Что такое тождество и как его доказать. Уравнения

ЛЕКЦИЯ №3 Доказательство тождеств

Цель: 1. Повторить определения тождества и тождественно равных выражений.

2.Ввести понятие тождественного преобразования выражений.

3. Умножение многочлена на многочлен.

4. Разложение многочлена на множители способом группировки.

Пусть каждый день и каждый час

Нам новое добудет,

Пусть добрым будет ум у нас,

А сердце умным будет!

В математике существует множество понятий. Одно из них тождество.

Тождеством называют равенство, которое выполняется при всех значениях переменных, которые в него входят. Некоторые тождества мы уже знаем.

Например, все формулы сокращенного умножения являются тождествами.

Формулы сокращенного умножения

1. (a ± b )2 = a 2 ± 2ab + b 2,

2. (a ± b )3 = a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b 3,

3. a 2 - b 2 = (a - b )(a + b ),

4. a 3 ± b 3 = (a ± b )(a 2 ab + b 2).

Доказать тождество – это значит установить, что для любого допустимого значение переменные его левая часть равна правой части.

В алгебре существует несколько различных способов доказательства тождеств.

Способы доказательства тождеств

левой части тождества.

правой части тождества.

левой и правой части тождества.

Из правой части тождества вычитаем левую часть.

Из левой части тождества вычитают правую часть.

Следует так же помнить, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных.

Как видите способов достаточно много. Какой способ выбрать в данном конкретном случае, зависит от тождества, которое вам необходимо доказать. По мере того, как вы будете доказывать различные тождества, придет и опыт в выборе способа доказательства.

Тождество - это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, т. е. справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. Доказать тождество - значит установить, что при всех допустимых значениях переменных его левая и правая части равны.
Способы доказывания тождества:
1. Выполняют преобразования левой части и получают в итоге правую часть.
2. Выполняют преобразования правой части и в итоге получают левую часть.
3. По отдельности преобразуют правую и левую части и получают и в первом и во втором случае одно и то же выражение.
4. Составляют разность левой и правой части и в результате её преобразований получают нуль.
Рассмотрим несколько простых примеров

Пример 1. Докажите тождество x·(a+b) + a·(b-x) = b·(a+x).

Решение.

Так как в правой части небольшое выражение, попытаемся преобразовать левую часть равенства.

x·(a+b) + a·(b-x) = x·a +x·b + a·b – a·x.

Приведем подобные слагаемые и вынесем общий множитель за скобку.

x·a + x·b + a·b – a·x = x·b + a·b = b·(a + x).

Получили что левая часть после преобразований, стала такой же как и правая часть. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Пример 2. Докажите тождество: a ² + 7· a + 10 = (a +5)·(a +2).

Решение:

В данном примере можно поступить следующим способом. Раскроем скобки в правой части равенства.

(a+5)·(a+2) = (a²) + 5·a +2·a +10 = a²+7·a + 10.

Видим, что после преобразований, правая часть равенства стала такой же как и левая часть равенства. Следовательно, данное равенство является тождеством.

« Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения»

Выяснить какое равенство является тождеством:

1. - (а – в) = - а – в;

2. 2 · (х + 4) = 2х – 4;

3. (х – 5) · (-3) = - 3х + 15.

4. рху (- р2 х2 у) = - р3 х3 у3.

«Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений»

Равенство верное при любых значениях переменных, называют тождеством. Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, или, как говорят иначе, чтобы доказать тождество , используют тождественные преобразования выражений.
Докажем тождество:
xy - 3y - 5x + 16 = (x - 3)(y - 5) + 1 Преобразуем левую часть этого равенства:
xy - 3y - 5x + 16 = (xy - 3y) + (- 5x + 15) +1 = y(x - 3) - 5(x -3) +1 = (y - 5)(x - 3) +1 В результате тождественного преобразования левой части многочлена мы получили его правую часть и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.
Для доказательства тождества преобразуют его левую часть в правую или его правую часть в левую, или показывают, что левая и правая части исходного равенства тождественно равны одному и тому же выражению.

