Akce na událostech: součet, součin a rozdíl událostí. Opačná událost

Pravidlo sčítání- jestliže prvek A lze vybrat n způsoby a prvek B lze vybrat m způsoby, pak A nebo B lze vybrat n + m způsoby.

^ Pravidlo násobení - jestliže prvek A může být vybrán n způsoby a pro jakoukoli volbu A může být prvek B vybrán m způsoby, pak dvojice (A, B) může být vybrána n·m způsoby.

Přeskupení. Permutace množiny prvků je uspořádání prvků v určitém pořadí. Tedy všechny různé permutace množiny tří prvků jsou

Počet všech permutací prvků se značí . Proto se počet všech různých permutací vypočítá podle vzorce

Ubytování. Počet umístění sady prvků prvky je roven

^ Umístění s opakováním. Pokud existuje množina n typů prvků a vy potřebujete umístit prvek nějakého typu na každé z m míst (typy prvků se mohou na různých místech shodovat), pak počet možností bude n m .

^ Kombinace. Definice. Kombinace různé prvky podleprvky se nazývají kombinace, které se skládají z dat prvky podle prvky a liší se alespoň v jednom prvku (jinými slovy,-prvkové podmnožiny dané množiny prvky). butback="" onclick="goback(684168)">^

" ZAROVNIT=ŠÍŘKA DNO=230 VÝŠKA=26 OKRAJ=0>

Prostor elementárních událostí. Náhodná událost. Spolehlivá akce. Nemožná událost. Prostor elementárních událostí –

jakýkoli soubor vzájemně se vylučujících výsledků experimentu, takže každý výsledek, který nás zajímá, lze jednoznačně popsat pomocí prvků tohoto souboru. Může být konečná a nekonečná (spočetná a nepočitatelná) Náhodná událost -

^ jakákoli podmnožina prostoru elementárních událostí. Spolehlivá akce -

se určitě stane jako výsledek experimentu. Nemožná událost -

se v důsledku experimentu nevyskytne.

Akce na událostech: součet, součin a rozdíl událostí. Opačná událost. Společné i nesdružené akce. Kompletní skupina akcí. Společné akce -

^ pokud se mohou vyskytovat současně jako výsledek experimentu. Nekompatibilní události – pokud nemohou nastat současně v důsledku experimentu. Říká se, že vzniká několik neslučitelných událostí celá skupina akcí

Pokud se první událost skládá ze všech elementárních výsledků kromě těch, které jsou součástí druhé události, jsou takové události volány naproti.

Součet dvou událostí A a B je událost sestávající z elementárních událostí patřících alespoň k jedné z událostí A nebo B. ^ Součin dvou událostí A a B – událost sestávající z elementárních událostí patřících současně k A a B. Rozdíl A a B - událost sestávající z prvků A, které nepatří do události B.

Klasické, statistické a geometrické definice pravděpodobnosti. Základní vlastnosti pravděpodobnosti události.

Klasické schéma: P(A)=, n – počet možných výsledků, m – počet výsledků příznivých pro událost A. statistická definice: W(A)=, n – počet provedených experimentů, m – počet provedených experimentů, při kterých se objevila událost A. Geometrická definice: P(A)=

, g – část obrázku G.

^ Základní vlastnosti pravděpodobnosti: 1) 0≤P(A)≤1, 2) Pravděpodobnost spolehlivé události je 1, 3) Pravděpodobnost nemožné události je 0.

Věta o sčítání pravděpodobností neslučitelných událostí a jejich důsledků.

P(A+B) = P(A)+P(B).Důsledek 1. P(A 1 +A 2 +...+A k) = P(A 1)+P(A 2)+...+P(A k), A 1,A 2,...,A k jsou párově nekompatibilní. Důsledek 2 . P(A)+P(Ᾱ) = 1. Důsledek 3 . Součet pravděpodobností událostí tvořících kompletní skupinu je roven 1.

Podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé akce. Násobení pravděpodobností závislých a nezávislých událostí.

Podmíněná pravděpodobnost - P(B) se vypočítá za předpokladu, že událost A již nastala. A a B jsou nezávislé - pokud vzhled jednoho z nich nemění pravděpodobnost výskytu druhého.

^ Násobení pravděpodobností: Pro závislé. Teorém. P(A∙B) = P(A)∙PA (B). Komentář. P(A∙B) = P(A)∙PA (B) = P(B)∙P B (A). Následek. P(A 1 ∙…∙A k) = P(A 1)∙PA1 (A 2)∙…∙P A1-Ak-1 (A k). Pro nezávislé. P(A∙B) = P(A)∙P(B).

