Menu
DomovÚčesy

Sčítání čísel s různými znaménky, pravidla, příklady. Sčítání a odečítání celých čísel

„Sčítání čísel s různými znaménky“ - učebnice matematiky, ročník 6 (Vilenkin)

Stručný popis:


V této části se naučíte pravidla pro sčítání čísel s různými znaménky: to znamená, že se naučíte sčítat záporná a kladná čísla.
Už víte, jak je přidat na souřadnicovou čáru, ale v každém příkladu nebudete pomocí ní kreslit čáru a počítat? Proto se musíte naučit, jak skládat bez něj.
Zkusme s vámi přidat záporné číslo ke kladnému číslu, například osm sečte mínus šest: 8+(-6). Už víte, že přidání záporného čísla sníží původní číslo o zápornou hodnotu. To znamená, že osm musí být sníženo o šest, to znamená, že šest musí být odečteno od osmi: 8-6 = 2, což dává dvě. V tomto příkladu se zdá být vše jasné, odečteme šest od osmi.
A když si vezmeme tento příklad: přidejte kladné číslo k zápornému číslu. Například mínus osm přidejte šest: -8+6. Podstata zůstává stejná: kladné číslo redukujeme o hodnotu záporného, ​​dostaneme šest odečteme osm se rovná mínus dva: -8+6=-2.
Jak jste si všimli, v prvním i druhém příkladu s čísly se provádí odečítání. Proč? Protože mají různá znaménka (plus a mínus). Chcete-li se vyhnout chybám při přidávání čísel s různými znaménky, měli byste provést následující algoritmus:
1. najít moduly čísel;
2. odečtěte menší modul od většího modulu;
3. Před získaný výsledek vložte znaménko čísla s velkou absolutní hodnotou (obvykle se vkládá pouze znaménko mínus a znaménko plus se nevkládá).
Pokud podle tohoto algoritmu přidáte čísla s různými znaménky, budete mít mnohem menší šanci udělat chybu.

    rozvíjení znalostí o pravidle pro sčítání čísel s různými znaménky, schopnost je aplikovat v nejjednodušších případech;

    rozvoj dovedností porovnávat, identifikovat vzorce, zobecňovat;

    pěstovat zodpovědný přístup k pedagogické práci.

Zařízení: multimediální projektor, plátno.

Typ lekce: lekce učení nového materiálu.

PRŮBĚH LEKCE

1. Organizační moment.

Postavte se rovně

Tiše se posadili.

Zvonek už zazvonil,

Začněme naši lekci.

Chlapi! Dnes k nám na lekci přišli hosté. Otočme se k nim a usmějme se na sebe. Takže začínáme naši lekci.

Snímek 2- Epigraf lekce: „Kdo si ničeho nevšimne, nic nestuduje.

Kdo nic nestuduje, vždycky fňuká a nudí se."

Roman Sef (spisovatel pro děti)

Slad 3 - Doporučuji zahrát si hru „Naopak“. Pravidla hry: musíte rozdělit slova do dvou skupin: vyhrát, lež, teplo, dal, pravda, dobro, prohra, vzal, zlo, chlad, pozitivní, negativní.

V životě je mnoho rozporů. S jejich pomocí definujeme okolní realitu. Pro naši lekci potřebuji poslední: pozitivní - negativní.

O čem mluvíme v matematice, když používáme tato slova? (O číslech.)

Velký Pythagoras řekl: „Čísla vládnou světu. Navrhuji mluvit o nejzáhadnějších číslech ve vědě - číslech s různými znaky. - Záporná čísla se ve vědě objevila jako opak kladných čísel. Jejich cesta k vědě byla obtížná, protože ani mnoho vědců nepodporovalo myšlenku jejich existence.

Jaké pojmy a veličiny lidé měří kladnými a zápornými čísly? (náboje elementárních částic, teplota, ztráty, výška a hloubka atd.)

Snímek 4- Slova s ​​opačným významem jsou antonyma (tabulka).

2. Stanovení tématu lekce.

Snímek 5 (práce se stolem)– Jaká čísla jste studovali v předchozích lekcích?
– Jaké úkoly související s kladnými a zápornými čísly můžete provádět?
– Pozor na obrazovku. (Snímek 5)
– Jaká čísla jsou uvedena v tabulce?
– Pojmenujte moduly čísel psaných vodorovně.
– Uveďte největší číslo, uveďte číslo s největším modulem.
– Odpovězte na stejné otázky pro čísla psaná svisle.
– Shoduje se vždy největší číslo a číslo s největší absolutní hodnotou?
– Najděte součet kladných čísel, součet záporných čísel.
– Formulujte pravidlo pro sčítání kladných čísel a pravidlo pro sčítání záporných čísel.
– Jaká čísla zbývá sečíst?
– Víte, jak je složit?
– Znáte pravidlo pro sčítání čísel s různými znaménky?
– Formulujte téma lekce.
– Jaký cíl si stanovíte? .Přemýšlejte o tom, co budeme dnes dělat? (Odpovědi dětí). Dnes pokračujeme v seznamování s kladnými a zápornými čísly. Téma naší lekce je „Sčítání čísel s různými znaménky“. Naším cílem je naučit se sčítat čísla s různými znaménky bez chyb. Zapište si datum a téma lekce do sešitu.