Умножение многочлена на многочлен

Умножим многочлен a + b на многочлен c + d . Составим произведение этих многочленов:
(a+b)(c+d) .
Обозначим двучлен a + b буквой x и преобразуем полученное произведение по правилу умножения одночлена на многочлен:
(a+b)(c+d) = x(c+d) = xc + xd.
В выражение xc + xd. подставим вместо x многочлен a+b и снова воспользуемся правилом умножения одночлена на многочлен:
xc + xd = (a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd.
Итак: (a+b)(c+d) = ac + bc + ad + bd .
Произведение многочленов a + b и c + d мы представили в виде многочлена ac + bc + ad + bd . Этот многочлен является суммой всех одночленов, получающихся при умножении каждого члена многочлена a + b на каждый член многочлена c + d .
Вывод : произведение любых двух многочленов можно представить в виде многочлена .
Правило : чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить .
Заметим, что при умножении многочлена, содержащего m членов на многочлен, содержащий n членов в произведении до приведения подобных членов должно получиться mn членов. Этим можно воспользоваться для контроля.

Разложение многочлена на множители способом группировки:

Ранее мы познакомились с разложением многочлена на множители путем вынесения общего множителя за скобки. Иногда удается разложить многочлен на множители, используя другой способ - группировку его членов .
Разложим на множители многочлен
ab - 2b + 3a - 6 Сгруппируем его так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель и вынесем этот множитель за скобки:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab - 2b) + (3a - 6) = b(a - 2) + 3(a - 2) Каждое слагаемое получившегося выражения имеет общий множитель (a - 2). Вынесем этот общий множитель за скобки:
b(a - 2) + 3(a - 2) = (b +3)(a - 2) В итоге мы разложили исходный многочлен на множители:
ab - 2b + 3a - 6 = (b +3)(a - 2) Способ, который мы применили для разложения многочлена на множители называют способом группировки .
Разложение многочлена ab - 2b + 3a - 6 на множители можно выполнить, группируя его члены иначе:
ab - 2b + 3a - 6 = (ab + 3a) + (- 2b - 6) = a(b + 3) -2(b + 3) = (a - 2)(b + 3)

Повторить:

1. Способы доказательства тождеств.

2. Что называют тождественным преобразованием выражения.

3. Умножение многочлена на многочлен.

4. Разложение многочлена на множители способом группировки

§ 2. Тождественные выражения, тождество. Тождественное преобразование выражения. Доказательства тождеств

Найдем значения выражений 2(х - 1) 2х - 2 для данных значений переменной х. Результаты запишем в таблицу:

Можно прийти к выводу, что значения выражений 2(х - 1) 2х - 2 для каждого данного значения переменной х равны между собой. По распределительным свойством умножения относительно вычитания 2(х - 1) = 2х - 2. Поэтому и для любого другого значения переменной х значение выражения 2(х - 1) 2х - 2 тоже будут равны между собой. Такие выражения называют тождественно равными.

Например, синонимами являются выражения 2х + 3х и 5х, так как при каждом значении переменной х эти выражения приобретают одинаковых значений (это вытекает из распределительной свойства умножения относительно сложения, поскольку 2х + 3х = 5х).

Рассмотрим теперь выражения 3х + 2у и 5ху. Если х = 1 и в = 1, то соответствующие значения этих выражений равны между собой:

3х + 2у =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5ху = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Однако можно указать такие значения х и у, для которых значения этих выражений не будут между собой равными. Например, если х = 2; у = 0, то

3х + 2у = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5ху = 5 ∙ 20 = 0.

Следовательно, существуют такие значения переменных, при которых соответствующие значения выражений 3х + 2у и 5ху не равны друг другу. Поэтому выражения 3х + 2у и 5ху не являются тождественно равными.

Исходя из вышеизложенного, тождественностями, в частности, являются равенства: 2(х - 1) = 2х - 2 и 2х + 3х = 5х.

Тождеством является каждое равенство, которым записано известные свойства действий над числами. Например,

а + b = b + а; (а + b) + с = а + (b + с); а(b + с) = ab + ас;

ab = bа; (аb)с = a(bc); a(b - с) = ab - ас.