^Tvěta o sčítání pravděpodobností společných událostí. Teorém . Pravděpodobnost výskytu alespoň jedné ze dvou společných událostí se rovná součtu pravděpodobností těchto událostí bez pravděpodobnosti jejich společného výskytu

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(A∙B)

Vzorec celkové pravděpodobnosti. Bayesovy vzorce.

Vzorec celkové pravděpodobnosti

H 1, H 2 ...H n - tvoří ucelenou skupinu - hypotézy.

Událost A může nastat pouze tehdy, když se objeví H 1, H 2 ...H n,

Pak P(A)=P(N 1)*P n1 (A)+P(N 2)*P n2 (A)+…P(N n)*P n n (A)

^ Bayesův vzorec

Nechť N 1, N 2 ...H n jsou hypotézy, událost A může nastat pod jednou z hypotéz

P(A)= P(N 1)* Pn1 (A)+P(N 2)*Pn2 (A)+…P(N n)*P n n (A)

Předpokládejme, že událost A nastala.

Jak se změnila pravděpodobnost H 1 kvůli skutečnosti, že došlo k A? Tito. R A (H 1)

P(A* N 1)=P(A)* PA (N 1)= P(N 1)* Pn1 (A) => PA (N 1)= (P(N 1)* Pn1 ( A) )/ P(A)

H 2, H 3 ...Hn se stanoví podobně

Celkový pohled:

PA(Ni)= (P(Ni)* Pni (A))/ P(A), kde i=1,2,3…n.

Vzorce nám umožňují nadhodnocovat pravděpodobnosti hypotéz v důsledku skutečnosti, že výsledek testů, které vedly k výskytu události A, se stane známým.

„Před“ testováním – apriorní pravděpodobnosti - P(N 1), P(N 2)…P(N n)

"Po" testu - zadní pravděpodobnosti - P A (N 1), P A (N 2) ... P A (N n)

Posteriorní pravděpodobnosti, stejně jako předchozí, dávají dohromady 1.
9.Bernoulliho a Poissonův vzorec.

Bernoulliho vzorec

Nechť je provedeno n pokusů, v každém z nich se A může nebo nemusí objevit. Pokud je pravděpodobnost události A v každém z těchto pokusů konstantní, pak jsou tyto pokusy nezávislé na A.

Uvažujme n nezávislých pokusů, z nichž A může nastat s pravděpodobností p. Tato sekvence testů se nazývá Bernoulliho obvod.

Věta: pravděpodobnost, že v n pokusech nastane událost A přesně mkrát, je rovna: P n (m)=C n m *p m *q n - m

Počet m 0 - výskyt jevu A se nazývá nejpravděpodobnější, pokud odpovídající pravděpodobnost P n (m 0) není menší než ostatní P n (m)

Pn (m 0)≥ Pn (m), m 0 ≠ m

Chcete-li najít m 0, použijte:

np-q≤ m0 ≤np+q

^ Poissonův vzorec

Zvažte Bernoulliho test:

n je počet testů, p je pravděpodobnost úspěchu

Nechť p je malé (p→0) a n je velké (n→∞)

průměrný počet výskytů úspěchu v n pokusech

Do Bernoulliho vzorce přidáme λ=n*p → p= λ:

Pn(m)=Cnm*pm*(l-q)n-m; C n m = n!/((m!*(n-m)!) →

→ P n (m)≈ (λ m /m!)*e - λ (Poisson)

Jestliže p≤0,1 a λ=n*p≤10, pak vzorec dává dobré výsledky.
10. Lokální a integrální Moivre-Laplaceovy věty.

Nechť n je počet testů, p je pravděpodobnost úspěchu, n je velké a má tendenci k nekonečnu. (n->∞)

^ Lokální věta

Р n (m)≈(f(x)/(npg)^ 1/2, kde f(x)= (e - x ^2/2)/(2Pi)^ 1/2

Pokud npq≥ 20 – dává dobré výsledky, x=(m-np)/(npg)^ 1/2

^ Integrální teorém

P n (a≤m≤b)≈ȹ(x 2)-ȹ(x 1),

kde ȹ(x)=1/(2Pi)^ 1/2 * 0 ʃ x e (Pi ^2)/2 dt – Laplaceova funkce

x 1 =(a-np)/(npq)^ 1/2, x 2 =(b-np)/(npq)^ 1/2

Vlastnosti Laplaceovy funkce

ȹ(x) – lichá funkce: ȹ(-x)=- ȹ(x)
ȹ(x) – roste monotónně
hodnoty ȹ(x) (-0,5;0,5) a lim x →∞ ȹ(x)=0,5; lim x →-∞ ȹ(x)=-0,5

