Vypočítejte plochu paraboly. Online kalkulačka Vypočítejte určitý integrál (plocha zakřiveného lichoběžníku)

Problém 1(o výpočtu plochy zakřiveného lichoběžníku).

V kartézském pravoúhlém souřadnicovém systému xOy je dán údaj (viz obrázek) ohraničený osou x, přímkami x = a, x = b (zakřivený lichoběžník. Je nutné vypočítat plochu zakřiveného lichoběžníku.
Řešení. Geometrie nám dává recepty na výpočet ploch mnohoúhelníků a některých částí kruhu (sektoru, segmentu). Pomocí geometrických úvah můžeme zjistit pouze přibližnou hodnotu požadované plochy, přičemž uvažujme následovně.

Rozdělme segment [a; b] (základna zakřiveného lichoběžníku) na n stejných dílů; toto rozdělení se provádí pomocí bodů x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Těmito body narýsujme přímky rovnoběžné s osou y. Potom bude daný křivočarý lichoběžník rozdělen na n částí, na n úzkých sloupků. Plocha celého lichoběžníku se rovná součtu ploch sloupců.

Uvažujme samostatně k-tý sloupec, tzn. zakřivený lichoběžník, jehož základnou je segment. Nahradíme jej obdélníkem se stejnou základnou a výškou rovnou f(x k) (viz obrázek). Plocha obdélníku se rovná $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, kde $\Delta x_k $ je délka segmentu; Je přirozené považovat výsledný produkt za přibližnou hodnotu plochy k-tého sloupce.

Pokud nyní uděláme totéž se všemi ostatními sloupci, dojdeme k následujícímu výsledku: plocha S daného křivočarého lichoběžníku se přibližně rovná ploše S n stupňovitého obrazce složeného z n obdélníků (viz obrázek):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \tečky + f(x_k)\Delta x_k + \tečky + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Zde z důvodu jednotnosti zápisu předpokládáme, že a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - délka segmentu, $\Delta x_1 $ - délka segmentu atd.; v tomto případě, jak jsme se shodli výše, $\Delta x_0 = \tečky = \Delta x_(n-1) $

Takže, $S \approx S_n $, a tato přibližná rovnost je přesnější, čím větší n.
Podle definice se má za to, že požadovaná plocha křivočarého lichoběžníku se rovná limitu sekvence (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problém 2(o posunutí bodu)
Hmotný bod se pohybuje po přímce. Závislost rychlosti na čase vyjadřuje vzorec v = v(t). Najděte pohyb bodu za určitý časový úsek [a; b].
Řešení. Pokud by byl pohyb rovnoměrný, pak by se problém vyřešil velmi jednoduše: s = vt, tzn. s = v(b-a). Pro nerovnoměrný pohyb musíte použít stejné nápady, na kterých bylo založeno řešení předchozího problému.
1) Vydělte časový interval [a; b] na n stejných dílů.
2) Uvažujme časový úsek a předpokládejme, že během tohoto časového úseku byla rychlost konstantní, stejná jako v čase t k. Předpokládáme tedy, že v = v(t k).
3) Najděte přibližnou hodnotu pohybu bodu za určité časové období, tuto přibližnou hodnotu označíme jako s k
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Najděte přibližnou hodnotu posunutí s:
$s \cca S_n $ kde
$S_n = s_0 + \tečky + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \tečky + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Požadované posunutí se rovná limitě posloupnosti (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Pojďme si to shrnout. Řešení různých problémů byla redukována na stejný matematický model. Mnoho problémů z různých oblastí vědy a techniky vede v procesu řešení ke stejnému modelu. To znamená, že tento matematický model musí být speciálně studován.

Pojem určitého integrálu

Uveďme matematický popis modelu, který byl sestaven ve třech uvažovaných úlohách pro funkci y = f(x), spojitý (ne však nutně nezáporný, jak se v uvažovaných úlohách předpokládalo) na intervalu [a; b]:
1) rozdělte segment [a; b] na n stejných dílů;
2) vytvořte součet $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) vypočítejte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

V průběhu matematické analýzy bylo prokázáno, že tato limita existuje v případě spojité (nebo po částech spojité) funkce. Volají mu určitý integrál funkce y = f(x) přes segment [a; b] a označeny takto:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Čísla a a b se nazývají limity integrace (dolní a horní).

Vraťme se k výše probíraným úkolům. Definici oblasti uvedenou v problému 1 lze nyní přepsat takto:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
zde S je oblast křivočarého lichoběžníku znázorněného na obrázku výše. Toto je geometrický význam určitého integrálu.

