Основное свойство дроби: формулировка, доказательство, примеры применения. Основное свойство дроби, формулировка, доказательство, примеры применения Основное свойство обыкновенной дроби сокращение дробей

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Обыкновенная (или простая ) дробь - запись рационального числа в виде ± m n {\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}} или ± m / n , {\displaystyle \pm m/n,} где n ≠ 0. {\displaystyle n\neq 0.} Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель - знаменателем .

  Обозначения обыкновенных дробей

  Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

  Правильные и неправильные дроби

  Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной , и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.

  Например, дроби 3 5 {\displaystyle {\frac {3}{5}}} , 7 8 {\displaystyle {\frac {7}{8}}} и - правильные дроби, в то время как 8 3 {\displaystyle {\frac {8}{3}}} , 9 5 {\displaystyle {\frac {9}{5}}} , 2 1 {\displaystyle {\frac {2}{1}}} и 1 1 {\displaystyle {\frac {1}{1}}} - неправильные дроби. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

  Смешанные дроби

  Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой .

  Например, 2 3 7 = 2 + 3 7 = 14 7 + 3 7 = 17 7 {\displaystyle 2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}} . В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь, а также из-за более громоздкой записи и менее удобных вычислений.

  Составные дроби

  Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже - наклонных) черт:

  1 2 / 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{2}}/{\frac {1}{3}}} или 1 / 2 1 / 3 {\displaystyle {\frac {1/2}{1/3}}} или 12 3 4 26 {\displaystyle {\frac {12{\frac {3}{4}}}{26}}}

  Десятичные дроби

  Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:

  ± a 1 a 2 … a n , b 1 b 2 … {\displaystyle \pm a_{1}a_{2}\dots a_{n}{,}b_{1}b_{2}\dots }

  Пример: 3,141 5926 {\displaystyle 3{,}1415926} .

  Часть записи, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой - дробной частью . Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью .

  Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева).

  Значение дроби и основное свойство дроби

  Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

  0 , 999... = 1 {\displaystyle 0,999...=1} - две разные дроби соответствуют одному числу.

  Действия с дробями

  В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь .

  Приведение к общему знаменателю

  Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести ) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} и c d {\displaystyle {\frac {c}{d}}} . Порядок действий:

  После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны M ). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве M любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.

  Сравнение

  Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.

  Пример. Сравниваем 3 4 {\displaystyle {\frac {3}{4}}} и 4 5 {\displaystyle {\frac {4}{5}}} . НОК(4, 5) = 20. Приводим дроби к знаменателю 20.

  3 4 = 15 20 ; 4 5 = 16 20 {\displaystyle {\frac {3}{4}}={\frac {15}{20}};\quad {\frac {4}{5}}={\frac {16}{20}}}

  Следовательно, 3 4 < 4 5 {\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}}

  Сложение и вычитание

  Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:
  

  1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} + = + = 5 6 {\displaystyle {\frac {5}{6}}}

  НОК знаменателей (здесь 2 и 3) равно 6. Приводим дробь 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} к знаменателю 6, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 3.
  Получилось 3 6 {\displaystyle {\frac {3}{6}}} . Приводим дробь 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на 2. Получилось 2 6 {\displaystyle {\frac {2}{6}}} .
  Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:
  

  1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} - = - 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} = 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}}

  НОК знаменателей (здесь 2 и 4) равно 4. Приводим дробь 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} к знаменателю 4, для этого надо числитель и знаменатель умножить на 2. Получаем 2 4 {\displaystyle {\frac {2}{4}}} .

