Matematici našli cestu ven; tak uvažovali.
To se ví 
Zvažte posloupnost racionálních čísel - desítkové aproximace čísla nevýhodou:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;... .
Je jasné, že 1,732 = 1,7320 a 1,732050 = 1,73205. Abychom se vyhnuli takovému opakování, vyřadíme ty členy posloupnosti, které končí číslem 0.
Pak dostaneme rostoucí posloupnost:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .
V souladu s tím se sekvence zvyšuje
Všechny členy této posloupnosti jsou kladná čísla menší než 22, tzn. tato sekvence je omezená. Podle Weierstrassovy věty (viz § 30) je-li posloupnost rostoucí a omezená, pak konverguje. Navíc z § 30 víme, že konverguje-li posloupnost, konverguje pouze k jedné limitě. Bylo dohodnuto, že tento jediný limit by měl být považován za hodnotu číselného vyjádření. A je úplně jedno, že najít byť jen přibližnou hodnotu číselného výrazu 2 je velmi obtížné; důležité je, že se jedná o konkrétní číslo (ostatně jsme se nebáli říci, že je to například kořen racionální rovnice, 
kořen trigonometrické rovnice, aniž bychom skutečně přemýšleli o tom, co přesně tato čísla jsou: 
Zjistili jsme tedy, jaký význam vkládají matematici do symbolu 2^. Podobně můžete určit, co a obecně co je a a, kde a je iracionální číslo a a > 1.
Ale co když 0<а <1? Как вычислить, например, ? Самым естественным способом: считать, что свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Nyní můžeme mluvit nejen o mocninách s libovolnými racionálními exponenty, ale také o mocninách s libovolnými reálnými exponenty. Je prokázáno, že stupně s libovolnými reálnými exponenty mají všechny obvyklé vlastnosti stupňů: při násobení mocnin se stejnými základy se exponenty sčítají, při dělení se odečítají, při zvýšení stupně na mocninu se násobí atd. Ale nejdůležitější je, že nyní můžeme mluvit o funkci y-ax definované na množině všech reálných čísel.
Vraťme se k funkci y = 2 x a sestrojme její graf. Chcete-li to provést, vytvořte tabulku hodnot funkcí y=2x:
Označme body na souřadnicové rovině (obr. 194), označují určitou přímku, narýsujme ji (obr. 195).
Vlastnosti funkce y - 2 x:
1)
2) není sudá ani lichá; 248
3) zvyšuje;
5) nemá ani největší, ani nejmenší hodnoty;
6) kontinuální;
7)
8) konvexní směrem dolů.
Důkladné důkazy uvedených vlastností funkce y-2 x jsou uvedeny v kurzu vyšší matematiky. Některé z těchto vlastností jsme do té či oné míry diskutovali dříve, některé z nich jasně demonstruje sestrojený graf (viz obr. 195). Například nedostatek parity nebo lichosti funkce geometricky souvisí s nedostatkem symetrie grafu, respektive vzhledem k ose y nebo vzhledem k počátku.
Každá funkce ve tvaru y = a x, kde a > 1, má podobné vlastnosti. Na Obr. Bylo sestrojeno 196 v jednom souřadnicovém systému, grafy funkcí y=2 x, y=3 x, y=5 x.
Podívejme se nyní na funkci a vytvořte pro ni tabulku hodnot:
Označme body na souřadnicové rovině (obr. 197), označují určitou přímku, narýsujme ji (obr. 198).
Vlastnosti funkce
1)
2) není sudá ani lichá;
3) klesá;
4) neomezeno shora, omezeno zdola;
5) neexistuje ani největší, ani nejmenší hodnota;
6) kontinuální;
7)
8) konvexní směrem dolů.
Jakákoli funkce ve tvaru y=a x, kdeO má podobné vlastnosti<а <1. На рис. 200 в одной системе координат построены графики функций 
Poznámka: funkční grafy 
těch. y=2 x, symetrické podle osy y (obr. 201). To je důsledek obecného tvrzení (viz § 13): grafy funkcí y = f(x) a y = f(-x) jsou symetrické podle osy y. Podobně grafy funkcí y = 3 x a
Abychom shrnuli, co bylo řečeno, uvedeme definici exponenciální funkce a vyzdvihneme její nejdůležitější vlastnosti.