Definici posunutí s bodu pohybujícího se v přímce rychlostí v = v(t) za časové období od t = a do t = b, uvedenou v úloze 2, lze přepsat následovně:

Newtonův-Leibnizův vzorec

Nejprve si odpovězme na otázku: jaká je souvislost mezi určitým integrálem a primitivní funkcí?

Odpověď najdeme v úloze 2. Na jedné straně posunutí s bodu pohybujícího se přímočaře rychlostí v = v(t) za časové období od t = a do t = b se vypočítá jako vzorec
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Na druhou stranu, souřadnice pohybujícího se bodu je primitivní pro rychlost - označme ji s(t); To znamená, že posunutí s je vyjádřeno vzorcem s = s(b) - s(a). V důsledku toho dostaneme:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
kde s(t) je primitivní derivát v(t).

Následující věta byla prokázána v průběhu matematické analýzy.
Teorém. Je-li funkce y = f(x) spojitá na intervalu [a; b], pak je vzorec platný
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
kde F(x) je primitivní funkce f(x).

Daný vzorec se obvykle nazývá Newtonův-Leibnizův vzorec na počest anglického fyzika Isaaca Newtona (1643-1727) a německého filozofa Gottfrieda Leibnize (1646-1716), kteří jej obdrželi nezávisle na sobě a téměř současně.

V praxi místo psaní F(b) - F(a) používají zápis $\left. F(x)\right|_a^b $ (někdy se nazývá tzv. dvojitá substituce) a podle toho přepište Newtonův-Leibnizův vzorec do tohoto tvaru:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

Při výpočtu určitého integrálu nejprve najděte primitivní derivaci a poté proveďte dvojitou substituci.

Na základě Newton-Leibnizova vzorce můžeme získat dvě vlastnosti určitého integrálu.

Nemovitost 1. Integrál součtu funkcí se rovná součtu integrálů:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Nemovitost 2. Konstantní faktor lze vyjmout z integrálního znaménka:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Výpočet ploch rovinných útvarů pomocí určitého integrálu

Pomocí integrálu můžete vypočítat plochy nejen křivočarých lichoběžníků, ale také rovinných obrazců složitějšího typu, například toho, který je znázorněn na obrázku. Obrazec P je omezen přímkami x = a, x = b a grafy spojitých funkcí y = f(x), y = g(x) a na úsečce [a; b] platí nerovnost $g(x) \leq f(x) $. Pro výpočet plochy S takového obrázku budeme postupovat následovně:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Takže plocha S obrazce ohraničená přímkami x = a, x = b a grafy funkcí y = f(x), y = g(x), spojité na úsečce a takové, že pro libovolné x z úsečky [A; b] je splněna nerovnost $g(x) \leq f(x) $, vypočtená podle vzorce
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tabulka neurčitých integrálů (antiderivátů) některých funkcí

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

V předchozí části věnované analýze geometrického významu určitého integrálu jsme dostali řadu vzorců pro výpočet plochy křivočarého lichoběžníku:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x pro spojitou a nezápornou funkci y = f (x) na intervalu [ a ; b],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x pro spojitou a nekladnou funkci y = f (x) na intervalu [ a ; b].

Tyto vzorce jsou použitelné pro řešení relativně jednoduchých problémů. Ve skutečnosti budeme muset často pracovat se složitějšími figurami. V tomto ohledu budeme tuto část věnovat analýze algoritmů pro výpočet plochy obrazců, které jsou omezeny funkcemi v explicitní podobě, tzn. jako y = f(x) nebo x = g(y).

Teorém

Nechť jsou funkce y = f 1 (x) a y = f 2 (x) definovány a spojité na intervalu [ a ; b] a f 1 (x) ≤ f 2 (x) pro jakoukoli hodnotu x z [ a ; b]. Pak vzorec pro výpočet plochy obrázku G, ohraničeného přímkami x = a, x = b, y = f 1 (x) a y = f 2 (x) bude vypadat jako S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Podobný vzorec bude platit pro oblast obrazce ohraničenou úsečkami y = c, y = d, x = g 1 (y) a x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Důkaz

Podívejme se na tři případy, pro které bude vzorec platit.

V prvním případě, s přihlédnutím k vlastnosti aditivity plochy, se součet ploch původního obrázku G a křivočarého lichoběžníku G1 rovná ploše obrázku G2. To znamená, že

Proto S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Poslední přechod můžeme provést pomocí třetí vlastnosti určitého integrálu.

Ve druhém případě platí rovnost: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Grafické znázornění bude vypadat takto:

Pokud jsou obě funkce kladné, dostaneme: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x. Grafické znázornění bude vypadat takto:

Přejdeme k obecnému případu, kdy y = f 1 (x) a y = f 2 (x) protínají osu O x.