3.Práce na tématu lekce.

Snímek 6.– Pomocí těchto konceptů najděte na obrazovce výsledky sčítání čísel s různými znaménky.
– Jaká čísla jsou výsledkem sečtení kladných a záporných čísel?
– Jaká čísla jsou výsledkem sčítání čísel s různými znaménky?
– Co určuje znaménko součtu čísel s různými znaménky? (Snímek 5)
– Od termínu s největším modulem.
- Je to jako přetahování lanem. Nejsilnější vyhrává.

Snímek 7- Pojďme si hrát. Představte si, že jste v přetahované. . Učitel. Soupeři se většinou potkávají na soutěžích. A dnes s vámi navštívíme několik turnajů. První, co nás čeká, je finále soutěže v přetahování lanem. Seznamte se s Ivanem Minusovem na čísle -7 a Petrem Plyusovem na čísle +5. Kdo podle vás vyhraje? Proč? Takže Ivan Minusov vyhrál, opravdu se ukázal být silnější než jeho soupeř a dokázal ho přetáhnout na svou zápornou stranu přesně dva kroky.

Snímek 8.- . Nyní pojďme k dalším soutěžím. Před vámi je finále střelecké soutěže. Nejlepší v této formě byli Minus Troikin se třemi balony a Plus Chetverikov, který měl v záloze čtyři balony. A tady kluci, kdo si myslíte, že bude vítěz?

Snímek 9- Soutěže ukázaly, že nejsilnější vyhrává. Tak je tomu při sčítání čísel s různými znaménky: -7 + 5 = -2 a -3 + 4 = +1. Chlapi, jak se sčítají čísla s různými znaménky, studenti nabízejí své vlastní možnosti?

Učitel formuluje pravidlo a uvádí příklady.

    10 + 12 = +(12 – 10) = +2

    4 + 3,6 = -(4 – 3,6) = -0,4

Během ukázky mohou studenti komentovat řešení zobrazené na snímku.

Snímek 10- Učiteli, zahrajeme si další hru „Bitevní loď“. Nepřátelská loď se blíží k našemu pobřeží, musí být vyřazena a potopena. K tomu máme zbraň. Ale abyste zasáhli cíl, musíte provést přesné výpočty. Které z nich nyní uvidíte. Jste připraveni? Tak do toho! Nenechte se prosím rozptylovat, příklady se mění přesně po 3 sekundách. Jsou všichni připraveni?

Studenti střídavě přicházejí k tabuli a počítají příklady, které se objeví na snímku. – Pojmenujte fáze dokončení úkolu.

Snímek 11- Pracujte podle učebnice: str. 180 str. 33, přečtěte si pravidlo pro sčítání čísel s různými znaménky. Komentáře k pravidlu.
– Jaký je rozdíl mezi pravidlem navrženým v učebnici a algoritmem, který jste sestavili? Zvažte příklady v učebnici s komentářem.

Snímek 12- Učitel - A teď lidi, pojďme dirigovat experimentovat. Ale ne chemické, ale matematické! Vezmeme čísla 6 a 8, znaménka plus a mínus a vše dobře promícháme. Uveďme čtyři experimentální příklady. Udělejte si je ve svém notebooku. (dva studenti řeší na křídlech tabule, poté se odpovědi kontrolují). Jaké závěry lze z tohoto experimentu vyvodit?(Role znaků). Provedeme další 2 experimenty , ale s vašimi čísly (na tabuli jde vždy 1 osoba). Pojďme si vzájemně vymyslet čísla a zkontrolovat výsledky experimentu (vzájemná kontrola).

Snímek 13 .- Pravidlo je zobrazeno na obrazovce v poetické podobě .

4. Upevnění tématu lekce.

Snímek 14 – Učitel - "Potřebujeme všechny druhy znamení, všechny druhy znamení jsou důležité!" Teď vás, kluci, rozdělíme do dvou týmů. Chlapci budou v týmu Santa Clause a dívky budou v týmu Sunny. Vaším úkolem bez počítání příkladů je určit, které z nich budou mít záporné odpovědi a které kladné, a zapsat si písmena těchto příkladů do sešitu. Chlapci jsou negativní a dívky pozitivní (vydávají se karty z aplikace). Probíhá autotest.

Dobrá práce! Váš smysl pro znamení je vynikající. To vám pomůže dokončit další úkol

Snímek 15 - Tělesná výchova. -10, 0,15,18,-5,14,0,-8,-5 atd. (záporná čísla - dřep, kladná čísla - vytažení, skok)

Snímek 16-Vyřešte 9 příkladů sami (úkol na kartách v aplikaci). 1 osoba u představenstva. Proveďte autotest. Odpovědi se zobrazují na obrazovce a studenti opravují chyby ve svých sešitech. Zvedněte ruce, pokud to máte správně. (známky se dávají pouze za dobré a vynikající výsledky)

Snímek 17-Pravidla nám pomáhají správně řešit příklady. Pojďme si je zopakovat Na obrazovce je algoritmus pro sčítání čísel s různými znaménky.