Definice. Funkce formuláře se nazývá exponenciální funkce.
Základní vlastnosti exponenciální funkce y = a x
Graf funkce y=a x pro a> 1 je na Obr. 201 a za 0<а < 1 - на рис. 202.
Křivka znázorněná na Obr. 201 nebo 202 se nazývá exponent. Ve skutečnosti matematici obvykle nazývají samotnou exponenciální funkci y = a x. Termín "exponent" se tedy používá ve dvou významech: jak pro pojmenování exponenciální funkce, tak pro pojmenování grafu exponenciální funkce. Obvykle je význam jasný, ať už mluvíme o exponenciální funkci nebo o jejím grafu.
Pozor na geometrickou vlastnost grafu exponenciální funkce y=ax: osa x je vodorovná asymptota grafu. Pravda, toto tvrzení bývá objasněno následovně.
Osa x je horizontální asymptota grafu funkce
Jinými slovy
První důležitá poznámka. Školáci si často pletou pojmy: mocninná funkce, exponenciální funkce. Porovnat:
Toto jsou příklady mocninných funkcí; 
Toto jsou příklady exponenciálních funkcí.
Obecně platí, že y = x r, kde r je konkrétní číslo, je mocninná funkce (argument x je obsažen v základu stupně);
y = a", kde a je konkrétní číslo (kladné a odlišné od 1), je exponenciální funkce (argument x je obsažen v exponentu).
"Exotická" funkce jako y = x" není považována za exponenciální ani mocninu (někdy se jí říká exponenciální).
Druhá důležitá poznámka. Obvykle se neuvažuje exponenciální funkce se základem a = 1 nebo se základem a splňující nerovnost a<0 (вы, конечно, помните, что выше, в определении показательной функции, оговорены условия: а >0 a a Faktem je, že pokud a = 1, pak pro libovolnou hodnotu x platí rovnost Ix = 1 Exponenciální funkce y = a" s a = 1 "degeneruje" na konstantní funkci y = 1 - toto. není zajímavé Pokud a = 0, pak 0x = 0 pro jakoukoli kladnou hodnotu x, tj. dostaneme funkci y = 0, definovanou pro x > 0 - to je také nezajímavé, pokud a.<0, то выражение а" имеет смысл лишь при целых значениях х, а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции, определенные на сплошных промежутках.
Než přejdeme k řešení příkladů, všimněte si, že exponenciální funkce se výrazně liší od všech funkcí, které jste dosud studovali. Chcete-li důkladně prostudovat nový objekt, musíte jej zvážit z různých úhlů pohledu, v různých situacích, takže příkladů bude mnoho.
Příklad 1
Řešení, a) Po sestrojení grafů funkcí y = 2 x a y = 1 v jedné soustavě souřadnic si všimneme (obr. 203), že mají jeden společný bod (0; 1). To znamená, že rovnice 2x = 1 má jediný kořen x =0.
Takže z rovnice 2x = 2° dostaneme x = 0.
b) Po sestrojení grafů funkcí y = 2 x a y = 4 v jednom souřadnicovém systému si všimneme (obr. 203), že mají jeden společný bod (2; 4). To znamená, že rovnice 2x = 4 má jediný kořen x = 2.
Takže z rovnice 2 x = 2 2 dostaneme x = 2.
c) a d) Na základě stejných úvah docházíme k závěru, že rovnice 2 x = 8 má jediný kořen a k jejímu nalezení není třeba sestavovat grafy odpovídajících funkcí;
je jasné, že x = 3, protože 2 3 = 8. Podobně najdeme jediný kořen rovnice
Takže z rovnice 2x = 2 3 jsme dostali x = 3 a z rovnice 2 x = 2 x jsme dostali x = -4.
e) Graf funkce y = 2 x je umístěn nad grafem funkce y = 1 pro x >0 - to je dobře čitelné na Obr. 203. To znamená, že řešením nerovnice 2x > 1 je interval
e) Graf funkce y = 2 x je umístěn pod grafem funkce y = 4 v bodě x<2 - это хорошо читается по рис. 203. Значит, решением неравенства 2х <4служит промежуток
Pravděpodobně jste si všimli, že základem pro všechny závěry učiněné při řešení příkladu 1 byla vlastnost monotonie (zvýšení) funkce y = 2 x. Podobná úvaha nám umožňuje ověřit platnost následujících dvou vět.