Průsečíky označíme jako x i, i = 1, 2, . . . , n-1. Tyto body rozdělují segment [a; b ] na n dílů x i - 1 ; x i, i = 1, 2,. . . , n, kde α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Proto,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Poslední přechod můžeme provést pomocí páté vlastnosti určitého integrálu.

Ukažme si obecný případ na grafu.

Vzorec S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x lze považovat za prokázaný.

Nyní přejdeme k analýze příkladů výpočtu plochy obrazců, které jsou omezeny úsečkami y = f (x) a x = g (y).

Uvažování o kterémkoli z příkladů začneme sestrojením grafu. Obrázek nám umožní reprezentovat složité tvary jako spojení jednodušších tvarů. Pokud je pro vás konstruování grafů a obrázků na nich obtížné, můžete si při studiu funkce prostudovat část o základních elementárních funkcích, geometrické transformaci grafů funkcí a také sestrojování grafů.

Příklad 1

Je nutné určit plochu obrázku, která je omezena parabolou y = - x 2 + 6 x - 5 a přímkami y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Řešení

Nakreslete čáry do grafu v kartézské soustavě souřadnic.

Na segmentu [1; 4 ] graf paraboly y = - x 2 + 6 x - 5 je umístěn nad přímkou y = - 1 3 x - 1 2. V tomto ohledu k získání odpovědi použijeme vzorec získaný dříve, stejně jako metodu výpočtu určitého integrálu pomocí Newton-Leibnizova vzorce:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Odpověď: S(G) = 13

Podívejme se na složitější příklad.

Příklad 2

Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena čarami y = x + 2, y = x, x = 7.

Řešení

V tomto případě máme pouze jednu přímku umístěnou rovnoběžně s osou x. Toto je x = 7. To vyžaduje, abychom sami našli druhou hranici integrace.

Sestavme graf a nakreslete do něj čáry uvedené v zadání problému.

Když máme graf před očima, snadno určíme, že spodní hranicí integrace bude úsečka průsečíku grafu přímky y = x a semiparaboly y = x + 2. K nalezení úsečky použijeme rovnosti:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Ukazuje se, že úsečka průsečíku je x = 2.

Upozorňujeme na skutečnost, že v obecném příkladu na výkresu se přímky y = x + 2, y = x protínají v bodě (2; 2), takže takto podrobné výpočty se mohou zdát zbytečné. Takto podrobné řešení jsme zde uvedli jen proto, že ve složitějších případech nemusí být řešení tak zřejmé. To znamená, že je vždy lepší vypočítat souřadnice průsečíku čar analyticky.

Na intervalu [ 2 ; 7] nad grafem funkce y = x + 2 je umístěn graf funkce y = x. Pro výpočet plochy použijeme vzorec:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Odpověď: S (G) = 59 6

Příklad 3

Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena grafy funkcí y = 1 x a y = - x 2 + 4 x - 2.

Řešení

Nakreslíme čáry do grafu.

Definujme hranice integrace. Za tímto účelem určíme souřadnice průsečíků přímek tak, že přirovnáme výrazy 1 x a - x 2 + 4 x - 2. Za předpokladu, že x není nula, se rovnost 1 x = - x 2 + 4 x - 2 stane ekvivalentní rovnici třetího stupně - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 s celočíselnými koeficienty. Chcete-li si osvěžit paměť na algoritmus pro řešení takových rovnic, můžeme se podívat na část „Řešení kubických rovnic“.

Kořen této rovnice je x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Vydělením výrazu - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 binomem x - 1 dostaneme: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x -1) = 0

Zbývající kořeny můžeme najít z rovnice x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Našli jsme interval x ∈ 1; 3 + 13 2, ve kterém je číslice G obsažena nad modrou a pod červenou čarou. To nám pomáhá určit oblast obrázku:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Odpověď: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Příklad 4

Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena křivkami y = x 3, y = - log 2 x + 1 a osou úsečky.

Řešení

Vynesme všechny čáry do grafu. Graf funkce y = - log 2 x + 1 získáme z grafu y = log 2 x, pokud jej umístíme symetricky kolem osy x a posuneme o jednotku nahoru. Rovnice na ose x je y = 0.

Označme průsečíky čar.

Jak je z obrázku patrné, grafy funkcí y = x 3 a y = 0 se protínají v bodě (0; 0). To se děje proto, že x = 0 je jediný skutečný kořen rovnice x 3 = 0.

x = 2 je jediný kořen rovnice - log 2 x + 1 = 0, takže grafy funkcí y = - log 2 x + 1 a y = 0 se protínají v bodě (2; 0).

x = 1 je jediným kořenem rovnice x 3 = - log 2 x + 1 . V tomto ohledu se grafy funkcí y = x 3 a y = - log 2 x + 1 protínají v bodě (1; 1). Poslední tvrzení nemusí být zřejmé, ale rovnice x 3 = - log 2 x + 1 nemůže mít více než jeden kořen, protože funkce y = x 3 je striktně rostoucí a funkce y = - log 2 x + 1 je přísně klesající.