Důsledky

P n (│m-np│≤Ɛ) ≈ 2 ȹ (Ɛ/(npq) 1/2)
P n (ɑ≤m/n≤ƥ) ≈ ȹ(z 2)- ȹ(z 1), kde z 1=(ɑ-p)/(pq/n)^ 1/2 z 2=(ƥ -p )/(pq/n)^ 1/2
P n (│(m/n) - p│≈ ∆) ≈ 2 ȹ(∆n 1/2 /(pq)^ 1/2)

m/n relativní četnost výskytu úspěchu ve studiích

11. Náhodná veličina. Typy náhodných veličin. Metody pro specifikaci náhodné veličiny.

SV je funkce definovaná na množině elementárních událostí.

X,Y,Z – NE a jeho hodnota je x,y,z

Náhodný Volají veličinu, která v důsledku testování bude mít jednu a pouze jednu možnou hodnotu, předem neznámou a závislou na náhodných důvodech, které nelze předem vzít v úvahu.

NE diskrétní, pokud je množina jeho hodnot konečná nebo spočetná (lze je očíslovat). Nabývá zřetelných, izolovaných možných hodnot s definovanými pravděpodobnostmi. Počet možných hodnot diskrétního SV může být konečný nebo nekonečný.

NE kontinuální, pokud nabývá všech možných hodnot z určitého intervalu (na celé ose). Jeho významy se mohou velmi málo lišit.

^ Zákon rozdělení diskrétních SV M.B. dáno:

1.stůl

X	x 1	x 2	…	x n
P(X)	p 1	p 2	…	p n

(distribuční řada)

X=x 1) jsou nekonzistentní

р 1 + р 2 +… p n =1= ∑p i

2.grafické

Polygon rozdělení pravděpodobnosti

3.analytické

P=P(X)
12. Distribuční funkce náhodné veličiny. Základní vlastnosti distribuční funkce.

Distribuční funkcí SV X je funkce F(X), která určuje pravděpodobnost, že SV X nabude hodnoty menší než x, tzn.

x x = kumulativní distribuční funkce

Spojitý SV má spojitou, po částech diferencovatelnou funkci.

Algebraické operace s událostmi definují pravidla pro zacházení s událostmi a umožňují vyjádřit jednu událost jinou. Operace s událostmi jsou použitelné pouze pro události, které představují podmnožiny stejného prostoru elementárních událostí.

Akce událostí lze vizualizovat pomocí Vennových diagramů. V diagramech události odpovídají různým oblastem v rovině, konvenčně označují podmnožiny elementárních událostí, které tvoří události. V diagramech na obr. 1.1 tedy prostor elementárních událostí odpovídá vnitřním bodům čtverce, událost A vnitřním bodům kružnice a událost B vnitřním bodům trojúhelníku. Skutečnost, že události A a B jsou podmnožinami prostoru elementárních událostí (A, B), ukazují diagramy na obr. 1.1a, b.

Součet (sjednocení) událostí A a B je událost C=A+B (nebo C=AB), která spočívá v tom, že alespoň jedna z událostí A nebo B nastane ze všech elementárních událostí patřící alespoň k jedné z událostí A nebo B nebo k oběma událostem. V diagramu (obr. 1.2.) událost C odpovídá šrafované oblasti C, která představuje spojení oblastí A a B. Podobně součet několika událostí A 1, A 2,..., A n se nazývá událost C, spočívající ve skutečnosti, že dojde alespoň k jedné z událostí A i, i=:

Součet událostí kombinuje všechny elementární události, které tvoří A i, i=. Pokud události E 1, E 2,…, E n tvoří úplnou skupinu, pak se jejich součet rovná spolehlivé události:

Součet elementárních událostí se rovná spolehlivé události

Součin (průnik) událostí A a B je událost C=AB (nebo C=AB), která se skládá ze společného výskytu událostí A a B. Událost C se skládá z těch elementárních událostí, které patří jak A, tak B. Na obr. 1.3.a je událost C reprezentována průsečíkem oblastí A a B. Jsou-li A a B neslučitelné události, pak jejich součin je nemožný jev, tj. AB = (obr. 1.3.b).

