Vzájemná poloha přímky a kružnice.
Připomeňme si důležitou definici – definici kruhu]
Definice:
Kružnice se středem v bodě O a poloměrem R je množina všech bodů roviny umístěných ve vzdálenosti R od bodu O.
Věnujme pozornost tomu, že kruh je množina každý body splňující popsanou podmínku. Podívejme se na příklad:
Body A, B, C, D čtverce jsou stejně vzdálené od bodu E, ale nejsou to kružnice (obr. 1).
Rýže. 1. Ilustrace například
V tomto případě je obrazec kruh, protože to vše je sada bodů stejně vzdálených od středu.
Spojíte-li libovolné dva body na kružnici, získáte tětivu. Tětiva procházející středem se nazývá průměr.
MB - akord; AB - průměr; MnB je oblouk, stahuje se MV tětivou;
Úhel se nazývá centrální.
Bod O je středem kružnice.
Rýže. 2. Ilustrace například
Tak jsme si připomněli, co je kruh a jeho hlavní prvky. Nyní přejdeme k uvažování vzájemné polohy kružnice a přímky.
Je dána kružnice se středem O a poloměrem r. Přímka P, vzdálenost od středu k přímce, tj. kolmá k OM, je rovna d.
Předpokládáme, že bod O neleží na přímce P.
Je-li dána kružnice a přímka, musíme najít počet společných bodů.
Případ 1 - vzdálenost od středu kruhu k přímce je menší než poloměr kruhu:
V prvním případě, kdy je vzdálenost d menší než poloměr kružnice r, leží bod M uvnitř kružnice. Od tohoto bodu vyneseme dva segmenty - MA a MB, jejichž délka bude . Známe hodnoty r a d, d je menší než r, což znamená, že výraz existuje a body A a B existují. Tyto dva body leží konstrukcí na přímce. Zkontrolujeme, zda leží na kruhu. Vypočítejme vzdálenost OA a OB pomocí Pythagorovy věty:
Rýže. 3. Ilustrace pro případ 1
Vzdálenost od středu ke dvěma bodům je rovna poloměru kružnice, takže jsme dokázali, že body A a B patří kružnici.
Body A a B tedy patří k přímce konstrukcí, patří do kružnice tím, co bylo prokázáno - kružnice a přímka mají dva společné body. Dokažme, že žádné další body neexistují (obr. 4).
Rýže. 4. Ilustrace pro důkaz
K tomu vezměte libovolný bod C na přímce a předpokládejte, že leží na kružnici - vzdálenost OS = r. V tomto případě je trojúhelník rovnoramenný a jeho medián ON, který se neshoduje s úsečkou OM, je výška. Dostaneme rozpor: dvě kolmice padají z bodu O na přímku.
Na přímce P s kružnicí tedy nejsou žádné další společné body. Dokázali jsme, že v případě, kdy je vzdálenost d menší než poloměr kružnice r, mají přímka a kružnice společné pouze dva body.
Případ dva - vzdálenost od středu kruhu k přímce se rovná poloměru kruhu (obr. 5):
Rýže. 5. Ilustrace pro případ 2
Připomeňme, že vzdálenost od bodu k přímce je délka kolmice, v tomto případě OH je kolmice. Protože podle podmínky je délka OH rovna poloměru kružnice, pak bod H patří kružnici, tedy bod H je společný přímce a kružnici.
Dokažme, že neexistují žádné další společné body. Protikladem: předpokládejme, že bod C na přímce patří kružnici. V tomto případě je vzdálenost OS rovna r, a pak OS je rovna OH. Ale v pravoúhlém trojúhelníku je přepona OC větší než větev OH. Máme rozpor. Předpoklad je tedy nepravdivý a neexistuje žádný jiný bod než H, který je společný přímce a kružnici. Dokázali jsme, že v tomto případě existuje pouze jeden společný bod.
Případ 3 - vzdálenost od středu kruhu k přímce je větší než poloměr kruhu:
Vzdálenost od bodu k přímce je délka kolmice. Z bodu O vedeme kolmici k přímce P, dostaneme bod H, který neleží na kružnici, protože OH je podle podmínky větší než poloměr kružnice. Dokažme, že žádný jiný bod na přímce neleží na kružnici. To je jasně vidět z pravoúhlého trojúhelníku, jehož přepona OM je větší než rameno OH, a proto větší než poloměr kružnice, takže bod M nepatří do kruhu, jako jakýkoli jiný bod na přímce. Dokázali jsme, že v tomto případě kružnice a přímka nemají společné body (obr. 6).
Rýže. 6. Ilustrace pro případ 3
Uvažujme teorém . Předpokládejme, že přímka AB má dva společné body s kružnicí (obr. 7).
