Oblast generátoru. Plocha bočního a celkového povrchu kužele

Víme, co je kužel, zkusme najít jeho povrch. Proč potřebujete řešit takový problém? Potřebujete například pochopit, kolik těsta se spotřebuje na výrobu vaflového kornoutu? Nebo kolik cihel je potřeba k výrobě cihlové zámecké střechy?

Měření bočního povrchu kužele jednoduše nelze provést. Představme si však stejný roh zabalený v látce. Chcete-li najít oblast kusu látky, musíte ji odříznout a položit na stůl. Výsledkem je plochá postava, najdeme její plochu.

Rýže. 1. Řez kuželem podél tvořící přímky

Totéž uděláme s kuželem. Jeho boční plochu „prořízneme“ například podél libovolné tvořící čáry (viz obr. 1).

Nyní „rozvineme“ boční povrch na rovinu. Dostáváme sektor. Střed tohoto sektoru je vrcholem kužele, poloměr sektoru je roven tvořící přímce kužele a délka jeho oblouku se shoduje s obvodem základny kužele. Tento sektor se nazývá rozvinutí boční plochy kužele (viz obr. 2).

Rýže. 2. Vývoj boční plochy

Rýže. 3. Měření úhlu v radiánech

Zkusme najít oblast sektoru pomocí dostupných dat. Nejprve si zavedeme zápis: úhel ve vrcholu sektoru nechť je v radiánech (viz obr. 3).

V problémech se často budeme muset vypořádat s úhlem v horní části rozmítání. Pokusme se nyní odpovědět na otázku: nemůže být tento úhel větší než 360 stupňů? To znamená, neukázalo by se, že by se zametání překrývalo? Samozřejmě že ne. Pojďme to dokázat matematicky. Nechte skenování „překrýt“ se samo. To znamená, že délka oblouku rozmítání je větší než délka kruhu o poloměru. Ale, jak již bylo zmíněno, délka oblouku rozmítání je délkou kruhu o poloměru . A poloměr základny kužele je samozřejmě menší než tvořící čára, například, protože rameno pravoúhlého trojúhelníku je menší než přepona

Pak si vzpomeňme na dva vzorce z kurzu planimetrie: délka oblouku. Oblast odvětví: .

V našem případě hraje roli generátor , a délka oblouku se rovná obvodu základny kužele, tzn. máme:

Nakonec dostáváme: .

Spolu s bočním povrchem lze nalézt také celkový povrch. Chcete-li to provést, přidejte plochu základny k ploše bočního povrchu. Základem je ale kružnice o poloměru, jejíž obsah se podle vzorce rovná .

Nakonec máme: , kde je poloměr základny válce, je tvořící přímka.

Pojďme vyřešit pár problémů pomocí uvedených vzorců.

Rýže. 4. Požadovaný úhel

Příklad 1. Vývoj bočního povrchu kužele je sektor s úhlem na vrcholu. Najděte tento úhel, pokud je výška kužele 4 cm a poloměr základny 3 cm (viz obr. 4).

Rýže. 5. Pravý trojúhelník tvořící kužel

První akcí podle Pythagorovy věty najdeme generátor: 5 cm (viz obr. 5). Dále to víme .

Příklad 2. Axiální plocha průřezu kužele je rovna , výška je rovna . Najděte celkovou plochu povrchu (viz obr. 6).

Zpět Vpřed

Pozor! Náhledy snímků mají pouze informativní charakter a nemusí představovat všechny funkce prezentace. Pokud vás tato práce zaujala, stáhněte si prosím plnou verzi.

Typ lekce: lekce osvojování nového materiálu s využitím prvků problémové vývojové výukové metody.

Cíle lekce:

• vzdělávací:
  • seznámení s novým matematickým konceptem;
  • vytváření nových školicích středisek;
  • formování praktických dovedností při řešení problémů.
• vývoj:
  • rozvoj samostatného myšlení žáků;
  • rozvoj správných řečových dovedností školáků.
• vzdělávací:
  • rozvoj dovedností týmové práce.

Vybavení lekce: magnetická tabule, počítač, plátno, multimediální projektor, model kužele, prezentace lekce, letáky.

Cíle lekce (pro studenty):

• seznámit se s novým geometrickým pojmem - kuželem;
• odvodit vzorec pro výpočet plochy povrchu kužele;
• naučit se aplikovat získané znalosti při řešení praktických problémů.

Postup lekce

Fáze I. Organizační.

Odevzdání sešitů s domácí testovou prací na probrané téma.

Studenti jsou vyzváni, aby zjistili téma nadcházející lekce vyřešením hádanky (snímek 1):

Obrázek 1

Oznámení tématu a cílů lekce žákům (snímek 2).