Součin událostí A 1, A 2,…, A n je jev C, který se skládá ze současného provedení všech událostí A i, i=:

Součin párově neslučitelných jevů A 1, A 2,…, A n jsou nemožné jevy: A i A j =, pro libovolné ij. Produkty dějů, které tvoří ucelenou skupinu, jsou nemožné jevy: E i E j =, ij, součiny elementárních dějů jsou také nemožné jevy: ij =, ij.

Rozdíl mezi událostmi A a B se nazývá událost C=A_B (C=AB), která spočívá v tom, že událost A nastane a událost B nenastane, událost C se skládá z těch elementárních událostí, které patří do A a nenastávají patří do B. Diagram rozdílu událostí znázorněný na Obr. 1.4. Diagram ukazuje, že C=A_B=

Opačná událost pro událost A (nebo její doplněk) je událost, která spočívá v tom, že událost A nenastala. Opačná událost doplňuje událost A do kompletní skupiny a skládá se z těch elementárních událostí, které patří do prostoru a nepatří do události A (obr. 1.5). Je tedy rozdíl mezi spolehlivou událostí a událostí A: =_A.

Vlastnosti operací s událostmi.

Vlastnosti posunutí: A+B=B+A, A·B=В·A.

Kombinace vlastností: (A+B)+C=A+(B+C), (AB)C=A(BC).

Distribuční vlastnost: A(B+C)=AB+AC.

Z definic operací na událostech vyplývají vlastnosti

A+A=A; A+=; A+=A; A·A=A; A = A; A·=

Z definice opačného děje vyplývá, že

A+=; A=; =A; =; =; ;

Z diagramu na obr. 1.4 jsou zřejmé vlastnosti rozdílu společných událostí:

Pokud jsou A a B neslučitelné události, pak

Vlastnosti společných akcí jsou také zřejmé

Pro opačné události platí vlastnosti, které se někdy nazývají De Morganovo pravidlo nebo princip duality: operace sjednocení a průniku mění místa při přechodu k opačným událostem.

Důkaz principu duality lze získat graficky pomocí Vennových diagramů nebo analyticky aplikací vlastností 1-6

Je třeba poznamenat, že akce podobné akcím „snížení podobných pojmů“ a zvýšení na mocninu v algebře čísel jsou při provádění operací s událostmi nepřijatelné.

Například při práci s událostmi jsou správné akce:

Nesprávná aplikace akcí analogicky s algebraickými: (A+B)B=A+BB=A vede k nesprávnému výsledku (zkontrolujte pomocí Vennových diagramů!).

Příklad 1.11. Prokázat identity

a) (A+C)(B+C)=AB+C;

b) AC_B=AC_BC

a) (A+C)(B+C) = AB+CB+AC+CC = AB+C(A+B)+C= =AB+C(A+B)+C = AB+C(A+ B+ ) = AB+C = AB+C;

b) AC_B = AC = CA = C(A_B) = SA_SV = AC_BC

Příklad 1.12. O cenu se losují dva finalisté pořadu. Losování probíhá jeden po druhém až do prvního úspěšného pokusu, počet pokusů pro každého účastníka je omezen na tři. Jako první začíná první finalista. Posuzují se následující události: A = (první finalista vyhrál cenu); B=(druhý finalista vyhrál cenu). 1) Přidejte tyto události do celé skupiny a vytvořte pro ni spolehlivou událost. 2) Sestavte kompletní skupinu elementárních událostí. 3) Vyjádřete události první kompletní skupiny prostřednictvím elementárních. 4) Sestavte další ucelené skupiny událostí a zaznamenejte jejich prostřednictvím spolehlivé události.

1) Události A a B jsou neslučitelné pro dokončení skupiny jsou doplněny neslučitelným případem C = (nikdo nezískal cenu). Spolehlivá událost = (buď první finalista vyhraje cenu, nebo druhý, nebo nevyhraje nikdo) se rovná: =A+B+C.

2) Uveďme události, které popisují výsledek každého pokusu pro každého hráče a nezávisí na podmínkách soutěže: A i = (první finalista úspěšně dokončil i-tý pokus), B i = (druhý finalista úspěšně dokončil i-tý pokus), . Tyto akce nezohledňují podmínky soutěže, a proto nejsou elementární z hlediska výhry ceny. Ale prostřednictvím těchto událostí, pomocí operací na událostech, je možné vytvořit kompletní skupinu elementárních událostí, které berou v úvahu podmínky pro výhru na první úspěšný pokus: 1 = (první finalista vyhrál cenu na první pokus), 2 = (druhý finalista vyhrál cenu na první pokus), 3 = (první finalista vyhrál cenu na druhý pokus), 4 = (druhý finalista vyhrál cenu na druhý pokus), 5 = (první finalista vyhrál cena na třetí pokus), 6 =(druhý finalista vyhrál cenu na třetí pokus), 7 =(oba finalisté nezískali cenu ani po třech pokusech). Podle podmínek soutěže

1 = A 1, 2 =, 3 =, 4 =,

5 =, 6 = , 7 = .