Rýže. 7. Ilustrace k větě
Máme akord AB. Bod H je podle konvence středem tětivy AB a leží na průměru CD.
Je třeba prokázat, že v tomto případě je průměr kolmý k tětivě.
Důkaz:
Uvažujme rovnoramenný trojúhelník OAB, je rovnoramenný, protože .
Bod H je podle konvence středem tětivy, což znamená střed střednice AB rovnoramenného trojúhelníku. Víme, že medián rovnoramenného trojúhelníku je kolmý k jeho základně, což znamená, že je to výška: , takže je tedy dokázáno, že průměr procházející středem tětivy je na něj kolmý.
Spravedlivé a obrácená věta : je-li průměr kolmý k tětivě, pak prochází jejím středem.
Je dána kružnice se středem O, její průměr CD a tětiva AB. Je známo, že průměr je kolmý na tětivu, je třeba dokázat, že prochází jejím středem (obr. 8).
Rýže. 8. Ilustrace k větě
Důkaz:
Uvažujme rovnoramenný trojúhelník OAB, je rovnoramenný, protože . OH je podle konvence výška trojúhelníku, protože průměr je kolmý na tětivu. Výška v rovnoramenném trojúhelníku je zároveň mediánem, tedy AN = HB, což znamená, že bod H je středem tětivy AB, což znamená, že je dokázáno, že průměr kolmý k tětivě prochází jejím středem.
Přímou a obrácenou větu lze zobecnit následovně.
Teorém:
Průměr je kolmý k tětivě právě tehdy, když prochází jejím středem.
Takže jsme zvážili všechny případy vzájemné polohy přímky a kružnice. V další lekci se podíváme na tečnu ke kružnici.
Reference
- Alexandrov A.D. atd. Geometrie 8. tř. - M.: Vzdělávání, 2006.
- Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometrie 8. - M.: Vzdělávání, 2011.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometrie 8. třída. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.
- Edu.glavsprav.ru ().
- Webmath.exponenta.ru ().
- Fmclass.ru ().
Domácí úkol
Úkol 1. Najděte délky dvou segmentů tětivy, na které ji dělí průměr kružnice, je-li délka tětivy 16 cm a průměr je na ni kolmý.
Úkol 2. Uveďte počet společných bodů úsečky a kružnice, pokud:
a) vzdálenost od přímky ke středu kruhu je 6 cm a poloměr kruhu je 6,05 cm;
b) vzdálenost od přímky ke středu kruhu je 6,05 cm a poloměr kruhu je 6 cm;
c) vzdálenost od přímky ke středu kruhu je 8 cm a poloměr kruhu je 16 cm.
Úkol 3. Zjistěte délku tětivy, je-li průměr k ní kolmý a jeden ze segmentů odříznutých o průměr z ní je 2 cm.
Chcete-li používat náhledy prezentací, vytvořte si účet Google a přihlaste se k němu: https://accounts.google.com
Popisky snímků:
RELATIVNÍ POLOHA GEOMETRIE PŘÍMKY A KRUHU 8. stupeň podle učebnice L.A.Atanasjana
Kolik společných bodů si myslíte, že může mít přímka a kružnice? O
O Nejprve si připomeňme, jak definovat kružnici Kružnice (O, r) r – poloměr r A B AB – tětiva C D CD – průměr
Prozkoumejme vzájemnou polohu přímky a kružnice v prvním případě: d – vzdálenost od středu kružnice k přímce O A B N d
Druhý případ: O N r jeden společný bod d = r d – vzdálenost od středu kružnice k přímce d
Třetí případ: O H d r d > r d – vzdálenost od středu kruhu k přímce nemá žádné společné body
Kolik společných bodů může mít přímka a kružnice? d r dva společné body jeden společný bod nemá žádné společné body Pokud je vzdálenost od středu kružnice k přímce menší než poloměr kružnice, pak přímka a kružnice mají dva společné body. Pokud je vzdálenost od středu kružnice k přímce rovna poloměru kružnice, pak přímka a kružnice mají pouze jeden společný bod. Pokud je vzdálenost od středu kružnice k přímce větší než poloměr kružnice, pak přímka a kružnice nemají společné body.