  Умножение и деление

  Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

  a b ⋅ c d = a c b d . {\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.}

  В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:

  2 3 ⋅ 3 = 6 3 = 2 {\displaystyle {\frac {2}{3}}\cdot 3={\frac {6}{3}}=2}

  В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:

  5 8 ⋅ 2 5 = 10 40 = 1 4 . {\displaystyle {\frac {5}{8}}\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {10}{40}}={\frac {1}{4}}.}

  Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую на дробь, обратную второй:

  a b: c d = a b ⋅ d c = a d b c , c ≠ 0. {\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}},\quad c\neq 0.}

  Например,

  1 2: 1 3 = 1 2 ⋅ 3 1 = 3 2 . {\displaystyle {\frac {1}{2}}:{\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{1}}={\frac {3}{2}}.}

  Преобразование между разными форматами записи

  Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной

  Долей единицы и представляется в виде \frac{a}{b} .

  Числитель дроби (a) — число, находящееся над чертой дроби и показывающее количество долей, на которые была поделена единица.

  Знаменатель дроби (b) — число, находящееся под чертой дроби и показывающее на сколько долей поделили единицу.

  Скрыть Показать

  Основное свойство дроби

  Если ad=bc , то две дроби \frac{a}{b} и \frac{c}{d} считаются равными. К примеру, равными будут дроби \frac35 и \frac{9}{15} , так как 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac{12}{7} и \frac{24}{14} , так как 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

  Из определения равенства дробей следует, что равными будут дроби \frac{a}{b} и \frac{am}{bm} , так как a(bm)=b(am) — наглядный пример применения сочетательного и переместительного свойств умножения натуральных чисел в действии.

  Значит \frac{a}{b} = \frac{am}{bm} — так выглядит основное свойство дроби .

  Другими словами, мы получим дробь, равную данной, умножив или разделив числитель и знаменатель исходной дроби на одно и то же натуральное число.

  Сокращение дроби — это процесс замены дроби, при котором новая дробь получается равной исходной, но с меньшим числителем и знаменателем.

  Сокращать дроби принято, опираясь на основное свойство дроби.

  Например, \frac{45}{60}=\frac{15}{20} (числитель и знаменатель делится на число 3 ); полученную дробь снова можно сократить, разделив на 5 , то есть \frac{15}{20}=\frac 34 .

  Несократимая дробь — это дробь вида \frac 34 , где числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Основная цель сокращения дроби — сделать дробь несократимой.

  Приведение дробей к общему знаменателю

  Возьмем в качестве примера две дроби: \frac{2}{3} и \frac{5}{8} с разными знаменателями 3 и 8 . Для того, чтобы привести данные дроби к общему знаменателю и сначала перемножим числитель и знаменатель дроби \frac{2}{3} на 8 . Получаем следующий результат: \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24} . Затем умножаем числитель и знаменатель дроби \frac{5}{8} на 3 . Получаем в итоге: \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24} . Итак, исходные дроби приведены к общему знаменателю 24 .

  Арифметические действия над обыкновенными дробями

  Сложение обыкновенных дробей

  а) При одинаковых знаменателях числитель первой дроби складывают с числителем второй дроби, оставляя знаменатель прежним. Как видно на примере:

  \frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b} ;

  б) При разных знаменателях дроби сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют сложение числителей по правилу а) :

  \frac{7}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7 \cdot 4}{3}+\frac{1 \cdot 3}{4}=\frac{28}{12}+\frac{3}{12}=\frac{31}{12} .

  Вычитание обыкновенных дробей

  а) При одинаковых знаменателях из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, оставляя знаменатель прежним:

  \frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b} ;

  б) Если же знаменатели дробей различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем повторяют действия как в пункте а) .

  Умножение обыкновенных дробей

  Умножение дробей подчиняется следующему правилу:

  \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{a \cdot c}{b \cdot d} ,

  то есть перемножают отдельно числители и знаменатели.

  Например:

  \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{8} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 8}=\frac{12}{40} .

  Деление обыкновенных дробей

  Деление дробей производят следующим способом:

  \frac{a}{b} : \frac{c}{d}= \frac{ad}{bc} ,

  то есть дробь \frac{a}{b} умножается на дробь \frac{d}{c} .