Kompletní skupina elementárních událostí: =( 1 ,…, 7 )

3) Události A a B jsou vyjádřeny pomocí elementárních událostí pomocí sčítacích operací, C se shoduje s elementární událostí:

4) Událostmi jsou také kompletní skupiny událostí

Odpovídající spolehlivé události:

=(první finalista cenu buď vyhraje, nebo ne)=;

=(druhý finalista cenu buď vyhraje, nebo ne)=;

=(buď cenu nevyhrají, nebo vyhrají)=.

Spolehlivé a nemožné události

Spolehlivý Volají událost, která se určitě stane, pokud je splněna určitá sada podmínek.

Nemožné Událost, o které je známo, že nenastane, pokud je splněna určitá sada podmínek.

Zavolá se událost, která se shoduje s prázdnou množinou nemožné událost a nazývá se událost, která se shoduje s celou sadou spolehlivý událost.

Události se nazývají stejně možné pokud neexistuje důvod se domnívat, že jedna událost je možná více než jiná.

Teorie pravděpodobnosti je věda, která studuje vzorce náhodných událostí. Jedním z hlavních úkolů v teorii pravděpodobnosti je úkol určit kvantitativní míru možnosti výskytu události.

ALGEBRA UDÁLOSTÍ

Operace s událostmi (součet, rozdíl, produkt)

Každý test je spojen s řadou událostí, které nás zajímají a které obecně mohou nastat současně. Například při hodu kostkou (tj. kostkou s body na stranách 1, 2, 3, 4, 5, 6) je událostí ztráta dvojky a událostí ztráta sudého počtu bodů. . Je zřejmé, že tyto události se vzájemně nevylučují.

Nechť jsou všechny možné výsledky testů realizovány v množství jednoznačně možných konkrétních případů, které se vzájemně vylučují. Pak:

· každý výsledek testu je reprezentován jednou a pouze jednou elementární událostí;
· každá událost spojená s tímto testem je souborem konečného nebo nekonečného počtu elementárních událostí;
· událost nastane tehdy a pouze tehdy, když je realizována jedna ze základních událostí obsažených v této množině.

Jinými slovy, je dán libovolný, ale pevný prostor elementárních událostí, který lze znázornit jako určitou oblast v rovině. V tomto případě jsou elementární události body roviny ležící uvnitř. Protože událost je identifikována množinou, všechny operace, které lze provádět na množinách, lze provádět s událostmi. To znamená, že analogicky s teorií množin konstruujeme algebra událostí. Konkrétně jsou definovány následující operace a vztahy mezi událostmi:

(relace inkluze množiny: množina je podmnožinou množiny) - událost A zahrnuje událost B. Jinými slovy, událost B nastane pokaždé, když nastane událost A.

(relace ekvivalence sady) - událost je shodná nebo ekvivalentní události. To je možné tehdy a jen tehdy a současně, tzn. každý nastane, kdykoli nastane druhý.

() - součet událostí. Jedná se o událost spočívající ve skutečnosti, že došlo alespoň k jedné ze dvou událostí nebo (logické „nebo“) nevyjímaje. Obecně se souhrnem více událostí rozumí událost spočívající v výskytu alespoň jedné z těchto událostí.

() - produkt událostí. Jedná se o událost sestávající ze společného výskytu událostí a (logické „a“). Obecně je produkce více událostí chápána jako událost sestávající ze současného výskytu všech těchto událostí. Události jsou tedy neslučitelné, je-li jejich produkce nemožná událost, tzn. .

(soubor prvků, které patří, ale nepatří) - rozdíl událostí. Jedná se o událost skládající se z výsledků, které jsou součástí, ale nejsou součástí. Spočívá v tom, že událost nastane, ale událost nenastane.

Opakem (doplňkem) události (označené) je událost sestávající ze všech výsledků, které nejsou zahrnuty.