5.Organizace samostatné práce.

Snímek 18 -Fonline práce prostřednictvím hry „Hádej slovo“(úkol na kartičkách v příloze).

Snímek 19 - Skóre hry by mělo být „A“

Snímek 20 -A teď pozor. Domácí úkol. Domácí úkoly by vám neměly způsobovat žádné potíže.

Snímek 21 - Zákony sčítání ve fyzikálních jevech. Vymyslete příklady sčítání čísel s různými znaménky a zeptejte se je navzájem. Co nového jste se naučili? Dosáhli jsme svého cíle?

Snímek 22 - Tím lekce končí, pojďme si to nyní shrnout. Odraz. Učitel hodinu komentuje a hodnotí.

Snímek 23 - Děkuji za pozornost!

Přeji vám, abyste měli ve svém životě více pozitivních a méně negativních, chci vám říci, děkuji vám za vaši aktivní práci. Myslím, že nabyté znalosti snadno uplatníte v dalších lekcích. Lekce skončila. Všem moc děkuji. Sbohem!

Sčítání záporných čísel.

Součet záporných čísel je záporné číslo. Modul součtu se rovná součtu modulů pojmů.

Pojďme zjistit, proč součet záporných čísel bude také záporné číslo. Pomůže nám k tomu souřadnicová čára, na kterou sečteme čísla -3 a -5. Označme bod na souřadnicové čáře odpovídající číslu -3.

K číslu -3 musíme přidat číslo -5. Kam se dostaneme z bodu odpovídajícímu číslu -3? To je vpravo, vlevo! Pro 5 segmentů jednotek. Označíme bod a napíšeme k němu odpovídající číslo. Toto číslo je -8.

Takže při sčítání záporných čísel pomocí souřadnicové čáry jsme vždy vlevo od počátku, proto je jasné, že výsledkem sčítání záporných čísel je také záporné číslo.

Poznámka. Sečetli jsme čísla -3 a -5, tzn. zjistil hodnotu výrazu -3+(-5). Obvykle při sčítání racionálních čísel jednoduše zapíší tato čísla se svými znaménky, jako by vypisovali všechna čísla, která je třeba sečíst. Tento zápis se nazývá algebraický součet. Použijte (v našem příkladu) zadání: -3-5=-8.

Příklad. Najděte součet záporných čísel: -23-42-54. (Souhlasíte s tím, že tento záznam je kratší a pohodlnější takto: -23+(-42)+(-54))?

Pojďme se rozhodnout Podle pravidla pro sčítání záporných čísel: sčítáme moduly členů: 23+42+54=119. Výsledek bude mít znaménko mínus.

Obvykle to píšou takto: -23-42-54=-119.

Sčítání čísel s různými znaménky.

Součet dvou čísel s různými znaménky má znaménko členu s velkou absolutní hodnotou. Chcete-li najít modul součtu, musíte odečíst menší modul od většího modulu..

Proveďme sčítání čísel s různými znaménky pomocí souřadnicové čáry.

1) -4+6. K číslu -4 je třeba přidat číslo 6. Označme číslo -4 tečkou na souřadnicové čáře. Číslo 6 je kladné, což znamená, že od bodu se souřadnicí -4 musíme jít doprava o 6 jednotkových segmentů. Ocitli jsme se napravo od referenčního bodu (od nuly) o 2 jednotkové segmenty.

Výsledkem součtu čísel -4 a 6 je kladné číslo 2:

- 4+6=2. Jak jsi mohl získat číslo 2? Odečtěte 4 od 6, tzn. odečtěte menší od většího modulu. Výsledek má stejné znaménko jako výraz s velkým modulem.

2) Vypočítejme: -7+3 pomocí souřadnicové čáry. Označte bod odpovídající číslu -7. Jdeme doprava pro 3 segmenty jednotek a získáme bod se souřadnicí -4. Byli jsme a zůstáváme nalevo od počátku: odpověď je záporné číslo.

— 7+3=-4. Tento výsledek bychom mohli získat takto: od většího modulu odečteme menší, tzn. 7-3=4. V důsledku toho vložíme znaménko členu s větším modulem: |-7|>|3|.

Příklady. Vypočítat: A) -4+5-9+2-6-3; b) -10-20+15-25.

Plán lekce:

I. Organizační moment

Kontrola individuálních domácích úkolů.

II. Aktualizace základních znalostí studentů

1. Vzájemný trénink. Kontrolní otázky (párová organizační forma práce - vzájemné testování).
2. Ústní práce s komentováním (skupinová organizační forma práce).
3. Samostatná práce (individuální organizační forma práce, autotest).

III. Zpráva k tématu lekce

Skupinová organizační forma práce, vyslovení hypotézy, formulace pravidla.

1. Plnění tréninkových úkolů podle učebnice (skupinová organizační forma práce).
2. Práce silných studentů pomocí karet (individuální organizační forma práce).

