Vlastnosti faktorizace. Komplexní případy faktoringových polynomů

Libovolný algebraický polynom stupně n lze znázornit jako součin n-lineárních faktorů tvaru a konstantního čísla, což jsou koeficienty polynomu na nejvyšším stupni x, tzn.

Kde - jsou kořeny polynomu.

Kořenem polynomu je číslo (reálné nebo komplexní), díky kterému polynom zmizí. Kořeny polynomu mohou být buď skutečné kořeny nebo komplexně sdružené kořeny, pak může být polynom reprezentován v následující podobě:

Uvažujme metody pro rozklad polynomů stupně „n“ na součin faktorů prvního a druhého stupně.

Metoda číslo 1.Metoda neurčitých koeficientů.

Koeficienty takto transformovaného výrazu jsou určeny metodou neurčitých koeficientů. Podstatou metody je, že je předem znám typ faktorů, na které se daný polynom rozkládá. Při použití metody nejistých koeficientů platí následující tvrzení:

P.1. Dva polynomy jsou shodné, pokud jsou jejich koeficienty stejné pro stejné mocniny x.

P.2. Libovolný polynom třetího stupně se rozloží na součin lineárních a kvadratických faktorů.

P.3. Libovolný polynom čtvrtého stupně lze rozložit na součin dvou polynomů druhého stupně.

Příklad 1.1. Je nutné rozložit kubický výraz:

P.1. V souladu s přijatými tvrzeními platí shodná rovnost pro kubický výraz:

P.2. Pravá strana výrazu může být reprezentována slovy takto:

P.3. Z podmínky rovnosti koeficientů při odpovídajících mocninách kubického výrazu sestavíme soustavu rovnic.

Tento systém rovnic lze řešit výběrem koeficientů (pokud se jedná o jednoduchý akademický problém) nebo lze použít metody řešení nelineárních soustav rovnic. Při řešení tohoto systému rovnic zjistíme, že nejisté koeficienty jsou určeny následovně:

Původní výraz je tedy rozložen do následujícího tvaru:

Tato metoda může být použita jak v analytických výpočtech, tak v počítačovém programování pro automatizaci procesu hledání kořene rovnice.

Metoda číslo 2.Vieta vzorce

Vietovy vzorce jsou vzorce spojující koeficienty algebraických rovnic stupně n a jeho kořeny. Tyto vzorce byly implicitně prezentovány v dílech francouzského matematika Françoise Viety (1540 - 1603). Vzhledem k tomu, že Vieth uvažoval pouze o kladných skutečných kořenech, neměl tedy možnost tyto vzorce psát v obecné explicitní podobě.

Pro každý algebraický polynom stupně n, který má n-reálné kořeny,

Platí následující vztahy, které spojují kořeny polynomu s jeho koeficienty:

Vietovy vzorce je vhodné použít ke kontrole správnosti nalezení kořenů polynomu, stejně jako k sestavení polynomu z daných kořenů.

Příklad 2.1. Uvažujme, jak souvisí kořeny polynomu s jeho koeficienty na příkladu kubické rovnice

Podle Vietových vzorců má vztah mezi kořeny polynomu a jeho koeficienty následující tvar:

Podobné vztahy lze vytvořit pro jakýkoli polynom stupně n.

Metoda č. 3. Faktorizace kvadratické rovnice s racionálními kořeny

Z posledního Vietova vzorce vyplývá, že kořeny polynomu jsou dělitelé jeho volného členu a vedoucího koeficientu. V tomto ohledu, pokud problémový příkaz specifikuje polynom stupně n s celočíselnými koeficienty

pak tento polynom má racionální kořen (neredukovatelný zlomek), kde p je dělitel volného členu a q je dělitel vedoucího koeficientu. V tomto případě může být polynom stupně n reprezentován jako (Bezoutova věta):

Polynom, jehož stupeň je o 1 menší než stupeň počátečního polynomu, se určí dělením polynomu binomu stupně n např. pomocí Hornerova schématu nebo nejjednodušším způsobem - "sloupec".