Tečna ke kružnici Definice: Přímka, která má pouze jeden společný bod s kružnicí, se nazývá tečna ke kružnici a jejich společný bod se nazývá tečný bod přímky a kružnice. O s = r M m
Zjistěte vzájemnou polohu přímky a kružnice, jestliže: r = 15 cm, s = 11 cm r = 6 cm, s = 5,2 cm r = 3,2 m, s = 4,7 m r = 7 cm, s = 0,5 dm r = 4 cm, s = 4 0 mm přímka - sečna - sečna žádné společné body přímka - sečna - tečna
Vlastnost tečna: Tečna ke kružnici je kolmá k poloměru nakreslenému k bodu tečnosti. m – tečna ke kružnici se středem O M – bod dotyku OM - poloměr O M m
Vlastnost tečen procházejících jedním bodem: ▼ Vlastností tečny ∆ ABO, ∆ ACO–pravoúhlý ∆ ABO= ∆ ACO–podle přepony a ramene: OA – obecná, OB=OS – poloměry AB=AC a ▲ O BCA A 1 2 3 4 Úsečky tečen ke kružnici nakreslené z jednoho bodu jsou stejné a svírají stejné úhly s přímkou procházející tímto bodem a středem kružnice.
Test tečny: Pokud přímka prochází koncem poloměru ležícího na kružnici a je kolmá k poloměru, pak je tečnou. kružnice se středem O poloměru OM m – přímka, která prochází bodem M a m – tečna O M m
Řešte č. 633. Dáno: OABC- čtverec AB = 6 cm Kružnice se středem O o poloměru 5 cm Najděte: sečny z přímek OA, AB, BC, AC O A B C O
Řešte č. 638, 640. d/z: naučte se noty, č. 631, 635
K tématu: metodologický vývoj, prezentace a poznámky
Cíl: upevnit schopnost určit vzájemnou polohu přímky a roviny, otestovat dovednosti při řešení problémů a pěstovat smysl pro týmovou práci. ...
relativní poloha přímky a kružnice. 8. třída.
Prezentace obsahuje čtyři ústní úlohy řešené pomocí hotových výkresů. Cíl: připravit studenty na učení nové látky....
Vzájemná poloha přímky a kružnice. Vzájemná poloha dvou kružnic.
Shrnutí a prezentace k lekci na téma "Vzájemná poloha přímky a kružnice. Vzájemná poloha dvou kružnic." Hodina v 6. ročníku s využitím učebnice "Matematika - 6" vyd. G.V. Dorofejev, já...
Vezměme libovolnou kružnici se středem v bodě O a přímkou a.
Pokud přímka a prochází bodem O, protne danou kružnici ve dvou bodech K a L, což jsou konce průměru ležící na přímce a.
Pokud středem O kružnice neprochází přímka a, pak provedeme pomocnou konstrukci a nakreslíme přímku Ó kolmo k přímce A a označte výslednou vzdálenost od středu kruhu k přímce A variabilní rasstoyanie. Určíme, kolik společných bodů bude mít úsečka A a kruhy v závislosti na vztahu mezi proměnnou rasstoyanie a poloměr.
Mohou existovat 3 možnosti:
- rasstoyanie < poloměr. V tomto případě jde o pointu H bude ležet uprostřed kruhu, který je daným kruhem omezen.
Položme segment na přímku HD = radius.
V OHD přepona O.D. více noha HD, Proto OD > radius. Proto bod D leží za kružnicí ohraničenou danou kružnicí. Takže jeden konec segmentu HD je uprostřed kruhu a druhý je mimo kruh. Tedy na segmentu HD můžete označit bod A, který leží na kruhu, tzn OA = radius.
Prodlužme paprsek H.A. a vložte na něj segment BH, což se rovná segmentu AN.
Obdržel 2 pravoúhlé trojúhelníky OHA A OHB, které jsou stejné na dvou nohách. Pak jsou jejich odpovídající strany stejné: OB = OA = r. Proto, B je také společným bodem kružnice a přímky. Protože 3 body kružnice nemohou ležet na stejné přímce, pak další společné body přímky A a kruhy neexistují.
Pokud je tedy vzdálenost mezi středem kruhu a přímkou menší než poloměr kruhu ( rasstoyanie < r
adius), pak mají přímka a kružnice 2 společné body.
- rasstoyanie= radius . Protože OH = radius, pak bod H patří ke kružnici a je tedy společným bodem pro přímku A a kruhy.
Pro jakékoli další body na lince A(například body a M) šikmé OM více segmentu Ó, to je OM > OH = radius, a tedy pointa M nepatří do daného okruhu.
Pokud je tedy vzdálenost mezi středem kruhu a přímkou rovna poloměru kruhu ( rasstoyanie= radius), pak mají přímka a kružnice pouze jeden společný bod.
- rasstoyanie>radius . Protože OH > poloměr, pak pro libovolné body úsečky A(například body M) nerovnost platí OM > OH > radius. Takže pointa M nepatří do kruhu.
Pokud je tedy vzdálenost mezi středem kruhu a přímkou větší než poloměr kruhu ( rasstoyanie>radius), pak přímka a kružnice nemají společné body.