VI. Fyzická pauza

IX. Domácí úkol.

Cíl: rozvíjení dovednosti sčítání čísel s různými znaménky.

úkoly:

  • Vytvořte pravidlo pro sčítání čísel s různými znaménky.
  • Procvičte si sčítání čísel s různými znaménky.
  • Rozvíjejte logické myšlení.
  • Rozvíjet schopnost práce ve dvojicích a vzájemný respekt.

Materiál na lekci: karty pro vzájemný trénink, tabulky výsledků práce, jednotlivé karty pro opakování a upevňování látky, motto pro samostatnou práci, karty s pravidlem.

PRŮBĚH LEKCE

já Organizační moment

– Začněme lekci kontrolou jednotlivých domácích úkolů. Mottem naší lekce budou slova Jana Amose Kamenského. Doma jste se nad jeho slovy potřeboval zamyslet. jak tomu rozumíš? („Považujte za nešťastný ten den nebo hodinu, ve které jste se nenaučili nic nového a nic nepřidali ke svému vzdělání“)
– Jak rozumíte slovům autora? (Pokud se nenaučíme nic nového, nezískáme nové znalosti, pak může být tento den považován za ztracený nebo nešťastný. Musíme se snažit získat nové znalosti).
– A dnešek nebude nešťastný, protože se zase naučíme něco nového.

II. Aktualizace základních znalostí studentů

– Abyste se naučili nový materiál, musíte opakovat to, co jste probrali.
Doma byl úkol – zopakovat si pravidla a nyní ukážete své znalosti prací s testovými otázkami.

(Testovací otázky na téma „Kladná a záporná čísla“)

Pracujte ve dvojicích. Peer review. Výsledky práce jsou uvedeny v tabulce)

Jak se nazývají čísla umístěná napravo od počátku? Pozitivní
Jaká čísla se nazývají protiklady? Dvě čísla, která se od sebe liší pouze znaménky, se nazývají protiklady
Jaký je modul čísla? Vzdálenost od bodu A(a) před začátkem odpočítávání, tedy do bodu O(0), nazývaný modul čísla
Jak označujete modul čísla? Rovné závorky
Formulovat pravidlo pro sčítání záporných čísel? Chcete-li přidat dvě záporná čísla, musíte: přidat jejich moduly a dát znaménko mínus
Jak se nazývají čísla umístěná nalevo od počátku? Negativní
Jaké číslo je opačné k nule? 0
Může být modul libovolného čísla záporné číslo? Žádný. Vzdálenost není nikdy záporná
Uveďte pravidlo pro porovnávání záporných čísel Ze dvou záporných čísel je to, jehož modul je menší, větší a to, jehož modul je větší, je menší.
Jaký je součet opačných čísel? 0

Odpovědi na otázky „+“ jsou správné, „–“ jsou nesprávné Kritéria hodnocení: 5 – „5“; 4 – „4“;3 – „3“

1 2 3 4 5 Stupeň
Q/otázky
Sebe/práce
Ind/ práce
Sečteno a podtrženo

– Které otázky byly nejtěžší?
– Co potřebujete k úspěšnému složení testových otázek? (znát pravidla)

2. Ústní práce s komentováním

– 45 + (– 45) = (– 90)
– 100 + (– 38) = (– 138)
– 3, 5 + (–2, 4) = (– 5,9)
– 17/70 + (– 26/70) = (– 43/70)
– 20 + (– 15) = (– 35)

– Jaké znalosti jste potřebovali k vyřešení 1-5 příkladů?

3. Samostatná práce

– 86, 52 + (– 6, 3) = – 92,82
– 49/91 + (– 27/91) = – 76/91
– 76 + (– 99) = – 175
– 14 + (– 47) = – 61
– 123,5 + (– 25, 18) = – 148,68
6 + (– 10) =

(Samotest. Při kontrole otevřete odpovědi)

– Proč vám poslední příklad způsobil potíže?
– Součet jakých čísel je třeba najít a součet jakých čísel víme, jak najít?

III. Zpráva k tématu lekce

– Dnes se ve třídě naučíme pravidlo pro sčítání čísel s různými znaménky. Naučíme se sčítat čísla s různými znaménky. Samostatná práce na konci lekce ukáže váš pokrok.

IV. Učení nového materiálu

– Otevřeme sešity, zapíšeme si datum, práci ve třídě, téma lekce „Sčítání čísel s různými znaménky“.
– Co je zobrazeno na tabuli? (souřadnicová čára)

– Dokázat, že se jedná o souřadnicovou čáru? (Existuje referenční bod, referenční směr, jednotkový segment)
– Nyní se společně naučíme sčítat čísla s různými znaménky pomocí souřadnicové čáry.

(Výklad studentů pod vedením učitele.)