Další řešení zahrnuje několik možností.

Možnost #1

Obrázek G si můžeme představit jako součet dvou křivočarých lichoběžníků umístěných nad osou x, z nichž první je umístěn pod střední osou na úsečce x ∈ 0; 1 a druhý je pod červenou čárou na segmentu x ∈ 1; 2. To znamená, že plocha bude rovna S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Možnost č. 2

Obrázek G lze znázornit jako rozdíl dvou obrázků, z nichž první je umístěn nad osou x a pod modrou čarou na segmentu x ∈ 0; 2 a druhá mezi červenou a modrou čárou na segmentu x ∈ 1; 2. To nám umožňuje najít oblast následovně:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

V tomto případě k nalezení oblasti budete muset použít vzorec ve tvaru S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Ve skutečnosti mohou být čáry, které spojují obrazec, reprezentovány jako funkce argumentu y.

Vyřešme rovnice y = x 3 a - log 2 x + 1 vzhledem k x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Získáme požadovanou oblast:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Odpověď: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Příklad 5

Je nutné vypočítat plochu obrázku, která je omezena čarami y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Řešení

Červenou čarou vyneseme čáru definovanou funkcí y = x. Čáru y = - 1 2 x + 4 nakreslíme modře a čáru y = 2 3 x - 3 černě.

Označme průsečíky.

Najděte průsečíky grafů funkcí y = x a y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Kontrola: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 ne Je řešením rovnice x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 je řešení rovnice ⇒ (4; 2) průsečík i y = x a y = - 1 2 x + 4

Najdeme průsečík grafů funkcí y = x a y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontrola: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 je řešení rovnice ⇒ (9 ; 3) bod a s y = x a y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Rovnice nemá řešení

Najděte průsečík přímek y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) průsečík y = - 1 2 x + 4 a y = 2 3 x - 3

Metoda č. 1

Představme si plochu požadovaného obrazce jako součet ploch jednotlivých obrazců.

Pak je plocha obrázku:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda č. 2

Oblast původního obrázku může být reprezentována jako součet dvou dalších obrázků.

Poté vyřešíme rovnici přímky vzhledem k x a teprve poté použijeme vzorec pro výpočet plochy obrázku.

y = x ⇒ x = y 2 červená čára y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 černá čára y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Oblast je tedy:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Jak vidíte, hodnoty jsou stejné.

Odpověď: S (G) = 11 3

Výsledky

Abychom našli oblast obrázku, která je omezena danými čarami, musíme sestrojit čáry v rovině, najít jejich průsečíky a použít vzorec k nalezení oblasti. V této části jsme zkoumali nejběžnější varianty úloh.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Ve skutečnosti, abyste našli oblast obrazce, nepotřebujete tolik znalostí o neurčitém a určitém integrálu. Úloha „vypočítat plochu pomocí určitého integrálu“ vždy zahrnuje vytvoření výkresu, takže vaše znalosti a dovednosti v kreslení budou mnohem palčivějším problémem. V tomto ohledu je užitečné osvěžit si paměť grafů základních elementárních funkcí a minimálně umět sestrojit přímku a hyperbolu.

Zakřivený lichoběžník je plochý obrazec ohraničený osou, přímkami a grafem funkce spojité na segmentu, který na tomto intervalu nemění znaménko. Nechte toto číslo najít ne nižší osa x:

Pak plocha křivočarého lichoběžníku se číselně rovná určitému integrálu. Jakýkoli určitý integrál (který existuje) má velmi dobrý geometrický význam.

Z hlediska geometrie je určitým integrálem PLOCHA.

to znamená, určitý integrál (pokud existuje) geometricky odpovídá ploše určitého obrazce. Uvažujme například určitý integrál. Integrand definuje křivku v rovině umístěné nad osou (kdo si přeje, může kreslit) a samotný určitý integrál je číselně roven ploše odpovídajícího křivočarého lichoběžníku.

Příklad 1

Toto je typický příkaz k zadání. Prvním a nejdůležitějším bodem rozhodnutí je konstrukce výkresu. Kromě toho musí být výkres vytvořen PRÁVO.

Při konstrukci výkresu doporučuji následující pořadí: nejprve je lepší konstruovat všechny přímky (pokud existují) a pouze Pak- paraboly, hyperboly, grafy dalších funkcí. Výhodnější je vytvářet grafy funkcí bod po bodu.