Řešení. Můžete postupovat takto: vytvořte graf funkce y-3 x, poté jej roztáhněte od osy x o faktor 3 a poté výsledný graf zvedněte o 2 jednotky měřítka. Výhodnější je ale využít toho, že 3- 3* =3 *+1, a sestavit tedy graf funkce y=3 x*1 + 2.
Přejděme, jak jsme v takových případech již mnohokrát učinili, k pomocnému souřadnému systému s počátkem v bodě (-1; 2) - tečkované čáry x = - 1 a 1x = 2 na Obr. 207. Propojme funkci y=3* s novým souřadným systémem. Chcete-li to provést, vyberte kontrolní body pro funkci 
, ale postavíme je ne ve starém, ale v novém souřadnicovém systému (tyto body jsou vyznačeny na obr. 207). Poté z bodů sestrojíme exponent - to bude požadovaný graf (viz obr. 207).
Pro nalezení největší a nejmenší hodnoty dané funkce na segmentu [-2, 2] využíváme toho, že daná funkce je rostoucí, a proto nabývá své nejmenší a největší hodnoty na levý a pravý konec segmentu.
Tak:
Příklad 4.Řešte rovnice a nerovnice:
Řešení, a) Sestrojme grafy funkcí y=5* a y=6-x v jednom souřadnicovém systému (obr. 208). Protínají se v jednom bodě; soudě podle kresby jde o bod (1; 5). Kontrola ukazuje, že ve skutečnosti bod (1; 5) splňuje jak rovnici y = 5*, tak rovnici y = 6-x. Úsečka tohoto bodu slouží jako jediný kořen dané rovnice.
Takže rovnice 5 x = 6 - x má jeden kořen x = 1.
b) a c) Exponent y-5x leží nad přímkou y=6-x, je-li x>1, je to dobře patrné na Obr. 208. To znamená, že řešení nerovnosti 5*>6 lze zapsat následovně: x>1. A řešení nerovnosti 5x<6 - х можно записать так: х < 1.
Odpověď: a)x = 1; b)x>1; c)x<1.
Příklad 5. Daná funkce 
Dokažte to 
Řešení. Podle stavu Máme.
1. Exponenciální funkce je funkcí tvaru y(x) = a x v závislosti na exponentu x s konstantní hodnotou základny stupně a, kde a > 0, a ≠ 0, xϵR (R je množina reálných čísel).
Uvažujme graf funkce, pokud báze nesplňuje podmínku: a>0
a) a< 0
Pokud a< 0 – возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечетным показателем.
a = -2
Pokud a = 0, je funkce y = definována a má konstantní hodnotu 0
c) a = 1
Pokud a = 1, je funkce y = definována a má konstantní hodnotu 1
Funkční doména (DOF) Rozsah přípustných funkčních hodnot (APV) 3. Nuly funkce (y = 0) 4. Průsečíky se souřadnicovou osou oy (x = 0) 5. Zvyšovací, klesající funkce Jestliže , pak funkce f(x) roste 6. Sudá, lichá funkce Funkce y = není symetrická vzhledem k ose 0y a vzhledem k počátku souřadnic, proto není ani sudá ani lichá. (Obecná funkce) 7. Funkce y = nemá žádné extrémy 8. Vlastnosti stupně s reálným exponentem: Nechť a > 0; a≠1 Potom pro xϵR; yϵR: Vlastnosti stupně monotonie: pokud, tak Pokud a > 0, pak . 9. Relativní poloha funkce Čím větší je základna a, tím blíže k osám x a oy a > 1, a = 20 Příklad 1 Uveďme nejprve definici exponenciální funkce. Exponenciální funkce $f\left(x\right)=a^x$, kde $a >1$. Představme si vlastnosti exponenciální funkce pro $a >1$. \ \[bez kořenů\] \ Průsečík se souřadnicovými osami. Funkce neprotíná osu $Ox$, ale protíná osu $Oy$ v bodě $(0,1)$. $f""\left(x\right)=(\left(a^xlna\right))"=a^x(ln)^2a$ \ \[bez kořenů\] \ Graf (obr. 1). Obrázek 1. Graf funkce $f\left(x\right)=a^x,\ for\ a >1$. Představme si vlastnosti exponenciální funkce na $0 Definiční obor jsou všechna reálná čísla. $f\left(-x\right)=a^(-x)=\frac(1)(a^x)$ -- funkce není ani sudá, ani lichá. $f(x)$ je spojitý přes celou doménu definice. Rozsah hodnot je interval $(0,+\infty)$. $f"(x)=\left(a^x\right)"=a^xlna$ \ \[bez kořenů\] \ \[bez kořenů\] \ Funkce je konvexní přes celý definiční obor. Chování na koncích domény: \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ ) =0\] Graf (obr. 2). Prozkoumejte a vykreslete funkci $y=2^x+3$. Řešení. Proveďme studii pomocí výše uvedeného vzorového diagramu: Definiční obor jsou všechna reálná čísla. $f\left(-x\right)=2^(-x)+3$ -- funkce není ani sudá, ani lichá. $f(x)$ je spojitý přes celou doménu definice. Rozsah hodnot je interval $(3,+\infty)$. $f"\left(x\right)=(\left(2^x+3\right))"=2^xln2>0$ Funkce se zvyšuje v celé definiční oblasti. $f(x)\ge 0$ v celé doméně definice. Průsečík se souřadnicovými osami. Funkce neprotíná osu $Ox$, ale protíná osu $Oy$ v bodě ($0,4)$ $f""\left(x\right)=(\left(2^xln2\right))"=2^x(ln)^22>0$ Funkce je konvexní přes celý definiční obor. Chování na koncích domény: \[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) a^x\ )=0\] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) a^x\ )=+ \infty\] Graf (obr. 3). Obrázek 3. Graf funkce $f\left(x\right)=2^x+3$ Pojďme najít hodnotu výrazu pro různé racionální hodnoty proměnné x=2; 0; -3; - Všimněte si, že bez ohledu na to, jaké číslo dosadíme za proměnnou x, vždy můžeme najít hodnotu tohoto výrazu. To znamená, že uvažujeme exponenciální funkci (E se rovná třem mocnině x), definovanou na množině racionálních čísel: . Sestavme graf této funkce sestavením tabulky jejích hodnot. Nakreslete hladkou čáru procházející těmito body (obrázek 1) Pomocí grafu této funkce uvažujme její vlastnosti: 3. Zvyšuje se v celé oblasti definice. 8. Funkce je konvexní směrem dolů. Sestrojíme-li grafy funkcí v jednom souřadnicovém systému; y=(y se rovná dvěma mocnině x, y se rovná pěti mocnině x, y se rovná sedmi mocnině x), pak můžete vidět, že mají stejné vlastnosti jako y= (y se rovná třem mocnině x) (obr. .2), to znamená, že všechny funkce tvaru y = (y se rovná a mocnině x, pro větší než jedna) budou mít takové vlastnosti. Nakreslíme funkci: 1. Sestavení tabulky jeho hodnot. Označme získané body na souřadnicové rovině. Nakreslíme hladkou čáru procházející těmito body (obrázek 3). Pomocí grafu této funkce naznačíme její vlastnosti: 1. Definiční obor je množina všech reálných čísel. 2. Není sudá ani lichá. 3. Klesá v celé oblasti definice. 4. Nemá největší ani nejmenší hodnoty. 5.Omezeno níže, ale neomezeno výše. 6.Kontinuální v celé oblasti definice. 7. rozsah hodnot od nuly do plus nekonečna. 8. Funkce je konvexní směrem dolů. Podobně, sestrojíme-li grafy funkcí v jednom souřadnicovém systému; y = (y se rovná jedné polovině mocniny x, y se rovná jedné pětině mocniny x, y se rovná jedné sedmině mocniny x), pak si můžete všimnout, že mají stejné vlastnosti jako y = (y se rovná jedné třetině mocniny x (obr. 4), tedy všechny funkce tvaru y = (y se rovná jedné dělené mocninou a a x, s větší než nula, ale menší než jedna) bude mít takové vlastnosti. Sestrojme grafy funkcí v jednom souřadnicovém systému To znamená, že grafy funkcí y=y= budou pro stejnou hodnotu a také symetrické (y se rovná a rovná mocnině x a y se rovná jedničce děleno a ku x