  Пример: \frac{7}{2} : \frac{1}{8}=\frac{7}{2} \cdot \frac{8}{1}=\frac{7 \cdot 8}{2 \cdot 1}=\frac{56}{2} .

  Взаимно обратные числа

  Если ab=1 , то число b является обратным числом для числа a .

  Пример: для числа 9 обратным является \frac{1}{9} , так как 9 \cdot \frac{1}{9}=1 , для числа 5 — \frac{1}{5} , так как 5 \cdot \frac{1}{5}=1 .

  Десятичные дроби

  Десятичной дробью называется правильная дробь, знаменатель которой равен 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .

  Например: \frac{6}{10}=0,6;\enspace \frac{44}{1000}=0,044 .

  Таким же способом пишутся неправильные со знаменателем 10^n или смешанные числа.

  Например: 5\frac{1}{10}=5,1;\enspace \frac{763}{100}=7\frac{63}{100}=7,63 .

  В виде десятичной дроби представляется любая обыкновенная дробь со знаменателем, который является делителем некой степени числа 10 .

  Пример: 5 — делитель числа 100 , поэтому дробь \frac{1}{5}=\frac{1 \cdot 20}{5 \cdot 20}=\frac{20}{100}=0,2 .

  Арифметические действия над десятичными дробями

  Сложение десятичных дробей

  Для сложения двух десятичных дробей, нужно их расположить так, чтобы друг под другом оказались одинаковые разряды и запятая под запятой, а затем выполнить сложение дробей как обычных чисел.

  Вычитание десятичных дробей

  Выполняется аналогично сложению.

  Умножение десятичных дробей

  При умножении десятичных чисел достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в полученном ответе запятой справа отделяется столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.

  Давайте выполним умножение 2,7 на 1,3 . Имеем 27 \cdot 13=351 . Отделяем справа две цифры запятой (у первого и второго числа — одна цифра после запятой; 1+1=2 ). В итоге получаем 2,7 \cdot 1,3=3,51 .

  Если в полученном результате получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например:

  

  Для умножения на 10 , 100 , 1000 , надо в десятичной дроби перенести запятую на 1 , 2 , 3 цифры вправо (в случае необходимости справа приписывается определенное число нулей).

  Например: 1,47 \cdot 10\,000 = 14 700 .

  Деление десятичных дробей

  Деление десятичной дроби на натуральное число производят также, как и деление натурального числа на натуральное. Запятая в частном ставится после того, как закончено деление целой части.

  Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например:

  

  Рассмотрим деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12 . Первым делом, умножим делимое и делитель дроби на 100 , то есть перенесем запятую вправо в делимом и делителе на столько знаков, сколько их стоит в делителе после запятой (в данном примере на две). Затем нужно выполнить деление дроби 257,6 на натуральное число 112 , то есть задача сводится к уже рассмотренному случаю:

  

  Бывает так, что не всегда получается конечная десятичная дробь при делении одного числа на другое. В результате получается бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям.

  2,8: 0,09= \frac{28}{10} : \frac {9}{100}= \frac{28 \cdot 100}{10 \cdot 9}=\frac{280}{9}=31 \frac{1}{9} .

  Дробь — форма представления числа в математике. Дробная черта обозначает операцию деления. Числителем дроби называется делимое, а знаменателем — делитель. Например, в дроби числителем является число 5, а знаменателем — 7.

  Правильной называется дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя. Если дробь является правильной, то модуль её значения всегда меньше 1. Все остальные дроби являются неправильными .