V tomto problému může řešení vypadat takto.
Nakreslíme výkres (všimněte si, že rovnice definuje osu):

Na segmentu je umístěn graf funkce nad osou, Proto:

Odpověď:

Po dokončení úkolu je vždy užitečné podívat se na nákres a zjistit, zda je odpověď skutečná. V tomto případě „okem“ počítáme počet buněk na výkresu - no, bude jich asi 9, zdá se, že je to pravda. Je naprosto jasné, že pokud jsme dostali řekněme odpověď: 20 čtverečních jednotek, tak je zřejmé, že se někde stala chyba - 20 buněk se evidentně do dotyčného čísla nevejde, maximálně tucet. Pokud je odpověď záporná, pak byl úkol také vyřešen nesprávně.

Příklad 3

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami a souřadnicovými osami.

Řešení: Uděláme kresbu:

Pokud je umístěn zakřivený lichoběžník pod nápravou(nebo alespoň ne vyšší daná osa), pak lze její plochu najít pomocí vzorce:

V tomto případě:

Pozor! Tyto dva typy úkolů by se neměly zaměňovat:

1) Pokud budete požádáni, abyste jednoduše vyřešili určitý integrál bez jakéhokoli geometrického významu, pak může být záporný.

2) Pokud budete požádáni, abyste našli plochu obrazce pomocí určitého integrálu, pak je plocha vždy kladná! Proto se v právě diskutovaném vzorci objevuje mínus.

V praxi se nejčastěji figura nachází v horní i dolní polorovině, a proto od nejjednodušších školních úloh přecházíme k smysluplnějším příkladům.

Příklad 4

Najděte plochu rovinné postavy ohraničenou čarami , .

Řešení: Nejprve musíte dokončit výkres. Obecně řečeno, při konstrukci výkresu v plošných úlohách nás nejvíce zajímají průsečíky čar. Najdeme průsečíky paraboly a přímky. To lze provést dvěma způsoby. První metoda je analytická. Řešíme rovnici:

To znamená, že spodní hranice integrace je , horní hranice integrace je .

Pokud je to možné, je lepší tuto metodu nepoužívat..

Mnohem výnosnější a rychlejší je konstruovat čáry bod po bodu a hranice integrace se vyjasní „samo od sebe“. Analytická metoda hledání limit se však stále někdy musí použít, pokud je například graf dostatečně velký nebo detailní konstrukce neodhalila limity integrace (mohou být zlomkové nebo iracionální). A budeme také uvažovat o takovém příkladu.

Vraťme se k našemu úkolu: racionálnější je nejprve sestrojit přímku a teprve potom parabolu. Udělejme nákres:

A nyní pracovní vzorec: Pokud je na segmentu nějaká spojitá funkce větší nebo rovno nějakou spojitou funkci , pak oblast obrázku ohraničenou grafy těchto funkcí a čarami , lze najít pomocí vzorce:

Zde již nemusíte přemýšlet o tom, kde se postava nachází - nad osou nebo pod osou, a zhruba řečeno, záleží, který graf je VYŠŠÍ(ve vztahu k jinému grafu), a který je NÍŽE.

V uvažovaném příkladu je zřejmé, že na segmentu se parabola nachází nad přímkou, a proto je nutné odečíst od

Hotové řešení může vypadat takto:

Požadovaná hodnota je omezena parabolou nahoře a přímkou dole.
Na segmentu podle odpovídajícího vzorce:

Odpověď:

Příklad 4

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami , , , .

Řešení: Nejprve si uděláme kresbu:

Postava, jejíž oblast potřebujeme najít, je vystínována modře(podívejte se pozorně na stav - jak je počet omezen!). Ale v praxi se kvůli nepozornosti často vyskytuje „závada“, že musíte najít oblast postavy, která je vystínovaná zeleně!

Tento příklad je také užitečný v tom, že počítá plochu obrazce pomocí dvou určitých integrálů.

Opravdu:

1) Na segmentu nad osou je graf přímky;

2) Na segmentu nad osou je graf hyperboly.

Je zcela zřejmé, že oblasti mohou (a měly by být) přidány, proto:

V tomto článku se dozvíte, jak najít plochu obrázku ohraničenou čarami pomocí integrálních výpočtů. S formulací takového problému se poprvé setkáváme na střední škole, kdy jsme právě ukončili studium určitých integrálů a je čas začít s geometrickým výkladem získaných poznatků v praxi.