Etapa II. Vysvětlení nového materiálu.

1) Přednáška učitele.

Na desce je tabulka s obrázkem šišky. Nový materiál je vysvětlen spolu s programovým materiálem „Stereometrie“. Na obrazovce se objeví trojrozměrný obraz kužele. Učitel definuje kužel a mluví o jeho prvcích. (snímek 3). Říká se, že kužel je těleso vytvořené rotací pravoúhlého trojúhelníku vzhledem k noze. (snímky 4, 5). Objeví se obraz skenování bočního povrchu kužele. (snímek 6)

2) Praktická práce.

Aktualizace základních znalostí: zopakujte vzorce pro výpočet plochy kruhu, plochy sektoru, délky kruhu, délky oblouku kruhu. (snímky 7–10)

Třída je rozdělena do skupin. Každá skupina obdrží sken bočního povrchu kužele vystřiženého z papíru (výseč kruhu s přiděleným číslem). Studenti provedou potřebná měření a vypočítají plochu výsledného sektoru. Na obrazovce se objevují pokyny k provedení práce, otázky - problémová prohlášení (snímky 11–14). Zástupce každé skupiny zapisuje výsledky výpočtů do tabulky připravené na tabuli. Účastníci každé skupiny slepí model kužele ze vzoru, který mají. (snímek 15)

3) Vyjádření a řešení problému.

Jak vypočítat boční povrch kužele, pokud je znám pouze poloměr základny a délka tvořící čáry kužele? (snímek 16)

Každá skupina provede potřebná měření a pokusí se z dostupných dat odvodit vzorec pro výpočet potřebné plochy. Při této práci by si studenti měli všimnout, že obvod základny kužele se rovná délce oblouku výseče - rozvinutí boční plochy tohoto kužele. (snímky 17–21) Pomocí potřebných vzorců se odvodí požadovaný vzorec. Argumenty studentů by měly vypadat nějak takto:

Poloměr rozmítání sektoru je roven l, míra oblouku – φ. Plocha sektoru se vypočítá podle vzorce: délka oblouku ohraničujícího tento sektor se rovná poloměru základny kužele R. Délka kruhu ležícího na základně kužele je C = 2πR . Všimněte si, že protože plocha bočního povrchu kužele se rovná rozvojové ploše jeho bočního povrchu, pak

Plocha bočního povrchu kužele se tedy vypočítá podle vzorce S BSK = πRl.

Po výpočtu plochy bočního povrchu kuželového modelu pomocí vzorce odvozeného nezávisle zapíše zástupce každé skupiny výsledek výpočtů do tabulky na tabuli v souladu s čísly modelu. Výsledky výpočtu v každém řádku musí být stejné. Na základě toho učitel určí správnost závěrů každé skupiny. Tabulka výsledků by měla vypadat takto:

Parametry modelu:

1. l=12 cm, φ=120°
2. l=10 cm, φ=150°
3. l=15 cm, φ=120°
4. l=10 cm, φ=170°
5. l=14 cm, φ=110°

Aproximace výpočtů je spojena s chybami měření.

Po kontrole výsledků se na obrazovce objeví výstup vzorců pro plochy bočních a celkových ploch kužele. (snímky 22–26), studenti si vedou poznámky do sešitů.

Stupeň III. Konsolidace studovaného materiálu.

1) Studenti jsou nabízeni problémy pro ústní řešení na hotových výkresech.

Najděte plochy celých povrchů kuželů znázorněných na obrázcích (snímky 27–32).

2) Otázka: Jsou plochy povrchů kuželů vytvořené rotací jednoho pravoúhlého trojúhelníku o různých nohách stejné? Studenti vymyslí hypotézu a ověří ji. Hypotéza je testována řešením úloh a zapisována žákem na tabuli.

Vzhledem k tomu: AABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

ВАА", АВВ" – rotační tělesa.

Nalézt: S PPK 1, S PPK 2.

Obrázek 5. (snímek 33)

Řešení:

1) R=BC = a; S PPK 1 = S BSK 1 + S hlavní 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).

2) R=AC = b; S PPK 2 = S BSK 2 + S základ 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).

Pokud S PPK 1 = S PPK 2, pak a2+ac = b2 + bc, a2 - b2 + ac - bc = 0, (a-b) (a+b+c) = 0. Protože a, b, c – kladná čísla (délky stran trojúhelníku), rovnost platí pouze tehdy, když a =b.

Závěr: Plochy dvou kuželů jsou stejné, pouze pokud jsou strany trojúhelníku stejné. (snímek 34)

3) Řešení úlohy z učebnice: č. 565.

Stupeň IV. Shrnutí lekce.

Domácí úkol: odstavce 55, 56; č. 548, č. 561. (snímek 35)

Vyhlášení přidělených známek.