– Najdeme číslo 0 na souřadnicové čáře Musíme sečíst číslo 6 k 0. Uděláme 6 kroků na pravou stranu počátku, protože číslo 6 je kladné (na výsledné číslo 6 přiložíme barevný magnet). K 6 přidáme číslo (– 10), uděláme 10 kroků vlevo od počátku, protože (– 10) je záporné číslo (na výsledné číslo (– 4) přiložíme barevný magnet).
– Jakou odpověď jste dostali? (–4)
– Jak jsi přišel k číslu 4? (10 – 6)
Udělejte závěr: Od čísla s větším modulem odečtěte číslo s menším modulem.
– Jak jste v odpovědi dostali znaménko mínus?
Udělejte závěr: Vzali jsme znaménko čísla s velkým modulem.
– Zapišme si příklad do sešitu:

6 + (–10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (–3) = + (10 – 3) = 7 (Vyřešte podobně)

Přihláška přijata:

6 + (– 10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (– 3) = + (10 – 3) = 7

– Chlapi, sami jste nyní formulovali pravidlo pro sčítání čísel s různými znaménky. Prozradíme vám vaše odhady hypotéza. Odvedli jste velmi důležitou intelektuální práci. Stejně jako vědci předložili hypotézu a objevili nové pravidlo. Porovnejme vaši hypotézu s pravidlem (na stole je kus papíru s vytištěným pravidlem). Pojďme číst sborově pravidlo sčítání čísel s různými znaménky

– Pravidlo je velmi důležité! Umožňuje vám sčítat čísla různých znaků bez použití souřadnicové čáry.
– Co není jasné?
– Kde můžete udělat chybu?
– Abyste mohli správně a bez chyb počítat úlohy s kladnými a zápornými čísly, musíte znát pravidla.

V. Konsolidace studovaného materiálu

– Dokážete najít součet těchto čísel na souřadnicové čáře?
– Takový příklad je obtížné vyřešit pomocí souřadnicové čáry, proto při jeho řešení použijeme pravidlo, které jste objevili.
Úkol je napsán na tabuli:
Učebnice – str. 45; Č. 179 (c, d); Č. 180 (a, b); č. 181 (b, c)
(Silný student pracuje na upevnění tohoto tématu pomocí další karty.)

VI. Fyzická pauza(Proveďte ve stoje)

– Člověk má kladné i záporné vlastnosti. Rozložte tyto vlastnosti na souřadnicové čáře.
(Pozitivní vlastnosti jsou napravo od výchozího bodu, negativní vlastnosti jsou nalevo od výchozího bodu.)
– Pokud je kvalita záporná, tleskněte jednou, pokud je kladná, tleskejte dvakrát. Buďte opatrní!
– Laskavost, vztek, chamtivost , vzájemná pomoc, porozumění hrubost a samozřejmě, síla vůle A touha vyhrát, které budete nyní potřebovat, protože máte před sebou samostatnou práci)
VII. Samostatná práce s následným vzájemným ověřováním

Možnost 1 Možnost 2
– 100 + (20) = – 100 + (30) =
100 + (– 20) = 100 + (– 30) =
56 + (– 28) = 73 + (– 28) =
4,61 + (– 2,2) = 5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 65 = – 43 + 35 =

Samostatná práce (např silný studentů) následuje vzájemné ověření

Možnost 1 Možnost 2
– 100 + (20) = – 100 + (30) =
100 + (– 20) = 100 + (– 30) =
56 + (– 28) = 73 + (– 28) =
4,61 + (– 2,2) = 5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 65 = – 43 + 35 =
100 + (– 28) = 100 + (– 39) =
56 + (– 27) = 73 + (– 24) =
– 4,61 + (– 2,22) = – 5, 74 + (– 3,15) =
– 43 + 68 = – 43 + 39 =

VIII. Shrnutí lekce. Odraz

– Věřím, že jste pracovali aktivně, pilně, podíleli se na objevování nových poznatků, vyjádřili svůj názor, nyní mohu vaši práci zhodnotit.
– Řekněte mi, kluci, co je efektivnější: přijímat hotové informace nebo přemýšlet za sebe?
– Co nového jsme se v lekci naučili? (Naučili jsme se sčítat čísla s různými znaménky.)
– Pojmenujte pravidlo pro sčítání čísel s různými znaménky.
– Řekněte mi, nebyla naše dnešní lekce zbytečná?
- Proč? (Získali jsme nové poznatky.)
- Vraťme se k heslu. To znamená, že Jan Amos Kamenský měl pravdu, když řekl: "Považujte za nešťastný ten den nebo hodinu, ve které jste se nenaučili nic nového a nic nepřidali ke svému vzdělání."

IX. Domácí úkol

Naučte se pravidlo (karta), str. 45, č. 184.
Individuální zadání – jak rozumíte slovům Rogera Bacona: „Člověk, který nezná matematiku, není schopen žádných jiných věd. Navíc ani není schopen ocenit míru své nevědomosti?

V této lekci se naučíme sčítání a odečítání celých čísel, stejně jako pravidla pro jejich sčítání a odčítání.