Studijní list
na téma „Vzájemná poloha přímky a kružnice. Relativní poloha dvou kruhů"
(3 hodiny)
VĚDĚT: | MOCI: |
|
Podmínky vzájemné polohy přímky a kružnice; Určení sečny a tečny ke kružnici; Vlastnosti tečny ke kružnici; Věta o kolmosti průměru a tětivy a její obrácení; Podmínky pro vzájemnou polohu dvou kružnic; Definice soustředných kružnic. | Nakreslete tečnu ke kružnici; Při řešení úloh využít vlastnosti tečny; Řešit úlohy pomocí věty o kolmosti průměru a tětivy; Řešte úlohy o podmínkách vzájemné polohy přímky a kružnice a dvou kružnic. |
V důsledku studia tématu potřebujete:
Literatura:
2. Geometrie. 7. třída. , . Almaty "Atamura". 2012
3. Geometrie. 7. třída. Metodická příručka. . Almaty "Atamura". 2012
4. Geometrie. 7. třída. Didaktický materiál. . Almaty "Atamura". 2012
5. Geometrie. 7. třída. Sbírka úkolů a cvičení. , . Almaty "Atamura". 2012
Získat znalosti je odvaha,
Rozmnožit je je moudrost,
A dovedně je aplikovat je velké umění.
Pamatujte, že musíte pracovat podle algoritmu.
Nezapomeňte projít kontrolou, udělat si poznámky na okraje a vyplnit hodnotící list tématu.
Nenechávejte prosím žádné otázky, které jste nezodpověděli.
Buďte objektivní při vzájemném hodnocení, pomůže to vám i osobě, kterou recenzujete.
Přeji vám úspěch!
ÚKOL 1
1) Zvažterelativní poloha přímky a kružnice a vyplňte tabulku (3b):
Případ 1: Přímka nemá jediný společný bod s kružnicí (neprotínají se)
A https://pandia.ru/text/80/248/images/image002_86.gif" width="41" height="20">
Případ 2 : Přímka a kružnice mají pouze jeden společný bod (dotýkají se)
https://pandia.ru/text/80/248/images/image002_86.gif" width="41" height="20">
Případ 3: Přímka má dva společné body s kružnicí (protínající se)
https://pandia.ru/text/80/248/images/image005_61.gif" width="45" height="17">
2) Přečtěte si definice, věty, důsledky a naučte se je (5b):
Definice: Přímka, která má dva body společné s kružnicí, se nazývá sečna
Definice : Říká se přímka, která má pouze jeden společný bod s kružnicí a je kolmá na poloměr tečnou ke kružnici.
https://pandia.ru/text/80/248/images/image007_19.jpg" align="left" width="127" height="114 src="> Důsledek 4: Pokud je vzdálenost od středu kružnice k přímce větší než poloměr kružnice, pak přímka kružnici neprotíná.
Věta 4:
Úseky tečen ke kružnici nakreslené z jednoho bodu jsou stejné a svírají stejné úhly s přímkou procházející tímto bodem a středem kružnice.
3) Odpovězte na otázky (3b):
1) Jak lze v rovině umístit přímku a kružnici?
2) Může mít přímka tři body společné s kružnicí?
3) Jak nakreslíte tečnu ke kružnici přes bod ležící na kružnici?
4) Kolik tečen lze nakreslit ke kružnici přes bod:
a) ležící na kruhu;
b) ležící uvnitř kruhu;
c) ležící mimo kruh?
5) Je dána kružnice ω (O; r) a bod A ležící uvnitř kružnice. Kolik průsečíků bude: a) přímka OA; b) nosník OA; c) segment OA?
6) Jak rozdělit tětivu kruhu na polovinu?
PROJÍT KONTROLU Č. 1
ÚKOL 2
1) Přečtěte si text a prohlédněte si obrázky. Nakreslete si do sešitu, zapište si své závěry a naučte se je (3b):
Uvažujme možné případy vzájemného uspořádání dvou kruhů. Vzájemná poloha dvou kružnic souvisí se vzdáleností mezi jejich středy.
Protínající se kruhy:
dva kruhy protínat, pokud mají dva společné body. Nechat R1
A R2
– poloměry kružnic ω
1
A ω
2
, d
Kruhy ω1
A ω2
protínají právě tehdy, když čísla R1, R 2, d
jsou délky stran určitého trojúhelníku, tj. splňují všechny trojúhelníkové nerovnosti:
R1 + R2> d, R1+ d> R2, R 2 + d> R1.
Závěr:Li R1 + R2> d nebo|R1−R2| < d, pak se kružnice protnou ve dvou bodech.
Tečné kruhy: dva kruhy znepokojení, pokud mají jeden společný bod. Mít společnou tečnu A. Nechat R1 A R2 – poloměry kružnic ω 1 A ω 2 , d – vzdálenost mezi jejich středy.