Dvě události se nazývají opačné, pokud výskyt jedné z nich je ekvivalentní nevyskytnutí druhé. Opačná událost k události nastane právě tehdy, když se událost nevyskytne. Jinými slovy, výskyt události jednoduše znamená, že událost nenastala.

Symetrický rozdíl dvou událostí a (označený jako) je událost skládající se z výsledků zahrnutých v nebo, ale nezahrnutých v a současně.

Význam události je, že jedna a pouze jedna z událostí nebo nastane.

Symetrický rozdíl je označen: nebo.

Cíl: Seznámit studenty s pravidly sčítání a násobení pravděpodobností, pojetím opačných jevů na Eulerových kruzích.

Teorie pravděpodobnosti je matematická věda, která studuje vzory v náhodných jevech.

Náhodný jev- jedná se o jev, který při opakovaném reprodukování stejného zážitku nastává pokaždé trochu jiným způsobem.

Uveďme příklady náhodných událostí: hází se kostkami, hází se mincí, střílí se na cíl atd.

Na všechny výše uvedené příklady lze nahlížet ze stejného úhlu: náhodné variace, nestejné výsledky z řady experimentů, jejichž základní podmínky zůstávají nezměněny.

Je zcela zřejmé, že v přírodě neexistuje jediný fyzikální jev, ve kterém by v té či oné míře nebyly přítomny prvky náhodnosti. Bez ohledu na to, jak přesně a podrobně jsou stanoveny experimentální podmínky, není možné zajistit, aby se při opakování experimentu výsledky zcela a přesně shodovaly.

Náhodné odchylky nevyhnutelně doprovázejí jakýkoli přírodní jev. V řadě praktických problémů však lze tyto náhodné prvky zanedbat, vezmeme-li v úvahu místo reálného jevu jeho zjednodušené schéma „model“ a předpokládáme, že za daných experimentálních podmínek jev probíhá zcela určitým způsobem.

Existuje však řada problémů, kdy výsledek experimentu, který nás zajímá, závisí na tak velkém množství faktorů, že je prakticky nemožné zaregistrovat a zohlednit všechny tyto faktory.

Náhodné události lze vzájemně různě kombinovat. V tomto případě se tvoří nové náhodné události.

Pro vizuální znázornění událostí použijte Eulerovy diagramy. Na každém takovém diagramu je množina všech elementárních událostí znázorněna obdélníkem (obr. 1). Všechny ostatní události jsou zobrazeny uvnitř obdélníku jako jeho část, ohraničená uzavřenou čarou. Obvykle jsou takové události zobrazeny jako kruhy nebo ovály uvnitř obdélníku.

Zvažme nejdůležitější vlastnosti událostí pomocí Eulerových diagramů.

Slučování událostíA aB nazývat událost C, sestávající z elementárních událostí patřících k události A nebo B (někdy se spojení nazývá součet).

Výsledek kombinace lze znázornit graficky pomocí Eulerova diagramu (obr. 2).

Průsečík událostí A a B se nazývá událost C, která upřednostňuje událost A i událost B (někdy se průnikům říká součin).

Výsledek průniku lze graficky znázornit Eulerovým diagramem (obr. 3).

Pokud události A a B nemají společné příznivé elementární události, pak se nemohou vyskytovat současně během stejné zkušenosti. Takovým událostem se říká nekompatibilní a jejich průsečík – prázdná událost.

Rozdíl mezi událostmi A a B nazvěte událost C sestávající z elementárních událostí A, které nejsou elementárními událostmi B.

Výsledek rozdílu lze znázornit graficky pomocí Eulerova diagramu (obr. 4).

Nechť obdélník představuje všechny elementární události. Znázorněme událost A jako kruh uvnitř obdélníku. Zbývající část obdélníku znázorňuje opak události A, událost (obr. 5)

Opačná událost k události A je událost zvýhodněná všemi elementárními událostmi, které nejsou příznivé pro událost A.

Opačná událost k události A je obvykle označena .

Příklady opačných událostí.

Kombinace více akcí Je volána událost skládající se z výskytu alespoň jedné z těchto událostí.

Pokud se například experiment skládá z pěti výstřelů na cíl a události jsou uvedeny:

A0 - žádné zásahy;
A1 - přesně jeden zásah;
A2 - přesně 2 zásahy;
A3 - přesně 3 zásahy;
A4 - přesně 4 zásahy;
A5 - přesně 5 zásahů.

Najít události: ne více než dva zásahy a ne méně než tři zásahy.

Řešení: A=A0+A1+A2 – ne více než dva zásahy;

B=A3+A4+A5 – minimálně tři zásahy.