Připomeňme, že celá čísla jsou všechna kladná a záporná čísla a také číslo 0. Například následující čísla jsou celá čísla:

−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

Kladná čísla jsou snadná a. To se bohužel nedá říci o záporných číslech, která svými mínuskami před každým číslem mate nejednoho začátečníka. Jak ukazuje praxe, chyby způsobené zápornými čísly studenty nejvíce frustrují.

Obsah lekce

Příklady sčítání a odečítání celých čísel

První věc, kterou byste se měli naučit, je sčítat a odečítat celá čísla pomocí souřadnicové čáry. Není vůbec nutné kreslit souřadnicovou čáru. Stačí si to v myšlenkách představit a vidět, kde se nacházejí záporná čísla a kde kladná.

Uvažujme nejjednodušší výraz: 1 + 3. Hodnota tohoto výrazu je 4:

Tento příklad lze pochopit pomocí souřadnicové čáry. Chcete-li to provést, z místa, kde se nachází číslo 1, musíte posunout tři kroky doprava. V důsledku toho se ocitneme v bodě, kde se nachází číslo 4 Na obrázku můžete vidět, jak se to stane:

Znaménko plus ve výrazu 1 + 3 nám říká, že bychom se měli pohybovat doprava ve směru rostoucích čísel.

Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu 1 − 3.

Hodnota tohoto výrazu je −2

Tento příklad lze opět pochopit pomocí souřadnicové čáry. Chcete-li to provést, z bodu, kde se nachází číslo 1, musíte přejít doleva o tři kroky. V důsledku toho se ocitneme v bodě, kde se nachází záporné číslo −2. Na obrázku můžete vidět, jak se to děje:

Znaménko mínus ve výrazu 1 − 3 nám říká, že bychom se měli pohybovat doleva ve směru klesajících čísel.

Obecně si musíte pamatovat, že pokud se provádí přidání, musíte se posunout doprava ve směru nárůstu. Pokud se provádí odečítání, musíte se posunout doleva ve směru poklesu.

Příklad 3 Najděte hodnotu výrazu −2 + 4

Hodnota tohoto výrazu je 2

Tento příklad lze opět pochopit pomocí souřadnicové čáry. Chcete-li to provést, musíte se z bodu, kde se nachází záporné číslo −2, posunout o čtyři kroky doprava. V důsledku toho se ocitneme v bodě, kde se nachází kladné číslo 2.

Je vidět, že jsme se z bodu, kde se nachází záporné číslo −2, posunuli o čtyři kroky doprava a skončili jsme v bodě, kde se nachází kladné číslo 2.

Znaménko plus ve výrazu −2 + 4 nám říká, že bychom se měli pohybovat doprava ve směru rostoucích čísel.

Příklad 4. Najděte hodnotu výrazu −1 − 3

Hodnota tohoto výrazu je -4

Tento příklad lze opět řešit pomocí souřadnicové čáry. Chcete-li to provést, z bodu, kde se nachází záporné číslo −1, musíte přejít o tři kroky doleva. V důsledku toho se ocitneme v bodě, kde se nachází záporné číslo −4

Je vidět, že jsme se z bodu, kde se nachází záporné číslo −1, posunuli o tři kroky doleva a skončili jsme v bodě, kde se nachází záporné číslo −4.

Znaménko mínus ve výrazu −1 − 3 nám říká, že bychom se měli pohybovat doleva ve směru klesajících čísel.

Příklad 5. Najděte hodnotu výrazu −2 + 2

Hodnota tohoto výrazu je 0

Tento příklad lze vyřešit pomocí souřadnicové čáry. Chcete-li to provést, z bodu, kde se nachází záporné číslo −2, musíte přejít o dva kroky doprava. V důsledku toho se ocitneme v bodě, kde se nachází číslo 0

Je vidět, že jsme se z bodu, kde se nachází záporné číslo −2, posunuli o dva kroky doprava a skončili jsme v bodě, kde se nachází číslo 0.

Znaménko plus ve výrazu −2 + 2 nám říká, že bychom se měli pohybovat doprava ve směru rostoucích čísel.

Pravidla pro sčítání a odčítání celých čísel

Pro sčítání nebo odečítání celých čísel není vůbec nutné si pokaždé představovat souřadnicovou čáru, tím méně ji kreslit. Výhodnější je použít hotová pravidla.

Při aplikaci pravidel je třeba věnovat pozornost znaménku operace a znaménkům čísel, která je třeba přidat nebo odečíst. To určí, které pravidlo se použije.

Příklad 1 Najděte hodnotu výrazu −2 + 5

Zde se kladné číslo přičte k zápornému číslu. Jinými slovy, čísla s různými znaménky se sčítají. −2 je záporné číslo a 5 je kladné číslo. Pro takové případy platí následující pravidlo:

Chcete-li sečíst čísla s různými znaménky, musíte odečíst menší modul od většího modulu a před výslednou odpověď vložit znaménko čísla, jehož modul je větší.

Pojďme se tedy podívat, který modul je větší:

Modul čísla 5 je větší než modul čísla −2. Pravidlo vyžaduje odečtení menšího od většího modulu. Proto musíme od 5 odečíst 2 a před výslednou odpověď dát znaménko čísla, jehož modul je větší.