Kruhy se dotýkají navenek, pokud se nacházejí
|
|
mimo sebe. Při vnějším dotyku leží středy kružnic na opačných stranách jejich společné tečny. Kruhy ω1
A ω2
dotýkat se zevně tehdy a jen tehdy R1+ R2= d.
Kruhy se dotýkají vnitřně, pokud se jeden z nich nachází uvnitř druhého. Při vnějším dotyku leží středy kružnic na jedné straně jejich společné tečny. Kruhy ω1
A ω2
dotknout se vnitřně tehdy a jen tehdy |R1−R2|=d.
Závěr:Li R1 + R2 = d nebo|R1−R2|=d , pak se kružnice dotýkají v jednom společném bodě ležícím na přímce procházející středy kružnic.
Nesouvislé kruhy: dva kruhy neprotínají se pokud oni nemají žádné společné body. V tomto případě jeden z nich leží uvnitř druhého, nebo leží mimo sebe.
Nechat R1
A R2
– poloměry kružnic ω
1
A ω
2
, d
– vzdálenost mezi jejich středy.
Kruh ω 1 A ω2 jsou umístěny mimo sebe tehdy a jen tehdy R1 + R2 < d . Kruh ω1 leží uvnitř ω2 tehdy a jen kdy |R1−R2| > d .
Závěr:Li R1 + R2< d nebo|R1−R2| > d, pak se kružnice neprotínají.
Testovací práce" href="/text/category/proverochnie_raboti/" rel="bookmark">testovací práce č. 1.
ÚKOL 4
1) Rozhodněte se, zda zvolíte sudé nebo liché problémy (2b.):
1. Uveďte počet společných bodů přímky a kružnice, pokud:
a) vzdálenost od přímky ke středu kruhu je 6 cm a poloměr kruhu je 7 cm;
b) vzdálenost od přímky ke středu kruhu je 7 cm a poloměr kruhu je 6 cm;
c) vzdálenost od přímky ke středu kruhu je 8 cm a poloměr kruhu je 8 cm.
2. Určete vzájemnou polohu přímky a kružnice, pokud:
1. R = 16 cm, d = 12 cm; 2. R = 8 cm, d = 1,2 dm; 3. R=5 cm, d=50 mm
3. Jaká je vzájemná poloha kruhů, pokud:
d = 1 dm, R1 = 0,8 dm, R2 = 0,2 dm
d = 40 cm, R1 = 110 cm, R2 = 70 cm
d = 12 cm, R1 = 5 cm, R2 = 3 cm
d = 15 dm, R1 = 10 dm, R2 = 22 cm
4. Uveďte počet bodů interakce dvou kružnic podle poloměru a podle vzdálenosti mezi středy:
a) R = 4 cm, r = 3 cm, 001 = 9 cm; b) R = 10 cm, r = 5 cm, OO1 = 4 cm
c) R = 4 cm, r = 3 cm, 001 = 6 cm; d) R = 9 cm, r = 7 cm, OO1 = 4 cm.
1. Najděte délky dvou segmentů tětivy, na které ji dělí průměr kružnice, je-li délka tětivy 16 cm a průměr je k ní kolmý.
2. Zjistěte délku tětivy, je-li průměr k ní kolmý a jeden ze segmentů odříznutých o průměr z ní je 2 cm.
3) Dokončete výběr sudých nebo lichých konstrukčních úkolů (2b):
1. Sestrojte dvě kružnice o poloměrech 2 cm a 4 cm, jejichž středy jsou vzdáleny nula.
2. Nakreslete dva kruhy o různých poloměrech (3 cm a 2 cm) tak, aby se dotýkaly. Označte vzdálenost mezi jejich středy úsečkou. Zvažte své možnosti.
3. Sestrojte kružnici o poloměru 3 cm a přímku umístěnou ve vzdálenosti 4 cm od středu kružnice.
4. Sestrojte kružnici o poloměru 4 cm a přímku umístěnou ve vzdálenosti 2 cm od středu kružnice.
PROJÍT KONTROLA Č. 4
ÚKOL 5
Dobrá práce! Můžete začít zkušební práce č.2.
ÚKOL 6
1) Najděte ve výroku chybu a opravte ji s odůvodněním svého názoru. Vyberte libovolná dvě tvrzení (4b.): A) Dva kruhy se dotýkají externě. Jejich poloměry se rovnají R = 8 cm a r = 2 cm, vzdálenost mezi středy je d = 6.
B) Dva kruhy mají společné alespoň tři body.
B) R = 4, r = 3, d = 5. Kružnice nemají společné body.
D) R = 8, r = 6, d = 4. Menší kruh se nachází uvnitř většího.