Závěry během hodiny, opakování hlavních informací získaných během hodiny.

Literatura (snímek 36)

1. Geometrie stupně 10–11 – Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev a kol., M., „Prosveshchenie“, 2008.
2. "Matematické hádanky a šarády" - N.V. Udaltsova, knihovna „První září“, řada „MATEMATIKA“, číslo 35, M., Chistye Prudy, 2010.

Zde jsou problémy s kužely, stav souvisí s jejich povrchem. Zejména v některých problémech jde o změnu plochy při zvětšování (snižování) výšky kužele nebo poloměru jeho základny. Teorie řešení problémů v . Zvažme následující úkoly:

27135. Obvod základny kužele je 3, tvořící čára je 2. Najděte plochu boční plochy kužele.

Boční plocha kužele se rovná:

Nahrazení údajů:

75697. Kolikrát se zvětší plocha bočního povrchu kužele, pokud se jeho tvořící čára zvětší 36krát a poloměr základny zůstane stejný?

Boční povrch kužele:

Tvořící čára se zvětší 36krát. Poloměr zůstává stejný, což znamená, že obvod základny se nezměnil.

To znamená, že boční plocha upraveného kužele bude mít tvar:

Zvýší se tedy 36krát.

*Vztah je přímočarý, takže tento problém lze snadno vyřešit ústně.

27137. Kolikrát se plocha bočního povrchu kužele zmenší, pokud se poloměr jeho základny zmenší 1,5krát?

Boční plocha kužele se rovná:

Poloměr se zmenší 1,5krát, to znamená:

Bylo zjištěno, že boční plocha se zmenšila 1,5krát.

27159. Výška kužele je 6, tvořící čára je 10. Najděte plochu jeho celkového povrchu dělenou Pi.

Celý kuželový povrch:

Musíte najít poloměr:

Výška a tvořící přímka jsou známé, pomocí Pythagorovy věty vypočítáme poloměr:

Tedy:

Výsledek vyděl pí a odpověď zapiš.

76299. Celková plocha kužele je 108. Paralelně se základnou kužele je nakreslen řez, který rozděluje výšku na polovinu. Najděte celkovou plochu odříznutého kužele.

Řez prochází středem výšky rovnoběžně se základnou. To znamená, že poloměr základny a tvořící čára odříznutého kužele budou 2krát menší než poloměr a tvořící čára původního kužele. Zapišme si povrchovou plochu odříznutého kužele:

Zjistili jsme, že to bude 4krát menší než povrch originálu, tedy 108:4 = 27.

*Protože původní a odříznutý kužel jsou podobná tělesa, bylo také možné použít vlastnost podobnosti:

27167. Poloměr základny kužele je 3 a výška je 4. Najděte celkovou plochu kužele dělenou pí.

Vzorec pro celkový povrch kužele:

Poloměr je znám, je nutné najít tvořící přímku.

Podle Pythagorovy věty:

Tedy:

Výsledek vyděl pí a odpověď zapiš.

Úkol. Plocha boční plochy kužele je čtyřikrát větší než plocha základny. Zjistěte, jaký je kosinus úhlu mezi tvořící přímkou ​​kužele a rovinou podstavy.

Plocha základny kužele je:

Tělesa rotace studovaná ve škole jsou válec, kužel a koule.

Pokud v problému na jednotné státní zkoušce z matematiky potřebujete vypočítat objem kužele nebo plochu koule, považujte se za šťastného.

Použijte vzorce pro objem a povrch válce, kužele a koule. Všechny jsou v naší tabulce. Učit se nazpaměť. Zde začíná znalost stereometrie.

Někdy je dobré nakreslit pohled shora. Nebo, jako v tomto problému, zdola.

2. Kolikrát je objem kužele opsaného kolem pravidelného čtyřbokého jehlanu větší než objem kužele vepsaného do tohoto jehlanu?

Je to jednoduché – nakreslete pohled zdola. Vidíme, že poloměr větší kružnice je krát větší než poloměr menší. Výšky obou kuželů jsou stejné. Proto bude objem většího kužele dvakrát větší.

Další důležitý bod. Pamatujeme si, že v úlohách části B Jednotné státní zkoušky z matematiky se odpověď zapisuje jako celé číslo nebo koncový desetinný zlomek. Proto by ve vaší odpovědi v části B nemělo být žádné nebo. Není třeba dosazovat ani přibližnou hodnotu čísla! Musí se rozhodně zmenšit! Právě za tímto účelem je v některých problémech úkol formulován například takto: „Najděte plochu boční plochy válce dělenou“.

Kde jinde se používají vzorce pro objem a povrch rotačních těles? Samozřejmě v problému C2 (16). Také vám o tom povíme.