Co je tedy potřeba k úspěšnému vyřešení problému nalezení oblasti obrázku pomocí integrálů:

Schopnost vytvářet kompetentní výkresy;
Schopnost řešit určitý integrál pomocí známého Newton-Leibnizova vzorce;
Schopnost „vidět“ výnosnější variantu řešení – tzn. chápete, jak bude v tom či onom případě pohodlnější provést integraci? Podél osy x (OX) nebo osy y (OY)?
No, kde bychom byli bez správných výpočtů?) To zahrnuje pochopení toho, jak vyřešit tento jiný typ integrálů a správné numerické výpočty.

Algoritmus pro řešení problému výpočtu plochy obrázku ohraničeného čarami:

1. Stavíme výkres. Je vhodné to udělat na kostkovaném papíru ve velkém měřítku. Název této funkce podepisujeme tužkou nad každým grafem. Podepisování grafů se provádí pouze pro usnadnění dalších výpočtů. Po obdržení grafu požadovaného čísla bude ve většině případů okamžitě jasné, které limity integrace budou použity. Úlohu tedy řešíme graficky. Stává se však, že hodnoty limitů jsou zlomkové nebo iracionální. Proto můžete provést další výpočty, přejděte ke druhému kroku.

2. Pokud nejsou meze integrace explicitně specifikovány, pak najdeme průsečíky grafů mezi sebou a uvidíme, zda se naše grafické řešení shoduje s analytickým.

3. Dále musíte analyzovat výkres. V závislosti na tom, jak jsou grafy funkcí uspořádány, existují různé přístupy k nalezení oblasti obrázku. Podívejme se na různé příklady hledání oblasti obrázku pomocí integrálů.

3.1. Nejklasičtější a nejjednodušší verze problému je, když potřebujete najít oblast zakřiveného lichoběžníku. Co je to zakřivený lichoběžník? Toto je plochý údaj ohraničený osou x (y = 0), rovný x = a, x = b a jakákoli křivka spojitá na intervalu od A na b. Navíc toto číslo není záporné a nenachází se pod osou x. V tomto případě je plocha křivočarého lichoběžníku číselně rovna určitému integrálu, vypočítanému pomocí vzorce Newton-Leibniz:

Příklad 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Jakými čarami je obrazec ohraničen? Máme parabolu y = x2 – 3x + 3, která se nachází nad osou Ó, je nezáporné, protože všechny body této paraboly mají kladné hodnoty. Dále, dané rovné čáry x = 1 A x = 3, které probíhají rovnoběžně s osou Operační zesilovač, jsou hraniční čáry obrázku vlevo a vpravo. Dobře y = 0, je to také osa x, která omezuje obrázek zespodu. Výsledný obrázek je stínovaný, jak je patrné z obrázku vlevo. V takovém případě můžete problém okamžitě začít řešit. Před námi je jednoduchý příklad zakřiveného lichoběžníku, který následně řešíme pomocí Newton-Leibnizova vzorce.

3.2. V předchozím odstavci 3.1 jsme zkoumali případ, kdy se nad osou x nachází zakřivený lichoběžník. Nyní zvažte případ, kdy jsou podmínky problému stejné, kromě toho, že funkce leží pod osou x. Ke standardnímu Newton-Leibnizově vzorci se přidá mínus. Níže zvážíme, jak takový problém vyřešit.

Příklad 2 . Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

V tomto příkladu máme parabolu y = x2 + 6x + 2, který vychází z os Ó, rovný x = -4, x = -1, y = 0. Zde y = 0 omezuje požadované číslo shora. Řídit x = -4 A x = -1 to jsou hranice, ve kterých se bude vypočítat určitý integrál. Princip řešení problému nalezení oblasti obrazce se téměř úplně shoduje s příkladem číslo 1. Jediný rozdíl je v tom, že daná funkce není kladná a je také spojitá na intervalu [-4; -1] . Co tím myslíš, že není pozitivní? Jak je vidět z obrázku, obrazec, který leží v daném x, má výhradně „záporné“ souřadnice, což je to, co potřebujeme vidět a zapamatovat si při řešení problému. Hledáme oblast obrázku pomocí vzorce Newton-Leibniz, pouze se znaménkem mínus na začátku.

Článek není dokončen.

Přejděme k aplikacím integrálního počtu. V této lekci analyzujeme typický a nejběžnější úkol výpočet plochy rovinného útvaru pomocí určitého integrálu. Nakonec ať ho najdou všichni, kdo hledají smysl ve vyšší matematice. Člověk nikdy neví. V reálném životě budete muset aproximovat graf dachy pomocí elementárních funkcí a najít jeho plochu pomocí určitého integrálu.

Pro úspěšné zvládnutí materiálu musíte:

1) Porozumět neurčitému integrálu alespoň na středně pokročilé úrovni. Takže figuríny by si měly lekci nejprve přečíst Ne.