D) Dva kruhy nelze umístit tak, aby jeden byl uvnitř druhého.
2) Rozhodněte se, zda zvolit sudé nebo liché problémy (66.):
1. Dva kruhy se navzájem dotýkají. Poloměr většího kruhu je 19 cm a poloměr malého kruhu je o 4 cm menší. Najděte vzdálenost mezi středy kruhů.
2. Dva kruhy se navzájem dotýkají. Poloměr většího kruhu je 26 cm a poloměr malého kruhu je 2krát menší. Najděte vzdálenost mezi středy kruhů.
3. Vezměte dva body D A F aby DF = 6 cm. Nakreslete dva kruhy (D, 2 cm) A (F, 3 cm). Jak jsou tyto dva kruhy umístěny ve vzájemném vztahu? Udělejte závěr.
4. Vzdálenost mezi body A A V rovná se 7 cm Nakreslete kružnice se středy v bodech A A V, poloměry rovné 3 cm A 4 cm. Jak jsou kruhy uspořádány? Udělejte závěr.
5. Mezi dvěma soustřednými kruhy o poloměrech 4 cm a 8 cm je umístěn třetí kruh tak, aby se dotýkal prvních dvou kruhů. Jaký je poloměr tohoto kruhu?
6. Kružnice, jejichž poloměry jsou 6 cm a 2 cm, se protínají. Navíc větší kruh prochází středem menšího kruhu. Najděte vzdálenost mezi středy kruhů.
PROSPĚL TESTEM #6
Testovací práce č.1
Vyberte si jednu z možností testu a vyřešte (10 otázek, 1 bod za každou):
1 možnost A) akord; B) průměr; C) sečna; D) tečna. 2. Bodem ležícím na kružnici můžete nakreslit ...... tečny A) jeden; B) dva; 3. Pokud je vzdálenost od středu kružnice k přímce menší než délka poloměru kružnice, pak přímka... D) není správná odpověď. 4. Je-li vzdálenost od středu kružnice k přímce větší než poloměr kružnice, pak přímka... A) se dotýká kruhu v jednom bodě; B) protíná kružnici ve dvou bodech; C) neprotíná se s kružnicí; D) není správná odpověď. 5. Kruhy se neprotínají ani nedotýkají, pokud... A) R1+ R2= d; V) R1+ R2< d; S) R1+ R2> d; D) d = 0. 6. Tečna a poloměr nakreslené v bodě tečnosti... A) paralelní; B) kolmé; C) shodují se; D) není správná odpověď. 7. Kruhy se dotýkají vně. Poloměr menšího kruhu je 3 cm, poloměr většího kruhu je 5 cm Jaká je vzdálenost mezi středy? 8. Jaká je vzájemná poloha dvou kružnic, je-li vzdálenost mezi středy 4 a poloměry 11 a 7: 9. Co lze říci o vzájemné poloze přímky a kružnice, je-li průměr kružnice 7,2 cm a vzdálenost středu kružnice k přímce je 0,4 dm: 10. Je dána kružnice se středem O a bodem A. Kde se nachází bod A, je-li poloměr kružnice 7 cm a délka úsečky OA 70 mm? A) uvnitř kruhu; B) na kruhu. C) mimo kruh; D) není správná odpověď. | Možnost 2 1. Přímka, která má pouze jeden společný bod s kružnicí a je kolmá na poloměr, se nazývá... A) akord; B) průměr; C) sečna; D) tečna. 2. Z bodu, který neleží na kružnici, můžete nakreslit ...... tečny ke kružnici A) jeden; B) dva; C) žádný; D) není správná odpověď. 3. Pokud je vzdálenost od středu kruhu k přímce rovna poloměru kruhu, pak přímka A) se dotýká kruhu v jednom bodě; B) protíná kružnici ve dvou bodech; C) neprotíná se s kružnicí; D) není správná odpověď. 4. Kružnice se protínají ve dvou bodech, pokud... A) R1+ R2= d; V) R1+ R2< d; S) R1+ R2> d; D) d = 0 . 5. Kruhy se dotýkají v jednom bodě, pokud... A) R1+ R2= d; V) R1+ R2< d; S) R1+ R2> d; D) d = 0 . 6. Kruhy se nazývají soustředné, pokud... A) R1+ R2= d; V) R1+ R2< d; S) R1+ R2> d; D) d = 0 . 7. Kruhy se vnitřně dotýkají. Poloměr menší kružnice je 3 cm Poloměr větší kružnice je 5 cm Jaká je vzdálenost středů kružnic? A) 8 cm; B) 2 s m; C) 15 cm; D) 3 cm. 8. Jaká je vzájemná poloha dvou kružnic, jestliže vzdálenost mezi středy je 10 a poloměry jsou 8 a 2: A) vnější dotyk; B) vnitřní dotyk; C) protínají se; D) neprotínají se. 9. Co lze říci o vzájemné poloze přímky a kružnice, je-li průměr kružnice 7,2 cm a vzdálenost od středu kružnice k přímce je 3,25 cm: A) dotyk; B) neprotínají se. C) protínají se; D) není správná odpověď. 10. Je dána kružnice se středem O a bodem A. Kde se nachází bod A, je-li poloměr kružnice 7 cm a délka úsečky OA 4 cm? A) uvnitř kruhu; B) na kruhu. C) mimo kruh; D) není správná odpověď. |
Hodnocení: 10 bodů. – „5“, 9 – 8 b. – „4“, 7 – 6 b. – „3“, 5 b. a níže – „2“
Testovací práce č. 2
1) Vyplňte tabulku. Vyberte jednu z možností (6b):
a) relativní poloha dvou kruhů:
b) vzájemná poloha přímky a kružnice:
2) Vyřešte jeden problém na výběr (2b.):
1. Najděte délky dvou segmentů tětivy, na které se dělí její průměr kruhu, je-li délka tětivy 0,8 dm a průměr je na ni kolmý.