mocnině). Shrňme, co bylo řečeno, definováním exponenciální funkce a uvedením jejích hlavních vlastností: Definice: Funkce ve tvaru y=, kde (a je rovno a mocnině x, kde a je kladné a odlišné od jedné), se nazývá exponenciální funkce. Je třeba si zapamatovat rozdíly mezi exponenciální funkcí y= a mocninnou funkcí y=, a=2,3,4,…. jak zvukově, tak vizuálně. Exponenciální funkce X je moc a pro mocenskou funkci X je základ. Příklad 1: Vyřešte rovnici (tři na mocninu x se rovná devíti) (Y se rovná třem mocnině X a Y 9) Obr Všimněte si, že mají jeden společný bod M (2;9) (em se souřadnicemi dva; devět), což znamená, že úsečka bodu bude kořenem této rovnice. To znamená, že rovnice má jeden kořen x = 2. Příklad 2: Řešte rovnici V jednom souřadnicovém systému sestrojíme dva grafy funkce y= (y se rovná pěti mocnině x a y jedné dvacetipětině) obr. 8. Obr. Grafy se protínají v jednom bodě T (-2; (te se souřadnicemi mínus dva; jedna dvacetipátá). To znamená, že kořen rovnice je x = -2 (číslo mínus dva). Příklad 3: Řešte nerovnici V jednom souřadnicovém systému sestrojíme dva grafy funkce y= (Y se rovná třem mocnině X a Y se rovná dvaceti sedmi). Obr.9 Graf funkce je umístěn nad grafem funkce y=at x Řešením nerovnice je tedy interval (od mínus nekonečna do tří) Příklad 4: Řešte nerovnici V jednom souřadnicovém systému sestrojíme dva grafy funkce y= (y se rovná jedné čtvrtině mocniny x a y se rovná šestnácti). (obr. 10). Grafy se protínají v jednom bodě K (-2;16). To znamená, že řešením nerovnice je interval (-2; (od minus dvou do plus nekonečna), protože graf funkce y= je umístěn pod grafem funkce v bodě x Naše úvahy nám umožňují ověřit platnost následujících teorémů: Téma 1: Je-li pravdivé tehdy a jen tehdy, když m=n. Věta 2: Je-li pravda tehdy a jen tehdy, nerovnost je pravdivá tehdy a jen tehdy, když (obr. *) Věta 4: Je-li pravdivá tehdy a jen tehdy, když (obr.**), nerovnost je pravdivá tehdy a jen tehdy, když Věta 3: Pokud platí tehdy a jen tehdy, když m=n. Příklad 5: Nakreslete graf funkce y= Upravme funkci aplikací vlastnosti stupně y= Sestrojme další souřadnicový systém a v novém souřadném systému sestrojíme graf funkce y = (y se rovná dvěma mocnině x) obr. 11. Obr. Příklad 6: Řešte rovnici V jednom souřadnicovém systému sestrojíme dva grafy funkce y= (Y se rovná sedmi mocnině X a Y se rovná osmi minus X) Obr. Grafy se protínají v jednom bodě E (1; (e se souřadnicemi jedna; sedm). To znamená, že kořen rovnice je x = 1 (x se rovná jedné). Příklad 7: Řešte nerovnici V jednom souřadnicovém systému sestrojíme dva grafy funkce y= (Y se rovná jedné čtvrtině mocniny X a Y se rovná X plus pět). Graf funkce y=je umístěn pod grafem funkce y=x+5, když řešením nerovnice je interval x (od mínus jedna do plus nekonečna).
2. Podívejme se blíže na exponenciální funkci:
0
Jestliže , pak funkce f(x) klesá
Funkce y= , na 0
Vyplývá to z vlastností monotónnosti mocniny s reálným exponentem.
b > 0; b≠1
Například:
Exponenciální funkce je spojitá v libovolném bodě ϵ R.
Je-li a0, pak má exponenciální funkce tvar blízký y = 0.
Je-li a1, pak dále od os ox a oy a graf nabývá tvaru blízkého funkci y = 1.
Sestrojte graf y =
Exponenciální funkce $f\left(x\right)=a^x$, kde $0
Příklad problému sestrojit exponenciální funkci