Průsečík několika událostí Nazývá se událost sestávající ze společného výskytu všech těchto událostí.

Pokud jsou například vypáleny tři výstřely na cíl a jsou uvažovány následující události:

B1 - netrefila na první ránu,
B2 - netrefila na druhou ránu,
VZ - netrefila na třetí ránu,

ta událost je, že nedojde k jedinému zásahu do cíle.

Při určování pravděpodobností je často nutné reprezentovat složité události jako kombinace jednodušších událostí, s využitím jak sjednocení, tak průniku událostí.

Nechte například vypálit tři rány na cíl a zvažují se následující základní události:

Zásah na první výstřel
- netrefila na první ránu,
- trefit na druhý výstřel,
- netrefila na druhý výstřel,
- trefil se na třetí ránu,
- netrefila na třetí ránu.

Uvažujme složitější událost B, spočívající v tom, že v důsledku těchto tří výstřelů bude přesně jeden zásah do cíle. Událost B může být reprezentována jako následující kombinace základních událostí:

Událost C, což znamená, že dojde k minimálně dvěma zásahům do cíle, může být reprezentována jako:

Obrázky 6.1 a 6.2 ukazují spojení a průnik tří událostí.

Obr.6

K určení pravděpodobností událostí se nepoužívají přímé přímé metody, ale nepřímé. Umožnění známých pravděpodobností některých událostí určit pravděpodobnosti jiných událostí s nimi spojených. Při použití těchto nepřímých metod vždy používáme základní pravidla teorie pravděpodobnosti v té či oné podobě. Existují dvě z těchto pravidel: pravidlo sčítání pravděpodobností a pravidlo násobení pravděpodobností.

Pravidlo pro sčítání pravděpodobností je formulováno následovně.

Pravděpodobnost spojení dvou neslučitelných událostí se rovná součtu pravděpodobností těchto událostí:

P(A+B) =P(A)+ P(B).

Součet pravděpodobností opačných událostí je roven jedné:

P(A) + P()= 1.

V praxi se často ukazuje jako jednodušší vypočítat pravděpodobnost opačného jevu A než pravděpodobnost přímého jevu A. V těchto případech vypočítejte P (A) a najděte

P(A) = 1-P().

Podívejme se na několik příkladů použití pravidla sčítání.

Příklad 1. V loterii je 1000 tiketů; Z toho jeden tiket má za následek výhru 500 rublů, 10 tiketů - výhra 100 rublů každý, 50 tiketů - výhra 20 rublů každý, 100 tiketů - výhry 5 rublů každý, zbytek tiketů je nevýherní. Někdo si koupí jeden lístek. Najděte pravděpodobnost výhry alespoň 20 rublů.

Řešení. Podívejme se na události:

A - vyhrajte alespoň 20 rublů,

A1 - vyhrajte 20 rublů,
A2 - vyhrajte 100 rublů,
A3 - vyhrajte 500 rublů.

Je zřejmé, že A= A1 + A2 + A3.

Podle pravidla sčítání pravděpodobností:

P(A) = P (A1) + P (A2) + P (A3) = 0,050 + 0,010 + 0,001 = 0,061.

Příklad 2. Bombardování se provádí ve třech muničních skladech a je shozena jedna bomba. Pravděpodobnost vstupu do prvního skladu je 0,01; ve druhém 0,008; ve třetím 0,025. Když je zasažen jeden ze skladů, všechny tři explodují. Najděte pravděpodobnost, že budou sklady vyhozeny do povětří.

Definice 1. Říkají, že v nějaké zkušenosti událost A znamená za zdáním události V, pokud při výskytu události A událost přichází V. Zápis pro tuto definici A Ì V. Z hlediska elementárních událostí to znamená, že každá elementární událost zahrnutá v A, je také součástí V.

Definice 2. Události A A V se nazývají stejné nebo ekvivalentní (označené A= V), Pokud A Ì V A VÌ A, tzn. A A V sestávají ze stejných elementárních událostí.

Spolehlivá akce je reprezentována všeobjímající množinou Ω a nemožný děj je reprezentován prázdnou podmnožinou Æ v ní. Neslučitelnost událostí A A V znamená, že odpovídající podmnožiny A A V neprotínají se: A∩V = Æ.

Definice 3. Součet dvou událostí A A V(označeno S= A + V) se nazývá událost S, skládající se z přijde minimálně jedna z akcí A nebo V(spojka „nebo“ pro částku je klíčové slovo), tzn. přichází nebo A nebo V nebo A A V spolu.