2. Zjistěte délku tětivy, je-li průměr k ní kolmý a jeden ze segmentů odříznutých o průměr z ní je roven 0,4 dm.
3) Vyřešte jeden problém dle svého výběru (2b):
1. Sestrojte kružnice, jejichž vzdálenost mezi jejich středy je menší než rozdíl jejich poloměrů. Označte vzdálenost mezi středy kruhu. Udělejte závěr.
2. Sestrojte kružnice, jejichž vzdálenost středů se rovná rozdílu poloměrů těchto kružnic. Označte vzdálenost mezi středy kruhu. Udělejte závěr.
Hodnocení: 10 - 9 bodů. – „5“, 8 - 7 b. – „4“, 6 - 5 b. – „3“, 4b. a níže – „2“
Didaktický cíl: utváření nových znalostí.
Cíle lekce.
Vzdělávací:
- tvořit matematické pojmy: tečnu ke kružnici, relativní polohu přímky a kružnice, dosáhnout toho, aby studenti pochopili a reprodukovali tyto pojmy prostřednictvím praktické výzkumné práce.
Úspora zdraví:
- vytváření příznivého psychologického klimatu ve třídě;
Vzdělávací:
- rozvíjet u žáků kognitivní zájem, schopnost vysvětlovat, shrnout získané výsledky, porovnávat, porovnávat a vyvozovat závěry.
Vzdělávací:
- výchova osobní kultury pomocí matematiky.
Formy školení:
- obsah - konverzace, praktická práce;
- v organizování činností – individuální, frontální.
Plán lekce
| Bloky | Kroky lekce |
| 1 blok | Organizační moment. Příprava na osvojení nové látky prostřednictvím opakování a aktualizace základních znalostí. |
| 2 blok | Stanovení cíle. |
| 3 blok | Seznámení s novým materiálem. Praktická výzkumná práce. |
| 4 blok | Konsolidace nového materiálu prostřednictvím řešení problémů |
| 5 blok | Odraz. Provádění práce podle hotového výkresu. |
| 6 blok | Shrnutí lekce. |
Nastavení domácího úkolu.
- Zařízení:
- počítač, plátno, projektor;
podkladový materiál.
Vzdělávací zdroje:
1. Matematika. Učebnice pro 6. ročník všeobecně vzdělávacích institucí; / G.V.Dorofeev, M., Vzdělávání, 2009
2. Marková V.I. Vlastnosti výuky geometrie v kontextu implementace státního vzdělávacího standardu: metodická doporučení, Kirov, 2010.
3. Atanasyan L.S. Učebnice „Geometrie 7-9“.
| Postup lekce 1. Organizační moment. |
Příprava na osvojení nové látky prostřednictvím opakování a aktualizace základních znalostí. Zdravím studenty. Informuje o tématu lekce. |
Zjistí, jaké asociace vznikají se slovem „kruh“ Zapište si datum a téma lekce do sešitu. |
| Odpovězte na otázku učitele. | 2. Stanovení cíle lekce | Shrnuje cíle formulované studenty, stanovuje cíle hodiny |
| Formulujte cíle lekce. | 3. Seznámení s novým materiálem. Organizuje konverzaci, žádá, aby pomocí modelů ukázal, jak lze umístit kruh a přímku. Organizuje praktickou práci. |
Organizuje práci s učebnicí. Odpovězte na otázky učitele. Dělají praktickou práci a vyvozují závěry. |
| Pracují s učebnicí, najdou závěr a porovnají ho se svým. | 4. Primární porozumění, upevnění prostřednictvím řešení problémů. Organizuje práci podle hotových výkresů. Práce s učebnicí: str. 103 č. 498, č. 499. |
Řešení problémů Řeší problémy a komentují. |
| 5. Reflexe. Provedení práce dle hotového výkresu | Dává pokyn k provedení práce. | Dokončete úkol samostatně. Autotest. Shrnutí. |
| 6. Shrnutí. Nastavení domácího úkolu | Studenti jsou požádáni, aby analyzovali shluk sestavený na začátku lekce a upravili jej s ohledem na získané znalosti. | Shrnutí. Studenti se obracejí na stanovené cíle, analyzují výsledky: co nového se naučili, co se naučili v lekci |