Číslo 5 má větší modul, takže znaménko tohoto čísla bude v odpovědi. To znamená, že odpověď bude kladná:

−2 + 5 = 5 − 2 = 3

Obvykle se píše kratší: −2 + 5 = 3

Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu 3 + (−2)

Zde, stejně jako v předchozím příkladu, jsou přidána čísla s různými znaménky. 3 je kladné číslo a −2 je záporné číslo. Všimněte si, že −2 je uzavřeno v závorkách, aby byl výraz jasnější. Tento výraz je mnohem srozumitelnější než výraz 3+−2.

Použijme tedy pravidlo pro sčítání čísel s různými znaménky. Stejně jako v předchozím příkladu odečtěte menší modul od většího modulu a před odpověď vložíme znaménko čísla, jehož modul je větší:

3 + (−2) = |3| − |−2| = 3 − 2 = 1

Modul čísla 3 je větší než modul čísla −2, proto jsme od 3 odečetli 2 a před výslednou odpověď dali znaménko čísla, jehož modul je větší. Číslo 3 má větší modul, proto je v odpovědi zahrnuto znaménko tohoto čísla. To znamená, že odpověď je kladná.

Obvykle se píše kratší 3 + (−2) = 1

Příklad 3 Najděte hodnotu výrazu 3 − 7

V tomto výrazu se větší číslo odečte od menšího čísla. V takovém případě platí následující pravidlo:

Chcete-li odečíst větší číslo od menšího čísla, musíte odečíst menší číslo od většího čísla a před výslednou odpověď dát mínus.

3 − 7 = 7 − 3 = −4

Tento výraz má drobný háček. Připomeňme, že rovnítko (=) se vkládá mezi veličiny a výrazy, když jsou si navzájem rovny.

Hodnota výrazu 3 − 7, jak jsme se dozvěděli, je rovna −4. To znamená, že všechny transformace, které v tomto výrazu provedeme, se musí rovnat −4

Ale vidíme, že na druhém stupni existuje výraz 7 − 3, který se nerovná −4.

Chcete-li tuto situaci napravit, musíte dát výraz 7 − 3 do závorky a před tuto závorku dát mínus:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = −4

V tomto případě bude rovnost dodržována v každé fázi:

Po výpočtu výrazu lze závorky odstranit, což jsme udělali.

Abychom byli přesnější, řešení by mělo vypadat takto:

3 − 7 = − (7 − 3) = − (4) = − 4

Toto pravidlo lze zapsat pomocí proměnných. Bude to vypadat takto:

a − b = − (b − a)

Velké množství závorek a operačních znaků může zkomplikovat řešení zdánlivě jednoduchého problému, proto je vhodnější naučit se takové příklady psát stručně, například 3 − 7 = − 4.

Ve skutečnosti sčítání a odečítání celých čísel není nic jiného než sčítání. To znamená, že pokud potřebujete čísla odečíst, lze tuto operaci nahradit sčítáním.

Pojďme se tedy seznámit s novým pravidlem:

Odečíst jedno číslo od druhého znamená přidat k minuendu číslo, které je opačné k tomu, které se odečítá.

Uvažujme například nejjednodušší výraz 5 − 3. V počátečních fázích studia matematiky jsme dali rovnítko a zapsali odpověď:

Nyní ale ve studiu postupujeme, takže se musíme novým pravidlům přizpůsobit. Nové pravidlo říká, že odečíst jedno číslo od druhého znamená přidat do minuendu stejné číslo, jako má podtrahend.

Pokusme se toto pravidlo pochopit na příkladu výrazu 5 − 3. Minuend v tomto výrazu je 5 a subtrahend je 3. Pravidlo říká, že abyste odečetli 3 od 5, musíte k 5 přidat číslo, které je opakem 3. Opakem čísla 3 je −3 . Napíšeme nový výraz:

A my už víme, jak pro takové výrazy najít významy. Jedná se o sčítání čísel s různými znaménky, na které jsme se podívali dříve. Pro sečtení čísel s různými znaménky odečteme menší modul od většího modulu a před výslednou odpověď vložíme znaménko čísla, jehož modul je větší:

5 + (−3) = |5| − |−3| = 5 − 3 = 2

Modul čísla 5 je větší než modul čísla −3. Proto jsme od 5 odečetli 3 a dostali 2. Číslo 5 má větší modul, proto do odpovědi dosadíme znaménko tohoto čísla. To znamená, že odpověď je kladná.

Zpočátku ne každý dokáže rychle nahradit odčítání sčítáním. To je způsobeno tím, že kladná čísla se píší bez znaménka plus.

Například ve výrazu 3 − 1 je znaménko mínus označující odečítání operačním znaménkem a neodkazuje se na žádné. Jedna je v tomto případě kladné číslo a má své vlastní znaménko plus, ale nevidíme ho, protože plus se nepíše před kladná čísla.

Pro přehlednost lze tedy tento výraz zapsat takto:

(+3) − (+1)

Pro usnadnění jsou čísla s vlastními znaky umístěna v závorkách. V tomto případě je nahrazení odčítání sčítáním mnohem jednodušší.