Příklad. Nechte dva střelce střílet na terč současně a event A spočívá v tom, že 1. střelec zasáhne cíl, a event B- že 2. střelec zasáhne cíl. Událost A+ B znamená, že terč je zasažen, nebo jinými slovy, že alespoň jeden ze střelců (1. střelec nebo 2. střelec, nebo oba střelci) trefil terč.

Podobně součet konečného počtu událostí A 1 , A 2 , …, A n (označeno A= A 1 + A 2 + … + A n) událost se nazývá A, skládající se z výskyt alespoň jednoho z akcí A já ( i = 1, … , n), nebo libovolnou sbírku A já ( i = 1, 2, … , n).

Příklad. Součet událostí A, B, C je událost sestávající z výskytu jedné z následujících událostí: A, B, C, A A V, A A S, V A S, A A V A S, A nebo V, A nebo S, V nebo S,A nebo V nebo S.

Definice 4. Produkt dvou událostí A A V s názvem událost S(označeno S = A ∙ B), spočívající v tom, že v důsledku zkoušky došlo i k event A, a událost V zároveň. (Spojka „a“ pro vytváření událostí je klíčové slovo).

Podobné jako součin konečného počtu událostí A 1 , A 2 , …, A n (označeno A = A 1 ∙A 2 ∙…∙ A n) událost se nazývá A, spočívající v tom, že v důsledku testu došlo ke všem specifikovaným událostem.

Příklad. Pokud události A, V, S v prvním, druhém a třetím pokusu se objeví „erb“, poté událost A× V× S Ve všech třech zkouškách dochází k poklesu „erbu“.

Poznámka 1. Pro nekompatibilní události A A V rovnost je pravdivá A ∙ B= Æ, kde Æ je nemožná událost.

Poznámka 2. Události A 1 , A 2, … , A n tvoří úplnou skupinu párově nekompatibilních událostí if .

Definice 5. Opačné události jsou volány dvě jedinečně možné nekompatibilní události, které tvoří kompletní skupinu. Událost opačná k události A, označeno . Událost opačná k události A, je doplňkem akce A na nastavenou Ω.

Pro opačné události jsou současně splněny dvě podmínky A∙= Æ a A+= Ω.

Definice 6. Rozdílem události A A V(označeno A– V) se nazývá událost spočívající v tom, že událost A přijde a událost IN - ne a je to rovné A– V= A× .

Všimněte si, že události A + B, A ∙ B, , A – B je vhodné interpretovat graficky pomocí Euler–Vennových diagramů (obr. 1.1).

Rýže. 1.1. Operace s událostmi: negace, součet, součin a rozdíl

Formulujme příklad takto: nechme zkušenost G spočívá v náhodném střelbě do oblasti Ω, jejíž body jsou elementární události ω. Dostat se do oblasti Ω nechť je spolehlivou událostí Ω a dostat se do oblasti A A V– respektive události A A V. Potom události A+B(nebo AÈ V– světlo oblast na obrázku), A∙ B(nebo AÇ IN - oblast v centru), A – B(nebo A\IN - světlé podoblasti) bude odpovídat čtyřem obrázkům na obr. 1.1. V podmínkách předchozího příkladu se dvěma střelci střílejícími na terč součin událostí A A V bude akce C = AÇ V, spočívající v zasažení cíle oběma šípy.

Poznámka 3. Pokud jsou operace na událostech reprezentovány jako operace na množinách a události jsou reprezentovány jako podmnožiny nějaké množiny Ω, pak součet událostí A+B odpovídá svazu AÈ V tyto podmnožiny a produkt událostí A ∙ B- křižovatka A∩V tyto podmnožiny.

Operace s událostmi tedy mohou být spojeny s operacemi na množinách. Tato korespondence je uvedena v tabulce. 1.1

Tabulka 1.1

Označení	Jazyk pravděpodobnosti	Jazyk teorie množin
	Prostorový prvek. události	Univerzální sada
	Elementární akce	Prvek z univerzální sady
	Náhodná událost	Podmnožina prvků ω z Ω
	Spolehlivá akce	Množina všech ω
	Nemožná událost	Prázdná sada
AМ В	A znamená V	A– podmnožina V
A+B(AÈ V)	Součet událostí A A V	Unie množin A A V
A× V(AÇ V)	Produkce akcí A A V	Průnik množin A A V
A – B(A\V)	Rozdíl událostí	Nastavit rozdíl