Тождественностями есть и такие равенства:

а + 0 = а; а ∙ 0 = 0; а ∙ (-b) = -ab;

а + (-а) = 0; а ∙ 1 = а; а ∙ (-b) = аb.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

Если в выражении-5х + 2х - 9 свести подобные слагаемые, получим, что 5х + 2х - 9 = 7х - 9. В таком случае говорят, что выражение 5х + 2х - 9 заменили тождественным ему выражением 7х - 9.

Тождественные преобразования выражений с переменными выполняют, применяя свойства действий над числами. В частности, тождественными преобразованиями с раскрытие скобок, возведение подобных слагаемых и тому подобное.

Тождественные преобразования приходится выполнять при упрощении выражения, то есть замены некоторого выражения на тождественно равное ему выражение, которое должно короче запись.

Пример 1. Упростить выражение:

1) -0,3 m ∙ 5n;

2) 2(3х - 4) + 3(-4х + 7);

3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - а).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5 mn;

2) 2(3х 4) + 3(-4 + 7) = 6 x - 8 - 1 2х + 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5а - (а - 2b) + (3b - a) = 2 + 5а - а + 2 b + 3 b - а = 3а + 5b + 2.

Чтобы доказать, что равенство является тождеством (иначе говоря, чтобы доказать тождество, используют тождественные преобразования выражений.

Доказать тождество можно одним из следующих способов:

выполнить тождественные преобразования ее левой части, тем самым сведя к виду правой части;
выполнить тождественные преобразования ее правой части, тем самым сведя к виду левой части;
выполнить тождественные преобразования обеих ее частей, тем самым возведя обе части до одинаковых выражений.

Пример 2. Доказать тождество:

1) 2х - (х + 5) - 11 = х - 16;

2) 206 - 4а = 5(2а - 3b) - 7(2а - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5х - 7) = 13(2x - 5) + 21.

Р а з в’ я з а н н я.

1) Преобразуем левую часть данного равенства:

2х - (х + 5) - 11 = 2х - х - 5 - 11 = х - 16.

Тождественными преобразованиями выражение в левой части равенства свели к виду правой части и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.

2) Преобразуем правую часть данного равенства:

5(2а - 3b) - 7(2а - 5b) = 10а - 15 b - 14а + 35 b = 20b - 4а.

Тождественными преобразованиями правую часть равенства свели к виду левой части и тем самым доказали, что данное равенство является тождеством.

3) В этом случае удобно упростить как левую, так и правую части равенства и сравнить результаты:

2(3х - 8) + 4(5х - 7) = 6х - 16 + 20х - 28 = 26х - 44;

13(2х - 5) + 21 = 26х - 65 + 21 = 26х - 44.

Тождественными преобразованиями левую и правую части равенства свели к одному и тому же виду: 26х - 44. Поэтому данное равенство является тождеством.

Какие выражения называют тождественными? Приведите пример тождественных выражений. Какое равенство называют тождеством? Приведите пример тождества. Что называют тождественным преобразованием выражения? Как доказать тождество?

(Устно) Или есть выражения тождественно равными:

1) 2а + а и 3а;

2) 7х + 6 и 6 + 7х;

3) x + x + x и x 3 ;

4) 2(х - 2) и 2х - 4;

5) m - n и n - m;

6) 2а ∙ р и 2р ∙ а?

Являются ли тождественно равными выражения:

1) 7х - 2х и 5х;

2) 5а - 4 и 4 - 5а;

3) 4m + n и n + 4m;

4) а + а и а 2 ;

5) 3(а - 4) и 3а - 12;

6) 5m ∙ n и 5m + n?

(Устно) является Ли тождеством равенство:

1) 2а + 106 = 12аb;

2) 7р - 1 = -1 + 7р;

3) 3(х - у) = 3х - 5у?

Раскройте скобки:

Раскройте скобки:

Сведите подобные слагаемые:

Назовите несколько выражений, тождественных выражения 2а + 3а.
Упростите выражение, используя переставляющейся и соединительную свойства умножения:

1) -2,5 х ∙ 4;

2) 4р ∙ (-1,5);

3) 0,2 х ∙ (0,3 г);

4)- х ∙ <-7у).

Упростите выражение:

1) -2р ∙ 3,5;

2) 7а ∙ (-1,2);

3) 0,2 х ∙ (-3у);

4) - 1 m ∙ (-3n).