Příklad 3.1. Je nutné faktorizovat polynom

P.1. Vzhledem k tomu, že koeficient nejvyššího členu je roven jedné, jsou racionální kořeny tohoto polynomu děliteli volného členu výrazu, tzn. mohou být celá čísla . Každé z uvedených čísel dosadíme do původního výrazu a zjistíme, že kořen prezentovaného polynomu je roven .

Rozdělme původní polynom binomem:

Použijme Hornerovo schéma

Koeficienty původního polynomu se nastaví v horním řádku, přičemž první buňka horního řádku zůstane prázdná.

V první buňce druhého řádku je zapsán nalezený kořen (v uvažovaném příkladu je zapsáno číslo „2“) a následující hodnoty v buňkách jsou vypočteny určitým způsobem a jsou to koeficienty polynomu, který získáme dělením polynomu binomem. Neznámé koeficienty se určují takto:

Hodnota z odpovídající buňky prvního řádku se přenese do druhé buňky druhého řádku (v uvažovaném příkladu je zapsáno číslo „1“).

Třetí buňka druhého řádku obsahuje hodnotu součinu první buňky a druhé buňky druhého řádku plus hodnotu ze třetí buňky prvního řádku (v uvažovaném příkladu 2 ∙1 -5 = -3 ).

Čtvrtá buňka druhého řádku obsahuje hodnotu součinu první buňky a třetí buňky druhého řádku plus hodnotu ze čtvrté buňky prvního řádku (v uvažovaném příkladu 2 ∙ (-3) +7 = 1).

Původní polynom je tedy faktorizován:

Metoda číslo 4.Použití zkrácených vzorců pro násobení

Pro zjednodušení výpočtů se používají zkrácené násobící vzorce a také faktoringové polynomy. Zkrácené násobící vzorce umožňují zjednodušit řešení jednotlivých úloh.

Vzorce používané k faktorizaci

Faktorování polynomů je transformace identity, v jejímž důsledku se polynom transformuje na součin více faktorů - polynomů nebo monočlenů.

Existuje několik způsobů, jak faktorizovat polynomy.

Metoda 1. Vyjmutí společného činitele ze závorek.

Tato transformace je založena na distributivním zákonu násobení: ac + bc = c(a + b). Podstatou transformace je izolovat společný faktor ve dvou uvažovaných složkách a „vyjmout jej ze závorek“.

Vynásobme polynom 28x 3 – 35x 4.

Řešení.

1. Najděte společného dělitele pro prvky 28x3 a 35x4. Pro 28 a 35 to bude 7; pro x 3 a x 4 – x 3. Jinými slovy, náš společný faktor je 7x 3.

2. Každý z prvků reprezentujeme jako součin faktorů, z nichž jeden
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Vyjmeme společný faktor ze závorek
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metoda 2. Použití zkrácených vzorců pro násobení. „Mistrovstvím“ použití této metody je všimnout si jednoho ze zkrácených vzorců násobení ve výrazu.

Vynásobme polynom x 6 – 1.

Řešení.

1. Na tento výraz můžeme aplikovat vzorec rozdílu čtverců. K tomu si představte x 6 jako (x 3) 2 a 1 jako 1 2, tzn. 1. Výraz bude mít tvar:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Na výsledný výraz můžeme aplikovat vzorec pro součet a rozdíl kostek:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Tak,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metoda 3. Seskupování. Metoda seskupování spočívá ve spojení složek polynomu tak, aby s nimi bylo snadné provádět operace (sčítání, odčítání, odečítání společného činitele).

Vynásobme polynom x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Řešení.

1. Seskupíme komponenty takto: 1. s 2. a 3. se 4.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Ve výsledném výrazu vyjmeme ze závorek společné činitele: x 2 v prvním případě a 5 ve druhém.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3).

3. Vyjmeme společný faktor x – 3 ze závorek a dostaneme:
x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) (x 2 + 5).

Tak,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Zajistíme materiál.

Faktor polynomu a 2 – 7ab + 12b 2 .

Řešení.

1. Představme monomiál 7ab jako součet 3ab + 4ab. Výraz bude mít tvar:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Otevřeme závorky a dostaneme:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Seskupme složky polynomu takto: 1. s 2. a 3. se 4.. Dostáváme:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Vyjmeme ze závorek běžné faktory:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Vyjmeme společný faktor (a – 3b) ze závorek:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Tak,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

blog.site, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.