2) Umět aplikovat Newton-Leibnizův vzorec a vypočítat určitý integrál. S určitými integrály na stránce můžete navázat vřelé přátelské vztahy Určitý integrál. Příklady řešení. Úloha „vypočítat plochu pomocí určitého integrálu“ vždy zahrnuje vytvoření výkresu, takže vaše znalosti a dovednosti v kreslení budou také relevantní. Minimálně musíte být schopni sestrojit přímku, parabolu a hyperbolu.

Začněme zakřiveným lichoběžníkem. Zakřivený lichoběžník je plochý obrazec ohraničený grafem nějaké funkce y = F(x), osa VŮL a linky x = A; x = b.

Plocha křivočarého lichoběžníku se číselně rovná určitému integrálu

Jakýkoli určitý integrál (který existuje) má velmi dobrý geometrický význam. Ve třídě Určitý integrál. Příklady řešenířekli jsme, že určitý integrál je číslo. A nyní je čas uvést další užitečný fakt. Z hlediska geometrie je určitým integrálem PLOCHA. to znamená, určitý integrál (pokud existuje) geometricky odpovídá ploše určitého obrazce. Uvažujme určitý integrál

Integrand

definuje křivku v rovině (lze ji nakreslit, pokud je to žádoucí) a samotný určitý integrál se číselně rovná ploše odpovídajícího křivočarého lichoběžníku.

Příklad 1

, , , .

Toto je typický příkaz k zadání. Nejdůležitějším bodem při rozhodování je konstrukce výkresu. Kromě toho musí být výkres vytvořen PRÁVO.

Při konstrukci výkresu doporučuji následující pořadí: nejprve je lepší konstruovat všechny přímky (pokud existují) a pouze Pak– paraboly, hyperboly, grafy dalších funkcí. Techniku výstavby bod po bodu lze nalézt v referenčním materiálu Grafy a vlastnosti elementárních funkcí. Tam také můžete najít velmi užitečný materiál pro naši lekci - jak rychle postavit parabolu.

V tomto problému může řešení vypadat takto.

Udělejme kresbu (všimněte si, že rovnice y= 0 určuje osu VŮL):

Nebudeme stínit zakřivený lichoběžník, zde je zřejmé, o jakou oblast mluvíme. Řešení pokračuje takto:

Na segmentu [-2; 1] funkční graf y = x 2 + 2 se nachází nad osouVŮL, Proto:

Odpověď: .

Kdo má potíže s výpočtem určitého integrálu a aplikací Newton-Leibnizova vzorce

odkazovat na přednášku Určitý integrál. Příklady řešení. Po dokončení úkolu je vždy užitečné podívat se na nákres a zjistit, zda je odpověď skutečná. V tomto případě počítáme počet buněk ve výkresu „okem“ - no, bude jich asi 9, zdá se, že je to pravda. Je naprosto jasné, že pokud jsme dostali řekněme odpověď: 20 čtverečních jednotek, tak je zřejmé, že se někde stala chyba - 20 buněk se evidentně do dotyčného čísla nevejde, maximálně tucet. Pokud je odpověď záporná, pak byl úkol také vyřešen nesprávně.

Příklad 2

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami xy = 4, x = 2, x= 4 a os VŮL.

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Co dělat, když se nachází zakřivený lichoběžník pod nápravouVŮL?

Příklad 3

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami y = e-x, x= 1 a souřadnicové osy.

Řešení: Udělejme výkres:

Pokud zakřivený lichoběžník zcela umístěn pod osou VŮL , pak jeho oblast lze najít pomocí vzorce:

V tomto případě:

Pozor! Tyto dva typy úkolů by se neměly zaměňovat:

1) Pokud budete požádáni, abyste jednoduše vyřešili určitý integrál bez jakéhokoli geometrického významu, pak může být záporný.

2) Pokud budete požádáni, abyste našli plochu obrazce pomocí určitého integrálu, pak je plocha vždy kladná! Proto se v právě diskutovaném vzorci objevuje mínus.

V praxi se nejčastěji figura nachází v horní i dolní polorovině, a proto od nejjednodušších školních úloh přecházíme k smysluplnějším příkladům.

Příklad 4

Najděte plochu rovinné postavy ohraničenou čarami y = 2x – x 2 , y = -x.

Řešení: Nejprve musíte udělat výkres. Při konstrukci výkresu v plošných úlohách nás nejvíce zajímají průsečíky čar. Pojďme najít průsečíky paraboly y = 2x – x 2 a rovnou y = -x. To lze provést dvěma způsoby. První metoda je analytická. Řešíme rovnici:

To znamená, že spodní hranice integrace A= 0, horní hranice integrace b= 3. Často je ziskovější a rychlejší konstruovat čáry bod po bodu a hranice integrace se vyjasní „samo od sebe“. Analytická metoda hledání limit se však stále někdy musí použít, pokud je například graf dostatečně velký nebo detailní konstrukce neodhalila limity integrace (mohou být zlomkové nebo iracionální). Vraťme se k našemu úkolu: racionálnější je nejprve sestrojit přímku a teprve potom parabolu. Udělejme nákres:

Zopakujme, že při bodové konstrukci se hranice integrace nejčastěji určují „automaticky“.