(Устно) Упростите выражение:

1) 2х - 9 + 5х;

2) 7а - 3b + 2а + 3b;

4) 4а ∙ (-2b).

Сведите подобные слагаемые:

1) 56 - 8а + 4b - а;

2) 17 - 2р + 3р + 19;

3) 1,8 а + 1,9 b + 2,8 а - 2,9 b;

4) 5 - 7с + 1,9 г + 6,9 с - 1,7 г.

1) 4(5х - 7) + 3х + 13;

2) 2(7 - 9а) - (4 - 18а);

3) 3(2р - 7) - 2(г - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

Раскройте скобки и сведите подобные слагаемые:

1) 3(8а - 4) + 6а;

2) 7р - 2(3р - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6 x + 0,4(x - 20), если x = 2,4;

2) 1,3(2а - 1) - 16,4, если а = 10;

3) 1,2(m - 5) - 1,8(10 - m), если m = -3,7;

4) 2x - 3(x + у) + 4у, если x = -1, у = 1.

Упростите выражение и найдите его значение:

1) 0,7 x + 0,3(x - 4), если x = -0,7;

2) 1,7(у - 11) - 16,3, если в = 20;

3) 0,6(2а - 14) - 0,4(5а - 1), если а = -1;

4) 5(m - n) - 4m + 7n, если m = 1,8; n = -0,9.

Докажите тождество:

1) -(2х - у)=у - 2х;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) с - 2 = 5(с + 2) - 4(с + 3).

Докажите тождество:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - р) + 7р = 14;

3) 5а = 3(а - 4) + 2(а + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

Длина одной из сторон треугольника а см, а длина каждой из двух других сторон на 2 см больше нее. Запишите в виде выражения периметр треугольника и упростите выражение.
Ширина прямоугольника равна х см, а длина на 3 см больше ширины. Запишите в виде выражения периметр прямоугольника и упростите выражение.

1) х - (х - (2х - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4р - (3р - (2р - (г + 1)));

4) 5x - (2x - ((у - х) - 2у));

5) (6а - b) - (4 a – 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

Раскройте скобки и упростите выражение:

1) а - (а - (3а - 1));

2) 12m - ((а - m) + 12а);

3) 5y - (6у - (7у - (8у - 1)));

6) (2,1 a - 2,8 b) - (1a – 1b).

Докажите тождество:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) -(- 3р) - (-(8 - 5р)) = 2(4 - г);

3) 3(а - b - с) + 5(а - b) + 3с = 8(а - b).

Докажите тождество:

1) 12а - ((8а - 16)) = -4(4 - 5а);

2) 4(х + у - <) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

Докажите, что значение выражения

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) не зависит от значения переменной.

Докажите, что при любом значении переменной значение выражения

а - (а - (5а + 2)) - 5(а - 8)

является одним и тем же числом.

Докажите, что сумма трех последовательных четных чисел делится на 6.
Докажите, что если n - натуральное число, то значение выражения -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) является четным числом.

Упражнения для повторения

Сплав массой 1,6 кг содержит 15 % меди. Сколько кг меди содержится в этом сплаве?
Сколько процентов составляет число 20 от своего:

1) квадрата;

Турист 2 ч шел пешком и 3 ч ехал на велосипеде. Всего турист преодолел 56 км. Найдите, с какой скоростью турист ехал на велосипеде, если она на 12 км/ч больше за скорость, с которой он шел пешком.

Интересные задачи для учеников ленивых

В чемпионате города по футболу участвуют 11 команд. Каждая команда играет с другими по одному матчу. Докажите, что в любой момент соревнований найдется команда, которая проведет к этому моменту четное число матчей или не провела еще ни одного.

Уравнения

Как решать уравнения?

В этом разделе мы вспомним (или изучим – уж кому как) самые элементарные уравнения. Итак, что такое уравнение? Говоря человеческим языком, это какое-то математическое выражение, где есть знак равенства и неизвестное. Которое, обычно, обозначается буквой «х» . Решить уравнение - это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное тождество. Напомню, что тождество – это выражение, которое не вызывает сомнения даже у человека, абсолютно не отягощенного математическими знаниями. Типа 2=2, 0=0, ab=ab и т.д. Так как решать уравнения? Давайте разберёмся.