  Дробь называют смешанной , если она записана как целое число и дробь. Это то же самое, что и сумма этого числа и дроби:

  Основное свойство дроби

  Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то значение дроби не изменится, то есть, например,

  

  Приведение дробей к общему знаменателю

  Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, нужно:

  1. Числитель первой дроби умножить на знаменатель второй
  2. Числитель второй дроби умножить на знаменатель первой
  3. Знаменатели обеих дробей заменить на их произведение

  Действия с дробями

  Сложение. Чтобы сложить две дроби, нужно

  1. Сложить новые числители обеих дробей, а знаменатель оставить без изменений

  Пример:

  Вычитание. Чтобы вычесть одну дробь из другой, нужно

  1. Привести дроби к общему знаменателю
  2. Вычесть из числителя первой дроби числитель второй, а знаменатель оставить без изменений

  Пример:

  

  Умножение. Чтобы умножить одну дробь на другую, следует перемножить их числители и знаменатели:

  

  Деление. Чтобы разделить одну дробь на другую, следует числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй:

  

  На данном уроке будет рассмотрено основное свойство алгебраической дроби. Умение правильно и без ошибок применять это свойство является одним из важнейших базовых умений во всем курсе школьной математики и будет встречаться не только на протяжении изучения данной темы, но и практически во всех изучаемых в дальнейшем разделах математики. Ранее уже было изучено сокращение обыкновенных дробей, а на данном уроке будет рассмотрено сокращение рациональных дробей. Несмотря на довольно большое внешнее отличие, существующее между рациональными и обыкновенными дробями, у них очень много общего, а именно - и обыкновенным, и рациональным дробям присущи одинаковое основное свойство и общие правила выполнения арифметических действий. В рамках урока мы столкнемся с понятиями: сокращение дроби, умножение и деление числителя и знаменателя на одно и то же выражение - и рассмотрим примеры.

  Вспомним основное свойство обыкновенной дроби : значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число. Напомним, что деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же отличное от нуля число называется сокращением .

  Например: , при этом значение дробей не изменяется. Однако зачастую при применении данного свойства многие допускают стандартные ошибки:

  1) - в приведенном примере допущена ошибка деления только одного слагаемого из числителя на 2, а не всего числителя. Правильная последовательность действий выглядит таким образом: или .

  2) - здесь мы видим похожую ошибку, однако, кроме этого еще в результате деления получен 0, а не 1, что является еще более частой и грубой ошибкой.

  Теперь необходимо перейти к рассмотрению алгебраической дроби . Вспомним это понятие из предыдущего урока.

  Определение. Рациональная (алгебраическая) дробь - дробное выражение вида , где - многочлены. - числитель, - знаменатель.

  Алгебраические дроби являются, в некотором смысле, обобщением обыкновенных дробей и над ними можно проводить те же операции, что и над обыкновенными дробями.

  И числитель, и знаменатель дроби можно умножать и делить на один и тот же многочлен (одночлен) или число, отличное от нуля. Это будет тождественное преобразование алгебраической дроби. Вспомним, что как и ранее, деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же отличное от нуля выражение называется сокращением .

  Основное свойство алгебраической дроби позволяет сокращать дроби и приводить их к наименьшему общему знаменателю.

  Для сокращения обыкновенных дробей мы прибегали к основной теореме арифметики , разлагали и числитель, и знаменатель на простые множители.

  Определение. Простое число - натуральное число, которое делится только на единицу и само себя. Все остальные натуральные числа называются составными. 1 не является ни простым, ни составным числом.

  Пример 1. а), где множители, на которые разложены числители и знаменатели указанных дробей, являются простыми числами.

  Ответ. ; .

  Следовательно, для сокращения дробей необходимо предварительно разложить на множители числитель и знаменатель дроби, а затем разделить их на общие множители. Т.е. следует владеть методами разложения многочленов на множители.

  Пример 2. Сократить дробь а), б) , в) .

  Решение. а) . Необходимо заметить, что в числителе находится полный квадрат, а в знаменателе разность квадратов. После сокращения необходимо указать, что , во избежание деления на ноль.

  б) . В знаменателе выносится общий числовой множитель, что полезно делать практически в любом случае, когда это возможно. Аналогично с предыдущим примером указываем, что .