1. Organizační moment. Aktualizace znalostí.
Učitel vyhlásí téma hodiny. Zjistí, jaké asociace vznikají se slovem „kruh“.
Jaký je průměr kruhu, pokud je poloměr 2,4 cm?
Jaký je poloměr, je-li průměr 6,8 cm?
2. Stanovení cíle.
Studenti si stanoví cíle hodiny, učitel je shrne a stanoví cíle hodiny.
Na lekci je sestaven program aktivit.
3. Seznámení s novým materiálem.
1) Práce s modely: „Ukažte na modelech, jak lze v rovině umístit přímku a kružnici.“
Kolik bodů mají společných?
2) Provádění praktických výzkumných prací.
Cíl. Stanovte vlastnost vzájemné polohy přímky a kružnice.
Vybavení: kruh nakreslený na listu papíru a tyčka jako přímka, pravítko.
- Na výkresu (na listu papíru) stanovte vzájemnou polohu kružnice a přímky.
- Změřte poloměr kružnice R a vzdálenost od středu kružnice k přímce d.
- Výsledky studie zaznamenejte do tabulky.
| Výkres | Vzájemné postavení | Počet společných bodů | Poloměr kruhu R | Vzdálenost od středu kruhu k přímce d | Porovnejte R a d |
4. Udělejte závěr o vzájemné poloze přímky a kružnice v závislosti na poměru R a d.
Závěr: Pokud je vzdálenost od středu kružnice k přímce rovna poloměru, přímka se dotýká kružnice a má s kružnicí jeden společný bod. Pokud je vzdálenost od středu kružnice k přímce větší než poloměr, kružnice a přímka nemají společné body. Pokud je vzdálenost od středu kružnice k přímce menší než poloměr, přímka kružnici protíná a má s ní dva společné body.
5. Primární porozumění, upevnění prostřednictvím řešení problémů.
1) Zadání učebnic: č. 498, č. 499.
2) Určete vzájemnou polohu přímky a kružnice, pokud:
- 1. R=16cm, d=12cm
- 2. R = 5 cm, d = 4,2 cm
- 3. R = 7,2 dm, d = 3,7 dm
- 4. R=8 cm, d=1,2dm
- 5. R=5 cm, d=50 mm
a) přímka a kružnice nemají společné body;
b) přímka je tečnou ke kružnici;
c) přímka protíná kružnici.
- d je vzdálenost od středu kružnice k přímce, R je poloměr kružnice.
3) Co lze říci o vzájemné poloze přímky a kružnice, je-li průměr kružnice 10,3 cm a vzdálenost od středu kružnice k přímce je 4,15 cm; 2 dm; 103 mm; 5,15 cm, 1 dm 3 cm.
4) Je dána kružnice se středem O a bodem A. Kde se nachází bod A, je-li poloměr kružnice 7 cm a délka úsečky OA je: a) 4 cm; b) 10 cm; c) 70 mm.
6. Reflexe
Co jste se v lekci naučili?
Jaký vzorec byl zaveden?
Dokončete následující úkol na kartách:
Nakreslete rovné čáry přes každé dva body. Kolik společných bodů má každá přímka s kružnicí?
Přímka ______ a kružnice nemají žádné společné body.
Přímka ______ a kružnice mají pouze jeden ___________ bod.
Přímky ______, _______, ________, _______ a kružnice mají dva společné body.
7. Shrnutí. Nastavení domácího úkolu:
1) analyzovat shluk sestavený na začátku lekce, upravit jej s ohledem na získané znalosti;
2) učebnice: č. 500;
3) vyplňte tabulku (na kartách).
| Poloměr kruhu | 4 cm | 6,2 cm | 3,5 cm | 1,8 cm | ||
| Vzdálenost od středu kruhu k přímce | 7 cm | 5,12 cm | 3,5 cm | 9,3 cm | 8,25 m | |
| Závěr o vzájemné poloze kružnice a přímky | Rovně protíná kruh |
Rovně se dotýká kruhu |
Rovně neprotíná kruh |