Faktorování polynomů je transformace identity, v jejímž důsledku se polynom transformuje na součin více faktorů - polynomů nebo monočlenů.

Existuje několik způsobů, jak faktorizovat polynomy.

Metoda 1. Vyjmutí společného činitele ze závorek.

Vynásobme polynom 28x 3 – 35x 4.

Řešení.

1. Najděte společného dělitele pro prvky 28x3 a 35x4. Pro 28 a 35 to bude 7; pro x 3 a x 4 – x 3. Jinými slovy, náš společný faktor je 7x 3.

2. Každý z prvků reprezentujeme jako součin faktorů, z nichž jeden
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Vyjmeme společný faktor ze závorek
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metoda 2. Použití zkrácených vzorců pro násobení. „Mistrovstvím“ použití této metody je všimnout si jednoho ze zkrácených vzorců násobení ve výrazu.

Vynásobme polynom x 6 – 1.

Řešení.

1. Na tento výraz můžeme aplikovat vzorec rozdílu čtverců. K tomu si představte x 6 jako (x 3) 2 a 1 jako 1 2, tzn. 1. Výraz bude mít tvar:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Na výsledný výraz můžeme aplikovat vzorec pro součet a rozdíl kostek:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Tak,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Vynásobme polynom x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Řešení.

1. Seskupíme komponenty takto: 1. s 2. a 3. se 4.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Ve výsledném výrazu vyjmeme ze závorek společné činitele: x 2 v prvním případě a 5 ve druhém.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3).

3. Vyjmeme společný faktor x – 3 ze závorek a dostaneme:
x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) (x 2 + 5).

Tak,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Zajistíme materiál.

Faktor polynomu a 2 – 7ab + 12b 2 .

Řešení.

1. Představme monomiál 7ab jako součet 3ab + 4ab. Výraz bude mít tvar:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Otevřeme závorky a dostaneme:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Seskupme složky polynomu takto: 1. s 2. a 3. se 4.. Dostáváme:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Vyjmeme ze závorek běžné faktory:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Vyjmeme společný faktor (a – 3b) ze závorek:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Tak,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.

Podívejme se na konkrétní příklady, jak faktorizovat polynom.

Budeme rozšiřovat polynomy v souladu s .

Faktorové polynomy:

Pojďme zkontrolovat, zda existuje společný faktor. ano, rovná se 7 cd. Vyjmeme to z hranatých závorek:

Výraz v závorkách se skládá ze dvou pojmů. Již neexistuje společný faktor, výraz není vzorcem pro součet kostek, což znamená, že rozklad je dokončen.

Pojďme zkontrolovat, zda existuje společný faktor. Žádný. Polynom se skládá ze tří členů, takže zkontrolujeme, zda existuje vzorec pro úplný čtverec. Dva členy jsou druhé mocniny výrazů: 25x²=(5x)², 9y²=(3y)², třetí člen je roven dvojitému součinu těchto výrazů: 2∙5x∙3y=30xy. To znamená, že tento polynom je dokonalý čtverec. Protože dvojitý součin má znaménko mínus, je to:

Zkontrolujeme, zda je možné vyjmout společný faktor ze závorek. Existuje společný faktor, rovná se a. Vyjmeme to z hranatých závorek:

V závorkách jsou dva termíny. Zkontrolujeme, zda existuje vzorec pro rozdíl druhých mocnin nebo rozdíl kostek. a² je druhá mocnina a, 1=1². To znamená, že výraz v závorkách lze zapsat pomocí vzorce rozdílu čtverců:

Existuje společný faktor, rovná se 5. Vyjmeme ho ze závorek:

v závorkách jsou tři pojmy. Zkontrolujeme, zda je výraz dokonalý čtverec. Dva členy jsou druhé mocniny: 16=4² a a² - druhá mocnina a, třetí člen je roven dvojitému součinu 4 a a: 2∙4∙a=8a. Proto je to perfektní čtverec. Protože všechny termíny mají znaménko „+“, výraz v závorkách je dokonalou druhou mocninou součtu:

Vyjmeme obecný násobitel -2x ze závorek:

V závorce je součet dvou členů. Zkontrolujeme, zda je tento výraz součtem kostek. 64=4³, x³- krychle x. To znamená, že binom lze rozšířit pomocí vzorce:

Existuje společný násobitel. Ale protože se polynom skládá ze 4 členů, nejprve a teprve potom vyjmeme společný faktor ze závorek. Seskupme první termín se čtvrtým a druhý se třetím:

Z prvních závorek vyjmeme společný faktor 4a, z druhé - 8b:

Společný násobitel zatím neexistuje. Abychom to získali, vyjmeme „-“ z druhých závorek a každé znaménko v závorce se změní na opak:

Nyní vyjmeme společný faktor (1-3a) ze závorek:

V druhých závorkách je společný faktor 4 (jedná se o stejný faktor, který jsme na začátku příkladu nevyjmuli ze závorek):

Protože se polynom skládá ze čtyř členů, provedeme seskupení. Seskupme první termín s druhým, třetí se čtvrtým:

V prvních závorkách není společný faktor, ale existuje vzorec pro rozdíl druhých mocnin, ve druhých závorkách je společný faktor -5:

Objevil se společný multiplikátor (4m-3n). Vyjmeme to ze závorek.

Obecně tento úkol vyžaduje kreativní přístup, protože neexistuje žádná univerzální metoda pro jeho řešení. Ale zkusme dát pár tipů.

V drtivé většině případů je faktorizace polynomu založena na důsledku Bezoutovy věty, to znamená, že se najde nebo vybere kořen a stupeň polynomu se sníží o jednu dělením . Hledá se kořen výsledného polynomu a proces se opakuje až do úplného rozšíření.

Pokud kořen nelze nalézt, použijí se specifické metody rozšíření: od seskupování až po zavedení dalších vzájemně se vylučujících termínů.

Další prezentace je založena na dovednostech řešení rovnic vyšších stupňů s celočíselnými koeficienty.

Vydělení společného faktoru.

Začněme tím nejjednodušším případem, kdy je volný člen roven nule, tedy polynom má tvar .

Je zřejmé, že kořen takového polynomu je , to znamená, že polynom můžeme reprezentovat ve tvaru .

Tato metoda není nic jiného než uvedení společného faktoru ze závorek.

Příklad.

Faktor polynomu třetího stupně.

Řešení.

Je zřejmé, co je kořenem polynomu, tzn X lze vyjmout ze závorek:

Pojďme najít kořeny kvadratického trinomu

Tedy,

Začátek stránky

Rozložení polynomu s racionálními kořeny.

Nejprve uvažujme metodu pro rozšíření polynomu celočíselnými koeficienty tvaru , koeficient nejvyššího stupně je roven jedné.

V tomto případě, pokud má polynom celočíselné kořeny, pak jsou to dělitelé volného členu.

Příklad.

Řešení.

Zkontrolujeme, zda tam jsou neporušené kořeny. Chcete-li to provést, zapište dělitele čísla -18 : . To znamená, že pokud má polynom celočíselné kořeny, pak jsou mezi zapsanými čísly. Zkontrolujme tato čísla postupně pomocí Hornerova schématu. Jeho výhoda spočívá také v tom, že nakonec získáme expanzní koeficienty polynomu:

to znamená, x=2 A x=-3 jsou kořeny původního polynomu a můžeme jej reprezentovat jako součin:

Zbývá rozšířit kvadratický trinom.

Diskriminant tohoto trinomu je záporný, proto nemá žádné skutečné kořeny.

Odpověď:

Komentář:

Místo Hornerova schématu by se dalo použít výběr kořene a následné dělení polynomu polynomem.

Nyní zvažte expanzi polynomu s celočíselnými koeficienty tvaru , a koeficient nejvyššího stupně není roven jedné.

V tomto případě může mít polynom zlomkově racionální kořeny.

Příklad.

Zohledněte výraz.

Řešení.

Provedením změny proměnné y=2x, přejdeme k polynomu s koeficientem rovným jedné na nejvyšším stupni. Chcete-li to provést, nejprve výraz vynásobte 4 .

Pokud má výsledná funkce celočíselné kořeny, pak patří mezi dělitele volného členu. Pojďme si je zapsat:

Pojďme postupně vypočítat hodnoty funkce g(y) v těchto bodech, dokud není dosaženo nuly.