  в) . В знаменателе выносим за скобки минус (или, формально, ). Не забываем, что при сокращении .

  Ответ. ;; .

  Теперь приведём пример на приведение к общему знаменателю, делается это аналогично с обыкновенными дробями.

  Пример 3.

  Решение. Для нахождения наименьшего общего знаменателя необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК ) двух знаменателей, т.е. НОК(3;5). Иными словами, найти наименьшее число, которое делится на 3 и на 5 одновременно. Очевидно, что это число 15, записать это можно таким образом: НОК(3;5)=15 - это и будет общий знаменатель указанных дробей.

  Чтобы преобразовать знаменатель 3 в 15, его необходимо умножить на 5, а для преобразования 5 в 15, его необходимо умножить на 3. По основному свойству алгебраической дроби следует умножить на те же числа и соответствующие числители указанных дробей.

  Ответ. ; .

  Пример 4. Привести к общему знаменателю дроби и .

  Решение. Проведем аналогичные предыдущему примеру действия. Наименьшее общее кратное знаменателей НОК(12;18)=36. Приведем к этому знаменателю обе дроби:

  и .

  Ответ. ; .

  Теперь рассмотрим примеры, демонстрирующие применение техники сокращения дробей для их упрощения в более сложных случаях.

  Пример 5. Вычислить значение дроби: а) , б) , в) .

  а) . При сокращении пользуемся правилом деления степеней .

  После того, как мы повторили использование основного свойства обыкновенной дроби , можно перейти к рассмотрению алгебраических дробей.

  Пример 6. Упростить дробь и вычислить при заданных значениях переменных: а) ; , б) ;

  Решение. При подходе к решению возможен следующий вариант - сразу же подставить значения переменных и начать расчет дроби, но в таком случае решение сильно усложняется и необходимое на его решение время увеличивается, не говоря уже об опасности ошибиться в сложных вычислениях. Поэтому удобно сначала упростить выражение в буквенном виде, а затем уже подставить значения переменных.

  а) . При сокращении на множитель необходимо проверить, не обращается ли он в ноль в указанных значениях переменных. При подстановке получаем , что дает возможность сокращения на данный множитель.

  б) . В знаменателе выносим минус, как мы это уже делали в примере 2 . При сокращении на снова проверяем не делим ли мы на ноль: .

  Ответ. ; .

  Пример 7. Привести к общему знаменателю дроби а) и , б) и , в) и .

  Решение. а) В данном случае подойдем к решению следующим образом: не будем пользоваться понятием НОК, как во втором примере, а просто умножим знаменатель первой дроби на знаменатель второй и наоборот - это позволит привести дроби к одинаковому знаменателю. Конечно же, не забываем при этом умножать и числители дробей на такие же выражения.

  . В числителе раскрыли скобки, а в знаменателе воспользовались формулой разности квадратов.

  . Аналогичные действия.

  Видно, что такой способ позволяет умножить знаменатель и числитель одной дроби на тот элемент из знаменателя второй дроби, которого не хватает. С другой дробью проводятся аналогичные действия, и знаменатели приводятся к общему.

  б) Проделаем аналогичные с предыдущим пунктом действия:

  . Умножим числитель и знаменатель на тот элемент знаменателя второй дроби, которого не хватало (в данном случае на весь знаменатель).

  . Аналогично.

  в) . В данном случае мы умножили на 3 (множитель который присутствует в знаменателе второй дроби и отсутствует в первой).

  .

  Ответ. а) ; , б) ; , в) ; .

  На данном уроке мы изучили основное свойство алгебраической дроби и рассмотрели основные задачи с его использованием. На следующем уроке мы более подробно разберем приведение дробей к общему знаменателю с использованием формул сокращенного умножения и метода группировки при разложении на множители.

  Список литературы

  1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.
  3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2006.
  1. ЕГЭ по математике ().
  2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» ().
  3. Математика в школе: поурочные планы ().

  Домашнее задание