Ve výrazu (+3) − (+1) je odečítané číslo (+1) a opačné číslo je (−1).

Odčítání nahradíme sčítáním a místo odčítače (+1) napíšeme opačné číslo (−1)

(+3) − (+1) = (+3) + (−1)

Další výpočty nebudou těžké.

(+3) − (+1) = (+3) + (−1) = |3| − |−1| = 3 − 1 = 2

Na první pohled by se mohlo zdát, že tyto pohyby navíc nemají smysl, pokud můžete použít starou dobrou metodu, jak dát rovnítko a rovnou zapsat odpověď 2. Ve skutečnosti nám toto pravidlo pomůže více než jednou.

Vyřešme předchozí příklad 3 − 7 pomocí pravidla odčítání. Nejprve uveďme výraz do jasné podoby, přiřaďme každému číslu vlastní znaménka.

Trojka má znaménko plus, protože je to kladné číslo. Znaménko mínus označující odečítání neplatí pro sedm. Sedmička má znaménko plus, protože je kladné číslo:

Nahradíme odčítání sčítáním:

(+3) − (+7) = (+3) + (−7)

Další výpočet není obtížný:

(+3) − (−7) = (+3) + (-7) = −(|−7| − |+3|) = −(7 − 3) = −(4) = −4

Příklad 7. Najděte hodnotu výrazu −4 − 5

Opět tu máme operaci odčítání. Tato operace musí být nahrazena přidáním. K minuendu (−4) přidáme číslo opačné k subtrahendu (+5). Opačné číslo pro subtrahend (+5) je číslo (−5).

(−4) − (+5) = (−4) + (−5)

Dostali jsme se do situace, kdy potřebujeme sečíst záporná čísla. Pro takové případy platí následující pravidlo:

Chcete-li přidat záporná čísla, musíte sečíst jejich moduly a před výslednou odpověď dát mínus.

Sečtěte tedy moduly čísel, jak to pravidlo vyžaduje, a před výslednou odpověď dejte mínus:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = |−4| + |−5| = 4 + 5 = −9

Záznam s moduly musí být uzavřen v závorkách a před těmito závorkami musí být umístěno znaménko mínus. Tímto způsobem poskytneme mínus, které by se mělo objevit před odpovědí:

(−4) − (+5) = (−4) + (−5) = −(|−4| + |−5|) = −(4 + 5) = −(9) = −9

Řešení tohoto příkladu lze stručně napsat:

−4 − 5 = −(4 + 5) = −9

nebo ještě kratší:

−4 − 5 = −9

Příklad 8. Najděte hodnotu výrazu −3 − 5 − 7 − 9

Uveďme výraz do jasné podoby. Zde jsou všechna čísla kromě −3 kladná, takže budou mít znaménka plus:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9)

Nahraďme odčítání sčítáním. Všechna mínus, kromě mínus před třemi, se změní na plusy a všechna kladná čísla se změní na opak:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9)

Nyní použijeme pravidlo pro sčítání záporných čísel. Chcete-li přidat záporná čísla, musíte přidat jejich moduly a před výslednou odpověď dát mínus:

(−3) − (+5) − (+7) − (+9) = (−3) + (−5) + (−7) + (−9) =

= −(|−3| + |−5| + |−7| + |−9|) = −(3 + 5 + 7 + 9) = −(24) = −24

Řešení tohoto příkladu lze stručně napsat:

−3 − 5 − 7 − 9 = −(3 + 5 + 7 + 9) = −24

nebo ještě kratší:

−3 − 5 − 7 − 9 = −24

Příklad 9. Najděte hodnotu výrazu −10 + 6 − 15 + 11 − 7

Uveďme výraz do jasné podoby:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7)

Jsou zde dvě operace: sčítání a odčítání. Sčítání ponecháme beze změny a odčítání nahradíme sčítáním:

(−10) + (+6) − (+15) + (+11) − (+7) = (−10) + (+6) + (−15) + (+11) + (−7)

Pozorováním provedeme postupně každou akci na základě dříve naučených pravidel. Záznamy s moduly lze přeskočit:

První akce:

(−10) + (+6) = − (10 − 6) = − (4) = − 4

Druhá akce:

(−4) + (−15) = − (4 + 15) = − (19) = − 19

Třetí akce:

(−19) + (+11) = − (19 − 11) = − (8) = −8

Čtvrtá akce:

(−8) + (−7) = − (8 + 7) = − (15) = − 15

Hodnota výrazu −10 + 6 − 15 + 11 − 7 je tedy −15

Poznámka. Není vůbec nutné uvádět výraz do srozumitelné podoby uzavíráním čísel do závorek. Když dojde k navyknutí na záporná čísla, lze tento krok přeskočit, protože je časově náročný a může být matoucí.

Chcete-li tedy sčítat a odečítat celá čísla, musíte si zapamatovat následující pravidla:

Připojte se k naší nové skupině VKontakte a začněte dostávat upozornění na nové lekce