A nyní pracovní vzorec:

Pokud na segmentu [ A; b] nějakou spojitou funkci F(x) větší nebo rovno nějakou kontinuální funkci G(x), pak lze oblast odpovídajícího obrázku najít pomocí vzorce:

Zde již nemusíte přemýšlet, kde se postava nachází - nad osou nebo pod osou, ale záleží, který graf je VYŠŠÍ(ve vztahu k jinému grafu), a který je NÍŽE.

V uvažovaném příkladu je zřejmé, že na segmentu se parabola nachází nad přímkou, a proto od 2 x – x 2 se musí odečíst - x.

Hotové řešení může vypadat takto:

Požadovaná hodnota je omezena parabolou y = 2x – x 2 nahoře a rovně y = -x níže.

Na segmentu 2 x – x 2 ≥ -x. Podle odpovídajícího vzorce:

Odpověď: .

Školní vzorec pro oblast křivočarého lichoběžníku ve spodní polorovině (viz příklad č. 3) je ve skutečnosti speciálním případem vzorce

Protože osa VŮL daný rovnicí y= 0 a graf funkce G(x) umístěný pod osou VŮL, To

A nyní pár příkladů pro vlastní řešení

Příklad 5

Příklad 6

Najděte oblast obrázku ohraničenou čarami

Při řešení úloh týkajících se výpočtu plochy pomocí určitého integrálu se občas stane vtipná příhoda. Kresba byla provedena správně, výpočty byly správné, ale kvůli neopatrnosti... Byla nalezena oblast nesprávného obrázku.

Příklad 7

Nejprve si uděláme nákres:

Postava, jejíž oblast potřebujeme najít, je vystínována modře(podívejte se pozorně na stav - jak je počet omezen!). Ale v praxi se lidé kvůli nepozornosti často rozhodnou, že potřebují najít oblast postavy, která je stínovaná zeleně!

Tento příklad je také užitečný, protože počítá plochu obrazce pomocí dvou určitých integrálů. Opravdu:

1) Na segmentu [-1; 1] nad osou VŮL graf je umístěn rovně y = x+1;

2) Na segmentu nad osou VŮL je umístěn graf hyperboly y = (2/x).

Je zcela zřejmé, že oblasti mohou (a měly by být) přidány, proto:

Odpověď:

Příklad 8

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami

Uveďme rovnice ve „školní“ podobě

a vytvořte bod po bodu nákres:

Z nákresu je zřejmé, že naše horní hranice je „dobrá“: b = 1.

Ale jaká je spodní hranice?! Je jasné, že to není celé číslo, ale co to je?

může být, A= (-1/3)? Ale kde je záruka, že kresba je provedena s dokonalou přesností, to se může dobře ukázat A=(-1/4). Co když jsme graf sestavili špatně?

V takových případech musíte věnovat více času a analyticky ujasnit limity integrace.

Pojďme najít průsečíky grafů

Za tímto účelem vyřešíme rovnici:

Proto, A=(-1/3).

Další řešení je triviální. Hlavní věcí je nenechat se zmást v substitucích a znacích. Výpočty zde nejsou nejjednodušší. Na segmentu

, ,

podle odpovídajícího vzorce:

Odpověď:

Na závěr lekce se podívejme na dva obtížnější úkoly.

Příklad 9

Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami

Řešení: Znázorněme tento obrázek na výkresu.

Chcete-li sestavit výkres bod po bodu, musíte znát vzhled sinusoidy. Obecně je užitečné znát grafy všech elementárních funkcí a také některé sinusové hodnoty. Najdete je v tabulce hodnot goniometrické funkce. V některých případech (například v tomto případě) je možné sestrojit schematický výkres, na kterém by měly být grafy a limity integrace zásadně správně zobrazeny.

Nejsou zde žádné problémy s limity integrace, které vyplývají přímo z podmínky:

– „x“ se změní z nuly na „pi“. Udělejme další rozhodnutí:

Na segmentu, grafu funkce y= hřích 3 x umístěný nad osou VŮL, Proto:

(1) V lekci můžete vidět, jak jsou sinusy a kosiny integrovány do lichých mocnin Integrály goniometrických funkcí. Odřízneme jeden sinus.

(2) Ve formuláři používáme hlavní goniometrickou identitu