Уравнения бывают всякие (вот удивил, да?). Но всё их бесконечное многообразие можно разбить всего на четыре типа.

4. Все остальные.)

Всех остальных, разумеется, больше всего, да...) Сюда входят и кубические, и показательные, и логарифмические, и тригонометрические и всякие другие. С ними мы в соответствующих разделах плотно поработаем.

Сразу скажу, что иногда и уравнения первых трёх типов так накрутят, что и не узнаешь их… Ничего. Мы научимся их разматывать.

И зачем нам эти четыре типа? А затем, что линейные уравнения решаются одним способом, квадратные другим, дробные рациональные - третьим, а остальные не решаются вовсе! Ну, не то, чтобы уж совсем никак не решаются, это я зря математику обидел.) Просто для них существуют свои специальные приёмы и методы.

Но для любых (повторяю - для любых! ) уравнений есть надёжная и безотказная основа для решения. Работает везде и всегда. Эта основа - Звучит страшно, но штука очень простая. И очень (очень!) важная.

Собственно, решение уравнения и состоит из этих самых преобразований. На 99%. Ответ на вопрос: "Как решать уравнения? " лежит, как раз, в этих преобразованиях. Намёк понятен?)

Тождественные преобразования уравнений.

В любых уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть уравнения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными.

Отмечу, что эти преобразования относятся именно к уравнениям. В математике ещё имеются тождественные преобразования выражений. Это другая тема.

Сейчас мы с вами повторим все-все-все базовые тождественные преобразования уравнений.

Базовые потому, что их можно применять к любым уравнениям – линейным, квадратным, дробным, тригонометрическим, показательным, логарифмическим и т.д. и т.п.

Первое тождественное преобразование: к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое (но одно и то же!) число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Суть уравнения от этого не меняется.

Вы, между прочим, постоянно пользовались этим преобразованием, только думали, что переносите какие-то слагаемые из одной части уравнения в другую со сменой знака. Типа:

Дело знакомое, переносим двойку вправо, и получаем:

На самом деле вы отняли от обеих частей уравнения двойку. Результат получается тот же самый:

х+2 - 2 = 3 - 2

Перенос слагаемых влево-вправо со сменой знака есть просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования. И зачем нам такие глубокие познания? – спросите вы. В уравнениях низачем. Переносите, ради бога. Только знак не забывайте менять. А вот в неравенствах привычка к переносу может и в тупик поставить….

Второе тождественное преобразование : обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя. Это преобразование вы используете, когда решаете что-нибудь крутое, типа

Понятное дело, х = 2. А вот как вы его нашли? Подбором? Или просто озарило? Чтобы не подбирать и не ждать озарения, нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на 5. При делении левой части (5х) пятёрка сократилась, остался чистый икс. Чего нам и требовалось. А при делении правой части (10) на пять, получилась, знамо дело, двойка.

Вот и всё.

Забавно, но эти два (всего два!) тождественных преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики. Во как! Имеет смысл посмотреть на примерах, что и как, правда?)

Примеры тождественных преобразований уравнений. Основные проблемы.

Начнём с первого тождественного преобразования. Перенос влево-вправо.

Пример для младшеньких.)

Допустим, надо решить вот такое уравнение:

3-2х=5-3х

Вспоминаем заклинание: "с иксами - влево, без иксов - вправо!" Это заклинание - инструкция по применению первого тождественного преобразования.) Какое выражение с иксом у нас справа? 3х ? Ответ неверный! Справа у нас - 3х ! Минус три икс! Стало быть, при переносе влево, знак поменяется на плюс. Получится:

3-2х+3х=5

Так, иксы собрали в кучку. Займёмся числами. Слева стоит тройка. С каким знаком? Ответ "с никаким" не принимается!) Перед тройкой, действительно, ничего не нарисовано. А это значит, что перед тройкой стоит плюс. Так уж математики договорились. Ничего не написано, значит, плюс. Следовательно, в правую часть тройка перенесётся с минусом. Получим:

-2х+3х=5-3

Остались сущие пустяки. Слева - привести подобные, справа - посчитать. Сразу получается ответ:

В этом примере хватило одного тождественного преобразования. Второе не понадобилось. Ну и ладно.)

Пример для старшеньких.)

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Обучающая цель:

повторить определения уравнения, тождества;

научиться различать понятия уравнения и тождества;

выявить способы доказательства тождеств;

повторить способы приведения одночлена к стандартному виду, сложения многочленов, умножения одночлена на многочлен при доказательстве тождеств.

Развивающая цель:

развивать грамотную математическую речь учащихся (обогащать и усложнять словарный запас при использовании специальных математических терминов),

развивать мышление: умения сравнивать, анализировать, проводить аналогии, прогнозировать, делать выводы (при выборе способов доказательства тождеств);

развивать учебно-познавательную компетенцию учащихся.

Воспитательная цель:

развивать умение работать в группе, координировать свою деятельность с другими участниками учебного процесса;

воспитывать толерантность.

Тип урока: комплексное применение знаний.

Этапы урока: подготовительный, применение знаний, итог.

Граница знания - незнания:

могут применять операции приведения одночлена к стандартному виду;

сложения многочленов, умножения многочлена на многочлен.

Различать понятия уравнения и тождества;

осуществлять доказательство тождеств;

рационально выбирать и применять способы доказательства тождеств.

Фронтальная работа

Словесный

Наглядный

Применение знаний (обеспечение усвоения новых знаний и способов действий на уровне применения в измененной учебной ситуации)

На основе преобразований левой и правой части данного

математического равенства, выявить способы доказательства тождеств;

Выявить рациональный способ из предложенных и отработать подбор рационального решения по заданному условию тождеств

Групповая работа

Самостоятельная работа

Поисковый

Практический

Итог (анализ и оценка успешности достижения цели)

Подведение итогов работы на уроке путем выполнения индивидуальной работы, где предлагается выбрать из представленных равенств тождество и доказать его любым из предложенных способов (желательно рациональным);

Затем учащиеся производят самооценку своей работы на уроке по заданным (от начала занятия) критериям

Фронтальная

Словесный

Конспект урока (кратко):

1. Этап (подготовительный)

Рассмотрите математическую запись: (фронтальная работа)

Учащиеся 7 класса, как правило, считают, что это уравнение, и, решая его, получают линейное уравнение вида: 0 х = 0, верное при любых х.

Затем, учитель показывает работу другого класса, и дети сталкиваются с противоречием – в работах другого класса, учащиеся доказывают, что это тождество.

Вывод: следует обратить внимание на тот факт, что одно и то же равенство может рассматриваться как тождество и как уравнение. Это зависит от условия к заданной работе: если требуется установить при каком значении переменной имеет место равенство, то это - уравнение. А если требуется доказать, что равенство имеет место при любых значениях переменных - тождество.

2. Этап (применение)

Выявление способов доказательства тождеств: (групповая работа)

Записано выражение:

Практическое задание в группах по выявлению способов доказательства тождеств:

Соблюдайте правила работы в группах (они напечатаны на табличках, выставленных учителем на рабочих местах учащихся)

На ватмане, в совместном труде, выполните некоторые преобразования по определенной технологии, указанной в задании группе и докажите, что заданное выражение не зависит от значений переменных, а значит, является тождеством;

Выступите с разъяснениями проделанной работы и сделайте вывод: каков данный метод доказательства тождеств;

Задание 1 группе:

Перенесите правую часть равенства в левую. Докажите, что данное выражение не зависит от значения переменных.

Задание 2 группе:

Преобразуйте левую часть равенства. Докажите, что она равна правой, а значит данное выражение не зависит от значения переменных.

Задание 3 группе:

Преобразуйте одновременно левую и правую части равенства. Докажите, что данное равенство не зависит от значения переменных.

При рассмотрении выполненной работы ребят по доказательству тождества, удобно результаты примененных способов изображать в виде схем на отдельных листах бумаги, с указателем номера, что бы в последствии, использовать эти схемы не только на данном, но и на других уроках алгебры.

3. Этап (итог)

а) Тождества для выбора рационального решения: (фронтальная работа)